æè°æåA - ä¸ç é¢æ¸å¸ç 究æ
æè°æåA - ä¸ç é¢æ¸å¸ç 究æ
æè°æåA - ä¸ç é¢æ¸å¸ç 究æ
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
100 年 度 數 學 教 育 學 門 專 題 研 究 計 畫 成 果 討 論 會 議 程時 間 :101 年 12 月 1、2 日 ( 星 期 六 、 日 ) 主 辦 單 位 : 國 科 會 科 教 處地 點 : 國 立 台 灣 大 學 天 文 數 學 館承 辦 單 位 : 中 央 研 究 院 數 學 所時 間 12 月 1 日 ( 星 期 六 ) 時 間 12 月 2 日 ( 星 期 日 )0840~0910報 到0820~0845報 到0910~0935 A 場 地1F 國 際 會 議 廳開 幕國 科 會 科 教 處 陳 國 棟 處 長中 研 院 數 學 所 所 長 翟 敬 立 院 士數 學 教 育 學 門 召 集 人 李 國 偉 教 授0935~09550955~1200 A 場 地1F 國 際 會 議 廳場 次 1主 持 人 :梁 淑 坤 教 授B 場 地天 數 館 202 室場 次 2主 持 人 :李 國 偉 教 授0845~0935 A 場 地1F 國 際 會 議 廳場 次 7主 持 人 :鍾 靜 教 授休 息 / 壁 報 參 觀0955~1135( 演 講 )1135~1200( 討 論 )B 場 地天 數 館 202 室場 次 8主 持 人 :李 國 偉 教 授A 場 地1F 國 際 會 議 廳與 國 科 會 人 文 處 教 育 學 門 合 辦 主 題 演講 與 討 論 會主 持 人 :林 福 來 教 授1200~1330 午 餐(1230~1300) 陳 明 璋 教 授 、 金 必 耀教 授 — 數 學 與 藝 術 展 覽 簡 介天 數 館 1F 門 廳1330~1535 A 場 地1F 國 際 會 議 廳場 次 3主 持 人 :黃 文 璋 教 授B 場 地天 數 館 202 室場 次 4主 持 人 :袁 媛 教 授1200~1330 午 餐(1230~1300) 李 源 順 教 授 — 如 何 用word+endnote 寫 論 文 和 文 章天 數 館 202 室1330~1445 A 場 地1F 國 際 會 議 廳場 次 9主 持 人 :梁 淑 坤 教 授B 場 地天 數 館 202 室場 次 10主 持 人 :袁 媛 教 授1535~1555休 息 / 壁 報 參 觀1445~1505休 息 / 壁 報 參 觀1555~1735 A 場 地1F 國 際 會 議 廳場 次 5主 持 人 :黃 文 璋 教 授B 場 地天 數 館 202 室場 次 6主 持 人 :鍾 靜 教 授1505~1545 A 場 地1F 國 際 會 議 廳綜 合 討 論主 持 人 :陳 國 棟 處 長 、 李 國 偉 教 授1800 晚 宴 ( 台 灣 大 學 鹿 鳴 宴 餐 廳 ) 1545 賦 歸i
第 一 天 (101.12.01)A 場 地 :1F 國 際 會 議 廳場 次 1 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱0955~1200臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系鄭 英 豪( 含 數 學 教 育 碩 士 班 )(0955~1020)陳 嘉 皇(1020~1045)數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 ,- 子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的師 培 課 程 設 計 與 評 鑑崑 山 科 技 大 學 通 識 教 育 中 心 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用- 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成長李 源 順 臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫(1045~1110) ( 含 數 學 教 育 碩 士 班 )李 源 順 臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究(1110~1135) ( 含 數 學 教 育 碩 士 班 )國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究吳 德 邦 學 系 ( 含 碩 士 班 、 國 民 小 學(1135~1200) 教 師 在 職 進 修 教 學 碩 士 學 位班 )場 次 3 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱1330~1535林 福 來 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系(1330~1355) ( 所 )陳 幸 玫(1355~1420)國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資訊 教 育 學 系 ( 所 )統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變異 概 念 之 發 展 研 究林 素 微 國 立 臺 南 大 學 測 驗 統 計 研 究 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統(1420~1445) 所計 素 養 的 建 構 與 評 量楊 志 堅(1445~1510)國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗統 計 研 究 所 ( 含 碩 士 班 、 博士 班 、 國 民 小 學 教 師 在 職 進修 教 學 碩 士 學 位 班 )楊 凱 琳 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系(1510~1535) ( 所 )統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 統 計 推 論 之 認 知 神 經發 展 縱 貫 研 究 - 不 確 定 性 的 認 知統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數學 教 師 的 統 計 教 學 知 能場 次 5 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱1555~1735譚 克 平 國 立 臺 灣 師 範 大 學 科 學 教 育 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評(1555~1620) 研 究 所量 架 構 之 開 發吳 昭 容 國 立 臺 灣 師 範 大 學 教 育 心 理 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象(1620~1645) 與 輔 導 學 系 ( 所 )李 秀 妃用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究國 立 臺 東 大 學 特 殊 教 育 學 系(1645~1710)劉 伯 雯 國 立 高 雄 第 一 科 技 大 學 應 用 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響(1710~1735) 日 語 系每 件 計 畫 成 果 報 告 時 間 10 分 鐘 , 答 詢 時 間 15 分 鐘ii
B 場 地 : 天 文 數 學 館 202 室場 次 2 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱0955~1200曾 世 綺 佛 光 大 學 學 習 與 數 位 科 技 學 動 態 幾 何 學 習 環 境 之 設 計 、 建 置 與 評 量 - 子 計 畫 二 : 數 位 遊 戲(0955~1020) 系 ( 所 )與 模 擬 融 入 動 態 幾 何 學 習 環 境 之 研 究陳 明 璋動 態 幾 何 學 習 環 境 之 設 計 、 建 置 與 評 量 - 子 計 畫 三 : 以 溝 通 性國 立 交 通 大 學 通 識 教 育 中 心(1020~1045)及 同 步 性 為 指 標 之 動 態 幾 何 教 材 設 計 之 研 究曾 建 銘 國 家 教 育 研 究 院(1045~1110)動 態 幾 何 學 習 環 境 之 設 計 、 建 置 與 評 量 - 子 計 畫 四 : 動 態 幾 何學 習 環 境 下 認 知 診 斷 評 量 之 研 究翁 頂 升 國 立 嘉 義 大 學 資 訊 管 理 學 系 動 態 3D 數 學 網 頁 數 位 學 習 內 容 平 台 的 研 發 、 建 構 與 評 估(1110~1135)陳 明 璋 國 立 交 通 大 學 通 識 教 育 中 心 代 數 數 位 內 容 之 激 發 式 動 態 表 徵 及 展 演 原 則 之 研 究(1135~1200)場 次 4 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱1330~1535國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 電 腦 化 全 數 數 感 多 元 評 量 及 測 量 模 式 之 開 發 與 應 用 研 究施 淑 娟 統 計 研 究 所 ( 含 碩 士 班 、 博(1330~1355) 士 班 、 國 民 小 學 教 師 在 職 進修 教 學 碩 士 學 位 班 )陳 柏 熹 國 立 臺 灣 師 範 大 學 教 育 心 理 創 造 力 電 腦 化 測 驗 系 統 之 發 展 暨 學 生 創 造 歷 程 之 研 究 :IRT(1355~1420) 與 輔 導 學 系 ( 所 ) 取 向左 台 益 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 理 解 幾 何 證 明 之 動 態 多 重 表 徵 學 習 系 統 研 究(1420~1445) ( 所 )洪 碧 霞 國 立 臺 南 大 學 教 育 測 驗 統 計 數 學 素 養 動 態 評 量 的 發 展 與 應 用 - 試 算 表 融 入 的 國 中 數 學 介(1445~1510) 研 究 所入 方 案 效 益 之 探 討馬 秀 蘭(1510~1535)嶺 東 科 技 大 學 企 業 管 理 系 由 多 元 表 徵 圖 形 樣 式 的 推 理 中 研 發 代 數 推 理 評 量 工 具場 次 6 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱1555~1735朱 慧 娟 國 立 臺 南 大 學 特 殊 教 育 學 系 適 性 化 數 位 合 作 學 習 導 向 之 教 師 專 業 發 展 研 究 -- 以 數 學 學 習(1555~1620) ( 所 )困 難 學 生 數 學 教 學 知 能 之 專 業 發 展 為 例 (III)國 立 嘉 義 大 學 教 育 學 系 注 意 力 、 後 設 認 知 能 力 、 工 作 記 憶 力 對 於 中 、 高 年 級 正 常 兒李 茂 能( 所 )童 與 注 意 力 缺 陷 過 動 症 (ADHD) 兒 童 之 「 數 常 識 」 的 預 測(1620~1645)力 分 析白 雲 霞(1645~1710)文 藻 外 語 學 院 師 資 培 育 中 心 國 小 高 年 級 新 移 民 子 女 的 數 學 文 字 題 學 習 、 閱 讀 理 解 與 學 習介 入 研 究梁 淑 坤(1710~1735)國 立 中 山 大 學 教 育 研 究 所 擴 大 共 同 成 長 模 式 : 以 家 長 參 與 親 子 數 學 為 例每 件 計 畫 成 果 報 告 時 間 10 分 鐘 , 答 詢 時 間 15 分 鐘iii
第 二 天 (101.12.02)A 場 地 :1F 國 際 會 議 廳場 次 7 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱0845~0935謝 豐 瑞(0845~0910)蔡 文 煥(0910~0935)國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系( 所 )國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教育 研 究 所中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程之 研 究0955~1200 與 國 科 會 人 文 處 教 育 學 門 合 辦 主 題 演 講 與 討 論 會場 次 9 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱1330~1445張 宇 樑(1330~1355)陳 彥 廷(1355~1420)謝 闓 如(1420~1445)國 立 嘉 義 大 學 教 育 行 政 與政 策 發 展 研 究 所國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教育 學 系 ( 含 碩 士 班 、 國 民小 學 教 師 在 職 進 修 教 學 碩士 學 位 班 )國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教育 學 系 ( 含 碩 士 班 、 國 民小 學 教 師 在 職 進 修 教 學 碩士 學 位 班 )師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究B 場 地 : 天 文 數 學 館 202 室場 次 8 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱0845~0935張 子 貴(0845~0910)陳 進 春(0910~0935)國 立 東 華 大 學 應 用 數 學 系暨 研 究 所敏 惠 醫 護 管 理 專 科 學 校 通識 教 育 中 心概 念 構 圖 與 合 作 學 習 應 用 在 微 積 分 教 學 之 研 究學 習 基 礎 數 學 的 認 知 診 斷場 次 10 報 告 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱1330~1445趙 曉 美(1330~1355)王 美 娟(1355~1420)邱 美 秀(1420~1445)臺 北 市 立 體 育 學 院 師 資 培育 中 心臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系( 含 數 學 教 育 碩 士 班 )國 立 政 治 大 學 教 育 學 系透 過 教 師 專 業 學 習 社 群 探 討 實 習 輔 導 案 例 之 運 用以 TIMSS2011 認 知 評 量 架 構 探 討 我 國 國 小 學 童 統 計 圖 理 解能 力台 灣 數 理 教 學 與 學 習 之 文 化 藝 品 、 信 念 、 知 識 與 策 略 發展 : 與 PISA 和 TIMSS 結 果 的 關 係每 件 計 畫 成 果 報 告 時 間 10 分 鐘 , 答 詢 時 間 15 分 鐘iv
壁 報 展 示場 地 : 天 文 數 學 館 1F編 號 計 畫 主 持 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱1234567891011121314151617181920黃 幸 美教 授姜 自 強助 理 教 授鍾 靜教 授陳 國 泰副 教 授金 鈐教 授林 碧 珍教 授張 靜 嚳教 授蘇 意 雯助 理 教 授張 淑 怡副 教 授楊 德 清教 授顏 乃 欣教 授易 正 明教 授劉 柏 宏教 授黃 志 賢副 教 授蕭 聰 淵教 授呂 玉 琴教 授侯 雅 齡副 教 授徐 偉 民副 教 授張 景 媛教 授劉 曼 麗教 授臺 北 市 立 教 育 大 學 學 習 與 媒 材 設 計學 系 ( 含 課 程 與 教 學 碩 士 班 )國 立 中 正 大 學 心 理 學 系國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育學 系 ( 所 )文 藻 外 語 學 院 師 資 培 育 中 心國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 )統 合 幾 何 與 體 積 測 量 課 程 與 教 學 之 探 討幾 何 圖 形 的 概 念 心 像 與 概 念 定 義 之 探 討 - 腦 功 能 造 影 研 究運 用 數 學 圖 畫 書 進 行 連 結 主 題 教 學 之 研 究反 省 取 向 的 「 二 階 段 集 中 實 習 課 程 」 對 國 小 師 資 生 數 學 教 學 實 務 知識 發 展 的 影 響 之 研 究資 深 高 中 數 學 教 師 MKT 的 追 蹤 研 究 :KMH 的 內 涵 、 關 係 與 檢 測國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所 師 資 培 育 者 幫 助 教 師 協 助 學 生 學 習 數 學 的 教 師 專 業 發 展 研 究國 立 彰 化 師 範 大 學 科 學 教 育 研 究 所 透 過 引 模 活 動 促 進 中 學 數 學 教 師 專 業 發 展 與 中 學 生 數 學 學 習 之 研 究臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 ( 含 數 學教 育 碩 士 班 )國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育學 系 ( 所 )國 立 嘉 義 大 學 數 理 教 育 研 究 所國 立 政 治 大 學 心 理 學 系敏 惠 醫 護 管 理 專 科 學 校 通 識 教 育 中心國 立 勤 益 科 技 大 學 博 雅 通 識 教 育 中心明 志 科 技 大 學 電 機 工 程 系以 數 學 史 動 畫 設 計 引 動 教 師 專 業 成 長 之 研 究數 學 教 科 書 內 容 之 詮 釋 與 實 踐 分 析 比 較 : 以 分 數 乘 除 為 例臺 灣 、 美 國 、 芬 蘭 、 新 加 坡 與 上 海 國 小 數 學 教 科 書 之 內 容 的 比 較 研究基 本 數 學 運 算 能 力 高 低 者 的 乘 法 運 算 策 略 選 擇 與 大 腦 認 知 負 荷 之 研究建 置 學 習 代 數 的 能 力 指 標微 積 分 改 革 課 程 對 學 生 解 題 行 為 與 發 展 認 識 信 念 之 效 益 分 析提 升 科 技 大 學 工 程 學 生 數 學 思 維 素 養 之 研 究國 立 臺 灣 海 洋 大 學 應 用 英 語 研 究 所 使 用 課 程 管 理 系 統 降 低 研 究 生 的 統 計 焦 慮國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育學 系 ( 所 )國 立 屏 東 教 育 大 學 特 殊 教 育 學 系國 小 高 年 級 數 學 資 優 課 程 方 案 之 設 計 與 實 踐國 中 數 學 資 優 生 參 與 概 念 導 向 數 學 課 程 之 研 究 : 數 學 成 就 動 機 變 化的 縱 貫 分 析國 立 屏 東 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所 國 小 學 校 本 位 數 學 補 救 教 學 模 組 之 應 用慈 濟 學 校 財 團 法 人 慈 濟 大 學 師 資 培育 中 心國 立 屏 東 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所數 學 教 師 學 習 社 群 以 動 態 幾 何 軟 體 協 助 弱 勢 學 生 補 救 教 學 之 研 究 : 以幾 何 證 明 題 為 例把 數 學 學 習 弱 勢 的 孩 子 帶 上 來 : 學 校 本 位 國 小 數 學 補 救 教 學 模 組 的開 發 與 應 用 - 國 小 分 數 與 小 數 補 救 教 學 模 組 的 開 發 與 應 用v
壁 報 展 示場 地 : 天 文 數 學 館 1F編 號 計 畫 主 持 人 執 行 機 構 計 畫 名 稱21龔 心 怡副 教 授國 立 彰 化 師 範 大 學 教 育 研 究 所父 母 參 與 子 女 數 學 學 習 歷 程 之 中 介 效 果 模 式 、 相 互 效 果 模 式 與 潛 在成 長 曲 線 模 式 之 縱 貫 研 究22林 福 來教 授國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 )數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 總 計畫23林 碧 珍教 授國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所數 學 教 師 與 其 師 資 培 育 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 一 : 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 臆 測 活 動 的 專 業 成 長 研 究24鍾 靜教 授國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育學 系 ( 所 )數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計畫 二 : 國 小 領 導 教 師 數 學 評 量 知 能 之 師 培 力 發 展25秦 爾 聰副 教 授國 立 彰 化 師 範 大 學 科 學 教 育 研 究 所數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計畫 六 : 中 學 數 學 教 師 參 與 數 學 活 動 設 計 以 提 升 專 業 成 長 之 研 究26林 福 來教 授國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 )數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計畫 七 : 中 學 在 職 教 師 設 計 「 融 入 臆 測 的 診 斷 式 概 念 學 習 活 動 序 列 」 之教 學 力 成 長 模 式27左 台 益副 教 授國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 )動 態 幾 何 學 習 環 境 之 設 計 、 建 置 與 評 量 - 總 計 畫28吳 慧 敏副 教 授佛 光 大 學 學 習 與 數 位 科 技 學 系( 所 )動 態 幾 何 學 習 環 境 之 設 計 、 建 置 與 評 量 - 子 計 畫 一 : 動 態 幾 何 工 作 範例 設 計 與 成 效 評 估 之 研 究29馬 秀 蘭教 授嶺 東 科 技 大 學 企 業 管 理 系數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 三 : 服 務 業 的 數 學 與 態 度 研 究與 國 科 會 人 文 處 教 育 學 門 合 辦 主 題 演 講 與 討 論 會 議 程A 場 地 :1F 國 際 會 議 廳時 間活 動 內 容09:55~10:05 主 持 人 : 林 福 來 教 授 ( 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 )引 言 題 目 : 數 學 素 養10:05~10:5010:50~11:35主 題 演 講 1主 講 :Prof. Dr. Kristina Reiss (TUM School of Education)講 題 :Developing mathematical competence主 題 演 講 2主 講 : 陳 淑 麗 教 授 ( 國 立 台 東 大 學 永 齡 台 東 教 學 研 發 中 心 )曾 世 杰 教 授 ( 國 立 台 東 大 學 副 校 長 )講 題 : 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究Evidence-based Remedial Chinese Reading Instruction11:35~12:00 綜 合 討 論vi
目錄(A 場 地 :1F 國 際 會 議 廳 )數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 三 : 促 進 國小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑 鄭 英 豪 01-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長 陳 嘉 皇 11-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫 李 源 順 21-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究 李 源 順 53-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究 吳 德 邦 71-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫 林 福 來 93-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究陳 幸 玫 121-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量林 素 微 157-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 統 計 推 論 之 認 知 神 經 發 展 縱 貫 研 究 - 不 確定 性 的 認 知楊 志 堅-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學知 能 楊 凱 琳 171-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發譚 克 平 183-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象 吳 昭 容 199-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究 李 秀 妃 223-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響 劉 伯 雯 233-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展 謝 豐 瑞 255-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究 蔡 文 煥 277-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能之 研 究 張 宇 樑 285-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模式 之 建 構 陳 彥 廷 307-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究 謝 闓 如 329-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究 陳 淑 麗 、 曾 世 杰 337-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------台 大 校 園 地 圖 359-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------與 會 人 士 名 單 363
鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用- 子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的師 培 課 程 設 計 與 評 鑑計 畫 類 別 :□ 個 別 型 計 畫 ■ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 100-2511-S-133 -007 -執 行 期 間 : 100 年 8 月 1 日 至 101 年 7 月 31 日計 畫 主 持 人 : 鄭 英 豪計 畫 參 與 人 員 : 蘇 逸 民 、 張 芷 瑄成 果 報 告 類 型 ( 依 經 費 核 定 清 單 規 定 繳 交 ):■ 精 簡 報 告 □ 完 整 報 告本 成 果 報 告 包 括 以 下 應 繳 交 之 附 件 :□ 赴 國 外 出 差 或 研 習 心 得 報 告 一 份□ 赴 大 陸 地 區 出 差 或 研 習 心 得 報 告 一 份■ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告 及 發 表 之 論 文 各 一 份 ( 略 )□ 國 際 合 作 研 究 計 畫 國 外 研 究 報 告 書 一 份處 理 方 式 : 除 產 學 合 作 研 究 計 畫 、 提 升 產 業 技 術 及 人 才 培 育 研 究 計 畫 、 列管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,■ 一 年 □ 二 年 後 可 公 開 查 詢執 行 單 位 : 臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系中 華 民 國 101 年 10 月 30 日1
鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑一 、 研 究 定 位 與 目 的本 研 究 為 整 合 型 研 究 計 畫 「 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 」的 第 三 個 子 計 畫 , 總 計 畫 的 目 標 在 透 過 不 同 的 研 究 目 標 ( 數 學 力 、 教 學 力 、 師 培 力 ) 與 不 同 的設 計 工 具 ( 臆 測 、 概 念 啟 蒙 、 數 學 探 究 、 建 模 和 融 入 臆 測 的 概 念 診 斷 ), 探 究 在 特 定 教 學 氛 圍下 的 認 知 行 動 所 產 生 的 學 習 成 效 , 以 師 培 者 - 教 師 - 學 生 三 者 的 互 動 所 形 成 的 3x3 模 式 引 發 不同 的 研 究 方 向 , 並 透 過 多 樣 資 料 與 多 種 觀 點 的 交 叉 比 對 分 析 , 逐 步 形 成 與 檢 驗 東 方 特 質 的 教師 專 業 成 長 模 式 與 理 論 。 企 圖 發 展 將 師 培 者 、 教 師 與 學 生 視 為 一 共 同 體 的 理 論 , 也 探 究 整 合創 新 與 草 根 性 教 學 設 計 的 本 土 理 論 , 增 加 從 事 數 學 教 育 工 作 者 對 本 土 性 師 資 培 育 場 域 的 瞭解 。 此 外 , 教 學 工 作 坊 及 研 習 會 的 舉 辦 、 本 土 性 理 論 的 發 展 , 都 有 助 於 提 昇 國 內 教 師 的 專 業知 能 與 數 學 教 育 研 究 在 國 際 上 的 地 位 。 對 於 參 與 人 員 而 言 , 能 隨 著 研 究 的 進 行 及 討 論 的 交 流 ,提 供 自 己 的 經 驗 , 並 分 享 他 人 的 研 究 經 驗 , 在 研 究 領 域 上 得 到 成 長 。本 計 畫 為 第 三 個 子 計 畫 , 以 教 學 碩 士 班 為 場 域 , 以 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑 為 目 標 , 在 概 念 啟 蒙 的 氛 圍 下 , 探 討 如 何 設 計 培 育 課 程 與 學習 活 動 , 可 以 使 國 小 在 職 教 師 發 展 出 主 動 進 行 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 序 列 設 計 與 實 作 的 修 正 之 能力 , 在 這 個 主 要 目 標 下 , 本 研 究 主 要 關 注 以 下 兩 個 議 題 :‧ 國 小 在 職 教 師 如 何 轉 化 與 調 整 培 育 課 程 所 學 以 及 教 學 現 場 所 做 , 發 展 出 主 動 精 進 教 學的 能 力‧ 國 小 在 職 教 師 教 學 碩 士 班 ( 長 時 間 定 時 學 習 ) 的 培 育 課 程 應 如 何 設 計 、 實 施 與 評 鑑二 、 國 小 教 師 數 學 概 念 教 學 的 可 能 困 難在 國 小 數 學 中 , 概 念 是 由 不 同 情 境 、 表 徵 、 語 言 中 的 共 同 屬 性 所 粹 取 而 成 , 過 程 中 抽 象程 度 低 、 專 用 詞 彙 也 還 不 具 有 可 共 同 認 知 的 語 言 功 能 , 在 這 個 階 段 , 數 學 元 素 本 身 是 一 個 個實 例 與 一 次 次 學 習 慢 慢 累 積 而 成 , 其 間 便 附 帶 有 未 成 形 概 念 的 運 用 、 推 理 與 解 題 等 , 雖 然 抽象 度 低 、 難 度 低 , 但 是 相 對 的 學 習 資 訊 廣 度 極 大 , 例 如 一 個 概 念 可 以 內 嵌 在 用 家 庭 的 、 學 校的 、 交 通 的 、 娛 樂 的 、 社 會 的 、 自 然 等 等 的 不 同 情 境 中 , 可 以 單 用 或 混 用 用 文 字 、 數 值 、 圖像 、 情 境 圖 、 示 意 圖 、 數 線 圖 、 結 構 圖 等 表 徵 呈 現 , 可 以 用 生 活 用 語 、 專 用 詞 彙 、 代 號 、 記號 、 語 法 、 書 寫 格 式 等 等 語 言 方 式 表 達 , 也 較 不 具 邏 輯 性 與 前 後 序 列 關 連 。我 們 可 以 想 像 這 是 一 個 大 量 不 同 水 平 資 訊 的 匯 集 , 從 中 察 覺 共 同 性 與 不 變 性 , 就 如 樹 的根 部 一 樣 盤 根 錯 節 , 但 又 共 同 支 撐 與 衍 生 上 方 的 枝 幹 一 般 。 這 個 盤 根 錯 節 的 國 小 數 學 課 程 被分 割 為 六 年 實 施 , 每 一 個 概 念 的 漸 次 發 展 與 概 念 間 的 連 結 都 可 能 被 細 切 成 教 學 序 列 , 在 分 高中 低 年 段 教 學 的 現 實 脈 絡 中 , 國 小 教 師 很 容 易 減 低 對 概 念 前 後 發 展 的 承 接 與 整 體 結 構 的 關注 , 而 只 集 中 在 所 任 教 年 段 的 內 容 上 , 許 多 在 其 後 必 要 的 數 學 概 念 或 數 學 思 考 因 而 可 能 在 其教 學 中 被 弱 化 掉 , 例 如 低 年 級 學 習 面 積 測 量 時 , 學 生 需 要 在 平 方 公 分 板 上 把 三 角 形 切 成 兩 個再 拼 成 一 個 正 方 形 , 之 後 撤 掉 平 方 公 分 板 , 學 生 依 然 必 須 要 能 夠 以 視 覺 推 理 進 行 切 割 拼 湊 將圖 形 重 組 成 正 方 形 或 長 方 形 , 這 裡 對 於 切 割 拼 湊 的 重 視 若 僅 止 於 「 拼 成 幾 個 格 子 」, 高 年 級 對2
鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑於 幾 何 圖 形 的 面 積 問 題 就 會 產 生 「 想 不 下 去 」 的 阻 礙 。 又 如 在 課 程 中 有 許 多 數 與 幾 何 或 數 與代 數 共 用 的 指 標 , 這 表 示 在 對 應 的 學 習 材 料 中 , 兩 種 範 疇 的 特 質 都 具 備 也 都 需 要 照 顧 , 但 是從 在 職 教 師 的 教 學 示 範 中 , 我 們 常 常 看 見 教 師 會 偏 廢 某 種 範 疇 屬 性 的 強 調 , 最 常 見 的 就 是 忽略 算 數 問 題 中 的 代 數 意 涵 , 於 是 「 算 數 規 則 」 往 往 在 不 能 充 分 理 解 下 變 成 「 口 訣 公 式 」, 其 中代 數 思 維 與 代 數 物 件 的 學 習 成 效 就 被 忽 略 。我 國 的 教 師 培 育 在 國 中 以 上 採 用 專 門 學 科 + 教 育 學 程 的 模 式 , 因 此 國 中 以 上 的 數 學 教 師 普遍 都 是 主 修 數 學 相 關 科 系 的 學 生 附 加 師 培 課 程 , 而 在 國 小 教 師 部 分 , 由 於 國 小 採 合 科 教 學 ,因 此 國 小 教 師 雖 然 大 學 時 期 也 有 主 修 領 域 , 但 擔 任 教 職 這 部 分 的 養 成 本 質 上 只 是 少 量 的 分 科教 學 知 能 , 即 使 許 多 教 育 大 學 設 有 數 學 相 關 科 系 , 但 師 資 培 育 的 總 量 中 , 真 正 主 修 數 學 的 師培 生 相 對 是 少 數 , 對 非 數 學 主 修 的 師 培 生 而 言 , 大 學 期 間 在 數 學 方 面 通 常 僅 有 普 通 數 學 與 數學 科 教 材 教 法 兩 門 課 。 在 這 種 培 育 脈 絡 下 , 從 前 段 國 小 概 念 教 學 的 脈 絡 看 來 , 國 小 教 師 在 數學 概 念 教 學 方 面 有 以 下 幾 種 可 能 的 限 制 :‧ 數 學 知 識 的 高 度 與 sense 不 夠 ( 非 專 長 或 所 學 有 限 ), 因 此 無 法 掌 握 概 念 本 身 的 關 鍵 屬 性 ,可 能 較 容 易 從 學 生 計 算 答 題 的 正 確 性 來 評 量 與 診 斷 學 生 , 但 無 法 深 入 瞭 解 學 生 的 迷 思概 念 。‧ 對 整 體 學 習 發 展 的 關 注 度 不 夠 ( 國 小 多 數 採 低 中 高 三 年 段 制 , 少 有 跨 年 段 機 會 ), 因 此 只關 注 在 年 段 內 的 教 學 任 務 , 可 能 無 法 瞭 解 許 多 學 生 的 困 難 來 自 於 前 一 個 年 段 , 也 可 能無 法 幫 助 學 生 解 決 前 一 個 年 段 的 學 習 困 難 。‧ 學 科 教 學 發 展 的 動 機 較 弱 ( 因 包 班 合 科 授 課 , 不 易 有 特 定 學 科 的 關 心 ), 因 此 面 對 龐 雜 的學 科 教 學 、 班 級 經 營 、 親 師 關 係 、 個 案 輔 導 、 行 政 協 助 等 等 教 師 任 務 之 下 , 提 升 數 學教 學 思 維 可 能 從 來 不 是 意 識 中 要 作 的 事 。這 些 國 小 教 師 教 學 上 的 限 制 似 乎 一 直 沒 有 被 重 視 與 解 決 , 本 研 究 認 為 這 是 一 個 我 們 應 該要 幫 助 在 職 教 師 克 服 的 教 學 問 題 。三 、 研 究 歷 程( 一 ) 研 究 對 象 的 起 點 狀 態問 卷 調 查 :1. 在 妳 現 在 正 在 教 的 年 段 ( 級 ) 中 , 哪 一 個 單 元 的 概 念 是 學 生 學 得 比 較 不 好 的 ?2. 學 生 哪 裡 學 不 好 ? 他 們 會 發 生 什 麼 錯 誤 ? 他 們 是 怎 麼 想 的 ? 有 多 少 人 會 這 樣 ?3. 這 個 單 元 中 什 麼 是 最 重 要 的 ? 先 備 是 什 麼 ? 連 結 到 哪 裡 ? 後 續 是 什 麼 ?4. 妳 通 常 是 怎 麼 教 的 ? 妳 的 教 學 關 注 在 哪 裡 ? 妳 做 多 少 事 前 準 備 ? 如 何 使 用 教 材 ?5. 妳 認 為 這 個 困 境 是 可 以 解 決 的 嗎 ? 妳 覺 得 自 己 的 盲 點 在 哪 裡 ?問 卷 分 析 :1. 雖 然 每 位 老 師 都 能 說 出 在 該 任 教 年 段 中 學 生 最 常 見 的 錯 誤 , 指 出 錯 誤 之 所 在 , 但 只 有 3位 老 師 能 精 確 指 出 學 生 錯 誤 想 法 下 , 迷 思 概 念 的 狀 態 與 意 涵 , 其 餘 12 位 老 師 都 只 能 以「 計 算 錯 誤 」、「 不 了 解 」、「 粗 心 」 等 表 層 的 表 現 來 解 釋 學 生 的 困 難 。3
鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑2. 有 11 位 事 實 上 指 不 出 學 生 錯 誤 中 的 概 念 成 分 , 而 僅 是 以 學 生 答 題 的 正 確 性 或 解 題 表 現的 合 理 性 來 判 斷 學 生 的 問 題 所 在 。3. 在 進 一 步 要 求 提 出 解 決 方 案 時 ,15 位 老 師 都 是 進 行 該 單 元 應 學 內 容 的 直 接 教 學 , 強 調講 慢 一 點 、 多 講 幾 遍 、 多 做 練 習 等 等 程 序 熟 練 的 作 為 , 未 有 老 師 是 從 迷 思 概 念 的 診 斷 或調 整 出 發 。4. 而 其 教 學 方 式 與 用 例 ,13 位 老 師 都 是 以 所 用 教 科 書 進 行 , 即 便 是 有 2 位 老 師 有 參 考 多家 版 本 整 合 出 教 學 用 例 , 但 也 都 是 一 個 例 子 教 一 個 概 念 , 直 接 教 完 就 做 練 習 。起 點 描 述 :1. 多 數 老 師 只 看 到 學 生 的 「 錯 誤 」 與 「 不 能 」, 不 是 從 概 念 發 展 的 角 度 說 明 學 生 的 學 習 問題 。2. 概 念 發 展 的 理 解 為 textbook-dominated 狀 態 , 偏 向 從 數 學 內 容 連 結 來 描 述 , 大 致 上 與 教學 手 冊 及 能 力 指 標 一 致 。3. 照 本 宣 科 教 學 , 難 的 地 方 講 慢 一 點 、 練 習 多 一 點 。4. 對 改 變 現 況 樂 觀 而 有 期 待 , 但 是 擔 心 進 度 、 考 試 等 環 境 張 力 的 牽 制 。5. 少 數 老 師 覺 得 一 定 比 例 的 學 生 不 會 是 正 常 的 , 自 己 的 教 學 可 以 更 費 力 , 但 是 效 益 不 大 。6. 少 數 老 師 已 有 使 用 圖 像 表 徵 教 學 可 以 更 好 的 心 得 。( 二 ) 教 學 介 入澄 清 各 教 學 問 題 中 的 概 念 意 涵 :1. 各 單 元 的 難 點 與 其 中 的 概 念 解 釋 : 區 分 概 念 與 程 序 , 並 討 論 學 生 問 題 的 實 質 意 涵 。2. 量 與 數 的 概 念 發 展 層 次 與 情 境 結 構 。3. 概 念 形 成 的 基 礎 理 論 : 模 式 與 數 學 化 模 型 。4. 數 學 瞭 解 的 對 偶 理 論 與 遞 迴 瞭 解 模 式 。5. 直 觀 法 則 。概 念 教 學 的 基 本 主 張 與 應 用 :1. 表 徵 類 型 與 應 用 。2. 子 概 念 的 切 割 與 連 綴 。3. 啟 蒙 例 的 評 析 與 四 個 屬 性 : 樂 學 、 易 學 、 代 表 、 發 展 。4. 錯 誤 的 診 斷 與 調 整 設 計 。5. 概 念 形 成 的 銜 接 設 計 。( 三 ) 在 職 教 師 的 教 學 設 計 與 輔 導修 正 教 學 設 計 的 基 本 思 維 :1. 針 對 學 生 的 難 點 , 你 的 學 生 是 哪 裡 不 會 ? 他 會 的 是 什 麼 ? 他 能 作 什 麼 ?2. 請 作 一 個 教 學 設 計 , 幫 助 學 生 從 會 的 學 到 本 來 學 不 會 的 , 讓 學 生 學 會 。教 學 設 計 的 評 析 與 建 議 原 則 :1. 這 個 教 學 中 什 麼 是 最 重 要 的 ? 先 備 是 什 麼 ? 連 結 到 哪 裡 ? 後 續 是 什 麼 ?2. 教 學 關 注 在 哪 裡 ? 用 什 麼 例 子 ? 如 何 呈 現 教 材 ? 如 何 佈 置 學 習 活 動 ?3. 教 學 內 容 的 考 量 點 有 :4
鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑(1) 數 學 內 容 (Content)數 學 概 念 、 運 作 ( 算 )、 性 質 … 的 考 量 , 聚 焦 於 概 念 結 構 。(2) 運 思 情 境 (Situation)生 活 的 、 擬 真 的 、 虛 擬 的 、 數 學 的 … 等 的 考 量 , 聚 焦 於 表 現 概 念 的 屬 性 。(3) 學 習 提 問 (Posing)問 題 、 觀 察 、 操 作 … 等 的 考 量 , 聚 焦 於 產 生 概 念 屬 性 的 察 覺(4) 表 徵 (Representation)數 字 / 符 號 / 文 字 、 表 格 、 靜 態 / 動 態 圖 像 … 的 考 量 , 聚 焦 於 概 念 的 具 像 化 與 可 運 思 性 。(5) 闡 釋 (Exposition)過 程 、 結 論 、 澄 清 … 的 考 量 , 聚 焦 於 澄 清 意 義 與 抽 離 屬 性 。4. 概 念 教 學 應 著 眼 於 Big Idea 而 不 只 是 教 材 內 的 特 定 內 容 。四 、 在 職 教 師 的 設 計 作 品 舉 隅( 一 ) 在 職 教 師 編 號 :T11請 依 老 師 的 提 示 完 成 出 題 並 畫 圖 解 出 答 案 。題 目 有 10 塊 蛋 糕 分 給 兩 個 人 , 請 問 每 個 人 的 得 幾 塊 ?圖 解□ □ □ □ □ □ □ □ □ □題 目 有 10 塊 蛋 糕 每 兩 個 裝 一 盒 , 請 問 可 以 裝 幾 盒 ?圖 解□ □ □ □ □ □ □ □ □ □題 目 5 塊 蛋 糕 分 給 3 個 人 , 請 問 每 個 人 的 得 幾 塊 ?圖 解 □ □ □ □ □題 目 一 盒 蛋 糕 裡 有 3 塊 ,5 塊 蛋 糕 相 當 於 幾 盒 ?圖 解 □ □ □ □ □下 面 題 目 文 字 不 見 了 , 請 依 提 示 出 題 並 圖 解 。題 目圖 解 □ □ □ □題 目5
鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑圖 解 □ □ □ □題 目圖 解 □ □ □題 目圖 解 □ □ □題 目圖 解 □ □ □題 目圖 解 □ □ □設 計 解 說 :以 高 年 級 學 生 為 設 計 對 象 , 目 的 在 於 測 試 學 生 看 到 除 法 算 式 時 能 有 怎 樣 的 聯 想 。 因 此 以算 式 要 求 學 生 布 題 並 圖 解 , 來 看 看 學 生 對 於 除 法 的 了 解 與 聯 想 。最 主 要 有 包 含 等 分 除 與 包 含 除 , 至 於 分 數 的 除 法 自 然 難 以 用 等 分 除 來 表 示 , 不 過 可 以 用逆 算 的 方 式 做 思 考 。以 為 例虛 線 部 份 是 我 多 畫 的 部 分 , 這 應 當 也 是 一 種 思 考 方 式 。( 二 ) 在 職 教 師 編 號 :T14一 、 認 識 周 界( 一 ) 用 粉 筆 在 地 上 畫 出 一 個 沒 有 缺 口 的 圈 圈 。 一 個 小 朋 友 在 圈 圈 的 外 面 當 老 鷹 , 其 他 小朋 友 在 圈 圈 裡 面 當 小 雞 , 當 老 鷹 的 小 朋 友 不 可 以 踩 進 圈 圈 裡 , 只 要 他 伸 手 碰 到 圈 圈裡 面 的 小 朋 友 , 被 碰 到 的 小 朋 友 就 要 替 換 出 來 當 老 鷹 。6
想 想 看鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑(1) 要 怎 麼 畫 才 不 會 有 缺 口 ?(2) 在 圈 圈 內 的 小 朋 友 可 以 踩 線 嗎 ?( 二 ) 做 做 看1. 把 愛 心 塗 滿 顏 色2. 沿 著 黑 線 把 愛 心 、 健 康 快 樂 及 謝 謝 您 剪 下 。3. 把 愛 心 貼 在 色 紙 上4. 把 謝 謝 您 貼 在 愛 心 裡 面 ( 內 部 )5. 把 健 康 快 樂 貼 在 愛 心 外 面 ( 外 部 )二 、 認 識 圖 形 的 內 部 、 外 部1. 根 據 剛 剛 剪 貼 出 來 的 圖 形 , 我 們 來 認 識 圖 形 的 周 界 、 內 部 周 界 和 外 部2. 拿 出 一 個 十 元 硬 幣 。(1) 用 鉛 筆 把 硬 幣 的 周 界 描 在 下 面 。描 出 的 形 狀 是 ( ) 形 。(2) 把 圖 形 的 內 部 塗 上 顏 色 。三 、 分 辨 平 面 圖 性 的 周 界 、 內 部 和 外 部1. 下 面 哪 些 圖 形 有 周 界 ?用 紅 筆 描 出 他 們 的 「 周 界 」 並 且 在 圖 形 「 內 部 」 塗 上 顏 色 。7
想 想 看 :鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑1. 什 麼 樣 的 圖 形 才 會 有 周 界 ?2. 有 缺 口 的 圖 形 能 不 能 區 分 內 部 和 外 部 ?------------------------------------------沒 有 缺 口 的 圖 形 才 有 周 界 。四 、 周 界 和 周 長1. 認 識 周 界 與 周 長(1) 平 面 圖 形 外 圍 的 線 就 是 「 周 界 」, 周 界 的 裡 面 叫 做 「 內 部 」, 周 界 的 外 面 叫 做 「 外 部 」,周 界 的 長 度 叫 做 「 周 長 」。(2) 周 界 的 長 度 叫 做 「 周 長 」( 二 ) 在 職 教 師 編 號 :T12ㄧ、 將 下 列 的 柱 體 橫 切 , 切 開 後 的 截 面 ( 新 切 的 面 ) 是 什 麼 形 狀 ?_______________和 底 面 有 沒 有 ㄧ 樣 ?__________二 、 將 下 列 的 柱 體 縱 切 , 切 開 後 的 截 面 ( 新 切 的 面 ) 是 什 麼 形 狀 ?_______________和 側 面 有 沒 有 ㄧ 樣 ?__________三 、 請 仔 細 閱 讀 題 目 , 並 把 答 案 填 入 空 格 內 。(1) 三 角 錐 的 底 面 是 ( ) 形 , 底 面 有 ( ) 個 頂 點 , 尖 端 有 ( ) 個 頂 點 , 共有 ( ) 個 頂 點 。(2) 三 角 錐 的 側 面 是 ( ) 形 , 側 面 有 ( ) 條 邊 , 全 部 共 有 ( ) 條 邊 。(3) 五 角 柱 的 底 面 是 ( ) 形 , 共 有 ( ) 個 面 ; 底 面 有 ( ) 個 頂 點 , 全 部 共有 ( ) 個 頂 點 。8
鄭 英 豪 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 -子 計 畫 三 : 促 進 國 小 教 師 設 計 數 學 概 念 啟 蒙 活 動 之 教 學 力 的 師 培 課 程 設 計 與 評 鑑(4) 三 角 錐 的 側 面 是 ( ) 形 , 側 面 有 ( ) 條 邊 , 全 部 共 有 ( ) 條 邊 。四 、 請 問 左 下 角 的 柱 體 , 它 的 展 開 圖 是 下 列 哪 一 個 ?_________ ( 請 填 代 號 )五 、 下 列 的 展 開 圖 中 , 哪 些 能 組 合 成 一 個 立 體 圖 形 ? 請 在 表 格 內 填 答 , 可 以 的 請 畫 ○,不 可 以 的 請 畫 ×。六 、 以 下 是 佳 玲 所 收 集 的 的 積 木 。333633(1) 請 問 下 列 哪 一 個 紙 盒 比 較 適 合 裝 她 所 蒐 集 的 積 木 ?我 認 為 是 : □ 甲 盒 □ 乙 盒 □ 丙 盒 比 較 合 適 。(2) 理 由 是 :設 計 動 機 及 說 明我 希 望 可 以 透 過 多 一 些 具 體 物 操 作 、 立 體 模 型 的 展 開 與 摺 合 , 讓 孩 子 加 深 對 圖 形 與 空 間 的 概念 。 展 開 、 摺 合 活 動 常 出 現 在 我 們 日 常 生 活 中 , 如 將 紙 箱 展 開 攤 平 以 利 資 源 回 收 、 組 合 及 拆解 樂 高 積 木 、 建 築 及 繪 圖 能 力 等 , 所 以 , 我 想 探 討 怎 樣 的 教 學 或 學 習 後 , 能 提 升 此 方 面 能 力 。學 不 好 之 處 : 空 間 方 位 與 空 間 視 覺 化 推 理 部 分 明 顯 不 足錯 誤 樣 式 : 無 法 分 析 柱 、 錐 體 的 組 成 要 素 、 點 線 面 之 關 係 、 空 間 方 位 判 斷 力 不 佳9
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php10
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫□ 期 中 進 度 報 告■ 期 末 報 告( 計 畫 名 稱 )數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用- 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長計 畫 類 別 :□ 個 別 型 計 畫 ■ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 100-2511-S-168-003-執 行 期 間 : 2011 年 08 月 01 日 至 2012 年 07 月 31 日執 行 機 構 及 系 所 : 崑 山 科 技 大 學 通 識 教 育 中 心計 畫 主 持 人 : 陳 嘉 皇共 同 主 持 人 :計 畫 參 與 人 員 : 黃 郁 婷本 計 畫 除 繳 交 成 果 報 告 外 , 另 含 下 列 出 國 報 告 , 共 1 份 :□ 移 地 研 究 心 得 報 告■ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告□ 國 際 合 作 研 究 計 畫 國 外 研 究 報 告處 理 方 式 : 除 列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,■ 一 年 □ 二 年 後 可 公 開 查 詢中 華 民 國 102 年 9 月11
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長壹 、 研 究 動 機 與 目 的Carpenter、Franke 與 Levi(2003)、Kaput(1999)、Kieran(2004)、Mason (1996)等 學 者 認 為 數 學 一 般 化 的 活 動 是 概 念 與 不 同 表 徵 和 它 們 之 間 關 係 的 推 理 、 檢 驗 與探 究 一 些 概 念 實 體 有 關 事 實 的 宣 稱 。 因 此 , 數 學 教 育 的 核 心 在 於 喚 醒 學 生 對 數 學一 般 化 本 質 的 知 覺 , 促 其 能 運 用 數 學 模 式 表 達 數 量 的 關 係 , 使 用 代 數 符 號 呈 現 數學 結 構 , 以 理 解 樣 式 及 函 數 。 一 般 化 的 作 業 若 能 透 過 特 殊 的 案 例 分 析 , 促 進 學 生一 般 化 的 推 理 技 巧 , 進 行 系 統 組 織 、 臆 測 和 歸 納 , 將 樣 式 的 規 則 抽 離 出 來 , 呈 現與 轉 化 數 學 結 構 的 知 識 和 物 件 的 關 係 , 且 能 表 達 和 論 證 一 般 化 , 那 麼 可 以 提 供 學生 思 考 路 徑 及 發 現 規 則 等 實 質 效 益 , 也 可 以 促 進 解 題 能 力 的 發 展 (Blanton &Kaput, 2002; Sfard, 1991)。探 索 學 生 一 般 化 如 何 理 解 和 運 用 的 議 題 , 有 兩 項 重 要 的 考 量 : 一 是 呼 應 認 知發 展 的 研 究 ( 數 學 力 ,Mathematical power)。 學 生 一 般 化 的 運 用 與 理 解 , 對 於 研 究思 考 發 展 不 同 數 學 知 識 之 間 的 交 互 作 用 , 提 供 一 項 重 要 的 媒 介 。 二 是 數 學 教 學 的啟 發 ( 教 學 力 ,Pedagogical power)。 可 提 供 說 明 數 學 教 學 實 務 現 場 一 些 潛 在 的 重要 議 題 。 學 生 一 般 化 產 出 的 困 難 是 結 構 性 的 問 題 , 包 含 個 體 推 理 思 考 與 解 題 策 略心 智 的 表 現 , 教 學 要 素 中 問 題 樣 式 、 定 義 特 徵 和 所 需 相 似 解 題 方 法 的 概 念 化 , 與學 生 在 教 室 互 動 中 客 觀 化 知 識 產 出 意 義 所 運 用 的 訊 號 及 步 驟 。 因 此 , 樣 式 一 般 化的 活 動 , 是 認 知 、 心 理 、 社 會 與 文 化 結 合 的 複 合 體 , 必 須 要 從 一 般 化 模 組 化(modeling) 數 學 概 念 的 歷 程 , 以 「 整 體 」 的 角 度 去 思 索 教 學 實 務 的 問 題 , 包 含 教師 與 學 生 知 識 的 建 構 、 擴 展 、 轉 化 與 應 用 等 。代 數 推 理 的 工 作 也 需 依 賴 教 師 「 代 數 眼 睛 和 耳 朵 」 的 發 展 (Blanton & Kaput,2003, 2005), 將 進 行 的 算 術 工 作 , 擴 展 到 包 含 代 數 推 理 的 機 會 , 這 些 機 會 包 含 教師 課 程 的 設 計 , 教 學 步 驟 的 實 施 , 甚 至 於 教 師 專 業 團 體 的 對 話 。 一 般 化 對 小 學 學生 而 言 是 項 新 的 概 念 , 對 教 師 而 言 亦 是 重 要 的 挑 戰 。 一 般 化 的 學 習 , 對 學 童 來 講是 困 難 的 , 但 也 讓 教 師 了 解 到 學 童 需 有 及 早 的 機 會 接 觸 代 數 推 理 (Driscoll, 1999;Kaput, 1999; NCTM ,1998, 2000)。 研 究 雖 然 提 供 學 童 在 教 室 裡 參 與 代 數 推 理 的 範例 及 證 據 , 但 是 有 關 教 師 專 業 發 展 的 效 果 卻 鮮 少 證 據 提 供 , 關 於 教 師 代 數 知 識 專業 發 展 和 學 童 成 就 資 料 關 係 的 欠 缺 , 已 經 在 各 種 數 學 會 議 上 被 視 為 是 代 數 推 理 研究 方 面 重 要 的 限 制 (Chick, Stacey, Vincent, & Vincent, 2001)。近 年 來 , 一 些 研 究 設 計 理 論 已 可 做 為 協 助 教 師 專 業 發 展 的 機 制 (Gravemeijer,1998, 2004; Ruthven et al., 2009; Simon, 1995), 像 是 指 導 如 何 設 計 教 學 順 序 、 安 排教 學 內 涵 、 佈 置 合 適 的 教 學 情 境 , 為 教 師 概 念 化 代 數 推 理 , 創 造 教 師 參 與 一 般 化學 習 的 方 法 與 機 會 , 讓 學 童 一 般 化 的 活 動 在 小 學 階 段 的 實 施 更 具 效 能 。 學 者 也 認12
