Вступ до Математичного аналізу - Донбаська державна ...

УДК 517.1ББК 22.161П 14Рецензенти:Скафа О. І., доктор педагогічних наук, професор, завідувач кафедривищої математики і методики викладання математики, Донецький національнийуніверситет;Божко В. О., кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідувачкафедри математичного аналізу, Слов'янський державний педагогічнийуніверситет.Паламарчук, В. О.П14 Вступ до математичного аналізу : навчальний посібник /В. О. Паламарчук, А. І. Степанов. – Краматорськ : ДДМА, 2009. –56 с.ISBN XXXXX.Посібник містить короткі теоретичні відомості, приклади розв’язання задач,завдання для самостійної роботи з відповідями, методичні рекомендації та варіантиконтрольних і тестових завдань для студентів денного та заочного відділень,а також список необхідної літературиУДК 517.1ББК 22.161ISBN XXXXX4© В. О. Паламарчук,А. І. Степанов, 2009.© ДДМА, 2009.

ЗМІСТВСТУП ............................................................................................................1 ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ ...................................................................................1.1 Границя числової послідовності ..........................................................1.2 Границя змінної величини ....................................................................1.3 Границя функції в точці ........................................................................1.4 Нескінченно малі та нескінченно великі функції.Поняття еквівалентних функцій. Основні еквівалентності .....................1.5 Приклади на знаходження границь ......................................................1.6 Завдання для самостійної роботи .........................................................2 НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ ....................................................................2.1 Неперервність функції у точці .............................................................2.2 Неперервність функції на інтервалі .....................................................2.3 Асимптоти кривої ..................................................................................2.4 Завдання для самостійної роботи .........................................................3 ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ І ЗРАЗКИ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ ....................3.1 Неперервне начислення процентів ......................................................3.2 Тести трьох рівнів з даного розділу .....................................................3.3 Завдання, що входять до агрегатних тестів окремих модулів ..........4 ІНДИВІДУАЛЬНІ ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ ...........................................5 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ...................................... .ДОДАТОК А. Поняття інтервалу, півінтервалу, відрізку .........................ДОДАТОК Б. Функції ..................................................................................5

ВСТУПЯк відомо, болонська система, до якої у останні роки активно приєднуєтьсяукраїнська вища освіта, має за основу кредитно-модульну організаціюнавчального процесу. Така організація приводить до запровадженнянових форм і методів поточного і підсумкового контролю, а це, у своючергу, вимагає значного посилення ролі самостійної роботи студента.У курсі вищої математики для технічних і економічних спеціальностейє декілька тем, які, по перше, входять складовою частиною до різнихмодулів, а по друге, є базою для розуміння багатьох ключових понять дисципліниу цілому. До таких тем можна віднести тему «Вступ до математичногоаналізу», що містить у собі поняття границі числової послідовності,змінної величини і функції, неперервності функції у точці та на інтервалі.Розуміння основних положень цієї теми дає студенту змогу швидше і глибшезасвоїти такі теми, як диференціальне та інтегральне числення, ряди.Посібник складається з трьох частин, кожна з яких має кілька розділів,та індивідуальних домашніх завдань. Деякі необхідні відомості наведеніу додатках.Перша та друга частини присвячені теоретичним та практичним питаннямз обчислення границь та дослідження неперервності функцій, а такожмістять завдання для самостійної роботиТретя частина складається з прикладної задачі та зразків тестовихзавдань.Автори посібника поставили перед собою такі задачі:- не замінюючи курсу лекцій або підручника, познайомити студентаз основними теоретичними положеннями, визначеннями і теоремами(без доведення);- детально розібрати велику кількість типових прикладів ;- надати студенту можливість самостійно навчитися розв’язуватианалогічні задачі, контролюючи правильність відповідей;- окреслити коло задач, які можуть бути запропоновані у різних тестахяк поточного, так і агрегатного контролю;- запропонувати набір індивідуальних домашніх завдань, який викладачіможуть використовувати у навчальному процесі студентів як денного,так і заочного відділень. З цього набору викладач може підібрати необхіднийоб’єм завдань, виходячи з вимог робочого плану дисципліни.Кількість завдань, склад і зміст контрольної роботи, яку можуть виконуватистуденти заочної форми навчання, визначаються рішенням кафедривищої математики.6

1 ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ1.1 Границя числової послідовностіНазвемо послідовністю множину чисел, пронумерованих натуральнимичислами, розташованими у порядку зростання. Іншими словами, якщокожному натуральному числу n за певним правилом ставиться у відповідністьчисло аn, то множину чисел { a1 ,a2,.....,an,...} називають числовоюпослідовністю. Або, коротко, послідовністю.Послідовність позначається { a n}. Послідовність вважається заданою,якщо відома формула, за якою знаходять загальний член аn.Наприклад, a n= ,nn + 21 2 3тобто a 1= ; a 2= ; a 3= ; …;3 4 5a n= ; … .nn + 2Послідовність є функцією цілочислового аргументу.Визначення 1.1. Послідовність називається обмеженою зверху, якщоіснує таке число М > 0, що a n≤ M для усіх n ∈ N . (Запис n ∈ N означає,що п належить множині натуральних чисел).Визначення 1.2. Послідовність називається обмеженою знизу, якщоіснує таке M , що a n≥ M , для усіх n ∈ N .Визначення 1.3. Число А називається границею числової послідовності{ a n}, якщо для довільного наперед заданого числа ε > 0, яке може бутияким завгодно малим, існує такий номер N = N( ε)(залежний від обраногоε), що для усіх значеньa n− A < ε .Записlimann→∞= An ≥ N буде виконуватися нерівність:означає: границя послідовності { a n} дорівнює А колип прямує до нескінченності.Якщо послідовність має скінченну границю, то вона називається збіжною.В усіх інших випадках вона називається розбіжною.Властивості границі числової послідовності:1 Якщо послідовність має границю, то ця границя є єдиною.2 Послідовність, що має границю, є обмеженою.3 Теорема існування границі монотонної обмеженої послідовності(теорема Вейєрштрасса): якщо послідовність { n}зверху, a n≤ M , то послідовність має границю. Якщо послідовність { }a неспадна і обмеженаa nнезростає і обмежена знизу, то вона має границю.4 Нехай послідовність { x n} має границю, яка дорівнює а, послідов-y має границю, яка дорівнює b, тоді справедливі такі рівності:ність { } n7

lim( xn± yn) = lim xn± lim yn= a ± b.lim( xn⋅ y ) = lim xnn⋅ lim yn= a ⋅ b.ylimxnnlim y=limxnn=a,bb ≠ 0limxy n lim yn= limxn= nab5 Якщо lim xn≤ lim yn, то a ≤ b.6 Якщо xn≤ zn≤ ynі lim xn= a; lim yn= a , то limzn= a;Визначення 1.4. Послідовність { a n} називається нескінченно малою,якщо limα= 0 .n→∞nПриклад 1.1. Написати перші чотири члени послідовності⎧ ⎫⎨ ⎬⎩1an.1+n2⎭Розв’язанняпри n = 1при n = 31 1= ; при n = 21+1 2a1 =21 1= ; при n = 41+3 10a =1 2Тобто перші чотири члени послідовності { a n}:⎧11⎨ , ,⎩351101,17⎫,.... ⎬.⎭1 1= ;1+2 5a =2 21 1= .1+4 17a =2 2Приклад 1.2. Написати формулу загального члена послідовності :⎧13 5 7 ⎫⎨ , , , ,..... ⎬.⎩24 6 8 ⎭Розв’язанняПроаналізуємо чисельники. Ці числа є непарними, які можна записатиу вигляді (2n – 1). Аналогічно знаменники – парні числа, тому вони будутьзаписані у вигляді 2n, тобто маємо послідовність⎧ 2n −1⎫⎨a n= ⎬ .⎩ 2n ⎭8

Приклад 1.3. Показати, що при n → ∞ послідовність⎧710 3n + 4 ⎫3⎨ , ,... ,... ⎬ має границю .⎩35 2n + 1 ⎭2Розв’язанняСкористуємось визначенням 1.3.Побудуємо а 3 3n + 4 3 5− = − = . Визначимо, при якому значенніn виконується нерівність < ε . Розв’язуючи цю нерівність,n2 2n + 1 2 2( 2n + 1)52( 2n +1)5 13отримаємо n > − . Наприклад при ε = 0,1 нерівність a n− < ε виконуєтьсяпри n > 12.4ε22До поняття числової послідовності ми ще повернемось при вивченнітеми «Ряди». Методи пошуку границь числових послідовностей цілкомспівпадають з методами пошуку границь неперервних змінних, що будутьрозглянуті в наступних розділах.1.2 Границя змінної величиниЯкщо змінна величинаnx n, товона є дискретною змінною. І границю такої змінної знаходять за визначенням1.3.Якщо змінна величина x набуває усіх числових значень деякого скінченогопроміжку X, то вона є неперервною змінною.х пробігає значення послідовності { }Визначення 1.5. Число x 0 називають границею змінної x, якщо длядовільного числа ε > 0 існує таке значення х’, починаючи з якого для усіхнаступних значень x виконується нерівність x x < ε , і пишуть− 0lim x = x 0 , або х → х0.Визначення 1.6. Якщо для довільного числа М>0 існує таке значеннях’, починаючи з якого усі наступні значення x задовольняють нерівністьх > M , то кажуть, що змінна х прямує до нескінченності і пишутьlim x = ∞, абох → ∞ .Таку змінну називають нескінченно великою змінною.Зауваження. З виразом ∞ не можна поводитись, як з числом, це –лише символ, який характеризує певну змінну величину.9

1.3 Границя функції в точціВизначення 1.7. Число А є границею функції f (x)при x → x0, якщодля кожного ε > 0 існує таке δ = δ(ε), що при 0 x − x < δ, буде виконуватисьнерівність:f (x) − A < ε. 0;хідне виконання таких нерівностей:3 x − 6 < ε .ε ε εx − 2 < ⇒ − < x − 2 < .3 3 3εПорівнюючи вираз x − 2 < з виразом x − x 0< δ, маємо, що3εx 0= 2; δ = . Таким чином, при кожному ε для усіх значень х, що задовольняютьнерівності x − 2 < = δ , значення функції 3 x + 1 буде відрізнятися3ε3від числа 7 менше ніж на ε. А це і означає, що 7 є границею функції приx → 2 .З виразу x x < δ легко отримати: − δ < x − x0< δ;звідки− 0x0− δ < x < x0+ δ .Цей інтервал ( x0− δ;x0+ δ)називають дельта-околом точки x0.Ці поняття можна проілюструвати (рис. 1.1)Рисунок 1.1 – Поняття околу точки.Зауваження. Функція необов'язково має границю у точці.10

