Практична частина - Uuooidata.org

Практична частинаМодуль 6. Границя і неперервність функції1. Контрольні запитання1. Що звуть границею функції в точці за Гейне і за Коші? Як пов’язані ці означення?2. Чи може границя функції бути нескінченною або не існувати? Подайте приклади.3. Сформулюйте необхідну і достатню умову існування скінченної границі функції.4. Сформулюйте властивості функцій, що мають скінченну границю.5. Подайте означення однобічних границь функції. Який зв’язок має скінченнаграниця функції в точці з однобічними границями в цій точці?6. Подайте 7 типів невизначеностей.7. Сформулюйте правило розкриття невизначеності у разі дробовораціональноїфункції.8. Що звуть асимптотою кривої? Які типи асимптот існують?9. Яку функцію звуть неперервною функцією в точці?10. Що звуть приростом аргументу функції, а що приростом функції в точці x 0 ?11. Сформулюйте означення неперервності функції в точці «мовою приростів».2. Навчальні задачіНавчальназадача 6.1.Виходячи з означення границі функції в точці за Кошідовести, що:1) lim(4x 1) 9;x212) lim 0;x x 213) lim .x 2x 21) Візьмімо 0 і знайдімо таке ( ), що для всіх x , які справджуютьнерівність x 2 , виконано нерівністьОтже,Якщо , то4lim(4x 1) 9.x 2(4x 1) 9 ; x 2 .4x 2 (4x 1) 9 .42) За означенням1 1lim 0 1 0 1 0 x : x 1 0 1.x x 2 x 2

Модуль 6. Границя і неперервність функціїВізьмімо довільне 1 0, тоді1Якщо 1 2, коли11 1 1 1; x 2 ; x 2.x 2 11 2 0,1 1або 1 0, коли11 2 0,тоа, отже,x1lim 0 x 21x 1 1,x 2 (рис. 6.11).yU ( ) 22U ( 2) 2U 1 (0)OU ( )1xU ( ) 2x23) За означеннямРис. 6.111 1lim 2 0 2 0 x: 0 x 2 2 2.x 2 x 2Візьмімо довільне 2 0, тоді1Якщо , то для всіх x :221 1 1 2 x 2 .x 2 x 20 x 2 2 1x 2 2.1Отже, lim (див. рис. 6.11).x 2x 2Навчальназадача 6.2.Знайти:2x 11) lim02;x2x x 13)x12x 1lim2;2x x 122)4)1x 22x 1lim2;2x x 12x 1lim2. 2x x 1x

Модуль 6. Границя і неперервність функціїСпособи відшукання границі функції в точці залежать як від самої функції,так і від точки, до якої прямує аргумент функції.1) Функція є відношенням двох многочленів. Оскільки знаменник не прямуєдо нуля, коли x 0, то до обчислення цієї границі застосовна теорема6.1:2x 1 0 1lim 1.2 2x02x x 1 2 0 0 12) Знаменник дробу прямує до нуля, колине прямує — це «визначена» ситуація:23x 1 lim42 .2x x 101x 21x , а чисельник до нуля23) Маємо невизначеність 0 — чисельник і знаменник раціонального дробу0прямують до нуля — щоб знайти границю, треба перетворити вираз під знакомграниці:2x 1 0 ( x 1)( x 1) x 1 2lim12 lim lim 2 1 0 1 1 122 1 3 1 x x x x x x 2 xx 4) Оскільки найвищі степені чисельника і знаменника рівні, то границя відношеннямногочленів, коли аргумент прямує до нескінченності, дорівнюєвідношенню старших коефіцієнтів чисельника і знаменника (п. 6.3.2):2x 1 1lim2 .x2x x 1 2Справді,12 1 x 1 2 1lim lim x . x 22x x 1 x1 1 22 x 2xНавчальна Знайти:4 32задача 6.3.1) lim x x03 22;x 3x 22) limx 2;x xx22x x 63 22x 3x 9x 2x 5x 63) lim23; 4) limx2;x x 6x3( x 3) ( x 1)5)7)x 1lim ;2( x 1)x13x 1 1lim ;xx08)x 16)nx42x 16lim ;x 5 3x 1lim m ( n, m ).x 1

