Section 5.2 Angular Velocity - ภาควิชาฟิสิกส์ - มหาวิทยาลัยขอนแก่น

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-4zRv ω r yxภาพ (5.3) แสดงอนุภาคที่กําลังหมุนรอบแกน z ด้วยอัตราเร็ว v และรัศมี Rเมื่อ ระยะทางที่เคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ก็คือ เส้นรอบวงของวงกลม และ เวลาที่เคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ก็คือ คาบหรือT2πω นั่นเอง ดังนั ้นv 2πR2π ωv = ωR ______________________________ (5.1)แต่เมื่อพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีมุมยอดเท่ากับ อยู ่ที่จุดกําเนิด จะได้ว่า R rsinและเมื่อผนวกกับสมการ (5.1) ทําให้v ωrsinα ______________________________ (5.2)โดยที่สมการข้างต้นนั ้น แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง อัตราเร็ว (v) , ความเร็วเชิงมุม (ω) , และตําแหน่งของวัตถุในขณะนั้น (r)อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ในสมการ (5.2) มีข้อจํากัด เพราะเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่มีข้อมูลของทิศทางการเคลื่อนที่ กล่าวคือ ทั ้งๆที่ความเร็วเป็นปริมาณ vector ซึ ่งมีทั ้งขนาดและทิศทาง แต่สมการข้างต้น กล่าวถึงเพียงขนาดของความเร็วเพราะฉะนั ้น เราสามารถเขียนสมการ (5.2) เสียใหม่ให้อยู ่ในรูปของDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-5 v ωr________________________________ (5.3)สมการ (5.3) เป็นสมการสําคัญที่จะมีบทบาทอย่างมาก ในการศึกษาเนื ้อหาที่ว่าด้วย rotatingcoordinate เพราะฉะนั ้น จําเป็นจะต้องขยายความเทอมต่างๆ ที่ปรากฏให้ละเอียดมากขึ ้นv และ r เป็นปริมาณ vector ที่แสดงถึงความเร็ว และ ตําแหน่งของวัตถุ ซึ ่งนักศึกษามีความคุ้นเคยกับปริมาณทั ้งสองเป็นอย่างดี ω ก็เป็นปริมาณ vector เช่นเดียวกัน โดยมีความหมายว่าω คือ angular velocity vector ที่มี ขนาด แสดงถึงอัตราเร็วเชิงมุมทิศทาง แสดงถึงแกนของการหมุน________________________________ (5.4)ตัวอย่างโจทย์ในห้องมืด เราทดลองหมุนลูกข่าง ที่ขอบด้านหนึ ่งมีหลอดไฟ LED เล็กๆติดอยู ่ เมื่อลูกข่างกําหลังหมุน เราไม่สามารถที่จะเห็นลูกข่าง แต่สามารถเห็นหลอด LED กําลังเคลื่อนที่อยู ่ จากการสังเกตหลอด LED พบว่า ณ เวลา t = 0.5 sec หลอด LED มีพิกัด คือ ความเร็ว คือ v อัตราเร็วเชิงมุม คือ 2 rad/secr 0,1, 2 cm1, 0, 0 cm/secจงหามุมที่แกนของลูกข่างกระทํากับแนวราบ ในขณะที่กําลังหมุนวิธีทําr ณ t0.5secondr ω ห้องมืดDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-6จากภาพ เมื่อลูกข่างกําลังหมุน หลอด LED ก็จะเปลี่ยนตําแหน่งไปตามเวลาที่เปลี่ยนไป และในโจทย์ข้อนี ้ เราต้องการทราบ vector ω ซึ ่งแสดงถึงแกนของกานหมุนนั่นเองจากสมการ (5.3) และข้อมูลที่โจทย์กําหนดให้ จะได้ว่า v ω×r1ωx 0 0 ωy 1 0ω 2 z _______________________________ (E.1)โดยในกรณีนี ้ เรากําหนดให้องค์ประกอบตามแนวแกน x, y, z ของ vector ω เป็นตัวแปรที่ยังไม่ทราบค่า ซึ ่งจะต้องทําการแก้สมการเพื่อหาคําตอบในลําดับต่อไปเมื่อนักศึกษาทบทวนการคํานวณ cross product ดังที่เห็นใน สมการ (E.1) ก็จะพบว่า ถ้ามี vector A และ vector B ใดๆ และ กําหนดให้ C ABแล้วจะได้ว่า องค์ประกอบตามแนวแกน x, y,และ z ของ C ก็คือCx AyBz AzBy C CyAzBx AxBzC A z xBy AyB x… ______________________ (E.2)เพราะฉะนั ้น ถ้านําการคํานวณ cross product ดังแสดงในสมการ (E.2) เข้าไปประยุกต์กับสมการ(E.1) แล้วจะได้ว่า12ωy ωz0 2ωx0 ω x ___________________________ (E.3)จากความสัมพันธ์ข้างต้น ทําให้เราสรุปได้ว่า องค์ประกอบตามแนวแกน x ของ ω นั ้น มีค่าเป็นศูนย์ หรืออีกนัยหนึ ่งωx 0 _________________________________ (E.4)ทั ้งนี ้ สิ่งที่เราต้องทําการหาคําตอบในลําดับต่อไปก็คือ องค์ประกอบตามแนวแกน y และ แกน zของ ω โดยที่ในสมการ (E.3) นั ้น เราได้ความสัมพันธ์ที่ว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-72ωy ωz1 _________________________________ (E.5)2 2 2ผนวกกับข้อมูลที่โจทย์กําหนดให้ นั่นก็คือ 2 ω ω ωω x y zดังนั ้น2 2y z2 ω ω _________________________________ (E.6)จะเห็นได้ว่า สมการ (E.5) และ สมการ (E.6) นั ้น เป็นระบบสมการที่มี 2 ตัวแปร ซึ ่งวิธีการหาคําตอบนั ้น ทําได้โดยเปลี่ยนรูปสมการ (E.5) ให้เป็น ωz 2ωy 1 จากนั ้น แทนความสัมพันธ์ดังกล่าว เข้าไปในสมการ (E.6) จะได้ว่าหรือ 22y y2 ω 2ω 12y y2 5ω 4ω 1 2y y y y0 5ω 4ω 1 5ω 1 ω 1 ___________________ (E.7)ซึ ่งจะได้คําตอบของสมการ (E.7) สองค่าที่เป็นไปได้ด้วยกัน คือ ω 1y 1, ส่งผลให้5ω 7z 1, ทั5้งนี ้เราจะต้องเลือกเฉพาะคําตอบที่ ωz 0 เพราะว่า ลูกข่างที่หมุนอยู ่นั ้น หมุนอยู ่ด้านบนของโต๊ะ ดังนั ้น ω จะต้องชี ้ขึ ้นเสมอเมื่อรวบรวมเทอมต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบตามแนวแกน x, y, z ของ vector ω จะได้ว่าωx 0 ω ωy 1 ω 1 z _________________________________ (E.8)zω y45 Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-8จากภาพ ในเมื่อ vector ω มีองค์ประกอบตามแนวแกน y และ แกน z เท่ากัน เพราะฉะนั ้นvector จะต้องทํามุม 45 องศา กับแนวราบ จะทําให้แกนของลูกข่าง ทํามุม 45 องศา กับแนวราบตอบคนบนผิวโลก ที่ดูเหมือนจะยืนนิ่งสังเกตการเคลื่อนที่ของวัตถุ แท้จริงกําลังเคลื่อนที่ไปพร้อมกับโลกด้วยอัตราเร็วสูงมาก สมมุติให้เรายืนอยู ่ ณ เส้นศูนย์สูตร เนื่องจากโลกมีรัศมีประมาณR 6360km เมื่อโลกหมุนรอบตนเอง ทําให้เราเคลื่อนที่ไปพร้อมๆกันเป็นระยะทางของเส้นรอบวง 2 R 39961.1km ภายในเวลาเพียง 24 ชั่วโมง คิดเป็นอัตราเร็วโดยเฉลี่ยถึง39961.1 1665km hours !24ω ตกเหนือAliceใต้R λPจุด P ซึ ่งอยู ่ ณ latitude ที่ องศาเหนือออกตัวอย่างโจทย์กําหนดให้ผู้สังเกตหยุดนิ่ง ณ ใจกลางของโลกจงคํานวณหาอัตราเร็วของคนที่ยืนบนผิวโลก