1Приклад 1.5. Візьмемо точку перетину функції y = sin з віссю Ох.x1 1 1(рис. 1.2). sin = 0 ⇒ = πn;x = ,x x πnде n = 0, 1, 2, K.Який би ми не взяли окіл навколо точки О, функція приймає всі значеннявід –1 до 1, і «загнати» значення функції в ε - окіл будь-якої точкипри малому ε неможливо, тому функція f (x)не має границі в точці О.Рисунок 1.2 – Графік функції1y = sinxВизначення 1.8. Число А 1 назвемо границею функції f (x)в точці x0справа (правосторонньою границею), якщо для кожного ε > 0 існує такеδ > 0 , що при всіх х, які задовольняють нерівності x x < + δ, виконуєтьсянерівність:f (x) A < ε.− 10< x0Позначається правостороння границя так: lim f (x) = A1;можна записати: lim f (x) = A1, якщоx→x 0 + 0x→x 0 + 0∀0 0A1ε > 0 ∃ δ > 0 : x < x < x + δ ⇒ f (x) − < ε .Визначення 1.9. Число А 2 називається границею функції f (x)в точціx0зліва (лівосторонньою границею), якщо для кожного ε > 0 існує такеδ > 0 , що при всіх х, які задовольняють нерівності x0− δ < x < x0, виконуєтьсянерівність: f (x) A < ε .− 2Лівостороння границя позначається так: lim f (x) = A2;можна записати: lim f (x) = f (x0− 0).x→x 0 −0Скорочено lim f (x) = A2, якщоx→x 0 −0x→x 0 −0ε > 0 ∃ δ > 0 : x − δ < x < x ⇒ f (x) − < ε .∀0 0A211

Властивості односторонніх границьЯкщо існує границя функції в точці, то існують обидві односторонніграниці.Але, якщо існують односторонні границі, це не означає, що існуєграниця функції в точці.Для того щоб існувала границя функції в точці х0, необхідно і достатньо,щоб існували обидві односторонні границі і щоб ці границі були рівніміж собою: f (x0+ 0) = f (x0− 0).Визначення 1.10. Число А називається границею функції f (x)приx → ∞ , якщо для будь-якого додатного ε існує N > 0 таке, що при усіхx > N , виконується нерівність: f (x) − A < ε.Позначається: limfx(x) = A .→∞1Наприклад, візьмемо функцію y = (рис. 1.3).2xЯкщо > 1 1x , то − 0 < ε .2ε xN = 1εРисунок 1.3 – Окіл нескінченно великої точки.Множина х, яка задовольняє нерівностінескінченно великої точки:x > N , U(∞ )(рис. 1.3).12x > N , називається околомВизначення 1.11. Число А називається границею функції f (x)прих → а , якщо для кожного ε > 0 існує окіл точки а такий, що при всіх х, якіналежать околу, ( х ≠ а ), виконується нерівність: f (x) − A < ε.Властивості границь функції є такими ж, як і властивості границь числовоїпослідовності:1 Якщо функція має границю, то ця границя є єдиною.2 Границя сталої дорівнює цій сталій . limC = C.x→х 0

3 Нехай при х → х0функція f(x) має границю, яка дорівнює а, а функціяg(x) має границю, яка дорівнює b, тоді справедливі такі рівності:lim (f( x) ± g( x) ) = ( x) ± lim g( x) = a ± b.lim fx→x0x→x0lim (fx→x0x→x0( x) ⋅ g( x) ) = ( x) ⋅ lim g( x) = a ⋅ b.flimx→x0glimfx→x0( x)( x)4 Якщо ( x) ( x)limfx→xlim fx→x0limfx→x0=limgx→x0( x)( x)=g( ) ( xx) ( x)limfx→xx→xa,blim= x→∞≤ limg , то: a ≤ b.x→0 x 00g0b ≠ 0 .( x ) b= a5 Якщо f ( x) ≤ h( x) ≤ g( x)і ( x) = a; ( x) = a , то ( x) = a;limfx→xlimgx→0 x 0sin x6 Перша стандартна границя limx 0= 1.→x⎛ 1 ⎞7 Друга стандартна границя lim⎜1⎟ = ex+ .→∞x⎝ ⎠x.limhx→x 0.1.4 Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Поняттяеквівалентних функцій. Основні еквівалентностіВизначення 1.12. Функція α (x)при x → х0називається нескінченномалою, якщо її границя дорівнює нулю. limα(x)= 0.Властивості нескінченно малих функцій:1 Для того щоб функція f (x)при x → х0мала границю А, необхідноі достатньо, щоб f (x)можна було записати у вигляді:f (x)13x→х 0= A + α(x),де α (x)– нескінченно мала функція при x → х0.2 Сума скінченої кількості нескінченно малих функцій є нескінченномалою функцією.3 Добуток нескінченно малої при x → х0функції на функцію, обмеженув околі точки х 0 , є нескінченно малою функцією.4 Добуток двох нескінченно малих функцій при x → х0є нескінченномалою функцією.Нехай функції α (x)і β (x)є нескінченно малими при x → х0.

5 Нескінченно малі α (x)і β (x)називаються нескінченно малимиодного порядку, якщо:α(x)lim = C ≠ 0, де С – const,x→х 0β(x)α(x)6 Якщо lim = 0, то нескінченно мала α (x)називається нескінченномалою більш високого порядку, ніж β (x). При цьому нескінченноx→х 0β(x)мала β (x)є нескінченно малою більш низького порядку, чим α (x).α(x)7 Якщо lim = ∞ , то нескінченно мала α (x)називається нескінченномалою більш низького порядку, ніж β (x).α(x)8 Якщо limx→ х 0β(x)k= C ≠ 0 , то нескінченно мала α (x)називаєтьсяx→х0[ β(x)]нескінченно малою k-го порядку в порівнянні з нескінченно малою β (x).9 Дві нескінченно малі функції α (x)і β (x)називаються еквівалентнимипри x → х0, якщо :α(x)limx→х 0β(x)= 1.Еквівалентність позначається так: α(x)∼ β (x).sin xЗ першої стандартної границі limx 0= 1 маємо:→xВизначення 1.13. Функція f (x)при х0sin x ∼ x .x → називається нескінченновеликою, якщо для будь-якого як завгодно великого додатного числа М існуєокіл точки х 0 U(х0) такий, що при усіх x ∈ U(х0),x ≠ х0виконуєтьсянерівність: f (x) > M або скорочено: limf (x) = ∞ .x→Властивості нескінченно великих функцій:1 Якщо функція є нескінченно великою, то вона є необмеженою.Зворотне твердження невірне, тобто необмежена функція не обов'язково єнескінченно великою.Наприклад, якщо взяти функцію y = xsin x (рис. 1.4), вона не є нескінченновеликою, але є необмеженою.2 Дві нескінченно великі функції А (x)і В (x)називаються еквівалентнимипри x → х0, якщо :limx→х 0А(x)В(x)х 0= 1.14

Рисунок 1.4 – Графік функціїy = xsin x .n n− 13 Поліном степеня n a0x+ a1x+ ... anпри x → ∞ є еквівалентнимсвоєму члену з найбільшим степенем, абоn n−1na0x+ a1x+ ... an∼a 0x .4 Якщо функція α (х)є нескінченно малою при х → х0, тоді функціяβ (х) = є нескінченно великою при х → х10і навпаки: якщо функціяβ (х)нескінченно велика при х → хα(х)10, тоді α (х) = є нескінченноβ(х).малою при х → х0.Наведемо основні еквівалентності, які є наслідками першої та другоїстандартних границь:1 sin α(x)∼ α (x)– власне перша стандартна границя,та її наслідки:2 tgα (x)∼ α (x);3 arcsinα( х)∼ ( х)4 ( х)α х ;α ;arctgα ∼ ( )наслідки другої стандартної границі:α )5 e ( x − 1∼ α (x);6α( )a x −1∼ α(x)lna ;7 ( 1+ α(x))n−1∼ α (x)n;8 ln( 1 α( х))+ ∼ α (x).15

За допомогою розглянутих властивостей можна знаходити деякі границі.1.5 Приклади на знаходження границьПриклад 1.6. Знайти границю4xlimx2.x →1+ 3Розв’язанняНа основі згаданих властивостей і рівності limx= 1 маємоx → 1( 4x)12( x ) +( x)x→12( x))4x lim 4lim 4x→lim = == = 1.22x→1x + 3 lim 3 (lim + 3 1 + 3x→1Цей самий результат можна дістати, підставляючи у вираз граничнезначення х. Тому сформулюємо перше правило обчислення границь:- підставити у вираз граничне значення х. Якщо отримане скінченнечисло, границя знайдена.Зауваження. Не завжди можна під знак границі підставляти граничнезначення аргументу. Такі функції, для яких це можна робити, називаютьсянеперервними і будуть розглянуті далі.Приклад 1.7. Знайти границюРозв’язанняx→12 − xlimx 2.x→2− 4Підставляючи х = 2 у вираз, дістанемо 00 . Таку ситуацію називаютьневизначеністю, оскільки після знаходження границь чисельника і знаменникаобидві дорівнюють нулю, а границя усього виразу може бути як конкретнимчислом, так і нескінченністю, або взагалі може не існувати. Знайтиподібну границю означає розкрити невизначеність. Є інші види невизначеностей:, ∞ − ∞,0 ⋅ ∞,1 тощо.∞∞∞Друге правило обчислення границь:У виразі під знаком границі можна виконувати будь-які спрощення,що не суперечать правилам алгебри. Повернемось до прикладу 1.7.Приклад 1.8. Знайти границю:2 − xlimx 2.x→2− 416

Розв’язанняРозкладемо знаменник на множники. У чисельнику винесемо за дужкичисло -1.− ( х − 2)−11= lim = −( х − 2)( х + 2) x→2( х + 2) 42 − x ⎧0⎫lim =2⎨ ⎬ = lim.x→2x − 4 ⎩0⎭x→2У фігурних дужках після умови задачі будемо надалі вказувати видневизначеності.У більш складних випадках пошуку границь для функції видуP (x)nQ (x)m=a x0b x0mn+ a x1+ b x1n−1m−1+ K+a+ K+bn−1m−1x + anx + bm,якщоx −x 0Pn(x) ⎧0⎫lim = ⎨ ⎬→ Q (x) ⎩ 0 у чисельнику і знаменнику виділяють множникx x 0m ⎭, поки не позбуваються невизначеності.Приклад 1.9. Знайти границюРозв’язання5x −1limx 1x 3.→−154 3 2x −1⎧0⎫(x −1)(x+ x + x + x + 1)lim = ⎨ ⎬ = lim=x → 1 3x→12x −1⎩0⎭(x −1)(x+ x + 1 )4 3 2x + x + x + x + 1= lim =x→12x + x + 1Приклад 1.10. Знайти границюРозв’язанняlimx→0х + 4 − 2.xДомножимо чисельник і знаменник дробу на суму х + 4 + 2:limх + 4 − 2 ⎧0⎫= ⎨ ⎬ = limx ⎩0⎭x→0х + 4 − 2⋅x53х + 4 + 2= limх + 4 + 2 x→0х.х + 4 − 4( х + 4 + ) =x → 02= lim→ 011.( х + 4 + 2) 4x=17