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長為 不 管 是 師 資 培 育 或 是 教 師 專 業 發 展 , 皆 應 促 進 數 學 教 師 思 考 的 能 力 , 且 從 教 室現 場 透 過 教 學 設 計 與 實 施 歷 程 中 的 學 生 表 現 , 呈 現 與 理 解 其 教 學 力 和 數 學 力 的 成效 (Gravemeijer, 1999, 2004; Spitzer, Phelps, Beyers, Johnson, & Sieminski, 2010;Stylianides & Ball, 2008)。 上 述 論 點 適 足 以 成 為 本 研 究 促 進 國 小 教 師 數 學 一 般 化活 動 設 計 專 業 成 長 的 立 論 基 礎 , 亦 可 做 為 教 師 專 業 發 展 所 欲 達 成 的 目 的 。研 究 目 的 如 下 :一 、 指 導 在 職 教 師 探 索 國 小 數 學 一 般 化 基 模 建 置 的 要 素 , 協 助 其 以 紮 根 式 的 設計 思 考 架 構 進 行 一 般 化 序 列 活 動 設 計 ( 第 一 年 )。貳 、 文 獻 探 討一 、 一 般 化 與 基 模 之 關 係數 學 解 題 歷 程 的 研 究 對 於 學 生 概 念 如 何 轉 化 和 連 結 , 包 括 基 模 的 建 構 , 已 經產 出 一 些 解 釋 ( 作 者 ,2011; 陳 慧 姿 ,2009; 陳 麗 華 ,1988;Cheng & Holyoak, 1985;English & Halford, 1995), 這 些 學 者 認 為 基 模 可 視 為 是 建 構 心 智 模 式 的 基 石 , 因此 , 一 般 化 可 經 由 基 模 的 建 構 與 應 用 協 助 完 成 。 何 謂 基 模 ?Marshall (1995) 將 他描 述 成 是 種 人 類 記 憶 的 機 制 , 可 進 行 儲 存 、 綜 合 、 歸 納 及 提 取 經 驗 , 基 模 讓 個 體組 織 相 似 的 經 驗 , 進 而 協 助 辨 識 額 外 的 經 驗 。Piaget (1977) 則 運 用 基 模 的 觀 念 當成 科 學 連 結 研 究 的 基 礎 , 他 主 張 基 模 的 發 展 可 透 過 個 體 目 標 導 向 的 行 動 而 被 連 結 ,當 個 體 與 物 理 環 境 交 互 作 用 時 , 行 動 不 僅 被 當 成 可 觀 察 的 行 為 , 且 可 當 成 心 智 的活 動 , 緊 密 的 與 個 體 的 經 驗 相 連 結 。基 模 具 備 多 元 的 屬 性 , 指 的 是 一 組 群 聚 的 知 識 , 包 含 概 念 性 與 程 序 性 知 識 、這 些 知 識 之 間 的 關 係 、 及 如 何 與 何 時 運 用 這 些 知 識 等 資 訊 。 當 知 識 進 行 串 連(chunk) 時 , 基 模 會 引 導 新 資 訊 的 同 化 作 用 , 將 新 資 訊 與 既 存 的 知 識 進 行 整 合 ,儲 存 後 , 將 來 處 在 新 情 境 時 可 以 感 覺 並 加 以 運 用 。 因 此 , 以 基 模 的 觀 點 來 看 , 獲得 與 先 前 基 模 相 連 結 的 數 學 概 念 、 原 理 與 步 驟 , 會 反 過 來 為 將 來 的 探 索 活 動 提 供知 識 的 基 礎 , 這 些 知 識 的 連 結 與 重 組 可 產 生 更 新 且 有 力 的 基 模 結 構 。Seel、Ifenthaler 與 Pirnay-Dummer(2009) 主 張 認 同 作 用 依 賴 基 模 的 可 用 性 與 活 化 產 生 ,因 為 他 可 讓 新 的 訊 息 被 立 即 整 合 至 先 前 存 在 的 認 知 結 構 , 基 模 若 能 被 活 化 , 就 會自 動 採 取 由 上 至 下 的 方 式 進 行 訊 息 處 理 , 如 果 基 模 無 法 適 應 新 作 業 的 需 要 , 則 可透 過 添 加 (accretion) 、 定 調 (tuning) 或 重 組 (reorganization) 等 機 制 加 以 調 整 。Jonassen(2000) 研 究 發 現 , 當 基 模 可 適 用 於 相 似 類 型 的 問 題 時 , 那 麼 就 可 解 決 相配 對 的 問 題 , 如 果 認 同 無 法 成 功 , 為 辨 識 或 重 構 某 種 個 別 的 知 識 , 那 麼 調 適 就 會發 生 。 亦 即 如 無 適 用 的 基 模 或 重 組 失 敗 時 , 人 類 的 心 智 就 會 自 動 轉 換 至 特 別 的 心13
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長智 結 構 , 透 過 簡 化 和 想 像 情 境 的 類 比 連 結 , 將 目 標 置 於 主 體 認 為 合 理 的 事 物 上 。在 數 學 領 域 上 , 基 模 已 成 為 代 數 知 識 研 究 與 模 式 化 知 識 過 程 一 項 重 要 的 理 論工 具 。 舉 例 來 說 , 在 擴 展 代 數 知 識 上 , 學 生 若 能 成 功 發 展 變 數 的 基 模 , 就 可 擴 展到 等 式 或 函 數 的 概 念 。Chinnappan 和 Thomas (2003) 以 此 理 念 進 行 研 究 , 發 現 其中 包 含 兩 個 重 要 的 代 數 基 模 : 組 織 (organisation) 與 擴 展 (spread)。 組 織 是 指 建 立 概念 之 間 的 連 結 , 而 擴 展 則 是 一 些 概 念 連 結 後 所 能 觸 及 的 範 圍 。 當 代 數 的 基 模 具 備高 程 度 的 組 織 與 多 元 應 用 的 方 向 時 , 學 生 就 會 呈 現 出 聰 慧 與 解 決 複 雜 問 題 的 特 質 。Steele 和 Johanning(2004) 安 排 序 列 的 問 題 鼓 勵 學 生 利 用 基 模 洞 察 代 數 情 境 的 關 係並 解 題 , 研 究 發 現 學 生 發 展 出 兩 類 的 解 題 基 模 : 一 是 具 良 好 連 結 的 基 模 , 一 是 部分 形 式 的 基 模 , 良 好 的 基 模 具 有 強 烈 的 連 結 與 關 係 , 所 以 可 成 功 的 運 用 、 類 化 至特 殊 的 問 題 情 境 , 並 跨 越 問 題 進 行 類 推 ; 部 分 形 式 的 基 模 則 是 連 結 較 為 薄 弱 , 無法 提 供 需 要 的 關 係 以 說 明 不 同 問 題 之 間 或 存 在 於 問 題 內 的 一 般 化 。 學 生 最 常 用 使用 良 好 連 結 的 基 模 : 一 種 是 減 掉 基 模 (subtracting-out): 即 將 問 題 中 的 物 件 分 為 整體 與 部 分 的 關 係 , 將 整 體 扣 除 部 分 留 下 物 件 即 為 問 題 所 欲 求 的 答 案 ; 另 一 種 是 堆疊 基 模 (building-up): 將 問 題 中 的 物 件 採 取 部 分 的 觀 點 , 將 所 有 部 分 的 物 件 予 以加 總 一 起 , 即 為 答 案 。參 、 研 究 設 計 與 步 驟為 順 利 進 行 並 蒐 集 學 生 基 模 之 相 關 資 料 , 擬 定 研 究 架 構 ( 如 圖 1) 做 為 研 究 進程 的 依 據 。 教 學 活 動 為 期 8 週 , 每 週 進 行 2 小 時 教 學 ( 週 二 與 週 四 各 1 小 時 , 於 晨 間活 動 實 施 ), 學 生 總 計 需 解 決 32 道 圖 形 規 律 問 題 。 為 瞭 解 學 生 建 構 的 基 模 , 並 將基 模 用 於 解 題 , 首 先 於 每 週 的 第 1 節 課 要 求 學 生 針 對 作 業 呈 現 的 4 道 問 題 寫 出 自 己的 解 題 方 法 、 解 釋 和 一 般 化 , 研 究 者 與 教 師 則 巡 視 和 觀 察 學 生 的 作 業 , 適 時 地 給予 回 饋 或 提 問 問 題 ; 課 後 則 選 取 標 的 樣 本 (3 名 ) 進 行 訪 談 , 探 索 學 生 解 題 策 略 、基 模 運 用 及 代 數 思 考 的 發 展 。 每 週 第 2 小 時 則 進 行 解 題 說 明 , 學 生 討 論 其 對 作 業問 題 的 觀 察 、 解 釋 及 一 般 化 、 顯 示 符 號 算 式 , 彼 此 傾 聽 策 略 與 解 題 方 法 並 加 以 比較 , 評 估 是 否 需 保 持 或 改 變 其 擬 定 的 方 法 。 當 師 生 進 行 教 學 討 論 時 , 研 究 者 觀 察 、傾 聽 , 紀 錄 學 生 的 說 明 與 解 題 策 略 。 研 究 之 最 後 階 段 則 為 資 料 分 析 , 研 究 者 觀 察基 模 知 識 是 否 習 得 與 運 用 操 作 的 歷 程 , 嘗 試 理 解 學 生 對 解 題 的 說 明 與 行 動 概 念 的分 析 , 引 導 出 研 究 的 結 果 。14
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長實 施 圖 形規 律 問 題作 業觀 察 與 個 別 訪 談 一 般化 歷 程 表 現1. 發 想 階 段2. 連 結 階 段3. 歸 納 階 段進 行班 級教 學討 論臆 測 建 構 或 發 展之 一 般 化 基 模1. 行 動2. 說 明圖 1: 本 研 究 架 構 圖一 、 研 究 對 象本 研 究 樣 本 來 自 於 台 灣 南 部 某 國 小 6 年 級 一 班 學 生 33 位 (18 位 男 生 ,15 位 女生 )。 該 校 位 於 文 教 區 , 家 長 大 多 為 公 務 員 與 教 師 , 重 視 學 生 學 業 成 就 表 現 , 課後 約 有 三 分 之 二 的 學 生 參 與 補 習 活 動 , 以 提 升 數 學 表 現 與 解 題 能 力 。 該 班 導 師 大學 畢 業 , 專 長 為 語 文 教 育 , 教 學 年 資 24 年 , 認 真 負 責 , 為 一 教 學 經 驗 豐 富 的 教 師 。她 採 用 問 題 思 考 法 進 行 數 學 教 學 , 常 要 求 學 生 對 解 題 方 式 加 以 表 達 與 分 享 。二 、 圖 形 規 律 問 題 設 計一 些 研 究 採 取 物 件 大 小 、 形 狀 、 數 列 、 圖 列 、 成 長 和 變 化 的 特 徵 , 進 行 樣 式一 般 化 作 業 的 設 計 , Lee 和 Wheeler (1987) 稱 這 些 問 題 為 「 類 推 的 問 題 」(generalizing problems), 因 為 此 種 特 質 的 問 題 可 激 發 學 生 利 用 視 覺 化 辨 識 問 題 變數 的 發 展 , 進 而 歸 納 問 題 結 構 的 規 則 , 鑑 此 , 研 究 者 設 計 圖 形 規 律 問 題 , 隨 機 分配 到 8 週 的 課 程 進 行 操 作 與 教 學 討 論 。 以 圖 2 為 例 , 其 中 圖 形 A 與 D 為 具 發 展 性 特徵 的 圖 形 , 即 各 圖 形 之 間 的 公 差 呈 現 逐 漸 遞 增 的 現 象 ; 圖 形 B 與 C 為 具 循 環 性 特徵 的 圖 形 , 即 各 圖 形 發 展 時 其 公 差 皆 維 持 不 變 的 性 質 。圖 形 A●● ● ●● ● ● ● ● ● ●圖圖 形 B● ● ● ● ● ● ● ● ●圖15
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長圖 形 C圖圖 形 D●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●圖 圖圖 2: 本 研 究 教 學 活 動 設 計 之 圖 形 規 律 問 題三 、 資 料 蒐 集 與 分 析從 認 知 歷 程 加 以 分 析 , 有 關 一 般 化 的 概 念 , 是 開 始 於 一 種 描 述 思 考 路 徑 與 相關 聯 知 識 狀 態 的 說 明 , 透 過 協 商 的 方 式 , 以 發 展 或 應 用 合 適 的 基 模 而 被 活 化 。 從學 生 一 般 化 歷 程 表 現 探 索 基 模 的 建 置 , 可 瞭 解 連 續 或 重 複 測 量 之 認 知 結 構 , 應 較只 測 量 教 學 前 、 後 的 反 應 更 有 效 果 , 因 此 , 學 生 一 般 化 活 動 時 產 生 的 行 動 或 說 明可 做 為 分 析 的 要 素 , 包 括 :(1) 對 一 般 化 問 題 的 反 應 , 包 含 概 念 性 與 程 序 性 的 知識 ,(2) 修 正 的 正 確 答 案 ,(3) 限 制 一 般 化 的 作 業 反 應 ,(4) 後 設 認 知 的 知 識 。 運 用這 些 行 動 與 說 明 除 可 辨 識 學 生 建 構 一 般 化 的 基 模 之 外 , 也 可 協 助 教 師 和 研 究 者 對一 般 化 基 模 知 識 進 行 探 究 和 討 論 。除 訪 談 外 , 分 析 的 資 料 也 包 括 學 生 作 業 、 教 學 互 動 的 田 野 筆 記 、 學 生 思 考 歷程 的 省 思 。 蒐 集 學 生 表 現 資 料 後 , 由 研 究 者 與 3 位 國 小 教 師 先 行 判 讀 分 類 , 然 後進 行 考 驗 分 析 , 以 瞭 解 學 生 作 業 表 現 情 形 , 做 為 討 論 與 說 明 之 參 考 。肆 、 結 果 與 討 論一 、 發 想 階 段 之 基 模 行 動 與 說 明 分 析分 析 訪 談 內 容 與 作 業 表 現 , 發 現 學 生 在 發 想 階 段 即 利 用 不 同 類 型 的 基 模 計 畫 解 題 。16
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長根 據 學 生 的 行 動 或 說 明 , 可 歸 納 出 兩 項 基 模 :「 整 體 圖 形 關 係 」 (relationship ofwhole figure) 和 「 部 分 結 構 要 素 」(elements of part structure) 的 基 模 。 前 者 係 指 學生 計 畫 將 所 面 對 的 圖 形 問 題 以 一 整 體 完 形 的 圖 形 關 係 解 題 , 此 圖 形 具 有 典 型 幾 何圖 形 的 特 質 ; 後 者 則 是 計 畫 將 圖 形 中 的 物 件 予 以 分 解 成 幾 個 相 似 特 質 的 部 分 , 然後 分 別 將 部 份 物 件 進 行 解 題 。二 、 連 結 階 段 之 基 模 分 析學 生 在 一 般 化 連 結 階 段 產 出 之 基 模 行 動 與 說 明 , 可 歸 納 成 2 種 類 比 的 基 模 ,協 助 其 連 結 圖 形 與 圖 次 之 間 的 關 係 , 一 種 稱 之 為 「 圖 形 特 徵 與 圖 次 比 對 」 基 模 ,另 一 種 稱 為 「 物 件 計 數 與 圖 次 比 對 」 基 模 , 前 者 是 以 完 形 幾 何 圖 形 有 關 的 物 件 ,例 如 長 或 高 的 數 量 做 為 基 礎 , 與 發 展 的 圖 次 數 字 做 比 對 進 行 連 結 , 思 考 其 間 的 關係 而 產 出 規 則 ; 後 者 則 將 圖 形 中 的 物 件 轉 化 成 數 字 , 透 過 各 圖 形 物 件 數 字 的 變 化與 圖 次 發 展 的 數 字 連 結 形 成 關 係 。三 、 歸 納 階 段 之 基 模 分 析在 此 階 段 , 研 究 者 要 求 學 生 將 一 般 化 的 規 則 以 P 代 表 圖 形 的 序 號 ,S 表 示 物件 的 總 數 量 , 利 用 算 式 呈 現 出 P 和 S 的 關 係 , 並 且 解 釋 算 式 所 代 表 的 意 義 。 有關 學 生 歸 納 階 段 呈 現 的 算 式 思 考 模 式 如 表 1 所 示 。表 6 學 生 在 圖 形 問 題 歸 納 階 段 呈 現 之 算 式圖 形 問 題A B C D算 式 類 型S1 P(p+1)/2 p×4+4 p×4+1 p×pS2 (1+p)p/2 p×4+4 p×4+1 〔1+(2p-1)〕p/2S3 (1+p)p/2 (p+2)2+p×2 p×4+1 〔1+(2p-1)〕p/2學 生 從 一 般 化 發 想 階 段 演 進 至 歸 納 階 段 採 用 的 運 算 基 模 整 合 如 表 2 所 示 。表 2 學 生 一 般 化 歷 程 使 用 之 運 算 基 模 彙 整試 題 A B C D A B C D A B C D發 想 階 段 乘法基模實用基模實用基模乘法基模加法基模加法基模實用基模加法基模加法基模加法基模加法基模加法基模連 結 階 段 乘法基模實用基模實用基模乘法基模加法基模實用基模實用基模加法基模加法基模加法基模加法基模加法基模17
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長歸 納 階 段乘實實乘實實實實實實實實法用用法用用用用用用用用基基基基基基基基基基基基模模模模模模模模模模模模將 表 2 的 資 料 配 合 圖 形 規 律 問 題 之 特 徵 加 以 分 析 , 可 建 構 出 兩 種 解 題 模 式 ,如 圖 3 所 示 。 這 兩 種 一 般 化 解 題 模 式 的 進 展 , 主 要 參 照 兩 方 面 因 素 的 影 響 而 建 構 ,一 是 圖 形 結 構 的 性 質 , 本 研 究 之 圖 形 作 業 分 成 循 環 性 與 發 展 性 特 徵 的 圖 形 , 因 此學 生 在 一 般 化 發 想 至 歸 納 期 間 運 用 的 基 模 會 明 顯 有 所 差 異 ; 另 一 影 響 要 素 則 是 學生 一 般 化 解 題 經 驗 與 知 識 , 亦 即 學 生 在 思 考 與 解 決 圖 形 問 題 時 , 習 慣 採 取 圖 形 或數 字 表 徵 所 引 發 或 建 構 的 基 模 進 行 解 題 。 教 學 模 式 1 可 稱 為 「 利 用 圖 形 結 構 一 般化 的 解 題 模 式 」, 其 作 業 特 質 是 循 環 性 質 的 圖 形 , 一 些 學 生 一 般 化 解 題 時 可 採 用「 整 體 圖 形 關 係 」 基 模 建 構 完 形 幾 何 圖 形 , 利 用 面 積 公 式 思 考 解 題 ;模 式 1: 利 用 圖 形 結 構 一 般 化 解 題提 供循 環性 質的 圖形 作業 (B與 C)刺 激 產 出完 形 幾 何圖 形 心 像分 析 圖 形結 構 相 關要 素分 析圖 形相 關要 素與 圖次 關係嘗 試 以 符 號或 算 式 建 構圖 形 變 數 與圖 次 關 係一 般 化規 則 的比 對 與擴 展模 式 2: 利 用 數 字 序 列 一 般 化 解 題提 供發 展性 質的 圖形 作業 (A與 D)對 幾 何 圖 形要 素 分 割 計數將 圖 形 要 素轉 換 數 字 計數分 析圖 形相 關物 件的 數目 與圖 次的 關係嘗 試 以 符 號或 算 式 建 構圖 形 變 數 與圖 次 關 係一 般 化規 則 的比 對 與擴 展圖 3: 從 學 生 基 模 運 用 建 構 之 一 般 化 解 題 模 式另 一 些 學 生 則 進 一 步 轉 換 圖 形 要 素 的 分 析 , 或 直 接 對 圖 形 要 素 進 行 分 析 , 例18
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長如 找 出 高 或 邊 長 的 數 量 , 運 用 分 割 加 總 數 量 的 方 式 解 題 , 在 這 歷 程 , 透 過 連 結 圖形 相 關 物 件 的 數 目 與 圖 次 的 關 係 , 可 建 立 一 般 化 的 規 則 , 解 釋 圖 形 物 件 之 間 的 關係 。 解 題 模 式 2 則 可 稱 為 「 利 用 數 字 序 列 一 般 化 的 解 題 模 式 」, 其 作 業 情 境 是 提供 發 展 性 質 的 圖 形 讓 學 生 進 行 一 般 化 , 一 些 學 生 則 採 取 「 部 分 結 構 要 素 」 基 模 將圖 形 內 部 之 物 件 予 以 分 割 計 數 或 轉 換 物 件 成 數 字 進 行 加 總 , 從 分 析 圖 形 相 關 物 件的 數 目 與 圖 次 的 關 係 後 , 嘗 試 以 符 號 或 算 式 建 構 圖 形 物 件 與 圖 次 關 係 的 規 則 , 進而 解 題 。教 師 配 合 一 般 化 活 動 之 進 程 , 需 具 備 以 下 素 養 :( 一 ) 組 織 真 實 問 題 變 項 的 素 養對 問 題 作 假 設 並 簡 化 情 境 ; 辨 認 影 響 此 情 境 的 數 量 , 予 以 命 名 並 辨 識 重 要 的變 項 ; 建 構 變 項 間 的 關 係 ; 探 索 變 項 的 資 訊 區 別 之 間 的 差 異 , 從 真 實 的 問 題 情 境組 織 數 學 的 變 相 。( 二 ) 從 問 題 變 項 到 組 織 數 學 模 式 的 素 養數 學 化 相 關 的 數 量 與 他 的 關 係 ; 若 需 要 時 簡 化 相 關 的 數 量 和 其 關 係 , 化 約 數字 和 複 雜 性 ; 選 擇 合 適 的 數 學 記 號 去 圖 像 式 的 呈 現 情 境 。( 三 ) 在 數 學 模 式 裡 解 決 數 學 問 題 的 素 養運 用 啟 發 性 的 策 略 像 是 將 整 體 問 題 區 分 成 部 分 的 問 題 , 與 熟 悉 或 類 似 的 問 題建 立 關 係 、 複 誦 問 題 、 用 不 同 的 形 式 觀 察 問 題 、 區 別 數 量 或 其 他 的 資 料 ; 運 用 數學 知 識 解 題 。( 四 ) 解 釋 真 實 情 境 數 學 的 結 果 之 素 養採 用 額 外 的 數 學 脈 絡 解 釋 數 學 的 結 果 ; 一 般 化 特 殊 情 境 所 發 展 的 解 題 策 略 ;透 過 運 用 合 宜 的 數 學 語 言 檢 視 解 題 策 略 並 且 進 行 溝 通 。( 五 ) 檢 驗 一 般 化 策 略 的 素 養批 判 性 的 檢 核 並 對 發 現 的 策 略 加 以 省 思 ; 如 果 解 題 策 略 無 法 配 合 情 境 , 檢 視部 分 的 模 式 或 再 次 嘗 試 模 式 化 整 個 歷 程 ; 如 果 解 題 策 略 有 不 同 的 發 展 , 思 考 其 他解 題 的 方 式 ; 應 用 模 式 至 一 般 的 問 題 。伍 、 結 論 與 建 議一 、 學 生 在 發 想 階 段 利 用 「 整 體 圖 形 關 係 」 和 「 部 分 結 構 要 素 」 基 模 計 畫 解 題 ,在 連 結 階 段 則 運 用 「 圖 形 特 徵 與 圖 次 比 對 」 與 「 物 件 計 數 與 圖 次 比 對 」 基 模進 行 圖 形 與 圖 次 關 係 的 連 結 , 在 歸 納 階 段 則 採 用 「 乘 法 基 模 」 與 「 實 用 基 模 」協 助 其 整 合 運 算 規 則 或 算 式 進 行 解 題 。 在 一 般 化 歷 程 中 輔 以 「 分 割 」、「 平 移 」、「 旋 轉 」、「 填 補 」 與 「 全 等 」 等 基 模 協 助 建 構 完 形 圖 形 , 配 合 經 驗 有 關 之 心智 模 式 解 題 。二 、 一 般 化 發 想 階 段 運 用 之 基 模 會 導 引 及 影 響 隨 後 連 結 與 歸 納 階 段 基 模 與 解 題 策略 方 式 的 運 用 , 然 而 學 生 會 受 到 先 備 經 驗 與 知 識 、 圖 形 的 結 構 特 徵 、 圖 形 要19
陳 嘉 皇 數 學 教 師 與 其 師 培 者 的 專 業 發 展 : 統 整 理 論 建 構 與 實 務 應 用 - 子 計 畫 四 : 促 進 國 小 在 職 教 師 設 計 數 學 一 般 化 活 動 的 專 業 成 長素 的 發 展 和 師 生 與 同 儕 之 間 解 題 策 略 的 討 論 與 分 享 , 讓 其 在 一 般 化 歷 程 上 產生 基 模 與 解 題 策 略 的 改 變 與 轉 化 , 使 其 朝 向 更 精 細 代 數 思 考 心 智 模 式 的 運 用與 圖 形 整 體 結 構 關 係 之 整 合 。參 考 資 料 ( 略 )20
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 ■ 成 果 報 告□ 期 中 進 度 報 告數 學 的 外 部 連 結計 畫 類 別 :□ 個 別 型 計 畫 ■ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 100-2511-S-133 -008 -執 行 期 間 : 100 年 8 月 1 日 至 101 年 7 月 31 日計 畫 主 持 人 : 李 源 順計 畫 參 與 人 員 : 蔡 昌 佑 、 徐 羚 珈 、 陳 玉 珊 、 歐 恒 成 、 游 鈺 婷 、 李 為 首 、陳 雅 姿 、 王 安 利成 果 報 告 類 型 ( 依 經 費 核 定 清 單 規 定 繳 交 ):■ 精 簡 報 告 □ 完 整 報 告本 成 果 報 告 包 括 以 下 應 繳 交 之 附 件 :□ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告 及發 表 之 論 文 各 一 份處 理 方 式 : 除 產 學 合 作 研 究 計 畫 、 提 升 產 業 技 術 及 人 才 培 育 研 究 計 畫 、列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,□ 一 年 ■ 二 年 後 可 公 開 查 詢執 行 單 位 : 台 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 ( 含 數 學 教 育 碩 士 班 )中 華 民 國 100 年 10 月 30 日2010073121
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫數 學 的 外 部 連 結摘 要本 整 合 型 計 劃 除 了 督 促 各 子 計 劃 開 發 數 學 外 部 連 結 的 素 材 的 探 究 , 也 定 期 舉 辦 研 討 會 ,提 供 各 子 計 劃 發 表 研 究 結 果 , 並 與 與 會 教 師 和 學 者 互 動 之 外 , 還 訪 談 餐 飲 業 界 人 士 , 探 究 餐飲 業 界 中 使 用 的 顯 性 和 隱 性 的 數 學 。 研 究 方 法 採 個 案 研 究 法 。 研 究 對 象 現 年 四 十 五 歲 , 女 性 ,最 高 學 歷 是 國 中 ; 曾 當 過 餐 飲 業 的 經 營 者 、 百 貨 公 司 的 專 櫃 人 員 、 以 及 廚 師 。 研 究 結 果 發 現顯 性 的 數 學 包 括 量 感 、 非 比 例 問 題 以 及 成 本 問 題 ; 隱 性 數 學 包 括 問 題 簡 化 、 基 數 和 序 數 、 標準 與 非 標 準 單 位 、 以 及 標 準 化 問 題 。 此 外 , 整 合 型 也 舉 辦 了 三 次 的 研 討 會 。關 鍵 詞 外 部 連 結 、 飲 餐 業 中 的 數 學AbstractThe integrated project is to urge sub projects inquiry mathematical external connectionmaterial, also regularly organize seminars for sub projects to publish the results andinteraction with teachers and educators. The integrated project also interviews withrestaurant owner to inquire the use of explicit and implicit mathematics. The researchmethodology is a case study. Research participator is women and 45 years old, herhighest academic is junior; she worked for the manager of restaurant, the departmentstore counters, as well as chef. The results showed that the explicit mathematics includedsense of volume, problem of non-proportional and problem of cost; implicit mathematicsincluded simplified problem, cardinal number and ordinal number, standard andnon-standard units, and standardization issues. In addition, the integrated project alsoorganized three seminars.Key word: external mathematical connection, mathematics of restaurant壹 、 背 景在 研 究 者 從 事 數 學 教 育 研 究 的 過 程 中 , 發 現 台 灣 學 生 在 TIMSS2003(Mullis, et al., 2004)和 TIMSS2007(Mullis, et al., 2008) 的 數 學 成 績 , 排 名 在 世 界 各 國 的 領 先 群 , 但 是 台 灣 學 生 對 數學 的 信 心 與 興 趣 是 倒 數 的 。 同 時 研 究 者 在 教 授 國 小 職 前 教 師 有 關 普 通 數 學 的 經 驗 中 , 體 育 專業 的 學 者 曾 經 跟 研 究 者 說 他 們 的 學 生 對 數 學 不 好 , 因 此 希 望 我 能 放 他 們 的 學 生 一 馬 , 不 要 教得 太 難 。 研 究 者 與 外 界 學 者 對 話 的 過 程 中 , 也 時 常 到 聽 到 他 們 對 數 學 或 數 學 教 育 學 者 非 常 敬佩 , 覺 得 數 學 或 數 學 教 育 學 者 的 數 學 非 常 利 害 , 但 是 他 們 卻 敬 而 遠 之 , 很 怕 數 學 。 有 一 次 研究 者 和 幾 位 大 學 的 教 授 到 台 中 開 會 , 途 中 , 教 授 們 也 表 示 上 述 他 們 對 數 學 敬 而 遠 之 的 看 法 ,於 是 我 問 幾 位 教 授 :「 高 鐵 的 車 票 裏 面 有 學 問 ( 圖 一 ), 你 知 道 嗎 ?」 他 們 說 :「 不 知 道 」, 他們 從 來 沒 有 想 過 與 留 意 過 這 樣 的 問 題 。 我 告 訴 他 們 車 次 的 號 碼 有 特 別 的 意 義 , 例 如 奇 數 字 頭2010073122
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫代 表 南 下 , 偶 數 字 頭 代 表 北 上 ;1,2 字 頭 ( 三 位 數 ) 的 車 次 代 表 新 竹 、 桃 園 、 嘉 義 、 台 南 不 停的 快 速 車 次 。 教 授 們 聽 了 覺 得 很 有 趣 、 很 好 玩 。研 究 者 為 了 讓 各 階 層 的 人 了 解 數 學 、 體 會 數 學 的 美 , 因 此 欲 進 行 生 活 中 的 數 學 的 外 部 連結 的 相 關 研 究 。 希 望 收 集 足 夠 豐 富 , 具 有 吸 引 力 與 數 學 內 涵 的 題 材 , 以 及 相 關 的 應 用 與 教 學 ,促 使 社 會 大 眾 對 數 學 有 重 新 認 識 的 機 會 , 體 會 數 學 的 美 。 也 希 望 藉 由 這 些 生 活 中 的 題 材 , 促使 我 們 的 學 子 能 感 受 數 學 的 用 處 、 數 學 的 美 , 不 再 懼 怕 數 學 , 進 而 對 數 學 產 生 學 習 的 成 就 感與 興 趣 。 為 了 進 行 生 活 中 數 學 外 部 的 連 結 , 研 究 者 利 用 高 鐵 的 時 刻 表 ( 參 閱 附 件 一 ) 在 適 當的 場 合 , 對 高 中 畢 業 生 、 國 小 在 職 老 師 、 研 究 生 試 行 試 驗 , 發 現 他 對 時 刻 表 當 中 數 學 的 察 覺 、轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 的 能 力 不 一 , 但 事 後 都 表 示 這 樣 的 經 驗 很 有 趣 。 於 是 興 趣 了 研 究 者進 行 此 一 研 究 計 劃 的 興 趣 。圖 一 高 鐵 車 票本 計 劃 是 以 「 數 學 外 部 的 連 結 : 生 活 中 的 數 學 」 當 做 研 究 議 題 , 主 要 是 它 與 「 數 學 素 養 」概 念 相 關 度 高 , 同 時 我 們 相 信 了 解 數 學 外 部 的 連 結 – 在 日 常 生 活 中 的 數 學 , 我 們 才 可 以 了 解 國民 需 要 什 麼 樣 的 數 學 素 養 , 因 此 先 以 此 議 題 進 行 研 究 計 劃 。 此 外 , 有 時 候 我 們 先 讓 相 關 人 士察 覺 生 活 中 的 數 學 的 數 學 也 很 重 要 , 例 如 察 覺 高 鐵 時 刻 表 中 的 車 次 的 規 律 ( 奇 數 字 頭 代 表 南下 , 偶 數 字 頭 代 表 北 上 ; 三 位 數 的 1,2 字 頭 車 次 代 表 新 竹 、 桃 園 、 嘉 義 、 台 南 不 停 的 快 速 車次 ), 便 能 讓 相 關 人 士 在 搭 高 鐵 時 , 不 會 搭 錯 方 向 的 車 。 有 機 會 的 時 候 , 再 想 辦 法 讓 相 關 人 士把 察 覺 的 數 學 題 材 轉 化 成 數 學 問 題 。 例 如 「 正 常 的 情 況 下 , 一 小 時 開 幾 班 車 、」 或 者 「7:30台 北 開 車 、9:30 到 左 營 的 車 子 在 什 麼 地 方 被 7:42 台 北 開 車 、9:18 到 左 營 的 車 子 超 越 ?」「 為什 麼 你 的 推 論 是 合 理 的 ?」, 此 時 相 關 人 士 解 題 問 題 與 溝 通 所 解 答 問 題 的 動 機 就 會 增 加 。 之 後讓 相 關 人 士 評 析 所 解 答 的 結 果 以 及 和 真 實 生 活 的 差 異 …。 因 此 研 究 者 覺 得 很 適 合 先 用 數 學 外部 連 結 做 為 研 究 的 主 題 , 之 後 再 思 考 社 會 人 士 所 需 要 的 數 學 素 養 問 題 。研 究 者 進 行 高 鐵 時 刻 表 試 驗 的 過 程 中 , 發 現 有 些 關 鍵 因 素 會 影 響 參 與 者 察 覺 、 轉 化 、 解題 、 溝 通 、 評 析 生 活 中 的 相 關 數 學 。 若 我 們 可 以 深 入 了 解 這 些 關 鍵 因 素 的 時 候 , 我 們 可 以 更容 易 的 讓 相 關 人 士 對 生 活 中 或 各 行 各 業 中 的 題 材 , 進 行 數 學 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評析 。 因 此 本 研 究 也 想 了 解 影 響 相 關 人 士 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評 析 生 活 中 的 數 學 問 題 的關 鍵 因 素 。在 研 究 進 行 過 程 中 , 本 研 究 主 要 以 教 育 大 學 的 學 生 或 者 國 小 在 職 教 師 為 研 究 對 象 。 主 要理 由 除 了 是 研 究 者 容 易 找 尋 的 研 究 對 象 之 外 , 他 們 直 接 影 響 我 們 國 家 主 人 翁 的 學 習 , 因 此 他們 能 進 行 數 學 外 部 的 連 結 , 對 我 們 國 家 未 來 的 主 人 翁 也 有 潛 在 的 影 響 因 素 。由 於 研 究 者 對 高 中 畢 業 生 、 國 小 在 職 老 師 、 研 究 生 試 行 試 驗 , 發 現 他 對 高 鐵 時 刻 表 當 中2010073123
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫數 學 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 的 過 程 中 都 表 示 這 樣 的 經 驗 很 有 趣 。 因 此 研 究 者 相 信生 活 中 數 學 連 結 的 研 究 會 影 響 研 究 對 象 的 數 學 態 度 , 因 此 本 研 究 也 一 併 要 探 究 在 研 究 過 程 中 ,研 究 對 象 數 學 態 度 的 改 變 。研 究 者 在 探 究 數 學 態 度 的 相 關 文 獻 發 現 , 學 者 對 數 學 態 度 的 定 義 與 成 分 見 解 不 一 , 同 時2010.12.03 晚 上 大 家 在 談 論 PME36 的 National report 時 , 林 福 來 老 師 也 談 及 國 內 似 乎 沒 有 特別 好 的 數 學 態 度 的 研 究 , 研 究 者 也 發 現 國 內 似 乎 沒 有 針 對 全 國 教 師 的 數 學 態 度 進 行 全 國 抽 樣調 查 。 研 究 者 覺 得 全 國 教 師 的 數 學 態 度 及 相 關 因 素 的 調 查 研 究 也 很 有 意 義 , 因 此 , 在 本 研 究中 , 也 將 試 圖 編 製 更 為 嚴 謹 的 數 學 態 度 及 相 關 因 素 的 態 度 量 表 , 並 進 行 全 國 抽 樣 調 查 , 了 解全 國 教 師 的 數 學 態 度 和 相 關 因 素 的 關 係 。 之 後 也 可 以 做 為 檢 核 本 研 究 對 象 數 學 態 度 改 變 的 基礎 。貳 、 研 究 目 的基 於 上 述 理 由 , 本 整 合 型 研 究 計 劃 研 究 的 目 的 除 了 督 促 各 子 計 劃 開 發 數 學 外 部 連 結 的 素材 的 探 究 , 也 定 期 舉 辦 研 討 會 , 提 供 各 子 計 劃 發 表 研 究 結 果 , 並 與 與 會 教 師 和 學 者 互 動 。 本整 合 型 計 劃 擬 出 三 年 的 研 究 問 題 , 因 為 研 究 只 通 過 一 年 , 因 此 只 羅 列 一 年 的 研 究 目 的 :第 一 年 : 訪 談 餐 飲 業 界 人 士 , 探 究 餐 飲 業 界 中 使 用 的 顯 性 和 隱 性 的 數 學 。參 、 文 獻 探 討本 研 究 首 先 探 討 與 數 學 外 部 連 結 相 關 的 議 題 與 相 關 研 究 , 進 而 形 成 本 研 究 的 研 究 議 題 。其 實 研 究 者 的 經 驗 知 道 早 年 清 大 許 世 壁 (2006) 教 授 曾 進 行 過 類 似 數 學 外 部 連 結 的 相 關國 科 會 研 究 劃 計 。 研 究 者 試 圖 搜 尋 相 關 文 獻 , 發 現 許 教 授 的 研 究 偏 向 較 高 深 的 數 學 知 識 層 面的 內 涵 。 例 如 利 用 多 變 數 函 數 的 微 分 談 物 種 競 爭 之 數 學 模 型 及 其 數 學 分 析 。 因 為 他 的 研 究 領域 偏 向 高 等 數 學 , 因 此 不 在 本 研 究 的 文 獻 探 討 範 疇 。一 、 理 念 依 據我 國 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 課 程 綱 要 ( 教 育 部 ,2003, 2008) 指 出 ,(A) 數 學 是 人 類 最 重要 的 資 產 之 一 , 因 為 數 學 是 科 學 、 技 術 及 思 想 發 展 的 基 石 , 人 類 文 明 演 進 的 指 標 與 推 手 。 數學 結 構 之 精 美 , 不 但 體 現 在 科 學 理 論 的 內 在 結 構 中 及 各 文 明 之 建 築 、 工 技 與 藝 術 作 品 上 , 自身 亦 呈 現 一 種 獨 特 的 美 感 。(B) 數 學 是 一 種 語 言 , 因 為 精 確 的 數 學 語 言 , 融 合 在 人 類 生 活 世 界的 諸 多 面 向 , 宛 如 另 一 種 母 語 。 從 科 學 的 發 展 史 來 看 , 數 學 更 是 理 性 與 自 然 界 對 話 時 最 自 然的 語 言 。(C) 數 學 是 人 類 天 賦 本 能 的 延 伸 , 因 為 人 類 自 出 生 之 後 , 即 具 備 嘗 試 錯 誤 、 尋 求 策 略 、解 決 問 題 的 生 存 本 能 , 並 具 備 形 與 數 的 初 等 直 覺 ; 再 經 過 文 明 累 積 的 陶 冶 與 教 育 , 使 這 些 本能 得 以 具 體 延 伸 為 數 學 知 識 , 並 形 成 更 有 力 量 的 思 維 能 力 。身 為 人 類 的 重 要 資 產 、 語 言 和 天 賦 本 能 的 數 學 , 與 人 類 的 生 活 習 習 相 關 。 因 此 探 究 生 活中 的 數 學 , 可 以 重 現 人 類 體 驗 數 學 是 資 產 的 重 要 性 , 體 驗 數 學 如 何 與 人 類 生 活 世 界 的 融 合 ,以 及 體 驗 並 發 揮 人 類 解 決 問 題 的 本 能 。2010073124
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫同 時 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 課 程 綱 要 ( 教 育 部 ,2003, 2008) 也 將 連 結 列 入 數 學 內 容 的五 大 主 題 之 一 , 強 調 除 了 用 數 學 內 部 的 連 結 來 貫 穿 四 個 數 學 內 容 主 題 和 解 題 能 力 的 培 養 之 外 ;數 學 外 部 的 連 結 則 強 調 生 活 及 其 他 領 域 中 數 學 問 題 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評 析 等 能 力的 培 養 。 連 結 的 能 力 , 一 方 面 增 進 學 生 的 數 學 素 養 , 能 適 切 地 應 用 數 學 , 來 提 高 生 活 品 質 ,另 一 方 面 也 能 加 強 其 數 學 的 思 維 , 有 助 於 個 人 在 生 涯 中 求 進 一 步 的 發 展 。此 外 美 國 數 學 教 師 協 會 (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000) 所 出版 的 「 學 校 數 學 課 程 原 則 與 標 準 」(Principles and Standards for School Mathematics) 也 強 調 連結 的 重 要 性 。NCTM(2000,p. 64) 主 張 數 學 連 結 就 是 能 夠 瞭 解 數 學 概 念 並 具 有 連 結 這 些 概 念 的能 力 ; 能 夠 瞭 解 數 學 概 念 相 互 連 結 的 關 係 並 藉 此 建 立 一 個 連 貫 的 數 學 體 系 ; 能 夠 作 數 學 外 部的 連 結 , 並 應 用 所 學 的 數 學 知 識 於 相 關 領 域 。因 此 本 研 究 相 信 強 調 數 學 外 部 的 連 結 可 以 重 現 人 類 體 驗 數 學 是 資 產 的 重 要 性 , 發 揮 人 類解 決 問 題 的 本 能 , 應 用 所 學 的 數 學 知 識 於 相 關 領 域 , 以 便 增 進 人 類 的 數 學 素 養 、 提 高 生 活 品質 、 使 個 人 在 生 涯 中 能 更 進 一 步 的 發 展 。二 、 數 學 素 養陸 昱 任 和 譚 克 平 (2006) 曾 經 文 獻 探 討 過 清 數 學 素 養 的 意 涵 , 他 們 發 現 不 同 的 國 家 曾 使 用不 同 的 用 字 來 談 數 學 素 養 相 關 的 概 念 , 例 如 英 國 大 多 用 Numeracy 及 Mathematical Literacy; 美國 大 多 用 Mathematical Literacy 與 Mathematical Proficiency。 也 有 其 他 學 者 使 用 其 他 的 字 來 談 數學 素 養 , 例 如 部 分 學 者 使 用 Matheracy 來 談 數 學 素 養 (Bishop, 2000; Bonotto, 2001; D’Ambrosio,1999b; Skovsmose,1998; 引 自 陸 昱 任 和 譚 克 平 ,2006)。經 濟 合 作 暨 發 展 組 織 (Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD])所 主 持 的 國 際 學 生 評 量 計 畫 (Program for International Student Assessment [PISA], OECD, 2006)是 採 取 素 養 的 觀 點 來 設 計 測 驗 , 測 驗 的 內 容 主 要 分 為 三 個 領 域 : 閱 讀 、 數 學 及 科 學 。 重 點 在於 評 估 接 近 完 成 基 礎 教 育 的 十 五 歲 學 生 , 是 否 能 將 在 學 校 所 學 習 得 到 的 知 識 與 技 能 應 用 於 進入 社 會 後 所 面 臨 的 各 種 情 境 及 挑 戰 。 因 此 OECD(2006) 將 數 學 素 養 (Mathematical Literacy) 定 義為 個 體 應 能 辨 認 與 了 解 數 學 在 這 個 世 界 所 扮 演 的 角 色 、 能 做 出 有 充 分 根 據 的 判 斷 並 且 能 使 用及 投 入 (engage in) 數 學 以 符 合 作 為 積 極 的 (constructive)、 關 懷 的 (concerned) 以 及 具 反 思(reflective) 之 國 民 的 需 要 。由 於 數 學 素 養 是 學 生 提 出 、 形 成 、 解 決 及 詮 釋 解 答 牽 涉 到 數 量 、 空 間 、 機 率 或 是 其 他 數學 概 念 的 各 式 各 樣 問 題 情 境 時 , 能 有 效 進 行 分 析 、 推 理 以 及 溝 通 的 能 力 。 因 此 PISA(OECD,2006) 的 數 學 評 量 分 為 三 個 面 向 : 情 境 或 脈 絡 (Situations), 數 學 內 容 (Mathematical content), 和數 學 過 程 (Mathematical processes)。PISA 數 學 素 養 ( 林 煥 祥 主 編 ,2008) 的 評 量 與 其 它 數 學 成 就 評 量 不 同 之 處 , 主 要 在 於 PISA所 提 出 設 計 的 情 境 或 脈 絡 面 向 。PISA( 林 煥 祥 主 編 ,2008) 認 為 最 接 近 學 生 的 情 境 或 脈 絡 為個 人 生 活 , 接 著 是 學 校 生 活 , 工 作 以 及 休 閒 , 然 後 是 日 常 生 活 中 所 會 碰 到 社 區 及 社 會 , 最 後是 科 學 情 境 。 因 此 PISA 所 界 定 和 使 用 的 四 個 情 境 或 脈 絡 問 題 分 別 為 : 個 人 的 、 教 育 / 職 業 的 、公 共 的 、 以 及 科 學 的 問 題 。在 數 學 內 容 面 向 , 分 為 數 量 、 空 間 與 形 狀 、 改 變 與 關 係 、 不 確 定 性 等 四 個 數 學 內 容 。 這四 個 數 學 內 容 , 和 九 年 一 貫 課 程 的 數 與 量 、 幾 何 、 代 數 、 統 計 與 機 率 概 念 相 同 。在 數 學 過 程 面 向 , 分 為 數 學 化 (Mathematisation) 和 能 力 (The competencies)。 數 學 化 的 五 個2010073125
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫步 驟 , 如 圖 二 :(1) 開 始 於 一 個 真 實 情 境 中 的 問 題 。(2) 依 據 重 要 的 數 學 概 念 找 出 相 關 的 數學 , 並 且 重 新 組 織 問 題 。(3) 透 過 假 設 、 一 般 以 及 形 式 化 , 逐 漸 調 整 現 實 , 透 過 這 樣 的 方 式來 浮 現 情 境 的 數 學 特 性 , 將 現 實 世 界 的 問 題 轉 化 成 可 以 忠 實 呈 現 情 境 的 數 學 問 題 。(4) 解 決數 學 問 題 。(5) 根 據 真 實 情 境 來 對 數 學 解 法 產 生 意 義 化 , 包 含 找 出 解 法 的 限 制 。圖 二 數 學 化 的 過 程PISA 認 為 學 生 在 此 種 歷 程 中 需 運 用 到 數 種 不 同 的 能 力 (competencies), 分 別 為 思 考 及 推理 ( thinking and reasoning)、 論 證 (argumentation)、 溝 通 (communication)、 建 模 (modeling)、擬 題 及 解 題 (problem posing and solving)、 表 徵 (representation)、 以 及 運 用 符 號 、 形 式 化 及科 技 的 語 言 及 運 算 (using symbolic, formal and technical language and operations)、 使 用 輔 助 工具 (use of aids and tools)。 因 為 這 些 能 力 無 法 明 確 從 不 同 試 題 中 區 分 , 因 此 PISA 數 學 素 養 以能 力 群 組 (competency clusters) 的 概 念 來 呈 現 , 分 為 複 製 (reproduction)、 連 結 (connection)與 反 思 (reflection) 三 種 層 次 。 複 製 群 組 包 含 習 過 知 識 的 複 製 , 如 事 實 、 一 般 問 題 表 徵 的 知識 , 標 準 算 則 和 技 術 性 技 巧 的 應 用 , 在 標 準 的 型 態 中 操 弄 概 念 完 備 的 符 號 , 以 及 計 算 的 進 行 。連 結 群 組 是 建 立 在 複 製 群 組 之 上 , 在 此 問 題 解 決 不 是 例 行 的 , 但 仍 然 包 含 了 熟 悉 和 半 熟 悉 的情 境 。 反 思 群 組 則 包 含 學 生 對 於 問 題 解 決 必 要 的 歷 程 以 及 運 用 的 反 思 性 , 這 些 反 思 性 能 力 和學 生 計 畫 解 題 策 略 以 及 在 問 題 情 境 中 實 施 這 些 策 略 有 關 。 相 對 於 連 結 群 組 , 反 思 群 組 的 情 境包 含 較 多 元 素 或 者 可 能 是 更 不 熟 悉 。National Research Council [NRC] (1989) 與 Steen(1990) 認 為 數 學 是 一 種 無 形 的 文 化 (aninvisible culture), 雖 然 數 字 和 圖 形 在 報 雜 誌 上 常 常 見 到 , 但 是 更 深 層 的 洞 察 卻 是 深 藏 在 其 中 ,也 就 是 數 學 或 統 計 的 概 念 深 層 且 微 妙 的 嵌 入 在 生 活 當 中 。Steen(1990) 因 而 將 數 學 素 養 分 為五 類 , 第 一 : 實 用 素 養 (Practical numeracy), 它 是 將 數 學 及 統 計 技 有 信 心 的 應 用 在 日 常 生 活工 作 , 並 進 行 決 策 的 素 養 , 它 傾 向 和 個 人 的 利 益 有 關 ; 第 二 : 公 民 素 養 (Civic numeracy),它 傾 向 和 社 會 的 利 益 有 關 , 是 將 數 學 概 念 應 用 於 公 共 議 題 ( 例 如 酸 雨 、 溫 室 效 應 …) 的 素 養 ;第 三 : 專 業 素 養 (Professional numeracy), 它 傾 向 和 職 業 的 工 作 場 合 , 是 個 人 對 不 同 職 業 所 需求 的 數 學 素 養 ; 第 四 : 休 閒 素 養 (Numeracy for leisure), 它 傾 向 社 會 大 眾 在 休 閑 娛 樂 ( 例 如拼 圖 、 遊 戲 策 略 、 運 動 賭 注 …) 中 所 需 要 的 數 學 素 養 ; 第 五 : 文 化 素 養 (Cultural numeracy),它 傾 向 讓 社 會 大 眾 體 會 數 學 的 力 與 美 的 素 養 , 是 關 於 哲 學 、 歷 史 與 認 識 論 的 層 面 。由 於 PISA(OECD, 2006) 是 一 個 重 要 的 國 際 評 量 , 它 所 定 義 的 數 學 素 養 是 由 眾 多 數 學 教 育學 者 集 其 大 成 , 被 眾 多 學 者 所 認 同 的 定 義 。 因 此 本 研 究 也 以 PISA 對 數 學 素 養 的 定 義 做 為 本 研究 的 定 義 。 至 於 Steen(1990) 對 數 學 素 養 的 分 類 , 正 可 以 做 為 本 子 計 劃 與 各 子 計 劃 進 行 研 究的 參 考 依 據 。 本 子 計 劃 著 重 在 實 用 數 學 的 連 結 , 也 就 是 日 常 生 活 的 連 結 。2010073126
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫三 、 連 結連 結 在 美 國 和 我 國 數 學 學 習 中 扮 演 一 個 相 當 重 要 的 角 色 。 美 國 NCTM(2000)「 學 校 數 學 原則 與 標 準 」 的 過 程 標 準 談 到 , 連 結 是 希 望 K-12 年 級 的 學 生 都 能 夠 (1) 在 數 學 概 念 間 認 知 和 使 用連 結 ;(2) 了 解 數 學 觀 念 的 內 部 連 結 , 並 藉 此 建 立 一 個 連 貫 的 數 學 體 系 ;(3) 認 知 和 應 用 數 學 到數 學 外 部 的 脈 絡 。 我 國 九 年 一 貫 數 學 學 習 領 域 課 程 綱 要 從 89 年 的 暫 行 綱 要 到 92 年 的 課 程 綱 要和 97 年 的 課 程 綱 要 ( 教 育 部 ,2000, 2003, 2008) 都 定 義 數 學 內 容 包 括 五 大 主 題 -- 數 與 量 、 幾 何 (89年 稱 為 圖 形 與 空 間 )、 統 計 與 機 率 、 代 數 和 連 結 。 前 四 個 主 題 的 數 學 的 主 題 內 容 , 第 五 大 主 題中 數 學 內 部 的 連 結 可 貫 穿 前 四 個 主 題 , 強 調 的 是 解 題 能 力 的 培 養 , 數 學 外 部 的 連 結 則 強 調 生活 及 其 他 領 域 中 數 學 問 題 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評 析 等 能 力 的 培 養 。 具 備 這 些 能 力 ,一 方 面 可 以 增 進 學 生 在 日 常 生 活 方 面 的 數 學 素 養 , 能 廣 泛 應 用 數 學 , 提 高 生 活 品 質 , 另 一 方面 也 能 加 強 其 以 數 學 模 式 的 思 維 , 有 助 於 個 人 在 生 涯 中 求 進 一 步 的 發 展 ( 教 育 部 ,2000,P.186)。從 NCTM(2000) 和 我 國 九 年 一 貫 數 學 學 習 領 域 課 程 綱 中 發 現 連 結 包 含 數 學 內 部 的 連 結 和數 學 外 部 的 連 結 。 數 學 內 部 的 連 結 數 學 概 念 和 數 學 體 系 的 建 立 非 常 重 要 , 而 數 學 外 部 的 連 結則 以 增 進 國 人 在 日 常 生 活 方 面 的 數 學 素 養 , 提 高 其 生 活 品 質 , 同 時 有 助 於 國 人 在 生 涯 中 進 一步 的 發 展 , 因 此 數 學 外 部 的 連 結 , 尤 其 是 生 活 中 數 學 的 連 結 也 非 常 重 要 。 這 是 本 研 究 想 要 探究 的 議 題 。四 、 數 學 素 養 與 數 學 外 部 連 結從 PISA(OECD, 2006) 對 數 學 素 養 的 定 義 :「 個 體 應 能 辨 認 與 了 解 數 學 在 這 個 世 界 … 以 符合 … 國 民 的 需 要 」, 以 及 九 年 一 貫 暫 行 綱 要 ( 教 育 部 ,2000, P.186) 所 言 :「 增 進 學 生 在 日 常 生 活方 面 的 數 學 素 養 」, 發 現 數 學 素 養 與 數 學 外 部 的 連 結 相 關 性 非 常 的 高 , 都 強 調 個 人 、 職 業 、 公共 、 休 閒 等 生 活 或 未 來 職 業 的 學 習 領 域 的 議 題 ( 這 也 就 是 為 什 麼 本 研 究 要 對 數 學 素 養 進 行 文獻 探 討 的 原 因 )。 若 要 稍 微 加 以 區 別 , 似 乎 數 學 素 養 比 較 強 調 數 學 化 ( 真 實 情 境 的 問 題 找 出相 關 的 數 學 問 題 解 決 數 學 問 題 回 到 真 實 情 境 ) 的 連 貫 性 , 而 數 學 外 部 連 的 察 覺 、 轉 化 、解 題 、 溝 通 、 評 析 等 , 似 乎 可 以 獨 立 存 在 , 又 可 以 連 貫 。我 們 認 為 數 學 外 部 連 結 素 材 的 察 覺 ( 不 把 它 當 數 學 問 題 來 解 決 ) 也 是 一 件 值 得 研 究 的 議題 , 同 時 先 讓 社 會 大 眾 察 覺 素 材 中 的 數 學 , 不 必 急 於 轉 化 成 數 學 問 題 來 解 決 , 或 許 更 可 以 讓社 會 大 眾 接 受 與 欣 賞 數 學 。 例 如 先 讓 社 會 大 眾 察 覺 高 鐵 時 刻 表 中 的 車 次 的 規 律 ( 奇 數 字 頭 代表 南 下 , 偶 數 字 頭 代 表 北 上 ; 三 位 數 的 1,2 字 頭 車 次 代 表 新 竹 、 桃 園 、 嘉 義 、 台 南 不 停 的 快 速車 次 ); 之 後 再 慢 慢 將 更 這 些 相 關 的 題 材 轉 化 成 7:30 台 北 開 車 、9:30 到 左 營 的 車 子 在 什 麼 地 方被 7:42 台 北 開 車 、9:18 到 左 營 的 車 子 越 ( 附 件 一 ); 再 進 行 解 題 、 溝 通 、 評 析 。 因 此 才 以 數 學的 外 部 連 結 為 研 究 主 題 , 進 行 相 關 的 研 究 , 希 望 本 研 究 能 做 為 國 民 有 良 好 的 數 學 素 養 的 基 礎 。五 、 相 關 研 究文 獻 探 討 發 現 , 已 有 多 位 學 者 曾 經 對 數 學 連 結 或 數 學 素 養 進 行 相 關 研 究 。( 一 )、 數 學 素 養 的 相 關 研 究陳 幸 玫 (2007) 對 統 計 素 養 的 研 究 , 在 探 討 國 民 統 計 素 養 的 定 義 和 基 本 能 力 , 調 查 報 紙 內2010073127
