Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

5 Нескінченно малі α (x)і β (x)називаються нескінченно малимиодного порядку, якщо:α(x)lim = C ≠ 0, де С – const,x→х 0β(x)α(x)6 Якщо lim = 0, то нескінченно мала α (x)називається нескінченномалою більш високого порядку, ніж β (x). При цьому нескінченноx→х 0β(x)мала β (x)є нескінченно малою більш низького порядку, чим α (x).α(x)7 Якщо lim = ∞ , то нескінченно мала α (x)називається нескінченномалою більш низького порядку, ніж β (x).α(x)8 Якщо limx→ х 0β(x)k= C ≠ 0 , то нескінченно мала α (x)називаєтьсяx→х0[ β(x)]нескінченно малою k-го порядку в порівнянні з нескінченно малою β (x).9 Дві нескінченно малі функції α (x)і β (x)називаються еквівалентнимипри x → х0, якщо :α(x)limx→х 0β(x)= 1.Еквівалентність позначається так: α(x)∼ β (x).sin xЗ першої стандартної границі limx 0= 1 маємо:→xВизначення 1.13. Функція f (x)при х0sin x ∼ x .x → називається нескінченновеликою, якщо для будь-якого як завгодно великого додатного числа М існуєокіл точки х 0 U(х0) такий, що при усіх x ∈ U(х0),x ≠ х0виконуєтьсянерівність: f (x) > M або скорочено: limf (x) = ∞ .x→Властивості нескінченно великих функцій:1 Якщо функція є нескінченно великою, то вона є необмеженою.Зворотне твердження невірне, тобто необмежена функція не обов'язково єнескінченно великою.Наприклад, якщо взяти функцію y = xsin x (рис. 1.4), вона не є нескінченновеликою, але є необмеженою.2 Дві нескінченно великі функції А (x)і В (x)називаються еквівалентнимипри x → х0, якщо :limx→х 0А(x)В(x)х 0= 1.14