Модуль 6. Границя і неперервність функціїБезпосередньо теорему про границю частки застосувати не можна, оскількиграниця чисельника і знаменника дорівнює нулеві — маємо невизначеністьвигляду 0 . Розкриймо її, розклавши чисельник і знаменник на множники.04 3 3x x 0 x ( x 1) x 11) lim lim lim x 0.x 0 3 2 0 0 2x 2 x x x ( x 2) x 0x 22x 3x 2 0 ( x 2)( x 1) x 1 12) lim lim lim .x 2 2 0 2 2( 2)(3) 2 2(32x x 6 x x x x x ) 72 23 2 2x 3x 9x 2 0 ( x 2)( x 5x 1)3) lim limx2 3 0 22x x 6 x( x 2)( x 2x 3)2x 5x 1 15 lim .x22x 2x 3 112x 5x 6 0 ( x 3)( x 2)4) lim limx3 2 0 3 2( x 3) ( x 1) x( x 3) ( x 1)x 2 1 lim .x 3( x 3)( x 1) 0 x 1 0 ( x 1)( x 1) x 15) lim lim lim .x 1 2 0 1 2( x 1) x ( x 1) x 1x 12 2x 16 0 ( x 16)( x 5 3)6) lim limx4 x 5 3 0 x4 x 5 3 x 5 3 ( x 4)( x 4)( x 5 3) lim lim( x 4)( x 5 3) 48.x 4 x 4x 43 3 3 2x 1 1 0 x 1 1 ( x 1) 3 x 1 17) lim limx0 x 0 x03 2x ( x 1) 3x 1 1( x 1) 1x lim limx0 3 3 3 2 x03x ( x 1) x 1 1 x ( x 1) 2 x 1 11 1 lim .x03 2 3( x 1) x 1 1 3nx 1 0 8) lim m x1x 1 0 nx 12 n11 1 ...lim x x x x n m lim1 12 1.xx 1 xm 1 x x ... x mx 1Навчальна Знайти:

Модуль 6. Границя і неперервність функціїзадача 6.4.2x 2x 53x 61) lim3;2) limx 2;x x 1x5 4x32x 14x x3) lim2;4) lim .x x 2x4 8x 5x 32x 2x 5 1) lim 0 (степінь многочлена знаменника вищийx 3x x 1 за степінь многочлена чисельника).23x 6 32) limx2 5 4x (степінь многочлена чисельника дорівнює 4степеню многочлена знаменника — границя дорівнює відношенню старшихкоефіцієнтів многочленів).3x 1 3) limx 2 x 2 (степінь многочлена чисельника вищий за степіньмногочлена знаменника).4)24x x 4 lim lim 4 x4 8 x45 3x 5x 3 1 x7 x81x(найвищі степенічисельника і знаменника дорівнюють 2 з урахуванням показника кореня). Навчальназадача 6.5.Знайти:lim 3x 9x 2 3x 1 ;1) x2) x x 2 x lim 3 9 3 1 ;x1 33) 2 lim . 2 2x2x x x1) lim 3x 9x 2 3x 1 [ ]x2 2 3x 9x 3x 1 3x 9x 3x 1 limx2 223x 9x 3x 19x 9x 3x 1 (3x 1) lim limx2 23x 9x 3x 1 x 3x 9x 3x 11x3 1x 2x 3 3 1 lim .x3 9 3 3 22) x x 2 x lim 3 9 3 1 [ ] .x1 3 ( x 1) 3lim [ ] limx 2 x x 2( x 2)( x 1)3) 2 x2 x2x 2 1 1 lim lim . x2 ( x 2)( x 1) x2x 1 32

Модуль 6. Границя і неперервність функціїНавчальна Знайти а) f ( x0 0); б) f ( x0 0) :задача 6.6.x 11) f ( x) x 1( x 1), x0 1;22) f ( x) , x0x 2 2;x 1, x 2,3) f ( x) 2x 2, x 2,x0 2.x 1 x 11) lim lim 1;x 10 x 1 x 10( x 1)x 1 x 1lim lim 1.x10 x 1 x 10x 122) lim ;x20x 22lim .x20x 23) lim f ( x) lim ( x 1) 3;Навчальназадача 6.7.x20 x20lim f ( x) lim ( 2x 2) 2.x 20 x 20Знайти:x 11) lim 2 ;x13) lim ;x 35) lim arctg x;xxx 12) lim 2 ;x 14) lim ;x 36) lim arcctg x.xЗначення границь випливають з означень відповідних функцій.x11) lim 2 .xx 12) lim 2 0.3)4)x x 1 lim . 3 x 1 lim 0. 3 x x5) lim arctg x .x26) lim arcctg x . xНавчальназадача 6.8.Знайти:1) lim lg(4x 1 2x 5);2)x 22xx 1lim 4 ;x x

Модуль 6. Границя і неперервність функції 2x2 3) lim sin ;x2 x 2 У цій задачі скористаємось можливістю переходу до границі під знакомxнеперервної функції, а функції y lg x, y 4 , y sin x, y cos x — неперервнів будь-якій точці області означення (що буде показано в модулі 7).1) x x x x 2)lim lg(4 1 2 5) lg lim(4 1 2 5) lg 10 1.x2 x 22x2xlim1 1 2lim 4x 4xx 4x 16. 2x2 2( x 2) 3) lim sinlim sinx2 x 2 x2 ( x 2)( 2x 2) 2 2 lim sin sin lim sin 1. x2 2x 2 x22x 2 2Навчальна Означити, не користуючись знаком границі, функцію2nзадача 6.9.1 xf ( x) lim і побудувати її графік.n24n x1) При кожному значенні x , що справджує нерівність x 1,2n4nx 0, x 0, n .1Отже, f ( x) .2При кожному значенні x , що справджує нерівність x 1,2n4nx , x , n .Тоді2n 4n 2n1 x x xlim4n lim4n0.n2 x n2x 12n4n2При x 1 і будь-якому n x x 1. Отже, f ( x) . Функцію f3можна задати як 1 , x 1,22f ( x) , x 1,30, x 1.Графік її зображено на рис. 6.12.y12312O 1x

Модуль 6. Границя і неперервність функціїРис. 6.12НавчальнаxЗнайти рівняння асимптот графіка функції y задача 6.10.xОбласть означення функції D( y) ( ; 2) ( 2;2) (2; ).Дослідімо поведінку функції, коли x 2:3 3x 2 x 2lim , lim .x20 2 2 0 2x 4 x x 4Отже, пряма x 2 є вертикальною (двобічною) асимптотою графікафункції.Дослідімо поведінку функції, коли x 2:3 3x 2 x 2lim , lim .x20 2 2 0 2x 4 x x 4Отже, пряма x 2 є вертикальною (двобічною) асимптотою графіка функції.Дослідімо поведінку функції, коли x , шукаючи похилу асимптотуy kx b :k3x 2lim 1,x2x( x 4)3 3 3 x 2 x 2 x 4xb limxlimx 2 2 x 4 x x 4 4x 2 lim 0.x 2x 4 Так само, k 1, b 0. Отже, y x є похилою (двобічною) асимптотоюграфіка функції.3. Задачі для самостійного розв’язанняЗадача 6.1. Виходячи з означення границі за Коші (мовою ),довести, що:1) lim(3x 8) 5;x15x 1 52) lim ;x 3x 9 313) lim12 .x (1 x)322 .4Задача 6.2.Знайти:2x 41) lim12;x3x 2x 162)8x 32x 4lim2;3x 2x 16

Модуль 6. Границя і неперервність функції3)x22x 4lim2;3x 2x 161) 1 ;5 2) ; 3) 2 ;7 4) 1 .3 Задача 6.3. Знайти:3 23x 2x 51) lim3;x 2x x 14 2x x 13) lim2;x x 101) 3 ; 2) 0; 3) ; 4) 2.2 Задача 6.4. Знайти:5x 9x 71) lim16 3;x x x 13 2x 2x x 22) lim12;x x 4x 33 2x 3x 2x 13) lim32;x x 5x 6249 x4) lim ;x71 8 x310 x 25) lim ;x2x 2n nx a6) lim m m ( n, m , a 0).x ax a11) 17; 2) 1; 3) ; 4) 28; 5) ;126) n an mm. Задача 6.5. Знайти:lim x 2 12x 9x 2 18x 5 ;1) ; 2) 0; 3)1) x2 22) lim 3 ( x 1) 3 ( x 1) ;x12 13) 2 lim .x 36 x 6x61 . 12Задача 6.6. Знайти а) f ( x0 0); б) f ( x0 0) :x 11) f ( x) ( x 1), x0 1;x 12)1x2f ( x) 3 , x 2;04)4)x2x 4lim2. 3x 2x 16x7x 32) lim2;x x x 68x 7lim .23 4 x 2

Модуль 6. Границя і неперервність функції 2x 1, x 2,3) f ( x) x20 2. x , x 2,1) f ( 1 0) 1, f ( 1 0) 1; 2) f (2 0) 0, f (2 0) ;3) f (2 0) 3, f (2 0) 4. Задача 6.7. Знайти:x1x11) lim 3 ;2) lim 3 ;x13) x 1lim ;x 25) lim arctg x;x1) ; 2) 0; 3) ; 4) 0; 5) ; 6) 0.2Задача 6.8. Знайти:1) lim log 2(7x 1 3x 1);1) 3; 2) 1; 3)Задача 6.9.2)3)2 .2 x 1x12x 1lim 2 ;xx1 3 x 2 lim cos . x 1 x 14) x 1lim ;x 26) lim arcctg x.xОзначте, не користуючись знаком границі, функцію2nx( ) limn12nf xі побудуйте її графік. x 0, x 1,1 f ( x) , x 1, Графік функції зображено на рис. 6.13.2 1, x 1.y1121 O 1 xРис. 6.13Задача 6.10. Знайдіть рівняння асимптот графіка функції2x 3x 1y .x 1

Модуль 6. Границя і неперервність функціїГрафік має вертикальну (двобічну) асимптоту x 1 і похилу (двобічну)асимптоту y x 2.