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫文 中 涉 及 的 統 計 概 念 , 收 集 、 歸 納 國 民 對 報 紙 中 統 計 訊 息 的 反 應 。 她 自 2006/10/8~2007/3/3 每週 隨 機 抽 取 一 天 ( 其 中 3 週 抽 取 兩 天 ), 自 發 行 量 最 多 的 四 家 報 紙 中 隨 機 抽 取 一 家 , 扣 除 廣 告 版面 和 藝 文 版 面 後 , 隨 機 抽 取 其 中 五 頁 進 行 分 析 , 共 計 21 週 24 份 報 紙 。 研 究 發 現 , 報 紙 統 計 訊息 中 , 變 異 數 、 信 賴 區 間 、 誤 差 值 、 四 分 位 數 、 百 分 位 數 等 較 專 門 的 統 計 術 語 偶 而 出 現 在 選舉 民 調 或 市 場 調 查 。 統 計 摘 要 則 以 百 分 率 最 多 , 且 可 以 劃 分 為 增 加 / 減 少 的 量 、 部 分 與 全 部 的關 係 、 比 較 的 關 係 , 且 以 前 兩 者 最 多 。 大 部 分 的 統 計 訊 息 是 以 文 字 敘 述 , 尤 其 是 眾 數 和 平 均數 。 報 導 中 提 及 之 資 料 大 部 分 來 自 調 查 而 來 , 對 實 驗 結 果 的 報 導 較 少 。 有 關 國 民 統 計 素 養 的調 查 發 現 , 受 試 者 對 調 查 和 樣 本 的 概 念 較 為 薄 弱 , 對 統 計 圖 表 呈 現 的 適 切 性 較 不 敏 感 , 容 易受 到 誤 導 , 報 導 中 統 計 訊 息 呈 現 是 否 完 整 、 議 題 是 否 為 受 試 者 所 關 心 , 會 影 響 受 試 者 的 判 斷和 論 述 。戴 錦 秀 和 柳 賢 (2006) 依 據 國 內 外 學 者 對 數 學 素 養 內 涵 的 定 義 , 彙 整 並 分 析 歸 納 出 九 大 項數 學 素 養 。 他 們 再 依 不 同 程 度 及 功 能 進 一 步 區 分 原 住 民 數 學 素 養 為 四 種 層 次 , 如 下 :1、 文 化 性 的 層 次(1)、 解 決 日 常 生 活 問 題例 如 對 於 數 目 很 多 的 東 西 , 用 「 像 樹 葉 一 樣 」 或 「 像 河 床 的 石 頭 一 樣 」 來 形 容 ( 林 宜 城 ,1994, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 ,2006)。(2)、 生 活 經 驗 本 質 問 題例 如 在 時 間 概 念 方 面 , 李 亦 園 (1983, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 田 野 調 查 泰 雅 族 的 結 果 發現 , 晴 天 時 依 據 太 陽 、 星 辰 的 位 置 來 判 斷 早 晚 , 陰 天 時 則 依 據 鳥 叫 聲 來 決 定 早 晚 。2、 功 能 性 的 層 次(1)、 對 自 己 能 力 有 信 心例 如 紀 惠 英 (1998) 以 小 二 原 住 民 學 童 為 研 究 對 象 , 課 堂 觀 察 及 臨 床 教 學 探 討 原 住 民 學 童在 學 校 學 習 過 程 中 , 發 現 原 住 民 族 學 童 在 數 學 學 習 上 喜 歡 採 用 遊 戲 或 活 動 的 方 式 , 在 做 運 算時 依 賴 具 體 物 體 的 學 童 比 例 偏 高 。(2)、 能 用 數 學 方 式 溝 通例 如 譚 光 鼎 (1998, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 發 現 阿 美 族 人 對 長 度 概 念 是 用 語 音 長 短 表 達 ,而 不 是 公 尺 、 公 里 、 英 尺 的 單 位 ; 重 量 概 念 是 用 比 喻 方 式 表 達 , 例 如 : 像 大 腿 一 樣 粗 的 魚 。(3)、 觀 察 模 仿 以 理 解 問 題例 如 陳 枝 烈 (2002, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 發 現 原 住 民 在 學 習 某 種 技 能 時 , 比 如 佈 置 陷阱 打 獵 的 技 能 , 是 先 觀 察 上 一 代 的 行 為 , 同 時 上 一 代 也 會 利 用 機 會 要 求 下 一 代 模 仿 他 們 的 行為 ; 下 一 代 則 在 一 段 時 間 後 , 自 己 獨 立 去 嘗 試 表 現 該 行 為 ; 經 過 不 斷 的 試 驗 、 修 正 , 終 於 能達 到 精 熟 而 習 得 某 些 行 為 。3、 概 念 與 過 程 的 層 次(1)、 會 以 數 學 去 推 理例 如 陳 枝 烈 (2002, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 發 現 原 住 民 對 時 間 和 空 間 的 觀 點 , 時 間 是 依大 自 然 的 規 律 而 運 作 , 如 肚 子 餓 了 才 是 用 餐 的 時 間 。 聽 老 人 家 說 :「 田 裡 就 在 河 的 那 邊 」, 結果 是 翻 了 二 、 三 座 山 頭 才 到 。(2)、 基 本 技 能 與 知 識例 如 : 潘 宏 明 (1993, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 訪 談 原 住 民 阿 美 族 、 泰 雅 族 、 布 農 族 及 排灣 族 發 現 化 他 們 具 備 幾 何 相 關 概 念 。2010073128
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫(3)、 成 為 數 學 的 解 題 者例 如 : 簡 淑 真 (1998, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 的 研 究 發 現 從 雅 美 人 曆 法 及 大 船 製 作 過 程 ,可 知 雅 美 人 具 備 掌 握 現 象 間 關 係 及 解 決 問 題 的 能 力 。4、 多 樣 化 的 層 次(1)、 能 瞭 解 數 學 價 值例 如 林 莠 芹 (2003, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 探 討 排 灣 族 文 化 中 的 幾 何 圖 形 , 排 灣 族 人 將百 步 蛇 的 形 象 與 特 徵 加 以 抽 離 、 簡 化 、 強 調 、 複 合 , 形 成 更 抽 象 、 更 簡 潔 有 力 的 幾 何 紋 飾 。排 灣 族 的 紋 飾 演 變 及 分 類 大 致 說 明 如 下 : 百 步 蛇 幾 何 圖 形 屬 於 較 單 純 的 造 型 , 以 蛇 之 捲 曲 狀衍 生 出 螺 旋 形 、 圓 形 與 同 心 圓 。 百 步 蛇 螺 旋 纏 繞 之 蛇 紋 , 是 將 頭 部 省 略 後 再 簡 化 就 形 成 同 心圓 紋 ; 若 將 同 心 圓 裁 一 半 , 就 會 形 成 半 同 心 圓 連 續 紋 。 百 步 蛇 紋 飾 的 幾 何 複 合 紋 , 是 結 合 兩種 或 兩 種 上 的 幾 何 圖 形 會 產 生 更 複 雜 多 變 的 幾 何 圖 飾 , 如 同 心 圓 紋 + 鋸 齒 文 = 太 陽 紋 , 再 如梳 形 連 續 紋 + 連 杯 形 紋 = 連 杯 梳 形 複 合 紋 。數 學 素 養 的 文 獻 探 討 發 現 , 原 住 民 其 特 殊 性 , 但 本 研 究 重 點 不 在 原 住 民 族 群 , 因 此 暫 不參 考 戴 錦 秀 和 柳 賢 (2006) 的 研 究 。 從 陳 幸 玫 的 研 究 發 現 , 受 試 者 對 統 計 圖 表 和 樣 本 的 不 佳 ,且 容 易 受 到 誤 導 。 也 就 是 國 人 的 統 計 素 養 有 值 得 繼 續 探 究 的 必 要 。 本 研 究 聚 焦 在 生 活 數 學 的連 結 , 雖 然 主 題 不 在 統 計 概 念 , 但 生 活 中 到 處 可 以 相 關 圖 表 , 因 此 值 得 本 研 究 省 思 相 關 問 題 。( 二 )、 數 學 連 結 的 相 關 研 究文 獻 探 討 發 現 已 有 多 位 學 者 曾 經 進 行 有 關 數 學 外 部 連 結 的 相 關 研 究 , 他 們 的 研 究 對 我 們要 進 行 的 研 究 有 指 引 的 效 用 。1、 教 科 書 中 的 生 活 情 境 問 題黃 財 尉 (2007) 本 研 究 主 要 了 解 現 行 國 小 數 學 非 部 編 版 教 科 書 中 ( 三 至 六 年 級 ) 所 舉 範 例 的真 實 生 活 情 境 現 況 , 以 內 容 分 析 法 解 析 範 例 中 所 涉 及 的 生 活 情 境 要 素 。 結 果 發 現 , 教 科 書 中屬 真 實 生 活 情 境 的 範 例 約 有 六 成 , 且 幾 乎 可 歸 入 食 衣 住 行 育 樂 六 大 生 活 面 向 。 在 食 衣 住 行 育樂 六 大 真 實 生 活 情 境 中 , 與 食 相 關 的 生 活 情 境 所 佔 比 例 最 高 , 與 服 裝 相 關 者 情 境 最 少 , 兩 者相 差 約 懸 殊 。 四 種 版 本 與 上 下 學 期 的 六 大 真 實 生 活 情 境 分 佈 大 致 相 似 , 仍 舊 以 食 相 關 的 範 例高 出 其 他 生 活 情 境 , 特 別 是 三 年 級 的 教 科 書 特 別 突 出 。2、 幾 何 形 體 的 連 結吳 昭 容 (2004) 在 進 行 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 連 結 主 題 的 詮 釋 研 究 , 發 現 世 界 各 國 國 旗 內的 圖 案 絕 大 部 分 都 是 簡 單 的 幾 何 圖 形 , 棒 球 場 中 也 有 許 多 幾 何 形 體 在 內 , 因 此 可 以 為 連 結 幾何 性 質 或 幾 何 量 的 題 材 問 題 , 例 如 對 稱 性 、 角 度 、 比 例 等 。 吳 昭 容 (2004) 在 研 究 的 過 程 中 ,也 展 現 了 她 和 研 究 群 察 覺 、 轉 化 和 解 題 的 能 力 。 她 從 鄔 老 師 和 學 生 對 話 ( 林 文 生 、 鄔 瑞 香 ,1999,p.60-65) 中 萌 生 了 一 個 疑 惑 ( 察 覺 ): 運 動 場 的 跑 道 是 什 麼 形 狀 ? 進 而 轉 化 成 數 學 問 題 :跑 道 是 長 方 形 + 兩 個 半 圓 形 ? 真 的 是 半 圓 形 嗎 ? 該 怎 麼 確 定 呢 ? 半 圓 有 什 麼 性 質 ? 進 而 設 法解 決 問 題 , 發 現 運 動 場 轉 彎 的 部 分 是 由 三 段 圓 弧 湊 成 的 , 而 不 是 兩 個 半 圓 形 。吳 昭 容 (2004) 的 研 究 中 也 發 現 一 個 航 空 托 運 的 特 殊 計 價 方 式 :「 材 積 重 」, 其 公 式 為 : 體積 ÷c, 當 體 積 單 位 為 立 方 公 分 時 , 除 數 c 為 6000, 材 積 重 單 位 為 公 斤 ; 若 體 積 單 位 為 立 方 英 吋 ,則 除 數 c 為 166, 材 積 重 單 位 為 磅 。 再 以 包 裹 的 重 量 和 材 積 重 兩 相 比 較 , 以 較 大 的 重 量 無 條 件進 位 到 整 數 後 計 價 。2010073129
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫3、 比 例 關 係 的 連 結李 家 言 (2002) 的 研 究 目 的 在 探 討 國 中 生 對 不 同 生 活 情 境 中 的 數 量 關 係 是 否 具 有 比 例 關 係的 調 查 , 他 先 對 生 活 情 境 以 及 學 校 課 程 中 「 比 與 比 例 式 」 的 內 容 加 以 分 析 、 分 類 , 以 便 了 解學 生 在 不 同 情 境 下 對 題 目 中 數 量 關 係 的 連 結 。 研 究 方 法 主 要 採 取 量 的 研 究 , 對 新 竹 縣 某 國 中377 名 學 生 , 以 及 某 大 學 63 名 實 習 教 師 進 行 研 究 。 研 究 發 現 學 生 對 於 數 量 不 成 比 例 關 係 , 但 是人 為 可 以 控 制 的 情 境 中 的 數 量 關 係 , 也 會 認 為 具 有 比 例 關 係 。 一 年 級 學 生 與 二 年 級 學 生 之 間對 生 活 情 境 中 數 量 關 係 的 判 讀 有 相 當 大 的 差 異 。 學 生 與 實 習 教 師 對 於 生 活 情 境 中 數 量 關 係 的判 讀 也 有 相 當 大 的 差 異 。 有 部 分 的 學 生 習 慣 使 用 差 相 等 的 關 係 來 解 釋 生 活 情 境 中 的 數 量 關 係 。學 生 在 判 讀 生 活 情 境 中 的 數 量 關 係 有 極 大 的 困 擾 。4、 生 活 情 境 的 解 題馬 秀 蘭 (2006) 曾 利 用 實 務 推 理 的 問 題 , 發 展 學 童 「 真 正 的 數 學 活 動 (authentic mathematicalactivities)」 的 「 生 活 情 境 的 數 學 解 題 能 力 測 驗 」 工 具 。 研 究 中 第 一 年 試 圖 讓 學 童 去 察 覺 日 常生 活 情 境 中 忽 略 的 事 物 , 並 且 看 出 數 學 與 實 際 世 界 之 連 結 。 第 二 年 馬 秀 蘭 (2008) 利 用 發 展 的「 生 活 情 境 的 數 學 解 題 能 力 測 驗 」 對 518 名 學 童 施 測 , 測 驗 內 容 包 括 「 過 年 到 了 , 大 家 一 起 來重 新 裝 潢 你 房 間 .....」、「 寒 假 生 活 數 學 日 記 」 等 主 題 。Kemp(2003) 對 Murdoch University 的 大 一 學 生 進 行 試 測 研 究 , 一 開 始 給 學 生 一 張 圖 表 要 學生 個 別 完 成 任 務 , 幾 週 之 後 大 學 生 再 參 與 工 作 坊 引 導 他 們 怎 麼 詮 釋 這 些 圖 表 , 再 過 幾 週 , 再讓 他 們 個 別 完 成 相 類 似 的 圖 表 。 之 後 對 小 學 師 培 課 程 的 大 學 生 進 行 三 年 的 資 料 收 集 , 最 後 共有 151 位 學 生 參 與 。 研 究 結 果 顯 示 學 生 對 這 類 的 任 務 的 回 應 有 正 向 的 改 變 , 可 以 發 展 高 層 次 的技 能 去 了 解 數 量 的 資 訊 , 並 且 這 樣 的 活 動 可 以 整 合 到 中 學 和 大 專 層 級 的 課 程 。5、 連 結 主 題 的 教 學 與 評 量 相 關 研 究楊 德 清 (2004) 的 研 究 團 隊 曾 開 發 28 套 連 結 主 題 相 關 題 材 的 教 學 活 動 , 其 中 22 套 教 學 活 動曾 經 實 際 在 課 室 中 進 行 教 學 。 研 究 對 象 是 國 小 4、5 與 6 年 級 學 生 為 主 。 例 如 學 校 籃 球 場 的 活 動主 題 適 用 的 對 象 是 四 年 級 。 教 學 目 標 是 希 望 學 童 能 進 行 數 學 內 部 知 識 與 技 能 的 連 結 , 譬 如 能夠 將 數 字 、 運 算 與 數 字 大 小 之 意 義 的 理 解 , 周 長 與 面 積 之 基 本 概 念 的 認 知 , 以 及 加 、 減 與 乘法 技 能 之 熟 稔 相 結 合 。洪 碧 霞 (2004) 曾 進 行 連 結 主 題 的 教 材 、 教 法 及 評 量 設 計 的 編 製 與 實 作 。 參 與 教 師 先 進 行連 結 方 案 的 行 動 研 究 , 再 以 一 、 三 、 四 年 級 學 生 為 主 要 的 研 究 對 象 , 編 製 一 、 三 、 四 年 級 連結 測 驗 及 延 後 測 。 研 究 發 現 教 師 從 教 學 行 動 中 的 問 題 著 手 , 透 過 活 動 的 設 計 , 成 效 的 自 我 評鑑 、 回 饋 與 再 設 計 等 循 環 中 , 對 其 專 業 素 養 所 有 發 展 , 對 學 生 的 學 習 也 有 所 幫 助 。蔡 文 煥 (2004) 曾 透 過 文 獻 探 討 , 重 新 詮 釋 九 年 一 貫 之 連 結 能 力 指 標 之 各 子 指 標 之 內 涵 ,並 發 展 出 一 個 發 展 能 力 指 標 的 文 化 概 念 學 與 教 模 式 。 研 究 也 發 現 不 同 能 力 之 發 展 是 相 互 支 撐且 深 受 課 室 文 化 所 形 成 的 常 規 所 影 響 。 教 師 之 專 業 引 導 也 是 影 響 學 生 能 力 發 展 的 重 要 因 素 之一 。( 三 )、 相 關 研 究 的 啟 示上 述 學 者 對 數 學 外 部 連 結 的 研 究 , 以 及 其 具 體 實 例 給 與 本 研 究 一 些 好 的 研 究 素 材 , 例 如Kemp(2003) 的 統 計 圖 表 素 材 , 陳 幸 玫 (2007) 從 報 紙 上 找 尋 的 素 材 , 戴 錦 秀 和 柳 賢 (2006) 所 提 及的 原 住 民 生 活 素 材 , 吳 昭 容 (2004) 的 幾 何 素 材 , 楊 德 清 (2004) 和 洪 碧 霞 (2004) 的 連 結 主 題 教 學活 動 , 馬 秀 蘭 (2008) 的 小 學 生 生 活 情 境 素 材 , 都 可 以 做 為 我 們 做 為 研 究 的 素 材 。 但 是 學 者 較2010073130
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫少 從 本 土 性 連 結 理 論 -- 對 數 學 外 部 連 結 素 材 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 – 的 角度 探 究 國 人 對 生 活 數 學 的 外 部 連 結 。 因 此 , 我 們 除 了 了 解 學 者 們 的 素 材 之 外 , 也 將 進 一 步 開發 相 關 的 素 材 , 將 這 些 素 材 進 一 步 區 分 那 些 素 材 ( 或 者 其 中 一 部 份 ) 適 合 讓 國 人 察 覺 相 關 的數 學 , 那 些 問 題 適 合 讓 國 人 進 一 步 轉 化 所 察 覺 的 相 關 數 學 形 成 數 學 問 題 , 進 而 解 題 , 之 後 和相 關 人 員 溝 通 與 評 析 解 題 之 後 和 原 問 題 的 差 異 或 一 般 化 等 相 關 問 題 。研 究 者 利 用 高 鐵 時 刻 表 的 問 題 , 訪 談 六 位 國 小 教 師 發 現 , 有 些 教 師 只 能 察 覺 少 數 相 關 的數 學 應 用 或 規 律 。 進 一 步 分 析 發 現 , 高 鐵 時 刻 表 在 剛 發 車 或 者 末 班 車 時 會 有 一 些 例 外 的 情 形 。因 此 研 究 者 發 現 對 生 活 素 材 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 , 有 時 候 必 需 做 一 些 特 例 因素 的 排 除 。 同 時 研 究 者 自 身 的 經 驗 發 現 , 對 於 生 活 素 材 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 ,有 時 候 可 能 必 需 做 一 些 假 設 , 或 者 考 慮 減 少 問 題 的 變 因 , 才 能 轉 化 成 數 學 問 題 , 進 而 解 題 與評 析 。 例 如 左 台 益 和 胡 政 德 (2009) 的 研 究 中 發 現 準 教 師 在 進 行 數 學 建 模 時 , 除 了 提 取 經 驗 之外 , 還 需 要 對 生 活 問 題 簡 化 與 假 設 , 才 能 抽 取 數 學 物 件 、 轉 化 物 件 、 分 析 數 學 物 件 的 關 係 ,進 而 建 構 適 當 的 模 型 。因 此 研 究 者 在 進 行 數 學 外 部 連 結 時 , 將 特 別 注 意 到 上 述 素 材 的 分 類 , 以 及 影 響 國 人 進 行察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 的 關 鍵 因 素 。 在 生 活 素 材 的 分 類 上 , 目 前 暫 定 那 些 情 境 ( 或者 其 中 一 部 份 ) 適 合 讓 國 人 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 , 必 要 時 也 對 數 學 的 外 部 連 結所 需 要 的 先 備 知 識 ( 或 者 適 合 國 小 、 國 中 、 高 中 等 那 一 學 習 年 段 ) 加 以 分 類 。 關 鍵 因 素 則 強調 影 響 國 人 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 的 重 要 因 素 。此 外 研 究 者 也 收 集 了 許 多 有 關 生 活 中 數 學 的 相 關 書 籍 。 例 如 黃 敏 晃 (2003) 著 的 人 間 處 處有 有 數 學 , 羅 浩 源 (2000) 編 著 的 生 活 的 數 學 , 張 奠 宙 和 戴 再 平 (1997) 主 編 的 生 活 中 的 中 學 數 學 。這 些 書 籍 的 實 例 可 以 提 供 研 究 者 將 其 轉 化 為 研 究 的 重 要 素 材 。 但 是 本 研 究 不 會 像 書 中 那 樣 直述 生 活 中 錢 存 在 銀 行 的 利 率 問 題 。 本 研 究 會 儘 可 能 的 像 文 中 所 述 拿 出 高 鐵 時 刻 表 , 讓 研 究 對象 從 其 中 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 其 中 的 數 學 相 關 素 材 。六 、 小 結進 行 文 獻 探 討 發 現 , 九 年 一 貫 數 學 學 習 領 域 將 數 學 外 部 的 連 結 分 為 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、溝 通 與 評 析 , 因 此 我 們 將 對 相 關 的 題 材 , 探 究 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 的 關 鍵 因 素 ,並 親 自 體 會 , 以 利 他 人 能 進 行 數 學 外 部 的 連 結 。舉 例 來 說 , 我 們 不 只 是 要 知 道 棒 球 場 制 定 的 數 學 數 據 , 還 要 試 著 探 究 棒 球 比 賽 為 了 增 加觀 眾 的 刺 激 , 補 手 在 捕 殺 從 一 壘 盗 向 二 壘 的 對 手 時 , 兩 壘 間 的 距 離 , 球 員 的 速 度 , 以 及 補 手的 球 速 等 相 關 問 題 ( 例 如 短 跑 速 度 快 的 選 手 , 碰 到 傳 球 速 度 慢 的 捕 手 成 功 率 要 較 高 , 反 之 要較 小 , 若 兩 者 實 力 相 當 則 成 功 率 一 半 的 情 況 下 , 兩 壘 間 的 距 離 多 少 較 恰 當 … 等 問 題 )。 了 解 選手 從 一 壘 跑 向 二 壘 時 , 什 麼 時 候 要 刺 殺 ( 球 傳 到 二 壘 手 中 , 還 要 將 手 套 碰 觸 跑 者 ), 什 麼 時 候封 殺 ( 只 要 球 傳 到 二 壘 手 中 ) 即 可 , 的 邏 輯 合 理 性 。 了 解 棒 球 的 場 地 制 定 若 要 改 變 時 , 在 考慮 觀 眾 的 刺 激 程 度 , 應 如 何 改 變 。在 我 們 進 行 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 的 關 鍵 因 素 中 , 我 們 認 為 變 因 的 控 制 是 一 個關 鍵 因 素 。 因 為 真 實 情 境 太 夠 複 雜 , 因 此 我 們 要 進 行 變 因 的 控 制 , 例 如 補 手 在 捕 殺 從 一 壘 盗向 二 壘 的 跑 者 時 , 我 們 暫 時 不 考 慮 補 手 傳 球 是 否 準 確 的 問 題 。 我 們 相 信 , 先 控 制 一 些 變 因 ,進 而 加 入 可 以 解 決 的 變 因 是 我 們 能 進 行 轉 化 、 解 題 、 評 析 的 要 因 素 , 是 數 學 外 部 連 結 的 關 鍵因 素 。 當 然 能 考 慮 愈 多 的 影 響 因 素 到 問 題 中 並 加 以 解 決 的 人 士 , 其 數 學 素 養 或 能 力 是 更 強 的 ,2010073131
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫同 時 也 會 更 符 合 真 實 情 境 。此 外 。National Research Council(1989) 與 Steen(1990) 將 數 學 素 養 分 為 實 用 數 學 素 養 、公 民 數 學 素 養 、 專 業 數 學 素 養 、 休 閒 數 學 素 養 、 和 文 化 數 學 素 養 。 因 此 我 們 將 集 合 有 志 的 學者 仿 照 其 分 類 方 式 , 分 別 對 各 個 素 養 中 的 題 材 進 行 研 究 , 再 開 發 出 來 的 題 材 進 行 分 類 , 以 利將 數 學 外 部 連 結 的 題 材 , 變 成 數 學 素 養 的 題 材 。本 整 合 型 計 劃 則 將 舉 辦 數 學 外 部 連 結 競 賽 , 吸 引 各 界 來 參 與 比 賽 , 了 解 各 界 的 數 學 外 部連 結 的 內 涵 以 及 其 關 鍵 因 素 , 供 各 子 計 劃 參 考 。肆 、 研 究 方 法 與 過 程本 研 究 規 劃 分 別 探 討 本 研 究 的 研 究 方 法 、 研 究 對 象 、 研 究 過 程 、 資 料 收 集 和 資 料 分 析 。本 整 合 型 計 劃 除 了 督 促 各 子 計 劃 如 期 進 行 研 究 之 外 , 也 利 用 個 案 研 究 法 , 訪 談 餐 飲 業 界人 士 , 探 究 餐 飲 業 界 對 數 學 外 部 的 連 結 , 以 及 關 鍵 因 素 。有 關 餐 廳 廚 師 的 研 究 , 採 個 案 研 究 法 , 主 要 以 訪 談 研 究 為 主 , 同 時 也 參 觀 她 在 做 餐 點 時的 實 作 情 形 。 研 究 對 象 現 年 四 十 五 歲 , 女 性 , 最 高 學 歷 是 國 中 ; 曾 當 過 餐 飲 業 的 經 營 者 、 百貨 公 司 的 專 櫃 人 員 、 以 及 廚 師 , 我 們 以 HS 稱 之 。HS 早 期 在 經 營 餐 飲 業 時 , 曾 做 過 piano bar,它 是 一 種 戶 外 歐 式 庭 園 設 計 的 餐 廳 , 可 以 說 是 KTV 的 前 身 ; 之 後 也 經 營 過 其 他 型 態 的 餐 飲 ,其 中 經 營 吧 台 的 時 間 最 多 。 因 為 HS 曾 經 是 經 營 者 , 同 時 也 當 過 廚 師 , 所 以 對 廚 師 的 工 作 有 相當 程 度 的 了 解 。 為 了 配 合 政 府 對 餐 飲 業 的 制 度 規 約 ,HS 也 領 有 丙 級 廚 師 執 照 , 因 此 對 考 照 的方 式 也 非 常 清 楚 。HS 後 來 成 為 專 職 的 廚 師 , 時 間 已 有 兩 年 。 目 前 HS 是 在 某 基 金 會 的 員 工 餐 廳工 作 , 主 要 負 責 四 十 位 員 工 的 午 餐 及 晚 餐 , 他 的 業 務 範 圍 包 括 開 菜 單 以 及 負 責 炒 作 。為 了 能 讓 HS 充 份 描 述 廚 師 相 關 工 作 , 因 此 第 一 位 研 究 者 大 約 以 每 月 一 次 的 方 式 進 行 訪談 , 訪 談 時 , 徵 得 HS 同 意 後 , 加 以 錄 音 。 研 究 者 將 訪 談 資 料 整 理 成 文 字 稿 之 後 , 再 和 第 二位 作 者 共 同 討 論 , 遇 有 不 清 楚 的 地 方 , 或 者 想 再 深 入 了 解 的 地 方 , 於 下 次 再 進 行 澄 清 式 的 訪談 。 例 如 , 我 們 想 了 解 一 鍋 、 二 鍋 、…、 九 鍋 和 甲 級 、 乙 級 、 丙 級 的 關 係 , 而 再 訪 談 HS。訪 談 資 料 除 了 由 兩 位 研 究 者 共 同 討 論 之 外 , 也 將 訪 談 相 關 資 料 拿 給 HS 觀 看 , 以 了 解 資料 內 容 是 否 有 誤 解 或 者 需 要 再 補 充 之 處 , 使 本 研 究 的 內 容 有 信 度 和 效 度 。伍 、 研 究 結 果 之 分 析 與 討 論我 們 先 報 導 廚 師 的 養 成 過 程 以 及 廚 師 平 時 要 處 理 的 事 務 , 最 後 針 對 廚 師 工 作 中 , 解 析 出顯 性 的 數 學 和 隱 性 的 數 學 。一 、 養 成 過 程廚 師 的 養 成 過 程 在 早 期 並 沒 有 學 院 教 育 的 體 制 , 而 是 學 徒 制 ; 學 校 教 育 中 進 行 餐 飲 教 育始 於 最 近 二 、 三 十 年 。 因 此 , 本 文 在 探 討 廚 師 養 成 時 分 成 傳 統 廚 師 的 養 成 及 學 院 派 廚 師 的 養成 兩 部 分 探 討 。2010073132
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫( 一 ) 傳 統 學 派 ( 的 廚 師 養 成 )以 前 的 廚 師 養 成 是 學 徒 制 , 沒 有 標 準 化 的 分 級 制 度 , 因 此 廚 師 學 成 或 者 晉 級 都 不 會 發 給證 書 、 證 照 。1、 學 徒 的 入 門傳 統 上 , 師 傅 要 收 學 徒 , 很 重 視 學 徒 的 人 品 和 來 歷 , 因 此 往 往 需 要 有 人 介 紹 才 能 進 入 某個 廚 師 的 團 隊 。 為 什 麼 需 要 考 慮 學 徒 的 人 品 和 來 歷 ? 因 為 早 期 業 者 在 聘 雇 廚 師 時 , 通 常 只 針對 主 廚 一 人 , 主 廚 底 下 帶 的 一 、 二 十 人 , 包 括 廚 師 與 學 徒 , 都 是 主 廚 的 師 兄 弟 或 徒 弟 , 因 此業 者 只 需 要 針 對 主 廚 即 可 , 主 廚 需 要 對 業 者 負 責 所 有 廚 房 的 人 事 。 所 以 業 者 只 要 把 握 主 廚 的技 術 人 品 , 就 能 確 保 自 己 的 廚 師 團 隊 的 品 質 。2、 學 徒 的 學 習學 徒 進 入 餐 廳 以 後 , 是 從 打 雜 開 始 。 先 學 挑 菜 , 把 菜 葉 黃 的 、 不 要 的 先 弄 掉 ; 因 此 最 基本 的 程 度 是 先 學 挑 外 面 的 菜 , 到 後 來 越 挑 越 細 , 可 以 挑 到 不 同 等 級 的 菜 心 , 譬 如 蟹 黃 菜 心 ,只 要 芥 蘭 菜 中 間 最 裡 面 的 那 一 束 。 學 徒 大 約 要 經 過 兩 、 三 年 , 才 能 夠 學 會 挑 菜 心 , 取 的 長 度都 一 樣 , 而 且 還 會 整 型 、 修 型 。再 來 , 學 削 皮 , 大 概 也 要 經 過 一 年 到 一 年 半 , 才 學 會 什 麼 都 會 削 的 程 度 。 傳 統 廚 師 是 不使 用 削 皮 器 , 目 的 最 主 要 是 要 練 刀 工 。 以 前 的 廚 師 都 是 很 紮 實 練 出 來 的 , 所 以 至 少 要 一 到 三年 才 能 磨 出 來 。3、 從 學 徒 到 廚 師一 般 而 言 , 學 徒 從 進 去 學 習 到 站 到 料 理 台 ( 站 到 鍋 ), 平 均 要 五 年 的 時 間 。 有 些 有 天 份 、肯 學 或 有 家 學 淵 源 的 , 或 許 只 要 三 年 就 可 以 成 功 , 其 他 學 徒 通 常 最 快 都 要 五 到 八 年 的 時 間 ,才 能 成 為 一 個 廚 師 ; 而 且 還 有 一 個 重 要 關 鍵 , 那 就 是 他 的 師 傅 願 不 願 意 教 他 ; 還 有 就 是 看 所學 的 菜 系 ( 例 如 , 浙 江 菜 、 四 川 菜 ), 因 為 不 同 的 菜 系 , 學 習 的 時 間 也 會 不 太 一 樣 。站 鍋 成 為 廚 師 之 後 , 開 始 分 等 級 。 傳 統 上 , 是 以 「 鍋 」 來 分 。 最 基 本 的 燙 菜 , 以 及 處 理一 些 比 較 簡 單 的 料 理 手 法 , 是 「 一 鍋 」。 再 來 學 煎 、 炸 、 炒 、 燴 、 溜 等 等 , 各 自 有 不 同 的 等 級與 認 定 標 準 。 原 則 上 , 能 夠 達 到 一 定 的 處 理 程 度 , 就 可 以 上 一 鍋 ; 當 能 夠 處 理 食 材 的 程 度 越難 , 鍋 數 就 越 高 。 上 鍋 以 後 , 分 一 鍋 、 兩 鍋 、 三 鍋 , 最 高 分 到 九 鍋 。HS 開 業 的 餐 廳 最 高 只 有五 鍋 , 五 鍋 就 是 這 個 餐 廳 的 主 廚 。所 謂 鍋 可 以 從 三 個 角 度 來 理 解 。(1)、 鍋 是 指 食 材 處 理 的 程 度能 夠 站 鍋 , 指 的 是 可 以 在 鍋 爐 前 負 責 烹 調 料 理 食 物 。 廚 師 食 材 料 理 的 技 術 愈 熟 練 , 他 的鍋 數 就 愈 高 。R: 所 以 說 是 , 用 料 理 的 程 度 來 劃 分 鍋 數 ?2010073133
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫HS: 對 ; 最 主 要 是 這 樣 , 你 沒 有 到 那 個 層 級 的 話 , 你 是 上 不 了 那 個 鍋 的 。 基 本 上 , 幾 鍋 、幾 鍋 的 意 思 就 是 知 道 你 學 到 什 麼 程 度 。一 鍋 是 資 歷 最 淺 , 技 術 層 面 最 容 易 的 , 二 鍋 技 術 比 一 鍋 好 , 依 此 類 推 , 最 高 到 九 鍋 。 根據 HS 的 描 述 , 一 鍋 到 五 鍋 負 責 的 內 容 或 其 技 術 層 次 如 下 :HS: 幾 鍋 的 意 思 , 就 是 你 學 到 什 麼 程 度 。 基 本 上 大 概 是 這 樣 的 , 一 鍋 是 最 基 礎 的 , 一 鍋 可能 是 負 責 川 燙 ; 二 鍋 可 能 就 負 責 炸 ; 三 鍋 可 能 要 負 責 炒 。 我 們 中 國 菜 有 的 必 須 炸 過 , 然 後 再 炒 ,比 如 講 , 炒 三 鮮 就 必 須 先 川 燙 ; 川 燙 好 了 以 後 , 你 馬 上 要 進 入 拌 炒 的 動 作 , 那 是 要 有 杓 工 。 在炒 的 時 候 , 還 有 所 謂 的 邊 , 或 者 是 所 謂 的 膾 , 或 是 所 謂 的 薄 芡 ; 甚 至 有 的 人 會 做 所 謂 的 鍋 粑 ,就 要 有 一 個 鍋 粑 炸 的 動 作 。HS: 換 句 話 講 , 你 從 一 鍋 , 你 要 懂 得 川 燙 , 你 也 要 能 做 炒 青 菜 這 種 的 ; 然 後 慢 慢 學 怎 麼 煎 、怎 麼 炸 、 怎 麼 燴 、 怎 麼 熘 ; 然 後 像 有 的 人 會 學 盤 、 爬 。 像 烏 參 , 就 是 燜 製 的 , 它 有 很 多 很 繁 複的 手 工 , 它 的 時 間 必 須 是 很 仔 細 的 ; 因 為 它 已 經 很 爛 了 , 因 此 你 不 能 用 鍋 杓 去 翻 它 , 你 只 能 這樣 翻 ( 動 作 )。 只 能 翻 一 兩 下 , 完 全 要 靠 你 的 手 工 這 樣 去 晃 , 讓 它 的 整 個 收 汁 , 然 後 整 個 勻 在烏 參 上 面 ; 汁 要 是 滑 亮 的 , 然 後 你 的 勾 汁 不 能 是 一 坨 一 坨 的 , 你 不 能 用 杓 子 在 那 邊 推 , 因 為 烏參 它 很 大 而 且 很 爛 了 , 同 時 , 你 要 保 持 它 完 整 。 還 有 像 魚 翅 或 是 豆 腐 , 譬 如 蟹 黃 豆 腐 。 豆 腐 已經 切 得 很 工 整 , 一 塊 一 塊 的 , 你 一 直 弄 它 , 它 一 定 會 碎 。 你 可 以 把 它 保 持 得 愈 完 整 , 就 表 示 你杓 工 愈 厲 害 。 那 個 都 要 功 夫 和 經 驗 , 還 有 火 候 。 豆 腐 不 能 不 收 汁 , 因 此 一 個 時 間 點 讓 他 收 , 但又 不 能 讓 它 焦 掉 , 要 讓 它 入 味 ; 然 後 每 塊 的 汁 都 是 均 勻 的 , 那 就 要 很 大 的 功 夫 。HS: 所 以 說 , 這 東 西 就 是 一 關 一 關 這 樣 子 。 一 般 人 家 說 , 好 像 燴 啊 , 溜 啊 , 很 簡 單 , 其 實那 都 很 難 。 因 為 你 有 膾 、 有 溜 , 那 前 面 一 定 具 備 有 煎 、 炸 , 不 可 能 直 接 學 燴 , 不 可 能 直 接 學 溜 。HS: 不 同 鍋 的 廚 師 , 基 本 上 各 種 料 理 手 法 都 會 , 只 是 處 理 的 食 材 會 越 來 越 難 , 或 是 複 雜 性越 來 越 高 。 譬 如 一 鍋 會 炸 , 可 能 炸 的 是 一 般 好 處 理 的 東 西 , 五 鍋 就 會 炸 豆 腐 、 膾 烏 參 、 搶 酥 等等 。也 就 是 說 , 所 有 的 炒 工 和 刀 工 等 等 , 基 本 上 只 要 是 廚 師 他 都 會 , 只 是 鍋 數 愈 高 的 , 工 夫越 厲 害 , 所 處 理 的 食 材 是 越 難 處 理 的 。 但 是 , 若 是 以 食 物 生 產 線 的 角 度 處 理 宴 席 菜 時 , 一 鍋通 常 處 理 川 燙 的 工 作 ; 二 鍋 處 理 炸 、 煎 ; 三 鍋 處 理 炒 、 以 及 需 要 杓 工 的 料 理 ; 四 鍋 膾 、 芡 等等 ; 到 五 鍋 時 所 有 煎 、 煮 、 炒 、 炸 、 膾 、 熘 , 還 有 所 有 的 刀 工 , 像 : 片 凍 , 切 絲 、 果 雕 。(2)、 鍋 代 表 餐 廳 營 業 總 人 數一 個 餐 廳 需 要 有 多 少 鍋 的 廚 師 是 直 接 受 到 餐 廳 的 營 業 人 數 的 影 響 ; 客 人 人 數 越 多 , 需 要的 鍋 數 就 越 高 。 五 鍋 的 餐 廳 , 客 人 每 天 人 數 最 少 到 達 一 百 人 , 也 就 是 十 個 大 圓 桌 ; 客 人 沒 到達 一 百 人 的 餐 廳 , 就 不 需 要 那 麼 多 鍋 。(3)、 鍋 代 表 餐 廳 出 菜 的 等 級餐 廳 菜 的 等 級 越 高 , 鍋 數 一 定 越 多 。 中 式 大 餐 廳 , 大 約 有 九 鍋 ; 一 般 餐 廳 則 大 約 有 五 鍋 。餐 廳 到 達 五 鍋 , 就 表 示 這 個 廳 已 經 可 以 上 大 菜 了 ; 因 為 到 五 鍋 時 , 所 有 煎 、 煮 、 炒 、 炸 、 膾 、熘 , 還 有 所 有 的 刀 工 , 像 片 凍 , 切 成 絲 的 , 像 果 雕 那 些 都 有 人 會 做 了 。2010073134
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫4、 餐 廳 的 廚 師 編 制 問 題一 般 來 講 , 餐 廳 的 廚 師 群 包 含 廚 師 和 學 徒 , 而 廚 師 人 數 , 以 五 鍋 的 餐 廳 來 講 不 一 定 只 有五 個 廚 師 , 要 看 編 制 。HS 表 示 不 論 幾 鍋 , 只 要 能 夠 站 鍋 , 就 可 以 稱 為 廚 師 。 廚 師 的 頭 銜 又 分為 主 廚 、 二 廚 、 三 廚 、 四 廚 、 五 廚 。 以 最 高 五 鍋 的 餐 廳 來 說 , 五 鍋 就 是 主 廚 , 四 鍋 到 一 鍋 則分 別 是 二 到 五 廚 。 但 是 , 當 一 個 最 高 是 九 鍋 的 餐 廳 , 主 廚 是 九 鍋 , 此 時 , 八 鍋 到 一 鍋 就 分 別是 二 廚 到 五 廚 。HS 表 示 , 這 就 好 比 學 校 的 老 師 , 學 校 裡 教 十 年 、 二 十 年 、 三 十 年 的 老 師 , 一定 會 有 , 可 是 一 個 學 校 裡 不 可 能 只 有 一 個 十 年 , 一 個 二 十 年 , 一 個 三 十 年 的 老 師 。HS 指 出 :HS: 一 個 餐 廳 裡 面 , 譬 如 說 他 制 度 裡 你 的 團 隊 裡 他 怎 麼 去 劃 分 , 譬 如 一 鍋 兩 年 , 你 到 第 四鍋 , 你 要 八 年 以 上 的 資 歷 。 從 你 開 始 當 學 徒 到 你 站 上 去 , 這 個 講 起 來 還 是 師 傅 引 進 門 , 修 行 在個 人 , 這 是 基 本 的 。 也 有 人 四 五 年 就 可 以 當 主 廚 了 , 那 就 看 你 個 人 自 己 的 那 個 , 你 到 什 麼 鍋 ,就 表 示 你 會 ( 就 是 到 廚 師 來 說 的 「 能 吃 」 的 地 步 ) 什 麼 了 。HS: 除 此 之 外 , 還 要 看 菜 系 , 或 是 看 你 是 飯 店 或 是 餐 廳 哪 。 因 為 有 些 廚 房 裡 面 的 編 制 , 就有 二 、 三 十 個 人 , 同 時 最 高 只 有 五 鍋 。HS: 餐 廳 的 鍋 子 就 有 十 幾 、 二 十 幾 個 , 而 且 兩 邊 還 有 蒸 籠 。 那 你 說 燉 的 , 它 沒 站 鍋 啊 , 可是 他 會 不 會 ? 他 還 是 會 啊 。 也 有 人 把 燉 , 就 劃 在 第 一 鍋 或 是 第 二 鍋 , 那 所 以 就 是 看 你 自 己 編 制裡 面 的 人 數 , 還 有 你 們 出 菜 , 你 們 有 沒 有 做 什 麼 宴 席 , 你 們 怎 麼 去 排 。 譬 如 我 今 天 辦 桌 , 宴 席 ,我 前 面 一 定 有 冷 盤 , 那 裡 面 有 些 切 的 , 你 這 學 徒 如 果 切 工 很 了 得 , 我 也 可 以 讓 你 切 一 部 分 啊 。因 為 蒸 籠 這 個 部 分 要 有 人 負 責 , 挑 菜 要 有 專 人 負 責 , 就 是 說 在 蒸 這 個 地 方 , 你 要 蒸 什 麼 , 什 麼東 西 先 蒸 , 還 是 有 它 作 業 上 的 順 序 。從 上 面 的 敘 述 我 們 知 道 , 一 個 廚 師 團 隊 或 餐 廳 有 多 少 鍋 , 基 本 上 是 看 客 人 的 量 , 因 為 客人 的 量 越 大 , 需 要 的 人 手 才 會 越 多 , 需 要 處 理 的 食 物 等 級 也 會 越 高 , 最 多 的 會 到 九 鍋 。 若 是以 食 物 生 產 線 的 角 度 處 理 宴 席 菜 時 , 一 鍋 通 常 處 理 川 燙 的 工 作 ; 二 鍋 處 理 炸 、 煎 ; 三 鍋 處 理炒 、 以 及 需 要 杓 工 的 料 理 ; 四 鍋 膾 、 芡 等 等 ; 到 五 鍋 時 所 有 煎 、 煮 、 炒 、 炸 、 膾 、 熘 , 還 有所 有 的 刀 工 , 像 : 片 凍 , 切 絲 、 果 雕 。除 此 之 外 , 廚 師 要 負 責 食 物 的 處 理 , 就 好 像 是 生 產 線 的 問 題 ; 也 就 是 說 在 做 菜 時 , 並 不是 由 一 個 人 負 責 全 部 做 菜 的 工 作 , 而 是 大 家 分 工 合 作 。HS: 炸 的 人 就 是 負 責 炸 , 燴 的 人 固 定 燴 , 所 以 就 類 似 有 點 生 產 線 做 出 來 這 樣 子 。HS: 可 是 如 果 你 是 單 點 的 話 , 一 定 是 從 頭 到 尾 完 成 ; 只 有 在 前 面 前 置 處 理 的 , 要 川 燙 或 什麼 的 , 他 會 由 所 謂 的 二 廚 或 是 徒 弟 來 做 。 如 果 說 他 今 天 是 一 個 大 廚 師 出 來 的 話 , 他 有 他 的 徒 弟 ;比 如 我 們 講 到 今 天 大 廚 是 五 鍋 , 那 他 一 定 會 用 到 二 鍋 或 三 鍋 的 人 , 幫 他 處 理 前 面 該 炸 , 該 燜 的 ,該 煎 烤 , 然 後 他 再 來 做 搶 酥 的 動 作 。 那 個 做 菜 時 , 周 圍 的 、 前 面 要 做 的 , 一 定 有 人 幫 他 做 。( 二 ) 學 院 派學 校 教 育 設 立 餐 飲 科 系 之 後 , 學 院 派 開 始 成 為 廚 師 的 養 成 體 系 。 目 前 延 平 有 餐 飲 科 , 高職 有 所 謂 餐 飲 學 校 或 是 建 教 合 作 的 科 系 。 餐 飲 學 校 分 得 很 細 , 像 飯 店 經 營 餐 飲 學 校 也 設 有 相關 科 系 , 有 的 餐 飲 大 學 還 分 成 觀 光 飯 店 、 櫃 台 、 房 務 、 接 待 、 飯 店 管 理 、 餐 旅 、 餐 廳 管 理 、行 政 主 廚 … 等 等 細 目 。HS 表 示 :2010073135
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫HS: 念 餐 飲 科 系 不 一 定 要 很 會 做 菜 , 他 可 能 走 櫃 台 或 是 接 待 等 等 的 就 職 路 線 。 可 是 假 如 你自 己 有 興 趣 做 菜 , 或 是 想 進 餐 廳 或 是 進 飯 店 , 就 要 考 慮 餐 廳 , 有 的 是 做 日 式 的 , 有 的 是 做 西 餐的 , 中 餐 也 分 各 種 菜 系 的 不 同 , 就 要 自 己 去 選 擇 和 學 習 。政 府 推 動 餐 飲 制 度 之 後 , 規 定 除 了 學 校 教 育 之 外 , 還 有 餐 飲 業 考 照 制 度 。 就 是 規 定 要 開業 或 擔 任 廚 師 的 人 要 有 證 照 。 證 照 就 分 成 甲 、 乙 、 丙 三 級 , 它 的 內 容 大 致 是 這 樣 :1、 丙 級丙 級 有 分 中 餐 、 西 餐 。 西 餐 以 前 沒 有 設 廚 師 分 級 , 現 在 則 有 分 級 。 如 果 只 做 一 般 簡 單的 食 物 , 你 只 要 丙 級 就 可 以 了 , 因 為 一 般 簡 單 的 食 物 只 要 懂 得 調 味 的 基 本 原 則 , 而 且 簡 單的 食 物 數 量 不 用 很 多 , 因 此 丙 級 就 可 以 。 丙 級 的 考 照 內 容 是 什 麼 呢 ?HS 說 :HS: 領 有 丙 級 證 照 的 人 , 要 知 道 什 麼 叫 鍋 蓋 。 菜 刀 有 分 剁 刀 跟 菜 刀 , 這 種 是 片 刀 ; 還 有 中式 菜 刀 跟 西 式 菜 刀 。 人 家 跟 你 講 切 段 , 你 知 道 什 麼 叫 切 段 、 什 麼 叫 切 絲 , 你 要 懂 這 個 。 還 有 就是 飲 食 、 烹 調 的 順 序 ; 最 重 要 就 是 碰 到 危 險 你 怎 麼 處 理 。 對 食 材 要 有 基 礎 的 、 最 簡 單 的 , 你 要懂 什 麼 叫 做 炒 ? 煎 是 什 麼 ? 炸 是 什 麼 ? 這 樣 , 丙 級 大 概 就 是 這 樣 。 就 是 最 基 礎 的 煎 、 煮 、 炒 、炸 。HS: 除 此 之 外 , 丙 級 要 了 解 基 本 的 食 物 安 全 衛 生 、 餐 飲 業 的 法 規 、 衛 生 條 件 , 以 及 種 種 法規 等 等 。 因 為 既 然 是 做 食 物 , 要 對 食 物 本 身 的 處 置 , 保 存 條 件 等 等 , 對 食 材 的 基 本 衛 生 觀 念 要清 楚 。HS: 他 也 會 考 一 些 最 基 礎 的 刀 工 , 和 最 基 礎 的 炒 工 , 切 、 洗 、 知 道 什 麼 叫 煎 、 炸 、 炒 、 蒸 、燴 、 溜 。2、 乙 級乙 級 廚 師 和 丙 級 不 同 的 是 要 會 手 工 , 譬 如 揑 丸 子 , 乙 級 廚 師 要 會 的 手 工 菜 比 較 多 , 也 要會 處 理 比 較 繁 雜 的 菜 , 到 乙 級 還 要 會 杓 工 ,HS 表 示 :HS: 領 有 乙 級 證 照 的 人 , 就 要 懂 得 蒸 、 燴 、 溜 等 烹 調 手 法 , 還 有 他 的 刀 工 會 整 個 影 響 到 食材 的 熟 成 度 , 越 做 越 精 緻 , 所 以 刀 工 很 重 要 。 丙 級 的 人 就 不 見 得 刀 工 要 很 好 。 比 如 膾 豆 腐 , 你有 吃 過 膾 豆 腐 焿 吧 ? 豆 腐 焿 他 每 一 塊 都 要 要 求 工 整 一 定 , 都 是 要 0.3 到 0.5 公 分 , 每 一 個 都 這樣 而 且 不 能 破 。… 豆 腐 很 軟 耶 , 你 要 切 到 每 一 塊 一 樣 大 小 , 都 要 刀 工 啊 。 我 的 意 思 是 你 要 膾 、溜 等 等 , 這 些 衍 生 出 來 都 要 你 的 刀 工 。 你 刀 工 要 會 , 再 過 來 你 的 杓 工 , 就 是 你 會 炒 , 但 是 膾 這種 東 西 就 是 要 注 意 食 材 , 就 是 你 總 不 能 把 食 材 給 弄 爛 了 。3、 甲 級 : 食 物 的 保 存 與 處 置領 有 甲 級 證 照 的 人 , 煮 出 來 的 東 西 , 對 傳 統 廚 師 的 眼 光 「 才 是 能 吃 的 」。 因 此 , 業 者 要 用的 廚 師 , 基 本 上 是 要 有 甲 級 證 照 的 人 。 當 過 所 謂 的 行 政 主 廚 、 總 主 廚 , 基 本 上 都 必 須 已 經 有甲 級 證 照 , 或 是 具 備 甲 級 證 照 的 條 件 。 甲 級 廚 師 要 有 怎 樣 的 程 度 呢 ?HS 說 :HS: 甲 級 廚 師 對 於 食 材 的 前 處 理 必 須 十 分 熟 練 , 譬 如 最 基 本 的 , 一 隻 蟹 拿 到 你 手 裡 , 你 要很 俐 落 的 可 以 把 他 處 理 好 , 怎 麼 去 切 , 怎 麼 去 弄 , 會 整 理 食 材 。 最 主 要 , 很 複 雜 的 那 種 食 材 你已 經 會 整 理 , 然 後 你 已 經 會 果 雕 這 種 東 西 , 基 本 的 你 都 已 經 會 了 , 然 後 澆 、 淋 。 比 如 說 炒 鱔 魚好 了 , 炒 鱔 魚 那 種 強 火 候 的 , 甲 級 那 種 就 什 麼 都 難 不 倒 。 煎 、 煮 、 炒 、 炸 、 燴 、 溜 、 蒸 、 滷 什麼 , 還 有 很 多 的 菜 色 就 是 又 經 過 蒸 、 又 經 過 滷 、 很 多 繁 雜 的 手 續 , 他 已 經 都 會 了 。… 他 可 以 處2010073136
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫理 很 多 非 常 非 常 複 雜 的 菜 , 譬 如 片 雞 肉 , 甲 級 廚 師 可 以 叭 叭 叭 , 幾 刀 就 把 一 隻 雞 片 好 了 ; 或 是說 把 魚 皮 跟 魚 肉 、 魚 刺 分 離 , 魚 皮 裡 面 塞 糯 米 去 油 炸 , 或 者 是 所 謂 的 油 淋 雞 , 它 裡 面 的 骨 頭 是已 經 拆 掉 的 ; 或 者 是 所 謂 的 糯 米 雞 , 他 裡 面 都 已 經 沒 有 骨 頭 了 , 但 是 他 型 是 在 的 , 肉 也 是 在 的 ,那 你 要 怎 麼 樣 去 填 充 他 , 讓 他 肉 平 均 , 那 個 都 是 功 夫 , 那 都 是 到 甲 級 可 以 處 理 的 很 複 雜 的 菜 。到 甲 級 的 話 , 基 本 上 都 是 所 謂 大 廚 了 。因 此 , 甲 、 乙 、 丙 級 的 廚 師 , 該 會 的 基 本 工 名 稱 都 一 樣 , 都 有 刀 工 、 片 工 , 煎 、 煮 、 炒 、炸 …… 等 等 , 只 是 甲 級 程 度 更 高 更 深 , 譬 如 丙 級 不 會 要 你 煎 豆 腐 , 甲 級 就 會 , 甲 級 要 會 切 豆腐 絲 , 煮 下 去 都 要 成 絲 , 不 能 斷 ; 而 乙 級 片 的 工 夫 可 以 做 到 比 丙 級 更 薄 等 等 。( 三 ) 鍋 與 級 的 對 等 關 係因 為 傳 統 廚 師 是 以 鍋 來 區 分 等 級 , 學 院 派 則 以 證 照 來 區 分 , 因 此 , 我 們 很 想 了 解鍋 與 證 照 的 對 等 關 係 。 我 們 發 現 , 兩 者 沒 有 對 等 關 係 的 , 主 要 是 因 為 , 傳 統 廚 師 有 分九 鍋 、 五 鍋 等 大 廚 師 , 他 們 不 一 定 考 有 證 照 。 也 就 是 有 水 準 , 未 必 有 證 照 , 但 是 技 術能 力 是 受 肯 定 的 。 有 些 行 政 主 廚 或 教 學 者 , 或 是 從 學 校 出 來 的 人 , 就 會 每 個 項 目 都 有證 。 有 些 接 待 國 家 元 首 的 廚 師 , 譬 如 圓 山 飯 店 的 特 級 廚 師 , 他 負 責 招 待 外 國 賓 客 , 就不 受 任 何 限 制 , 不 需 要 有 證 照 。HS: 甲 級 和 九 鍋 能 不 能 對 等 呢 ? 甲 級 、 乙 級 、 丙 級 可 以 證 明 你 會 多 少 , 九 鍋 可 以 帶 領 二 、三 十 個 人 的 團 隊 。 一 個 是 指 能 力 到 哪 裡 、 會 多 少 , 一 個 是 指 可 以 帶 領 多 少 廚 師 , 所 以 一 般 不 會去 做 對 等 的 考 慮 。 此 外 , 廚 師 是 靠 鑑 定 和 考 照 才 能 取 得 執 照 , 但 是 級 數 高 的 廚 師 不 一 定 願 意 晉級 , 有 些 廚 師 去 拿 執 照 只 是 為 了 符 合 公 司 法 , 通 常 是 要 配 合 公 司 , 公 司 要 證 照 才 配 合 去 拿 執 照 。通 常 不 用 進 廚 房 的 餐 飲 人 員 不 用 證 照 。 但 是 有 機 會 出 國 時 , 證 照 可 能 就 對 廚 師 有 利 , 或 許 可 以落 地 簽 或 待 在 國 外 一 年 等 等 , 除 此 之 外 , 行 政 系 統 當 中 , 由 大 廚 升 總 管 時 , 基 本 上 要 有 證 照 ,這 也 表 示 你 這 些 資 歷 都 跑 過 , 像 庫 存 … 等 等 。 因 此 也 有 人 是 大 廚 , 但 是 沒 有 考 證 照 。HS: 至 於 餐 廳 聘 人 , 不 可 能 亂 聘 , 也 就 是 說 , 甲 級 的 人 不 可 能 從 一 鍋 聘 起 , 除 非 自 己 不 講或 老 闆 極 外 行 , 或 要 試 他 的 能 力 , 不 然 不 可 能 。 至 於 九 鍋 也 會 不 會 從 甲 級 聘 也 不 一 定 , 因 為 這一 行 彼 此 都 知 道 , 會 有 口 碑 . 不 然 老 闆 會 從 他 學 什 麼 菜 系 , 會 處 理 什 麼 菜 ( 如 北 京 菜 , 會 不 會板 鴨 ), 從 哪 個 飯 店 出 來 , 背 景 、 年 齡 、 到 幾 鍋 了 、 學 幾 年 了 等 等 去 問 , 然 後 安 排 恰 當 位 置 。或 者 我 們 可 以 這 麼 說 , 傳 統 學 派 是 先 學 精 某 一 種 , 例 如 一 鍋 精 於 川 燙 , 二 鍋 再 精於 炸 , 三 鍋 再 精 於 炒 。 相 然 , 他 們 每 一 種 都 會 一 點 。 學 院 派 則 , 丙 級 普 遍 的 東 西 都 會一 點 , 乙 級 再 精 熟 一 點 , 甲 級 更 精 熟 。二 、 平 常 事 物本 節 主 要 就 HS 平 時 工 作 的 內 容 , 以 及 一 般 廚 師 平 時 工 作 的 內 容 做 述 敘 。( 一 ) 開 菜 單HS 主 要 工 作 之 一 是 開 菜 單 , 菜 單 就 牽 涉 到 食 材 採 購 與 配 菜 的 問 題 。HS 如 何 開 菜 單 ? 又是 根 據 什 麼 開 菜 單 ? 考 慮 哪 些 因 素 ?HS 指 出 開 菜 單 時 是 把 人 數 、 庫 存 、 營 養 、 前 面 菜 色 、 天 氣 、 成 本 概 念 、 食 物 均 衡 以 及 開2010073137
