Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

Третє правило обчислення границь:У виразі під знаком границі замість будь-якої функції можна підставлятиеквівалентну їй іншу функцію.Приклад 1.11. Знайти границюРозв’язання2ln(1 + 5x )limx→0xarctgxСкористаємось еквівалентностями 4 і 8:2ln(1 + 5x ) ∼ 5xarctgx ∼ x2.2ln(1 + 5x )limx→0xarctgx2⎧0⎫5x= ⎨ ⎬ = limx→0⎩0⎭x ⋅ x= 5.Ці правила можна використовувати одночасно.Приклад 1.12. Знайти границю1 cos5xlim − .2x→0xРозв’язанняВикористаємо відому тригонометричну формулупершу еквівалентність:22sinα = 1−cos 2αі1−cos5xlim2x→0x2sin⎧0⎫= ⎨ ⎬ = lim⎩0⎭x→0x225x2⎛ 5x ⎞⎜ sin ⎟= 2lim⎜2 ⎟x→0x⎜⎟⎝ ⎠2⎛ 5 ⎞= 2⎜⎟⎝ 2 ⎠2=252.Приклад 1.13. Знайти границю:Розв’язанняcos2xlimx→0−3xcos4x.Використаємо відому тригонометричну формулуα − β α + βcosα − cosβ = −2sinsin і першу еквівалентність:2 2cos2x − cos4x 2sin xsin3x 2x3xlim = lim= lim = 2 .222x→03xx→03xx→03x218