Третє правило обчислення границь:У виразі під знаком границі замість будь-якої функції можна підставлятиеквівалентну їй іншу функцію.Приклад 1.11. Знайти границюРозв’язання2ln(1 + 5x )limx→0xarctgxСкористаємось еквівалентностями 4 і 8:2ln(1 + 5x ) ∼ 5xarctgx ∼ x2.2ln(1 + 5x )limx→0xarctgx2⎧0⎫5x= ⎨ ⎬ = limx→0⎩0⎭x ⋅ x= 5.Ці правила можна використовувати одночасно.Приклад 1.12. Знайти границю1 cos5xlim − .2x→0xРозв’язанняВикористаємо відому тригонометричну формулупершу еквівалентність:22sinα = 1−cos 2αі1−cos5xlim2x→0x2sin⎧0⎫= ⎨ ⎬ = lim⎩0⎭x→0x225x2⎛ 5x ⎞⎜ sin ⎟= 2lim⎜2 ⎟x→0x⎜⎟⎝ ⎠2⎛ 5 ⎞= 2⎜⎟⎝ 2 ⎠2=252.Приклад 1.13. Знайти границю:Розв’язанняcos2xlimx→0−3xcos4x.Використаємо відому тригонометричну формулуα − β α + βcosα − cosβ = −2sinsin і першу еквівалентність:2 2cos2x − cos4x 2sin xsin3x 2x3xlim = lim= lim = 2 .222x→03xx→03xx→03x218

Розглянемо границю функціїP (x)nQ (x)m=a x0b x0mn+ a x1+ b x1n−1m−1+ K+a+ K+bn−1m−1x + anx + bmу випадку, коли х → ∞ . У цьому випадку для пошуку границі використовуютьтретю властивість нескінченно великих функцій. У загальному випадкуїї можна записати у вигляді:P (x)limnx → ∞Q (x ) mПриклад 1.14. Знайти границюРозв’язання=⎧ ∞,якщоn > m⎪a0= ⎨ , якщо n = m .⎪ b0⎪⎩ 0, якщо n < m5 33x + 2x + 1limx→∞5 24x + x − х −1Використаємо наведену узагальнену формулу n = m = 5:5 33x + 2x + 1 ⎧∞⎫lim = =x 5 2⎨ ⎬→∞4x + x − х −1⎩∞⎭Приклад 1.15. Знайти границюРозв’язанняn+ 2 +5 33lim4 3nn →∞n + 2 + nСтепінь чисельника n = 3/ 5 менший ніж степінь знаменникаm = 3/ 4 , тому..34.nn+ 2 +5 33limn→∞4 3n+ 2 + n⎧∞⎫= ⎨ ⎬ = 0⎩∞⎭.Приклад 1.16. Знайти границюlimx→∞22( х + 8х + 3 − х + 4х + 3)19

Розв’язанняДомножимо і поділимо розглянутий вираз на+ 8х + 3 + х + 4х 3 :2 2( х + )22lim( х + 8х + 3 − х + 4х + 3) = { ∞ − ∞}==∞x→∞2222х + 8х + 3 + х + 4х + 3( х + 8х + 3 − х + 4х + 3) =limx → 22х + 8х + 3 + х + 4х + 322х + 8х + 3 − х − 4х − 3 4хlim= lim = 2 .x→∞22x→∞х + 8х + 3 + х + 4х + 3 х + хТут враховані еквівалентності:х 2 + 8х + 3 ∼ х 2 = х ; х 2 + 4х + 3 ∼ х 2 = х .У випадках невизначеностіграницю.∞1 використовують другу стандартнуПриклад 1.17. Знайти границюРозв’язанняlim(1 + 3x)x→01x=lim (1 + 3x)x→01x.113⋅∞3x3x 3{ 1 } = lim(1 + 3x) = lim (1 + 3x) = e ,x→0Приклад 1.18. Знайти границюx→0⎛⎜⎝⎞⎟⎠3Розв’язанняβx⎛ α ⎞lim⎜1+ ⎟ .x→∞⎝x ⎠xxβx⎛α ⎞ ⎛⎞⎛ α ⎞⎜⎛α ⎞ ⎜ ⎛ α ⎞lim⎟⎟⎜1+ ⎟ =→∞→∞⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ exxx→∞⎝ x ⎠⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎠βαα∞αβ{ 1 } = lim 1+= lim 1+=На основі перетворень, що застосовані у прикладах 1.16 і 1.17, можнарозв’язувати більш складні задачі.Приклад 1.19. Знайти границю⎛ 2x − 3⎞lim⎜⎟x→∞⎝ 2x + 1 ⎠4x−2.αβ.20

Розв’язання⎛ 2x − 3⎞lim ⎜ ⎟→∞⎝ 2x + 1 ⎠4x−2=⎛⎜⎝− 42x +⎞⎟⎠4x−2∞{ 1 } = lim 1+=x x→∞1−4(4x−2)2x+1 −42x+1⋅ (4x−2)2x+1⎛ − 4−42x+1⎛4(4x 2)⎞4−4⎞−2x 1= lim⎜1+⎟ = lim⎜⎛− ⎞1⎟−+= limex→∞x→∞x→∞⎝ 2x + 1⎠⎜⎜ + ⎟=⎝ 2x + 1⎠⎟⎝⎠4(4x 2)x lim −−14(2−)− xx lim →∞ 11+→ ∞ 2x+12x= e = e = e−8.Приклад 1.20. Знайти границюРозв’язанняx01x2lim→(cosx) .lim (cosx)x→01x2=∞2{ 1 } = lim(1 + (cosx −1))x =x→01−11− ⋅x22sin= 2 x22x2x2⎛lim ⎜1→0+ 2sin⎝⎛lim ⎜1→0+ 2sin⎝x ⎞⎟2 ⎠x ⎞⎟2 ⎠⎛ = lim⎜1x→0+ 2sin⎝⎡⎢⎛ = lim ⎜1+ 2sinx→0⎢⎝⎣⎞⎟⎠x ⎞⎟⎠⎤⎥⎥⎦2sin 2 x2−11−x 2x 2sin= 22 x222x22x2 x2sin2==2⎛ x ⎞⎜ sin ⎟− 2 22x lim ⎜ ⎟→0⎜x ⎟ ⎛ 1 ⎞−21⎜ ⎟ −=⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2e = e = e1e.У загальному вигляді, якщо lim f (x) = 1; lim ϕ(x)= ∞;тоlimx→x 0ϕ(x ) ∞[ f (x)] = { 1 }x→x 0x→x 0⎡= lim⎢(1+ (f (x) −1))x→x 0⎣1f (x ) −1⎤⎥⎦ϕ(x)[ f ( x) −1]=f (x) −1= α(x)α(x)→ 0 приx → x0⎡= ⎢ lim (1 + α(x))α( x) →0⎣α1( x)⎤⎥⎦ϕ(x )x→lim x 0[ f (x ) −1]=( x)e xlim ϕ→x 021[ f ( x) −1]= .

1.6 Завдання для самостійної роботи1 Теоретичні питання необхідно вивчити самостійно з використаннямкурсу лекцій та підручників.1) Що називається числовою послідовністю?2) Що називається границею числової послідовності?2) Що називається границею змінної величини?4) Що називається границею функції?5) У чому полягає геометричний зміст границі функції у точці?6) Які величини називаються нескінченно малими?7) Які нескінченно малі величини називаються еквівалентними?8) Самостійно або з використанням відповідної лекції довести першустандартну границю.9) Самостійно або з використанням підручника довести другу стандартнуграницю.10) Дати визначення числа e як основи натурального логарифма.2 Написати перші п’ять членів числової послідовності (див. приклад 1.1):а)2⎧ n + 1⎫⎨a n=3⎬; Відповідь:⎩ n ⎭⎧ 1б)⎬ ⎫⎧ 1⎨a n=; Відповідь: ⎨⎩ ( 3n −1)( 3n + 2) ⎭ ⎩10в)⎧ 5 + n ⎫⎨a n=2⎬ ; Відповідь:⎩ 2 + n ⎭22⎧ 5 10 17 26 ⎫⎨2 , , , , , ... ⎬ ;⎩ 8 27 64 125 ⎭1 1 1, , ,40 88 1431, ,238⎧ 7 8 1 10 ⎫⎨2 , , , , , ... ⎬ .⎩ 6 11 2 27 ⎭⎫... ⎬ ;⎭3 Написати формулу загального члена послідовності (див. приклад 1.2):а)б)в)⎧2⎨⎩34,96,278 ⎫2 ⋅ n, ,..... ⎬ ; Відповідь: а = ;n n81 ⎭3⎧ 1 1 1 1 ⎫1⎨1 , , , , ,..... ⎬; Відповідь: аn= ;2⎩ 4 9 16 25 ⎭n⎧2⎨⎩12 ⋅5,1⋅52 ⋅5⋅8,1⋅5⋅92 ⋅5⋅8⋅11⎫, ,..... ⎬;1⋅5⋅9⋅13⎭Відповідь:4 Користуючись визначенням границі, довести:а)2nlimn→∞5n+−2=325(див. приклад 1.3);а n( 3n −1)( 4n − 3)2 ⋅5⋅8⋅...= .1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ...

б) lim x(3x + 1) = 10→ 3(див. приклад 1.4).5 Знайти границі (див. приклад 1.6):а)2хlimx→45х+−22; Відповідь: ;53б)⎛ xlim⎜⎝x→ −1x 12+ 4x + 1⎞⎟− ⎠3x; Відповідь: 1.6 Знайти границі (див. приклади 1.8, 1.9):а)б)в)г)д)2х − 5х1limx 5х2; Відповідь: ;→− 2522х − 9limx →−33х + 9; Відповідь: − 2 ;2х − 3х1limx 0х 2; Відповідь:→;+ 2х222х − 9х + 10limx 2х2; Відповідь:→+ 3х −103 2х − х − х + 1lim ; Відповідь: 0.x→13 2х + х − х −11− ;77 Знайти границі (див. приклад 1.10):а)б)2 − 5 − хlim ; Відповідь:x→1sin πxlim→ 02 −ххx+41− ; 4 π; Відповідь: − 4 .8 Знайти границі (див. приклад 1.11):а)б)( + sin3x)ln 1limx→0sin 4xx5 −1limx→0tg2x; Відповідь: 43 ;; Відповідь: ln( 5)12;в)23x + 5x5lim ; Відповідь: .x→0arcsinπxπ23

9 Знайти границі (див. приклади 1.10–1.13):а)( + 4x)х ln 1lim; Відповідь:x→0сos5x − cos3x1− ;2б)limx → 09 + x − 31; Відповідь: ;arctg2x12в)1−cos3x9lim ; Відповідь: .x→02xsin x410 Знайти границі (див. приклад 1.14):23n − 4n + 6а) lim; Відповідь:n→∞25 + 6n − 7n22n + 5n − 2б) limn6n3; Відповідь: 0;→∞− 3n + 4в)3− ;723n + 4n + 6lim; Відповідь: ∞ .n→∞5n − 711 Знайти границі (див. приклади 1.15–1.16):а)lim3x+ 2x5 2 4+−−x→ ∞ 3 23x 5x 112x4 2 4 2б) lim( x + x − x − x )в)x→ ∞n+ 2 +n5 33 5lim4 3n →∞n + 2 + n22г) lim( x + ax + b − x + cx + d )x→ ∞; Відповідь: ∞ ;; Відповідь: 1;; Відповідь: ∞ ;12 Знайти границі (див. приклади 1.17–1.18):; Відповідь: ( c) / 2a − .а)⎛lim⎜1x→ ∞+⎝7х⎟ ⎠⎞2х14; Відповідь: e ;lim 1+kxб) ( ) x mx→0Відповідь:kme .13 Знайти границі (див. приклад 1.19):⎛ 2xа) lim⎜x→∞⎝ 3x22+ 1⎞⎟+ 5 ⎠2x + 3; Відповідь: 0;24

б)⎛ xlim⎜⎝2+ 2x + 4 ⎞⎟⎠x→∞23x + x + 22x+1x+5; Відповідь: 91 ;2⎛ 8x + 4 − x ⎞в) lim ⎜ ⎟ ;x→ ∞2⎝ 1−x ⎠2x 3x 2x⎛ + + ⎞г) lim⎜⎟ ;x→0⎝ x + 2 ⎠xx−18Відповідь: e − ;1Відповідь: e − ;д)⎛ xlim⎜⎝x→ −1x 12+ 4x + 1⎞⎟− ⎠3x; Відповідь: 1.14 Знайти границі (див. приклад 1.20):lim 1+cosx2cosа) ( ) xπx→2lim 1+3tgxб) ( ) ctgxx→ π2; Відповідь: e ;3; Відповідь: e .15 Комбіновані задачі на знаходження границь:а)3 − 2хlim→ 0tg2xx+9; Відповідь:− 1 ;6б)limx→∞х3 3+ 2 + х; Відповідь: 2 ;x( x 1)sin +в) limx→−121 − xг)( 1−tgx)xlimπx→cos2x4; Відповідь:; Відповідь:xд) lim 1+sin x ; Відповідь: e .x→01 ;2π425

2 НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ2.1 Неперервність функції у точціВизначення 2.1. Функція f(х) називається неперервною в точціх = х 0 , якщо:1) функція визначена в точці х 0 і в деякому її околі, тобто існує значенняf(х 0 );2) існує границя limf (x) = A ;x→3) і ця границя дорівнює = f (x ) .x 0A0Визначення 2.2. Функція f(х) називається неперервною в точці х 0 ,якщо:1) функція визначена в точці х 0 і в деякому її околі;2) існує границя приросту функції, коли ∆ х → 0 (приріст аргументупрямує до нуля): limx 0∆у;∆ →3) і ця границя дорівнює нулю: limx 0∆у= 0.∆ →Таким чином, функція неперервна в точці х, якщо: lim f (x) = f (x ) .0Візьмемо значення x = x0+ ∆x(рис. 2.1).Розглянемо границю limf (x0+ ∆x)− f (x0)= 0 ,∆x→0тобто [ f (x + ∆x)− f (x )] = 0lim00∆x→0або limx 0∆у= 0.∆ →∆x→x0Рисунок 2.1Розглянемо неперервність основних елементарних функцій:a1) y = x – степенева;x2) y = a – показникові;3) y = logax – логарифмічна;4) y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = arctgx – тригонометричні.Усі вони є функціями неперервними в області визначення.26

2Приклад 2.1. Показати неперервність функції y = x .Розв’язання2 2 22 22( x + ∆x) − x = x + 2x∆x+ ∆x− x = 2x∆x+ ∆x2( ∆x+ ∆x) = 0∆ y =.lim∆у= lim 2x∆x→02.Функція y = x неперервна на всій числовійвісі.∆x→0Приклад 2.2. Показати неперервність функціїРозв’язання∆y= y( x + ∆x) − y( x) = sin( x + ∆x) − sin( x)x + ∆x+ xcos2∆x2x + ∆x= 2sin cos2 2∆x⎛ ∆xlim∆у= lim2sin cos⎜x +∆x→0∆x→02 ⎝ 2при усіх x ∈ R .⎞⎟⎠= 0Визначення 2.3. Функція f ( x)27y = sin x .x + ∆x− x= 2sin ;2∆x⎛ ∆x⎞= 2sin cos⎜x + ⎟.2 ⎝ 2 ⎠. Функція y = sin x неперервнаy = називається неперервною зліва уточці x0, якщо:1) вона визначена в точці x0і у деякому лівому півоколі ( x0− ∆x, x 0)і існує границя:lim fx→x−00( x) = f ( x − 0) = f ( x )2) існує границя приросту функції lim ∆y, яка дорівнює нулю:0x 0→x−0lim ∆y= 0.x 0→x−0Визначення 2.4. Функція f ( x)y = називається неперервною справа уточці x0, якщо:1) вона визначена в точці x0і у деякому правому півоколі,x + x і існує границя:( )x0 0∆limx→x+ 00f( x) = f ( x + 0) = f ( x )2) існує границя приросту функції lim ∆y, яка дорівнює нулю:0x 0→x+ 0lim ∆y= 0 .x 0→x+ 0Точки, у яких порушується хоча б одна з умов неперервності функції,називаються точками розриву, тобто це точки, у яких функція:1) або не визначена;limf x ;2) або не існує границі ( )x→x 000;;

3) або limf ( x) ≠ f ( x )x→x00.Точки розриву ділять на точки першого і другого роду.Визначення 2.5. Точка розриву x0називається точкою розривупершого роду, якщо в цій точці існують обидві скінченні односторонніграниці. Точки розриву першого роду бувають усувного і неусувного розриву.Розрив неусувний, якщо:limf( x) ≠ lim f ( x)( x 0) ≠ f ( x 0)x→x0 + 0x→x0−0f0 0+− ,але в точці x0функція або не існує, або не визначена.Визначення 2.6. Точка x0називається точкою розриву другого роду,якщо в цій точці функція f ( x)не має принаймні однієї з односторонніхграниць, або хоча б одна одностороння границя дорівнює нескінченності.характер.Приклад 2.3. Знайти точки розриву функціїРозв’язанняПри х = 0 функція невизначена. Тому х = 0 – точка розриву.⎧x,якщо x > 0⎪x = ⎨−x,якщо x < 0 .⎪⎩0,якщо x = 0Побудуємо графік функції (рис. 2.2).y =xx, дослідити їхРисунок 2.2 – Графік функції y =xxЛегко бачити:xlim0 0y( x) = 1; lim y( x) 1→ +x 0= − .→ − 0Висновок:х = 0 – точка розриву 1-го роду. Розрив неусувний.28

sin xПриклад 2.4. Знайти точки розриву функції y = , дослідити їхxхарактер.Розв’язанняsin xxlim0 0= 1, тобто f ( 0 − 0) = 1 зліва;→ −xsin xxlim0 0= 1, тобто f ( 0 + 0) = 1 справа;→ +xf ( 0 − 0) = f ( 0 + 0);0f ( 0)= не існує.0У цьому випадку точка х 0 = 0 є точкою усувного розриву. Точках 0 = 0 – точка розриву першого роду (див. рис. 2.3).Рисунок 2.3 – Графік функції⎧sin x⎪ при x ≠ 0f ( x)= ⎨ x,⎪⎩ 1 при x ≠ 0sin xy = .xтобто у точці х 0 = 0 існують значення функції як граничної зліва ісправа.1Приклад 2.5. Знайти точки розриву функції y = , дослідити їхxхарактер.Розв’язанняПобудуємо графік (рис. 2.4).1xlim = +∞→ 0 + 0;x1xlim = −∞→ 0 − 0.x29

Приклад 2.7. Знайти точки розриву функції, дослідити їх характер.Розв’язанняf( x)⎧x⎪= ⎨−x + 1⎪ 2⎩x−1при x < −2при − 2 ≤ x ≤1,при x > 1Розглянемо границі зліва і справа точок х = -2, і х = 1:lim fx→−2−0lim fx→−2+0( x) = lim x = −2x→−2−0( x) = lim ( − x + 1) = 3x→−2+0( 2) = 2 + 1 3f − = ;( 2 − 0) ≠ f ( − 2 0)f − + .Висновок: у точці х = -2 існує розрив першого роду.lim fx→1−0lim fx→ 1+0( x) = lim( − x + 1) = 0x→1−02( x) = lim( x −1) = 0x→ 1+0f ( 1) = 0;( 1 0) = f ( 1+0) = f ( 1 0)f − = .;;;;Висновок: у точці х = 1 функція неперервна.Побудуємо графік (рис. 2.6).Рисунок 2.6 – Графік функції з прикладу 2.7Властивості неперервних у точці функцій:1 Алгебраїчна сума скінченої кількості неперервних функцій єфункція неперервна.31

