Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

1.6 Завдання для самостійної роботи1 Теоретичні питання необхідно вивчити самостійно з використаннямкурсу лекцій та підручників.1) Що називається числовою послідовністю?2) Що називається границею числової послідовності?2) Що називається границею змінної величини?4) Що називається границею функції?5) У чому полягає геометричний зміст границі функції у точці?6) Які величини називаються нескінченно малими?7) Які нескінченно малі величини називаються еквівалентними?8) Самостійно або з використанням відповідної лекції довести першустандартну границю.9) Самостійно або з використанням підручника довести другу стандартнуграницю.10) Дати визначення числа e як основи натурального логарифма.2 Написати перші п’ять членів числової послідовності (див. приклад 1.1):а)2⎧ n + 1⎫⎨a n=3⎬; Відповідь:⎩ n ⎭⎧ 1б)⎬ ⎫⎧ 1⎨a n=; Відповідь: ⎨⎩ ( 3n −1)( 3n + 2) ⎭ ⎩10в)⎧ 5 + n ⎫⎨a n=2⎬ ; Відповідь:⎩ 2 + n ⎭22⎧ 5 10 17 26 ⎫⎨2 , , , , , ... ⎬ ;⎩ 8 27 64 125 ⎭1 1 1, , ,40 88 1431, ,238⎧ 7 8 1 10 ⎫⎨2 , , , , , ... ⎬ .⎩ 6 11 2 27 ⎭⎫... ⎬ ;⎭3 Написати формулу загального члена послідовності (див. приклад 1.2):а)б)в)⎧2⎨⎩34,96,278 ⎫2 ⋅ n, ,..... ⎬ ; Відповідь: а = ;n n81 ⎭3⎧ 1 1 1 1 ⎫1⎨1 , , , , ,..... ⎬; Відповідь: аn= ;2⎩ 4 9 16 25 ⎭n⎧2⎨⎩12 ⋅5,1⋅52 ⋅5⋅8,1⋅5⋅92 ⋅5⋅8⋅11⎫, ,..... ⎬;1⋅5⋅9⋅13⎭Відповідь:4 Користуючись визначенням границі, довести:а)2nlimn→∞5n+−2=325(див. приклад 1.3);а n( 3n −1)( 4n − 3)2 ⋅5⋅8⋅...= .1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ...