Практична частина - Uuooidata.org

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функціїПрактична частина1. Контрольні запитання1. Яку функцію звуть нескінченно малою і яку нескінченно великою? Сформулюйтеїхні властивості.2. Вкажіть зв’язок між нескінченно малими функціями і функцією, що має скінченнуграницю.3. Запишіть і доведіть першу визначну границю. Які наслідки з неї Ви знаєте?4. Запишіть і доведіть другу визначну границю. Які з наслідки з неї Ви знаєте?5. Сформулюйте теорему про неперервність в точці елементарних функцій.6. Яким чином порівнюють н. м. ф. і н. в. ф.? Сформулюйте означення н. м. ф.одного порядку мализни і н. м. ф. вищого порядку мализни.7. Які н. м. ф. звуть еквівалентними? Запишіть таблицю основних еквівалентностей.8. Сформулюйте правило розкриття невизначеності 1 .2. Навчальні задачіНавчальназадача 7.1.Знайти:1) lim (cos x 1 cos x);x12) lim 9 cos 2x 2xarctg .x0xx 1 x x x 11) lim (cos x 1 cos x) lim 2 sin sinxx2 2x 1 x 1 lim 2 sin sin .x 2 2( x x 1)1 1 lim sin sin lim sin 0 0.x 2( x 1 x ) x 2( x 1 x ) x 1 xФункція 2 sinобмежена:2x 1 x2 sin 2.2Добуток нескінченно малої функції на обмежену є функція нескінченномала. Отже,x 1 x 1lim 2 sin sin 0.x2 2( x x 1)2) Оскільки функція y x неперервна при всіх x 0, то, переходячидо границі під знаком неперервної функції, дістаємо1 1lim 9 cos 2x 2x arctg lim0 0 9 cos 2x 2xarctg .x x x x

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функціїОскільки 2x — н. м. ф., коли x 0, а функція1arctg x— обмежена в1околі точки x 0, то 2xarctg — н. м. ф., коли 0,x x тобто1lim 2xarctg 0.x0xОскільки 9 cos 3x неперервна функція в точці x 0, тоlim 9 cos 3x 9 cos 0 9.x0Отже,1lim 9 cos 2x 2xarctg x 0 x1 lim(9 cos 2 x) lim 2xarctg 9 3. x 0 x 0xНавчальна Знайти:задача 7.2.sin 5xsin 2x tg x1) lim ;2) lim ;x0xx01 cos 2xarcsin 2xsin x sin a3) lim ;4) lim ;x0xxax a1 cos(1 cos x)ln(1 5 x)5) lim04;6) lim ;xxx0xx3xln(1 3 )e 17) lim x ;8) lim ;x ln(1 2 )x0xsin 5xsin x3 39) lim ;10) lim x;x 20e x cos xx051 x 11 4 arctg11) lim 1 x.x0xsin 5x 0 5x1) lim sin 5x 5 x, x 0 lim 5.x0 x 0 x0xsin 2x 2 x, x 0sin 2x tg x 2x x2) lim tg x x, x 0 lim0 02 1.x1 cos 2xx2x2(2 x)21 cos 2x 2 x , x 02arcsin 2x 0 2x3) lim arcsin 2x 2 x, x 0 lim 2.x0 x 0 x0xx a x a2 cos sinsin x sina 0 4) lim lim 2 2 xa x a 0 xax a

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функції5)6)7)x a x a2 cos x a x asin , x a lim 2 22 2x ax ax a lim cos cos a.x a22(1 cos x)1 cos(1 cos x) 0 1 cos(1 cos ) ,lim x 042xx 0 1 cos x 0, x 0 2x 22x(1 cos ) 1 cos , 2 x x 1 lim lim .0 4 2 x 0 42xxx 02x8ln(1 5 x) 0 ln(1 5 x) 5 x,5xlim lim 5.x 0 x 0xx0 x0xln(1 3 ) 3 ,xxln(1 3 ) 0 x x 3lim ln(1 2 ) 2 , lim xln(1 2 ) 0 xx 2x xx28)9) 3xe 3lim 0. 2 x3xe 1 0 1 3 x,3xlim lim 3.x 0 x 0xx 0 x 0sin 5x sin x sin x sin 5xsinx3 3 0 3 (3 1)lim limcos 0xe x ( e 1) (1 cos x)x0 xx0sin 5xsinx sin x3 1 (sin 5x sin x)ln 3 2e ln 3 sin 2x cos 3x lim 2 ln 3 sin 2x cos 3 x, x 0 x0x( e 1) (1 cos x)xsin x3 1, cos 3 1,sin x sin 2x x 2eln 3 cos 3xxsin 2 1lim xx e 2, 1, 4 ln 3.x 0xe 1 1 cosxx x 1 cosx 0, x 0x x10)1 5 1x 0 (1 x) 1 x,xlim 5 lim 5.1 x 1 0 x 01x5x0 5x0

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функції1 1 4 arctg arctg011) lim1 x 4 lim4 1 xx0 x 0 x0x1 tg arctg 1tg 4 1 x 4 lim 4 lim4 1 xx 0 xx 0 1 x1 tg 4 1 x 1x1 1 11 4 lim x 4 lim x 4 lim 2. x 0 1 x 0 x 2 x 0x 2x1 x 1 x x 1Навчальна Знайти:задача 7.3.sin 7xlg x 11) lim ;2) lim ;x1sin 2xx10x 10x3e e1 x3) lim ;4) lim .x1x 1x 151 xsin 7x 0 t x 1, x t 1 sin 7 ( t 1)1) lim limx1 sin 2x 0 t 0, x 1t0sin 2 ( t 1)sin 7 ( t 1) sin(7t 7 ) sin 7t lim lim lim t0 sin 2 ( t 1) t0 sin(2t 2 ) t0sin 2tsin 7t 7 t, 7t7 lim .sin 2t 2 t, t 0 t02t22)t x 10,lg x 1 0 lg(10 t) lg 10lim x t 10, limx 10 0 tt 0, x 10x10 t0 t lg 1t t t 10 lg 1 , 10 ln 10 1 lim 10 10 ln 10 lim .t0 tt0t 0t 10 ln 103)4)xx1e e 0 e( e 1) x1lim lim e 1 x 1, x 1 x 1 x 1 0 x 1x 1e( x 1) lim e.x 1x 1t x 1,31 x 0 1 t 1 1 3lim x t 1, limx1 5 001 51 x tt 0, x 11 ( t 1)

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функції1 3 t(1 t) 1 ,3 1 t1 5 t 3 5 (1 t) 1 , lim .5 t01 3t 0 t5Навчальназадача 7.4.Знайти:xln(1 3 )1) lim x ; 2) lim x(ln( x 1) ln x);x ln(1 2 )x 3) lim(1 x)logx2;4) lim x sin ;x1xx5) lim x ctg x;6) lim 2xtg x ;x0x2 cos x1 x7) x lim 3 1 .xxxln(1 3 ) ln 3 x ln 3 ln 31) lim lim lim .x xxln(1 2 ) x ln 2 x x ln 2 ln 2 1 2) lim x(ln( x 1) ln x) lim x ln 1 0 x x x 1 1x ln 1 , x lim 1. x x x x3)4)5)6)1 x1 xlim(1 x) log 2 0 lim limlog log (1 (1 x)) 0 1 x lim ln 2. 0 x1(1 x)ln 21 1t , x , sin tlim x sin 0 x t limxx t0t 0, x txx1 x1 x 12x 2t sin t t, t 0 lim .t0tx tg x x, x 1lim x ctg x 0 lim lim .x0 x 0 tg xx 0 x0x 2xsin x lim 2xtg xlim x2 cos x x2 cos x cos x

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функціїt x ,2 2 t sint 2xsin x 0 2 2 lim x t , limx2 cos x 0 2 t0 cost t 0, x 2 2 2t cos t (1 cos t) 2t cos t lim limt0 sin tt0 sin t2t(1 cos t) 2tcos t lim lim2 2t cos t lim lim t0 sint t0sin t t0 t t0t lim t 2 lim cos t 2.2 t0 t01 1t1 xt , x , 3 17) lim x 3 1 0 x t lim ln 3.x t0t 0, x tНавчальназадача 7.5.1)2)3)4)Знайти:xx1) 2lim ; 2x 1xxlim ; 2x 1x3) x5) lim ln( ) ctg xe x ;6)x 0x2 x 1lim 0. 2x 1 2 xx 1 2x1 1 2 x 2 lim 0 0. x x x 1 lim 0.x 2x 1 2 x x 1 lim .x 2x 1 2 x x lim 1 xx lim x x 1 x x11 x lim 1 e e e .x 1 xctg xlim (ln( xe) 1)ctgxe x e lim ln( ) 1 x 5) 0x01lim2;xxxxlim .xx 12) 2 x14) x 0xx1 x xe 1 lim x. x 12

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функції6)x0 x ln 1 xln( xe) lne e lim lim lim etg x tg x 1 ex . x 0 x 0 e e ex 0e2 x x x1 x1 1 ( )lim xe x e 1 lim x 0 xx1 x2 x 0x 2( xx1) xxe 1 lim 1 e e x x 1 x x e 1x ex lnx e lnlim lim lim elnx( x 1) x( x 1) x 1 e .x 0 x x 0 xx 0x e e e e Навчальна Які з функцій є нескінченно малими або нескінченнозадача 7.6. великими?2x 2x 11) f ( x) 3, x 1;x x1 12) f ( x) 3 22, x 2;x 4x 4x x 3x 21 cos x3) f ( x) , x 0;1 cos x24) f ( x) x 1 x;а) x , б) x ;15) f ( x) ;1 2 x а) x , б) x ?2 2x 2x 1 0 ( x 1) x 11) lim lim lim 0.x 1 3x x 0 x 1 x( x 1)( x 1) x 1 x( x 1)Отже, f ( x ) — н. м. ф., коли x 1. 1 1 2) lim x23 2 2x 4x 4x x 3x 2 1 1 1 1 1 lim lim .x2 2x( x 2) ( x 1)( x 2) x2x 2 x( x 2) x 1 Отже, f ( x ) — н. в. ф., коли x 2.3)lim1 cos x 0 1 cos x lim1 cos x 0 (1 cos x )(1 cos x )x0 x02x2x lim lim 0.x 0 2( x ) x 01 cos x(1 cos x )2Отже, f ( x ) — н. м. ф., коли x 0.lim 1 .24) x x x

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функції2 22x 1 xlim x 1 x limx x2x 1 x1 lim 0.x2x 1 xОтже, f ( x ) — н. в. ф., коли x ; f ( x ) — н. м. ф., коли x .1 15) lim 1; lim 0.x xx1 2 x 1 2Отже, f ( x ) — н. м. ф., коли x . Навчальна Визначити порядок мализни і головну частину нескінченномалої функції ( x)щодо н. м. ф. ( x) x,колизадача 7.7.x 0 :1)1)3 2 23 2( x) x 1000 x ; 2)x0 kx0 kx 03 3( x) 1 x 1.Отже, н. м. ф. ( x)x 1000 x x ( x 1000)2klim lim lim x ( x 1000) xx 0, 2 k 0, 1000, 2 k, , 2 k 0. має порядок 2 щодо н. м. ф. ( x) x,коли x 0; го-2ловна частина 1000 x . Тобто2)3 33 2 2x 1000x 1000 x , x 0.1 3 1 3 1 1 31 x 1 xlim1 x 1; lim lim 3x x x10, k 0,31 1 3k1 1 lim x , k,3 x03 31 , k 0. 3x0 k x0 k x0kОтже, н. м. ф. ( x)має порядок 1 3щодо н. м. ф. ( x ) x , коли x 0;1 1 3головна частина .3 x Тобто 3 3 1 1 31 x 1 x , x 0.3Навчальна Визначити порядок росту і головну частину нескінченновеликої функції ( x)щодо функції ( x)задача 7.8.:

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функції5x1) ( x) , ( x) x, x ;21 x 2x2) ln x1( x) , ( x) , x 1.2( x 1) x 15x , 5 k 2,25k11) lim1 x 2xx lim , 5 k 2,xkx2x 1 x 2x 2 0, 5 k 2.Отже, н. в. ф. ( x)має порядок 5 2 3 щодо н. в. ф. ( x) x,коли1 3x ; головна частина .2 x Тобтоln x2x1 x 2x5 32x , x .2( x 1)k22) lim lim( x 1) ln(1 ( x 1)) x1 kx11 x 1 0, k 1 0,k2 k1 lim( x 1) ( x 1) lim( x 1) 1, k 1 0,x1 x1 , k 1 0.1Отже, н. в. ф. ( x)має порядок 1 щодо н. в. ф. ( x) , коли x 1;x 11головна частина .x 1Тобто ln x 1 , x 1. 2( x 1) x 1Навчальнаx 1Знайти асимптоти графіка функції y ln .задача 7.9.x 2Область означення функції D( y) ( ; 1) (2; ).Дослідімо поведінку функції, коли x 1 0 :x 1lim ln .x 10x 2Отже, пряма x 1 є лівою вертикальною асимптотою графіка функції.Дослідімо поведінку функції, коли x 2 0 :x 1lim ln .x 20x 2

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функціїОтже, пряма x 2 є правою вертикальною асимптотою графіка функції.Дослідімо поведінку функції, коли x , шукаючи там похилу асимптотуy kx b :1 x 1k lim ln 0,xx x 2 x 1 b lim ln 0 0.x x 2 Так само, k 0, b 0. Отже, y 0 є горизонтальною (двобічною)асимптотою графіка функції.3. Задачі для самостійного розв’язанняЗадача 7.1.Знайти:1) lim (sin x 1 sin x);x12) 3 x lim 2 sin 8 cos x.x 0x1) 0; 2) 2.Задача 7.2. Знайти:tg 3xarctg 3x1) lim ;2) lim ;x0xxx5cos x tgx3) lim23 arctg x02;4) lim ;xarcsin 2xx04 x 221(1 cos x)5) lim ctg x ;6) limx0sin x02 2.xtg x sin xcos x cosactg x ctg a7) lim ;8) lim .xax axax a11) 3; 2) 0; 3) ; 4) 12; 5) 0; 6) 1 ; 7) sin ;24 a 8) 12. sin aЗадача 7.3. Знайти:1 sin x1) lim2 2 ;2) limx 2xtg x .x2 cos x x2x 1 3) lim x arctg .xx 2 41) 1 ; 2) 2;2 3) 1 . 2Задача 7.4. Знайти:10 x1) lim x log 2 ;x5 x2 2) lim x ln cos ;xx

Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функції3)ln( a x) ln alim ;xx034) x lim ln(1 2 )ln 1 ;xxln(1 x 3x )5) lim .x ln(1 3x 4x )251) ;ln 2 2) ; 3) 1 ;2 a 4) 3 ln 2; 5) 3 .2 Задача 7.5. Знайти:7x2xe e1) lim ;x 0tg x2)x 0x2e 1lim ;21 sin x 12 1 x 1 ( x1)3) x lim 4 4 .x1) 5; 2) 2; 3) ln 4.Задача 7.6. Знайти:3 21 x 11) lim02;x xna x na x2) lim , a 0.x0xn a1) 1 ;3 2) 2 na. Задача 7.7. Знайти:2x 11) xx2x 12) lim ;lim ; x 1xx 12mx2 xklim 1 ; x4) x 4 lim 2.x x 4 3) xlim (1 ctg ) ;6) lim cos x.tg x5) xx2xx0km1) ; 2) 0; 3) e ; 4)8 1e ; 5) e ; 6) .e Задача 7.8. Визначте порядок мализни і головну частину нескінченномалої функції ( x)щодо функції ( x) x,колиx 0 :3 21) ( x) x x;2 x 22) ( x) ln(1 x ) 23( e 1) .2x

1)2 3Модуль 7. Нескінченно малі і нескінченно великі функції1 ,2k головна частина x 2 x , x 0. Задача 7.9. 1 2 , x 0; 2)2k , головна частина3Визначте порядок росту і головну частину нескінченно4великої функції ( x) x x 1 щодо функції( x) x,коли x .k 2, головна частина x2 , x .Задача 7.10. Знайдіть асимптоти графіка функції y x arctg 2 x.Графік функції має похилі асимптоти: ліву 1y x та праву аси-2 2 1мптоту y x . 2 2