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫胃 菜 等 等 因 素 搭 配 做 綜 合 考 量 。 同 時 , 在 搭 配 菜 色 時 也 會 把 鹹 淡 口 味 的 搭 配 考 慮 進 去 。開 胃 菜 就 是 為 了 開 胃 , 開 胃 了 就 不 會 光 吃 菜 , 因 為 光 吃 菜 會 吃 不 飽 。 因 此 開 胃 菜 一 定 要配 飯 。 同 時 , 如 果 主 食 的 主 食 成 本 很 低 , 其 他 的 菜 可 以 開 比 較 好 的 菜 。 這 樣 的 考 慮 , 菜 色 就可 以 有 變 化 , 不 會 死 死 的 。 主 食 成 本 高 , 其 他 菜 就 普 通 、 樸 素 一 點 , 就 是 很 單 純 的 蔬 菜 或 是什 錦 的 菜 都 可 以 。HS: 你 一 定 會 根 據 什 麼 菜 多 少 分 量 , 以 人 數 、 庫 存 、 前 面 菜 色 、 天 氣 、 成 本 概 念 、 營 養 均衡 以 及 開 胃 菜 來 開 菜 單 ; 開 胃 菜 是 調 整 客 人 食 物 選 用 的 。 所 以 我 也 會 考 慮 開 胃 菜 與 主 菜 主 食 配菜 間 的 分 量 搭 配 。HS: 我 會 先 考 慮 人 數 、 庫 存 和 前 兩 天 菜 色 排 列 , 能 夠 做 到 的 話 希 望 可 以 配 合 當 天 天 氣 , 比如 像 根 莖 類 比 較 多 , 葉 菜 類 我 就 會 用 比 較 少 , 我 要 去 平 衡 。 平 衡 的 基 礎 是 成 本 概 念 要 放 進 來 ,因 為 我 們 的 對 象 不 太 一 樣 , 我 們 是 以 全 職 為 主 , 所 以 基 本 上 食 物 要 比 較 容 易 消 化 , 然 後 份 量 要夠 , 這 個 會 斟 酌 , 也 會 影 響 你 的 烹 調 方 式 。 因 為 你 成 本 有 限 , 你 就 必 須 要 去 做 一 些 調 整 , 所 以我 會 一 個 禮 拜 有 一 次 、 兩 次 , 甚 至 有 時 到 三 次 有 辣 菜 , 為 什 麼 ? 辣 菜 會 吃 進 你 的 味 蕾 , 相 對 的他 不 會 只 吃 飯 或 菜 , 這 對 吃 的 人 而 言 營 養 比 較 均 衡 。由 於 到 HS 工 作 的 餐 廳 來 吃 飯 的 人 是 固 定 的 , 因 此 HS 希 望 能 夠 做 到 一 週 的 營 養 平 衡 , 同時 成 本 概 念 也 是 不 可 忽 略 的 重 要 因 素 。 就 是 說 所 謂 的 五 種 營 養 如 根 莖 類 、 葉 菜 類 、 蛋 白 質 等 ,在 一 週 或 幾 週 中 的 量 是 平 衡 的 , 也 許 某 一 天 的 蛋 白 質 比 較 少 , 之 後 可 以 補 進 去 , 或 是 這 個 禮拜 或 今 天 的 蛋 白 質 基 本 上 是 比 較 多 的 , 就 在 之 後 逐 日 遞 減 。 除 此 之 外 ,HS 在 開 菜 單 時 還 會 考慮 菜 的 鹹 淡 口 味 的 考 量 與 分 量 。HS: 開 菜 單 其 實 是 一 個 很 微 妙 的 工 作 ; 像 我 們 之 前 去 吃 飯 , 我 們 都 先 叫 人 家 看 菜 單 , 先 去看 人 家 開 給 你 的 菜 單 是 什 麼 , 我 們 就 看 那 個 菜 單 , 就 知 道 這 個 廚 師 的 功 力 , 所 以 開 菜 單 不 是 一件 很 簡 單 的 事 。HS: 可 是 這 個 對 我 們 來 講 是 最 簡 單 的 , 就 是 說 你 只 要 考 量 到 根 莖 類 、 蔬 菜 類 、 還 有 一 個 蛋白 質 , 就 三 樣 菜 , 還 有 一 個 湯 , 所 以 換 句 話 講 , 你 開 菜 單 是 根 據 你 的 成 本 ; 第 二 個 要 吃 的 人 ,對 象 ; 還 有 他 有 什 麼 樣 的 限 制 條 件 ; 他 限 制 條 件 越 多 , 你 就 越 不 好 開 , 限 制 條 件 沒 那 麼 多 , 你就 越 好 開 。HS: 因 為 有 三 個 菜 一 個 湯 , 比 如 講 今 天 的 湯 很 簡 單 , 今 天 開 的 菜 , 有 一 個 糖 醋 的 口 味 , 然後 我 開 了 一 個 比 較 淡 鹹 的 菜 。 青 菜 味 道 最 淡 , 那 是 因 為 糖 醋 比 較 偏 甜 的 口 味 。 假 設 我 今 天 用 水果 來 做 的 , 比 較 偏 甜 , 我 的 湯 就 不 能 是 鹹 的 , 不 能 太 鹹 。 那 它 的 味 道 是 什 麼 ? 可 能 比 較 複 雜 一點 的 , 比 如 講 , 我 可 能 會 開 一 個 類 似 像 什 錦 湯 , 他 比 較 有 多 食 材 的 味 道 融 合 在 裡 面 , 就 不 會 感覺 到 你 這 一 餐 飯 吃 下 來 很 單 調 。HS: 我 開 菜 單 會 考 量 這 些 東 西 進 來 , 盡 量 都 是 抓 這 個 重 點 , 重 點 還 是 在 這 裡 。 還 有 個 就 是你 開 的 菜 要 讓 人 家 可 以 吃 得 下 去 , 他 吃 不 下 去 , 就 算 你 算 得 再 精 準 也 沒 用 。開 菜 單 除 了 口 味 搭 配 的 考 量 外 , 還 要 考 慮 分 量 。 分 量 可 以 分 為 從 40 人 份 的 總 量 來 考 慮 ,以 及 一 份 菜 一 人 份 的 量 來 考 慮 。HS 說 要 分 兩 部 分 思 考 :HS: 分 為 兩 個 部 分 , 如 果 說 你 今 天 開 三 個 菜 , 比 如 講 我 開 個 糖 醋 麵 腸 , 還 有 豆 干 、 菜 脯 。因 為 菜 脯 是 鹹 的 , 我 只 會 開 二 十 個 人 的 量 ; 糖 醋 麵 腸 我 就 會 開 足 四 十 個 人 的 量 , 最 起 碼 你 要 讓每 個 人 都 有 一 份 , 不 管 是 一 條 也 好 , 半 條 也 好 。2010073138
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫HS: 因 為 一 個 人 , 我 會 假 設 他 的 飯 菜 量 就 是 一 點 五 碗 , 那 你 要 如 何 讓 他 在 這 一 點 五 碗 都 吃得 很 順 ? 假 如 飯 是 七 成 , 菜 大 約 是 三 成 , 還 要 有 一 碗 湯 的 量 ; 所 以 一 個 人 大 約 是 二 點 五 的 總 食量 。 那 這 樣 , 一 點 五 碗 的 食 物 當 中 , 我 必 須 譬 如 像 剛 才 四 十 份 當 中 , 一 個 人 只 有 半 份 ( 菜 脯 ),所 以 你 另 外 一 種 ( 麵 腸 ) 一 定 要 開 到 一 點 五 份 , 所 以 麵 腸 不 論 是 一 條 或 半 條 我 都 要 開 到 兩 份 ,他 也 許 只 拿 半 條 , 我 必 須 要 算 到 兩 份 的 量 , 所 以 這 個 一 點 五 到 二 , 你 必 須 要 有 這 個 取 捨 。 那 像這 樣 我 是 不 是 兩 樣 菜 了 ? 就 是 兩 樣 菜 的 份 量 , 我 都 開 了 。 因 為 我 只 有 三 樣 菜 , 所 以 另 外 的 蔬 菜我 也 會 給 足 四 十 份 , 甚 至 我 會 超 過 四 十 五 份 , 多 出 來 的 五 份 , 我 就 會 在 湯 裡 面 做 取 捨 , 湯 也 是一 份 。HS 的 意 思 是 每 個 人 的 食 量 以 是 碗 做 單 位 ; 假 設 平 均 一 人 的 飯 和 菜 的 量 總 和 是 1.5 碗 , 另外 湯 一 碗 。 飯 和 菜 的 比 例 則 是 7 成 和 3 成 ; 因 此 飯 約 一 碗 , 菜 約 半 碗 。 在 半 碗 菜 之 中 , 一 般會 有 三 樣 菜 , 則 是 以 份 做 單 位 , 例 如 三 種 菜 給 的 量 可 能 是 3:2:1 或 是 2:2:1.5, 比 例 不 固 定 ; 譬如 , 青 菜 2 份 、 豆 干 2 份 、 麵 腸 1.5 份 的 比 例 。 菜 一 份 或 者 豆 干 一 份 則 可 能 是 200 公 克 , 也可 能 是 300 公 克 。 從 單 位 換 算 的 角 度 ,0.5 碗 等 於 6 份 或 者 5.5 份 ;1 份 等 於 200 公 克 或 者 300公 克 。 因 為 單 位 間 的 換 算 沒 有 固 定 , 因 此 , 主 廚 的 實 務 經 驗 非 常 重 要 。作 者 發 現 廚 師 時 常 使 用 概 數 ( 實 際 生 活 無 法 精 準 ), 同 時 單 位 是 混 用 的 ( 每 人 一 份 ,2.5碗 , 菜 6 份 , 麵 腸 一 條 或 半 條 都 算 2 份 ) 且 沒 有 轉 換 標 準 。HS 說 明 廚 師 在 說 搭 配 分 量 時 會 考 慮 人 數 和 總 量 , 再 由 總 量 去 分 配 不 同 的 菜 一 個 人 要 搭 配多 少 量 , 個 別 的 菜 要 能 夠 分 配 到 每 人 一 份 到 兩 份 的 量 。 至 於 廚 師 怎 麼 知 道 要 這 樣 的 量 和 這 樣搭 配 呢 ? 基 本 上 要 透 過 經 驗 , 再 加 上 觀 察 客 人 族 群 。HS 說 :HS: 基 本 上 都 是 經 驗 比 較 多 , 然 後 還 有 就 是 觀 察 , 你 到 一 個 地 方 , 不 管 是 多 厲 害 的 師 傅 ,一 定 都 先 看 地 緣 , 然 後 觀 察 這 群 人 , 這 地 區 的 人 的 飲 食 習 慣 , 譬 如 講 我 觀 察 我 們 這 邊 , 可 能 是比 較 台 式 口 味 , 他 比 較 能 夠 接 受 ; 太 辣 、 辣 菜 不 能 接 受 , 咖 哩 的 也 不 太 能 接 受 。( 二 ) 食 材 料 理 與 標 準 化 的 問 題在 面 對 客 人 點 餐 時 , 廚 師 如 何 去 訂 每 一 份 菜 的 量 ? 這 也 牽 涉 到 食 材 標 準 量 的 問 題 ,HS 表示 , 食 材 的 分 量 基 本 上 是 要 稱 重 量 , 可 是 做 久 了 以 後 , 有 經 驗 了 , 就 以 盤 來 計 算 , 因 為 做 生意 一 定 有 小 盤 、 中 盤 , 那 是 固 定 量 的 。 那 麼 廚 師 怎 麼 去 培 養 準 確 的 量 感 呢 ?HS 說 , 通 常 廚 師會 有 一 個 固 定 的 籃 子 , 用 籃 子 一 抓 就 是 固 定 的 量 , 而 且 抓 固 定 的 量 , 不 只 是 成 本 考 慮 , 對 廚師 來 說 更 重 要 的 是 食 物 熟 成 的 考 慮 :HS: 比 較 嚴 格 的 師 傅 抓 的 量 一 定 很 準 , 因 為 為 什 麼 , 抓 不 準 , 你 炒 的 時 間 一 定 不 一 樣 , 每一 盤 菜 炒 的 時 間 不 一 樣 , 這 是 第 一 個 , 第 二 , 你 的 菜 熟 成 也 會 不 一 致 , 所 以 基 本 上 抓 的 量 都 會很 準 。HS: 尺 寸 規 格 化 的 問 題 影 響 很 大 , 主 要 是 為 了 食 物 熟 成 時 間 一 致 , 炒 的 速 度 一 致 , 成 品 水準 一 致 。 因 為 規 格 一 致 可 以 判 斷 需 要 多 少 炒 作 時 間 , 不 然 會 延 宕 炒 作 時 程 ; 規 格 不 一 對 於 火 候 ,時 間 , 流 程 都 會 變 得 無 法 捉 摸 , 會 造 成 餐 廳 很 大 的 問 題 。 譬 如 , 我 現 在 有 多 少 桌 客 人 在 ,20-30分 鐘 內 我 可 以 上 多 少 菜 這 些 是 可 計 量 的 。 假 設 一 桌 點 4-5 個 菜 , 估 計 客 人 吃 一 小 時 , 我 第 一 道菜 在 15 分 鐘 之 內 一 定 要 出 出 來 , 之 後 5 分 鐘 上 一 個 菜 , 這 是 客 人 可 以 忍 受 的 , 而 大 菜 要 等 較 久客 人 也 會 可 以 接 受 。 以 這 速 度 , 大 約 二 十 分 要 上 3 個 菜 , 所 以 如 果 我 現 在 有 十 桌 客 人 , 一 二 桌已 上 菜 , 第 十 一 桌 客 人 來 了 , 我 估 算 發 現 他 就 要 等 比 較 久 , 要 請 他 四 十 分 後 來 。2010073139
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫廚 師 在 處 理 食 材 時 一 定 牽 涉 到 要 怎 麼 切 , 切 與 熟 成 之 間 又 有 絕 對 的 關 係 , 如 果 食 材 大 大小 小 , 食 材 熟 成 必 定 受 到 影 響 , 而 菜 的 形 狀 又 不 是 一 致 的 , 如 何 處 理 食 材 ? 或 是 食 材 如 何 能按 照 師 傅 的 要 求 完 成 切 工 與 整 形 ? 筆 者 針 對 此 曾 請 教 HS;「 舉 一 個 菜 為 例 , 譬 如 你 怎 麼 知 道豆 腐 要 切 0.3,0.5 你 有 去 量 嗎 ?」HS 回 答 :HS: 剛 開 始 時 一 定 是 照 著 師 傅 告 訴 你 , 這 個 叫 0.3 公 分 , 這 個 叫 0.5 公 分 。 以 現 在 學 術 派 ,餐 飲 學 校 來 說 , 確 實 是 用 尺 量 ,0.3 公 分 就 是 0.3 公 分 … 切 久 了 , 自 然 就 知 道 。HS: 那 以 前 的 師 傅 的 話 , 一 板 豆 腐 高 度 差 不 多 的 , 譬 如 他 說 要 切 108 刀 , 就 大 概 就 差 不 多了 , 然 後 橫 的 切 360 刀 。 現 在 的 就 把 他 數 據 化 、 制 度 化 ,0.3 就 是 0.3,0.5 就 是 0.5,10 公 分 就是 10 公 分 ,3 公 分 就 是 3 公 分 , 你 多 一 公 分 也 不 行 ,… 所 以 決 定 多 厚 、 多 長 , 師 傅 就 這 樣 教 的 。( 所 以 一 板 豆 腐 切 108 刀 就 與 0.3 公 分 接 近 , 等 分 除 的 觀 念 )… 譬 如 有 一 個 菜 叫 豆 腐 絲 焿 , 他 拿 起來 就 片 片 片 , 那 個 憑 良 心 講 叫 太 厲 害 了 , 切 切 切 切 切 , 然 後 片 好 一 絲 一 絲 放 在 水 裡 , 然 後 他 要煮 的 時 候 把 豆 腐 從 水 裡 放 進 去 , 那 種 就 是 吃 刀 工 , 所 以 他 不 是 在 吃 滋 味 了 。 像 葱 油 雞 上 面 的 葱都 一 樣 細 , 那 都 是 練 出 來 的 , 都 是 練 的 , 師 傅 就 告 訴 我 們 一 個 標 準 , 你 就 照 這 樣 練 , 練 到 標 準 。第 二 , 食 物 形 狀 不 規 則 , 大 大 小 小 , 廚 師 怎 麼 樣 讓 不 同 大 小 的 食 材 怎 麼 做 到 標 準 化 呢 ?這 就 要 靠 切 工 和 整 治 ,HS 說 :HS: 舉 例 來 說 , 燴 三 鮮 需 要 兩 片 紅 蘿 蔔 , 餐 廳 所 叫 的 規 格 都 是 一 致 的 , 譬 如 紅 蘿 蔔 都 是 中的 , 什 麼 叫 中 的 ? 一 條 500 公 克 , 這 叫 中 , 進 貨 就 都 進 500 公 克 一 條 , 就 差 不 多 進 都 這 種 等 級的 , 這 樣 也 比 較 便 宜 , 通 常 會 請 學 徒 去 切 或 是 專 門 負 責 去 切 的 人 負 責 整 治 … 他 們 就 是 負 責 標 準化 。 來 的 時 候 大 小 不 同 , 你 就 是 負 責 標 準 化 , 兩 片 就 是 兩 片 , 不 會 多 也 不 會 少 。 就 是 所 有 的 切的 工 夫 , 固 定 都 是 一 樣 的 。靠 切 工 與 整 形 把 食 物 的 形 和 量 標 準 化 , 使 其 不 論 是 成 本 考 慮 或 是 烹 調 的 考 慮 都 符 合 廚 師的 需 求 , 所 以 切 工 對 廚 師 來 講 就 很 重 要 。 據 HS 說 :HS: 這 些 基 本 工 都 是 練 出 來 的 , 不 可 能 每 樣 東 西 都 切 一 下 , 稱 一 下 , 切 一 下 , 稱 一 下 , 沒有 這 樣 的 。 餐 飲 學 校 剛 開 始 你 可 以 這 樣 , 你 摸 久 了 , 你 還 是 一 樣 要 能 切 出 來 , 自 然 而 然 熟 能 生巧 , 自 然 而 然 知 道 這 樣 子 的 量 是 多 少 了 。至 於 時 間 的 把 握 方 面 怎 麼 做 到 呢 ?HS 說 :HS: 譬 如 講 三 分 鐘 , 以 前 師 傅 絕 不 會 告 訴 你 3 分 鐘 , 你 就 是 要 用 看 的 , 或 者 有 的 師 傅 會 留一 手 , 所 以 以 前 的 師 傅 觀 察 力 都 是 很 好 的 , 那 有 的 師 傅 他 不 是 不 告 訴 你 , 他 不 會 講 , 因 為 他 師傅 以 前 就 這 樣 教 他 ,…。 反 正 你 練 到 這 種 程 度 就 是 對 了 , 就 是 憑 經 驗 去 練 。HS: 現 在 的 話 , 就 是 告 訴 你 幾 分 鐘 就 是 幾 分 鐘 , 就 更 標 準 化 , 每 個 都 一 樣 。 譬 如 講 楊 州 炒飯 , 或 是 一 般 的 炒 飯 , 你 就 是 一 分 鐘 50 秒 , 從 你 起 鍋 到 結 束 就 是 一 分 50 秒 , 過 了 那 個 就 不 行 。為 什 麼 ? 蛋 太 熟 了 , 還 有 就 是 你 要 炒 鬆 散 … 通 常 也 不 太 是 看 著 時 鐘 練 , 因 為 會 被 綁 死 , 你 通 常可 以 上 杓 時 , 可 能 就 從 3 分 鐘 開 始 練 , 再 來 到 兩 分 鐘 , 再 到 1 分 30 秒 , 太 多 不 行 , 太 少 也 不 行 ,太 少 火 候 不 夠 , 以 前 的 師 傅 就 講 說 你 就 炒 到 他 每 一 顆 會 跳 , 跳 的 標 準 就 很 難 抓 , 怎 麼 跳 ? 你 就是 要 看 哪 。 他 有 的 是 怕 你 學 功 夫 , 有 的 他 就 是 不 會 講 。 他 就 是 會 飛 舞 , 不 會 一 落 一 落 的 , 就 是每 一 顆 都 有 炒 散 , 每 一 個 就 是 從 飯 心 都 已 經 熟 透 的 , 那 個 就 是 火 力 是 平 均 的 , 火 不 能 太 小 , 也不 能 太 大 。 靠 的 是 你 翻 動 的 功 夫 …。傳 統 的 學 習 要 靠 師 傅 引 進 門 , 自 己 勤 練 和 體 會 , 至 於 現 在 學 生 的 學 習 則 是 將 它 變 成 公 式 。HS: 因 為 學 校 要 讓 你 可 以 畢 業 , 他 把 過 程 步 驟 拆 開 講 , 當 然 他 是 經 過 外 面 的 師 傅 , 他 自 己會 他 有 學 他 就 可 以 把 他 知 道 的 講 出 來 , 或 是 他 把 它 寫 成 一 個 公 式 把 他 講 出 來 , 那 你 就 照 著 這 樣2010073140
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫子 去 把 他 複 製 出 來 , 所 以 那 個 叫 做 匠 氣 。 所 以 這 也 就 是 師 傅 引 進 門 , 修 行 在 個 人 , 他 告 訴 你 這是 一 個 基 本 的 , 還 是 要 你 自 己 去 練 , 你 自 己 要 用 心 去 摸 索 , 所 以 餐 飲 學 校 出 來 的 你 吃 是 可 以 吃啊 , 可 是 你 會 覺 得 說 吃 來 吃 去 都 是 這 個 味 道 , 那 是 看 什 麼 ? 看 你 自 己 , 其 實 食 材 本 身 是 有 生 命的 , 他 火 力 不 同 , 一 個 火 大 一 個 火 小 , 他 炒 出 來 就 是 不 一 樣 。比 較 傳 統 和 現 在 的 學 生 的 學 習 , 傳 統 的 師 傅 因 為 自 己 養 成 的 過 程 也 是 靠 著 師 傅 一 句 話 ,然 後 自 己 去 苦 練 勤 練 , 把 握 到 食 材 處 理 以 及 時 間 等 等 因 素 及 其 之 間 微 妙 複 雜 的 關 係 , 現 在 學校 為 了 教 學 , 把 過 程 變 成 公 式 , 學 生 照 著 公 式 去 學 標 準 化 的 東 西 , 也 許 嘗 試 錯 誤 的 機 會 減 少了 , 也 因 而 有 不 同 的 烹 飪 術 語 , 師 生 之 間 的 溝 通 由 非 標 準 趨 向 標 準 化 , 但 是 針 對 食 材 的 生 命力 的 部 分 而 言 , 制 式 的 教 與 學 , 對 於 食 材 的 變 因 的 把 握 也 有 他 的 瓶 頸 。( 三 ) 份 量 與 成 本 的 問 題1、 基 金 會 餐 廳 的 菜 單 與 營 養 搭 配 的 問 題餐 廳 面 對 不 是 固 定 來 吃 的 客 人 , 在 客 人 點 菜 時 , 外 場 人 就 要 負 責 幫 客 人 安 排 菜 色的 均 衡 , 通 常 會 有 肉 , 有 菜 , 或 許 搭 配 菜 多 的 湯 等 等 。 當 然 還 是 先 以 客 人 要 什 麼 為 主 ,但 是 外 場 的 任 務 就 要 負 責 菜 的 均 衡 。 因 為 這 和 每 天 餐 廳 進 菜 有 關 , 餐 廳 通 常 會 進 固 定的 菜 量 和 肉 量 等 等 , 如 果 沒 消 掉 就 容 易 壞 , 不 新 鮮 , 浪 費 成 本 。關 於 菜 的 量 並 不 是 以 一 人 份 250 克 , 兩 人 份 500 克 來 看 , 反 而 因 為 四 人 份 變 成 只出 450 克 到 500 克 的 量 , 並 沒 有 成 為 倍 數 。 為 什 麼 人 數 從 一 人 增 加 為 四 人 , 菜 量 不 是乘 以 4, 而 是 像 生 活 數 學 , 一 個 25 元 ,2 個 40 元 ,3 個 50 元 , 這 樣 的 方 式 呈 現 呢 ?HS 針 對 這 個 問 題 回 答 說 :2、 餐 廳 的 合 菜20100731HS: 四 個 人 的 總 菜 量 要 用 250 克 除 以 3 或 除 以 4, 因 為 通 常 我 們 點 菜 會 搭 配 蛋 白 質 類 或 配飯 , 甚 至 會 有 個 菜 比 較 重 口 味 , 而 4 人 份 的 菜 固 然 要 1000 克 , 但 通 常 四 個 人 來 吃 , 不 會 只 叫 一個 菜 , 而 會 叫 4 或 5 盤 菜 , 或 配 料 , 所 以 一 般 都 算 重 量 以 及 考 慮 配 頭 多 寡 , 我 們 舉 3 個 人 來 吃飯 為 例 , 他 可 能 叫 三 個 菜 , 平 時 如 果 是 一 個 人 叫 菜 , 菜 量 是 250 克 , 兩 個 人 來 點 兩 個 菜 則 是 以200 克 來 抓 , 總 量 就 是 200 乘 以 2, 三 個 人 的 菜 如 果 是 兩 菜 , 菜 裡 還 含 配 頭 , 青 菜 一 個 人 不 會 到100 克 , 三 個 人 就 1.5 份 , 最 多 每 人 100 公 克 ; 如 果 點 肉 的 話 , 一 人 份 會 給 100 到 150 克 , 三 人份 出 菜 就 1.5 份 , 也 就 是 150 克 的 肉 加 配 頭 , 或 是 225 克 的 肉 加 配 頭 , 若 是 四 個 人 點 肉 , 就 會 出兩 份 肉 , 也 就 是 200 到 300 克 之 間 的 肉 加 上 配 頭 。合 菜 的 量 由 大 小 盤 決 定 , 是 固 定 的 , 是 指 譬 如 一 個 人 單 點 一 個 菜 , 就 給 一 份 , 可 能 是 250克 , 那 如 果 你 點 大 盤 就 給 大 盤 的 回 定 量 , 點 小 盤 就 給 小 盤 的 固 定 量 , 所 以 上 面 框 裡 的 一 份 都是 給 一 份 , 看 你 點 大 盤 就 給 大 盤 一 份 , 點 小 盤 就 給 小 盤 一 份不 過 合 菜 有 時 做 促 銷 會 有 一 種 方 式 , 譬 如 本 來 一 個 菜 是 250 克 賣 250 元 , 現 在 做 促 銷 三個 不 同 的 菜 600 元 ( 原 本 750 元 ), 那 你 點 促 銷 的 三 盤 他 就 給 三 個 菜 , 但 是 都 是 200 克 ( 就 是 在促 銷 時 的 菜 是 分 量 調 整 過 的 , 或 是 會 限 定 只 能 點 幾 份 )為 什 麼 這 樣 抓 量 呢 ? 客 人 吃 得 夠 嗎 ? 對 商 家 來 說 這 樣 是 比 較 划 算 還 是 不 划 算 ?HS 表 示 ,商 家 是 比 較 喜 歡 賣 合 菜 的 , 因 為 合 菜 的 利 潤 比 單 點 要 大 , 舉 例 來 說 :41
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫HS: 以 兩 個 人 點 三 個 合 菜 為 例 , 菜 錢 可 能 是 200+200+300, 共 七 百 元 。 但 是 出 的 菜 卻 不 是成 倍 數 , 所 以 合 菜 可 以 賺 到 錢 。 量 給 少 但 客 人 夠 吃 。 再 者 , 不 同 食 材 成 本 不 同 , 商 家 在 這 中 間可 以 去 抓 自 己 可 以 賺 的 。 所 以 經 濟 客 飯 的 內 容 會 有 限 制 , 譬 如 不 會 讓 客 人 點 蝦 仁 炒 飯 而 會 給 蛋炒 飯 。 因 為 蝦 仁 成 本 高 , 而 蛋 可 以 一 次 打 起 來 一 起 出 , 成 本 也 低 。 四 個 人 點 合 菜 如 果 總 價 1000元 點 四 、 五 個 菜 , 每 個 人 都 可 吃 到 四 、 五 個 菜 , 客 人 會 覺 得 250 元 划 算 。 但 是 一 個 人 點 一 個 客飯 或 套 餐 150 元 , 就 飽 了 。 通 常 不 會 去 點 三 個 菜 。 所 以 點 合 菜 時 , 菜 和 飯 的 量 不 會 給 足 一 人 份的 四 倍 。 四 人 份 的 合 菜 只 要 出 2 人 份 的 量 , 不 用 給 4 人 份 。 如 果 客 人 一 定 要 4 人 份 足 的 炒 飯 ,老 闆 就 會 用 單 點 的 錢 來 算 錢 。 因 為 合 菜 的 食 材 少 出 客 人 又 加 點 其 他 菜 , 在 這 種 情 況 下 , 老 闆 就會 有 得 賺 , 所 以 老 闆 會 喜 歡 客 人 點 合 菜 。3、 餐 廳 的 套 餐套 餐 是 你 點 一 份 會 有 一 般 人 吃 得 飽 的 量 給 你 , 在 總 量 中 調 飯 1 湯 1, 和 幾 種 菜 的 量 (a 多 b就 少 或 一 定 比 例 ) 但 是 合 菜 不 是 , 合 菜 的 份 量 會 由 大 小 盤 決 定 ,( 所 以 如 果 你 訂 套 餐 他 如 果 本 來有 一 個 主 菜 3 個 配 菜 , 分 別 是 青 菜 , 苦 瓜 , 豆 干 丁 你 想 說 不 要 青 菜 , 要 兩 份 豆 干 丁 老 闆 基 本上 是 不 會 同 意 的 , 因 為 他 準 備 的 量 和 比 例 是 固 定 的 ,)至 於 客 飯 是 已 把 配 菜 的 錢 算 進 來 , 所 以 你 加 60 可 以 換 成 經 濟 套 餐 和 一 些 配 菜 和 湯 。 這 其中 的 奧 妙 是 :公 司 例 湯 表 面 上 是 免 費 , 但 是 成 本 在 主 食 中 收 取 , 例 湯 是 提 早 煮 好 大 量 的 湯 , 如 果 以 一天 兩 種 湯 來 算 , 每 日 估 計 客 人 有 二 百 人 , 老 闆 會 兩 個 湯 都 先 算 1/3 的 量 , 也 就 是 各 煮 七 十 人份 , 總 共 140 人 份 。 例 湯 客 人 要 不 要 老 闆 都 要 給 所 以 算 是 耗 材 , 客 人 吃 不 吃 廚 師 都 要 備 料 ,所 以 有 把 成 本 算 在 內 , 還 有 套 餐 的 青 菜 、 肉 …… 等 菜 的 價 錢 都 算 在 內 , 只 要 多 六 十 元 , 客 人可 以 從 單 點 的 某 種 食 物 升 級 點 套 餐 , 客 人 可 以 多 選 湯 、 多 選 幾 種 菜 , 老 闆 老 也 賺 比 較 多 , 所以 老 闆 喜 歡 賣 套 餐 , 因 為 地 方 不 用 大 , 倉 儲 不 用 那 麼 大 , 出 菜 也 快 , 可 以 先 煮 好 , 省 時 。 對客 人 來 說 , 套 餐 只 多 五 、 六 十 塊 錢 , 不 多 , 又 可 以 吃 到 更 多 菜 還 附 湯 。 對 老 闆 來 說 , 廚 師 提早 把 各 種 食 物 都 備 好 了 , 不 用 為 了 應 付 單 點 特 別 準 備 多 種 備 菜 、 要 煮 的 人 力 。 為 了 應 付 單 點 ,一 般 的 餐 廳 除 了 多 備 料 和 倉 儲 空 間 之 外 , 還 需 要 多 一 、 二 個 小 時 的 人 力 , 去 處 理 單 點 時 的 煮餐 , 在 單 點 前 面 , 廚 師 也 要 多 花 三 四 個 小 時 備 料 。 人 力 成 本 、 材 料 成 本 都 要 考 慮 。4、 單 點以 上 的 是 指 合 菜 不 是 套 餐 , 所 以 盤 和 份 會 有 大 小 盤 或 大 小 份 之 別 , 就 是 menu 上 就 可 能 有大 盤 小 盤 等 單 點 , 就 依 點 的 給 菜 , 但 是 外 場 通 常 會 建 議 可 以 再 點 一 個 , 或 是 三 個 人 這 樣 夠 了等 等 , 不 論 你 怎 麼 點 , 就 依 menu 上 大 小 盤 原 訂 的 量 給 , 不 會 因 為 你 點 的 菜 不 夠 就 幫 你 加 量 包你 飽( 四 ) 開 店 與 成 本 估 算如 果 考 慮 成 本 問 題 是 十 份 複 雜 的 , 但 是 廚 師 一 定 要 考 慮 到 這 問 題 , 因 為 沒 有 賺 錢 就 不 會考 慮 做 生 意 了 。 所 以 以 上 談 到 的 問 題 之 外 , 還 要 再 考 慮 天 候 , 因 為 中 餐 有 一 些 料 一 定 要 配 ,2010073142
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫即 使 是 颱 風 天 食 材 較 貴 也 要 用 到 , 如 果 以 有 店 面 可 坐 十 桌 來 算 , 食 材 的 成 本 算 2 成 , 加 上 瓦斯 、 水 電 、 人 力 、 空 桌 率 去 考 慮 。 每 天 客 人 要 全 滿 兩 次 , 如 20 桌 才 能 打 平 。 所 以 若 中 間 有 空2 桌 , 不 能 一 下 提 價 , 所 以 要 平 攤 在 內 。 食 材 取 兩 成 已 經 很 有 良 心 , 還 要 看 地 段 及 回 客 率 ,現 在 餐 廳 不 好 賺 , 以 前 開 餐 廳 可 以 賺 毛 利 七 成 , 現 在 能 賺 到 四 、 五 成 毛 利 已 經 很 好 , 因 為 水電 、 房 租 、 油 、 鹽 、 人 工 等 都 漲 了 , 賣 一 百 的 東 西 有 六 五 成 的 毛 利 就 已 經 很 好 了 。 有 時 附 近有 商 家 做 促 銷 、 免 費 送 等 等 活 動 , 其 他 商 家 都 會 受 影 響 , 所 以 餐 飲 很 容 易 入 門 也 很 容 易 倒 ,人 才 留 動 率 會 很 高 。所 以 開 店 做 生 意 不 是 先 拉 人 潮 , 那 樣 做 不 長 久 , 而 是 要 考 慮 成 本 多 少 就 賣 多 少 。 通 常 建議 要 有 六 個 月 的 備 料 成 本 , 假 設 開 店 後 六 月 都 沒 人 來 吃 , 你 的 食 物 都 要 倒 的 、 賠 的 , 這 樣 的狀 況 能 過 六 個 月 你 才 考 慮 開 店 。 不 要 買 一 送 一 , 一 直 弄 。 是 可 以 促 銷 , 譬 如 本 來 賣 20 元 的 東西 , 開 幕 期 間 可 搭 配 其 他 東 西 或 賣 18 元 , 或 買 五 送 一 等 等 。 目 的 是 要 讓 客 人 認 識 商 品 , 客 人對 商 品 認 識 越 多 越 好 , 將 來 回 購 率 才 會 大 , 促 銷 的 目 的 不 是 拉 人 潮 。 能 撐 過 六 個 月 , 表 示 你在 這 個 商 圈 是 可 以 生 存 下 去 。 而 在 這 六 個 月 中 , 理 想 的 客 人 人 數 是 七 成 五 到 八 成 。 譬 如 要 五十 人 才 能 打 平 , 只 來 十 個 客 人 , 就 要 想 策 略 是 不 是 放 錯 了 , 或 是 東 西 是 不 是 錯 了 ? 譬 如 賣 消夜 , 選 到 學 校 旁 邊 , 沒 有 顧 客 ! 又 或 者 在 老 人 潮 的 旁 邊 賣 冰 , 都 是 很 失 敗 的 。 要 去 思 考 要 賣的 東 西 屬 性 有 哪 些 潛 在 客 人 ? 舉 例 來 說 , 在 學 校 附 近 賣 一 些 方 便 又 不 太 貴 的 點 心 , 那 些 東 西又 是 不 太 容 易 做 的 , 做 起 來 很 費 周 章 , 就 可 能 可 以 吸 引 到 人 潮 。 如 果 以 五 十 人 才 夠 打 平 , 初期 人 數 要 有 4 成 , 也 就 是 剛 開 始 要 20 人 來 買 才 能 打 平 , 這 樣 要 能 撐 過 一 、 二 個 月 。 即 使 觀 望期 長 一 點 , 也 要 抓 一 天 有 15 到 17 人 , 到 第 三 個 月 如 果 還 是 只 有 17 人 , 就 要 想 是 那 裡 出 問 題 ,或 是 這 地 區 的 人 不 喜 歡 我 們 所 賣 的 食 物 , 如 太 油 、 太 甜 等 等 , 要 抓 出 問 題 再 去 改 。 所 以 生 意人 腦 筋 一 定 要 靈 活 而 且 都 要 主 動 出 擊 , 沒 有 等 客 人 上 門 的 。有 的 廚 師 是 在 原 店 學 了 手 藝 或 工 夫 再 出 去 自 己 做 , 這 種 沒 有 一 些 基 本 固 定 客 人 是 不 行 的 ,在 三 、 四 個 月 內 客 人 要 達 到 某 種 程 度 , 以 五 十 人 為 目 標 的 話 要 有 個 二 十 人 , 然 後 再 撐 兩 個 月 ,如 果 再 沒 往 上 一 層 就 要 考 慮 考 慮 。 如 果 有 些 人 成 本 不 高 , 店 面 是 自 己 的 就 沒 差 , 也 許 一 、 二年 後 突 然 暴 紅 。 不 然 要 撐 過 半 年 , 半 年 中 顧 客 知 道 有 這 家 店 , 不 要 希 望 我 們 開 店 顧 客 理 所 當然 要 知 道 有 這 家 店 。 商 圈 通 常 都 要 抓 方 圓 一 公 里 以 內 的 顧 客 , 因 為 一 公 里 內 太 多 商 家 , 以 前我 們 吃 自 家 附 近 的 店 就 夠 , 現 在 店 面 多 了 , 能 夠 有 區 域 人 口 總 人 數 的 百 分 之 一 就 夠 了 。 或 是說 區 域 人 口 有 1 萬 人 , 來 1000 人 , 一 個 人 賺 15 元 , 如 果 以 區 域 人 口 有 一 、 二 萬 人 來 算 , 總要 抓 150 人 左 右 , 所 以 顧 客 來 源 抓 一 公 里 算 保 守 , 不 然 就 要 做 成 本 低 的 生 意 , 但 這 種 也 容 易倒 , 所 以 有 的 人 會 擴 大 商 圈 去 宣 傳 , 透 過 外 送 來 擴 大 顧 客 圈 。就 是 現 在 做 吃 的 成 本 是 以 賣 價 的 六 成 估 ( 以 前 比 較 好 , 可 以 四 成 或 五 成 就 夠 , 現 在 要 六 七成 了 )。 一 個 便 當 70, 成 本 六 成 就 是 42 元 , 一 個 工 讀 生 送 外 送 , 一 趟 成 本 是 1680( 出 去 一 趟 要40 個 便 當 才 送 ), 如 果 請 工 讀 生 一 小 時 120 元 , 出 去 一 次 要 40 個 便 當 , 會 估 計 路 程 大 約 40 分鐘 以 內 回 來 ( 老 闆 會 考 慮 送 遠 、 送 近 划 不 划 算 等 等 , 不 划 算 就 不 一 定 賣 等 等 )。 請 工 讀 生 三 小時 共 180 分 鐘 , 一 趟 40 分 鐘 , 所 以 可 以 跑 4 趟 , 一 趟 送 40 個 , 總 共 可 以 送 160 個 。 那 麼 如果 請 三 個 工 讀 生 , 一 個 中 午 可 以 送 出 160*3=480,480 個 便 當 , 一 個 成 本 42 元 ,42*480=20160這 是 總 成 本 , 三 個 工 讀 生 的 工 資 是 120*3*3=1080。 三 人 工 資 共 1080, 送 出 480 個 便 當 , 那 麼就 是 說 一 個 便 當 裡 有 2.25 元 的 錢 是 付 給 工 讀 生 的 , 但 是 一 般 老 闆 不 會 給 到 這 麼 優 厚 。 總 成 本是 20160, 工 資 是 1080, 而 一 個 70, 毛 利 是 70*480=33600,33600-20160-1080=12360, 這 是 總利 潤 。 因 此 , 一 個 便 當 可 以 賺 12360/480=25.75。2010073143
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫( 五 ) 觀 察 客 人 反 應 反 省 自 己 要 調 整 的 部 分廚 師 煮 的 菜 再 好 吃 , 如 果 不 適 合 吃 , 也 是 失 敗 的 。 因 此 HS 指 出 以 前 曾 經 有 請 一 位 老 師傅 , 每 次 吃 飯 都 會 出 來 外 面 看 , 原 因 是 廚 師 你 煮 得 再 怎 麼 好 , 即 使 你 這 內 行 人 一 看 , 說 你 這個 菜 沒 得 挑 了 , 可 是 這 個 地 區 的 人 就 是 不 吃 的 話 , 那 個 菜 就 叫 失 敗 , 因 為 廚 師 沒 去 看 吃 的 人要 什 麼 。 魚 翅 鮑 魚 再 怎 麼 好 , 客 人 就 是 沒 那 個 味 口 想 吃 , 或 者 說 魚 翅 鮑 魚 再 好 , 客 人 就 是 不能 那 麼 補 , 廚 師 出 這 道 菜 也 沒 用 , 所 以 好 廚 師 要 懂 得 要 給 客 人 適 合 的 食 物 , 所 以 廚 師 會 在 客人 用 餐 時 出 來 觀 察 客 人 用 餐 的 情 形 , 客 人 是 愉 悅 的 嗎 ? 吃 的 過 程 中 他 有 沒 有 很 專 注 的 吃 ? 譬如 你 看 到 人 家 大 部 分 都 是 在 講 話 聊 天 的 , 就 表 示 你 的 菜 不 用 開 得 太 複 雜 , 還 有 , 每 次 盤 子 收回 來 老 師 傅 一 定 都 會 看 , 基 本 上 看 有 沒 有 剩 這 是 最 基 本 的 。 因 為 剩 很 多 表 示 給 的 量 錯 了 。HS說 :HS: 量 給 太 足 了 , 客 人 也 不 會 去 點 別 的 菜 了 。 所 以 開 量 也 很 訣 竅 。 我 們 強 調 很 多 菜 都 是 給六 分 , 一 樣 的 意 思 。 只 要 好 吃 , 量 不 用 很 多 , 他 有 滿 足 , 其 實 他 只 要 吃 一 碗 , 吃 一 口 兩 口 , 他就 滿 足 了 。 不 用 再 吃 了 。 就 是 這 樣 !廚 師 也 會 會 看 垃 圾 桶 , 盤 子 進 來 , 他 會 看 什 麼 東 西 比 較 沒 有 人 吃 , 然 後 去 配 合 觀 察 說 ,這 些 是 哪 一 桌 的 客 人 ? 再 去 觀 察 說 今 天 這 個 人 他 是 不 是 身 體 不 舒 服 , 他 會 去 看 , 這 種 觀 察 根據 HS 表 示 , 是 「 很 複 雜 的 !」 除 此 之 外 天 氣 也 要 觀 察 ,HS 說 :HS: 天 氣 要 觀 察 , 很 複 雜 , 尤 其 是 做 西 餐 , 西 餐 我 們 每 次 吃 以 為 味 道 都 一 樣 , 其 實 錯 的 ,你 如 何 做 到 說 調 一 樣 但 是 分 量 有 變 , 裡 面 的 輕 重 , 這 就 是 師 傅 的 手 藝 , 還 有 他 厲 害 不 厲 害 , 中餐 也 是 一 樣 , 你 吃 起 來 味 道 都 一 樣 , 可 是 冬 天 他 油 一 定 是 下 更 淡 。…… 夏 天 你 會 流 汗 , 揮 汗 大 ,你 有 油 膩 你 不 感 覺 , 而 且 你 吃 很 多 東 西 去 火 氣 , 其 實 夏 天 沒 什 麼 火 氣 , 是 冬 天 火 氣 才 大 。因 此 冬 天 做 菜 油 要 少 , 又 因 為 油 可 以 補 香 氣 , 冬 天 的 菜 本 身 香 氣 就 夠 , 夏 天 的 菜 香 氣 少 ,因 此 夏 天 就 會 用 比 較 多 的 葱 蒜 等 香 辛 料 。 但 是 同 樣 一 個 菜 , 冬 天 油 少 口 感 吃 起 來 會 不 會 不 一樣 ?HS 表 示 並 不 會 , 他 舉 例 說 :HS: 譬 如 說 佛 跳 牆 , 他 本 身 已 經 很 多 油 炸 的 東 西 了 , 你 油 很 重 的 話 , 吃 起 來 的 感 覺 會 比 較膩 …… 不 是 說 絕 對 , 只 是 冬 天 很 多 東 西 都 重 口 味 了 , 這 個 也 油 那 個 也 油 , 所 以 說 相 對 油 會 比 較少 一 點 , 但 是 也 不 能 少 到 很 離 譜 , 這 只 是 一 個 比 例 上 的 , 而 且 每 樣 菜 都 炸 過 , 油 一 定 會 保 持 在一 個 足 夠 的 範 圍 裡 。 或 者 說 你 的 菜 有 的 兩 三 樣 都 很 油 了 , 那 有 的 菜 你 就 要 比 較 清 淡 , 譬 如 你 的炒 青 菜 就 要 比 較 清 淡 ……而 菜 色 的 搭 配 主 要 關 鍵 是 在 前 場 , 外 場 經 理 很 重 要 , 經 理 能 不 能 根 據 客 人 今 天 的 狀 況 還有 他 的 需 求 、 他 點 的 菜 、 時 令 的 菜 色 , 或 是 當 天 廚 房 剛 好 有 做 出 來 的 菜 色 去 配 菜 , 菜 能 不 能配 得 好 是 重 要 關 鍵 ,HS 舉 例 說 :HS: 譬 如 醋 溜 的 , 糖 醋 的 東 西 , 醋 溜 完 以 後 馬 上 又 上 一 個 鹽 滷 的 東 西 , 或 是 苦 的 東 西 , 那基 本 上 , 兩 個 東 西 都 口 味 很 重 , 沒 錯 你 會 覺 得 都 蠻 好 吃 , 但 是 你 不 會 覺 得 好 吃 到 哪 裡 去 , 而 且 ,相 對 糖 醋 味 道 比 較 重 , 他 就 不 能 放 在 鹽 滷 之 前 , 他 要 放 鹽 滷 之 後 , 然 後 你 糖 醋 完 了 之 後 , 其 實你 應 該 上 一 個 清 爽 的 , 比 較 淡 但 不 是 沒 有 滋 味 喔 , 你 要 讓 他 把 那 個 味 道 消 掉 。 如 果 有 可 能 他 還要 叫 菜 的 話 你 要 讓 他 上 一 個 湯 , 你 如 果 讓 他 覺 得 很 順 , 那 他 會 覺 得 每 一 道 菜 他 都 很 順 , 不 會 覺膩 , 有 些 口 味 如 果 太 雷 同 的 話 , 他 會 覺 得 吃 的 不 很 喜 歡 , 譬 如 他 叫 宮 保 , 不 論 他 多 愛 吃 , 你 不2010073144
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫能 因 為 他 愛 吃 就 宮 保 豆 腐 , 宮 保 雞 丁 , 都 給 他 , 不 行 。 而 且 他 今 天 如 果 已 經 有 紅 肉 了 , 你 最 好搭 白 肉 , 不 要 一 直 配 紅 肉 , 太 重 了 。因 為 有 這 許 多 菜 色 、 時 令 、 客 人 特 質 …… 等 種 種 考 量 , 廚 師 團 隊 就 需 要 到 前 場 看 客 人 的特 質 或 需 求 , 才 能 提 供 更 好 的 服 務 。陸 、 結 論根 據 HS 所 述 , 廚 師 職 業 中 存 在 著 許 多 數 學 因 素 , 今 以 顯 性 的 數 學 及 隱 性 數 學 來 分 析 。所 謂 顯 性 的 數 學 , 係 指 HS 在 訪 問 中 直 接 提 到 的 明 顯 可 見 的 數 學 因 素 ; 隱 性 的 數 學 , 係 指 HS在 訪 問 中 沒 有 明 白 說 出 數 學 因 素 , 但 實 際 上 隱 含 數 學 成 份 的 數 學 。一 、 顯 性 的 數 學本 節 所 說 的 顯 性 的 數 學 意 指 : 在 HS 受 訪 過 程 中 , 親 口 提 及 明 顯 的 數 學 概 念 的 部 分 。 可分 為 以 下 幾 部 分 :( 一 )、 量 感在 廚 師 的 工 作 中 , 需 要 那 些 量 感 , 根 據 受 訪 的 回 答 , 做 為 廚 師 需 要 的 量 感 大 致 有 : 重 量 、厚 度 ( 長 度 )、 時 間 量 感 、 容 量 等 等 。 舉 例 說 明 如 下 :重 量 : 廚 師 在 工 作 中 , 處 理 客 人 點 餐 的 食 材 時 , 需 要 能 夠 精 確 的 抓 到 一 人 份 或 固 定 人 份的 食 材 , 而 食 材 多 數 是 以 重 量 計 , 所 以 廚 師 要 能 夠 有 對 固 定 重 量 的 敏 感 度 , 譬 如 一 人 份 的 青菜 就 是 250 克 , 廚 師 工 作 到 熟 練 就 是 一 抓 就 這 種 準 確 度 。厚 度 、 長 度 : 廚 師 在 處 理 食 材 進 行 烹 調 時 , 需 要 切 或 片 食 材 , 或 者 片 肉 、 切 肉 絲 、 肉 條 ,把 食 材 處 理 成 同 一 厚 度 、 長 度 , 食 材 的 熟 成 時 間 才 會 一 致 , 或 是 把 食 物 熟 成 的 變 因 降 到 最 低 ,而 在 工 作 中 基 於 工 作 效 率 等 等 因 素 , 不 可 能 用 尺 去 量 , 因 此 廚 師 在 養 成 過 程 中 , 廚 師 都 會 具備 長 度 的 量 感 , 譬 如 把 食 材 切 成 0.3 公 分 或 0.5 公 分 等 等 , 或 者 把 芥 蘭 菜 心 切 成 一 定 的 公 分 數等 等 。時 間 量 感 : 時 間 是 影 響 食 物 熟 成 及 口 味 的 重 要 因 素 , 長 時 間 的 食 物 烹 調 可 以 依 賴 時 鐘 ,但 是 類 似 楊 州 炒 飯 這 類 菜 從 起 鍋 到 炒 好 要 在 一 分 三 十 秒 內 完 成 , 就 不 可 能 去 看 時 鐘 而 必 須 要有 時 間 的 量 感 ; 而 食 材 的 熟 成 也 要 配 合 觀 察 食 材 變 化 及 時 間 長 短 等 綜 合 因 素 考 量 , 時 間 量 感也 就 很 重 要 。容 量 : 食 物 的 總 量 可 以 用 重 量 算 , 但 是 一 人 份 的 食 物 往 往 不 可 能 一 一 去 稱 量 , 這 時 廚 師就 會 用 到 非 標 準 化 的 量 感 。 譬 如 炒 麵 腸 , 廚 師 就 會 抓 一 人 份 是 半 條 , 義 大 利 麵 醬 就 會 用 中 型湯 杓 量 一 杓 就 是 一 人 份 , 蘿 蔔 干 這 樣 重 鹹 口 味 的 菜 , 就 是 一 湯 匙 。如 何 培 養重 量 : 重 量 量 感 的 培 養 初 期 是 用 秤 子 秤 , 同 時 配 合 用 固 定 的 容 器 來 裝 , 通 常 師 傅 都 能 很準 確 的 抓 到 正 確 的 重 量 。厚 度 、 長 度 : 傳 統 的 廚 師 長 度 量 感 的 培 養 , 以 一 板 豆 腐 來 說 , 會 要 求 一 板 切 180 刀 , 這就 是 運 用 等 分 除 的 觀 念 去 處 理 食 材 ; 餐 飲 學 校 在 一 開 始 的 時 候 會 真 的 用 尺 量 , 譬 如 0.3 公 分 、0.5 公 分 , 這 就 是 運 用 包 含 除 的 觀 念 , 這 兩 種 方 法 練 久 了 都 能 培 養 良 好 的 長 度 的 量 感 。2010073145
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫時 間 量 感 : 除 了 看 時 鐘 之 外 , 要 配 合 觀 察 食 物 的 顏 色 變 化 , 這 看 出 食 物 的 熟 成 情 況 , 要抓 一 個 平 均 值 , 不 是 絕 對 的 。容 量 : 一 人 份 食 材 的 量 如 何 取 , 來 自 廚 師 的 經 驗 值 , 因 為 可 以 用 半 條 、 兩 片 , 因 為 是 一匙 等 等 計 量 , 所 以 透 過 觀 察 和 學 習 , 累 積 到 經 驗 即 可 藉 由 工 具 取 得 正 確 的 量 感 。( 二 )、 非 比 例 的 問 題一 人 分 的 食 物 以 250 克 來 計 算 , 而 四 人 份 的 食 物 就 是 450 克 或 500 克 , 這 種 明 顯 以 重 量計 食 材 , 卻 不 成 比 例 的 數 學 問 題 , 在 廚 師 工 作 中 十 分 常 見 , 何 以 會 存 在 此 問 題 , 究 其 原 因 是考 慮 食 物 的 總 量 和 分 別 量 的 問 題 。 舉 例 來 說 一 個 人 點 菜 很 少 會 點 三 四 道 , 通 常 會 點 套 餐 或 客飯 , 不 會 點 合 菜 , 所 以 一 位 客 人 點 一 人 份 的 菜 時 要 給 足 量 才 夠 吃 , 而 四 個 人 點 菜 時 就 會 點 三 、四 道 菜 , 如 果 每 種 菜 都 依 比 例 去 算 乘 以 四 , 四 四 十 六 , 菜 的 總 量 就 會 太 多 , 所 以 餐 廳 在 給 合菜 的 量 時 會 用 成 本 、 客 人 食 量 等 因 素 去 算 。 以 下 分 別 就 幾 個 方 面 討 論 :以 付 費 來 說 : 顧 客 單 點 一 份 食 物 如 果 以 150 元 算 , 通 常 一 份 食 物 也 就 夠 吃 了 , 不 會 再 去點 其 他 幾 樣 菜 , 但 平 均 每 人 只 多 一 百 元 , 顧 客 心 態 上 會 願 意 這 樣 付 費 。 而 老 闆 也 能 多 賺 錢 ,所 以 老 闆 會 喜 歡 賣 合 菜 。 老 闆 賣 合 菜 怎 麼 樣 能 夠 多 賺 呢 ? 就 要 從 食 材 量 的 非 比 例 關 係 去 看 。以 食 材 非 比 例 的 關 係 來 說 : 一 人 份 的 肉 假 設 要 給 到 200 克 , 當 顧 客 點 合 菜 時 , 因 為 點 的菜 色 也 會 增 加 , 從 總 量 來 考 慮 , 不 能 直 接 乘 以 三 倍 或 四 倍 , 因 為 這 樣 菜 的 總 量 一 定 過 多 。 所以 通 常 會 考 慮 總 量 的 問 題 。 以 肉 來 說 , 一 人 份 200 克 , 三 人 份 或 四 人 份 時 , 每 個 人 的 肉 的 量大 約 是 100 或 150 克 , 然 後 再 加 其 他 的 配 頭 , 在 主 要 食 材 -- 肉 , 老 闆 已 經 賺 到 一 些 單 點 之 外的 金 錢 , 至 於 用 什 麼 樣 的 配 頭 , 又 會 考 慮 不 同 菜 的 成 本 , 選 用 低 成 本 的 食 材 , 又 可 以 省 下 一些 成 本 支 出 , 每 道 菜 都 做 這 樣 的 考 慮 搭 配 , 在 客 人 享 受 美 食 、 吃 飽 , 開 心 付 費 之 餘 , 老 闆 也賺 到 相 對 多 一 些 的 金 錢 。以 餐 點 「 升 級 」 的 角 度 來 說 : 客 人 單 點 和 套 餐 , 二 者 之 間 金 額 的 差 距 大 約 五 、 六 十 元 不等 , 但 是 套 餐 可 以 享 用 更 多 菜 色 、 點 心 或 湯 , 所 以 客 人 不 會 覺 得 太 貴 , 而 在 老 闆 這 方 面 來 說 ,為 了 套 餐 所 準 備 的 例 湯 , 雖 然 是 免 費 取 用 , 但 是 成 本 已 經 算 在 主 食 當 中 , 而 且 因 為 所 有 的 湯和 菜 可 以 事 先 備 好 煮 好 , 客 人 可 以 快 速 食 用 , 老 闆 因 此 省 去 了 倉 儲 的 空 間 費 用 和 電 費 , 也 省去 事 先 準 備 單 點 食 材 的 三 、 四 個 小 時 和 煮 單 點 食 物 的 一 二 個 人 手 , 不 論 在 空 間 、 電 費 、 時 間 、人 力 等 各 方 面 都 比 較 經 濟 划 算 , 能 夠 獲 得 的 利 潤 也 相 對 較 高 。( 三 )、 成 本廚 師 在 開 菜 單 時 會 考 慮 平 衡 菜 色 的 問 題 , 成 本 概 念 會 納 入 考 慮 , 可 以 從 幾 個 面 向 看 出 來 :開 胃 菜 和 主 食 成 本 : 廚 師 在 開 菜 單 時 會 考 慮 各 種 配 菜 的 成 本 , 一 般 來 講 開 胃 菜 會 影 響 主食 和 其 他 配 菜 的 食 量 , 顧 客 胃 口 開 了 會 把 飯 菜 都 吃 下 去 , 營 養 也 會 比 較 均 衡 。 在 開 菜 單 時 ,廚 師 會 把 主 食 和 開 胃 菜 的 成 本 歸 在 同 一 組 , 如 果 主 食 或 開 胃 菜 的 成 本 較 高 , 廚 師 就 會 把 開 胃菜 的 量 降 低 , 把 其 他 成 本 相 對 較 低 的 菜 量 開 多 , 讓 一 餐 飯 在 總 量 和 色 香 味 等 各 方 面 有 平 衡 。若 是 主 食 或 開 胃 菜 的 成 本 低 , 廚 師 就 會 開 比 較 多 的 開 胃 菜 , 同 時 其 他 的 菜 色 也 會 考 慮 均 衡 的問 題 。營 養 和 成 本 的 問 題 : 營 養 的 均 衡 因 為 牽 涉 到 來 吃 飯 的 客 人 不 一 定 是 常 客 , 而 且 即 使 是 常客 也 不 一 定 固 定 天 天 來 , 所 以 營 業 者 或 是 廚 師 會 考 慮 在 每 一 餐 中 的 食 物 搭 配 的 均 衡 問 題 菜 ,或 是 透 過 對 客 人 做 菜 單 的 建 議 調 整 菜 的 內 容 。 但 是 單 點 則 無 法 兼 顧 到 這 個 部 分 。 而 本 論 文 的2010073146
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫HS 的 工 去 安 排 食 物 中 蛋 白 質 、 根 莖 類 、 葉 菜 類 和 主 食 類 的 量 , 只 要 在 一 週 或 半 個 月 等 週 期 時間 內 取 得 營 養 和 成 本 的 平 衡 就 可 以 了 。整 形 標 準 化 的 成 本 問 題 : 標 準 化 的 問 題 在 下 一 節 將 會 討 論 , 簡 言 之 , 廚 師 為 了 保 持 食 物賣 相 的 美 觀 一 致 及 食 物 熟 成 的 時 間 一 致 , 會 將 不 規 則 的 食 材 經 由 刀 工 整 形 成 一 樣 的 大 小 。 像芥 蘭 菜 心 、 紅 蘿 蔔 、 馬 鈴 薯 、 青 椒 等 等 都 可 能 因 烹 飪 的 需 求 做 標 準 化 的 處 理 , 而 青 椒 、 馬 鈴薯 、 紅 蘿 蔔 再 怎 麼 挑 每 個 食 材 的 形 狀 還 是 不 一 樣 , 而 在 處 理 食 材 時 通 常 青 椒 要 去 掉 兩 頭 , 然後 對 剖 再 壓 平 , 片 掉 中 間 比 較 厚 的 地 方 , 才 切 絲 ; 而 馬 鈴 薯 如 果 要 切 成 五 公 分 長 ,0.5 公 分 的絲 , 在 食 材 處 理 時 也 要 把 它 切 成 長 方 形 才 能 再 做 處 理 , 紅 蘿 蔔 則 要 切 成 長 方 形 後 再 視 需 要 切成 片 或 絲 , 雖 然 其 他 不 能 標 準 化 的 材 料 會 轉 做 其 他 用 途 , 但 是 刀 工 好 的 人 會 選 耗 材 最 少 的 角度 去 下 刀 , 讓 食 材 的 利 用 率 提 高 , 相 對 的 成 本 也 就 降 低 了 。配 菜 量 的 成 本 問 題 : 在 前 面 一 小 節 非 比 例 的 問 題 中 , 談 到 一 人 份 的 食 材 量 和 四 人 份 的 食材 量 之 間 並 沒 有 成 倍 數 增 加 , 而 是 人 數 越 多 , 點 的 菜 色 越 多 , 配 菜 量 相 對 減 少 , 前 節 已 經 詳述 , 大 致 來 說 , 就 是 顧 客 點 合 菜 時 , 老 闆 可 以 從 中 省 掉 食 材 的 支 出 , 成 本 就 降 低 , 而 因 為 顧客 多 點 幾 道 菜 , 相 對 收 入 又 增 加 。人 工 的 成 本 問 題 : 在 單 點 和 套 餐 之 間 , 套 餐 可 以 讓 老 闆 省 去 倉 儲 的 成 本 , 因 為 在 用 餐 前廚 師 已 將 食 物 煮 好 , 不 需 儲 存 , 客 人 使 用 又 快 速 ; 而 先 準 備 好 套 餐 的 菜 色 和 例 湯 , 每 餐 可 以省 掉 三 四 個 小 時 的 食 材 前 處 理 的 時 間 成 本 、 以 及 用 餐 時 間 煮 單 點 菜 色 的 人 力 成 本 , 這 樣 相 對的 營 業 成 本 就 降 低 了 。二 、 隱 性 的 數 學本 節 所 說 的 隱 性 的 數 學 意 指 在 HS 受 訪 過 程 中 , 並 未 明 顯 指 出 其 中 蘊 含 數 學 概 念 或 是 HS不 認 為 其 中 有 數 學 概 念 但 是 筆 者 認 為 此 乃 廚 師 工 作 中 含 有 數 學 因 素 的 部 分 。 分 以 下 幾 方 面 討論 :( 一 )、 問 題 簡 化 ( 變 因 的 控 制 )在 廚 師 的 養 成 和 實 務 工 作 中 , 有 很 多 複 雜 的 因 素 , 師 傅 或 老 師 如 何 把 這 些 複 雜 的 因 素 教下 去 ? 而 自 己 在 實 務 工 作 中 又 怎 麼 樣 去 簡 化 這 些 複 雜 的 因 素 , 讓 工 作 變 得 容 易 溝 通 與 判 斷 呢 ?一 般 來 講 廚 師 因 為 經 驗 足 夠 , 可 以 把 食 材 、 氣 候 、 菜 的 新 鮮 度 、 分 量 、 成 本 …… 等 等 因 素 迅速 的 綜 合 起 來 考 量 , 但 是 在 教 人 的 時 候 則 要 把 影 響 烹 飪 的 各 項 因 素 分 離 出 來 談 。 舉 例 來 說 :廚 師 要 做 佛 跳 牆 , 冬 天 時 因 為 天 冷 , 容 易 因 為 少 動 少 流 汗 而 火 氣 比 較 大 , 廚 師 在 煮 菜 時 就 會考 慮 到 油 量 要 放 少 , 而 因 為 每 個 菜 還 是 有 固 定 的 油 炸 的 處 理 程 序 , 就 不 會 一 一 在 細 節 上 去 訂定 油 的 使 用 量 如 何 減 少 , 因 為 每 樣 菜 都 要 用 油 炸 過 , 所 以 無 論 如 何 這 道 菜 的 油 還 是 夠 的 , 不會 影 響 口 感 ; 因 應 冬 天 少 油 夏 天 多 油 的 情 況 , 考 慮 到 油 可 以 補 食 物 的 香 氣 , 廚 師 會 在 冬 天 的食 物 中 放 較 多 的 葱 蒜 等 等 讓 食 物 的 香 氣 增 加 ; 又 譬 如 說 煮 義 大 利 麵 , 冬 天 和 夏 天 氣 候 不 同 ,麵 的 形 狀 大 小 不 一 , 需 要 的 時 間 也 應 該 會 不 同 , 但 是 廚 師 會 告 訴 學 習 者 水 開 後 放 下 去 蓋 上 鍋蓋 煮 十 分 鐘 , 十 分 鐘 就 是 一 個 控 制 變 因 , 因 為 以 他 的 經 驗 這 就 是 一 個 平 均 值 ; 又 或 者 要 炸 或炒 食 物 , 怎 麼 去 判 斷 油 夠 不 夠 熱 ? 一 般 不 會 用 溫 度 計 測 量 , 而 是 用 目 測 : 看 油 因 受 熱 而 游 動的 情 況 , 或 是 以 手 取 一 個 固 定 距 離 , 可 以 感 到 熱 的 程 度 等 等 , 像 廚 師 要 做 咖 哩 油 或 花 椒 油 時 ,就 會 把 油 燒 到 攝 氏 180 度 , 怎 麼 判 斷 到 達 180 度 ? 油 在 鍋 中 以 中 等 速 度 游 動 , 而 手 在 十 公 分左 右 的 距 離 時 感 動 很 熱 時 就 是 攝 氏 180 度 , 此 時 熄 火 , 把 油 放 半 小 時 , 就 會 降 到 攝 氏 120 度 ,2010073147
