ÐÑÑÑп до ÐаÑемаÑиÑного аналÑÐ·Ñ - ÐонбаÑÑка деÑжавна ...
ÐÑÑÑп до ÐаÑемаÑиÑного аналÑÐ·Ñ - ÐонбаÑÑка деÑжавна ... ÐÑÑÑп до ÐаÑемаÑиÑного аналÑÐ·Ñ - ÐонбаÑÑка деÑжавна ...
Розв’язанняДомножимо і поділимо розглянутий вираз на+ 8х + 3 + х + 4х 3 :2 2( х + )22lim( х + 8х + 3 − х + 4х + 3) = { ∞ − ∞}==∞x→∞2222х + 8х + 3 + х + 4х + 3( х + 8х + 3 − х + 4х + 3) =limx → 22х + 8х + 3 + х + 4х + 322х + 8х + 3 − х − 4х − 3 4хlim= lim = 2 .x→∞22x→∞х + 8х + 3 + х + 4х + 3 х + хТут враховані еквівалентності:х 2 + 8х + 3 ∼ х 2 = х ; х 2 + 4х + 3 ∼ х 2 = х .У випадках невизначеностіграницю.∞1 використовують другу стандартнуПриклад 1.17. Знайти границюРозв’язанняlim(1 + 3x)x→01x=lim (1 + 3x)x→01x.113⋅∞3x3x 3{ 1 } = lim(1 + 3x) = lim (1 + 3x) = e ,x→0Приклад 1.18. Знайти границюx→0⎛⎜⎝⎞⎟⎠3Розв’язанняβx⎛ α ⎞lim⎜1+ ⎟ .x→∞⎝x ⎠xxβx⎛α ⎞ ⎛⎞⎛ α ⎞⎜⎛α ⎞ ⎜ ⎛ α ⎞lim⎟⎟⎜1+ ⎟ =→∞→∞⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ exxx→∞⎝ x ⎠⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎠βαα∞αβ{ 1 } = lim 1+= lim 1+=На основі перетворень, що застосовані у прикладах 1.16 і 1.17, можнарозв’язувати більш складні задачі.Приклад 1.19. Знайти границю⎛ 2x − 3⎞lim⎜⎟x→∞⎝ 2x + 1 ⎠4x−2.αβ.20
Розв’язання⎛ 2x − 3⎞lim ⎜ ⎟→∞⎝ 2x + 1 ⎠4x−2=⎛⎜⎝− 42x +⎞⎟⎠4x−2∞{ 1 } = lim 1+=x x→∞1−4(4x−2)2x+1 −42x+1⋅ (4x−2)2x+1⎛ − 4−42x+1⎛4(4x 2)⎞4−4⎞−2x 1= lim⎜1+⎟ = lim⎜⎛− ⎞1⎟−+= limex→∞x→∞x→∞⎝ 2x + 1⎠⎜⎜ + ⎟=⎝ 2x + 1⎠⎟⎝⎠4(4x 2)x lim −−14(2−)− xx lim →∞ 11+→ ∞ 2x+12x= e = e = e−8.Приклад 1.20. Знайти границюРозв’язанняx01x2lim→(cosx) .lim (cosx)x→01x2=∞2{ 1 } = lim(1 + (cosx −1))x =x→01−11− ⋅x22sin= 2 x22x2x2⎛lim ⎜1→0+ 2sin⎝⎛lim ⎜1→0+ 2sin⎝x ⎞⎟2 ⎠x ⎞⎟2 ⎠⎛ = lim⎜1x→0+ 2sin⎝⎡⎢⎛ = lim ⎜1+ 2sinx→0⎢⎝⎣⎞⎟⎠x ⎞⎟⎠⎤⎥⎥⎦2sin 2 x2−11−x 2x 2sin= 22 x222x22x2 x2sin2==2⎛ x ⎞⎜ sin ⎟− 2 22x lim ⎜ ⎟→0⎜x ⎟ ⎛ 1 ⎞−21⎜ ⎟ −=⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2e = e = e1e.У загальному вигляді, якщо lim f (x) = 1; lim ϕ(x)= ∞;тоlimx→x 0ϕ(x ) ∞[ f (x)] = { 1 }x→x 0x→x 0⎡= lim⎢(1+ (f (x) −1))x→x 0⎣1f (x ) −1⎤⎥⎦ϕ(x)[ f ( x) −1]=f (x) −1= α(x)α(x)→ 0 приx → x0⎡= ⎢ lim (1 + α(x))α( x) →0⎣α1( x)⎤⎥⎦ϕ(x )x→lim x 0[ f (x ) −1]=( x)e xlim ϕ→x 021[ f ( x) −1]= .
