Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

1.3 Границя функції в точціВизначення 1.7. Число А є границею функції f (x)при x → x0, якщодля кожного ε > 0 існує таке δ = δ(ε), що при 0 x − x < δ, буде виконуватисьнерівність:f (x) − A < ε. 0;хідне виконання таких нерівностей:3 x − 6 < ε .ε ε εx − 2 < ⇒ − < x − 2 < .3 3 3εПорівнюючи вираз x − 2 < з виразом x − x 0< δ, маємо, що3εx 0= 2; δ = . Таким чином, при кожному ε для усіх значень х, що задовольняютьнерівності x − 2 < = δ , значення функції 3 x + 1 буде відрізнятися3ε3від числа 7 менше ніж на ε. А це і означає, що 7 є границею функції приx → 2 .З виразу x x < δ легко отримати: − δ < x − x0< δ;звідки− 0x0− δ < x < x0+ δ .Цей інтервал ( x0− δ;x0+ δ)називають дельта-околом точки x0.Ці поняття можна проілюструвати (рис. 1.1)Рисунок 1.1 – Поняття околу точки.Зауваження. Функція необов'язково має границю у точці.10