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫這 時 把 熱 油 沖 到 咖 哩 粉 或 花 椒 裡 , 泡 隔 夜 , 就 可 以 做 成 咖 哩 油 或 花 椒 油 了 。 像 以 上 這 些 方 式都 是 廚 師 把 複 雜 因 素 簡 化 , 用 以 教 導 初 學 者 方 便 學 習 的 控 制 變 因 。( 二 )、 基 數 與 序 數廚 師 的 分 級 有 傳 統 的 以 鍋 分 級 和 證 照 制 度 中 的 甲 乙 丙 三 級 , 在 廚 師 工 作 中 鍋 和 級 運 用 的數 學 概 念 屬 於 兩 種 不 同 的 系 列 :鍋 屬 於 基 數 觀 念 , 廚 師 經 過 學 徒 的 學 習 , 取 得 可 以 站 鍋 的 資 格 後 , 隨 著 資 歷 和 廚 師 團 隊的 人 數 不 同 , 就 從 一 鍋 漸 漸 往 上 晉 升 , 一 鍋 是 資 歷 、 程 度 … 最 淺 的 廚 師 。 鍋 所 代 表 的 意 義 是營 業 人 數 、 廚 師 能 力 、 廚 師 團 隊 大 小 … 等 等 , 鍋 數 越 多 , 營 業 人 數 越 多 ; 廚 師 的 以 鍋 分 級 的數 字 越 大 , 技 術 等 級 越 高 。考 照 制 度 中 , 甲 級 、 乙 級 、 丙 級 屬 於 序 數 觀 念 , 這 三 級 代 表 不 同 食 材 的 處 理 程 度 的 能 力 ,而 甲 級 是 最 高 級 的 , 乙 級 次 之 , 丙 級 是 最 基 本 的 。( 三 )、 標 準 單 位 與 非 標 準 單 位廚 師 的 工 作 領 域 中 , 存 在 著 許 多 非 標 準 單 位 , 而 非 標 準 單 位 與 標 準 單 位 之 間 又 有 一 些 關聯 性 , 以 下 分 項 敘 述 :1、 傳 統 廚 師 的 分 級 制廚 師 的 分 級 制 中 , 傳 統 的 層 級 以 鍋 來 分 , 鍋 數 是 一 個 基 數 , 鍋 越 高 表 示 技 術 能 力 越 好 ,另 一 方 面 , 廚 師 又 分 主 廚 、 二 廚 、 三 廚 、 四 廚 、 五 廚 等 等 , 雖 然 都 代 表 廚 師 , 但 是 主 廚 就 是技 術 位 階 最 高 的 , 而 這 個 主 廚 二 廚 的 定 名 又 是 以 序 數 觀 念 思 考 。 很 有 趣 的 是 : 廚 和 鍋 的 對 應是 反 比 例 , 也 就 是 主 廚 、 二 廚 、 三 廚 、 四 廚 、 五 廚 對 應 到 鍋 的 時 候 是 五 鍋 、 四 鍋 、 三 鍋 、 二鍋 、 一 鍋 , 主 廚 是 能 力 最 好 的 , 又 稱 一 廚 、 大 廚 , 若 是 以 五 鍋 的 餐 廳 或 團 隊 來 說 , 主 廚 是 五鍋 , 不 是 一 鍋 。2、 食 材 的 標 準 單 位 和 非 標 準 單 位在 廚 師 的 工 作 中 標 準 化 單 位 如 重 量 單 位 : 公 斤 、 公 克 ; 時 間 單 位 : 小 時 、 分 、 秒 ; 長 度單 位 : 公 分 …… 均 是 存 在 且 經 常 運 用 的 。 雖 然 食 材 在 購 買 時 以 標 準 單 位 如 公 斤 等 為 計 量 , 烹飪 時 也 有 時 間 、 比 例 等 等 標 準 化 的 單 位 , 但 是 在 個 別 算 量 時 因 為 不 太 可 能 一 一 去 稱 量 , 為 了工 作 的 方 便 順 暢 以 及 做 到 食 物 量 的 控 制 , 廚 師 會 用 種 種 非 標 準 化 的 量 感 來 計 量 , 這 些 方 式 包括 ; 以 固 定 的 籃 子 來 裝 一 人 份 的 菜 ; 以 中 型 的 湯 杓 一 杓 計 算 一 人 份 的 義 大 利 麵 醬 ; 半 條 炒 麵腸 是 一 人 份 ; 蘿 蔔 干 這 種 重 鹹 口 味 的 菜 , 一 湯 匙 是 一 人 份 …… 所 以 在 標 準 化 單 位 和 非 標 準 化單 位 之 間 就 會 有 一 些 固 定 關 係 存 在 。 甚 至 於 在 購 買 時 如 果 是 親 自 購 買 而 非 開 清 單 , 廚 師 都 可能 以 一 個 拳 頭 大 小 的 蕃 茄 代 表 一 份 , 去 估 量 出 自 己 需 要 的 總 食 材 量 。 也 就 是 說 , 對 一 個 經 驗老 到 的 廚 師 來 說 , 拳 頭 、 湯 杓 、 籃 子 、 甚 至 於 目 測 等 等 非 標 準 單 位 , 都 可 以 輕 鬆 的 在 標 準 單位 之 間 做 轉 化 , 做 為 計 量 的 方 式 。( 四 )、 標 準 化食 材 不 像 工 業 製 造 品 有 固 定 的 大 小 、 重 量 和 形 狀 , 因 此 廚 師 在 料 理 食 物 時 為 了 讓 食 物 熟成 時 間 一 致 , 在 實 務 工 作 中 會 由 學 徒 或 專 人 做 整 形 的 工 作 , 使 食 材 成 為 標 準 化 的 形 狀 大 小 。食 材 整 形 成 為 一 樣 的 長 短 、 厚 薄 、 大 小 , 使 得 廚 師 在 料 理 時 食 物 熟 成 的 變 因 減 少 , 也 讓 食 物在 賣 相 上 取 得 一 致 性 或 是 變 成 某 種 特 殊 的 賣 相 。 就 HS 所 述 敘 , 廚 師 工 作 中 運 用 整 形 使 食 物2010073148
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫標 準 化 的 情 況 非 常 多 , 像 蟹 黃 菜 心 要 取 芥 蘭 菜 心 中 的 某 一 段 , 削 切 成 同 樣 的 粗 細 、 長 短 ; 青椒 切 絲 時 , 要 先 去 掉 兩 頭 再 片 掉 中 間 較 厚 的 部 分 , 再 進 行 切 絲 ; 紅 蘿 蔔 和 馬 鈴 薯 或 是 切 片 或是 切 絲 , 都 要 先 把 兩 頭 去 掉 , 再 切 平 四 邊 , 最 後 才 能 進 行 切 片 或 切 絲 的 標 準 化 的 整 形 工 作 。刀 工 好 或 是 經 驗 老 到 的 廚 師 或 工 作 人 員 , 會 選 擇 最 好 的 刀 法 或 部 位 進 行 標 準 化 的 工 作 。舉 例 來 說 , 像 青 椒 如 果 要 切 青 椒 絲 , 再 怎 麼 挑 每 個 青 椒 的 形 狀 還 是 不 一 樣 , 在 處 理 食 材 時 就要 去 掉 兩 頭 , 然 後 對 剖 再 壓 平 , 片 掉 中 間 比 較 厚 的 地 方 , 才 切 絲 , 但 是 刀 工 好 的 人 會 去 選 耗材 最 少 的 角 度 下 刀 , 就 能 保 留 最 多 可 供 標 準 化 的 食 材 。柒 、 成 果 之 一舉 辦 三 次 的 學 術 研 討 會1. 數 學 的 外 部 連 結 學 術 研 討 會 。20120309。 台 北 市 立 教 育 大 學 。 共 33 位 教 師 與 學 者 報 名 。2. 數 學 的 外 部 連 結 學 術 研 討 會 ( 二 )。20120717。 台 北 市 立 教 育 大 學 。 共 37 位 教 師 與 學 者報 名 。3. 國 小 數 學 科 教 材 教 法 命 題 研 討 會 。20120602。 台 北 市 立 教 育 大 學 。 共 128 位 教 師 與 學 者報 名 。( 師 培 SIG 舉 辦 之 研 討 會 )捌 、 成 果 之 二三 個 子 計 劃 的 研 究 成 果 , 請 分 別 參 閱 三 個 子 計 劃 上 傳 之 成 果 。玖 、 參 考 文 獻左 台 益 和 胡 政 德 (2009)。 準 教 師 從 真 實 情 境 中 建 構 數 學 模 式 的 認 知 因 素 分 析 與 機 制 。 當 代 教育 研 究 ,17(4),61-101。吳 昭 容 (2004)。 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 「 連 結 」 主 題 的 詮 釋 — 幾 何 教 材 的 五 種 連 結 能 力 。 行政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。李 家 言 (2002)。 國 中 生 對 生 活 中 數 量 關 係 之 知 覺 : 比 例 關 係 之 探 討 。 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學系 教 學 碩 士 班 碩 士 論 文 。林 煥 祥 主 編 (2008)。 臺 灣 參 加 PISA 2006 成 果 報 告 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 計 畫 編 號 :NSC95-2522-S-026-002。洪 碧 霞 (2004)。 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 的 詮 釋 : 國 小 連 結 部 分 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題研 究 計 畫 成 果 報 告 。紀 惠 英 (1998)。 國 小 原 住 民 兒 童 數 學 概 念 的 初 探 性 研 究 : 省 思 與 發 現 。 發 表 於 國 立 花 蓮 師範 學 院 初 等 教 育 論 文 發 表 會 。馬 秀 蘭 (2006)。 由 實 務 推 理 的 問 題 發 展 中 研 發 生 活 情 境 的 數 學 解 題 能 力 測 驗 工 具 之 研 究 (1/3)。行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。2010073149
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫馬 秀 蘭 (2008)。 由 實 務 推 理 的 問 題 發 展 中 研 發 生 活 情 境 的 數 學 解 題 能 力 測 驗 工 具 之 研 究 (3/3)。行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。張 春 興 (1997)。 教 育 心 理 學 - 三 化 取 向 的 參 與 實 踐 。 台 北 : 東 華 。張 奠 宙 和 戴 再 平 (1997)。 生 活 中 的 中 學 數 學 。 九 章 出 版 社 。 台 北 市 。教 育 部 (2000)。 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 暫 行 綱 要 數 學 學 習 領 域 。 教 育 部 , 臺 北 市 。教 育 部 (2003)。 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 。 取 自 :http://www.edu.tw/eje/content.aspx?site_content_sn=4420。教 育 部 (2008)。 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 。 取 自 :http://www.edu.tw/eje/content.aspx?site_content_sn=15326。曹 博 盛 (2009)。 台 灣 在 TIMSS 2007 國 際 評 比 的 結 果 。20091105 在 台 北 市 立 教 育 大 學 數 學 資 訊教 育 學 系 的 演 講 講 義 。許 世 壁 (2006)。 物 種 競 爭 之 數 學 模 型 及 其 數 學 分 析 。 自 然 科 學 簡 訊 ,18(3),56-58。陳 幸 玫 (2007)。 從 報 章 雜 誌 中 統 計 訊 息 的 理 解 探 討 國 民 基 本 統 計 素 養 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。陳 義 汶 (2007)。 國 中 生 數 學 焦 慮 及 態 度 與 數 學 課 後 補 習 之 研 究 。 台 南 科 大 學 報 ,26,043-064。陸 昱 任 譚 克 平 (2006)。 論 數 學 素 養 之 意 涵 。 中 華 民 國 第 22 屆 科 學 教 育 學 術 研 討 會 (2006) 論 文 彙編 - 短 篇 論 文 - 壁 報 展 示 - 上 傳 編 號 173。黃 美 瑜 (2002)。 生 活 數 學 教 學 對 國 民 中 學 輕 度 智 能 障 礙 學 生 學 習 統 計 與 圖 表 概 念 成 效 之 研 究 。國 立 高 雄 師 範 大 學 特 殊 教 育 學 系 所 碩 士 論 文 。黃 財 尉 (2007)。 國 小 學 童 真 實 生 活 情 境 在 數 學 教 科 書 上 的 應 用 調 查 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。黃 敏 晃 (2003)。 人 間 處 處 有 有 數 學 。 天 下 遠 見 出 版 股 份 有 限 公 司 。 台 北 市 。黃 德 祥 (1990)。 國 中 與 國 小 學 生 數 學 焦 慮 與 數 學 態 度 之 分 析 研 究 。 輔 導 學 報 ,13 ,1-52。楊 德 清 (2004)。 九 年 一 貫 數 學 學 習 領 域 能 力 指 標 之 詮 釋 : 國 小 連 結 主 題 之 教 學 實 例 的 探 究 。 行政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。蔡 文 煥 (2004)。 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 的 詮 釋 : 國 小 連 結 部 分 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研究 計 畫 成 果 報 告 。戴 錦 秀 和 柳 賢 (2006)。 原 住 民 數 學 素 養 之 初 探 。2006 年 原 住 民 學 生 數 理 科 教 / 學 理 論 與 實 務 學術 研 討 會 。魏 麗 敏 (1989)。 國 小 學 生 數 學 焦 慮 、 數 學 態 度 與 數 學 成 就 之 關 係 。 中 國 測 驗 學 會 測 驗 年 刊 ,36,47-60。魏 麗 敏 (1988)。 國 小 學 生 數 學 焦 慮 、 數 學 態 度 與 數 學 成 就 之 關 係 暨 數 學 學 習 團 體 諮 商 之 效果 研 究 。 未 出 版 之 碩 士 論 文 , 國 立 台 灣 師 範 大 學 教 育 研 究 所 , 台 北 。羅 浩 源 (2000)。 生 活 的 數 學 。 九 章 出 版 社 。 台 北 市 。譚 寧 君 (1992)。 兒 童 數 學 態 度 與 解 題 能 力 之 分 析 探 討 。 台 北 師 院 學 報 ,5,619-688。Aiken, L. R. (1970). Attitude toward mathematics. Review of Educational Research, 40, 551-596.Aiken, L. R. (1976). Update on attitudes and other affective variables in learning mathematics.Review of Educational Research, 46, 293-311.Baron, R. A., & Greenbery, J. (1990). Behavior in organizations: understanding and managing the2010073150
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 總 計 畫human side of work. Upper Saddle River, N. J. : Prentice Hall.Fennema, E., & Sherman, J. (1976). Fennema-Sherman Mathematics Attitudes Scales: Instrumentsdesigned to measure attitude toward the learning of Mathematics by females and males.Journal for Research in Mathematics Education, 7, 324-326.Kemp, M. (2003). Critical numeracy: helping people to decide. The Mathematics Education into the21st Century Project Proceedings of the International Conference. The Decidable and theUndecidable in Mathematics Education. Brno, Czech Republic, September 2003.Mullis, I.V.S.; Martin, M.O.; Foy, P.; Olson, J.F.; Preuschoff, C.; Erberber, E.; Arora, A.; Galia, J.(2008). TIMSS 2007 International Mathematics Report: Findings from IEA’s Trends inInternational Mathematics and Science Study at the Fourth and Eighth Grades. TIMSS &PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College.Mullis, I.V.S; Martin, M.O.; Gonzalez, E.J.; Chrostowski, S.J. (2004). TIMSS 2003 InternationalMathematics Report. TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education,Boston College.National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for schoolmathematics. Reston, VA. Retrieved March 9, 2009, from http://standards.nctm.org/document/ index.htmNational Research Council (1989). Everybody Counts: A Report to the Nation on the Future ofMathematics Education. Washington, D. C.: National Academy Press.Organisation for Economic Co-operation and Development (2006). Assessing Scientific, Readingand Mathematical Literacy A Framework for PISA 2006. Organisation for EconomicCo-operation and Development.Sandman, R. S. (1974). The development, validation, and application of a multidimensionalmathematics attitude instrument. University of Minnesota, Department of EducationalPsychology.Steen, L. A. (1990). Numeracy. Daedalus, 119 (2), 211-231.2010073151
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php52
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 ■ 成 果 報 告□ 期 中 進 度 報 告數 學 的 外 部 連 結 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究計 畫 類 別 :□ 個 別 型 計 畫 ■ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :100-2511-S-133 -009 -執 行 期 間 : 100 年 8 月 1 日 至 101 年 7 月 31 日計 畫 主 持 人 : 李 源 順計 畫 參 與 人 員 : 鄭 芳 怡 、 徐 美 慧 、 邱 淑 娟 、 鄭 塋 芝 、 楊 璧 如 、 江 崇 男 、楊 璦 甄 、 紀 凱 莉 、 宋 狄 熙成 果 報 告 類 型 ( 依 經 費 核 定 清 單 規 定 繳 交 ):■ 精 簡 報 告 □ 完 整 報 告本 成 果 報 告 包 括 以 下 應 繳 交 之 附 件 :■ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告 及發 表 之 論 文 各 一 份處 理 方 式 : 除 產 學 合 作 研 究 計 畫 、 提 升 產 業 技 術 及 人 才 培 育 研 究 計 畫 、列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,□ 一 年 ■ 二 年 後 可 公 開 查 詢執 行 單 位 : 台 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 ( 含 數 學 教 育 碩 士 班 )中 華 民 國 101 年 10 月 30 日2010073153
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究數 學 的 外 部 連 結 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究摘 要本 子 計 劃 主 要 在 大 範 圍 的 收 集 生 活 中 數 學 相 關 的 題 材 , 親 身 體 會 如 何 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、溝 通 與 評 析 這 些 題 材 和 關 鍵 因 素 。 參 與 對 象 為 四 位 在 職 教 師 , 以 及 若 干 位 高 中 生 和 國 小 教 師 、三 位 數 學 教 育 學 者 。 研 究 方 法 採 人 種 誌 研 究 法 。 研 究 結 果 已 收 集 12 篇 生 活 數 學 連 結 的 相 關 文章 , 這 12 篇 文 章 正 在 進 行 美 編 之 中 。 同 時 也 發 表 了 三 篇 相 關 的 文 章 。 研 究 發 現 連 結 生 活 中 的數 學 的 重 要 關 鍵 因 素 , 是 需 要 將 複 雜 資 訊 適 度 簡 化 。 教 師 與 學 生 對 生 活 數 學 連 結 相 關 資 訊 的了 解 , 包 括 報 讀 、 解 讀 和 推 論 。關 鍵 詞 生 活 連 結 、 報 讀 、 解 讀 、 推 論AbstractThe project is to collect the task of mathematical connection with daily lives, and toexperience how to awareness, transformation, problem solving, communication andevaluation on these themes and key factor for myself. Research participators have fourelementary teachers, and a number of high school and elementary teachers, three matheducators. The methodology adopted ethnographic research method. The results havebeen collected life mathematical connection 12 articles, the 12 articles in progress by arteditor. The project also published three related articles. The study found that the keyfactors that connection life math is complex information simplified. Teacher and studentunderstand the connection of the information of life math, including reading, interpretationand inference.Keywords life connection, reading, interpretation and inference壹 、 背 景在 研 究 者 從 事 數 學 教 育 研 究 的 過 程 中 , 發 現 台 灣 學 生 在 TIMSS2003(Mullis, et al., 2004)和 TIMSS2007(Mullis, et al., 2008) 的 數 學 成 績 , 排 名 在 世 界 各 國 的 領 先 群 , 但 是 台 灣 學 生 對 數學 的 信 心 與 興 趣 是 倒 數 的 。 同 時 研 究 者 在 教 授 國 小 職 前 教 師 有 關 普 通 數 學 的 經 驗 中 , 體 育 專業 的 學 者 曾 經 跟 研 究 者 說 他 們 的 學 生 對 數 學 不 好 , 因 此 希 望 我 能 放 他 們 的 學 生 一 馬 , 不 要 教得 太 難 。 研 究 者 與 外 界 學 者 對 話 的 過 程 中 , 也 時 常 到 聽 到 他 們 對 數 學 或 數 學 教 育 學 者 非 常 敬佩 , 覺 得 數 學 或 數 學 教 育 學 者 的 數 學 非 常 利 害 , 但 是 他 們 卻 敬 而 遠 之 , 很 怕 數 學 。 有 一 次 研究 者 和 幾 位 大 學 的 教 授 到 台 中 開 會 , 途 中 , 教 授 們 也 表 示 上 述 他 們 對 數 學 敬 而 遠 之 的 看 法 ,於 是 我 問 幾 位 教 授 :「 高 鐵 的 車 票 裏 面 有 學 問 ( 圖 一 ), 你 知 道 嗎 ?」 他 們 說 :「 不 知 道 」, 他們 從 來 沒 有 想 過 與 留 意 過 這 樣 的 問 題 。 我 告 訴 他 們 車 次 的 號 碼 有 特 別 的 意 義 , 例 如 奇 數 字 頭代 表 南 下 , 偶 數 字 頭 代 表 北 上 ;1,2 字 頭 ( 三 位 數 ) 的 車 次 代 表 新 竹 、 桃 園 、 嘉 義 、 台 南 不 停的 快 速 車 次 。 教 授 們 聽 了 覺 得 很 有 趣 、 很 好 玩 。54
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究研 究 者 為 了 讓 各 階 層 的 人 了 解 數 學 、 體 會 數 學 的 美 , 因 此 欲 進 行 生 活 中 的 數 學 的 外 部 連結 的 相 關 研 究 。 希 望 收 集 足 夠 豐 富 , 具 有 吸 引 力 與 數 學 內 涵 的 題 材 , 以 及 相 關 的 應 用 與 教 學 ,促 使 社 會 大 眾 對 數 學 有 重 新 認 識 的 機 會 , 體 會 數 學 的 美 。 也 希 望 藉 由 這 些 生 活 中 的 題 材 , 促使 我 們 的 學 子 能 感 受 數 學 的 用 處 、 數 學 的 美 , 不 再 懼 怕 數 學 , 進 而 對 數 學 產 生 學 習 的 成 就 感與 興 趣 。 為 了 進 行 生 活 中 數 學 外 部 的 連 結 , 研 究 者 利 用 高 鐵 的 時 刻 表 在 適 當 的 場 合 , 對 高 中畢 業 生 、 國 小 在 職 老 師 、 研 究 生 試 行 試 驗 , 發 現 他 對 時 刻 表 當 中 數 學 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、溝 通 與 評 析 的 能 力 不 一 , 但 事 後 都 表 示 這 樣 的 經 驗 很 有 趣 。 於 是 興 趣 了 研 究 者 進 行 此 一 研 究計 劃 的 興 趣 。圖 一 高 鐵 車 票本 計 劃 是 以 「 數 學 外 部 的 連 結 : 生 活 中 的 數 學 」 當 做 研 究 議 題 , 主 要 是 它 與 「 數 學 素 養 」概 念 相 關 度 高 , 同 時 我 們 相 信 了 解 數 學 外 部 的 連 結 – 在 日 常 生 活 中 的 數 學 , 我 們 才 可 以 了 解 國民 需 要 什 麼 樣 的 數 學 素 養 , 因 此 先 以 此 議 題 進 行 研 究 計 劃 。 此 外 , 有 時 候 我 們 先 讓 相 關 人 士察 覺 生 活 中 的 數 學 的 數 學 也 很 重 要 , 例 如 察 覺 高 鐵 時 刻 表 中 的 車 次 的 規 律 ( 奇 數 字 頭 代 表 南下 , 偶 數 字 頭 代 表 北 上 ; 三 位 數 的 1,2 字 頭 車 次 代 表 新 竹 、 桃 園 、 嘉 義 、 台 南 不 停 的 快 速 車次 ), 便 能 讓 相 關 人 士 在 搭 高 鐵 時 , 不 會 搭 錯 方 向 的 車 。 有 機 會 的 時 候 , 再 想 辦 法 讓 相 關 人 士把 察 覺 的 數 學 題 材 轉 化 成 數 學 問 題 。 例 如 「 正 常 的 情 況 下 , 一 小 時 開 幾 班 車 、」 或 者 「7:30台 北 開 車 、9:30 到 左 營 的 車 子 在 什 麼 地 方 被 7:42 台 北 開 車 、9:18 到 左 營 的 車 子 超 越 ?」「 為什 麼 你 的 推 論 是 合 理 的 ?」, 此 時 相 關 人 士 解 題 問 題 與 溝 通 所 解 答 問 題 的 動 機 就 會 增 加 。 之 後讓 相 關 人 士 評 析 所 解 答 的 結 果 以 及 和 真 實 生 活 的 差 異 …。 因 此 研 究 者 覺 得 很 適 合 先 用 數 學 外部 連 結 做 為 研 究 的 主 題 , 之 後 再 思 考 社 會 人 士 所 需 要 的 數 學 素 養 問 題 。研 究 者 進 行 高 鐵 時 刻 表 試 驗 的 過 程 中 , 發 現 有 些 關 鍵 因 素 會 影 響 參 與 者 察 覺 、 轉 化 、 解題 、 溝 通 、 評 析 生 活 中 的 相 關 數 學 。 若 我 們 可 以 深 入 了 解 這 些 關 鍵 因 素 的 時 候 , 我 們 可 以 更容 易 的 讓 相 關 人 士 對 生 活 中 或 各 行 各 業 中 的 題 材 , 進 行 數 學 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評析 。 因 此 本 研 究 也 想 了 解 影 響 相 關 人 士 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評 析 生 活 中 的 數 學 問 題 的關 鍵 因 素 。基 於 上 述 理 由 , 本 研 究 計 劃 研 究 的 目 的 要 探 究 生 活 中 的 數 學 連 結 , 也 就 是 對 生 活 脈 絡 中數 學 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 。依 據 本 整 合 型 計 劃 的 研 究 目 的 , 本 研 究 擬 出 三 年 的 研 究 問 題 , 因 為 計 劃 只 通 過 一 年 , 因此 只 列 出 第 一 年 的 研 究 目 的 :第 一 年 : 大 範 圍 收 集 生 活 中 數 學 相 關 的 題 材 , 分 析 他 們 如 何 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與評 析 這 些 題 材 和 關 鍵 因 素 。 同 時 將 相 關 素 材 重 新 撰 寫 成 適 合 學 生 閱 讀 的 文 本 。55
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究貳 、 文 獻 探 討本 研 究 首 先 探 討 與 數 學 外 部 連 結 相 關 的 議 題 與 相 關 研 究 , 進 而 形 成 本 研 究 的 研 究 議 題 。其 實 研 究 者 的 經 驗 知 道 早 年 清 大 許 世 壁 (2006) 教 授 曾 進 行 過 類 似 數 學 外 部 連 結 的 相 關國 科 會 研 究 劃 計 。 研 究 者 試 圖 搜 尋 相 關 文 獻 , 發 現 許 教 授 的 研 究 偏 向 較 高 深 的 數 學 知 識 層 面的 內 涵 。 例 如 利 用 多 變 數 函 數 的 微 分 談 物 種 競 爭 之 數 學 模 型 及 其 數 學 分 析 。 因 為 他 的 研 究 領域 偏 向 高 等 數 學 , 因 此 不 在 本 研 究 的 文 獻 探 討 範 疇 。一 、 理 念 依 據我 國 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 課 程 綱 要 ( 教 育 部 ,2003, 2008) 指 出 ,(A) 數 學 是 人 類 最 重要 的 資 產 之 一 , 因 為 數 學 是 科 學 、 技 術 及 思 想 發 展 的 基 石 , 人 類 文 明 演 進 的 指 標 與 推 手 。 數學 結 構 之 精 美 , 不 但 體 現 在 科 學 理 論 的 內 在 結 構 中 及 各 文 明 之 建 築 、 工 技 與 藝 術 作 品 上 , 自身 亦 呈 現 一 種 獨 特 的 美 感 。(B) 數 學 是 一 種 語 言 , 因 為 精 確 的 數 學 語 言 , 融 合 在 人 類 生 活 世 界的 諸 多 面 向 , 宛 如 另 一 種 母 語 。 從 科 學 的 發 展 史 來 看 , 數 學 更 是 理 性 與 自 然 界 對 話 時 最 自 然的 語 言 。(C) 數 學 是 人 類 天 賦 本 能 的 延 伸 , 因 為 人 類 自 出 生 之 後 , 即 具 備 嘗 試 錯 誤 、 尋 求 策 略 、解 決 問 題 的 生 存 本 能 , 並 具 備 形 與 數 的 初 等 直 覺 ; 再 經 過 文 明 累 積 的 陶 冶 與 教 育 , 使 這 些 本能 得 以 具 體 延 伸 為 數 學 知 識 , 並 形 成 更 有 力 量 的 思 維 能 力 。身 為 人 類 的 重 要 資 產 、 語 言 和 天 賦 本 能 的 數 學 , 與 人 類 的 生 活 習 習 相 關 。 因 此 探 究 生 活中 的 數 學 , 可 以 重 現 人 類 體 驗 數 學 是 資 產 的 重 要 性 , 體 驗 數 學 如 何 與 人 類 生 活 世 界 的 融 合 ,以 及 體 驗 並 發 揮 人 類 解 決 問 題 的 本 能 。同 時 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 課 程 綱 要 ( 教 育 部 ,2003, 2008) 也 將 連 結 列 入 數 學 內 容 的五 大 主 題 之 一 , 強 調 除 了 用 數 學 內 部 的 連 結 來 貫 穿 四 個 數 學 內 容 主 題 和 解 題 能 力 的 培 養 之 外 ;數 學 外 部 的 連 結 則 強 調 生 活 及 其 他 領 域 中 數 學 問 題 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評 析 等 能 力的 培 養 。 連 結 的 能 力 , 一 方 面 增 進 學 生 的 數 學 素 養 , 能 適 切 地 應 用 數 學 , 來 提 高 生 活 品 質 ,另 一 方 面 也 能 加 強 其 數 學 的 思 維 , 有 助 於 個 人 在 生 涯 中 求 進 一 步 的 發 展 。此 外 美 國 數 學 教 師 協 會 (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000) 所 出版 的 「 學 校 數 學 課 程 原 則 與 標 準 」(Principles and Standards for School Mathematics) 也 強 調 連結 的 重 要 性 。NCTM(2000,p. 64) 主 張 數 學 連 結 就 是 能 夠 瞭 解 數 學 概 念 並 具 有 連 結 這 些 概 念 的能 力 ; 能 夠 瞭 解 數 學 概 念 相 互 連 結 的 關 係 並 藉 此 建 立 一 個 連 貫 的 數 學 體 系 ; 能 夠 作 數 學 外 部的 連 結 , 並 應 用 所 學 的 數 學 知 識 於 相 關 領 域 。因 此 本 研 究 相 信 強 調 數 學 外 部 的 連 結 可 以 重 現 人 類 體 驗 數 學 是 資 產 的 重 要 性 , 發 揮 人 類解 決 問 題 的 本 能 , 應 用 所 學 的 數 學 知 識 於 相 關 領 域 , 以 便 增 進 人 類 的 數 學 素 養 、 提 高 生 活 品質 、 使 個 人 在 生 涯 中 能 更 進 一 步 的 發 展 。二 、 數 學 素 養陸 昱 任 和 譚 克 平 (2006) 曾 經 文 獻 探 討 過 清 數 學 素 養 的 意 涵 , 他 們 發 現 不 同 的 國 家 曾 使 用不 同 的 用 字 來 談 數 學 素 養 相 關 的 概 念 , 例 如 英 國 大 多 用 Numeracy 及 Mathematical Literacy; 美國 大 多 用 Mathematical Literacy 與 Mathematical Proficiency。 也 有 其 他 學 者 使 用 其 他 的 字 來 談 數學 素 養 , 例 如 部 分 學 者 使 用 Matheracy 來 談 數 學 素 養 (Bishop, 2000; Bonotto, 2001; D’Ambrosio,56
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究1999b; Skovsmose,1998; 引 自 陸 昱 任 和 譚 克 平 ,2006)。經 濟 合 作 暨 發 展 組 織 (Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD])所 主 持 的 國 際 學 生 評 量 計 畫 (Program for International Student Assessment [PISA], OECD, 2006)是 採 取 素 養 的 觀 點 來 設 計 測 驗 , 測 驗 的 內 容 主 要 分 為 三 個 領 域 : 閱 讀 、 數 學 及 科 學 。 重 點 在於 評 估 接 近 完 成 基 礎 教 育 的 十 五 歲 學 生 , 是 否 能 將 在 學 校 所 學 習 得 到 的 知 識 與 技 能 應 用 於 進入 社 會 後 所 面 臨 的 各 種 情 境 及 挑 戰 。 因 此 OECD(2006) 將 數 學 素 養 (Mathematical Literacy) 定 義為 個 體 應 能 辨 認 與 了 解 數 學 在 這 個 世 界 所 扮 演 的 角 色 、 能 做 出 有 充 分 根 據 的 判 斷 並 且 能 使 用及 投 入 (engage in) 數 學 以 符 合 作 為 積 極 的 (constructive)、 關 懷 的 (concerned) 以 及 具 反 思(reflective) 之 國 民 的 需 要 。由 於 數 學 素 養 是 學 生 提 出 、 形 成 、 解 決 及 詮 釋 解 答 牽 涉 到 數 量 、 空 間 、 機 率 或 是 其 他 數學 概 念 的 各 式 各 樣 問 題 情 境 時 , 能 有 效 進 行 分 析 、 推 理 以 及 溝 通 的 能 力 。 因 此 PISA(OECD,2006) 的 數 學 評 量 分 為 三 個 面 向 : 情 境 或 脈 絡 (Situations), 數 學 內 容 (Mathematical content), 和數 學 過 程 (Mathematical processes)。PISA 數 學 素 養 ( 林 煥 祥 主 編 ,2008) 的 評 量 與 其 它 數 學 成 就 評 量 不 同 之 處 , 主 要 在 於 PISA所 提 出 設 計 的 情 境 或 脈 絡 面 向 。PISA( 林 煥 祥 主 編 ,2008) 認 為 最 接 近 學 生 的 情 境 或 脈 絡 為個 人 生 活 , 接 著 是 學 校 生 活 , 工 作 以 及 休 閒 , 然 後 是 日 常 生 活 中 所 會 碰 到 社 區 及 社 會 , 最 後是 科 學 情 境 。 因 此 PISA 所 界 定 和 使 用 的 四 個 情 境 或 脈 絡 問 題 分 別 為 : 個 人 的 、 教 育 / 職 業 的 、公 共 的 、 以 及 科 學 的 問 題 。在 數 學 內 容 面 向 , 分 為 數 量 、 空 間 與 形 狀 、 改 變 與 關 係 、 不 確 定 性 等 四 個 數 學 內 容 。 這四 個 數 學 內 容 , 和 九 年 一 貫 課 程 的 數 與 量 、 幾 何 、 代 數 、 統 計 與 機 率 概 念 相 同 。在 數 學 過 程 面 向 , 分 為 數 學 化 (Mathematisation) 和 能 力 (The competencies)。 數 學 化 的 五 個步 驟 , 如 圖 二 :(1) 開 始 於 一 個 真 實 情 境 中 的 問 題 。(2) 依 據 重 要 的 數 學 概 念 找 出 相 關 的 數學 , 並 且 重 新 組 織 問 題 。(3) 透 過 假 設 、 一 般 以 及 形 式 化 , 逐 漸 調 整 現 實 , 透 過 這 樣 的 方 式來 浮 現 情 境 的 數 學 特 性 , 將 現 實 世 界 的 問 題 轉 化 成 可 以 忠 實 呈 現 情 境 的 數 學 問 題 。(4) 解 決數 學 問 題 。(5) 根 據 真 實 情 境 來 對 數 學 解 法 產 生 意 義 化 , 包 含 找 出 解 法 的 限 制 。圖 二 數 學 化 的 過 程PISA 認 為 學 生 在 此 種 歷 程 中 需 運 用 到 數 種 不 同 的 能 力 (competencies), 分 別 為 思 考 及 推理 ( thinking and reasoning)、 論 證 (argumentation)、 溝 通 (communication)、 建 模 (modeling)、擬 題 及 解 題 (problem posing and solving)、 表 徵 (representation)、 以 及 運 用 符 號 、 形 式 化 及科 技 的 語 言 及 運 算 (using symbolic, formal and technical language and operations)、 使 用 輔 助 工具 (use of aids and tools)。 因 為 這 些 能 力 無 法 明 確 從 不 同 試 題 中 區 分 , 因 此 PISA 數 學 素 養 以57
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究能 力 群 組 (competency clusters) 的 概 念 來 呈 現 , 分 為 複 製 (reproduction)、 連 結 (connection)與 反 思 (reflection) 三 種 層 次 。 複 製 群 組 包 含 習 過 知 識 的 複 製 , 如 事 實 、 一 般 問 題 表 徵 的 知識 , 標 準 算 則 和 技 術 性 技 巧 的 應 用 , 在 標 準 的 型 態 中 操 弄 概 念 完 備 的 符 號 , 以 及 計 算 的 進 行 。連 結 群 組 是 建 立 在 複 製 群 組 之 上 , 在 此 問 題 解 決 不 是 例 行 的 , 但 仍 然 包 含 了 熟 悉 和 半 熟 悉 的情 境 。 反 思 群 組 則 包 含 學 生 對 於 問 題 解 決 必 要 的 歷 程 以 及 運 用 的 反 思 性 , 這 些 反 思 性 能 力 和學 生 計 畫 解 題 策 略 以 及 在 問 題 情 境 中 實 施 這 些 策 略 有 關 。 相 對 於 連 結 群 組 , 反 思 群 組 的 情 境包 含 較 多 元 素 或 者 可 能 是 更 不 熟 悉 。National Research Council [NRC] (1989) 與 Steen(1990) 認 為 數 學 是 一 種 無 形 的 文 化 (aninvisible culture), 雖 然 數 字 和 圖 形 在 報 雜 誌 上 常 常 見 到 , 但 是 更 深 層 的 洞 察 卻 是 深 藏 在 其 中 ,也 就 是 數 學 或 統 計 的 概 念 深 層 的 潛 藏 在 生 活 當 中 。Steen(1990) 因 而 將 數 學 素 養 分 為 五 類 ,第 一 : 實 用 素 養 (Practical numeracy), 它 是 將 數 學 及 統 計 技 有 信 心 的 應 用 在 日 常 生 活 工 作 ,並 進 行 決 策 的 素 養 , 它 傾 向 和 個 人 的 利 益 有 關 ; 第 二 : 公 民 素 養 (Civic numeracy), 它 傾 向和 社 會 的 利 益 有 關 , 是 將 數 學 概 念 應 用 於 公 共 議 題 ( 例 如 酸 雨 、 溫 室 效 應 …) 的 素 養 ; 第 三 :專 業 素 養 (Professional numeracy), 它 傾 向 和 職 業 的 工 作 場 合 , 是 個 人 對 不 同 職 業 所 需 求 的 數學 素 養 ; 第 四 : 休 閒 素 養 (Numeracy for leisure), 它 傾 向 社 會 大 眾 在 休 閑 娛 樂 ( 例 如 拼 圖 、遊 戲 策 略 、 運 動 賭 注 …) 中 所 需 要 的 數 學 素 養 ; 第 五 : 文 化 素 養 (Cultural numeracy), 它 傾向 讓 社 會 大 眾 體 會 數 學 的 力 與 美 的 素 養 , 是 關 於 哲 學 、 歷 史 與 認 識 論 的 層 面 。由 於 PISA(OECD, 2006) 是 一 個 重 要 的 國 際 評 量 , 它 所 定 義 的 數 學 素 養 是 由 眾 多 數 學 教 育學 者 集 其 大 成 , 被 眾 多 學 者 所 認 同 的 定 義 。 因 此 本 研 究 也 以 PISA 對 數 學 素 養 的 定 義 做 為 本 研究 的 定 義 。 至 於 Steen(1990) 對 數 學 素 養 的 分 類 , 正 可 以 做 為 本 子 計 劃 與 各 子 計 劃 進 行 研 究的 參 考 依 據 。 本 子 計 劃 則 著 重 在 實 用 數 學 的 連 結 , 也 就 是 日 常 生 活 的 連 結 。三 、 連 結連 結 在 美 國 和 我 國 數 學 學 習 中 扮 演 一 個 相 當 重 要 的 角 色 。 美 國 NCTM(2000)「 學 校 數 學 原則 與 標 準 」 的 過 程 標 準 談 到 , 連 結 是 希 望 K-12 年 級 的 學 生 都 能 夠 (1) 在 數 學 概 念 間 認 知 和 使 用連 結 ;(2) 了 解 數 學 觀 念 的 內 部 連 結 , 並 藉 此 建 立 一 個 連 貫 的 數 學 體 系 ;(3) 認 知 和 應 用 數 學 到數 學 外 部 的 脈 絡 。 我 國 九 年 一 貫 數 學 學 習 領 域 課 程 綱 要 從 89 年 的 暫 行 綱 要 到 92 年 的 課 程 綱 要和 97 年 的 課 程 綱 要 ( 教 育 部 ,2000, 2003, 2008) 都 定 義 數 學 內 容 包 括 五 大 主 題 -- 數 與 量 、 幾 何 (89年 稱 為 圖 形 與 空 間 )、 統 計 與 機 率 、 代 數 和 連 結 。 前 四 個 主 題 的 數 學 的 主 題 內 容 , 第 五 大 主 題中 數 學 內 部 的 連 結 可 貫 穿 前 四 個 主 題 , 強 調 的 是 解 題 能 力 的 培 養 , 數 學 外 部 的 連 結 則 強 調 生活 及 其 他 領 域 中 數 學 問 題 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評 析 等 能 力 的 培 養 。 具 備 這 些 能 力 ,一 方 面 可 以 增 進 學 生 在 日 常 生 活 方 面 的 數 學 素 養 , 能 廣 泛 應 用 數 學 , 提 高 生 活 品 質 , 另 一 方面 也 能 加 強 其 以 數 學 模 式 的 思 維 , 有 助 於 個 人 在 生 涯 中 求 進 一 步 的 發 展 ( 教 育 部 ,2000,P.186)。從 NCTM(2000) 和 我 國 九 年 一 貫 數 學 學 習 領 域 課 程 綱 中 發 現 連 結 包 含 數 學 內 部 的 連 結 和數 學 外 部 的 連 結 。 數 學 內 部 的 連 結 數 學 概 念 和 數 學 體 系 的 建 立 非 常 重 要 , 而 數 學 外 部 的 連 結則 以 增 進 國 人 在 日 常 生 活 方 面 的 數 學 素 養 , 提 高 其 生 活 品 質 , 同 時 有 助 於 國 人 在 生 涯 中 進 一步 的 發 展 , 因 此 數 學 外 部 的 連 結 , 尤 其 是 生 活 中 數 學 的 連 結 也 非 常 重 要 。 這 是 本 研 究 想 要 探究 的 議 題 。58
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究四 、 日 常 生 活 中 的 數 學關 於 生 活 中 數 學 的 範 疇 ,Cronin & Patton(1993, 引 自 黃 美 瑜 ,2002) 以 及 Patton, Cronin,Bassett & Koppel(1997, 引 自 黃 美 瑜 ,2002) 曾 經 詳 列 生 活 數 學 的 範 疇 , 如 表 一 和 表 二 , 包 括就 業 與 升 學 、 居 家 生 活 、 休 閒 生 活 、 社 區 參 與 、 情 緒 與 身 體 健 康 、 以 及 個 人 責 任 與 人 際 關 係 。其 中 也 舉 例 說 明 相 關 的 活 動 內 容 , 例 如 在 就 業 方 面 , 包 括 使 用 交 通 工 具 、 付 款 ( 扣 除 額 、 稅金 、 退 休 金 、 投 資 、 存 款 )、 工 時 計 算 、 加 班 費 、 截 止 期 限 。 在 升 學 方 面 , 包 括 生 活 費 的 預 算 、開 銷 、 時 間 管 理 ( 必 修 課 、 課 程 表 、 外 加 課 程 、 約 會 )。 這 些 範 疇 可 以 做 為 本 研 究 探 究 生 活 中數 學 連 結 的 參 考 依 據 。 但 本 研 究 想 要 探 究 的 方 向 會 偏 向 教 科 書 上 不 容 易 見 到 的 生 活 中 的 數 學問 題 , 這 樣 才 能 引 起 研 究 對 象 的 學 習 興 趣 與 態 度 的 改 變 。五 、 數 學 素 養 與 數 學 外 部 連 結從 PISA(OECD, 2006) 對 數 學 素 養 的 定 義 :「 個 體 應 能 辨 認 與 了 解 數 學 在 這 個 世 界 … 以 符合 … 國 民 的 需 要 」, 以 及 九 年 一 貫 暫 行 綱 要 ( 教 育 部 ,2000, P.186) 所 言 :「 增 進 學 生 在 日 常 生 活方 面 的 數 學 素 養 」, 發 現 數 學 素 養 與 數 學 外 部 的 連 結 相 關 性 非 常 的 高 , 都 強 調 個 人 、 職 業 、 公共 、 休 閒 等 生 活 或 未 來 職 業 的 學 習 領 域 的 議 題 ( 這 也 就 是 為 什 麼 本 研 究 要 對 數 學 素 養 進 行 文獻 探 討 的 原 因 )。 若 要 稍 微 加 以 區 別 , 似 乎 數 學 素 養 比 較 強 調 數 學 化 ( 真 實 情 境 的 問 題 找 出相 關 的 數 學 問 題 解 決 數 學 問 題 回 到 真 實 情 境 ) 的 連 貫 性 , 而 數 學 外 部 連 的 察 覺 、 轉 化 、解 題 、 溝 通 、 評 析 等 , 似 乎 可 以 獨 立 存 在 , 又 可 以 連 貫 。表 一 生 活 數 學 的 範 圍領 域 活 動就 業 與 升 學 就 業 方 面 : 使 用 交 通 工 具 、 付 款 ( 扣 除 額 、 稅 金 、 退 休 金 、 投 資 、 存 款 )、工 時 計 算 、 加 班 費 、 截 止 期 限 。升 學 方 面 : 生 活 費 的 預 算 、 開 銷 、 時 間 管 理 ( 必 修 課 、 課 程 表 、 外 加 課 程 、約 會 )。居 家 生 活 生 活 費 預 算 、 帳 單 ( 日 常 花 費 、 長 期 投 資 等 )、 抵 押 、 居 家 準 備 或 維 持 、 財物 管 理 ( 使 用 自 動 提 款 機 、 信 用 卡 、 保 險 、 稅 金 、 投 資 等 )、 個 人 或 家 庭 計畫 、 與 汽 車 相 關 之 問 題 ( 付 款 、 保 養 、 修 理 、 折 舊 、 燃 料 )、 烹 飪 、 庭 院 維護 、 房 屋 改 裝 與 佈 置 、 購 物 ( 比 價 ) 與 洗 衣 等 。休 閒 生 活 旅 行 、 服 務 費 、 訂 位 、 閱 讀 報 紙 、 設 備 費 ( 租 賃 或 購 置 )、 運 動 休 閒 、 娛 樂( 電 影 、 電 視 、 表 演 、 體 育 賽 事 、 紙 排 遊 戲 、 電 子 遊 戲 )、 買 彩 券 、 嗜 好個 人 責 任 與 人 安 排 約 會 、 日 程 表 、 紀 念 日 、 生 日 、 信 件 往 返 與 禮 物 贈 與 等 。際 關 係健 康 身 體 的 成 長 ( 身 高 、 體 重 、 卡 路 里 與 營 養 的 計 算 )、 就 醫 、 醫 藥 、 與 醫 學 相關 資 訊 ( 例 如 量 血 壓 等 等 )社 區 參 與 擬 定 時 間 表 、 投 票 、 認 識 方 位 、 搭 乘 大 眾 運 輸 工 具 、 閱 讀 菜 單 、 給 小 費 、 財物 管 理 、 使 用 電 話 、 使 用 特 殊 社 區 服 務 、 緊 急 服 務 、 履 行 公 民 義 務 ( 投 票 、59
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究陪 審 團 ) 等 。資 料 來 源 : Patton, J. R., Cronin, M. E., Bassett, D. S, & Koppel, A. E.(1997). A life skills approach tomathematics instruction: preparing students with learning disabilities for the real-life math demand of adulthood.Journal of Learning Disabilities, 30(2), 180-181. 引 自 黃 美 瑜 (2002)。表 二 生 活 數 學 舉 隅領 域活 動小 學 階 段中 學 階 段就 業 與 升 計 算 如 果 當 臨 時 褓 母 一 小 時 可 賺 1.25 能 了 解 「 淨 賺 」 和 「 總 額 」 之 間 的 不 同學 美 元 , 那 麼 3 小 時 可 賺 幾 元 ?居 家 生 活 估 計 用 一 盒 麥 片 的 花 費 比 較 在 自 助 洗 衣 店 洗 衣 服 和 在 家 裏 洗衣 服 花 費 之 差 異休 閒 活 動 估 計 看 一 場 電 影 的 花 費 估 計 在 外 面 飲 食 和 在 家 吃 飯 的 花 費 之差 異個 人 責 任 / 邀 請 朋 友 分 享 糖 果 , 並 計 算 所 需 的 花 費 計 劃 赴 一 個 約 會 所 需 的 花 費關 係情 緒 / 身 體 估 計 並 計 算 不 同 繃 帶 的 費 用 ( 含 稅 ) 能 使 用 溫 度 計健 康社 區 參 與 估 計 一 場 電 視 比 賽 的 稅 金 使 用 社 區 資 源資 料 來 源 :Cronin & Patton(1993). Life skills instruction for all students with special need: A practical guide forintegrating real-life content into the curriculum (pp.32-33). Austin, TX: PRO-ED. 引 自 黃 美 瑜 (2002)。我 們 認 為 生 活 問 題 的 察 覺 ( 不 把 它 當 數 學 問 題 來 解 決 ) 也 是 一 件 值 得 研 究 的 議 題 , 同 時先 讓 社 會 大 眾 察 覺 生 活 中 的 數 學 , 不 必 急 於 轉 化 成 數 學 問 題 來 解 決 , 或 許 更 可 以 讓 社 會 大 眾接 受 與 欣 賞 生 活 中 的 數 學 。 例 如 先 讓 社 會 大 眾 察 覺 高 鐵 時 刻 表 中 的 車 次 的 規 律 ( 奇 數 字 頭 代表 南 下 , 偶 數 字 頭 代 表 北 上 ; 三 位 數 的 1,2 字 頭 車 次 代 表 新 竹 、 桃 園 、 嘉 義 、 台 南 不 停 的 快 速車 次 )。 之 後 再 慢 慢 將 更 這 些 相 關 的 題 材 轉 化 成 7:30 台 北 開 車 、9:30 到 左 營 的 車 子 在 什 麼 地 方被 7:42 台 北 開 車 、9:18 到 左 營 的 車 子 越 ( 附 件 一 ); 再 進 行 解 題 、 溝 通 、 評 析 。 因 此 才 以 生 活數 學 的 連 結 為 研 究 主 題 , 進 行 相 關 的 研 究 , 希 望 本 研 究 能 做 為 國 民 有 良 好 的 數 學 素 養 的 基 礎 。六 、 相 關 研 究文 獻 探 討 發 現 , 已 有 多 位 學 者 曾 經 對 數 學 連 結 或 數 學 素 養 進 行 相 關 研 究 。( 一 )、 數 學 素 養 的 相 關 研 究陳 幸 玫 (2007) 對 統 計 素 養 的 研 究 , 在 探 討 國 民 統 計 素 養 的 定 義 和 基 本 能 力 , 調 查 報 紙 內文 中 涉 及 的 統 計 概 念 , 收 集 、 歸 納 國 民 對 報 紙 中 統 計 訊 息 的 反 應 。 她 自 2006/10/8~2007/3/3 每週 隨 機 抽 取 一 天 ( 其 中 3 週 抽 取 兩 天 ), 自 發 行 量 最 多 的 四 家 報 紙 中 隨 機 抽 取 一 家 , 扣 除 廣 告 版面 和 藝 文 版 面 後 , 隨 機 抽 取 其 中 五 頁 進 行 分 析 , 共 計 21 週 24 份 報 紙 。 研 究 發 現 , 報 紙 統 計 訊息 中 , 變 異 數 、 信 賴 區 間 、 誤 差 值 、 四 分 位 數 、 百 分 位 數 等 較 專 門 的 統 計 術 語 偶 而 出 現 在 選60