2 Добуток скінченої кількості неперервних функцій є функція неперервна.3 Частка двох неперервних функцій є функція неперервна, за умови,що знаменник є відмінним від нуля у відповідній точці.4 Якщо функція u = ϕ( x)неперервна в точці х 0 , а функція y = f ( u)неперервна у відповідній точці u0= ϕ( x 0), то складена функція y = f [ ϕ( x)]буде неперервною в точці х 0 .5 Будь-яка елементарна функція є неперервною в будь-якій точціобласті визначення.2.2 Неперервність функції на інтерваліВизначення 2.7. Функція ( x)f називається неперервною на інтервалі( а ;b), якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.Визначення 2.8. Функція називається неперервною на відрізку [ а ;b],якщо вона неперервна в кожній точці цього відрізка і неперервна в точціx = a справа, і в точці x = b зліва.Визначення 2.9. Якщо для усіх x ∈ [ а;b]виконується нерівністьf ( x) < f ( x1),де x 1∈ [ а;b], то f ( x1 ) = M називається найбільшим значеннямфункції на відрізку.Визначення 2.10. Якщо для усіх x ∈ [ а;b]виконується нерівністьf ( x) ≥ f ( x1),де x 1∈ [ а;b], то f ( x1 ) = m називається найменшим значеннямфункції на відрізку.Властивості неперервних на відрізку функцій:1) якщо функція f ( x)неперервна на відрізку [ а ;b], то принаймні водній точці цього відрізка вона приймає найбільше значення М і принаймнів одній точці – найменше значення m (теорема Вейєрштрасса);2) нехай функція f ( x)неперервна на відрізку [ а ;b]і на кінцях цьоговідрізка приймає значення різних знаків, тоді між точками a і b знайдетьсяпринаймні одна точка х = с, у якій функція перетворюється на нуль:f ( с) = 0, при a < с < b (перша теорема Больцано-Коші);3) якщо функція f ( x)неперервна на відрізку [ а ;b]іf ( a) = A,f ( b) = B,і A ≠ B, то для будь-якого числа С, яке знаходиться міжА і В, знайдеться принаймні одна точка c∈ [ a;b]така, що f ( с) = С (другатеорема Больцано-Коші).2.3 Асимптоти кривоїВизначення 2.11. Пряма а називається асимптотою кривої f ( x)y = ,якщо при наближенні точки, яка рухається вздовж кривої, до нескінченностівідстань від точки кривої до цієї прямої наближається до нуля(рис. 2.7).32

Асимптоти діляться на похилі і вертикальні.Рисунок 2.7Визначення 2.12. Пряма х = а називається вертикальною асимпто-y = f x , якщо lim0f ( x) = ±∞тою кривої ( )x → a.±Приклад 2.8. Знайти вертикальну асимптоту функціїРозв'язання1y = .x11Знайдемо limx →= +∞+ 0, lim = −∞−xx → 0.xВисновок: х = 0 – вертикальна асимптота(рис. 2.4).Приклад 2.9. Знайти вертикальну асимптоту функціїРозв'язанняЗнайдемоlimlogx→0ax = −∞ .y = logВисновок: х = 0 – вертикальна асимптота (рис. 2.8)axРисунок 2.8 – Графік функціїy = log x .a33

Приклад 2.10. Знайти вертикальні асимптоти функції2xy =2x −1Розв'язання2Область визначення функції x − 1 > 0 ⇒2x > 1; x > 1, абоx ∈ − ∞;−1∪ 1;+∞ (рис. 2.9).( ) ( )ЗнайдемоРисунок 2.922xxlim = +∞ , lim = +∞x→−1−02x→−1+0 2x −1x −1Висновок: вертикальні асимптоти х = -1 і х = 1.Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді:деky = kx +f ( x)→= 0b lim[ f ( x)− kx] = 0= limx ∞x34b=x → ∞.Якщо хоча б однієї з границь не існує, то крива похилої асимптоти немає.Зауваження. Усі викладені вище міркування справедливі і прих → −∞ . Випадки х → +∞ і х → −∞ варто розглядати окремо.kf ( x)→0 b [ ( ) ]1= lim f x − k1x= 0xx→+∞f ( x)→0 b lim[ f ( x)k x] 2= −2= 0x →−∞lim= 1=x +∞х → −∞ , і правосторон-k = 2lim =x −∞ x(тобто можливі лівостороння асимптота приня асимптота при х → +∞ ).Якщо k = 0 , тоb = lim f ( x),x →±∞тому y = b – рівняння горизонтальної асимптоти. Оскільки це рівнянняє окремим випадком загального рівняння прямої, то можна розрізнятине три, а два види асимптот: вертикальні і невертикальні.Приклад 2.11. Знайти асимптоти кривої3xy =2x − 4x + 3

1 Знаходимо вертикальні асимптоти.Знайдемо точки розриву.x 2 − 4x + 3 = 0= 1; x 3;limx 2x1 2=( x −1)( x − 3)− 4x + 3 =;3x= lim4x + 3( x −1)( x − )x → 1+0 2x→1+0x − 3lim3x= limx→1−0− 4x + 3x( x −1)( x − )x → 1−02x3lim3x= lim4x + 3x( x −1)( x − )x → 3+0 2x→3+0x − 3lim3x= lim− 4x + 3x( x −1)( x − )x → 3−02x→3−0x3Маємо дві вертикальні асимптоти х = 1 і х = 3.2 Знаходимо похилі асимптоти:ky= lim = limx→+∞x→+∞x x3x− 4xx3333= −∞ ;= +∞ ;= −∞ ;= +∞ .1= limx→+∞+ 3х 4 31−+2х х=1 3 2⎛b1= lim⎜x→+∞1x→+∞2⎝ x3x− 4x + 3( y − k x) = lim− x =3 3 22x − x + 4x − 3х 4x − 3х= lim = lim =x → +∞ 2x→+∞2x − 4x + 3 x − 4x + 3ky 1= lim = limx→−∞x→−∞x 4 31−+2х х2 =34 −lim x 4x →= ;4 31−+2x x=+∞1;34 −x4 31−+2x x( y − k x) = lim4b2 = lim2=x→−∞x→−∞Маємо похилу асимптоту у = х + 4.⎞⎟⎠.1;35

у = 0;Приклад 2.12. Знайти асимптоти кривої1y = .x1−e1 х = 0 – вертикальна асимптота, тому що1lim = +∞ ;x→0−0х1−е2 Похилі асимптоти:y 1а) k = lim = limx→+∞x→+∞x 1−ех( )1 =⎛ 1 ⎞b = lim1 ⎜ ⎟x→+∞x→+∞2⎝1−е ⎠1lim = −∞ ;x→0+0 х1−ех0;( y − k x) = lim 01=.Висновок: при х → +∞ графік функції має горизонтальну асимптотуб)ky= lim = limx→−∞x→−∞x1х( 1−е )2 =⎛ 1 ⎞b = lim2 ⎜ ⎟x→−∞x→−∞2⎝1−е ⎠х0 ;( y − k x) = lim 12=Висновок: при х → −∞ графік функції має горизонтальну асимптотуу = 1.Графік функції має дві горизонтальні асимптоти: лівосторонню у = 1і правобічну у = 0..2.4 Завдання для самостійної роботи1 Теоретичні питання необхідно вивчити самостійно з використаннямкурсу лекцій та підручників.1) Дати означення неперервності функції у точці.2) Який розрив називається розривом першого роду?3) Який розрив називається розривом другого роду?4) Яка функція називається неперервною на проміжку?5) Сформулювати властивості функцій, неперервних на відрізку.Самостійно або за допомогою лекцій з’ясувати геометричний зміст цихвластивостей.6) Що називається асимптотою кривої?7) Як знайти вертикальну асимптоту?8) Як знайти невертикальну асимптоту?36

2 Показати неперервність функцій (приклади 2.1, 2.2):3а) y = x ;б) y = cosx.3 Знайти точки розриву функції, дослідити їх характер:x − 3а) y = (див. приклад 2.3);x − 3Відповідь: х = 3;1-го роду, неусувний;tgxб) y = (див. приклад 2.4);xВідповідь: х = 0;1-го роду, усувний;1в) y =x 2(див. приклад 2.5);− 4Відповідь: х = 2; х = −2. 2-го роду;1г) y = (див. приклад 2.6);д)1+e1xВідповідь: х = 0;1-го роду;⎧2x при 0 ≤ x < 1⎪y = ⎨4− 2x при 1≤x ≤ 2,5 (див. приклад 2.7);⎪⎩2x − 7 при x > 2,5Відповідь: х = 2,5;1-го роду.4 Комбіновані задачі на пошук розривів функцій:2 3x − xа) y = ;x −1Відповідь: х = 1;1-го роду, неусувний;3 2x − 6x + 11x − 6б) y = ;2x − 3x + 2Відповідь: х = 2; х = 1; 1-го роду, усувний;x + 1в) y = ;3 2x + 6x + 11x + 6Відповідь: х = −2;х = −3; 2-го роду; х = −1;1-го роду, усувний;1г) y = arctg ;x − 4Відповідь: х = 4;1-го роду;д)2y =211( x−2)−1;( x−2) + 1Відповідь: х = 2;1-го роду;37

2⎧1− x⎪⎨⎪⎩4 − xе) y = ( x −1)2при x < 0при 0 ≤ x ≤ 2;при x > 2Відповідь: х = 0;1-го роду.5 Знайти вертикальні асимптоти графіків функцій:1а) y = ( x − 4)( х + 2)(див. приклади 2.5, 2.8, 2.10);Відповідь: х = 4; х = −2;б) y = lg( 1−x 2 ) (див. приклад 2.9);Відповідь: х = −1;х = 1.6 Знайти асимптоти графіків функцій:2x − 6x + 3а) y = (див. приклад 2.11);x − 3( )xб) y = xe (див. приклад 2.12);в)x2+ 2x−7y = ;x 2 + 2x−3Відповідь: х = 3; у = х − 3;Відповідь:у = 0; при х → −∞ ;Відповідь: х = −3;х = 1; у = 1.7 Знайти асимптоти графіків функцій (комбіновані задачі):3xа) y = ;x − 2xб) y 3ln − 1Відповідь:= ;x−32в) y = (3 - x)e x- ;г)у =+ 3e x ;x + 3х = 2; у = х + 1;при х → ∞;у = −х−1;при х → −∞ .Відповідь: х = 3; х = 0; у = 0 ;Відповідь:у = 0; при х → −∞ ;Відповідь: х = −3;у = 0; при х → −∞ .38