- Page 4 and 5: УДК 517.1ББК 22.161П 14Ре
- Page 6 and 7: ВСТУПЯк відомо, бол
- Page 8 and 9: lim( xn± yn) = lim xn± lim yn= a
- Page 10 and 11: 1.3 Границя функції
- Page 12 and 13: Властивості одност
- Page 14 and 15: 5 Нескінченно малі
- Page 16 and 17: За допомогою розгл
- Page 18 and 19: Третє правило обчи
- Page 22 and 23: 1.6 Завдання для сам
- Page 24 and 25: 9 Знайти границі (ди
- Page 26 and 27: 2 НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУН
- Page 28 and 29: 3) або limf ( x) ≠ f ( x )x→
- Page 31 and 32: Приклад 2.7. Знайти т
- Page 33 and 34: Асимптоти діляться
- Page 35 and 36: 1 Знаходимо вертика
- Page 37 and 38: 2 Показати неперерв
- Page 39 and 40: 3 ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ
- Page 41 and 42: Тест 2Обчислити гра
- Page 43 and 44: 4) Знайти границю5) З
- Page 45 and 46: Задача 2. Обчислити
- Page 47 and 48: 3⎛ 1 ⎞⎛ х ⎞4.9 limx⎜ −
- Page 49 and 50: 6.13⎛ 5 − x ⎞lim⎜⎟x→∞
- Page 51 and 52: 8.158.178.198.218.238.2522x + 13x +
- Page 53 and 54: ДОДАТОК АПОНЯТТЯ І
- Page 55 and 56: лише скінченна кіл
- Page 57 and 58: Рисунок Б.1 - Прикла
Розв’язанняДомножимо і поділимо розглянутий вираз на+ 8х + 3 + х + 4х 3 :2 2( х + )22lim( х + 8х + 3 − х + 4х + 3) = { ∞ − ∞}==∞x→∞2222х + 8х + 3 + х + 4х + 3( х + 8х + 3 − х + 4х + 3) =limx → 22х + 8х + 3 + х + 4х + 322х + 8х + 3 − х − 4х − 3 4хlim= lim = 2 .x→∞22x→∞х + 8х + 3 + х + 4х + 3 х + хТут враховані еквівалентності:х 2 + 8х + 3 ∼ х 2 = х ; х 2 + 4х + 3 ∼ х 2 = х .У випадках невизначеностіграницю.∞1 використовують другу стандартнуПриклад 1.17. Знайти границюРозв’язанняlim(1 + 3x)x→01x=lim (1 + 3x)x→01x.113⋅∞3x3x 3{ 1 } = lim(1 + 3x) = lim (1 + 3x) = e ,x→0Приклад 1.18. Знайти границюx→0⎛⎜⎝⎞⎟⎠3Розв’язанняβx⎛ α ⎞lim⎜1+ ⎟ .x→∞⎝x ⎠xxβx⎛α ⎞ ⎛⎞⎛ α ⎞⎜⎛α ⎞ ⎜ ⎛ α ⎞lim⎟⎟⎜1+ ⎟ =→∞→∞⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ exxx→∞⎝ x ⎠⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎠βαα∞αβ{ 1 } = lim 1+= lim 1+=На основі перетворень, що застосовані у прикладах 1.16 і 1.17, можнарозв’язувати більш складні задачі.Приклад 1.19. Знайти границю⎛ 2x − 3⎞lim⎜⎟x→∞⎝ 2x + 1 ⎠4x−2.αβ.20
Change language