x - Pioneer.chula.ac.th

2301113 บทที่ 5 102⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞1 x 1−( ) (0) 2 2 −⎜ Fx − F ⎜⎝ ⎠⎟⎝2⎠⎟xF−′ (0) = lim = lim = lim − = 0x→0 − xx→0 + xx→0+ 2ดังนั้น F′ (0) = 0 = f(0)กรณี 0 < c < 1⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞1 x 1 c+ ( ) ( ) 2 2 − +2 2Fx − Fc ⎜⎝ ⎠⎟⎝ ⎜ ⎠⎟( x+c)F′ ( c) = lim = lim = lim = cx → c x −c x → c x −cx → c 2ดังนั้น F ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ c และ F′ () c = c = | c | = f()cจากทุกกรณี ไดวา F′ ( x) = f( x)ทุกๆ x บนชวง ( 1, 1)− คราวนี้ ลองใชทฤษฎีบทหลักมูลบทที่หนึ่ง สรุปผลที่ไดจากการแสดงในตัวอยางขางตนดังนี้ เนื่องจาก fx ( ) = | x|ตอเนื่องทุกจุดบนชวง [ − 1,1] ดังนั้นโดยทฤษฎีหลักมูลบทที่หนึ่งจะไดd xF′ ( x) = ( | t | dt) = | x |dx −1แสดงในตัวอยาง 5.1∫ ทุกจุดบนชวง ( − 1, 1)ซึ่งไดผลเชนเดียวกันกับวิธีตัวอยาง 5.2กําหนดให⎧⎪ | x | , x ≠ 0fx ( ) = ⎪⎨ x ⎪⎪0, x = 0⎪⎩จงหา F′ ( x)ทุก x ∈( − 1,1)บนชวง [ − 1,1] และใหxFx ( ) = ∫ ftdt ( )−1วิธีทํากรณี x < 0กรณี x > 0กรณี x = 0x−tF( x) = ∫ dt = − 1dt =−x−1t∫x−1 −10 x0∫ ∫ ∫ ∫F( x) = f() t dt + f () t dt = − 1dt + 1dt =− 1+x−1 0 −1 00∫F(0) = − 1dt=−1−1x

2301113 บทที่ 5 103ดังนั้น⎧− x − 1, x < 0Fx ( ) =⎪⎨ ⎪− 1 + x,x ≥ 0⎪⎩ตอไปจะแสดงวา F ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ทุกจุด c ใน ( − 1,1) ยกเวนที่ c = 0กรณี − 1< c < 0Fx ( ) −Fc ( ) ( −x−1) −( −c−1)F′ () c = lim = lim =−1x→c x −c x→cx −cดังนั้น F ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ c และกรณี 0 < c < 1| c |F′ () c =− 1 = = f()ccFx ( ) −Fc ( ) ( x−1) −( c−1)F′ ( c) = lim = lim = 1x→c x −c x→cx −c| c |F′ () c = 1 = = f()ccดังนั้น F ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ c และกรณี c = 0ดังนั้นFx ( ) −F(0) ( x−1) −( −1)F+′(0) = lim = lim = 1+ +x→0 xx→0xFx () −F(0) ( −x−1) −( −1)F−′ (0) = lim = lim =− 1−−x→0 xx→0xFx () − F(0)limx →0xไมมีคาลิมิต นั่นคือ F ดิฟเฟอเรนชิเอตที่ 0 ไมได ทฤษฎีบทหลักมูลที่หนึ่ง สรุปผลในตัวอยางขางตนอยางเดียวกัน คือ เนื่องจาก⎧⎪ | x | , x ≠ 0fx () = ⎪⎨ x ⎪⎪0, x = 0⎪⎩d xF′ () x = ( f() t dt) = f()xdx −1ตอเนื่องทุกจุดบนชวง [ − 1,1] ยกเวน 0 ดังนั้นโดยทฤษฎีหลักมูลบทที่หนึ่งจะได ∫ ทุกจุดบนชวง ( − 1, 1)ยกเวนที่จุด 0 ซึ่งไดผลเชนเดียวกันกับวิธีแสดงในตัวอยาง 5.2ในการอธิบายตัวอยางเหลานี้ เราจะตองอินทิเกรตฟงกชันที่กําหนดคาดวยสูตรหลายสูตรซึ่งอาจไมมีความตอเนื่องที่บางจุดในชวงของการอินทิเกรต เราจะทําไดโดยอาศัยขอสังเกตตอไปนี้

