Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

lim( xn± yn) = lim xn± lim yn= a ± b.lim( xn⋅ y ) = lim xnn⋅ lim yn= a ⋅ b.ylimxnnlim y=limxnn=a,bb ≠ 0limxy n lim yn= limxn= nab5 Якщо lim xn≤ lim yn, то a ≤ b.6 Якщо xn≤ zn≤ ynі lim xn= a; lim yn= a , то limzn= a;Визначення 1.4. Послідовність { a n} називається нескінченно малою,якщо limα= 0 .n→∞nПриклад 1.1. Написати перші чотири члени послідовності⎧ ⎫⎨ ⎬⎩1an.1+n2⎭Розв’язанняпри n = 1при n = 31 1= ; при n = 21+1 2a1 =21 1= ; при n = 41+3 10a =1 2Тобто перші чотири члени послідовності { a n}:⎧11⎨ , ,⎩351101,17⎫,.... ⎬.⎭1 1= ;1+2 5a =2 21 1= .1+4 17a =2 2Приклад 1.2. Написати формулу загального члена послідовності :⎧13 5 7 ⎫⎨ , , , ,..... ⎬.⎩24 6 8 ⎭Розв’язанняПроаналізуємо чисельники. Ці числа є непарними, які можна записатиу вигляді (2n – 1). Аналогічно знаменники – парні числа, тому вони будутьзаписані у вигляді 2n, тобто маємо послідовність⎧ 2n −1⎫⎨a n= ⎬ .⎩ 2n ⎭8