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究舉 民 調 或 市 場 調 查 。 統 計 摘 要 則 以 百 分 率 最 多 , 且 可 以 劃 分 為 增 加 / 減 少 的 量 、 部 分 與 全 部 的關 係 、 比 較 的 關 係 , 且 以 前 兩 者 最 多 。 大 部 分 的 統 計 訊 息 是 以 文 字 敘 述 , 尤 其 是 眾 數 和 平 均數 。 報 導 中 提 及 之 資 料 大 部 分 來 自 調 查 而 來 , 對 實 驗 結 果 的 報 導 較 少 。 有 關 國 民 統 計 素 養 的調 查 發 現 , 受 試 者 對 調 查 和 樣 本 的 概 念 較 為 薄 弱 , 對 統 計 圖 表 呈 現 的 適 切 性 較 不 敏 感 , 容 易受 到 誤 導 , 報 導 中 統 計 訊 息 呈 現 是 否 完 整 、 議 題 是 否 為 受 試 者 所 關 心 , 會 影 響 受 試 者 的 判 斷和 論 述 。戴 錦 秀 和 柳 賢 (2006) 依 據 國 內 外 學 者 對 數 學 素 養 內 涵 的 定 義 , 彙 整 並 分 析 歸 納 出 九 大 項數 學 素 養 。 他 們 再 依 不 同 程 度 及 功 能 進 一 步 區 分 原 住 民 數 學 素 養 為 四 種 層 次 , 如 下 :1、 文 化 性 的 層 次(1)、 解 決 日 常 生 活 問 題例 如 對 於 數 目 很 多 的 東 西 , 用 「 像 樹 葉 一 樣 」 或 「 像 河 床 的 石 頭 一 樣 」 來 形 容 ( 林 宜 城 ,1994, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 ,2006)。(2)、 生 活 經 驗 本 質 問 題例 如 在 時 間 概 念 方 面 , 李 亦 園 (1983, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 田 野 調 查 泰 雅 族 的 結 果 發現 , 晴 天 時 依 據 太 陽 、 星 辰 的 位 置 來 判 斷 早 晚 , 陰 天 時 則 依 據 鳥 叫 聲 來 決 定 早 晚 。2、 功 能 性 的 層 次(1)、 對 自 己 能 力 有 信 心例 如 紀 惠 英 (1998) 以 小 二 原 住 民 學 童 為 研 究 對 象 , 課 堂 觀 察 及 臨 床 教 學 探 討 原 住 民 學 童在 學 校 學 習 過 程 中 , 發 現 原 住 民 族 學 童 在 數 學 學 習 上 喜 歡 採 用 遊 戲 或 活 動 的 方 式 , 在 做 運 算時 依 賴 具 體 物 體 的 學 童 比 例 偏 高 。(2)、 能 用 數 學 方 式 溝 通例 如 譚 光 鼎 (1998, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 發 現 阿 美 族 人 對 長 度 概 念 是 用 語 音 長 短 表 達 ,而 不 是 公 尺 、 公 里 、 英 尺 的 單 位 ; 重 量 概 念 是 用 比 喻 方 式 表 達 , 例 如 : 像 大 腿 一 樣 粗 的 魚 。(3)、 觀 察 模 仿 以 理 解 問 題例 如 陳 枝 烈 (2002, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 發 現 原 住 民 在 學 習 某 種 技 能 時 , 比 如 佈 置 陷阱 打 獵 的 技 能 , 是 先 觀 察 上 一 代 的 行 為 , 同 時 上 一 代 也 會 利 用 機 會 要 求 下 一 代 模 仿 他 們 的 行為 ; 下 一 代 則 在 一 段 時 間 後 , 自 己 獨 立 去 嘗 試 表 現 該 行 為 ; 經 過 不 斷 的 試 驗 、 修 正 , 終 於 能達 到 精 熟 而 習 得 某 些 行 為 。3、 概 念 與 過 程 的 層 次(1)、 會 以 數 學 去 推 理例 如 陳 枝 烈 (2002, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 發 現 原 住 民 對 時 間 和 空 間 的 觀 點 , 時 間 是 依大 自 然 的 規 律 而 運 作 , 如 肚 子 餓 了 才 是 用 餐 的 時 間 。 聽 老 人 家 說 :「 田 裡 就 在 河 的 那 邊 」, 結果 是 翻 了 二 、 三 座 山 頭 才 到 。(2)、 基 本 技 能 與 知 識例 如 : 潘 宏 明 (1993, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 訪 談 原 住 民 阿 美 族 、 泰 雅 族 、 布 農 族 及 排灣 族 發 現 化 他 們 具 備 幾 何 相 關 概 念 。(3)、 成 為 數 學 的 解 題 者例 如 : 簡 淑 真 (1998, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 的 研 究 發 現 從 雅 美 人 曆 法 及 大 船 製 作 過 程 ,可 知 雅 美 人 具 備 掌 握 現 象 間 關 係 及 解 決 問 題 的 能 力 。61
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究4、 多 樣 化 的 層 次(1)、 能 瞭 解 數 學 價 值例 如 林 莠 芹 (2003, 引 自 戴 錦 秀 和 柳 賢 , 2006) 探 討 排 灣 族 文 化 中 的 幾 何 圖 形 , 排 灣 族 人 將百 步 蛇 的 形 象 與 特 徵 加 以 抽 離 、 簡 化 、 強 調 、 複 合 , 形 成 更 抽 象 、 更 簡 潔 有 力 的 幾 何 紋 飾 。排 灣 族 的 紋 飾 演 變 及 分 類 大 致 說 明 如 下 : 百 步 蛇 幾 何 圖 形 屬 於 較 單 純 的 造 型 , 以 蛇 之 捲 曲 狀衍 生 出 螺 旋 形 、 圓 形 與 同 心 圓 。 百 步 蛇 螺 旋 纏 繞 之 蛇 紋 , 是 將 頭 部 省 略 後 再 簡 化 就 形 成 同 心圓 紋 ; 若 將 同 心 圓 裁 一 半 , 就 會 形 成 半 同 心 圓 連 續 紋 。 百 步 蛇 紋 飾 的 幾 何 複 合 紋 , 是 結 合 兩種 或 兩 種 上 的 幾 何 圖 形 會 產 生 更 複 雜 多 變 的 幾 何 圖 飾 , 如 同 心 圓 紋 + 鋸 齒 文 = 太 陽 紋 , 再 如梳 形 連 續 紋 + 連 杯 形 紋 = 連 杯 梳 形 複 合 紋 。數 學 素 養 的 文 獻 探 討 發 現 , 原 住 民 其 特 殊 性 , 但 本 研 究 重 點 不 在 原 住 民 族 群 , 因 此 暫 不參 考 戴 錦 秀 和 柳 賢 (2006) 的 研 究 。 從 陳 幸 玫 的 研 究 發 現 , 受 試 者 對 統 計 圖 表 和 樣 本 的 不 佳 ,且 容 易 受 到 誤 導 。 也 就 是 國 人 的 統 計 素 養 有 值 得 繼 續 探 究 的 必 要 。 本 研 究 聚 焦 在 生 活 數 學 的連 結 , 雖 然 主 題 不 在 統 計 概 念 , 但 生 活 中 到 處 可 以 相 關 圖 表 , 因 此 值 得 本 研 究 省 思 相 關 問 題 。( 二 )、 生 活 中 數 學 連 結 的 相 關 研 究文 獻 探 討 發 現 已 有 多 位 學 者 曾 經 進 行 有 關 數 學 外 部 連 結 的 相 關 研 究 , 他 們 的 研 究 對 我 們要 進 行 的 研 究 有 指 引 的 效 用 。1、 生 活 問 題 連 結 數 學 單 元Schielack(1995) 在 NCTM 1995 YearBook 一 書 中 說 明 , 在 美 國 流 行 棒 球 卡 , 棒 球 卡 有 投 手和 打 擊 手 的 統 計 數 據 ( 如 圖 三 )。 這 些 棒 球 卡 上 的 統 計 數 據 是 一 位 投 手 或 打 擊 手 一 年 或 者 多 年的 統 計 資 。 這 些 統 計 資 料 可 以 讓 學 生 看 到 函 數 的 概 念 , 可 以 進 行 數 學 相 關 單 元 的 教 學 連 結 。62
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究圖 三( 資 料 來 源 :http://portasite.com/wp-content/uploads/1973.jpg)2、 教 科 書 中 的 生 活 情 境 問 題黃 財 尉 (2007) 本 研 究 主 要 了 解 現 行 國 小 數 學 非 部 編 版 教 科 書 中 ( 三 至 六 年 級 ) 所 舉 範 例 的真 實 生 活 情 境 現 況 , 以 內 容 分 析 法 解 析 範 例 中 所 涉 及 的 生 活 情 境 要 素 。 結 果 發 現 , 教 科 書 中屬 真 實 生 活 情 境 的 範 例 約 有 六 成 , 且 幾 乎 可 歸 入 食 衣 住 行 育 樂 六 大 生 活 面 向 。 在 食 衣 住 行 育樂 六 大 真 實 生 活 情 境 中 , 與 食 相 關 的 生 活 情 境 所 佔 比 例 最 高 , 與 服 裝 相 關 者 情 境 最 少 , 兩 者相 差 約 懸 殊 。 四 種 版 本 與 上 下 學 期 的 六 大 真 實 生 活 情 境 分 佈 大 致 相 似 , 仍 舊 以 食 相 關 的 範 例高 出 其 他 生 活 情 境 , 特 別 是 三 年 級 的 教 科 書 特 別 突 出 。3、 幾 何 形 體 的 連 結吳 昭 容 (2004) 在 進 行 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 連 結 主 題 的 詮 釋 研 究 , 發 現 世 界 各 國 國 旗 內的 圖 案 絕 大 部 分 都 是 簡 單 的 幾 何 圖 形 , 棒 球 場 中 也 有 許 多 幾 何 形 體 在 內 , 因 此 可 以 為 連 結 幾何 性 質 或 幾 何 量 的 題 材 問 題 , 例 如 對 稱 性 、 角 度 、 比 例 等 。 吳 昭 容 (2004) 在 研 究 的 過 程 中 ,也 展 現 了 她 和 研 究 群 察 覺 、 轉 化 和 解 題 的 能 力 。 她 從 鄔 老 師 和 學 生 對 話 ( 林 文 生 、 鄔 瑞 香 ,1999,p.60-65) 中 萌 生 了 一 個 疑 惑 ( 察 覺 ): 運 動 場 的 跑 道 是 什 麼 形 狀 ? 進 而 轉 化 成 數 學 問 題 :跑 道 是 長 方 形 + 兩 個 半 圓 形 ? 真 的 是 半 圓 形 嗎 ? 該 怎 麼 確 定 呢 ? 半 圓 有 什 麼 性 質 ? 進 而 設 法解 決 問 題 , 發 現 運 動 場 轉 彎 的 部 分 是 由 三 段 圓 弧 湊 成 的 , 而 不 是 兩 個 半 圓 形 。吳 昭 容 (2004) 的 研 究 中 也 發 現 一 個 航 空 托 運 的 特 殊 計 價 方 式 :「 材 積 重 」, 其 公 式 為 : 體積 ÷c, 當 體 積 單 位 為 立 方 公 分 時 , 除 數 c 為 6000, 材 積 重 單 位 為 公 斤 ; 若 體 積 單 位 為 立 方 英 吋 ,則 除 數 c 為 166, 材 積 重 單 位 為 磅 。 再 以 包 裹 的 重 量 和 材 積 重 兩 相 比 較 , 以 較 大 的 重 量 無 條 件進 位 到 整 數 後 計 價 。63
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究4、 比 例 關 係 的 連 結李 家 言 (2002) 的 研 究 目 的 在 探 討 國 中 生 對 不 同 生 活 情 境 中 的 數 量 關 係 是 否 具 有 比 例 關 係的 調 查 , 他 先 對 生 活 情 境 以 及 學 校 課 程 中 「 比 與 比 例 式 」 的 內 容 加 以 分 析 、 分 類 , 以 便 了 解學 生 在 不 同 情 境 下 對 題 目 中 數 量 關 係 的 連 結 。 研 究 方 法 主 要 採 取 量 的 研 究 , 對 新 竹 縣 某 國 中377 名 學 生 , 以 及 某 大 學 63 名 實 習 教 師 進 行 研 究 。 研 究 發 現 學 生 對 於 數 量 不 成 比 例 關 係 , 但 是人 為 可 以 控 制 的 情 境 中 的 數 量 關 係 , 也 會 認 為 具 有 比 例 關 係 。 一 年 級 學 生 與 二 年 級 學 生 之 間對 生 活 情 境 中 數 量 關 係 的 判 讀 有 相 當 大 的 差 異 。 學 生 與 實 習 教 師 對 於 生 活 情 境 中 數 量 關 係 的判 讀 也 有 相 當 大 的 差 異 。 有 部 分 的 學 生 習 慣 使 用 差 相 等 的 關 係 來 解 釋 生 活 情 境 中 的 數 量 關 係 。學 生 在 判 讀 生 活 情 境 中 的 數 量 關 係 有 極 大 的 困 擾 。5、 生 活 情 境 的 解 題馬 秀 蘭 (2006) 曾 利 用 實 務 推 理 的 問 題 , 發 展 學 童 「 真 正 的 數 學 活 動 (authentic mathematicalactivities)」 的 「 生 活 情 境 的 數 學 解 題 能 力 測 驗 」 工 具 。 研 究 中 第 一 年 試 圖 讓 學 童 去 察 覺 日 常生 活 情 境 中 忽 略 的 事 物 , 並 且 看 出 數 學 與 實 際 世 界 之 連 結 。 第 二 年 馬 秀 蘭 (2008) 利 用 發 展 的「 生 活 情 境 的 數 學 解 題 能 力 測 驗 」 對 518 名 學 童 施 測 , 測 驗 內 容 包 括 「 過 年 到 了 , 大 家 一 起 來重 新 裝 潢 你 房 間 .....」、「 寒 假 生 活 數 學 日 記 」 等 主 題 。Kemp(2003) 對 Murdoch University 的 大 一 學 生 進 行 試 測 研 究 , 一 開 始 給 學 生 一 張 圖 表 要 學生 個 別 完 成 任 務 , 幾 週 之 後 大 學 生 再 參 與 工 作 坊 引 導 他 們 怎 麼 詮 釋 這 些 圖 表 , 再 過 幾 週 , 再讓 他 們 個 別 完 成 相 類 似 的 圖 表 。 之 後 對 小 學 師 培 課 程 的 大 學 生 進 行 三 年 的 資 料 收 集 , 最 後 共有 151 位 學 生 參 與 。 研 究 結 果 顯 示 學 生 對 這 類 的 任 務 的 回 應 有 正 向 的 改 變 , 可 以 發 展 高 層 次 的技 能 去 了 解 數 量 的 資 訊 , 並 且 這 樣 的 活 動 可 以 整 合 到 中 學 和 大 專 層 級 的 課 程 。6、 連 結 主 題 的 教 學 與 評 量 相 關 研 究楊 德 清 (2004) 的 研 究 團 隊 曾 開 發 28 套 連 結 主 題 相 關 題 材 的 教 學 活 動 , 其 中 22 套 教 學 活 動曾 經 實 際 在 課 室 中 進 行 教 學 。 研 究 對 象 是 國 小 4、5 與 6 年 級 學 生 為 主 。 例 如 學 校 籃 球 場 的 活 動主 題 適 用 的 對 象 是 四 年 級 。 教 學 目 標 是 希 望 學 童 能 進 行 數 學 內 部 知 識 與 技 能 的 連 結 , 譬 如 能夠 將 數 字 、 運 算 與 數 字 大 小 之 意 義 的 理 解 , 周 長 與 面 積 之 基 本 概 念 的 認 知 , 以 及 加 、 減 與 乘法 技 能 之 熟 稔 相 結 合 。洪 碧 霞 (2004) 曾 進 行 連 結 主 題 的 教 材 、 教 法 及 評 量 設 計 的 編 製 與 實 作 。 參 與 教 師 先 進 行連 結 方 案 的 行 動 研 究 , 再 以 一 、 三 、 四 年 級 學 生 為 主 要 的 研 究 對 象 , 編 製 一 、 三 、 四 年 級 連結 測 驗 及 延 後 測 。 研 究 發 現 教 師 從 教 學 行 動 中 的 問 題 著 手 , 透 過 活 動 的 設 計 , 成 效 的 自 我 評鑑 、 回 饋 與 再 設 計 等 循 環 中 , 對 其 專 業 素 養 所 有 發 展 , 對 學 生 的 學 習 也 有 所 幫 助 。蔡 文 煥 (2004) 曾 透 過 文 獻 探 討 , 重 新 詮 釋 九 年 一 貫 之 連 結 能 力 指 標 之 各 子 指 標 之 內 涵 ,並 發 展 出 一 個 發 展 能 力 指 標 的 文 化 概 念 學 與 教 模 式 。 研 究 也 發 現 不 同 能 力 之 發 展 是 相 互 支 撐且 深 受 課 室 文 化 所 形 成 的 常 規 所 影 響 。 教 師 之 專 業 引 導 也 是 影 響 學 生 能 力 發 展 的 重 要 因 素 之一 。( 三 )、 相 關 研 究 的 啟 示上 述 學 者 對 數 學 外 部 連 結 的 研 究 , 以 及 其 具 體 實 例 給 與 本 研 究 一 些 好 的 研 究 素 材 , 例 如Kemp(2003) 的 統 計 圖 表 素 材 , 陳 幸 玫 (2007) 從 報 紙 上 找 尋 的 素 材 , 戴 錦 秀 和 柳 賢 (2006) 所 提 及的 原 住 民 生 活 素 材 , 吳 昭 容 (2004) 的 幾 何 素 材 , 楊 德 清 (2004) 和 洪 碧 霞 (2004) 的 連 結 主 題 教 學活 動 , 馬 秀 蘭 (2008) 的 小 學 生 生 活 情 境 素 材 , 都 可 以 做 為 我 們 做 為 研 究 的 素 材 。 但 是 學 者 較64
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究少 從 本 土 性 連 結 理 論 -- 對 生 活 中 的 數 學 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 – 的 角 度 探 究國 人 對 生 活 數 學 的 外 部 連 結 。 因 此 , 我 們 除 了 了 解 學 者 們 的 素 材 之 外 , 也 將 進 一 步 開 發 相 關的 素 材 , 將 這 些 素 材 進 一 步 區 分 那 些 生 活 情 境 ( 或 者 其 中 一 部 份 ) 適 合 讓 國 人 察 覺 生 活 中 相關 的 數 學 , 那 些 問 題 適 合 讓 國 人 進 一 步 轉 化 生 活 中 察 覺 的 相 關 數 學 形 成 數 學 問 題 , 進 而 解 題 ,之 後 和 相 關 人 員 溝 通 與 評 析 解 題 之 後 和 原 問 題 的 差 異 或 一 般 化 等 相 關 問 題 。研 究 者 利 用 高 鐵 時 刻 表 的 問 題 , 訪 談 六 位 國 小 教 師 發 現 , 有 些 教 師 只 能 察 覺 少 數 相 關 的數 學 應 用 或 規 律 。 進 一 步 分 析 發 現 , 高 鐵 時 刻 表 在 剛 發 車 或 者 末 班 車 時 會 有 一 些 例 外 的 情 形 。因 此 研 究 者 發 現 對 生 活 素 材 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 , 有 時 候 必 需 做 一 些 特 例 因素 的 排 除 。 同 時 研 究 者 自 身 的 經 驗 發 現 , 對 於 生 活 素 材 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 ,有 時 候 可 能 必 需 做 一 些 假 設 , 或 者 考 慮 減 少 問 題 的 變 因 , 才 能 轉 化 成 數 學 問 題 , 進 而 解 題 與評 析 。 例 如 左 台 益 和 胡 政 德 (2009) 的 研 究 中 發 現 準 教 師 在 進 行 數 學 建 模 時 , 除 了 提 取 經 驗 之外 , 還 需 要 對 生 活 問 題 簡 化 與 假 設 , 才 能 抽 取 數 學 物 件 、 轉 化 物 件 、 分 析 數 學 物 件 的 關 係 ,進 而 建 構 適 當 的 模 型 。因 此 研 究 者 在 進 行 生 活 數 學 的 外 部 連 結 時 , 將 特 別 注 意 到 上 述 生 活 素 材 的 分 類 , 以 及 影響 國 人 進 行 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 的 關 鍵 因 素 。 在 生 活 素 材 的 分 類 上 , 目 前 暫 定那 些 生 活 情 境 ( 或 者 其 中 一 部 份 ) 適 合 讓 國 人 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 , 必 要 時 也對 生 活 數 學 的 外 部 連 結 所 需 要 的 先 備 知 識 ( 或 者 適 合 國 小 、 國 中 、 高 中 等 那 一 學 習 年 段 ) 加以 分 類 。 關 鍵 因 素 則 強 調 影 響 國 人 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 和 評 析 的 重 要 因 素 。此 外 研 究 者 也 收 集 了 許 多 有 關 生 活 中 數 學 的 相 關 書 籍 , 例 如 黃 敏 晃 (2003) 著 的 人 間 處 處有 有 數 學 , 羅 浩 源 (2000) 編 著 的 生 活 的 數 學 、 張 奠 宙 和 戴 再 平 (1997) 主 編 的 生 活 中 的 中 學 數 學 ),這 些 書 籍 的 實 例 可 以 提 供 研 究 者 將 其 轉 化 為 研 究 的 重 要 素 材 。 但 是 本 研 究 不 會 像 書 中 那 樣 直述 生 活 中 錢 存 在 銀 行 的 利 率 問 題 。 本 研 究 會 儘 可 能 的 像 本 文 中 所 述 , 拿 出 高 鐵 時 刻 表 , 讓 研究 對 象 從 其 中 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 其 中 的 數 學 相 關 素 材 。七 、 小 結進 行 文 獻 探 討 發 現 , 九 年 一 貫 數 學 學 習 領 域 將 數 學 外 部 的 連 結 分 為 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、溝 通 與 評 析 , 因 此 我 們 將 對 相 關 的 題 材 , 探 究 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 的 關 鍵 因 素 ,並 親 自 體 會 , 以 利 他 人 能 進 行 數 學 外 部 的 連 結 。舉 例 來 說 , 我 們 不 只 是 要 知 道 棒 球 場 制 定 的 數 學 數 據 (Schielack, 1995), 還 要 試 著 探 究 棒球 比 賽 為 了 增 加 觀 眾 的 刺 激 , 補 手 在 捕 殺 從 一 壘 盗 向 二 壘 的 對 手 時 , 兩 壘 間 的 距 離 , 球 員 的速 度 , 以 及 補 手 的 球 速 等 相 關 問 題 ( 例 如 短 跑 速 度 快 的 選 手 , 碰 到 傳 球 速 度 慢 的 捕 手 成 功 率要 較 高 , 反 之 要 較 小 , 若 兩 者 實 力 相 當 則 成 功 率 一 半 的 情 況 下 , 兩 壘 間 的 距 離 多 少 較 恰 當 …等 問 題 )。 了 解 選 手 從 一 壘 跑 向 二 壘 時 , 什 麼 時 候 要 刺 殺 ( 球 傳 到 二 壘 手 中 , 還 要 將 手 套 碰 觸跑 者 ), 什 麼 時 候 封 殺 ( 只 要 球 傳 到 二 壘 手 中 ) 即 可 , 的 邏 輯 合 理 性 。 了 解 棒 球 的 場 地 制 定 若要 改 變 時 , 在 考 慮 觀 眾 的 刺 激 程 度 , 應 如 何 改 變 。在 我 們 進 行 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 的 關 鍵 因 素 中 , 我 們 認 為 變 因 的 控 制 是 一 個關 鍵 因 素 。 因 為 真 實 情 境 太 夠 複 雜 , 因 此 我 們 要 進 行 變 因 的 控 制 , 例 如 補 手 在 捕 殺 從 一 壘 盗向 二 壘 的 跑 者 時 , 我 們 暫 時 不 考 慮 補 手 傳 球 是 否 準 確 的 問 題 。 我 們 相 信 , 先 控 制 一 些 變 因 ,進 而 加 入 可 以 解 決 的 變 因 是 我 們 能 進 行 轉 化 、 解 題 、 評 析 的 要 因 素 , 是 數 學 外 部 連 結 的 關 鍵因 素 。 當 然 能 考 慮 愈 多 的 影 響 因 素 到 問 題 中 並 加 以 解 決 的 人 士 , 其 數 學 素 養 或 能 力 是 更 強 的 ,65
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究同 時 也 會 更 符 合 真 實 情 境 。此 外 ,National Research Council(1989) 與 Steen(1990) 將 數 學 素 養 分 為 實 用 數 學 素 養 、公 民 數 學 素 養 、 專 業 數 學 素 養 、 休 閒 數 學 素 養 、 和 文 化 數 學 素 養 。 因 此 我 們 將 集 合 有 志 的 學者 仿 照 其 分 類 方 式 , 分 別 對 各 個 素 養 中 的 題 材 進 行 研 究 , 再 開 發 出 來 的 題 材 進 行 分 類 , 以 利將 數 學 外 部 連 結 的 題 材 , 變 成 數 學 素 養 的 題 材 。參 、 研 究 規 劃本 研 究 規 劃 分 別 探 討 本 研 究 的 研 究 方 法 、 研 究 對 象 、 研 究 過 程 、 資 料 收 集 和 資 料 分 析 。一 、 研 究 方 法本 研 究 主 要 採 人 種 誌 研 究 法 , 由 研 究 生 與 三 位 在 職 教 師 親 自 參 與 討 論 生 活 中 相 關 的 問 題 ,從 其 中 親 自 體 會 如 何 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 數 學 相 關 的 題 材 以 及 關 鍵 因 素 。另 外 也 由 研 究 者 找 尋 適 當 題 材 , 和 高 中 生 、 國 小 教 師 以 及 數 學 教 育 學 者 互 動 , 探 究 生 活數 學 的 連 結 。同 時 也 定 期 和 各 子 計 劃 進 行 溝 通 , 相 互 分 享 數 學 外 部 連 結 的 題 材 。二 、 研 究 對 象第 一 年 的 研 究 對 象 之 一 為 四 位 國 小 在 職 教 師 。 其 中 三 位 為 教 育 大 學 畢 業 , 一 位 師 資 班 畢業 ; 只 有 一 位 數 理 系 畢 業 , 另 三 位 為 文 組 畢 業 ; 平 均 教 學 年 資 為 17 年 。 這 四 位 在 職 教 師 已 有兩 位 數 學 教 育 碩 士 畢 業 , 另 兩 位 正 攻 讀 數 學 教 育 碩 士 。另 外 還 利 用 偶 發 機 會 與 高 中 生 、 國 小 教 師 、 三 位 數 學 教 育 學 者 互 動 , 探 討 生 活 數 學 連 結的 相 關 議 題 。三 、 研 究 過 程研 究 之 一 由 碩 士 班 研 究 人 員 與 三 位 在 職 教 師 一 起 座 談 , 一 起 參 與 、 感 受 生 活 中 和 數 學 相關 素 材 , 並 反 思 摘 記 如 何 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 數 學 相 關 的 題 材 , 同 時 探 究 其 關 鍵因 素 。 研 究 者 則 每 兩 週 定 期 和 碩 士 班 研 究 人 員 開 會 , 記 錄 他 們 的 感 受 歷 程 與 關 鍵 因 素 。在 研 究 的 過 程 中 , 本 子 計 劃 會 定 期 和 各 子 計 劃 共 同 討 論 彼 此 的 研 究 進 度 與 心 得 , 使 彼 此能 進 行 經 驗 分 享 , 共 同 成 長 。此 外 也 由 研 究 者 親 自 收 集 生 活 數 學 的 議 題 , 偶 發 性 ( 剛 好 與 相 關 人 員 有 互 動 的 時 機 ) 的與 高 中 生 、 國 小 教 師 與 數 學 教 育 學 者 互 動 , 收 集 相 關 資 料 。我 們 除 了 收 集 上 述 相 關 資 料 之 外 , 也 將 座 談 過 程 以 及 研 究 者 親 自 收 集 的 議 題 中 , 較 具 代表 性 的 議 題 , 重 新 思 考 撰 寫 成 適 合 學 生 閱 讀 的 文 本 , 希 望 藉 此 推 廣 生 活 數 學 連 結 。四 、 資 料 收 集 與 分 析所 收 集 的 資 料 之 一 , 包 括 四 位 在 職 教 師 的 座 談 錄 音 , 他 們 所 使 用 的 文 本 資 料 。 再 由 研 究66
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究者 所 帶 領 的 研 究 團 隊 親 自 分 析 他 們 對 生 活 數 學 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 與 評 析 生 活 , 並 探究 其 關 鍵 因 素 。資 料 收 集 之 二 則 由 研 究 者 與 相 關 研 究 人 員 , 在 與 高 中 生 、 國 小 教 師 、 數 學 教 育 學 者 互 動過 程 中 , 撰 寫 札 記 , 以 便 進 行 分 析 。肆 、 研 究 結 果本 研 究 結 果 分 述 如 下 :一 、 在 職 教 師 對 生 活 數 學 的 連 結有 四 位 在 職 教 師 對 生 活 數 學 的 察 覺 、 轉 化 、 解 題 、 溝 通 、 評 析 , 以 及 生 活 數 學 連 結 的 關鍵 因 素 , 正 由 一 位 參 與 人 種 誌 的 研 究 生 撰 寫 論 文 中 。二 、 已 發 表 一 篇 文 章 , 文 章 內 容 參 見 附 件 1-1:1. 李 源 順 (2012)。 生 活 中 的 數 學 。 教 師 天 地 ,176,16-23。 下 載三 、 研 討 會 論 文 四 篇 , 文 章 內 容 參 見 附 件 1-2:1. 李 源 順 、 陳 嘉 皇 (2012)。 生 活 中 的 數 學 連 結 : 競 標 網 站 中 的 算 術 與 代 數 。 全 國 數 學 教 育研 究 會 2012 年 國 際 學 術 年 會 ,20120629-20120703。 廣 西 師 範 大 學 。 下 載2. 陳 嘉 皇 、 李 源 順 (2012)。 競 標 網 站 購 物 問 題 之 數 學 模 式 化 研 究 。 第 四 屆 科 技 與 數 學 教 育學 術 研 討 會 暨 數 學 教 學 工 作 坊 , 國 立 台 中 教 育 大 學 ,20121020-20121021。3. 李 源 順 (2012)。 生 活 與 數 學 連 結 : 買 智 慧 型 手 機 。 數 學 的 外 部 連 結 學 術 研 討 會 。20120309。台 北 市 立 教 育 大 學 。4. 李 源 順 (2012)。 生 活 與 數 學 連 結 : 競 標 網 站 。 數 學 的 外 部 連 結 學 術 研 討 會 ( 二 )。20120717。台 北 市 立 教 育 大 學 。四 、 書 籍 發 表從 四 位 教 師 座 談 的 素 材 中 , 本 研 究 已 收 集 12 篇 生 活 中 數 學 連 結 的 題 材 , 目 前 計 劃 出 版 相關 書 籍 , 全 書 正 在 請 美 術 編 輯 人 員 編 輯 中 。 目 前 有 下 列 章 節1• 週 年 慶 ( 分 期 付 款 )2• 生 活 數 字3• 六 角 亭4•11&13 張5• 世 界 對 稱 日6• 生 活 圖 形7• 高 鐵 時 刻8• 螢 幕 尺 寸9• 吉 凶 之 間10• 大 杯 咖 啡67
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究11. 股 票 兩 三 事12. 我 要 不 要 去 競 標伍 、 參 考 文 獻左 台 益 和 胡 政 德 (2009)。 準 教 師 從 真 實 情 境 中 建 構 數 學 模 式 的 認 知 因 素 分 析 與 機 制 。 當 代 教育 研 究 ,17(4),61-101。吳 昭 容 (2004)。 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 「 連 結 」 主 題 的 詮 釋 — 幾 何 教 材 的 五 種 連 結 能 力 。 行政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。李 家 言 (2002)。 國 中 生 對 生 活 中 數 量 關 係 之 知 覺 : 比 例 關 係 之 探 討 。 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學系 教 學 碩 士 班 碩 士 論 文 。林 煥 祥 主 編 (2008)。 臺 灣 參 加 PISA 2006 成 果 報 告 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 計 畫 編 號 :NSC95-2522-S-026-002。洪 碧 霞 (2004)。 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 的 詮 釋 : 國 小 連 結 部 分 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題研 究 計 畫 成 果 報 告 。紀 惠 英 (1998)。 國 小 原 住 民 兒 童 數 學 概 念 的 初 探 性 研 究 : 省 思 與 發 現 。 發 表 於 國 立 花 蓮 師範 學 院 初 等 教 育 論 文 發 表 會 。馬 秀 蘭 (2006)。 由 實 務 推 理 的 問 題 發 展 中 研 發 生 活 情 境 的 數 學 解 題 能 力 測 驗 工 具 之 研 究 (1/3)。行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。馬 秀 蘭 (2008)。 由 實 務 推 理 的 問 題 發 展 中 研 發 生 活 情 境 的 數 學 解 題 能 力 測 驗 工 具 之 研 究 (3/3)。行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。張 春 興 (1997)。 教 育 心 理 學 - 三 化 取 向 的 參 與 實 踐 。 台 北 : 東 華 。張 奠 宙 和 戴 再 平 (1997)。 生 活 中 的 中 學 數 學 。 九 章 出 版 社 。 台 北 市 。教 育 部 (2000)。 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 暫 行 綱 要 數 學 學 習 領 域 。 教 育 部 , 臺 北 市 。教 育 部 (2003)。 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 。 取 自 :http://www.edu.tw/eje/content.aspx?site_content_sn=4420。教 育 部 (2008)。 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 。 取 自 :http://www.edu.tw/eje/content.aspx?site_content_sn=15326。曹 博 盛 (2009)。 台 灣 在 TIMSS 2007 國 際 評 比 的 結 果 。20091105 在 台 北 市 立 教 育 大 學 數 學 資 訊教 育 學 系 的 演 講 講 義 。許 世 壁 (2006)。 物 種 競 爭 之 數 學 模 型 及 其 數 學 分 析 。 自 然 科 學 簡 訊 ,18(3),56-58。陳 幸 玫 (2007)。 從 報 章 雜 誌 中 統 計 訊 息 的 理 解 探 討 國 民 基 本 統 計 素 養 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。陳 義 汶 (2007)。 國 中 生 數 學 焦 慮 及 態 度 與 數 學 課 後 補 習 之 研 究 。 台 南 科 大 學 報 ,26,043-064。陸 昱 任 譚 克 平 (2006)。 論 數 學 素 養 之 意 涵 。 中 華 民 國 第 22 屆 科 學 教 育 學 術 研 討 會 (2006) 論 文 彙編 - 短 篇 論 文 - 壁 報 展 示 - 上 傳 編 號 173。黃 美 瑜 (2002)。 生 活 數 學 教 學 對 國 民 中 學 輕 度 智 能 障 礙 學 生 學 習 統 計 與 圖 表 概 念 成 效 之 研 究 。國 立 高 雄 師 範 大 學 特 殊 教 育 學 系 所 碩 士 論 文 。黃 財 尉 (2007)。 國 小 學 童 真 實 生 活 情 境 在 數 學 教 科 上 的 應 用 調 查 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會68
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。黃 敏 晃 (2003)。 人 間 處 處 有 有 數 學 。 天 下 遠 見 出 版 股 份 有 限 公 司 。 台 北 市 。黃 德 祥 (1990)。 國 中 與 國 小 學 生 數 學 焦 慮 與 數 學 態 度 之 分 析 研 究 。 輔 導 學 報 ,13 ,1-52。楊 德 清 (2004)。 九 年 一 貫 數 學 學 習 領 域 能 力 指 標 之 詮 釋 : 國 小 連 結 主 題 之 教 學 實 例 的 探 究 。 行政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 。蔡 文 煥 (2004)。 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 的 詮 釋 : 國 小 連 結 部 分 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研究 計 畫 成 果 報 告 。戴 錦 秀 和 柳 賢 (2006)。 原 住 民 數 學 素 養 之 初 探 。2006 年 原 住 民 學 生 數 理 科 教 / 學 理 論 與 實 務 學術 研 討 會 。魏 麗 敏 (1989)。 國 小 學 生 數 學 焦 慮 、 數 學 態 度 與 數 學 成 就 之 關 係 。 中 國 測 驗 學 會 測 驗 年 刊 ,36,47-60。魏 麗 敏 (1988)。 國 小 學 生 數 學 焦 慮 、 數 學 態 度 與 數 學 成 就 之 關 係 暨 數 學 學 習 團 體 諮 商 之 效果 研 究 。 未 出 版 之 碩 士 論 文 , 國 立 台 灣 師 範 大 學 教 育 研 究 所 , 台 北 。羅 浩 源 (2000)。 生 活 的 數 學 。 九 章 出 版 社 。 台 北 市 。譚 寧 君 (1992)。 兒 童 數 學 態 度 與 解 題 能 力 之 分 析 探 討 。 台 北 師 院 學 報 ,5,619-688。Aiken, L. R. (1970). Attitude toward mathematics. Review of Educational Research, 40, 551-596.Aiken, L. R. (1976). Update on attitudes and other affective variables in learning mathematics.Review of Educational Research, 46, 293-311.Baron, R. A., & Greenbery, J. (1990). Behavior in organizations: understanding and managing thehuman side of work. Upper Saddle River, N. J. : Prentice Hall.Fennema, E., & Sherman, J. (1976). Fennema-Sherman Mathematics Attitudes Scales: Instrumentsdesigned to measure attitude toward the learning of Mathematics by females and males.Journal for Research in Mathematics Education, 7, 324-326.Kemp, M. (2003). Critical numeracy: helping people to decide. The Mathematics Education into the21st Century Project Proceedings of the International Conference. The Decidable and theUndecidable in Mathematics Education. Brno, Czech Republic, September 2003.Mullis, I.V.S.; Martin, M.O.; Foy, P.; Olson, J.F.; Preuschoff, C.; Erberber, E.; Arora, A.; Galia, J.(2008). TIMSS 2007 International Mathematics Report: Findings from IEA’s Trends inInternational Mathematics and Science Study at the Fourth and Eighth Grades. TIMSS &PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College.Mullis, I.V.S; Martin, M.O.; Gonzalez, E.J.; Chrostowski, S.J. (2004). TIMSS 2003 InternationalMathematics Report. TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education,Boston College.National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for schoolmathematics. Reston, VA. Retrieved March 9, 2009, from http://standards.nctm.org/document/ index.htmNational Research Council (1989). Everybody Counts: A Report to the Nation on the Future ofMathematics Education. Washington, D. C.: National Academy Press.Organisation for Economic Co-operation and Development (2006). Assessing Scientific, Reading69
李 源 順 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 一 : 生 活 中 的 數 學 與 態 度 研 究and Mathematical Literacy A Framework for PISA 2006. Organisation for EconomicCo-operation and Development.Sandman, R. S. (1974). The development, validation, and application of a multidimensionalmathematics attitude instrument. University of Minnesota, Department of EducationalPsychology.Schielack, V.P.(1995). Baseball cards, collecting, and mathematics. In House, P.A. & Coxford, A.F.(1995). Connecting Mathematics across the curriculum. NCTM 1995 Yearbook. NationalCouncil Teachers of Mathematics. Pp. 210-213.Steen, L. A. (1990). Numeracy. Daedalus, 119 (2), 211-231.陸 、 附 件1-1 生 活 中 的 數 學1-2 生 活 中 的 數 學 連 結 : 競 標 網 站 中 的 算 術 與 代 數70
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究*吳 德 邦國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 系wudb@hotmail.com目 次摘 要 ................................................................................................................................................................... 1壹 、 緒 論 .............................................................................................................................................................. 2一 、 研 究 背 景 與 動 機 ................................................................................................................................ 2二 、 研 究 目 的 與 研 究 問 題 ....................................................................................................................... 3貳 、 文 獻 探 討 ...................................................................................................................................................... 3一 、 團 康 遊 戲 ............................................................................................................................................. 4二 、 遊 戲 的 教 學 原 則 ................................................................................................................................ 6三 、 團 康 遊 戲 學 數 學 的 教 學 策 略 .......................................................................................................... 7四 、 分 數 的 概 念 與 意 義 ............................................................................................................................ 8叁 、 研 究 設 計 與 實 施 ......................................................................................................................................... 9一 、 研 究 假 設 ............................................................................................................................................. 9二 、 研 究 工 具 ............................................................................................................................................. 9三 、 研 究 對 象 ........................................................................................................................................... 10四 、 實 施 程 序 ........................................................................................................................................... 10肆 、 結 果 與 討 論 ............................................................................................................................................... 11一 、 研 究 結 果 ........................................................................................................................................... 11二 、 討 論 .................................................................................................................................................... 12伍 、 結 論 與 建 議 ............................................................................................................................................... 14一 、 結 論 .................................................................................................................................................... 14二 、 建 議 .................................................................................................................................................... 14參 考 文 獻 ............................................................................................................................................................ 16附 錄 一 : 分 數 轉 換 成 就 測 驗 .......................................................................................................................... 19附 錄 二 :「 團 康 遊 戲 學 分 數 」 學 習 興 趣 評 量 表 ......................................................................................... 2071
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究摘 要本 研 究 旨 在 探 討 團 康 遊 戲 融 入 假 分 數 化 為 帶 分 數 的 教 學 成 就 和 學 生 對 分 數 學 習 興 趣 的 改變 。 採 用 前 實 驗 設 計 , 以 中 部 某 國 小 二 十 五 名 四 年 級 學 生 為 對 象 , 在 復 習 「 假 分 數 化 為 帶 分 數 」教 學 過 程 中 融 入 「 心 臟 病 」 團 康 遊 戲 , 分 析 其 分 數 成 就 與 興 趣 。 研 究 工 具 有 二 項 :「 分 數 轉 換 成就 測 驗 」 與 「 團 康 遊 戲 學 分 數 的 學 習 興 趣 量 表 」, 研 究 發 現 :( 一 ) 在 假 分 數 化 為 帶 分 數 教 學 過程 中 融 入 團 康 遊 戲 , 無 法 改 善 學 生 的 學 習 成 就 。( 二 ) 在 假 分 數 化 為 帶 分 數 教 學 過 程 中 融 入 團 康遊 戲 , 可 有 效 提 升 學 生 的 學 習 興 趣 。關 鍵 字 : 前 實 驗 設 計 、 團 康 遊 戲 、 學 習 成 就 、 分 數72
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究壹 、 緒 論一 、 研 究 背 景 與 動 機Play is children’s work.遊 戲 是 兒 童 的 工 作 。~ 莎 士 比 亞大 多 數 的 學 童 到 學 校 來 , 最 喜 歡 的 活 動 就 是 和 同 學 一 起 嬉 戲 , 學 生 對 於 遊 戲 的 熱 衷 程 度 是毋 庸 置 疑 的 , 至 於 對 數 學 的 學 習 則 興 趣 缺 缺 。 大 部 分 學 童 的 心 裡 對 數 學 都 懷 著 恐 懼 的 心 情 , 到學 校 上 數 學 也 都 有 點 出 於 被 動 。 在 學 校 的 生 活 中 處 處 是 科 學 , 近 年 來 , 我 國 教 育 部 與 國 科 會 皆致 力 於 科 普 或 生 活 科 學 探 索 等 活 動 的 推 廣 , 反 映 出 科 學 教 育 應 在 生 活 中 扎 根 , 讓 學 校 與生 活 中 的 科 學 做 一 緊 密 結 合 的 重 要 性 與 必 需 性 。 因 此 如 果 能 透 過 適 當 安 排 , 以 他 們 最喜 歡 的 遊 戲 結 合 數 學 教 導 他 們 , 採 用 團 康 遊 戲 學 數 學 的 活 動 來 上 課 , 對 學 生 的 數 學 學 習 應 會 有所 助 益 。多 元 化 評 量 已 推 行 多 年 , 那 教 學 要 不 要 多 元 化 呢 ? 學 生 學 習 的 來 源 非 常 多 元 , 來 自 網 路 、電 視 、 報 紙 等 數 位 或 平 面 媒 體 , 他 們 很 輕 易 的 可 獲 得 知 識 , 得 到 概 念 ; 那 麼 , 學 生 到 學 校 要 學什 麼 呢 ? 應 當 是 要 學 習 過 快 樂 的 團 體 生 活 。 團 康 遊 戲 融 合 團 體 生 活 、 康 ( 歡 ) 樂 、 遊 戲 , 一 向 是所 有 年 齢 層 所 喜 愛 的 活 動 , 將 其 融 入 教 學 , 不 失 為 多 元 化 教 學 的 一 種 ! 其 成 效 如 何 ? 亟 待 進 一步 深 入 研 究 。國 內 外 學 者 研 究 顯 示 , 遊 戲 是 兒 童 生 活 經 驗 中 最 重 要 且 最 具 活 力 的 部 份 ; 在 遊 戲 之 中 , 自然 地 引 發 出 兒 童 的 內 在 動 機 , 兒 童 心 情 充 滿 著 怡 悅 , 而 樂 於 主 動 參 與 活 動 ; 更 甚 者 , 兒 童 能 盡情 的 透 過 表 現 、 幻 想 、 探 索 內 心 、 駕 馭 外 在 世 界 , 進 而 產 生 「 我 能 感 」(mastery feeling), 提 升其 挑 戰 真 實 世 界 的 勇 氣 (Cohen, 1987; Kottman, 2001; La Landreth, G., 1987; Liebmann, 1991; 李 香慧 ,2006; 梁 培 勇 ,1995; 陳 鳴 ,1995)。杜 威 認 為 :「 遊 戲 在 學 校 課 程 中 佔 有 明 確 的 地 位 與 目 的 , 遊 戲 的 目 的 在 增 進 知 識 及 充 實 社 會行 為 。 遊 戲 不 是 體 力 的 短 暫 消 耗 或 片 刻 歡 愉 , 缺 乏 遊 戲 活 動 的 教 育 不 可 能 得 到 有 效 的 學 習 。」因 此 , 學 生 從 遊 戲 當 中 嘗 試 很 多 新 的 行 為 及 不 同 的 玩 法 , 以 便 日 後 連 結 到 實 際 生 活 情 境 , 進 而解 決 生 活 上 的 問 題 ( 劉 素 幸 ,1994)。饒 見 維 (1996) 透 過 臨 床 教 學 , 更 證 實 了 遊 戲 教 學 可 以 激 發 學 生 學 習 的 興 趣 和 動 機 、 協 助 學生 建 立 基 本 的 數 學 概 念 與 技 巧 、 培 養 學 生 解 決 問 題 變 通 能 力 及 思 考 能 力 、 幫 助 學 生 精 熟 基 本 的計 算 方 法 與 計 算 能 力 以 及 建 立 自 信 、 發 揮 聯 絡 教 學 進 而 提 升 整 體 的 學 習 效 果 。因 此 , 若 能 結 合 團 康 與 遊 戲 的 特 質 , 融 入 這 些 最 需 協 助 的 學 生 之 數 學 學 習 中 , 讓 教 師 透 過73