2301113 บทที่ 5 104ขอสังเกตให f กับ g เปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [ ab ,] ถา f กับ g มีคาตางกันที่จุดb bเดียว จะไดวา ∫ f = ga∫a(อธิบายความจริงขอนี้โดยพิจารณาผลบวกรีมันน)จะเห็นวา ในการแกปญหาดังในตัวอยาง 5.1 และ ตัวอยาง 5.2 เราสามารถใชทฤษฎีหลักมูลบทที่หนึ่งไดสะดวกกวาทําโดยตรงมาก ดังในตัวอยางตอไปนี้ตัวอยาง 5.3 (แสดงในหองเรียน)จงหา dy เมื่อ xy =dx∫ sin tdt0ตัวอยาง 5.4 (แสดงในหองเรียน)จงหาสมการเสนสัมผัสเสนโคง2xตัวอยาง 5.5 (แสดงในหองเรียน)จงหา dy เมื่อ x2 3 2dx∫113 1 34 4 5∫ ที่ x = 1y = ( t + 3t −1)dty = ( x − 1) 2t + 1 dtทฤษฎีบท 5.2 (ทฤษฎีบทหลักมูลบทที่สอง)ให f เปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวงปด [ ab ,] P เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องใน[,] ab ซึ่งที่ทุกๆ x ในชวงเปด ( ab ,) ยอมไดวาเราอาจเขียนขอสรุปของทฤษฎีบทนี้เสียใหมเปน∫aและกลาวทฤษฎีบทนี้เสียใหมคราวๆไดวาถา P ( x) f( x)∫abxP′ ( x) = f( x)fxdx () = Pb () − Pa ()ftdt () = Px ( ) − Pa ( )x′ = ยอมไดวา ∫ ftdt () = Px ( ) − Pa ( )นั่นคือ ถาดิฟเฟอเรนชิเอต P ได f อินทิเกรต f ยอมได Pa

2301113 บทที่ 5 105จากทฤษฎีบทหลักมูลบทที่หนึ่งเราไดวาถาอินทิเกรต f ได F เราดิฟเฟอเรนชิเอต F ก็จะได fจากทฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองเราไดวาถาดิฟเฟอเรนชิเอต P ได f เราอินทิเกรต f ยอมได Pดังนั้น การอินทิเกรตกับการดิฟเฟอเรนชิเอตจึงเปนเรื่องที่เกี่ยวของกันอยางยิ่ง เห็นไดจากทฤษฎีบทหลักมูลทั้งสอง วาการอินทิเกรตกับการดิฟเฟอเรนชิเอตเปนการกระทําตรงขามกัน ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบทที่สองทําใหเราเห็นไดวา สําหรับฟงกชันที่เราทราบปฏิยานุพันธของมันนั้น เราจะสามารถคํานวณอินทิกรัลของมันไดโดยงาย กลาวคือ คํานวณไดจาก2ผลตางของปฏิยานุพันธที่จุดปลายของชวงที่เราอินทิเกรต เชน จากที่เราทราบวา fx () = x −1มี Px () =−x − เปนปฏิยานุพันธ และ P มีความตอเนื่องในชวง [1,2] เราก็สรุปไดจากทฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองวา∫12−2x dx = P(2) −P(1)−1 −11= ( −2 ) −( − 1 ) =2เพื่อใหการแสดงการใชทฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองทําไดสะดวกขึ้น เราจะใชสัญลักษณPx ()]b เพื่อหมายถึง Pb () − Pa () โดยการใชสัญลักษณนี้ เราเขียนวิธีทําขางบนเสียใหมaไดดังตอไปนี้∫2−2 −12x dx =−x⎤1⎥ ⎦1−1 −1 1= ( −2 ) −( − 1 ) =2ตัวอยาง 5.6จงอินทิเกรตวิธีทําดังนั้น∫23 −2(4 x − x ) dx1∫∫4 −13 −2 x x 4 −1(4 x − x ) dx = 4( ) − ( ) = x + x4 −123 −2 4 −12(4 x − x ) dx = ( x + x ) ⎤1⎥⎦ 14 −1 4 −129= (2 + 2 ) − (1 + 1 ) =2

2301113 บทที่ 5 106ตัวอยาง 5.7 (แสดงวิธีทําในหองเรียน)จงอินทิเกรต∫2 23 2 −21) (8x + 6x − 5) dx 2) ( x + 2) dx∫0 11 11 42 2+ 20∫ +0122 23) (3x 2) dx 4) 2 x( x 9) dx∫5) x(3x + 4) dx0∫แบบฝกหัด 5.11. กําหนดให2x3∫4จงหา−2Fx ( ) = t + 2t+1 dt1.1. F( − 1)1.2. F ′( − 1)1.3. F ′′( − 1)2. จงหา dydx2.1.2.2.2.3.2.4.2x+ 3 710 5 5∫y = ( t + 3t −1)dt−22 x + 13 2 32y = ( x + 3x − 1) + 3t + 1 dt32 5 2∫y = x t + 2 dtx∫13x3 2∫x−1y 4t + 3t − 5 dt = 2x3. จงหาคาอินทิกรัลตอไปนี้3.1.3.2.3.3.1∫03∫3 2x 2x − 7 dxx2− 1 dx−20 2∫−1 x(3x− 1)3 3dx