3 ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ І ЗРАЗКИ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬРозділ вищої математики, який розглядається у даному посібнику, асаме «Вступ до математичного аналізу», є складовою частиною курсу вищоїматематики як для студентів технічних напрямів, так і для майбутніхекономістів. Тому можуть бути запропоновані як окремі тести з даного розділу,так і окремі задачі, що входять складовою частиною до агрегатнихтестів окремих модулів. Крім того, у кожному розділі вищої математики єзадачі, які пов’язані з реаліями інших наук. Наприклад, поняття границівикористовується в економіці при вивченні неперервного начислення процентів.3.1 Неперервне начислення процентівНехай початковий вклад у банк склав Q0грошових одиниць під p %річних. Необхідно знайти суму вкладу через t років.⎛ р ⎞Розмір вкладу кожен рік збільшується у ⎜1 + ⎟ разів, тобто через⎝ 100 ⎠рік він буде дорівнюватичерез два рокиQ2⎞⎜⎛ p = Q 1 + ⎟⎝ 100 ⎠Q1 0,⎛ p ⎞= Q0⎜1+ ⎟ і так далі.⎝ 100 ⎠Очевидно, що через t років розмір вкладу становитимеQt⎛ p ⎞= Q0⎜1+ ⎟ .⎝ 100 ⎠Відомо що схеми начислення процентів у банках різняться. Якщопроценти начисляють n разів на рік, тоді за 1 частину року процент зачислюванняскладеnp , розмір вкладу через t років становитимеnQt2tnt⎛ p ⎞= Q0⎜1+ ⎟ .⎝ 100n ⎠Якщо n = 12, то це означає, що зачислювання процентів відбуваєтьсящомісяця, при n = 365 – щодня. Можна уявити, що неперервне зачислюванняпроцентів відбувається при n → ∞ .39

У цьому випадку величина вкладу становитимеntpt⎛ p ⎞=100limQn → ∞0⎜1+ ⎟ Q0e.Qt=⎝ 100n ⎠Приклад 3.1. У банк поклали 5000 гривень на 3 роки під 20 % річних.Знайти, яку суму отримає клієнт у кінці терміну, якщо зачислюваннявідбувається: щороку, щомісяця, неперервно?Розв'язанняДля щорічного зачислювання величина вкладу становитиме:Q⎛ 20 ⎞= 5000⎜1+ ⎟ 8640 ( грн).⎝ 100 ⎠3=Для щомісячного зачислювання величина вкладу становитиме:Q3⋅123=⎛ 20 ⎞= 5000⎜1+ ⎟⎝ 100 ⋅12⎠39065,63( грн)Неперервне зачислювання процентів дасть такий результат:.20⋅3⎛ 20 ⎞100Q = lim5000⎜1⎟ = 5000en→∞+⎝ 100n ⎠t=n39110,594( грн).3.2 Тести трьох рівнів з даного розділуРівень СТест1Обчислити границі:12322x + x + 5limx→∞x2+ 2х − 3sin 2xlim0хx→.⎛lim⎜1x→∞+⎝1x⎟ ⎠⎞3x..x4 Знайти асимптоти і побудувати схематичний графік y = .4x + 240

Тест 2Обчислити границі:12329x + 2x + 3limxx2.→∞+ х − 7tgxlim02хx→.⎛lim⎜1x→∞−⎝1x⎟ ⎠⎞3x.x4 Знайти асимптоти і побудувати схематичний графік y = .6x − 30Рівень ВТест 1Обчислити границі:12323x + x − 2lim .→−1x 1x+( + 3x)ln 1limx→0sin3x⎛ x + 4 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝x ⎠2x..x + 54 Знайти асимптоти і побудувати схематичний графік y = .x + 2Тест 2Обчислити границі:1236xlimx→12sin 2xlimx → 0ln 1+− 9x + 3.x −1( 2x)⎛ x − 2 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝x ⎠3x..x − 34 Знайти асимптоти і побудувати схематичний графік y = .x + 241

Рівень АТест 1Обчислити границі:1233x −1lim2x 2.x→1− x −1x5 −1limx →0ln 1+( x)⎛ x −1⎞lim⎜⎟x→∞⎝x + 1⎠.3x−6.4 Знайти асимптоти і побудувати схематичний графікТест 2Обчислити границі:1233 2x + 4x + 5x + 2lim .x →−12x + 2x + 1( + sin 2x)ln 1limx→0sin3x⎛ 8x + 4 − xlim⎜x→∞2⎝ 1−x2⎟⎠⎞.x.2 3x + x − 5x + 15=.2x − 4x + 2y24 Знайти асимптоти і побудувати схематичний графік2− 2x − 7x + 6=.2x + 7xy23.3 Завдання, що входять до агрегатних тестів окремих модулівЗ тестів для студентів економічних спеціальностей. Модуль: Аналітичнагеометрія та границі.x⎛ x − 3⎞1) Знайти границю lim⎜⎟ .x→∞⎝x ⎠x − 32) Знайти асимптоти і побудувати схематичний графік y = .x + 223x + x − 23) Знайти границю lim .x →−1x + 142

4) Знайти границю5) Знайти границю6) Знайти границюtgxlimx → 0ln 1+( 2x)23x − 6x + 4lim .x→∞22x − 73limx→0.1+x −1.sin xЗ тестів для студентів технічних спеціальностей. Модуль: Математичнийаналіз функції однієї змінної.arcsin4x1) Знайти границю limx→0.tg3x2) Знайти асимптоти графіка функції2x + 1y = і схематично по-x + 1будувати цей графік.3) Знайти границю lim( x 10x x)2+ −x→∞⎛ 1 1 ⎞4)Знайти границю lim⎜− ⎟.x→0x⎝ x e −1⎠⎛ 1 ⎞5) Знайти границю lim⎜1⎟ .x→∞+⎝ x ⎠6) Знайти границю2x1−cos5xlim .x→0xsin x⎛ 1 1 ⎞7) Знайти границю за допомогою правила Лопіталя limx 1⎜ − ⎟.→⎝ x −1ln x ⎠25x + 3x + 18) Знайти границю lim .x →∞ 2x + 6x9) Знайти границю22x − 4x + 2limx 1x2.→+ 2x − 310) Дослідити на неперервність функцію f ( x)2⎧x+ 1,x ≥1;= ⎨. По-⎩ x + 1,x < 0.будувати графік..43

4 ІНДИВІДУАЛЬНІ ДОМАШНІ ЗАВДАННЯЗадача 1. Обчислити границі заданих функцій.33x − 3x + 11.1 lim; 1.2x→∞2 34 + 2x − 4x4 22x − x + 4limx →∞ 4 27x + 4x + 1;1.31.51.733x + 5x − 3limx3x2; 1.4→∞− 7х + 132x − 3x + 6lim ; 1.6x →∞ 3 27x − 5x + 93 23x − 4x + 2limxx4; 1.8→∞+ 56x −125 22x − 3x + 5limx→∞33x −132x − 5x + 7lim ;x→∞5 23x + 3x −15 35x − 3x + xlim ;x →∞ 5 23x + 4x + 1;1.944x − 5x + 5limx7x4; 1.10→∞+ 2x − 925x − 9x + 5limx6x2;→∞+ 5x − 21.11237x + 2x + 54x − 2х + 8limx→∞6x3; 1.12 lim2 3− 5x − 2x →∞2 + x + x + 8x;1.1325x − 3x + 6limx3x2; 1.14→∞+ + 4x + 105 37x − 3x + 2limx →∞ 52x + 4;3 235x + 3х − 7x1−x + 3х1.15 lim; 1.16 limx→∞32 32х −1−5xx →∞1+х − х + 3x;1.171.191.211.231.2523x − 8x + 12limхx2; 1.18→∞+ x + 4722x + 9x −12limx3x2; 1.20→∞− 5x + 2532x + х − 5lim ;x →∞ 3 27x + 7x + 41.223 2x + x − 5x + 3lim ;x →∞ 3 2x − x − 2x + 11.244x − 2x + 17lim ;x→∞3 24x − 4x −171.262x − 2x − 8limхx3;→∞+ 10x − 2424x − 2x − 8limx9x3;→∞+ 2x − 23 25x + 4x + 5x + 1limx →∞ 33x − 3x + 23 2x + 4x + х − 5limx →∞ 32x − 3x + 215 2lim x − 3x − х + 1x →∞ 5 24x − x + x3+ 3;.;44

Задача 2. Обчислити границі заданих функцій:2.12.32.52.72.92.112.132.152.172x − 8x + 7limx 1x2; 2.2→− 4x + 32x − 2x − 3limx 3x2; 2.4→− 5x + 63 23x + 5x − 2lim25x2; 2.6→−+ 12x 4x+2x − 2x + 1limx 12x2; 2.8→+ x − 32x + x −12limx 32x2; 2.10→− 3x − 923x + x −10lim25x2; 2.12→−+ 12x 4x+216x −13x− 3lim ;x→122x + 3x − 52.142x − 7x + 10limx 2x2;→− 8x + 122.162x − 2x + 1lim ; 2.18x→13x − x2x + x − 2limx 12x 2;→− 4x + 22x + 3x −10limx→23х2− 5х − 23 2x + 3x + 2xlim→−22x − x − 6x2x + 3x − 4limx 12x 2;→− x −12x − x − 6limx 32x2;→− x −1523x + 2x − 8lim→−2x2− x − 6x2x + 2x − 3limx →12x2− 3x + 12х + х + 2lim→−2x2+ 3x 2x+22х − 4х + 1lim4x21 − 2x + 1x→2;;;;;;2.192.212.232.2525x − 24x − 5limx 5x2;→− 6х + 52.202x + 3x −10limx 23x2;→− 5x − 22.222x − 6x + 8limx 4x2; 2.24→− 5x + 422x + 5x − 3lim3x2; 2.26→−− 2х − 3x22х − 9х + 10limx 2x2;→− 5х + 622х − 3х − 2lim ;x→22x − 2х22x + 3х − 9lim3x2;→−− 2x −15x216x −13x− 3limx→122x + 3x − 5.Задача 3. Обчислити границі заданих функцій:4 2 4 23.1 lim( x + x − x − x )x→ ∞; 3.24limx → ∞ 22x + 6x − x + 5x223.3 lim( x + 11x − x − 3x ); 3.4 lim( x + 1 − x )x→∞x →∞;;45