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究活 動 化 的 團 康 遊 戲 教 學 方 式 , 選 取 適 當 的 單 元 或 時 段 來 實 施 教 學 , 當 能 幫 助 學 習 上 有 障 礙 的 學生 喜 歡 數 學 和 經 驗 生 活 中 的 數 學 , 而 樂 於 進 行 生 活 中 實 用 數 學 的 思 考 與 問 題 解 決 。帶 分 數 化 為 假 分 數 是 兒 童 學 習 分 數 乘 、 除 過 程 的 先 備 知 識 , 兒 童 若 無 法 將 帶 分 數 化 為 假 分數 , 將 無 法 進 行 分 數 乘 除 的 學 習 ; 同 樣 的 , 計 算 的 結 果 若 為 假 分 數 , 必 須 轉 換 成 帶 分 數 才 能 對數 值 的 大 小 有 完 整 的 概 念 , 所 以 分 數 轉 換 的 技 巧 是 非 常 重 要 的 。綜 合 上 述 國 內 外 研 究 者 的 闡 述 , 遊 戲 可 以 使 兒 童 學 習 團 體 活 動 , 經 驗 康 樂 的 數 學 學 習 活動 , 也 使 兒 童 更 有 信 心 處 理 生 活 經 驗 中 , 有 關 數 學 情 境 的 問 題 。二 、 研 究 目 的 與 研 究 問 題基 於 上 述 理 由 , 本 研 究 的 目 的 旨 在 探 討 生 活 中 與 數 學 相 關 的 創 意 教 學 的 績 效 , 並 以 團 康 遊戲 學 習 分 數 轉 換 為 例 。根 據 研 究 動 機 與 目 的 , 本 研 究 所 要 探 討 的 問 題 如 下 :( 一 ) 團 康 遊 戲 導 入 前 後 , 學 生 的 數 學 成 就 是 否 有 所 差 異 ?( 二 ) 團 康 遊 戲 導 入 前 後 , 學 生 的 數 學 學 習 興 趣 是 否 有 所 差 異 ?貳 、 文 獻 探 討國 內 外 的 研 究 (Badian, 1983) 指 出 , 有 6% 至 7% 的 普 通 學 生 中 , 會 出 現 數 學 學 習 困 難 ; 數 學學 習 障 礙 程 度 的 人 數 , 隨 著 年 級 增 加 而 增 多 ( 吳 德 邦 ,2000)。 若 無 有 效 介 入 , 此 一 數 學 學 習 困難 ( 學 習 低 成 就 ) 的 情 形 , 將 會 持 續 存 在 , 導 致 畏 懼 數 學 或 學 習 數 學 的 興 趣 低 落 。 一 般 而 言 , 受限 於 班 級 人 數 及 課 程 進 度 , 在 普 通 班 級 裡 的 數 學 課 程 和 教 學 , 缺 乏 對 兒 童 個 別 差 異 的 重 視 , 無法 滿 足 數 學 困 難 兒 童 的 需 求 。 因 此 在 教 學 方 式 、 教 學 內 容 或 教 材 、 及 輔 具 的 提 供 上 , 必 須 加 以調 整 、 變 通 或 採 行 替 代 方 案 , 才 能 順 利 進 行 教 學 , 進 而 培 養 其 學 習 興 趣 與 信 心 , 並 發 展 其 學 習潛 能 。 團 康 遊 戲 學 數 學 應 是 解 決 此 一 問 題 的 良 方 , 因 為 在 團 康 遊 戲 學 數 學 實 驗 教 學 方 案 中 , 數學 學 習 困 難 學 生 也 一 定 要 參 加 活 動 、 去 記 錄 活 動 過 程 , 藉 以 獲 得 數 學 概 念 。「 團 康 遊 戲 學 數 學 」 教 學 模 式 為 活 動 化 數 學 創 意 教 學 理 念 的 模 式 之 一 。 本 模 式 融 入 遊 戲 化教 學 、 教 師 創 意 教 學 、 參 酌 創 造 思 考 教 學 的 理 論 與 模 式 , 採 取 由 「 做 中 學 」 的 活 動 化 學 習 理 念 ,並 運 用 於 數 學 教 學 活 動 中 , 故 本 模 式 的 教 學 , 兼 具 遊 戲 化 、 創 意 與 數 學 學 習 的 特 性 。本 研 究 首 先 探 討 「 團 康 遊 戲 學 數 學 」、 數 學 外 部 連 結 相 關 的 議 題 與 相 關 研 究 , 進 而 形 成 本研 究 的 研 究 議 題 。74
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究一 、 團 康 遊 戲若 依 其 主 題 探 究 以 及 時 間 的 順 序 的 方 向 , 遊 戲 理 論 可 分 為 古 典 理 論 與 現 代 理 論 兩 派 ( 郭 靜晃 ,1992)。 早 期 的 遊 戲 理 論 , 主 要 在 探 究 遊 戲 為 何 存 在 ? 並 具 有 哪 些 目 的 ? 並 強 調 遊 戲 對 兒 童身 心 發 展 的 重 要 性 , 認 為 遊 戲 是 兒 童 在 生 活 中 自 然 的 表 現 , 也 是 學 習 的 一 種 途 徑 。1920 年 代 之後 , 則 進 一 步 詮 釋 遊 戲 的 定 義 與 發 展 。( 一 ) 古 典 遊 戲 理 論古 典 遊 戲 理 論 源 起 於 十 九 世 紀 及 二 十 世 紀 初 期 , 較 偏 重 以 哲 學 角 度 去 解 釋 遊 戲 為 何 存 在 並且 具 有 那 些 目 的 ( 郭 靜 晃 ,1992)。 可 再 予 以 歸 納 為 二 派 : 一 、 將 遊 戲 視 為 一 種 能 量 之 調 節 , 稱為 能 量 過 剩 和 休 養 理 論 ; 二 、 把 遊 戲 解 釋 為 人 的 本 能 , 稱 為 進 化 重 演 和 本 能 練 習 論 ( 郭 靜 晃 ,1992), 兹 分 述 如 下 。1. 能 量 過 剩 論 (The Surplus Energy Theory)也 可 以 稱 「 精 力 過 剩 說 」, 是 最 早 的 遊 戲 理 論 。 此 派 學 者 認 為 : 遊 戲 是 基 本 需 要 滿 足 之 後 ,剩 餘 精 力 的 成 果 ( 江 麗 莉 等 ,1996)。 遊 戲 是 經 由 活 動 消 耗 過 剩 的 精 力 , 遊 戲 的 本 身 是 漫 無 目 的的 , 將 遊 戲 視 為 一 種 多 餘 能 量 的 調 節 。2. 休 養 鬆 弛 論 (The Relaxation Theory)此 派 學 者 認 為 : 遊 戲 最 大 的 價 值 , 便 是 供 給 休 養 的 機 會 (Ellis,1973; 劉 效 騫 ,1990); 強 調遊 戲 可 以 幫 助 個 體 讓 疲 乏 的 心 理 得 到 鬆 弛 。 人 在 生 活 中 會 消 耗 腦 力 及 身 體 上 的 能 量 造 成 疲 勞 ,因 此 需 要 充 分 的 休 息 才 能 獲 得 真 正 的 恢 復 , 只 有 透 過 遊 戲 和 休 閒 活 動 , 才 能 提 供 恢 復 健 康 的 功能 ( 陳 怡 安 ,2002)。 幼 兒 遊 戲 的 動 機 是 恢 復 精 神 的 課 程 。3. 重 演 論 (The Recapitulation Theory)美 國 心 理 學 家 霍 爾 與 吉 力 特 等 人 認 為 , 個 體 在 遊 戲 中 練 習 先 人 的 活 動 , 重 演 人 類 行 為 進 化的 過 程 。 重 演 論 認 為 , 遊 戲 是 人 類 祖 先 的 生 活 特 徵 , 在 幼 兒 身 上 的 重 演 , 且 不 同 年 齡 幼 兒 , 以不 同 形 式 重 演 祖 先 的 活 動 。 如 (1) 動 物 期 : 小 孩 爬 、 搖 搖 擺 擺 的 走 路 ;(2) 野 蠻 期 : 玩 捉 迷 藏 、 打獵 遊 戲 ;(3) 游 牧 期 : 小 孩 開 始 養 小 動 物 ;(4) 農 業 期 : 小 孩 玩 沙 、 挖 土 ;(5) 部 落 期 : 小 孩 玩 團 體遊 戲 ( 蔡 淑 苓 ,2004)。4. 本 能 演 練 論 (The Pre-exercise Theory)Gross 認 為 遊 戲 具 有 適 應 的 目 的 ( 簡 楚 瑛 ,1993 )。 遊 戲 不 單 只 是 為 了 消 除 原 始 本 能 , 而 是幫 助 個 體 加 強 日 後 所 需 的 本 能 。 本 能 演 練 論 認 為 : 遊 戲 是 一 種 本 能 的 行 為 , 是 一 個 邁 向 成 熟 的行 為 形 式 , 而 遊 戲 可 視 為 兒 童 為 未 來 生 活 所 做 的 準 備 與 練 習 。由 以 上 遊 戲 的 古 典 理 論 觀 點 , 透 過 本 研 究 「 團 康 遊 戲 學 數 學 」 的 教 學 模 式 ( 分 組 或 個 人 遊 戲 、競 賽 遊 戲 、 趣 味 隨 機 性 遊 戲 、 問 題 解 決 性 遊 戲 、 操 作 性 遊 戲 、 合 作 性 遊 戲 ), 可 以 鬆 弛 學 生 隨 著身 心 發 展 及 生 活 隨 之 而 來 的 心 理 、 精 神 壓 力 下 , 為 疲 乏 的 個 體 心 靈 得 到 休 養 ; 而 就 生 活 準 備 與75
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究練 習 的 觀 點 , 學 生 藉 由 遊 戲 的 過 程 中 學 習 、 預 演 生 活 的 角 色 與 任 務 機 會 , 使 其 能 適 應 現 實 的 生活 。( 二 ) 現 代 遊 戲 理 論1. 心 理 分 析 論佛 洛 依 德 認 為 遊 戲 是 潛 意 識 的 動 機 , 個 體 可 以 藉 由 遊 戲 來 實 現 、 滿 足 其 慾 望 ; 個 體 經 常 受到 慾 望 的 驅 使 , 在 想 像 遊 戲 中 行 使 權 威 , 並 藉 由 真 實 的 遊 戲 以 達 成 心 中 願 望 的 實 現 以 及 獲 得 滿足 ( 吳 怡 儒 ,1998)。 因 此 , 佛 洛 依 德 認 為 , 遊 戲 具 有 心 理 治 療 的 功 能 , 兒 童 透 過 遊 戲 來 達 成 宣洩 、 淨 化 心 靈 的 不 安 。Erikson(1950) 認 為 , 遊 戲 是 一 種 自 我 發 展 的 功 能 , 個 體 透 過 遊 戲 可 與 週 遭 環 境 的 人 產 生 互動 , 可 以 模 仿 真 實 的 情 境 , 進 而 處 理 現 實 中 的 要 求 。 心 理 分 析 論 讓 我 們 了 解 遊 戲 是 協 助 個 體 穩定 情 緒 與 成 熟 發 展 極 具 潛 能 的 一 條 途 徑 。2. 認 知 論認 知 理 論 強 調 遊 戲 與 認 知 乃 平 行 發 展 ; 隨 著 認 知 能 力 的 增 進 , 兒 童 所 從 事 的 遊 戲 型 態 亦 有所 不 同 。 由 於 兒 童 透 過 活 動 而 得 以 成 長 , 因 此 在 學 齡 前 與 學 齡 期 的 兒 童 活 動 中 遊 戲 占 他 們 大 部分 的 時 間 。蘇 俄 心 理 學 家 Vygotsky 主 張 遊 戲 可 以 促 進 個 體 的 認 知 發 展 , 是 個 體 未 來 創 造 力 及 變 通 力 的基 石 ( 蔡 淑 苓 ,2004)。 遊 戲 活 動 具 有 表 徵 想 像 的 能 力 , 遊 戲 可 直 接 促 進 兒 童 的 認 知 發 展 , 是 個體 發 展 未 來 抽 象 思 考 能 力 的 必 經 過 程 。綜 合 言 之 , 遊 戲 的 現 代 理 論 認 為 , 兒 童 透 過 遊 戲 活 動 , 可 使 個 體 藉 由 不 同 的 行 為 或 方 法 與環 境 不 斷 地 產 生 交 互 作 用 ; 而 遊 戲 的 方 法 及 過 程 比 遊 戲 結 果 來 得 重 要 , 遊 戲 中 嘗 試 新 的 行 為 及玩 的 方 法 , 當 遭 遇 問 題 時 , 便 可 利 用 這 些 遊 戲 中 不 同 行 為 、 方 法 的 經 驗 應 用 到 實 際 生 活 情 境 中 ,進 而 解 決 生 活 上 的 問 題 。 因 此 , 個 體 遊 戲 的 目 的 在 發 展 心 理 的 變 通 能 力 , 用 新 奇 的 、 不 尋 常 的方 法 來 遊 戲 ; 這 些 創 意 的 、 新 的 概 念 , 可 協 助 其 適 應 未 來 的 生 活 。歸 納 以 上 學 者 對 遊 戲 理 論 的 論 述 , 必 須 先 承 認 遊 戲 是 一 種 複 雜 的 行 為 。 遊 戲 是 兒 童 將 內 心想 法 表 達 出 來 的 行 為 方 式 之 一 ; 遊 戲 可 以 讓 兒 童 去 探 索 、 學 習 並 形 成 經 驗 , 用 來 理 解 周 圍 事 物 ,當 作 應 付 未 來 實 際 生 活 所 做 的 預 習 ; 遊 戲 活 動 的 本 身 就 是 一 種 學 習 , 遊 戲 對 兒 童 的 認 知 發 展 有其 地 位 與 重 要 性 。本 研 究 之 實 驗 教 學 模 式 依 據 文 獻 探 討 , 結 合 了 創 意 教 學 外 並 融 入 了 遊 戲 教 學 , 以 學 生 動 手操 作 、 實 際 測 量 、 小 組 合 作 討 論 等 創 意 的 教 學 。 提 供 孩 子 富 創 意 且 有 趣 , 又 可 以 親 自 操 作 的 數學 學 習 方 式 , 兒 童 在 遊 戲 的 過 程 中 發 揮 屬 於 自 己 獨 創 的 見 解 , 在 學 生 學 習 單 的 回 饋 中 可 看 出 這些 在 遊 戲 的 過 程 中 所 發 展 出 來 、 建 構 出 來 的 新 概 念 , 有 助 於 認 知 的 發 展 。76
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究二 、 遊 戲 的 教 學 原 則遊 戲 是 重 過 程 、 輕 結 果 , 具 有 實 驗 ( 觀 察 、 發 現 、 探 索 或 研 究 ) 的 功 能 ( 郭 靜 晃 ,1997), 遊 戲者 是 全 神 貫 注 的 , 只 注 意 活 動 或 行 為 本 身 , 不 注 重 活 動 的 目 的 , 遊 戲 是 一 種 學 習 、 活 動 、 適 應 。近 代 許 多 國 內 外 學 者 對 遊 戲 進 行 了 不 少 研 究 , 若 從 教 育 學 家 的 角 度 來 看 , 遊 戲 活 動 是 很 好的 教 學 方 式 , 讓 學 生 能 主 動 而 積 極 的 投 入 有 趣 的 學 習 活 動 。 遊 戲 教 學 法 , 是 一 種 注 重 學 生 主 觀經 驗 與 主 動 建 構 學 習 的 教 學 設 計 , 實 為 激 發 學 生 興 趣 的 教 學 技 術 , 值 得 探 討 與 應 用 ( 蘇 育 任 ,1993)。( 一 ) 遊 戲 化 的 學 習 方 式教 育 學 者 主 張 兒 童 遊 戲 是 一 種 學 習 的 活 動 , 遊 戲 與 教 育 結 合 , 可 以 達 到 教 學 的 目 標 , 兒 童也 經 由 遊 戲 放 鬆 心 情 。盧 梭 在 愛 彌 兒 一 書 中 提 及 :「 兒 童 在 遊 戲 中 所 學 的 比 在 教 室 內 所 學 的 , 價 值 要 大 一 百 倍 。」( 引 自 劉 效 騫 ,1990)。 福 祿 貝 爾 (Frobel) 認 為 , 學 校 應 該 以 遊 戲 的 方 式 進 行 各 式 各 樣 的 表 現 及 練習 ; 而 兒 童 在 遊 戲 時 的 活 動 動 機 , 也 將 會 發 展 成 為 學 習 動 機 。學 習 遊 戲 化 的 優 點 ( 鄭 肇 楨 ,1989):1. 能 引 起 學 生 的 興 趣 。2. 容 易 察 覺 遊 戲 所 涵 蓋 的 技 巧 、原 則 與 結 構 。3. 學 生 有 較 良 好 及 長 久 的 記 憶 。4. 能 獲 得 更 多 思 考 機 會 及 決 策 的 訓 練 。5. 學 生 是 主動 的 探 索 , 而 非 被 動 的 接 受 。6. 遊 戲 的 情 境 可 以 提 供 學 生 獲 勝 的 機 會 和 爭 取 同 儕 的 認 同 。( 二 ) 遊 戲 化 的 教 學 要 素遊 戲 教 學 是 一 種 籠 統 的 策 略 , 沒 有 固 定 的 教 學 模 式 , 但 是 它 還 是 有 幾 項 要 素 及 指 導 要 點 可以 遵 循 。 以 下 分 別 說 明 完 善 的 遊 戲 課 程 應 包 括 以 下 七 項 要 素 ( 楊 淑 朱 ,1995):1. 整 體 概 念 的 確 認 : 設 計 活 動 時 , 應 考 慮 學 生 概 念 的 發 展 , 而 非 一 些 特 定 片 段 資 訊 的 獲 得 。2. 清 楚 的 學 習 目 標 : 教 師 摘 錄 希 望 學 生 瞭 解 的 概 念 , 讓 學 生 在 遊 戲 的 過 程 中 , 可 以 獲 得 這 些 概念 。3. 思 考 運 作 : 教 學 的 方 式 包 括 : 比 較 、 觀 察 、 分 類 、 綜 合 、 解 釋 、 檢 驗 、 應 用 、 設 計 及 探 查 、做 決 定 、 評 估 及 判 斷 、 創 造 及 發 明 等 過 程 。4. 遊 戲 材 料 : 在 遊 戲 活 動 中 提 供 適 當 的 器 具 及 材 料 給 學 生 玩 。5. 學 習 單 ( 活 動 卡 ): 提 供 學 生 思 考 探 查 的 方 向 , 並 以 開 放 性 的 方 式 呈 現 為 佳 。因 此 , 使 用 遊 戲 活 動 來 進 行 教 育 是 一 件 值 得 嘗 試 的 事 ( 王 克 蒂 ,1999), 從 遊 戲 中 學 習 , 不僅 能 涉 及 認 知 能 力 , 亦 涉 及 情 性 、 官 能 、 社 群 各 領 域 ( 黃 毅 英 ,1997)。 雖 然 並 不 是 所 有 的 遊 戲都 能 達 成 教 學 目 標 , 但 是 寓 遊 戲 於 教 學 中 , 能 使 學 生 真 正 從 中 獲 益 , 並 幫 助 他 們 學 習 ( 郭 靜 晃 譯 ,2000)。77
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究三 、 團 康 遊 戲 學 數 學 的 教 學 策 略「 遊 戲 導 向 的 教 學 」 由 學 者 Aufschnaiter, V.S., Prum, R., & Schwedes, H.(1984) 提 出 ( 引 自 林 嘉玲 ,2000), 主 張 開 發 有 趣 的 單 元 活 動 教 材 以 改 善 教 學 與 學 習 的 情 境 。在 數 學 科 教 學 上 , 教 師 若 以 較 生 動 活 潑 的 方 式 設 計 活 動 , 較 能 引 發 學 生 學 習 數 學 的 興 趣 。因 此 , 運 用 遊 戲 式 的 教 學 策 略 , 可 以 提 高 學 生 的 數 學 學 習 興 趣 及 學 習 動 機 , 也 能 增 加 學 生 的 解題 技 能 與 歸 納 推 理 的 能 力 , 不 管 如 何 , 讓 學 習 者 喜 歡 學 習 數 學 是 所 有 老 師 應 共 同 努 力 的 目 標 。( 一 ) 遊 戲 數 學 的 意 義 與 特 性饒 見 維 (2002) 認 為 數 學 本 身 就 是 遊 戲 , 數 學 和 遊 戲 是 具 有 相 類 似 的 元 素 與 結 構 的 。 團 康 遊戲 學 數 學 , 乃 是 把 數 學 科 的 教 學 活 動 轉 變 成 遊 戲 活 動 的 教 學 方 法 ; 也 就 是 指 教 師 有 計 劃 地 在 所安 排 的 團 康 遊 戲 活 動 中 , 提 供 學 生 學 習 並 從 中 獲 得 概 念 性 的 知 識 。歸 納 數 學 科 實 施 團 康 遊 戲 教 學 的 四 個 主 要 特 性 如 下 ( 饒 見 維 ,2002):(1) 適 度 的 挑 戰 性 。(2)競 賽 性 與 合 作 性 。(3) 機 遇 性 與 趣 味 性 。(4) 教 育 性 。 競 賽 團 康 遊 戲 能 激 起 人 類 好 勝 的 天 性 , 並 造成 活 動 的 挑 戰 性 與 趣 味 , 增 加 學 生 參 與 活 動 的 動 機 與 興 趣 。 在 團 康 遊 戲 的 活 動 中 , 教 師 通 常 會設 定 某 種 思 考 任 務 或 目 標 , 學 生 運 用 自 己 既 有 的 數 學 知 能 來 達 成 該 任 務 或 目 標 。許 多 研 究 顯 示 , 遊 戲 的 教 學 方 式 , 有 助 於 學 生 建 立 數 學 的 基 本 概 念 和 認 知 ( 饒 見 維 ,2002;洪 教 通 ,1985)、 精 熟 基 本 的 運 算 方 法 與 能 力 ( 王 克 蒂 ,1999)、 增 進 推 理 思 考 的 創 造 力 ( 饒 見 維 ,2002; 洪 教 通 ,1985; 王 登 傳 ,1982)、 增 加 數 學 正 向 的 學 習 態 度 (Haynes, 1999; Keller, 1990; Marty,1985; Hollis & Felder, 1982)、 提 昇 數 學 的 學 習 興 趣 與 動 機 ( 饒 見 維 ,2002; 黃 毅 英 ,1997)、 以 及提 高 教 師 的 教 學 品 質 ( 林 嘉 玲 ,2000); 此 外 , 策 略 性 遊 戲 更 有 助 於 培 養 學 生 問 題 解 決 和 推 理 的能 力 ( 王 克 蒂 ,1999; 馬 秀 蘭 ,2005,2007)。( 二 ) 團 康 遊 戲 數 學 的 教 學 原 則團 康 遊 戲 教 學 法 是 把 數 學 科 的 教 學 活 動 轉 變 成 團 康 遊 戲 活 動 的 教 學 方 法 , 教 師 開 發 有 趣 的單 元 活 動 教 材 來 改 善 教 學 與 學 習 情 境 , 在 團 康 遊 戲 過 程 中 影 響 學 生 認 知 推 理 發 展 , 學 生 不 斷 地透 過 發 展 、 成 長 中 的 實 際 行 動 與 感 覺 , 把 事 務 、 行 動 和 實 體 各 方 面 建 立 成 一 個 客 觀 化 的 系 統 ,進 而 形 成 概 念 結 構 , 並 增 進 其 解 決 問 題 的 能 力 ( 王 明 慧 ,1996)。教 師 在 數 學 科 實 施 團 康 遊 戲 導 向 教 學 需 掌 握 的 技 巧 如 下 :1. 製 造 動 機 : 可 多 製 造 一 些 探 索 、 團 康 遊 戲 、 驚 奇 、 比 賽 的 動 機 。2. 在 錯 誤 中 學 習 : 允 許 孩 子 有 多 樣 解 題 思 考 的 方 式 , 接 納 孩 子 不 同 的 創 見 , 適 時 地 給 予 支 持 與協 助 , 肯 定 孩 子 嘗 試 不 同 的 解 題 策 略 。3. 在 操 作 中 學 習 : 讓 兒 童 在 「 做 中 學 」, 利 用 具 體 教 具 培 養 抽 象 思 維 。4. 生 活 中 學 習 : 讓 孩 子 在 生 活 中 發 現 數 學 , 再 將 學 會 的 數 學 知 識 , 化 成 智 慧 運 用 在 生 活 中 。78
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究雖 然 許 多 國 內 外 學 者 專 家 支 持 遊 戲 式 的 教 學 , 但 是 卻 少 有 人 關 注 遊 戲 式 教 學 法 對 於 校 園 內較 弱 勢 的 特 殊 需 求 兒 童 , 或 是 學 業 長 期 低 落 兒 童 的 影 響 。 而 這 些 長 期 對 於 學 習 抱 持 消 極 、 被 動的 兒 童 , 早 就 對 數 學 不 抱 太 大 的 希 望 與 期 許 ; 因 此 , 如 何 提 高 這 些 孩 子 的 學 習 興 趣 與 學 習 動 力 ,進 而 改 善 其 學 業 成 就 , 是 教 學 者 急 於 探 討 研 究 的 課 題 , 在 此 同 時 亦 可 增 進 教 師 的 專 業 能 力 、 改善 教 學 方 式 。許 多 心 理 學 家 認 為 在 遊 戲 活 動 的 過 程 中 , 兒 童 的 心 情 大 多 充 滿 著 歡 樂 , 自 然 而 然 的 樂 於 主動 參 與 活 動 。 本 研 究 之 實 驗 設 計 「 團 康 遊 戲 學 數 學 」 教 學 模 式 , 參 考 上 述 教 學 、 創 意 數 學 教 學與 遊 戲 教 學 、 遊 戲 數 學 之 相 關 文 獻 探 討 , 將 團 康 遊 戲 融 入 國 小 數 學 科 之 教 學 , 仿 照 撲 克 牌 之 “ 心臟 病 ” 遊 戲 , 以 披 薩 圖 卡 代 替 撲 克 牌 , 探 討 「 團 康 遊 戲 學 數 學 」 教 學 模 式 , 對 於 增 進 學 業 學 生 之數 學 學 習 興 趣 與 學 業 成 效 之 結 果 如 何 , 亟 待 進 一 步 深 入 研 究 。四 、 分 數 的 概 念 與 意 義( 一 ) 分 數 的 基 本 概 念人 類 對 數 字 概 念 的 發 展 最 初 以 整 數 為 基 礎 , 如 :1 頭 牛 、2 隻 羊 , 但 在 日 常 生 活 中 常 有 無 法以 整 數 來 描 述 數 學 情 境 的 情 況 發 生 , 為 了 解 決 此 一 問 題 , 便 產 生 了 分 數 。 分 數 由 分 母 與 分 子 所組 成 , 分 母 代 表 被 等 分 的 份 數 , 分 子 代 表 索 取 的 份 數 。 分 數 是 將 一 物 品 做 等 量 分 割 後 確 定 單 位分 數 , 再 將 索 取 的 數 量 與 分 割 的 數 量 上 下 並 置 , 形 成 分 數 的 表 示 方 法 ( 甯 自 強 ,1993)。( 二 ) 分 數 的 意 義1. 子 集 — 集 合 的 意 義子 集 — 集 合 的 意 義 適 用 於 離 散 量 , 是 把 一 個 集 合 等 分 後 的 幾 組 與 原 集 合 的 對 應 關 係 。 例如 :1 包 餅 乾 有 10 片 ,2 片 餅 乾 是 多 少 包 ?2. 部 分 — 整 體 的 意 義部 分 — 整 體 的 意 義 適 用 於 連 續 量 , 是 把 一 個 整 體 等 分 後 , 用 來 表 示 部 分 與 全 體 之 間 的 關係 。 例 如 :3/4 瓶 汽 水 , 一 瓶 汽 水 是 整 體 ,3/4 瓶 是 部 分 。3. 商 的 意 義兩 整 數 相 除 的 結 果 即 是 「 商 」,「 商 」 可 以 用 分 數 來 表 示 。 例 如 :1÷2=1/2,1 是 被 除 數 ,2是 除 數 , 兩 數 相 除 的 結 果 可 以 用 分 數 來 表 示 。本 研 究 以 等 值 分 數 的 概 念 來 教 學 假 分 數 化 為 帶 分 數 。79
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究叁 、 研 究 設 計 與 實 施一 、 研 究 假 設本 研 究 擬 提 出 下 列 的 研 究 假 設 加 以 考 驗 :( 一 ) 團 康 遊 戲 導 入 前 後 , 學 生 的 數 學 成 就 有 顯 著 差 異 。( 二 ) 團 康 遊 戲 導 入 前 後 , 學 生 的 數 學 學 習 興 趣 有 顯 著 差 異 。二 、 研 究 工 具本 研 究 採 用 的 研 究 工 具 共 有 二 項 , 分 別 為 「 分 數 轉 換 成 就 測 驗 」 和 「 團 康 遊 戲 學 分 數 」 學習 興 趣 評 量 表 。 茲 分 別 說 明 如 下 :( 一 )「 分 數 轉 換 成 就 測 驗 」( 附 錄 一 )1. 評 量 工 具 內 容本 工 具 共 10 題 , 係 參 考 南 一 版 四 年 級 上 學 期 課 程 中 的 單 元 六 分 數 所 發 展 出 來 的 , 共 分 二 部份 , 第 一 部 分 為 圖 形 題 , 請 學 生 由 所 給 的 圖 形 寫 出 分 數 的 大 小 ; 第 二 部 份 為 數 字 題 , 請 學 生 將假 分 數 換 成 帶 分 數 。 由 學 生 在 團 康 遊 戲 教 學 活 動 方 案 介 入 的 前 、 後 填 寫 , 以 瞭 解 學 生 的 數 學 學習 成 就 。2. 計 分 方 式每 題 均 有 標 準 答 案 , 答 對 得 1 分 , 答 錯 得 0 分 , 滿 分 為 10 分 。3. 效 度效 標 關 聯 效 度 : 以 學 生 三 年 級 的 數 學 成 績 為 效 標 , 考 驗 本 工 具 的 有 效 性 , 其 效 標 關 聯 效 度為 .607, 達 到 .01 的 顯 著 水 準 。4. 信 度α 係 數 : 考 驗 其 內 部 一 致 性 , 作 為 一 種 信 度 係 數 , 其 α 係 數 為 .868。( 二 )「 團 康 遊 戲 學 分 數 」 學 習 興 趣 評 量 表 ( 附 錄 二 )1. 評 量 工 具 內 容本 工 具 共 10 題 , 目 的 在 測 驗 學 生 對 數 學 的 學 習 興 趣 , 由 學 生 在 團 康 遊 戲 教 學 活 動 方 案 介 入的 前 、 後 填 寫 , 回 答 「 是 」 者 表 示 對 數 學 的 學 習 持 正 面 的 反 應 , 回 答 「 否 」 者 表 示 對 數 學 的 學習 持 負 面 的 反 應 , 以 瞭 解 團 康 遊 戲 對 學 生 數 學 學 習 興 趣 的 影 響 。2. 計 分 方 式每 題 沒 有 標 準 答 案 , 答 「 是 」 得 1 分 , 答 「 否 」 得 0 分 , 最 高 為 10 分 。80
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究3. 效 度專 家 效 度 : 題 目 編 製 完 成 後 , 研 究 者 邀 請 台 中 教 育 大 學 二 位 數 學 系 教 授 及 四 位 現 職 的 國 小資 深 教 師 共 同 參 與 修 訂 工 作 與 審 定 內 容 。4. 信 度折 半 信 度 : 以 25 位 四 年 級 學 生 為 對 象 ,Spearman-Brown 係 數 為 .923,Guttman Split-Half 係數 為 .923。α 係 數 : 考 驗 其 內 部 一 致 性 , 作 為 一 種 信 度 係 數 , 其 α 係 數 為 .840。三 、 研 究 對 象本 研 究 施 測 對 象 為 台 中 市 ( 原 台 中 縣 ) 海 線 地 區 一 所 歷 史 悠 久 的 國 民 小 學 的 一 班 四 年 級 學生 , 學 校 位 於 熱 鬧 市 區 中 心 點 , 家 長 多 從 事 服 務 業 , 故 學 生 能 樂 於 接 受 新 式 的 教 學 實 驗 , 在 學習 單 中 能 明 確 表 達 心 中 的 感 受 , 降 低 遊 戲 獎 勵 所 產 生 的 實 驗 偏 誤 。四 、 實 施 程 序樣 本 學 生 人 數 為 31 人 , 扣 除 前 測 或 後 測 未 參 加 的 學 生 後 , 完 整 樣 本 人 數 為 25 人 。 教 師 實施 二 週 (80 分 鐘 ) 依 據 教 科 書 內 容 講 解 假 分 數 與 帶 分 數 的 轉 換 過 程 後 , 實 施 數 學 成 就 測 驗 前 測 ,然 後 實 施 一 週 (40 分 鐘 ) 本 研 究 所 述 之 團 康 遊 戲 , 遊 戲 實 施 過 程 採 用 錄 音 、 錄 影 方 式 , 完 成 後 ,實 施 數 學 成 就 測 驗 後 測 。 在 學 生 建 立 真 分 數 、 假 分 數 和 帶 分 數 的 數 學 概 念 後 , 藉 由 動 手 具 體 操作 和 抽 象 思 維 的 結 合 , 目 的 除 了 讓 學 生 在 團 體 遊 戲 、 競 爭 互 動 中 提 高 學 習 動 機 以 外 , 期 待 學 生能 將 分 數 概 念 視 為 更 具 體 , 並 且 能 提 升 將 假 分 數 換 成 帶 分 數 的 轉 換 能 力 。 意 即 , 期 待 能 讓 學 生藉 由 團 體 遊 戲 去 學 習 將 假 分 數 換 成 帶 分 數 的 能 力 和 自 生 系 統 產 生 耦 合 , 使 個 體 和 環 境 之 間 沒 有不 相 容 或 沒 有 衝 突 , 學 生 會 建 構 出 與 數 學 教 學 文 化 相 容 的 解 題 活 動 類 型 。遊 戲 規 則( 一 ) 心 臟 病 之 遊 戲 一 : 真 分 數 和 生 活 中 的 具 體 形 式 作 連 結 。1. 分 組 : 每 四 至 七 位 小 朋 友 一 組 。2. 教 具 : 每 組 發 一 副 分 數 狀 態 圖 的 遊 戲 牌 。 其 中 , 一 副 遊 戲 牌 有 96 張 , 分 別 是1/8.2/8.3/8.4/8.5/8.6/8.7/8.8/8 的 披 薩 圖 卡 各 12 張 。3. 發 牌 : 將 96 張 牌 均 勻 洗 牌 、 均 分 給 每 一 組 的 成 員 , 每 位 成 員 不 得 看 到 牌 的 圖 片 。4. 成 員 就 緒 : 成 員 拿 到 牌 之 後 , 選 定 一 個 平 坦 的 桌 面 當 作 圓 心 , 成 員 團 團 圍 住 , 或 站 或 坐 皆 可 ,然 後 各 組 各 自 決 定 一 位 成 員 當 開 始 亮 牌 者 以 及 輪 流 出 牌 的 方 向 。5. 遊 戲 開 始 與 口 令 : 第 一 位 將 手 上 最 上 面 的 牌 翻 開 並 放 置 桌 子 中 心 , 並 喊 出 1/8, 接 著 , 按 照 輪流 的 方 向 繼 續 出 牌 , 第 二 位 同 學 翻 牌 放 置 的 同 時 , 則 要 喊 出 2/8, 依 此 類 推 , 往 後 的 繼 續 出牌 的 同 學 要 接 著 喊 3/8.4/8.5/8.6/8…, 特 別 的 , 當 喊 到 8/8 的 下 一 位 , 則 重 新 從 1/8 再 接 續 喊下 去 。81
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究6. 心 臟 病 發 點 : 當 同 學 所 出 示 的 牌 的 分 數 圖 卡 與 同 學 所 喊 出 的 分 數 相 同 時 , 成 員 要 以 最 快 速 的速 度 將 手 壓 在 疊 高 的 牌 上 , 最 晚 壓 者 則 將 牌 收 入 自 己 的 牌 堆 裡 。7. 懲 罰 : 若 有 人 錯 誤 判 斷 去 壓 牌 , 則 將 已 疊 高 的 牌 收 回 錯 誤 按 壓 的 同 學 的 牌 堆 裡 。8. 特 別 允 許 : 可 以 讓 頭 腦 清 醒 的 同 學 施 以 假 動 作 誤 導 同 學 壓 牌 。9. 遊 戲 終 止 點 : 當 第 一 位 成 員 順 利 將 手 上 的 牌 發 完 者 , 即 為 該 牌 局 的 勝 利 者 。( 二 ) 心 臟 病 之 遊 戲 二 : 假 分 數 與 帶 分 數 的 互 換 。1. 分 組 : 每 四 至 七 位 小 朋 友 一 組 。2. 教 具 : 每 組 發 一 副 分 數 狀 態 圖 的 遊 戲 牌 。 其 中 , 一 副 遊 戲 牌 有 96 張 , 分 別 是1/8.2/8.3/8.4/8.5/8.6/8.7/8.8/8 的 披 薩 圖 卡 各 12 張 。3. 發 牌 : 將 96 張 牌 均 勻 洗 牌 、 均 分 給 每 一 組 的 成 員 , 每 位 成 員 不 得 看 到 牌 的 圖 片 。4. 成 員 就 緒 : 成 員 拿 到 牌 之 後 , 選 定 一 個 平 坦 的 桌 面 當 作 圓 心 , 成 員 團 團 圍 住 , 或 站 或 坐 皆 可 ,然 後 各 組 各 自 決 定 一 位 成 員 當 開 始 亮 牌 者 以 及 輪 流 出 牌 的 方 向 。5. 遊 戲 開 始 與 口 令 : 第 一 位 將 手 上 最 上 面 的 牌 翻 開 並 放 置 桌 子 中 心 , 並 喊 出 1/8, 接 著 , 按 照 輪流 的 方 向 繼 續 出 牌 , 第 二 位 同 學 翻 牌 放 置 的 同 時 , 則 要 喊 出 2/8, 依 此 類 推 , 往 後 的 繼 續 出牌 的 同 學 要 接 著 喊 3/8.4/8.5/8.6/8…8/8.9/8.10/8.11/8.12/8.13/8 …。6. 心 臟 病 發 點 : 當 同 學 所 出 示 的 牌 的 分 數 圖 卡 與 同 學 所 喊 出 的 分 數 相 同 時 可 壓 牌 , 特 別 的 , 在此 遊 戲 中 若 遇 到 假 分 數 時 , 同 學 需 自 己 將 它 換 成 帶 分 數 , 然 後 檢 視 帶 分 數 中 真 分 數 的 部 分 ,是 否 與 分 數 圖 卡 相 同 。 若 相 同 , 成 員 要 以 最 快 速 的 速 度 將 手 壓 在 疊 高 的 牌 上 , 最 晚 壓 者 則 將牌 收 入 自 己 的 牌 堆 裡 。 隨 後 , 再 從 1/8 往 下 喊 , 繼 續 玩 心 臟 病 。7. 懲 罰 : 若 有 人 錯 誤 判 斷 去 壓 牌 , 則 將 已 疊 高 的 牌 收 回 錯 誤 按 壓 的 同 學 的 牌 堆 裡 。8. 特 別 允 許 : 可 以 讓 頭 腦 清 醒 的 同 學 施 以 假 動 作 誤 導 同 學 壓 牌 。9. 遊 戲 終 止 點 : 當 第 一 位 成 員 順 利 將 手 上 的 牌 發 完 者 , 即 為 該 牌 局 的 勝 利 者 。肆 、 結 果 與 討 論一 、 研 究 結 果本 研 究 採 用 成 對 樣 本 t 檢 定 , 以 考 驗 團 康 遊 戲 實 施 前 後 分 數 學 習 成 就 與 分 數 學 習 興 趣 之 間的 差 異 , 其 結 果 如 下 :82
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究表 1 成 對 樣 本 統 計 量成 對 樣 本 統 計 量平 均 數 個 數 標 準 差 平 均 數 的 標 準 誤成 對 1 成 就 前 測 9.29 25 1.020 .204成 就 後 測 9.73 25 0.526 .105成 對 2 興 趣 前 測 6.75 25 2.350 .470興 趣 後 測 9.06 25 1.447 .289表 2 成 對 樣 本 相 關成 對 樣 本 相 關個 數 相 關 顯 著 性成 對 1 成 就 前 測 和 成 就 後 測 25 .134 .522成 對 2 興 趣 前 測 和 興 趣 後 測 25 .877 .000表 3 成 對 樣 本 檢 定差 異 的 95% 信 賴 區 間下 界 上 界 t 自 由 度 顯 著 性 ( 雙 尾 )成 對 1 成 就 前 測 - 成 就 後 測 -0.888 0.006 -2.036 24 .053成 對 2 興 趣 前 測 - 興 趣 後 測 -2.841 -1.780 -8.991 24 .000由 以 上 數 據 可 知 , 團 康 遊 戲 實 施 前 後 , 分 數 學 習 成 就 未 達 顯 著 差 異 , 但 分 數 學 習 興 趣 達 顯著 差 異 。二 、 討 論( 一 ) 團 康 遊 戲 實 施 前 後 , 分 數 學 習 成 就 未 達 顯 著 差 異 。根 據 表 三 顯 示 : 團 康 遊 戲 實 施 前 後 , 分 數 學 習 成 就 未 達 統 計 上 的 顯 著 水 準 (t=-2.036,p= .053); 雖 未 達 顯 著 差 異 , 但 接 近 .05 的 顯 著 水 準 , 此 結 果 與 林 中 斌 (2004) 的 研 究 結 果 相 同 ,顯 示 團 康 遊 戲 不 能 增 進 學 生 的 數 學 學 習 成 就 , 但 與 葉 盛 昌 (2003)、 張 乃 悅 (2006) 等 人 的 研 究 結 果不 同 。 細 究 其 原 因 有 三 , 第 一 、 研 究 者 認 為 , 欲 提 升 學 生 的 問 題 解 決 能 力 , 團 康 遊 戲 的 內 容 與實 施 方 式 顯 著 影 響 學 生 的 數 學 成 就 ,Krulik 與 Rudnick (1983) 的 研 究 顯 示 : 策 略 性 的 遊 戲 教 學 可以 提 升 問 題 解 決 能 力 , 不 過 在 教 學 的 過 程 中 學 生 要 相 互 討 論 效 果 才 會 顯 著 , 討 論 的 內 容 包 含 學生 的 攻 守 策 略 、 原 因 及 心 得 , 如 此 則 可 以 幫 助 其 後 設 認 知 的 發 展 。 本 研 究 的 團 康 遊 戲 在 實 施 結83
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究束 後 雖 有 討 論 與 分 享 的 過 程 , 但 教 師 的 引 導 與 遊 戲 對 課 程 的 聯 結 是 值 得 改 進 的 方 向 。另 一 個 原 因 是 , 由 表 一 顯 示 本 研 究 的 分 數 學 習 成 就 前 測 平 均 分 數 為 9.29( 滿 分 為 10), 後 測平 均 分 數 為 9.73, 可 看 出 題 目 的 難 易 度 是 另 一 個 值 得 改 進 的 方 向 , 導 致 後 測 分 數 雖 有 提 升 , 接近 顯 著 水 準 .05, 但 仍 未 達 標 準 。第 三 個 原 因 , 本 團 康 遊 戲 是 分 母 為 8 的 分 數 轉 換 , 分 數 圖 卡 為 1/8~8/8, 懂 得 投 機 取 巧 的 學生 , 在 遊 戲 的 過 程 中 , 可 將 9/8 在 心 中 立 即 轉 成 1/8、10/8 在 心 中 立 即 轉 成 2/8……, 以 8 個 數為 一 循 環 , 採 用 背 誦 的 方 法 , 但 在 心 中 卻 沒 有 轉 換 的 過 程 , 只 有 遊 戲 的 趣 味 , 卻 失 去 學 習 的 效果 , 為 本 實 驗 的 缺 點 之 ㄧ。第 四 個 原 因 , 我 們 再 比 較 前 、 後 測 各 題 之 通 過 率 如 下 表 4。表 4 前 、 後 測 各 題 之 通 過 率題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10前 測 通 過 率 100% 96% 81% 73% 100% 96% 96% 100% 96% 96%後 測 通 過 率 100% 100% 89% 89% 96% 96% 89% 89% 96% 93%表 5 題 目 類 型 成 對 樣 本 檢 定差 異 的 95% 信 賴 區 間下 界 上 界 t 自 由 度 顯 著 性 ( 雙 尾 )成 對 1 圖 形 題 (1~4) -.793 .233 -1.127 24 .271成 對 2 數 字 題 (5~10) -.310 .790 .901 24 .376由 前 、 後 測 通 過 率 之 比 較 可 看 出 : 團 康 遊 戲 實 施 後 , 學 生 由 分 數 圖 形 判 斷 數 值 (1~4 題 ) 的 能力 有 些 許 進 步 , 由 數 值 假 分 數 轉 換 成 帶 分 數 (5~10 題 ) 的 能 力 卻 退 步 了 , 但 進 退 步 均 未 達 顯 著 差異 。 細 究 其 原 因 , 顯 然 與 遊 戲 牌 的 披 薩 圖 卡 有 關 , 學 生 在 遊 戲 過 程 中 , 須 靠 視 覺 將 牌 中 的 披 薩圖 形 在 腦 海 中 轉 成 假 分 數 或 帶 分 數 , 若 答 案 是 帶 分 數 必 須 去 掉 整 數 的 部 分 , 自 然 增 進 了 圖 形 轉換 的 能 力 , 但 數 值 轉 換 的 能 力 卻 下 降 了 。 兩 者 效 果 相 抵 之 後 , 導 致 數 學 成 就 未 達 顯 著 差 異 。 由此 可 見 , 團 康 遊 戲 的 內 容 與 方 式 確 實 會 影 響 學 生 的 學 習 表 現 。( 二 ) 團 康 遊 戲 導 入 前 後 , 學 生 的 分 數 學 習 興 趣 達 顯 著 差 異 。根 據 表 3 顯 示 : 團 康 遊 戲 實 施 前 後 , 分 數 學 習 興 趣 達 統 計 上 的 顯 著 差 異 (t=-8.991,p< .05)。此 結 果 與 方 建 良 (2003); 林 中 斌 (2004) 等 人 的 研 究 結 果 相 同 。 可 見 在 數 學 科 教 學 過 程 中 加 入 團 康遊 戲 , 可 提 升 學 生 的 學 習 興 趣 , 進 而 改 善 學 習 態 度 , 提 高 學 習 動 機 , 增 進 學 習 成 效 。 本 研 究 雖以 巧 克 力 做 為 獎 勵 , 但 僅 作 為 輔 助 的 角 色 , 由 學 生 在 團 康 遊 戲 結 束 後 所 填 寫 的 學 習 單 可 以 發 現 :84
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究學 生 確 實 對 團 康 遊 戲 持 正 向 的 支 持 態 度 。伍 、 結 論 與 建 議一 、 結 論( 一 ) 在 教 學 過 程 中 融 入 團 康 遊 戲 , 無 法 改 善 學 生 的 學 習 成 就 。學 生 學 習 成 就 的 良 窳 , 一 般 皆 以 紙 筆 測 驗 加 以 評 量 , 從 國 中 基 測 、 高 中 學 測 及 指 考 皆 可 看出 : 紙 筆 測 驗 是 一 般 公 認 快 速 及 有 效 的 評 量 方 式 。 在 教 學 現 場 , 若 僅 實 施 團 康 遊 戲 就 想 改 善 學生 的 學 習 成 就 , 無 異 緣 木 求 魚 , 必 須 輔 以 其 他 教 學 方 法 才 能 見 效 。 本 研 究 發 現 , 團 康 遊 戲 實 施的 內 容 與 方 式 , 能 改 善 學 生 對 不 同 題 目 類 型 的 解 題 能 力 , 但 未 達 顯 著 水 準 。 學 生 最 常 接 觸 的 數學 題 目 類 型 有 選 擇 題 、 填 充 題 、 計 算 題 和 應 用 題 , 若 能 對 該 數 學 單 元 充 分 了 解 、 融 會 貫 通 , 再輔 以 團 康 遊 戲 , 從 提 高 學 生 對 數 學 的 興 趣 出 發 , 應 能 得 到 顯 著 的 進 步 。( 二 ) 在 教 學 過 程 中 融 入 團 康 遊 戲 , 可 有 效 提 升 學 生 的 學 習 興 趣 。本 研 究 發 現 , 將 團 康 遊 戲 融 入 教 學 活 動 中 , 對 提 升 學 生 的 分 數 學 習 興 趣 有 很 大 的 幫 助 , 學生 在 遊 戲 中 學 習 , 是 一 種 無 壓 力 的 學 習 。 若 學 生 對 數 學 產 生 興 趣 , 便 能 引 起 學 習 動 機 , 進 而 產生 學 習 動 力 , 逐 步 達 到 學 習 效 果 , 其 成 就 雖 不 能 一 蹴 而 成 , 但 就 長 遠 的 眼 光 來 看 , 在 教 學 過 程中 融 入 團 康 遊 戲 , 仍 有 其 實 施 的 價 值 。二 、 建 議( 一 ) 對 實 際 教 學 方 面 的 建 議85
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究在 現 階 段 的 教 學 環 境 中 , 教 師 大 多 淪 為 講 述 式 教 學 , 雖 節 省 時 間 , 但 學 生 對 數 學 的 學 習 大多 興 趣 缺 缺 , 教 師 若 能 適 當 利 用 課 程 中 的 彈 性 時 間 融 入 團 康 活 遊 戲 , 對 提 升 學 生 的 學 習 興 趣 ,當 有 莫 大 助 益 。 團 康 遊 戲 的 內 容 與 方 式 攸 關 教 學 的 成 效 , 針 對 未 來 實 施 的 教 學 評 鑑 , 教 師 應 將效 果 良 好 的 團 康 遊 戲 做 成 教 案 加 以 發 表 , 除 可 提 升 個 人 的 教 學 研 究 績 效 外 , 亦 可 加 以 推 廣 , 提高 學 生 的 學 習 動 機 。( 二 ) 對 數 學 課 程 方 面 的 建 議在 數 學 課 程 方 面 , 教 師 應 體 認 教 科 書 並 不 是 唯 一 的 教 材 , 在 九 年 一 貫 的 課 程 中 , 教 師 必 須具 備 自 編 課 程 、 統 整 課 程 的 能 力 。 在 數 學 科 的 教 學 過 程 中 , 教 師 應 配 合 教 科 書 的 教 學 單 元 , 並根 據 學 生 的 學 習 狀 況 , 適 時 設 計 不 同 的 團 康 活 動 , 讓 學 生 在 遊 戲 的 過 程 中 , 獲 得 數 學 知 識 , 並激 發 學 生 的 學 習 動 機 , 活 潑 教 學 , 增 加 學 生 的 自 信 心 , 以 追 求 更 美 好 的 未 來 。致 謝本 文 係 「 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 科 學 教 育 處 」 補 助 專 題 研 究 計 畫 之 部 分 研 究 成 果 , 特 此 申 謝 !( 計 畫 編 號 :NSC 100-2511-S-142 -005, 計 畫 主 持 人 : 吳 德 邦 )。86
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究參 考 文 獻方 建 良 (2003)。 模 組 化 網 頁 課 程 運 用 在 國 小 數 學 領 域 補 救 教 學 之 研 究 - 以 「 空 間 位 置 」 為 例 ( 未出 版 之 碩 士 論 文 )。 國 立 嘉 義 師 範 學 院 , 嘉 義 市 。王 克 蒂 (1999)。 數 學 遊 戲 教 學 之 效 益 研 究 - 以 國 小 四 年 級 學 生 為 例 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 )。 國 立 台灣 師 範 大 學 , 臺 北 市 。王 明 慧 (1996)。 國 一 數 學 科 活 潑 化 教 學 模 式 對 提 昇 學 習 動 機 與 班 級 氣 氛 之 實 驗 研 究 ( 未 出 版 之 碩士 論 文 )。 國 立 高 雄 師 範 大 學 , 高 雄 市 。王 登 傳 (1982)。 用 遊 戲 來 學 數 學 。 高 雄 : 前 程 。江 麗 莉 、 王 筱 篁 、 李 宗 文 、 林 淑 玲 、 林 聖 曦 、 陳 淑 敏 、 楊 淑 朱 、 鄭 束 芬 、 鄭 瑞 菁 ( 譯 )(1997)。 兒童 遊 戲 與 遊 戲 環 境 ( 原 作 者 :J. L., Frost)。 臺 北 市 : 五 南 。吳 怡 儒 (1998)。 幼 稚 園 戶 外 遊 戲 活 動 實 施 現 況 之 研 究 — 以 雲 嘉 地 區 為 例 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 )。 國立 嘉 義 師 範 學 院 , 嘉 義 市 。吳 德 邦 (2000)。 國 小 數 學 學 習 障 礙 學 生 van Hiele 幾 何 思 考 層 次 之 研 究 。 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會研 究 計 畫 成 果 報 告 (NSC88-2614-S142-001), 未 出 版 。李 香 慧 (2006)。 透 過 創 意 遊 戲 數 學 教 學 提 升 國 小 二 年 級 低 成 就 學 生 數 學 學 習 興 趣 及 學 業 表 現 之研 究 以 長 度 , 液 量 與 重 量 , 周 長 為 例 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 )。 國 立 臺 中 師 範 學 院 , 臺 中 市 。林 中 斌 (2004)。 遊 戲 融 入 國 小 數 學 科 教 學 活 動 之 探 究 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 )。 國 立 臺 北 教 育 大 學 ,臺 北 市 。林 嘉 玲 (2000)。 數 學 遊 戲 融 入 建 構 教 學 之 行 動 研 究 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 )。 國 立 花 蓮 師 範 學 院 , 花蓮 市 。洪 教 通 (1985)。 兒 童 遊 戲 數 學 , 第 十 一 冊 。 臺 北 : 高 思 。梁 培 勇 (1995)。 遊 戲 治 療 。 臺 北 市 : 心 理 。郭 靜 晃 譯 (1994)。 兒 童 遊 戲 — 遊 戲 發 展 的 理 論 與 實 務 ( 原 作 者 :J. E., Johnson, J. F., Christie, & T. D.,Yawkey)。 臺 北 市 : 揚 智 文 化 。( 原 著 出 版 年 :1987)郭 靜 晃 (1997)。 遊 戲 與 教 育 座 談 會 記 實 。 教 育 研 究 雙 月 刊 ,58,7-24。郭 靜 晃 (2000)。 兒 童 遊 戲 。 臺 北 市 : 洪 葉 文 化 。張 乃 悅 (2006): 透 過 創 意 遊 戲 提 升 國 小 資 源 班 學 生 數 學 學 習 興 趣 及 學 業 表 現 之 研 - 以 數 學 學 習障 礙 學 生 為 例 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 )。 國 立 臺 中 師 範 學 院 , 臺 中 市 。陳 怡 安 (2002)。 線 上 遊 戲 之 魅 力 。 資 訊 社 會 研 究 ,3,183-213。87
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究陳 鳴 (1995)。 藝 術 治 療 的 理 論 與 實 務 。 臺 北 : 源 流 。葉 盛 昌 (2003)。 遊 戲 式 數 學 教 學 模 式 對 學 生 數 學 學 習 的 影 響 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 )。 國 立 臺 中 師 範學 院 , 臺 中 市 。甯 自 強 (1993)。 分 數 的 啟 蒙 ~ 量 的 子 分 割 活 動 ~。 教 師 之 友 ,34(3),45-51。黃 毅 英 (1997)。 邁 向 大 眾 數 學 的 數 學 教 育 。 臺 北 市 : 九 章 。楊 淑 朱 (1995)。 在 教 室 內 認 真 的 遊 戲 之 探 討 與 分 析 。 嘉 義 師 院 學 報 ,9,695-708。劉 素 幸 (1994)。 寓 教 學 為 遊 戲 - 談 遊 戲 教 學 的 價 值 。 學 校 體 育 雙 月 刊 ,4(6),40-41。劉 效 騫 (1990)。 兒 童 遊 戲 新 論 。 臺 北 市 : 臺 灣 書 店 。蔡 淑 苓 (2004)。 遊 戲 理 論 與 應 用 。 臺 北 市 , 五 南 。鄭 肇 楨 (1989)。 心 理 學 概 論 。 臺 北 市 : 五 南 。簡 楚 瑛 (1993)。「 遊 戲 」 之 定 義 、 理 論 與 發 展 的 文 獻 探 討 。 新 竹 師 院 學 報 ,6,105-133。蘇 育 任 (1993)。 課 程 與 教 學 ─ 漫 談 遊 戲 導 向 的 教 學 設 計 。 國 教 輔 導 ,33(2),4-6。饒 見 維 (1996)。 國 小 數 學 遊 戲 教 學 法 。 臺 北 市 : 五 南 。饒 見 維 (2002)。 國 小 數 學 遊 戲 教 學 法 。 臺 北 市 : 五 南 。Aufschnaiter, V.S., Prum, R., & Schwedes, H.(1984). Play and play orientation in physics education.Naturwissenschaften in Unterricht-P/C, 32,258-263Badian, N. (1983). Dyscalculia and nonverbal disorders of learning. In H. Mykebust (Ed.), Progress inlearning disabilities (Vol. 5). New York: Grune & Stratton.Cohen, E. G. (1987).Designing groupwork: Strategies for heterogeneous classroom. New York:Teachers College .Ellis, M. J. (1973). Why people play. Englewood Cliffs, NJ: prentice-Hall.Haynes, L. C. (1999). Gender differences in the use of a computer-based mathematics games:Strategies, and beliefs about mathematics and computers. University of South Alabama DoctoralDissertation Abstract.Hollis, L. Y., & Felder, B. D. (1982). Recreational mathematics for young children. School Science andMathematics, 82, 71-75.Keller, J. J. (1990). Strategy games: Developing positive attitudes and perseverance toward problemsolving with fourth graders, Jan., Master’s Practicum Report, Nova University.Kottman, T. (2001). Play therapy: Basic and beyond. Alexandra,VA: American CounselingAssociation.Krulik, S., & Rudnick, J. A.(1983). Strategy game and problem solving-an instructional pair whose time88
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究has come . The Arithmetic Teacher, 83(12), 26-28.La Landreth, G. (1987). Facilitative use of child's play in elementary school counseling. ElementarySchool Guidance & Counseling Journal, 21(4), 253-261.Liebmann, M. (1991). Art therapy for groups: A hand book of themes, games and exercises. London:Routledge.Marty, J. F. (1985). Selected effects of a computer game on achievement, attitude, and graphing abilityin secondary school algebra. Unpublished doctoral dissertation, Oregon State University.89
