Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

1Приклад 1.5. Візьмемо точку перетину функції y = sin з віссю Ох.x1 1 1(рис. 1.2). sin = 0 ⇒ = πn;x = ,x x πnде n = 0, 1, 2, K.Який би ми не взяли окіл навколо точки О, функція приймає всі значеннявід –1 до 1, і «загнати» значення функції в ε - окіл будь-якої точкипри малому ε неможливо, тому функція f (x)не має границі в точці О.Рисунок 1.2 – Графік функції1y = sinxВизначення 1.8. Число А 1 назвемо границею функції f (x)в точці x0справа (правосторонньою границею), якщо для кожного ε > 0 існує такеδ > 0 , що при всіх х, які задовольняють нерівності x x < + δ, виконуєтьсянерівність:f (x) A < ε.− 10< x0Позначається правостороння границя так: lim f (x) = A1;можна записати: lim f (x) = A1, якщоx→x 0 + 0x→x 0 + 0∀0 0A1ε > 0 ∃ δ > 0 : x < x < x + δ ⇒ f (x) − < ε .Визначення 1.9. Число А 2 називається границею функції f (x)в точціx0зліва (лівосторонньою границею), якщо для кожного ε > 0 існує такеδ > 0 , що при всіх х, які задовольняють нерівності x0− δ < x < x0, виконуєтьсянерівність: f (x) A < ε .− 2Лівостороння границя позначається так: lim f (x) = A2;можна записати: lim f (x) = f (x0− 0).x→x 0 −0Скорочено lim f (x) = A2, якщоx→x 0 −0x→x 0 −0ε > 0 ∃ δ > 0 : x − δ < x < x ⇒ f (x) − < ε .∀0 0A211