Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

Властивості односторонніх границьЯкщо існує границя функції в точці, то існують обидві односторонніграниці.Але, якщо існують односторонні границі, це не означає, що існуєграниця функції в точці.Для того щоб існувала границя функції в точці х0, необхідно і достатньо,щоб існували обидві односторонні границі і щоб ці границі були рівніміж собою: f (x0+ 0) = f (x0− 0).Визначення 1.10. Число А називається границею функції f (x)приx → ∞ , якщо для будь-якого додатного ε існує N > 0 таке, що при усіхx > N , виконується нерівність: f (x) − A < ε.Позначається: limfx(x) = A .→∞1Наприклад, візьмемо функцію y = (рис. 1.3).2xЯкщо > 1 1x , то − 0 < ε .2ε xN = 1εРисунок 1.3 – Окіл нескінченно великої точки.Множина х, яка задовольняє нерівностінескінченно великої точки:x > N , U(∞ )(рис. 1.3).12x > N , називається околомВизначення 1.11. Число А називається границею функції f (x)прих → а , якщо для кожного ε > 0 існує окіл точки а такий, що при всіх х, якіналежать околу, ( х ≠ а ), виконується нерівність: f (x) − A < ε.Властивості границь функції є такими ж, як і властивості границь числовоїпослідовності:1 Якщо функція має границю, то ця границя є єдиною.2 Границя сталої дорівнює цій сталій . limC = C.x→х 0