2223.5 ( x + 1 − х); 3.6 lim( x + 11x − x − 3x )limx→∞x→ ∞223.7 lim( x + 3x − x − 2x ); 3.8 lim( 2x + 1 − 2x −1)x→ ∞x→ ∞22223.9 lim( x + 2x − x − 3x ); 3.10 lim( x + 3 − x + 9)x→ ∞x→ ∞2223.11 lim( х − x − 2x + 5); 3.12 lim( x − 3x − 2 − x + 3x −1)x→ ∞x→ ∞22223.13 lim( x − 2x −1− x − 7x + 3); 3.14 lim( x − 5x − x − 3x )x→ ∞23.15 limx → ∞ 22x + 3x − x + 2x9x + 33.17 limx→ ∞ 33 2x + x − x + x2 324x + 9x − 4x − 3x3.19 limx → ∞x x + 7x→ ∞22; 3.16 lim( x + 6x − x − 8x )x→ ∞22; 3.18 lim( x + 7x − x − 3x + 1)x→ ∞2; 3.20 lim( x + 10x − x)x→ ∞;;;;;;;;3.213limx→ ∞x 2+ x; 3.22− xlimx→ ∞x22+ 5 −x2− 7x;3.23limx42+ x −xx → ∞+x14− 8x3; 3.24limx→ ∞x45x+ 2x3− x3.25 lim( 3x + 4 − 3x + 1); 3.26 lim( 3x + 5 − 3x − 2)x→ ∞x→ ∞Задача 4. Обчислити границі заданих функцій:⎛ 1 2 ⎞⎛ 1 1 ⎞4.1 lim ⎜ − ⎟ ; 4.2 lim⎜− ⎟ ;x→ 12⎝1−х 1−х ⎠x→0⎝ sin x tgx ⎠⎛ 1 6 ⎞⎛ 3 2 ⎞4.3 lim⎜− ⎟ ; 4.4 lim ⎜ − ⎟ ;x→ 32⎝ х − 3 х − 9 ⎠x→ 1 32⎝1−х 1−х ⎠⎛ 1 4 ⎞⎛ 1 3 ⎞4.5 lim⎜− ⎟; 4.6 lim ⎜ − ⎟ ;x→ 22⎝ х − 2 х − 4 ⎠x→ 13⎝1−х 1−х ⎠⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 ⎞4.7 lim⎜− ⎟→⎝ х 2; 4.8 lim⎜− tgx⎟ ;x 2− 4 х − 2 ⎠πx→⎝ cos x ⎠22;.46

3⎛ 1 ⎞⎛ х ⎞4.9 limx⎜ − ctgx⎟ → 0; 4.10 lim⎜− x ⎟⎝ sin x ⎠→ ∞⎝ х 2;x+ 1 ⎠322⎛ х х ⎞⎛ х ⎞4.11 lim⎜− ⎟x → ∞ 2⎝ 2х −12х + 1 ; 4.12 lim⎜− x⎟;⎠x→ ∞⎝ х −1⎠3232⎛ х х −1⎞⎛ х х ⎞4.13 lim⎜− ⎟x → ∞⎝ 2х + 3 2 ; 4.14 lim⎜− ⎟⎠ → ∞ 2⎝ 3х −13х + 1 ;x⎠⎛ 1 1 ⎞⎛ 4 1 ⎞4.15 lim⎜− ⎟; 4.16 lim⎜− ⎟x→0⎝ sin 2x tg2x⎠→⎝ х 2;x 2− 4 х − 2 ⎠⎛ 1 ⎞⎛ 3 1 ⎞4.17 limx⎜ − ctg2x ⎟→ 0; 4.18 lim⎜− ⎟ ;⎝ sin 2x ⎠x→1 3⎝1−х 1−х ⎠2⎛ х ⎞⎛ 1 ⎞4.19 lim⎜x − ⎟; 4.20 lim⎜− tg2x ⎟ ;x→ ∞⎝ х −1⎠πx→⎝ cos2x ⎠⎛ 8 1 ⎞⎛ 10 1 ⎞4.21 lim⎜− ⎟→⎝ х 2; 4.22 lim⎜− ⎟x 4−16х − 4 ⎠x→ 5⎝х 2− 25 х − 5 ⎠23⎛ 6 1 ⎞⎛ х х ⎞4.23 lim⎜− ⎟x→ 3⎝х 2; 4.24 lim⎜− ⎟− 9 х − 3 ⎠ → ∞2⎝ 2х + 1 2х − 1 ;x⎠2323⎛ х −1х ⎞⎛ х х ⎞4.25 lim⎜− ⎟x → ∞⎝ 2 2х + 3 ; 4.26 lim⎜− ⎟⎠ → ∞2⎝ 3х + 1 3х − 1 .x⎠Задача 5. Обчислити границі заданих функцій:45.12sin 5xlim ; 5.2x→0cosx −1tgx − sin xlim x → 0x 3;sin3x5.3 limx→02x − x; 5.4 lim arcsin5xx→02x + 2x;5.55.7arctg(3xlimx→04x2− x); 5.6cos4x −1lim ; 5.8x → 0xsin3xlim 3xx→0sin(3x2 − x)sin 4x + sin 2xlim x → 05x;;5.925xlim: 5.10x→01−cos3xlim x → 0sin5xx + 1 − 1;47

5.112sin 8xlim; 5.12x→0cos2x −1lim x → 01+tgx − 1−tgxsin x;1+xsin x5.13 lim x → 02x−1; 5.14tgx − sin xlim x → 0x +( 1 cos2x);5.155.175.195.215.235.251−cos6xlim ; 5.16x → 01−cos2x3limx→0ln 12х−1( − 3x)( − sin3x)ln 1lim x → 0tg5xlimx→0; 5.18; 5.202х5 −1; 5.221−cos3x( − хsin3x)ln 1limx→02х( е −1)tgx; 5.242arctg(3x − x)lim; 5.26x→04sin x1−cos4xlim2x→03хе −1( sin3x)ln 1+lim x → 09 + x − 3sin 2xlim→ 03 − 2xx+;9tgx − sin xlim x → 0sin3x ⋅;;( 1−cosx)( 2x)lnlimx→02sin(3x − 5x)2sin 2xlimx→0cos5x −1.;;Задача 6. Обчислити границі заданих функцій:6.1⎛ x + 3 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝x − 2 ⎠x−2; 6.2⎛ x ⎞lim⎜⎟x→∞⎝2 + x ⎠5x;6.3⎛ x + 3 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝x + 7 ⎠2x+1x+2xlim x 5 +; 6.4 ( ) 4x→−4+ ;6.56.7⎛ 2x + 1⎞lim⎜⎟x→1⎝ x + 2 ⎠xx+7x−1; 6.6⎛ x ⎞lim⎜⎟ ; 6.8x→∞⎝1+x ⎠⎛ x − 3 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝x − 5 ⎠5x−4⎛ 6x ⎞lim⎜⎟x→∞⎝1+6x ⎠3x;;6.96.11⎛ x −1⎞lim⎜⎟x→∞⎝x + 6 ⎠7 x⎛ 2x −1⎞lim⎜⎟x→∞⎝2x + 1⎠; 6.102x; 6.12⎛ x + 8 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝x + 4 ⎠7x⎛ 3x − 2 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝3x + 1 ⎠;9x;48

6.13⎛ 5 − x ⎞lim⎜⎟x→∞⎝1−x ⎠6x−1; 6.14⎛ x − 3 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝x + 2 ⎠3x;⎛ 4x − 7 ⎞6.15lim⎜⎟x→2⎝3x − 5 ⎠2x−2; 6.16⎛ 2x − 2 ⎞lim⎜⎟x→0⎝x − 2 ⎠5x;6.176.196.216.236.25⎛ x −13⎞lim⎜⎟x→ ∞⎝x − 5 ⎠⎛ xlim⎜⎝2+ 1⎞⎟⎠x→ −1x + 3⎛ x + 9 ⎞lim⎜⎟x→∞⎝x + 1 ⎠⎛ 2lim⎜x→∞⎝3++x ⎞⎟x ⎠⎛ x −1⎞lim⎜⎟x→ ∞⎝x − 5 ⎠6х3x+12x+36x+14х+2; 6.18; 6.20; 6.22; 6.24; 6.26⎛ 2x + 1⎞lim⎜⎟x→1⎝x + 2 ⎠⎛ 2lim⎜x→∞⎝3++x ⎞⎟x ⎠7x−1;x−65x⎛ 9x ⎞lim⎜⎟x→∞⎝1+9x ⎠⎛ x ⎞lim⎜⎟x→∞⎝2 + x ⎠⎛ 4 + x ⎞lim⎜⎟x→0⎝4 − 3x ⎠5х;;;12x + x.Задача 7. Дослідити функцію на неперервність, побудувати схематичнийграфік в околі точок розриву:1x−37.1 y = 4 ; 7.27.3 y lg( 3x − 2)= ; 7.47.5 y =11; 7.6x−11+3y =11;x−31−4y =11;x−11−21y = arctg ;x − 27.77.91x−3⎛ 1 ⎞y = ⎜ ⎟ ; 7.8⎝ 2 ⎠1x−11−3y =1;x−11+32x + 1y = arctg ; 7.10 y =1;x −1x−12 − 27.111x⎛ 1 ⎞y = ⎜ ⎟ ; 7.12⎝ 4 ⎠x + 2y = arctgx 2;− x49

x7.13 y = 2x − 5x + 6; 7.1447.15 y = arctg ; 7.16x − 37.17 y =11; 7.18x1+27.19 y lg( x + 2)= ; 7.203y =31x−11x−1−1;+ 1xy = 2x − x − 6;2 3x − хy = ;х −1x −1y = x + ;х −12 x −17.21 y2x 3 − x= ; 7.22 y lg( 3x + 2)1x−17.23 y = 2 ; 7.247.25x −1y =1; 7.26x2 + 1= ;1x2y =1−1;x2 + 1y 2 x + 1=x 2 + .xЗадача 8. Знайти асимптоти функцій, побудувати схематичний графік:8.18.38.58.73x − 3x + 10= ; 8.22x + 4x + 2y22 36x − x − 2x − 9= ; 8.42x − 4x + 2y23 2x −13x+ 51x − 51= ; 8.62x −12x+ 18y23 2x + x − 5x + 15= ; 8.82x − 4x + 2y24 − x= ;2x −15x+ 22y222x −15x+ 22= ;4x − 26x + 30y226x + 39x + 33= ;4x + 26x + 30y2230x − 4x − 38= ;2x −15x+ 22y28.922x + 12x + 12= ; 8.102x + 13x + 15y22 39 − 26x + 10x − x= ;2x −12x+ 18y28.118.132 315 − 27x + 9x − x= ; 8.122x −12x+ 18y222x − 3x − 5= ; 8.144x − 2x −12y2503 24x − x − 2x − 4= ;2x + 8x + 8y226 − 7x − 2x= ;2x + 7xy2

8.158.178.198.218.238.2522x + 13x + 14= −; 8.164x + 22x + 18y23 2x − 6x + 5x + 12= ; 8.182x − 8x + 8y2x + 2= −; 8.202x + 9x + 4y222x + 6x − 2= ; 8.222x + 5x − 3y23 2x + 5x + 2= −; 8.242x + 4x + 2y23 2x − 7x + 4x + 8= ; 8.262x − 4x + 2y224x + 18x + 2= ;2x + 9x + 4y226x + 15x + 3= ;4x + 10x − 6y232x −10x+ 28x −12= ;2x − 8x + 8y2218 + 2x − 4x= ;2x − x − 6y2212 − x − 2x= ;2x + x − 6y23= x4x −16x+ 16.y251