ณมุม latitude ที่ องศาเหนือ ดังแสดงในภาพวิธีทํา ในที่นี ้สมมุติเราไม่สนใจว่าโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ เพราะฉะนั ้น Alice คือผู้สังเกตที่หยุดนิ่ง ณ ใจกลางของโลกเธอลาก vector R เพื่อบอกตําแหน่งของคน ณนอกจากนี ้ เมื่อโลกหมุนรอบตนเอง แกนของการหมุนอยู ่ในแนว เหนือ-ใต้ ซึ ่งเราสามารถคํานวณω ในหน่วย SI ได้เท่ากับ2ω = 7.27 10 radian sec2460605Earth Rotation ____________ (5.5) v ω R จากสมการ (5.3) ความเร็วของคน ณ จุด P คือ หรือถ้าพิจารณาเฉพาะขนาดของ v Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-9v ω R sin 90 เมื่อ 90 R คือมุมระหว่าง ω และ R ดังแสดงในภาพ และถ้าแทนให้6360 km = 6.3610 m6จะได้ว่า อัตราเร็วของคนดังกล่าวคือหรือv5 6 ω R sin 90 7.2710 6.3610 m sin 90 m sv 462.4sin 90 m sตอบวกกลับเข้ามาในกรณีของการยิงปืนใหญ่ดังแสดงในภาพ (5.1) นอกจากลูกกระสุนจะมีความเร็วต้นที่เกิดจากแรงระเบิดภายในกระบอกปืน ยังมีความเร็วหนุนเนื่อง มาจากการหมุนของโลก ดังที่ได้เห็นในตัวอย่างโจทย์ข้างต้น ส่งผลให้การวิเคราะห์หาเป้ าหมายที่แท้จริงของการยิงปืน มีความยากลําบากพอสมควรนอกจากนี ้ ถ้าพิจารณาความเร็ว v ที่ปรากฏในสมการ (5.3) ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงของตําแหน่งr ต่อหนึ ่งหน่วยเวลา หรืออีกนัยหนึ ่งในรูปdqdt ω qdv r dtเพราะฉะนั ้นเราอาจจะเขียนสมการ (5.3) ให้อยู ่ เมื่อ q คือ vector ที่หมุนควงด้วย angular velocity ω ________________________________ (5.6)ตัวอย่างโจทย์ผู้สังเกตชื่อ Lisa ยืนบนผิวโลก ณ ตําแหน่ง R เธอสมมุติ vector ˆ , ˆ ,ˆi j k ขึd d di, j,k dt dt dtผู้สังเกตชื่อ Alice หยุดนิ่ง ณ ใจกลางของโลก จงหา d dt R และ ˆ ˆ ˆ้นมาดังภาพ ในขณะที่Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

่่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-10ω เหนือkˆ ตกAliceR λPLisaˆiˆjออกใต้วิธีทํา จากภาพแสดงให้เห็นได้ชัดเจนว่าเมื่อโลกหมุนรอบตนเอง vector R มีการหมุนควงด้วยangular velocity ω แต่ในกรณีของ vector ˆ i, ˆ j,k ˆ ในเบื ้องต้นนี ้ อาจจะยังไม่ชัดเจนนักเพื่อให้เห็นภาพได้ง่ายยิ่งขึ ้น พิจารณา vector k ˆ ใน 4 ห้วงเวลาด้วยกันคือ 1) เช้าตรู ่ 2) เที่ยงวัน 3)พลบคํ ่า และ 4) เที่ยงคืน3) 3) พลบคํ่าω kˆ kˆ 4) 4) เที่ยงคืนเหนือ1) 1) เช้าตรูkˆ Pkˆ 2) 2) เที่ยงวันω kˆ ตกλออกจะเห็นว่าในช่วงเวลาต่างกันของวัน vector k ˆ มีการหมุนควงไปพร้อมกันกับตําแหน่งของ Lisa ที่ยืนอยู ่บนผิวโลก ข้อสังเกตดังกล่าวนี ้ สามารถนํามาประยุกต์ใช้กับ vector ˆ i,ˆ j ได้เช่นเดียวกันเพราะฉะนั ้น โดยอาศัยสมการ (5.6) เราบอกได้ทันทีว่าd R ωRdtd ˆi ω ˆdiˆ jω ˆ djˆ k ωkˆ dtdtdt______________________ (5.7)______________________ (5.8)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-11แบบฝึ กหัด 5.1 จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา ถ้าสมมุติให้ Lisa ถือเอา ˆ i, ˆ j,k ˆ แทนแกนทั ้ง 3 ของพิกัด Cartesian ที่วัดโดยตัวเธอเอง และนิยามให้ตําแหน่งของวัตถุ r x ˆi y ˆj zkˆ จงพิสูจน์ว่าd dx ˆ dy ˆ dzr i j kˆω r dt dt dt dt, ,ω ______________________ (5.9)บอกใบ้ ใช้กฎลูกโซ่ และ ต้องไม่ลืมว่า vector ˆ i ˆ j k ˆ มิได้หยุดนิ่ง หากแต่เปลี่ยนแปลงกับเวลาเหนือkˆ ˆjตกλˆ iออกr x ˆ i y ˆ j z kˆแบบฝึ กหัด 5.2 จากแบบฝึกหัดที่ผ่านมา จงอภิปรายว่าเพราะเหตุใด d r ω r ในทํานองdtเดียวกันกับสมการ (5.6)เฉลย r xˆi yˆj zkˆมิได้หมุนควงอย่างสมํ่าเสมอด้วย angular velocity ω เพราะฟังชันก์ x x()t y y()t , และ z z()t อาจจะเปลี่ยนแปลงกับเวลา ในลักษณะใดก็ได้ความเร่งสู ่ศูนย์กลางนอกเหนือจากความเร็ว v ของอนุภาคที่กําลังหมุนด้วย angular velocity ω ดังสมการ (5.3) เราสามารถคํานวณความเร่ง a ของอนุภาคดังกล่าวได้ โดยอาศัยคํานิยาม dv da dt ωdt rและถ้าสมมุติให้ ω เป็น vector ที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงกับเวลา กล่าวคือ r มีการหมุนอย่างสมํ ่าเสมอรอบแกนที่มีทิศทางคงที่ชัดเจน ดังนั ้น d d dt ω da ω r r r ωdt dtDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

่่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-12drdt แต่เราทราบจากสมการ (5.6) ที่ว่า ω r ทําให้ในท้ายที่สุดแล้ว ความเร่งสู ่ศูนย์กลาง a ωωr______________________ (5.10)และเพื่อให้เข้าใจธรรมชาติของความเร่ง2 d ra 2dtได้เป็นรูปธรรมมากยิ่งขึ ้น พิจารณาภาพ (5.4)ในขณะที่วัตถุกําลังหมุนด้วย angular velocity ω SIDE VIEWRω r v ω rTOP VIEW(ชี้ ออกนอกกระดาน)ω a ω ωrความเร่ง มีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางωrภาพ (5.4) แสดงทิศทางของความเร่ง a ω ω r ที่เป็นไปตามกฎมือขวาของcross product ว่ามีทิศเข้าสู ่ศูนย์กลางเสมอภาพ (5.4) แสดงทิศทางของความเร่ง a ω ω r ที่เป็นไปตามกฎมือขวาของ cross product เมื่อมองจากด้านบน (TOP VIEW) ปรากฏว่า vector v ω rมีทิศชี ้ขึ ้นด้านบน ในขณะที่ vectorω พุ่งออกนอกกระดานเพราะฉะนั ้น เมื่อกางมือขวาออก ดังแสดงในภาพ ก็ย่อมหมายความว่า a ω ω r มีทิศเข้าสูศูนย์กลางของการหมุน ด้วยเหตุนี ้เอง ความเร่งดังในสมการ (5.10) จึงมีชื่อเรียกว่า "ความเร่งสูศูนย์กลาง" หรือ "centripetal acceleration"Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

้่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-13mความเร่ง a F netแรงตึงเชือก ทําให้มวลมี Centripetal Accelerationในชีวิตประจําวัน เราสามารถสังเกตการเคลื่อนที่ ซึ ่งมวล m มีลักษณะของความเร่งแบบเข้าสูศูนย์กลางได้ โดยการนํามวลมาผูกกับเชือกแล้วแกว่งเป็นวงกลมดังแสดงในภาพและเนื่องจากความเร่ง ก็คือ อนุพันธ์อันดับสองเทียบกับตําแหน่งเขียนความสัมพันธ์ในทํานองสมการ (5.6) ได้ว่า2 