Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

2 НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ2.1 Неперервність функції у точціВизначення 2.1. Функція f(х) називається неперервною в точціх = х 0 , якщо:1) функція визначена в точці х 0 і в деякому її околі, тобто існує значенняf(х 0 );2) існує границя limf (x) = A ;x→3) і ця границя дорівнює = f (x ) .x 0A0Визначення 2.2. Функція f(х) називається неперервною в точці х 0 ,якщо:1) функція визначена в точці х 0 і в деякому її околі;2) існує границя приросту функції, коли ∆ х → 0 (приріст аргументупрямує до нуля): limx 0∆у;∆ →3) і ця границя дорівнює нулю: limx 0∆у= 0.∆ →Таким чином, функція неперервна в точці х, якщо: lim f (x) = f (x ) .0Візьмемо значення x = x0+ ∆x(рис. 2.1).Розглянемо границю limf (x0+ ∆x)− f (x0)= 0 ,∆x→0тобто [ f (x + ∆x)− f (x )] = 0lim00∆x→0або limx 0∆у= 0.∆ →∆x→x0Рисунок 2.1Розглянемо неперервність основних елементарних функцій:a1) y = x – степенева;x2) y = a – показникові;3) y = logax – логарифмічна;4) y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = arctgx – тригонометричні.Усі вони є функціями неперервними в області визначення.26