5 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИПідручники та посібники для вивчення теорії1 Дубовик В. П. Вища математика : навч. посібник / В. П. Дубовик,І. І. Юрик. – К. : Вища школа, 1993. – 648 с. – ISBN 5-11-004038-9.2 Пак В. В. Вища математика : підручник / В. В. Пак, Ю. Л. Носенко.– К. : Либідь, 1996. – 440 с. - ISBN 5-325-00712-2.3 Шкіль М. І. Вища математика : підручник. У 3 кн. Кн. 2: Диференціальнета інтегральне числення функцій однієї змінної. Ряди. /М. І. Шкіль, Т. В. Колесник, В. М. Котлова. – К. : Либідь, 1994. – 352 с. –ISBN 5-325-00495-6.4 Бугір М. К. Математика для економістів : навчальний посібник. –Тернопіль : підручники і посібники, 1998. – 192 с. – ISBN 966-562-125-4.Посібники для опанування практичними навичками1 Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическомуанализу / Г. И. Запорожец. – М. : Высшая школа, 1966. – 460 с.2 Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учебноепособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов. – М. : Высшая школа,1974. – Ч. 1. – 416 с.3 Зимина О. В. Высшая математика (Решебник) / О. В. Зимина,А. И. Кириллов, Т. А. Сальникова. – М. : Физико-математическая література,2001. – 368 с. – ISBN 5-9221-0126-9.4 Сборник индивидуальных заданий по высшей математике : учебноепособие. В 3-х частях / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец,И. Е. Юруть. – Мн. : Вышэйшая школа, 1991. – Ч. 2. – 288 с.52

ДОДАТОК АПОНЯТТЯ ІНТЕРВАЛУ, ПІВІНТЕРВАЛУ, ВІДРІЗКУПроміжком або інтервалом називається множина усіх чисел х, що розташованіміж даними числами а і b ( a < b ), при цьому самі числа а і b неналежать до цієї множини чисел; інтервал позначають так: ( a , b) або за допомогоюнерівностей: a < x < b.Відрізком або сегментом називається множина усіх чисел х , що розташованіміж двома даними числами а і b, причому обидва числа а і b належатьдо розглянутої сукупності; його позначають так: [ a ; b] або за допомогоюнерівностей: a ≤ x ≤ b.Іноді відрізок називається замкненим інтервалом. Якщо одне з чисела або b, наприклад a, приєднується до інтервалу, а інше – ні, то ми маємосправу з напівзамкненим інтервалом. Він задається нерівностями a ≤ x < bі позначається [ a ; b). Тобто а належить, а b не належить до інтервалу. Якщож a < x ≤ b, тобто число а не належить, b належить до інтервалу, це позначаєтьсятак: ( a ; b ].Розглянуті проміжки є скінченними.Якщо точка інтервалу необмежено віддаляється від початку числовоївісі вліво чи вправо, такі проміжки називають нескінченними.Приклади нескінченних проміжків;( −∞ ;а), ( − ∞ ; +∞) , [ с;+∞).Символи − ∞ і + ∞ в цих проміжках не треба розглядати як числа,це символічне позначення необмеженого віддалення точок числової осі відїї початку вліво чи вправо. Арифметичні операції над цими символами неприпустимі.Околом даної точки х 0 називається довільний інтервал ( a ; b ), що міститьцю точку усередині себе, тобто a < x0< b. Часто розглядається окіл( a ; b ) точки х 0 , для якої х 0 є серединою. Тоді х 0 називається центром околу,величина ( b − a)/ 2 називається радіусом околу. Цей окіл називають малим,якщо радіус є досить малим. Як правило, такий окіл називаютьε-околом x − ε;x + ) точки х 0 з радіусом ε.(0 0ε53

ДОДАТОК БФУНКЦІЇБ.1 Поняття функціїВизначення Б.1. Якщо кожному значенню змінної х, що належитьдеякій області, відповідає єдине значення іншої змінної у, то у є функціявід х або, у символічному записі: у = f (x), у = ϕ (x) і т. п.Змінна х називається незалежною змінною або аргументом. Змінна уназивається залежною змінною або функцією. Під символом f (або ϕ) розуміютьте правило, за яким кожному х відповідає у, або ті операції, якітреба виконати над аргументом, щоб дістати відповідне значення функції.Визначення Б.2. Сукупність значень х, для яких визначаються значенняфункції «у» називається областю визначення функції (або областюіснування функції).Визначення Б.3. Сукупність значень у називається областю значеньфункції.У ширшому розумінні поняття функції вживають як синонім поняттявідображення множини значень х на множину значень у.У курсі математичного аналізу розглядають функції, для яких областьвизначення і множина значень складаються з дійсних чисел.Б.2 Основні елементарні функціїI. Степенева функція: у = х α , де α – дійсне число.II. Показникова функція: у = а х , де а – додатне число, яке не дорівнюєодиниці.III. Логарифмічна функція: у = log a х , де основа логарифма а > 0 –додатне число, яке не дорівнює одиниці.IV. Тригонометричні функції:y = sin x, y = cosx, y = tgx,y = ctgx, y = secx, y = cosecx,V. Обернені тригонометричні функції:y = arcsin x, y = arccosx, y = arctgx,y = arcctgx, y = arcsecx, y = arccosecx,Основні елементарні функції, а також функції, утворені за допомогоюформул, в яких над основними елементарними функціями виконується54

лише скінченна кількість арифметичних операцій і суперпозицій, називаютьсяелементарними.Так функціяxx −1y = arcsin( 2 ) +ln( x + 3)є елементарною.Парні функції: y ( − x) = y(x).Непарні функції: y(− x) = −y(−x).Функція y = f (x), визначена на всій числовій прямій, називається періодичною,якщо існує таке число Т, що f ( x + T) = f ( x). Число Т називаєтьсяперіодом функції. Тригонометричні функції є періодичними.Монотонна функція – функція, яка або тільки спадає, або тільки зростаєна деякому інтервалі. Якщо функція не є монотонною в усій своїй областівизначення, але цю область можна розбити на деяку кількість проміжків,на кожному з яких функція монотонна, то такі проміжки називаютьсяпроміжками монотонності функції.2Функції можуть бути обмеженими і необмеженими. Функція y = xнеобмежена. Область її існування: y ∈ [0; +∞).Функція y = sin(x)обмежена. Область її існування: y∈ [ −1;1].Якщо у формулі y = f (x)в правій частині виконуються операції знецілими показниками степеня, то функція у від х називається ірраціональною.22x + xПриклади ірраціональних функцій: y = ; y = x і т. п.21+5xЦіла раціональна або функція многочлен (поліном):−y = aK + .n n 10x+ a1x+ anМногочлен першого степеня називається лінійною функцією, а другого– квадратичною.Дробова раціональна функція є відношенням двох многочленів:yax+ a xn n−10 1=m m−1b0x+ b1x55+ K+a+ K+bАлгебраїчні функції – це цілі раціональні, дробові раціональні та ірраціональніфункції.Функція, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною.xПриклади трансцендентних функцій: y = cos x, y = 10 , KРозглянемо способи задавання функцій.1 Аналітичний спосіб задавання функції:Функцію задають аналітичним виразом. Наприклад:nm.

4y = x − 2, y = lg x − sin x ...Аналітичний вираз – це символічне позначення сукупності відомихматематичних операцій, що виконуються у визначеній послідовності надчислами і буквами, які позначають постійні чи змінні величини.Якщо функція задана рівнянням y = f (x), записаним відносно змінноїу, то кажуть, що функція задана у явному вигляді.Під неявним задаванням функції розуміють задавання функції у виглядіF ( x, y) = 0, не розв’язаної відносно у.Приклад неявно заданої функції:xy − tg + sin y = 0.yТерміни «явно задана функція» і «неявно задана функція» характеризуютьне природу функції, а аналітичний спосіб її задавання.Одним із способів аналітичного задавання функції є параметричнезадавання функції.Нехай дані два рівняння:x = ϕ(t),y = ψ(t), (Б.1)де t приймає значення, що містяться на відрізку [ t1;t2]. Кожному значеннюt відповідають значення х і у. Якщо розглядати значення х і у як координатиточки на площині Оху, то кожному значенню t буде відповідативизначена точка площини. Коли t змінюється від t 1до t2, ця точка на площиніописує деяку криву. Рівняння (Б.1) називають параметричними рівняннямицієї кривої, t називається параметром, а спосіб задавання кривоїрівняннями (Б.1) називається параметричним.Якщо функція x = ϕ(t)має обернену t = Ф(x), тоді у є функцією від х:y = ψ[ Ф(х) ]. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектрисипершого і третього координатних кутів.2 Табличний спосіб задавання функції полягає у тому, що відповідністьміж змінними х і у задають у вигляді таблиці (таблиця Б.1).Табличний спосіб задавання функції часто використовується припроведенні експериментів.Таблиця Б.1х х1х2 … хnуу1у2 … уn3 Графічний спосіб завдання функції (рис. Б.1) полягає у тому, щовідповідність між змінними х і у задають у вигляді графіка.56

Рисунок Б.1 – Приклад графічного способу задавання функціїЯкщо в прямокутній системі координат на площині маємо деяку сукупністьточок М (х; у), при цьому ніякі дві точки не лежать на одній прямій,паралельній осі Оу, то ця сукупність точок визначає деяку однозначнуфункцію y = f (x); значеннями аргументу є абсциси точок, значеннями функції– відповідні ординати.Якщо функція задана аналітично, то для неї завжди можна побудуватитаблицю або графік. Наприклад, загальновідомі таблиці логарифмів,таблиці тригонометричних функцій тощо. Перехід від графічного або табличногозадавання функції до аналітичного складає достатньо важливу іцікаву проблему, розв’язання якої є окремою математичною дисципліною.4 У вигляді програми для комп’ютера або програмованого калькулятора.Цим способом задають такі функції, які є розв’язками складних математичнихзадач.57

Навчальне виданняПАЛАМАРЧУК Віктор Олександрович,СТЕПАНОВ Аркадій ІвановичВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУНавчальний посібникРедакторКомп’ютерна версткаЯ. О. БершацькаО. П. Ордіна119/2009. Підп. до друку . Формат 60 х 84/16.Папір офсетний. Ум. друк. арк. Обл.-вид. арк.Тираж прим. Зам. №Донбаська державна машинобудівна академія84313, м. Краматорськ, вул. Шкадінова, 72.Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справидо Державного реєструсерія ДК №1633 від 24.12.03.58