d ra 2dtเพราะฉะนั ้นเราสามารถ2d q ω ω q2dtเมื่อ q คือ vector ที่หมุนควงด้วย angular velocity ω ________________________________ (5.11)อาถรรพ์ "แรงหนีศูนย์กลาง"ในความพยายามที่จะอธิบายการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ด้วยอัตราเร็วสมํ ่าเสมอนั ้น นักศึกษาจํานวนไม่น้อย ที่มีแนวคิดในเรื่องของ "แรงหนีศูนย์กลาง" ซึ ่งความพยายามที่จะคิดและวิเคราะห์หาสาเหตุของการเคลื่อนที่นั ้น เป็นต้นทุนที่สําคัญในการศึกษาวิชาวิทยาศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งวิชาฟิสิกส์ ที่ควรส่งเสริมใช้งอกเงยในตัวนักศึกษาเหล่านีดังนั ้น การที่จะอธิบายให้เห็นถึงความเข้าใจผิดในการนํา "แรงหนีศูนย์กลาง" มาร่วมเป็นส่วนหนึ ่งของการเคลื่อนที่แบบวงกลมนั ้น จะต้องกระทําโดยอาศัยตรรกะและการถกปัญหา ซึ ่งก็หมายถึงการรับฟังเหตุผลของนักศึกษาและชี ้แจงให้เห็นถึงช่องโหว่ของตรรกะเหล่านั ้นการใช้อํานาจบังคับ ไม่ว่าจะเป็นการใช้สถานะภาพของความเป็นอาจารย์ลูกศิษย์ การอ้างข้อสรุปที่ปรากฏตําราวิชาการ หรือแม้กระทั่งการออกเป็นข้อสอบที่มัดมือนักศึกษาให้กาตัวเลือกที่จะได้คะแนนนั ้น รังแต่จะทําให้ฟิสิกส์กลายเป็นพจนานุกรมที่มีเพียงข้อมูลไว้ให้ท่องจํา แต่ปราศจากซึ ่งแนวคิดและการวิเคราะห์ที่อาศัยเหตุและผลเป็นสําคัญDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-14ABCพิจารณาวงแหวนวงกลมซึ ่งขาดออกไปบางส่วนดังแสดงในภาพข้างต้น เมื่อวางในแนวราบ นําลูกเหล็กมากลิ้งให้อยู ่ในแนววงกลม ไปตามขอบของวงแหวน เมื่อมายังจุดที่แหวนขาดออก ลูกเหล็กจะเคลื่อนที่อย่างไร?จากการทดลอง จะพบว่า เป็นเส้นทาง (B) กล่าวคือเป็นเส้นตรง ที่น่าประหลาดใจก็คือ ในทางสถิติแล้ว นักศึกษาจํานวนมากเลือกข้อ (A) โดยให้เหตุผลว่า "แรงหนีศูนย์กลางยังคงเหวี่ยงให้มวลหนีห่างออกในแนวรัศมี" ซึ ่งขัดกับผลการทดลองนักศึกษาเกือบทุกคนเห็นพ้องต้องกันว่า ข้อ (C) เป็นไปไม่ได้ เพราะวงแหวนมีส่วนทําให้ลูกเหล็กเคลื่อนที่เป็นวงกลม ในช่วงที่แหวนขาดออก ลูกเหล็กย่อมไม่อาจจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมอยู ่เช่นเดิมได้ก็ต่อเมื่อนักศึกษาที่เลือกข้อ (A) ได้เห็นการทดลองจริง จึงยอมรับว่าเมื่อลูกเหล็กออกมาจากวงแหวนแล้ว แรงลัพธ์ F net 0 ทําให้เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ด้วยความเร็วคงที่ ดังแสดงในเส้นทาง (B)เพราะถ้ายังยึดติดกับแนวคิดเรื่อง "แรงหนีศูนย์กลาง" ก็ไม่อาจจะอธิบายได้ว่า แรงดังกล่าวหายไปไหน เมื่อลูกเหล็กออกมาจากวงแหวนอย่างไรก็ตาม นักศึกษาที่เลือกข้อ (A) ก็ยังไม่ลดละความพยายามที่จะโยง "แรงหนีศูนย์กลาง" เข้ามาเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม โดยเบี่ยงประเด็นไปที่การเคลื่อนที่ของลูกเหล็กขณะอยู ่ในวงแหวน โดยให้เหตุผลว่า"ขณะอยู ่ในวงแหวน แรงลัพธ์ต้องเป็นศูนย์ โดยที่แรงหนีศูนย์กลาง บดขยี ้หักล้างกับแรง normalforce จากผิววงแหวน เพราะถ้าไม่เป็นศูนย์แล้ว รัศมีจะคงที่เป็นวงกลมได้อย่างไร?"Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-15เพื่อจะเข้าใจธรรมชาติของการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ด้วยอัตราเร็วสมํ ่าเสมอได้ง่ายขึ ้น ลองพิจารณาแบบจําลองของการเคลื่อนที่แบบวงกลม ดังแสดงต่อไปนีAModel อย่างง่ายของการเคลื่อนที่ “วงกลมวงกลม”BCPRQ1) ระหว่างทาง P-Q หรือ Q-R มีแรงกระทํากับลูกบอลหรือเปล่า?2) หลังชน ทําไมความเร็วเปลี่ยนทิศ (ตอบเจอกําแพงตบ)3) ขณะกําลังชน ทิศทางของแรงปะทะ ที่กระทํากับลูกบอล คือ?จากภาพ ปรากฏกําแพงรูปสี่เหลี่ยมในแนวราบ และมีลูกบอล ชนกระทบชิ่งอยู ่อย่างต่อเนื่อง ถึงแม้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยม แต่ข้อสรุปที่ได้จากการวิเคราะห์ ยังจะสามารถอธิบายการเคลื่อนที่แบบวงกลมได้โดยจินตนาการว่าเราเพิ่มจํานวนเหลี่ยมให้มากขึ ้น มากขึ ้น เป็น 5, 6, 8 เหลี ่ยม จนลู ่เข้าสู ่ลักษณะของวงกลมในที่สุดคราวนี ้ลองวิเคราะห์ใน 3 ประเด็นด้วยกัน1) ระหว่างทาง P-Q หรือ Q-R มีแรงกระทํากับลูกบอลหรือไม่? คําตอบก็คือ "ไม่" เนื่องจากลูกเหล็กเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ซึ ่งเป็นสภาวะการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เป็นธรรมชาติอยู ่แล้ว ปราศจากแรงใดๆเข้ามาเกี่ยวข้อง2) หลังชน ทําไมความเร็วเปลี่ยนทิศ? คําตอบก็คือ เจอกําแพงตบ ที่ต้องใช้คําว่า "ตบ" ก็เพื่อเน้นยํ ้าให้เห็นภาพว่า กําแพงออกแรง กระทํากับลูกเหล็ก ในขณะที่กําลังมีการชนนั่นเอง ซึ ่งเมื่อเราพิจารณาการกระดอนของลูกเหล็กอย่างต่อเนื่องจนครบรอบ จะพบว่า มีอยู ่เพียงแรงเดียวที่เข้ามาDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-16เกี่ยวข้อง นั่นก็คือแรง normal force จากกําแพง ในขณะที่มีการชน3) ขณะที่กําลังมีการชน ทิศทางของแรงปะทะ ที่กระทํากับลูกบอลคือ? ตั ้งฉากกับกําแพง และพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลางของกล่องสี่เหลี่ยมเสมอในคราวนี ้จินตนาการว่าจํานวนเหลี่ยมของกล่องมีมากขึ ้น มากขึ ้น จาก 4 เหลี่ยม เป็น 5 เหลี่ยมหรือ 8 เหลี ่ยม จะพบว่า ลูกเหล็กจะต้องชนกําแพงบ่อยขึ ้นในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ และเริ่มที่จะใช้เวลาส่วนใหญ่ ในการชนกับกําแพง ก็ต่อเมื่อจํานวนเหลี่ยม n กําแพงจึงแปรสภาพเป็นวงกลม และมีแรง "ตบ" ในทิศเข้าสู ่ศูนย์กลางอย่างต่อเนื่องนั่นเองจะพบว่า ตลอดระยะเวลาของการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ลูกเหล็กได้รับแรง normal force เข้าสูศูนย์กลางตลอดเวลา และในลําดับของการวิเคราะห์โดยอาศัยแบบจําลองนั ้น ไม่มีขั ้นตอนใดเลยที่เราจําเป็นจะต้องนํา "แรงหนีศูนย์กลาง" เข้ามาเกี่ยวข้องวกกลับเข้ามาที่ข้อโต้แย้งของนักศึกษาที่สนับสนุนแรงหนีศูนย์กลาง และ เลือกข้อ (A) โดยกล่าวว่า"ขณะอยู ่ในวงแหวน แรงลัพธ์ต้องเป็นศูนย์ โดยที่แรงหนีศูนย์กลาง บดขยี ้หักล้างกับแรง normalforce จากผิววงแหวน เพราะถ้าไม่เป็นศูนย์แล้ว รัศมีจะคงที่เป็นวงกลมได้อย่างไร?"คํากล่าวข้างต้น ตั ้งอยู ่บนสมมุติฐานที่ผิดพลาด โดยอนุมานว่า "การเคลื่อนที่แบบวงกลมเป็นสภาพสมดุล ดังนั ้นแรงลัพธ์เป็นศูนย์" แท้จริงแล้วการเคลื่อนที่แบบวงกลมไม่มีความสมดุล เพราะความเร็ว หรือ ทิศทางของการเคลื่อนที่ มีการ "เลี ้ยว" อยู ่ตลอดเวลา ซึ ่งจากแบบจําลองก็จะเห็นว่าความเร็วจะเปลี่ยนทิศได้ ต้องอาศัยแรง "ตบ" จากกําแพง หรือ แรงสู ่ศูนย์กลางนั่นเองด้วยเฮือกสุดท้ายของนักศึกษาที่เลือกข้อ (A) ซึ ่งพยายามจะยกตัวอย่างการมีอยู ่ของแรงหนีศูนย์กลางได้ยกตัวอย่างของผู้โดยสารในขณะที่รถมีการเลี ้ยว และอ้างว่า"ถ้าไม่มีแรงหนีศูนย์กลาง ขณะรถเลี ้ยว คนจะโดนเหวี่ยงออกไปได้อย่างไร?"Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-17ผู้โดยสารโดนเหวี่ยงด้วยแรงหนีศูนย์กลางจริงหรือ?ข้อโต้แย้งอันนี ้ พยายามที่จะโยงว่าการที่ผู้โดยสารที่หลุดออกจากรถ ในขณะมีการเข้าโค้งนั ้น เป็นสภาวะการเคลื่อนที่ ซึ ่งต้องมีแรงมาเกี่ยวข้อง คล้ายกับจะพยายามอธิบายว่าโดนถีบออกจากรถเนื่องมาจากแรง และแรงนั ้นก็ต้องเป็นแรงหนีศูนย์กลางแท้จริงแล้ว การที่ผู้โดยสารหลุดออกจากรถ เป็นสภาพปกติอยู ่แล้ว เนื่องจากเขาเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงมาโดยตลอด ก่อนที่จะเข้ามาถึงยังทางเลี ้ยว จึงไม่แปลกที่ผู้โดยสารจะพยายามเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ในทิศทางคงที่ต่อไปเรื่อยๆ อย่างเป็นธรรมชาติ ตัวรถเองต่างหากที่บังเอิญเลี ้ยว ทําให้ดูเสมือนว่า ผู้โดยสารโดนเหวี่ยงออกจากรถด้วยแรงอันหนึ ่ง ซึ ่งให้ชื่อว่า แรงหนีศูนย์กลางด้วยเหตุผล และตรรกะทางความคิดที่ได้แสดงมาแล้วนั ้น คงพอให้นักศึกษาได้เข้าใจแล้วว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ด้วยอัตราเร็วสมํ ่าเสมอนั ้น ต้องอาศัยแรงลัพธ์ซึ ่งมีทิศเข้าสู ่ศูนย์กลาง ไม่ว่าจะเป็นแรงตึงเชือกในกรณีการแกว่งมวลที่ผูกอยู ่กับเชือกเป็นวงกลม แรง normal force ที่ดันลูกเหล็กให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมภายในแหวน หรือแม้กระทั่งแรงโน้มถ่วงที่ดวงอาทิตย์ดึงดูดโลกไว้ในวงโคจร และที่สําคัญที่สุด"แรงหนีศูนย์กลาง" เป็นเพียงภาพลวงตาที่ไม่มีอยู ่จริง________________________________ (5.12)Section 5.3 Rotating Observerเพื่อที่จะให้เรามองเห็นได้ชัดเจนมากขึ ้น ในกรณีที่ผู้สังเกต 2 คน แทนด้วย Alice ซึ ่งหยุดนิ่ง และLisa ซึ ่งกําลังหมุน มองการเคลื่อนที่อันเดียวกัน แต่ตีความและวัดปริมาณทางฟิสิกส์ออกมาได้แตกต่างกัน ลองพิจารณาแบบจําลองอย่างง่ายของ reference frame 2 อันด้วยกัน ซึ ่งในเบื ้องต้นนีเพื่อความสะดวก สมมุติให้ผู้สังเกตทั ้งสอง มีจุดกําเนิดซ้อนทับกันอยู ่ เพียงแต่ว่า Lisa มีการหมุนDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011