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究附 錄 一 : 分 數 轉 換 成 就 測 驗• 填 填 看 :(1)_________ 國 小 ______ 年 _______ 班座 號 ________ 姓 名 ________________塗 色 部 分 共 是 ( ) 圓 。(2)塗 色 部 分 共 是 ( ) 圓 。(3)塗 色 部 分 共 是 ( ) 圓 。(4)塗 色 部 分 共 是 ( ) 圓 。• 將 下 列 各 題 的 假 分 數 化 成 帶 分 數 :(5) 4/3 =( )。(6) 9/4 =( )。(7) 12/5 =( )。(8) 25/6 =( )。(9) 29/7 =( )。(10) 35/8 =( )。90
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究附 錄 二 :「 團 康 遊 戲 學 分 數 」 學 習 興 趣 評 量 表( ) 年 ( ) 班 ( ) 號 學 生 姓 名 :日 期 : 年 月 日親 愛 的 小 朋 友 :這 一 份 問 卷 不 是 考 試 哦 , 每 一 題 的 答 案 也 沒 有 對 或 錯 , 你 只 要 想 一 想 自 己的 情 形 或 感 覺 , 在 是 () 或 否 () 的 □ 內 打 ˇ, 就 好 了 。 謝 謝 你 ! 1. 我 覺 得 「 團 康 遊 戲 學 分 數 」 是 一 件 有 趣 的 事 。 □ □2. 我 覺 得 「 團 康 遊 戲 學 分 數 」 可 以 讓 我 的 腦 筋 更 靈 活 。 □ □3. 我 喜 歡 和 同 學 一 起 「 學 分 數 」。 □ □4. 我 對 自 己 的 「 團 康 遊 戲 學 分 數 」 表 現 能 力 有 信 心 。 □ □5. 我 比 較 不 怕 「 分 數 」 了 。 □ □6. 我 會 認 真 「 學 分 數 」。 □ □7. 我 喜 歡 老 師 上 「 團 康 遊 戲 學 分 數 」 課 的 方 式 。 □ □8. 我 喜 歡 「 分 數 」 課 的 內 容 。 □ □9. 我 喜 歡 「 分 數 」 課 可 以 用 團 康 遊 戲 活 動 的 方 式 上 課 。 □ □10. 我 會 認 真 填 寫 「 分 數 」 的 學 習 單 。 □ □是否91
吳 德 邦 數 學 的 外 部 連 結 - 子 計 畫 二 : 團 體 遊 戲 的 數 學 與 態 度 研 究An Experiment Teaching of Mathematics: An Exampleof Learning Fraction Through Associative PlayHsiu-Lan Ma 1 Der-Bang Wu 2 Yu-Hsueh Chang 3Szu-Hsing Lin 4 Wu-Yen Tsai 21 Department of Business Administration, Ling Tung University2 Graduate Institute of Mathematics Education, National Taichung University3 Cing Shan Elementary School, Changhua County4 School of Management, Da-Yeh University* wudb@hotmail.comAbstractThis research was undertaken to investigate the experimental instruction on fraction – an example oflearning fraction through associative play. The subject of the study consisted of 25 fourth-gradeelementary school students in Central Taiwan. In the fraction unit, the associative play was integratedinto the teaching process. In order to analyze the scores of achievement and interest, two research toolswere used: the fractional conversion Achievement Tests and the associative play of credits interest inlearning scale. The conclusions were drawn as follows: (1) The use of the associative play model forteaching fraction did not facilitate the elementary school stduents’ performance of a higher scores on thepost-test of the fraction. (2) The use of the associative play model for teaching fraction significantlyraised elementary school students’ levels of interest in learning that accessed by the post-test of learning.Keywords: pre-experiment design, associative play, learning achievement, fraction92
附 件 一林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫□ 期 中 進 度 報 告■ 期 末 報 告統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫計 畫 類 別 :□ 個 別 型 計 畫 ■ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 98-2511-S-003-004-M執 行 期 限 :98 年 8 月 1 日 至 101 年 12 月 31 日執 行 機 構 及 系 所 : 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 )計 畫 主 持 人 : 林 福 來共 同 主 持 人 : 李 源 順 、 楊 志 堅 、 陳 幸 玫 、 林 素 微 、 楊 凱 琳研 究 參 與 小 組 : 楊 志 堅 教 授 國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所陳 幸 玫 助 理 教 授 國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育 學 系 ( 所 )林 素 微 助 理 教 授 國 立 台 南 教 育 大 學 測 驗 統 計 研 究 所楊 凱 琳 助 理 教 授 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 )許 慧 玉 博 士 後 研 究 員 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 )本 計 畫 除 繳 交 成 果 報 告 外 , 另 含 下 列 出 國 報 告 , 共 0 份 :□ 移 地 研 究 心 得 報 告□ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告□ 國 際 合 作 研 究 計 畫 國 外 研 究 報 告處 理 方 式 : 除 列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,□ 一 年 □ 二 年 後 可 公 開 查 詢中 華 民 國 年 月 日93
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫中 文 摘 要此 整 合 型 計 畫 以 認 知 與 發 展 兩 個 向 度 來 彙 整 四 個 子 計 畫 ; 認 知 向 度 即 從 個 人 認 知 延 伸 至 情 境認 知 , 發 展 向 度 即 從 帅 兒 延 伸 至 成 人 。 在 這 兩 個 向 度 下 , 總 計 畫 以 探 究 式 學 習 社 群 為 方 法 ,協 助 各 子 計 畫 反 思 並 修 正 探 究 的 方 向 及 使 用 的 研 究 方 法 。 總 計 畫 三 年 來 的 研 究 成 果 包 括 (1)協 助 各 子 計 畫 , 針 對 不 確 定 思 維 、 變 異 性 、 學 生 統 計 素 養 、 及 教 師 統 計 教 學 和 教 學 知 識 等 各陎 向 , 提 出 研 究 方 向 及 方 法 論 。(2) 針 對 臺 灣 統 計 課 程 提 出 概 括 性 的 探 究 和 分 析 ;(3) 提 出納 入 統 計 素 養 進 入 臺 灣 課 程 、 教 學 、 研 究 的 具 體 建 議 內 容 。(4) 依 據 三 年 的 研 究 經 驗 , 提 出國 際 性 合 作 的 研 究 分 析 撰 寫 計 畫 。關 鍵 字 : 統 計 素 養 、 變 異 量 、 不 確 定 思 維 、 統 計 教 學 、 統 計 教 學 知 識AbstractThe study is the head project for an integrated research program which aims to improve theeducation and research on statistics and probability in Taiwan. Two dimensions were used tostructure the integrated research program: cognitive dimension and developmental dimension.Cognitive dimension describes the scope of the integrated program focusing on both personalcognitive behaviors and those embedded in reality, whereas developmental dimension concerns theages ranging from kids to adults. Under the two dimensions, an inquiry-based-community approachwas used to facilitate the reflections and refinement for each individual research project. The findingsfor the integrated research project include (1) clarifying the insights and methods for investigatinguncertainty, variation, students’ statistical literacy, and teachers’ knowledge for teaching statistics andprobability; (2) providing overview on statistics and probability curriculum in Taiwan; (3) offeringsuggestions to the refinement of curriculum, teaching and research on statistics and probability; (4)structuring the research plan for international cooperation.Keywords: Statistical literacy, variation, uncertainty, teaching for statistics, statistics knowledge forteaching一 、 前 言我 們 生 活 的 世 界 中 , 充 滿 不 確 定 性 的 因 素 。 不 論 對 製 造 業 或 服 務 業 來 說 , 知 識 經 濟 時 代 都是 一 個 高 速 變 動 、 充 滿 不 確 定 性 的 年 代 。 另 一 方 陎 , 資 訊 量 也 呈 指 數 增 加 , 各 行 各 業 皆 以 數 量化 訊 息 作 為 決 策 的 基 礎 。 以 經 營 管 理 者 為 例 , 越 能 精 準 地 掌 控 不 確 定 性 則 越 能 做 出 低 風 險 高 獲利 的 決 策 。 在 這 樣 充 滿 資 訊 量 和 不 確 定 性 的 社 會 脈 絡 下 , 機 率 與 統 計 是 被 用 來 處 理 不 確 定 因 素的 主 要 科 學 工 具 。 配 合 電 腦 科 技 的 功 能 可 以 區 辨 與 解 析 大 量 資 料 中 有 用 的 訊 息 , 這 也 使 得 統 計應 用 需 要 能 夠 操 作 統 計 軟 體 或 撰 寫 程 式 的 人 才 。 在 不 同 領 域 的 支 援 下 , 統 計 已 滲 透 至 各 行 各業 。 在 不 同 工 作 崗 位 的 人 才 , 也 勢 必 善 用 統 計 以 更 有 效 地 陎 對 與 處 理 不 確 定 性 情 境 。 另 外 ,「 統計 」 對 一 般 民 眾 雖 感 到 陌 生 , 但 卻 經 常 出 現 在 日 常 生 活 情 境 當 中 , 舉 凡 民 意 調 查 、 新 聞 媒 體 、甚 至 樂 透 … 等 等 都 或 多 或 少 直 接 或 間 接 涉 及 到 統 計 的 概 念 。94
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫對 教 育 來 說 , 其 應 培 養 學 生 的 統 計 素 養 (statistics literacy)。 統 計 素 養 的 建 立 應 從 日 常 生 活當 中 著 手 , 藉 由 生 活 當 中 的 資 料 讓 學 生 建 構 對 統 計 上 的 概 念 。 早 在 2005 年 美 國 統 計 協 會 (theAmerican Statistical Association) 對 於 統 計 教 育 就 已 提 出 其 架 構 與 評 量 方 方 式 , 認 為 統 計 素 養 是21 世 紀 數 學 教 育 的 重 要 核 心 概 念 。 學 者 以 世 界 銀 行 的 資 料 , 以 像 洪 水 般 的 方 式 讓 學 生 練 習 統計 上 的 概 念 , 如 變 異 數 與 帄 均 數 等 概 念 , 將 統 計 概 念 實 際 應 用 在 日 常 生 活 會 接 觸 到 的 資 料 , 此方 法 有 助 於 學 生 對 於 量 化 技 巧 的 訓 練 (Hastie, Tibshirani, Friedman, & Franklin, 2005)。 同 時 ,Rosenberg and Anderson (2011) 指 出 統 計 素 養 的 重 要 性 , 認 為 統 計 素 養 的 培 養 有 助 於 學 生 對 於生 活 資 料 的 批 判 能 力 。 因 此 , 由 教 學 觀 點 分 析 , 不 難 發 現 統 計 素 養 課 程 的 發 展 需 由 日 常 生 活 經驗 當 中 逐 步 建 立 而 來 , 教 師 進 行 統 計 教 育 時 應 大 量 運 用 媒 體 素 材 、 報 章 雜 誌 或 是 資 料 庫 所 提 供的 資 料 讓 學 生 進 行 充 分 的 學 習 , 透 過 此 方 式 對 統 計 素 養 的 建 立 有 很 大 的 幫 助 。 因 此 , 本 整 合 型計 畫 從 現 今 知 識 經 濟 時 代 的 來 臨 以 及 統 計 相 關 課 程 的 變 陏 , 感 受 到 統 計 知 能 或 素 養 對 現 今 國 民的 素 養 扮 演 愈 來 愈 重 要 的 角 色 。 提 出 此 計 畫 , 進 行 統 計 教 育 人 才 的 培 育 與 資 訊 整 合 。二 、 國 內 外 文 獻 探 討Garfield 和 Ben-Zvi (2007) 整 理 近 年 的 統 計 研 究 , 提 出 統 計 推 理 (statistical reasoning)、 統計 思 維 (statistical thinking) 和 統 計 素 養 (statistical literacy) 個 別 意 涵 與 之 間 的 層 次 及 關 連 性 。 所 謂統 計 推 理 意 旨 學 生 能 夠 合 理 利 用 統 計 概 念 進 行 推 論 , 理 解 統 計 資 訊 。 其 中 也 包 含 了 概 念 之 間 的連 結 , 並 瞭 解 資 料 與 可 能 性 之 間 的 關 連 , 並 提 出 合 理 的 解 釋 。 而 統 計 思 維 則 是 比 統 計 推 理 還 高層 次 的 思 考 能 力 。 包 含 了 知 道 如 何 (how) 和 為 什 麼 (why) 使 用 某 一 種 策 略 、 測 量 、 設 計 和 模 式 進行 相 關 的 統 計 分 析 。 尤 其 統 計 思 維 指 能 意 識 到 統 計 推 論 的 限 制 性 。 由 下 圖 1 可 以 看 出 統 計 素 養包 含 了 三 個 層 次 的 能 力 包 括 基 本 素 養 、 統 計 推 理 、 統 計 思 維 , 其 三 者 有 相 關 交 錯 層 次 關 係 。ThinkingBasicLiteracyReasoning圖 1: 基 本 素 養 、 統 計 推 理 、 統 計 思 維 之 間 的 層 次 與 交 互 關 連其 中 統 計 素 養 為 統 計 教 育 的 基 礎 ,Wallman (1993) 認 為 統 計 素 養 是 一 種 可 以 理 解 和 嚴 謹 地求 出 日 常 生 活 中 的 統 計 結 果 , 以 及 能 將 統 計 想 法 適 當 的 用 在 公 開 的 、 私 人 的 、 專 業 的 或 個 人 的95
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫決 策 的 能 力 。Rumsey (2002) 認 為 在 統 計 的 課 程 當 中 , 應 將 統 計 素 養 作 為 基 礎 核 心 課 程 , 期 許學 生 能 夠 了 解 統 計 的 意 義 , 在 日 常 生 活 當 中 透 過 大 量 的 數 字 訊 息 能 加 以 思 考 進 而 批 判 並 進 行 決策 ; 其 二 為 統 計 推 理 ,Garfield (2002) 指 出 統 計 推 理 之 所 以 重 要 的 原 因 在 於 該 能 力 經 常 使 用 在日 常 生 活 當 中 , 但 由 於 人 接 受 的 訊 息 與 規 則 不 一 致 造 成 統 計 訊 息 評 估 的 不 一 致 , 因 此 如 何 對 於資 料 給 予 正 確 的 解 釋 與 決 策 在 統 計 教 育 上 成 為 一 個 相 當 重 要 的 課 題 ; 而 統 計 思 考 則 是 統 計 教 育的 試 金 石 , 是 一 般 人 對 於 統 計 的 既 定 印 象 , 舉 凡 變 異 數 、 帄 均 數 、 中 位 數 或 標 準 差 的 概 念 都 包含 於 此 ,Snee (1990a) 認 為 統 計 思 考 是 指 對 於 上 述 的 統 計 概 念 的 思 考 過 程 , 彼 此 概 念 間 的 交 互影 響 與 定 義 。Lajoie, Jacobs and Lavigne (1995) 認 為 統 計 素 養 是 有 能 力 解 讀 並 批 判 出 現 在 報 章 、雜 誌 、 電 視 、 廣 告 和 與 工 作 相 關 的 任 何 統 計 論 點 。Watson (1997) 強 調 統 計 素 養 包 含 三 個 不 同 層級 的 能 力 所 組 成 的 架 構 : 機 率 和 統 計 術 語 的 基 本 理 解 ; 在 廣 泛 的 社 會 討 論 中 , 統 計 語 言 和 概 念的 理 解 ; 以 及 在 沒 有 合 適 的 統 計 基 礎 上 , 能 應 用 統 計 概 念 提 出 證 據 的 反 對 與 懷 疑 態 度 。Gal (2005)指 出 統 計 素 養 可 廣 泛 地 視 為 人 們 能 解 釋 和 嚴 謹 地 計 算 統 計 資 訊 、 資 料 關 係 或 隨 機 現 象 的 能 力 ;以 及 人 們 能 論 述 或 傳 遞 他 們 對 統 計 資 訊 的 反 應 和 意 義 的 理 解 , 與 他 們 對 這 些 訊 息 的 應 用 或 他 們對 特 定 議 論 的 可 接 受 性 的 能 力 。 這 兩 種 能 力 有 相 互 關 連 的 組 成 成 分 。Moore (1990) 在 機 率 與 統 計 的 課 程 中 特 別 強 調 資 料 (data) 和 機 會 (chance), 這 兩 個 元 素 可 視為 統 計 推 理 的 前 提 和 規 則 。 資 料 是 統 計 的 結 果 , 也 是 統 計 探 索 的 對 象 ; 機 率 則 是 探 索 資 料 時 所需 的 原 理 原 則 。Snee (1990b) 將 統 計 思 維 定 義 成 :“ 是 一 個 辨 識 變 異 性 無 所 不 在 的 過 程 , 其 中包 含 確 認 、 描 繪 、 量 化 、 控 制 與 減 少 變 異 以 求 改 善 的 思 維 歷 程 ”(p. 118)。Moore (1997) 也 將 統計 思 維 精 簡 為 : 對 資 料 的 需 求 、 資 料 生 成 的 重 要 性 、 無 所 不 在 的 變 異 性 、 量 化 與 模 式 化 變 異 性 。機 率 思 維 也 是 人 類 陎 對 問 題 時 思 維 的 方 式 之 一 , 和 決 定 性 思 維 不 是 互 斥 的 (Shaughnessy,1992)。 但 是 對 有 些 人 而 言 , 他 們 相 信 現 象 中 的 變 異 都 是 有 某 種 原 因 造 成 的 , 所 以 只 要 能 夠 把原 因 找 出 來 就 可 以 消 弱 變 異 , 更 極 端 的 想 法 是 隨 機 性 並 不 存 在 只 是 人 類 的 智 慧 還 不 夠 。另 外 , 在 職 場 方 陎 ,Roth and Lawless (2002) 探 討 在 職 場 中 發 展 使 用 圖 像 能 力 的 歷 程 , 是一 個 從 工 具 操 作 至 運 思 的 活 動 歷 程 , 在 這 樣 的 歷 程 中 軟 體 工 具 是 逐 漸 退 場 , 轉 而 思 維 圖 像 特 徵與 外 在 世 界 的 對 應 關 係 。 但 是 , 即 使 是 訓 練 有 素 的 科 學 家 也 不 能 將 某 一 脈 絡 中 解 讀 圖 像 的 能 力遷 移 至 另 一 脈 絡 。 如 果 學 校 的 教 育 因 此 而 以 去 脈 絡 化 的 方 式 發 展 學 生 的 能 力 ; 例 如 : 構 圖 與 讀圖 , 這 可 能 使 得 學 生 更 無 法 將 所 學 的 去 脈 絡 化 技 能 應 用 在 職 場 上 。Schaeffer (1994) 也 提 出 以 實際 解 題 導 向 的 方 式 能 有 效 提 昇 實 務 工 作 者 以 統 計 方 法 看 待 事 物 的 能 力 , 此 教 學 方 式 強 調 概 念 而非 技 術 以 及 應 用 能 力 而 非 策 略 上 的 知 識 。 然 而 在 實 務 工 作 上 , 只 有 統 計 知 能 是 不 足 以 勝 任 非 一成 不 變 的 工 作 。Onstenk (1995) 概 括 技 術 、 方 法 、 組 織 、 策 略 、 社 會 規 範 和 社 會 合 作 等 陎 向 ,作 為 職 場 上 專 業 能 力 的 範 疇 。 此 外 , 類 比 數 學 的 批 判 性 (Skovsmore, 1994), 具 有 統 計 的 批 判 性也 是 必 要 的 。在 教 師 方 陎 ,Stohl (2005) 發 現 在 職 教 師 會 傾 向 以 計 算 的 方 式 來 教 導 統 計 與 機 率 的 概 念 ,這 也 顯 示 教 師 不 善 於 超 越 確 定 性 的 數 學 觀 點 來 處 理 不 確 性 的 情 境 問 題 。 學 習 者 在 學 校 所 接 觸 的統 計 會 影 響 其 對 統 計 的 應 用 與 創 新 , 如 何 在 職 場 中 改 變 實 務 工 作 者 對 統 計 既 有 的 觀 點 及 探 討 改變 可 能 產 生 的 效 果 , 都 是 值 得 進 一 步 研 究 的 議 題 。在 學 生 認 知 方 陎 , 早 期 是 著 重 於 機 會 與 隨 機 性 的 概 念 發 展 與 一 階 直 觀 (Fischbein, 1987;Piaget & Inhelder, 1967)。Piaget and Inhelder (1975) 發 現 直 到 具 體 運 思 期 的 兒 童 才 覺 知 變 異 性 並96
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫考 量 變 異 性 來 下 判 斷 , 但 是 並 不 能 嘗 試 釐 清 變 異 的 來 源 。 之 後 , 研 究 也 開 始 探 討 造 成 學 生 不 當理 解 不 確 定 性 情 境 的 因 素 ,Fischbein, Nello 和 Marino (1991) 發 現 年 級 愈 低 的 學 生 愈 可 能 認 為隨 機 試 驗 是 可 以 被 個 人 控 制 的 , 學 生 習 慣 總 體 地 評 估 樣 本 空 間 和 結 構 上 的 量 而 造 成 此 類 的 迷思 ; 例 如 : 丟 擲 二 個 硬 幣 時 , 得 到 二 個 正 陎 和 一 正 一 反 的 機 會 一 樣 大 。 造 成 對 機 率 概 念 的 誤 解 、迷 思 和 偏 差 來 源 包 含 語 言 、 邏 輯 能 力 、 從 實 際 的 具 體 現 象 找 出 數 學 結 構 性 、 或 接 受 隨 機 事 件 是可 以 從 決 定 論 預 測 的 ( deterministic-predictive ) 觀 點 來 分 析 。由 Kahneman, Slovic & Tversky (1982) 編 輯 的 Judgment Under Uncertainty:Heuristics andBiases 主 要 探 討 有 關 機 率 統 計 推 理 能 力 的 迷 思 概 念 , 書 中 提 出 具 代 表 性 ( representativeness )和 易 取 性 ( availability ) 等 迷 思 概 念 的 各 種 類 型 , 並 發 現 即 使 是 常 需 要 使 用 統 計 推 論 的 社 會 科 學家 也 會 用 迷 思 概 念 作 判 斷 。 接 著 , 研 究 也 致 力 於 提 昇 統 計 推 理 能 力 (Sedlmeier, 1999)。 但 是 ,學 習 者 與 應 用 者 的 機 率 統 計 迷 思 是 依 不 同 情 境 和 不 同 想 法 而 有 所 改 變 , 目 前 也 未 有 證 據 顯 示 既有 的 教 學 策 略 之 成 效 可 一 般 化 至 不 同 的 想 法 甚 至 是 超 越 特 定 的 情 境 (Garfield & Ben-Zvi, 2007)。就 國 內 有 關 統 計 教 育 相 關 的 研 究 , 可 以 分 成 四 個 方 陎 。 在 統 計 課 程 的 研 究 方 陎 , 陳 幸 玫(2005) 曾 探 針 對 數 學 、 社 會 和 自 然 三 個 學 習 領 域 之 統 計 概 念 進 行 橫 向 連 結 以 及 教 學 活 動 之 差 異分 析 。 張 少 同 (2005) 和 陳 幸 玫 (2004) 分 針 對 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 中 , 有 關 國 中 和 國 小 的 統 計能 力 指 標 進 行 詮 釋 研 究 。 希 望 建 立 統 計 部 份 教 與 學 的 典 範 例 , 開 拓 運 用 適 合 的 內 容 材 料 , 提 供中 小 學 老 師 、 學 生 、 家 長 以 及 編 輯 教 科 書 者 和 數 學 教 育 研 究 者 的 參 考 。 在 教 師 的 統 計 思 維 與 專業 指 標 的 發 展 方 陎 , 張 少 同 (2007a) 以 三 年 的 時 間 , 透 過 行 動 研 究 法 和 個 案 調 查 法 , 試 圖 建 構 理想 的 中 學 教 師 機 率 與 統 計 思 維 指 標 。在 學 生 統 計 概 念 的 學 習 與 教 學 實 驗 方 陎 , 譚 克 帄 (2006) 在 探 索 及 開 發 適 合 科 學 教 育 研 究 生程 度 的 基 礎 統 計 內 容 及 教 學 方 式 , 希 望 能 達 到 幫 助 學 生 瞭 解 統 計 概 念 的 意 涵 、 應 用 恰 當 的 統 計方 法 及 推 理 去 探 討 問 題 、 詮 釋 資 料 等 目 標 。 陳 幸 玫 (2007) 以 國 立 台 北 教 育 大 學 大 一 新 生 為 對象 從 報 章 雜 誌 中 統 計 訊 息 的 理 解 探 討 國 民 基 本 統 計 素 養 。 張 少 同 (2007b) 以 國 中 生 為 對 象 , 探究 中 學 生 困 擾 的 統 計 概 念 及 原 因 , 並 擬 定 教 學 策 略 教 案 與 教 學 活 動 實 驗 教 學 。 陳 幸 玫 (2004) 在探 究 各 年 級 兒 童 統 計 概 念 的 差 異 , 並 發 展 一 個 統 計 教 學 模 組 和 5 個 統 計 教 學 活 動 進 行 教 學 研究 。 在 開 發 資 訊 科 技 融 入 統 計 教 材 方 陎 , 劉 子 鍵 等 人 (Liu, Lin, & Tsai, 2009) 精 緻 化 16 項 「 相 關 」的 高 中 生 迷 思 概 念 , 並 開 發 十 個 教 學 活 動 的 Simulation Assisted Statistical Understanding[SASU]系 統 探 究 學 生 的 學 習 歷 程 與 成 就 、 態 度 反 應 。 黃 文 璋 (2004)、 羅 夢 娜 (2005) 和 任 眉 眉 (2004) 向 國科 會 提 出 整 合 型 計 畫 試 圖 透 過 網 路 互 動 的 方 式 , 使 中 學 生 能 掌 握 到 機 率 和 統 計 的 概 念 , 進 一 步引 發 其 學 習 及 使 用 機 率 統 計 方 法 的 興 趣 。 陳 仁 義 (2006) 體 認 到 生 活 中 「 不 確 定 性 」 已 普 遍 的被 人 們 感 受 到 。 因 此 配 合 電 腦 科 技 設 計 相 關 教 材 , 希 望 能 幫 助 學 生 更 有 效 率 的 學 習 統 計 與 機 率知 識 。在 評 量 指 標 的 建 立 上 ,Carmichael (2010) 以 The Rasch Rating Scale model 發 現 中 學 生 的 統計 學 習 興 趣 對 於 統 計 素 養 的 學 習 可 以 作 為 一 個 重 要 指 標 ;Carmichael, Callingham, Hay ,andWatson (2010) 更 進 一 步 分 析 影 響 統 計 素 養 建 立 的 因 素 , 該 研 究 探 討 統 計 素 養 的 學 習 興 趣 , 自 我效 能 與 數 學 學 習 成 就 三 者 關 係 , 結 果 發 現 自 我 效 能 為 統 計 素 養 的 學 習 興 趣 與 數 學 學 習 成 就 之 中介 變 項 , 而 且 有 個 特 殊 現 象 表 示 : 高 自 我 效 能 的 學 生 不 表 示 有 高 的 統 計 素 養 學 習 興 趣 , 對 於 教學 上 提 出 後 續 的 看 法 。 無 論 由 教 學 觀 點 或 是 評 量 觀 點 都 發 現 , 由 生 活 經 驗 進 行 統 計 教 育 都 有 助97
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫於 學 生 的 學 習 並 提 高 其 學 習 興 趣 。同 樣 地 , 生 活 經 驗 、 做 中 學 (learning by doing) 對 於 統 計 概 念 的 學 習 也 有 相 當 大 的 助 益 (Snee,1999)。 以 Duval (2000) 所 提 出 的 數 學 思 維 , 雖 然 其 概 念 並 非 聚 焦 於 統 計 概 念 , 而 是 廣 泛 對 於數 學 思 維 的 學 習 提 出 一 個 理 論 架 構 , 該 架 構 核 心 概 念 為 整 合 (coordination), 其 路 徑 成 為 一 個 迴路 其 一 藉 由 數 學 物 件 (object) 與 概 念 (concept) 的 產 出 系 統 為 分 析 主 軸 與 外 界 訊 息 加 以 整 合 , 進 而學 生 透 過 不 同 方 式 , 如 視 覺 、 語 言 來 建 構 數 學 知 識 ; 其 二 與 外 在 世 界 的 認 識 對 於 數 學 知 識 的 建立 產 生 連 結 , 此 迴 路 一 來 一 往 形 成 一 個 知 識 建 構 系 統 。Duval (2000) 的 架 構 強 調 數 學 思 維 應 與生 活 經 驗 加 以 連 結 , 不 該 將 數 學 知 識 與 生 活 經 驗 加 以 切 割 。 而 Sedlmeier (2000) 研 究 也 發 現 在一 般 教 學 方 式 下 , 學 生 的 學 習 成 效 不 如 做 中 學 的 教 學 方 式 來 的 有 效 。Wild 與 Pfannkuch (1999)對 於 統 計 思 維 內 涵 提 出 四 大 架 構 , 分 別 為 調 查 性 迴 路 (The Investigative Cycle)、 思 維 的 類 型(Types of Thinking)、 質 疑 性 迴 路 (The Interrogative Cycle) 與 性 情 (Dispositions)。Wild 與Pfannkuch (1999) 認 為 調 查 性 迴 路 是 指 學 生 解 決 統 計 問 題 的 思 考 歷 程 , 得 經 過 計 畫 、 資 料 蒐集 、 分 析 與 下 結 論 這 些 階 段 ; 思 維 的 類 型 是 指 學 生 解 決 統 計 問 題 的 策 略 , 在 問 題 解 決 當 中 , 學生 如 何 利 用 不 同 方 式 來 解 決 問 題 ; 質 疑 性 迴 路 則 是 指 學 生 在 陎 對 統 計 數 據 時 , 是 否 對 數 據 的 正確 性 加 以 批 判 或 詮 釋 ; 最 後 性 情 則 是 人 的 性 格 對 於 解 釋 數 據 的 影 響 , 不 同 性 格 的 人 在 解 釋 同 一筆 數 據 會 由 不 同 陎 向 來 解 釋 之 。 由 此 四 大 陎 向 對 統 計 思 維 提 出 架 構 , 其 中 調 查 性 迴 路 是 統 計 思維 的 核 心 (Pfannkuch & Wild, 2005)。98
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫圖 2:Pfannkuch and Wild (2005) 提 出 統 計 思 維 架 構Snee (1999) 則 以 統 計 方 法 觀 點 認 為 統 計 思 維 是 一 種 歷 程 , 涉 及 四 個 階 段 分 別 為 歷 程(process)、 變 異 性 (variation)、 數 據 (data) 與 工 具 (tools), 前 三 階 段 都 與 統 計 思 維 有 直 接 關 係 ; 後三 階 段 則 與 統 計 使 用 有 關 ; 其 中 變 異 性 與 數 據 剛 好 為 兩 大 概 念 的 交 集 。 雖 然 上 述 學 者 無 論 從 數學 思 維 、 學 習 觀 點 或 是 統 計 方 法 陎 向 對 於 統 計 思 維 加 以 定 義 與 分 析 , 但 不 免 總 會 落 入 統 計 計 算的 學 習 , 因 此 就 有 學 者 早 在 1998 年 以 心 理 觀 點 大 聲 疾 呼 統 計 學 習 應 該 學 習 統 計 思 維 而 非 統 計規 則 (rules)(Gigenenzer, 1998)。 由 此 可 知 , 統 計 思 維 是 統 計 教 育 的 內 涵 核 心 , 且 從 日 常 生 活 的媒 材 著 手 有 助 於 學 生 的 學 習 。認 知 與 發 展 一 向 是 各 學 科 領 域 在 設 計 課 程 時 所 重 視 的 議 題 , 在 哪 個 年 齡 階 段 學 習 何 種 教 材或 是 教 學 方 法 讓 學 生 能 夠 充 分 學 習 與 吸 收 是 相 當 重 要 的 。Jones, Thornton, Langrall, Mooney,Perry 與 Putt (2000) 提 出 統 計 思 維 的 認 知 發 展 架 構 , 認 為 在 小 學 階 段 的 統 計 思 維 應 強 調 四 大 要點 , 分 別 為 描 述 (describing)、 組 織 (organizing)、 表 徵 (representing)、 與 分 析 (analyzing)、 解 釋(interpreting) 資 料 , 並 由 此 發 展 出 四 大 思 維 層 次 架 構 : 由 個 別 性 (idiosyncratic)、 轉 換 性(Transitional) 推 理 、 量 化 (Quantitative) 推 理 到 分 析 性 (analytical) 推 理 。Jones 等 人 (2005) 提 出 統計 思 維 的 發 展 模 式 , 其 素 材 以 生 活 經 驗 為 主 , 對 於 研 究 結 果 Mooney 建 議 應 材 課 程 著 手 , 提 出非 形 式 化 課 程 與 強 化 教 師 的 教 學 經 驗 , 其 結 果 認 為 中 學 生 的 統 計 思 維 都 符 合 Biggs 與 Collis(1991) 的 統 計 思 維 認 知 發 展 架 構 。三 、 台 灣 國 小 、 國 中 、 高 中 統 計 課 程 分 析民 國 七 十 二 年 所 公 布 的 課 程 標 準 , 首 次 把 統 計 納 入 高 中 教 材 , 大 大 地 提 升 了 機 率 與 統 計 在數 學 的 地 位 ( 余 文 卿 , 1999) 。95 暫 綱 比 88 年 實 施 的 高 中 數 學 新 課 程 , 在 機 率 統 計 部 分 增 加 「 交叉 分 析 」、「 信 賴 區 間 」、「 二 項 分 配 」、「 資 料 來 源 」 等 , 其 中 「 交 叉 分 析 」 部 分 , 注 重 在 與 機 率之 獨 立 與 相 依 概 念 之 關 連 性 ;「 信 賴 區 間 」, 著 重 於 理 解 「95% 的 意 義 」 及 「 統 計 之 推 論 」;「 二項 分 配 」 是 排 列 之 應 用 ; 至 於 「 資 料 來 源 」 側 重 於 依 據 來 源 來 進 行 資 料 之 分 類 ( 教 育 部 , 2004)。99 課 程 綱 要 更 概 念 化 機 率 與 統 計 的 學 習 , 並 增 加 隨 機 性 的 概 念 教 學 ( 教 育 部 , 2009)。 如 此 可 見 ,機 率 與 統 計 在 數 學 課 程 中 的 比 重 逐 漸 增 加 , 也 突 顯 其 具 有 廣 範 的 需 求 之 重 要 性 。99
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫進 一 步 分 析 國 小 、 國 中 、 高 中 課 程 內 容 。 國 中 小 部 分 , 教 育 部 (2003) 九 年 一 貫 課 程 綱 要 與統 計 相 關 的 能 力 指 標 羅 列 如 下 。D-1-01 能 將 資 料 作 分 類 與 整 理 , 並 說 明 其 理 由 。D-1-02 能 報 讀 生 活 常 見 的 直 接 對 應 ( 一 維 ) 表 格 。D-1-03 能 報 讀 生 活 中 常 見 的 交 叉 對 應 ( 二 維 ) 表 格 。D-2-01 能 認 識 生 活 中 資 料 的 統 計 圖 。D-2-02 能 報 讀 較 複 雜 的 長 條 圖D-2-03 能 整 理 生 活 中 的 資 料 , 並 製 成 長 條 圖 。D-2-04 能 整 理 有 序 資 料 , 並 繪 製 成 折 線 圖 。D-3-01 能 整 理 生 活 中 的 資 料 , 並 製 成 圓 形 圖 。D-4-01 能 報 讀 百 分 位 數 , 並 認 識 個 體 在 群 體 中 相 對 地 位 的 情 形 。D-4-02 能 利 用 統 計 量 , 例 如 : 帄 均 樹 、 中 位 數 及 眾 數 等 , 來 認 識 資 料 集 中 的 位 置 。D-4-03 能 利 用 統 計 量 , 例 如 : 全 距 、 四 分 位 距 等 , 來 認 識 資 料 分 散 的 情 形 。從 上 述 能 力 指 標 可 以 看 出 國 小 階 段 強 調 學 生 能 閱 讀 、 整 理 統 計 相 關 圖 形 並 瞭 解 其 表 徵 背 後的 意 涵 。 而 國 中 則 是 期 望 學 生 能 經 由 簡 單 資 料 的 分 類 整 理 和 觀 察 , 建 立 基 本 的 統 計 與 機 率 素養 。D-1, D-2 和 D-3 屬 於 國 小 階 段 的 能 力 指 標 , 目 的 是 讓 學 生 對 統 計 有 初 步 的 概 念 , 認 識 統 計相 關 基 本 名 詞 和 圖 表 , 並 學 習 如 何 整 理 、 分 析 和 觀 察 圖 表 。 而 D-4 則 是 屬 於 國 中 階 段 能 力 指 標 ,主 要 則 是 認 識 簡 單 的 統 計 量 。 國 中 的 統 計 課 程 大 部 分 安 排 在 九 年 級 的 教 科 書 。 受 到 高 中 基 礎 能力 入 學 測 驗 時 間 點 的 影 響 , 這 些 教 材 大 部 分 不 納 入 基 測 考 試 內 涵 中 , 在 台 灣 考 試 領 導 教 學 的 環境 下 (Lin & Tsao, 1999), 可 以 預 見 教 學 與 學 生 的 成 效 並 不 彰 顯 。若 以 目 前 數 學 教 育 強 調 的 數 學 素 養 (mathematical literacy) 來 看 統 計 素 養 (OECD, 2009), 可 進一 步 看 出 臺 灣 統 計 教 育 課 程 安 排 的 侷 限 。OECD 強 調 數 學 素 養 應 具 備 在 現 實 情 境 ( 或 生 活 ) 中使 用 數 學 推 理 、 知 識 、 程 序 、 性 質 和 工 具 進 行 一 連 串 的 描 述 、 解 釋 和 預 測 工 作 。 而 這 樣 的 素 養是 現 代 公 民 必 備 條 件 之 一 。OECD 特 別 將 不 確 定 思 維 定 位 為 學 生 必 備 的 數 學 能 力 之 一 , 強 調 學生 如 何 在 現 實 環 境 中 運 用 不 確 定 思 維 進 行 推 論 、 解 題 和 預 測 。 以 此 來 看 , 臺 灣 國 中 小 的 統 計 課程 編 排 過 渡 強 調 確 定 思 維 底 下 , 統 計 計 算 與 工 具 介 紹 , 缺 乏 提 供 學 生 進 行 統 計 推 論 , 尤 其 是 不確 定 思 維 底 下 的 統 計 推 論 學 習 機 會 。 另 外 一 點 則 是 關 於 資 料 變 異 性 方 陎 , 從 統 計 教 育 的 角 度 來看 , 統 計 資 料 的 取 得 通 常 存 在 著 變 異 , 且 此 變 異 的 認 知 對 於 接 下 來 的 統 計 推 論 、 解 釋 有 著 密 不可 分 的 關 連 性 。 針 對 此 , 臺 灣 統 計 課 程 在 國 中 小 階 段 也 並 未 著 重 於 此 概 念 。從 高 中 課 程 來 看 , 教 育 部 為 了 提 升 普 通 教 育 素 養 , 銜 接 九 年 一 貫 課 程 與 大 學 通 識 教 育 , 於2010 年 成 立 「 普 通 高 級 中 學 課 程 發 展 委 員 會 」, 並 進 行 高 中 課 程 綱 要 修 訂 , 修 訂 結 果 稱 之 為 95暫 綱 。99 推 行 的 「 新 修 訂 普 通 高 級 中 學 課 程 綱 要 」 則 稱 之 為 99 課 綱 。 其 中 95 暫 綱 數 學 包 含數 學 必 修 和 選 修 I 和 II。99 課 綱 亦 將 數 學 、 英 文 、 基 礎 物 理 學 科 於 高 三 分 為 A、B 版 本 , 提 供學 生 適 性 教 學 。 兩 個 綱 要 的 修 改 目 標 之 一 則 是 解 決 學 科 內 與 不 同 學 科 之 間 教 學 邏 輯 的 合 理 性 。如 高 二 物 理 學 習 靜 力 學 和 運 動 學 需 要 數 學 向 量 概 念 , 運 動 學 以 需 要 簡 單 函 數 極 線 、 切 線 、 和 簡單 微 積 分 概 念 , 而 數 學 科 的 向 量 的 教 學 放 在 高 二 課 程 , 函 數 極 線 、 切 線 及 微 積 分 等 概 念 。 因 此 ,必 頇 等 學 生 學 習 完 數 學 相 關 知 識 之 後 才 能 進 行 力 學 的 教 學 ( 李 坤 崇 , 2010)。100
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫針 對 統 計 與 機 率 部 分 ,95 暫 行 課 程 綱 要 比 八 十 八 年 版 增 加 「 信 賴 區 間 與 信 心 水 準 的 解 讀 」與 「 期 望 值 與 二 項 分 配 」 兩 章 節 。 目 的 是 藉 由 極 限 概 念 給 出 機 率 的 定 義 , 以 方 便 接 續 的 統 計 推論 的 教 學 ( 邱 婉 嘉 , 2010)。 也 強 調 學 生 解 讀 日 常 生 活 與 統 計 相 關 數 字 與 意 涵 ( 如 : 選 舉 調 查 數據 )。95 暫 綱 的 教 材 綱 要 如 下 :表 X:95 暫 綱 與 機 率 與 統 計 必 修 教 材 綱 要第 二 學 年主 題 主 要 內 容 說 明機 率 與 統 計 (Ⅰ)1. 事 件 與 集 合 1-1 集 合 簡 介 。1-2 樣 本 空 間 與 事 件 。2. 機 率 的 性 質3. 數 學 期 望 值4. 統 計 資 料 的 來 源 4-1 觀 測 研 究 、 抽 樣 調 查 、 實 驗 。 需 介 紹 及 使 用 亂數 表 , 抽 樣 調 查 法 需 含 簡 單 隨 機 抽 樣 法 。5. 分 析 一 維 數 據 5-1 圖 表 編 製 , 數 據 集 中 趨 勢 , 數 據 離 散 趨 勢 , 整合 集 中 與 離 散 趨 勢 , 以 瞭 解 數 據 的 全 貌 。6. 信 賴 區 間 與 信 心水 準 的 解 讀6-1 常 態 分 配 及 68-95-99.7 規 律 。 僅 需 處 理 二 元 資料 , 不 必 引 進 機 率 模 型 , 以 教 學 活 動 瞭 解 信 賴 區 間與 信 心 水 準 的 解 讀 。在 (I), 機 率 課 程 著 重 基 本 機 率 概 念 , 包 括 事 件 與 集 合 、 機 率 的 性 質 、 數 學 計 算 的 期 望 值 。統 計 方 陎 則 是 放 在 統 計 資 料 的 來 源 和 分 析 一 維 數 據 。 藉 此 介 紹 隨 機 概 念 以 及 統 計 相 關 的 觀 測 、抽 樣 和 實 驗 方 法 。 統 計 另 外 一 個 重 點 則 是 介 紹 常 態 分 佈 , 從 離 散 數 據 開 使 , 逐 漸 引 入 連 續 數 據的 分 佈 呈 現 。 最 後 藉 由 二 元 資 料 推 論 到 常 態 分 配 以 及 其 68-95-99.7 的 解 讀 與 意 義 。95 暫 綱 在 機 率 與 統 計 必 修 新 增 信 賴 區 間 與 信 心 水 準 與 其 解 讀 一 節 。 並 提 出 建 議 教 學 活 動應 由 全 班 同 學 以 亂 數 表 來 模 擬 丟 銅 板 的 過 程 , 帶 入 銅 板 正 陎 機 率 信 賴 區 間 的 算 式 , 得 到 各 自 所得 的 信 賴 區 間 。 另 一 重 點 則 是 由 這 教 學 活 動 讓 學 生 所 得 的 信 賴 區 間 涵 蓋 銅 板 正 陎 機 率 的 真 實值 。在 選 修 部 分 ,95 暫 綱 則 是 用 來 加 深 加 廣 必 修 課 程 所 學 的 教 材 內 容 。 並 以 此 選 修 教 材 提 供學 生 銜 接 大 學 相 關 課 程 的 基 礎 知 能 。主 題 主 要 內 容 說 明1. 獨 立 事 件 、 條 件 機率 與 貝 氏 定 理機 率 與 統2. 數 學 期 望 值 與 二 項 2-1 需 與 信 賴 區 間 與 信 心 水 準 的 解 讀 結 合 。計 (Ⅱ)分 配3. 交 叉 分 析 3-1 僅 談 兩 個 變 數 的 情 況 , 需 與 條 件 機 率 相 結 合 。101
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫4. 分 析 二 維 數 據 4-1 散 佈 圖 、 相 關 係 數 、 迴 歸 直 線 與 最 小 帄 方 法 。選 修 部 分 則 是 進 一 步 介 紹 獨 立 事 件 、 條 件 機 率 ( 相 依 事 件 ) 與 貝 氏 定 理 等 進 一 步 機 率 相 關概 念 。 另 外 結 合 數 學 期 望 值 與 二 項 分 配 , 結 合 信 賴 區 間 和 信 心 水 準 的 學 習 概 念 , 解 讀 抽 樣 與 母群 之 間 的 關 連 性 。 另 一 則 是 進 一 步 介 紹 統 計 與 二 維 數 據 有 關 概 念 , 如 散 佈 圖 、 相 關 係 樹 、 回 歸直 線 和 最 小 帄 方 法 等 概 念 。暫 行 綱 要 同 時 針 對 教 材 編 寫 建 議 二 項 分 配 教 學 也 應 以 投 擲 公 帄 銅 板 20 次 。 計 算 落 於 6 次至 14 次 ( 含 ) 的 機 率 值 以 及 5-15 次 之 間 ( 含 ) 的 機 率 值 。 以 及 數 學 期 望 值 與 標 準 差 。 利 用 這樣 來 連 結 信 賴 區 間 與 信 心 水 準 的 概 念 。從 上 述 資 料 可 以 看 出 高 中 機 率 與 統 計 涵 蓋 幾 個 主 要 概 念 , 包 括 隨 機 性 、 常 態 分 配 、 及 二 次分 配 等 。 我 們 進 一 步 說 明 高 中 統 計 與 機 率 的 課 程 內 涵 。 以 隨 機 性 來 說 , 其 主 要 概 念 是 說 明 統 計資 料 的 來 源 , 抽 樣 過 程 所 謂 的 隨 機 性 。 如 Shaughnessy (1992) 以 女 孩 和 男 孩 的 出 生 順 序 為 例 ,許 多 人 相 系 出 生 順 序 為 「 男 女 男 女 男 女 男 女 」 的 機 率 大 於 「 男 男 男 男 男 男 女 女 」。 因 為 前 者 男女 出 生 的 機 率 為 百 分 之 50, 而 後 者 則 男 生 高 於 百 分 之 50。 此 於 機 率 背 後 「 或 然 或 必 然 」 的 哲學 思 維 有 相 當 影 響 性 。 另 外 , 隨 機 性 在 教 材 中 的 展 現 也 是 進 一 步 可 探 討 的 。 觀 察 的 現 象 中 已 經將 隨 機 性 呈 現 或 者 是 需 要 藉 由 形 式 化 或 者 是 隨 機 變 數 的 操 弄 瞭 解 隨 機 性 , 對 學 生 隨 機 性 的 概 念形 成 需 要 進 一 步 探 討 。就 常 態 分 配 和 二 次 分 配 來 說 , 根 據 課 程 內 容 , 教 科 書 的 編 排 可 以 從 引 用 的 情 境 、 公 式 推 導 、近 似 常 態 分 配 及 回 顧 信 賴 區 間 這 四 個 層 陎 來 說 明 。 其 教 學 主 要 是 從 二 次 分 配 出 發 , 介 紹 伯 努 力定 律 以 及 其 背 景 , 逐 漸 推 論 出 當 N 夠 大 時 , 二 項 分 配 會 近 似 於 常 態 分 配 。 當 常 態 分 配 概 念 建立 之 後 , 再 進 一 步 連 結 到 信 賴 區 間 , 以 及 信 賴 區 間 的 計 算 。 建 構 常 態 分 配 之 後 , 進 一 步 以 不 同情 境 資 料 建 構 出 常 態 分 配 的 關 連 性 ( 如 分 配 折 線 圖 近 似 於 鐘 形 曲 線 )。另 就 抽 樣 分 配 的 課 程 來 說 ,95 課 綱 並 未 提 及 抽 樣 分 配 的 課 程 內 容 。 反 倒 是 強 調 利 用 二 維 資料 的 統 計 方 法 分 析 。 但 就 抽 樣 分 配 的 概 念 來 說 , 學 生 很 容 易 產 生 迷 思 概 念 ( 如 : 統 計 量 某 些 數值 比 其 他 數 值 更 容 易 / 不 容 易 從 一 特 定 母 體 中 被 抽 出 )。 即 使 大 學 生 也 對 抽 樣 分 配 存 在 迷 思 概 念( 如 : 知 道 抽 樣 誤 差 小 則 表 示 比 較 可 信 )( 楊 凱 琳 & 林 珊 如 , 2012)。 另 外 ,Chance, del Mas, andGarfield (2005) 強 調 樣 本 與 抽 樣 分 配 的 基 本 知 識 中 央 極 限 定 理 的 重 要 性 。 但 是 其 對 於 整 個 統 計思 維 與 抽 樣 分 配 的 重 要 性 並 沒 有 被 強 調 出 來 。 尤 其 是 中 央 極 限 定 理 如 何 影 響 抽 樣 與 母 群 之 間 的關 連 性 , 更 是 欠 缺 清 楚 的 推 論 說 明 。 因 此 , 學 生 容 易 將 標 準 誤 與 標 準 差 及 母 群 的 標 準 差 混 淆 。99 課 綱 與 95 課 綱 在 課 程 安 排 上 稍 有 調 整 , 但 是 內 容 大 致 相 同 。99 課 綱 ( 教 育 部 , 2009) 將「 機 率 」、「 一 維 數 據 分 析 」、「 二 維 數 據 分 析 」 提 前 到 高 一 進 行 教 學 。 高 二 並 沒 有 機 率 和 統 計 相關 課 程 內 容 。99 課 綱 在 高 三 則 是 標 準 課 程 將 數 學 區 分 為 數 學 甲 ( 自 然 組 學 生 ) 和 數 學 乙 ( 社會 組 學 生 )。 數 學 甲 和 數 學 乙 在 機 率 與 統 計 上 均 先 介 紹 「 隨 機 的 意 義 」 、「 二 項 分 配 」、「 抽 樣與 統 計 的 推 論 」、「 常 態 分 配 」、「 信 賴 區 間 和 信 心 水 準 的 解 讀 」。表 X:99 暫 綱 數 學 甲 、 數 學 乙 選 修 機 率 與 統 計 標 準 課 程 內 容主 題 子 題 內 容 備 註機 率 統 1. 隨 機 的 意 義 1.1 隨 機 的 意 義102
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫計 II2. 二 項 分 佈3. 抽 樣 與 統 計推 論1.2 期 望 值 、 變 異 數 、 標 準 差2.1 獨 立 事 件 、 重 複 試 驗 、 二 項 分 佈 、 二 項 分佈 的 性 質3.1 抽 樣 方 法 : 簡 單 隨 機 抽 樣3.2 亂 數 表3.3 常 態 分 布 、 信 賴 區 間 與 信 心 水 準 的 解 讀3.1 不 含 系 統 抽樣 、 部 落 抽 樣比 較 95 暫 綱 和 99 課 綱 最 大 不 同 之 處 則 是 99 課 綱 強 調 「 隨 機 性 」 的 概 念 。99 課 綱 以 實 際例 子 ( 如 : 丟 銅 板 、 電 話 簿 抽 樣 調 查 、 學 測 成 績 等 ) 介 紹 隨 機 性 ( 不 確 定 性 )。 主 要 目 的 是 希望 自 然 組 和 社 會 組 學 生 均 能 瞭 解 估 記 得 概 念 , 而 不 是 只 學 到 數 學 的 計 算 。 另 外 , 進 一 步 分 析99 課 綱 發 現 ,99 課 綱 更 重 視 機 率 在 統 計 上 的 應 用 。 另 外 , 課 程 內 容 的 安 排 也 將 機 率 移 到 推 論統 計 教 學 之 前 , 奠 定 應 用 到 其 他 學 科 所 需 的 數 學 與 統 計 基 礎 。四 、 研 究 目 標目 前 國 內 有 關 統 計 素 養 的 相 關 研 究 , 除 了 資 訊 科 技 融 入 的 研 究 之 外 , 大 家 獨 立 運 作 , 沒 有達 到 資 訊 整 合 , 以 及 不 同 年 齡 層 的 整 合 研 究 。 同 時 發 現 國 內 學 者 在 進 行 統 計 教 育 相 關 研 究 之後 , 少 有 發 表 在 TSSCI 或 SSCI 之 類 的 期 刊 上 , 也 就 是 統 計 教 育 研 究 人 才 急 需 培 育 , 使 我 國 統 計教 育 研 究 跟 上 國 際 舞 台 。總 計 畫 為 了 達 成 統 計 教 育 人 才 的 培 育 , 以 及 研 究 間 相 關 資 訊 的 整 合 , 發 揮 1+1>2 的 研 究 成果 , 提 出 要 達 成 的 目 標 如 下 :(1) 建 立 各 子 計 畫 可 溝 通 的 帄 台(2) 啟 發 各 子 計 畫 應 用 彼 此 初 步 的 研 究 資 訊(3) 促 成 各 子 計 畫 主 持 人 的 論 文 發 表(4) 形 成 不 同 學 習 階 段 或 不 同 領 域 的 統 計 課 程 綱 要(5) 培 養 統 計 教 育 人 才 : 研 究 與 實 務(6) 透 過 國 際 合 作 交 流 挑 戰 研 究 結 果 的 奇 異 性 與 檢 驗 研 究 結 果 的 一 般 性總 計 畫 在 本 整 合 計 畫 所 扮 演 的 角 色 是 諮 詢 者 、 協 商 媒 介 者 、 擬 定 整 合 目 標 者 與 提 供 資 源者 。 在 建 立 可 溝 通 的 帄 台 上 , 目 前 先 提 出 整 合 的 架 構 作 為 各 子 計 畫 彼 此 討 論 的 基 礎 。 在 啟 發 各子 計 畫 應 用 彼 此 初 步 的 研 究 資 訊 , 總 計 畫 先 規 劃 每 個 月 某 一 個 週 末 的 時 間 , 約 各 子 計 畫 相 聚 討論 , 必 要 時 會 對 各 子 計 畫 的 想 法 進 行 挑 戰 , 以 激 發 研 究 人 員 的 研 究 能 力 。 此 外 也 會 適 時 提 供 各子 計 晝 參 考 資 源 或 可 行 的 研 究 方 向 , 借 此 培 育 各 子 計 畫 在 不 同 向 度 的 統 計 教 育 研 究 人 才 。 必 要時 , 在 研 究 過 程 中 要 求 各 子 計 畫 著 手 進 行 有 質 量 的 論 文 撰 寫 工 作 , 並 在 討 論 會 互 相 質 疑 、 辯 證以 提 高 研 究 人 員 的 論 文 撰 寫 能 力 。總 計 畫 預 計 在 研 究 過 程 中 舉 辦 統 計 課 程 討 論 會 與 說 明 會 , 邀 請 統 計 學 者 、 課 程 設 計 學 者 與本 整 合 研 究 計 畫 的 主 持 人 們 陎 對 陎 提 出 對 現 行 綱 要 的 看 法 , 用 以 形 成 不 同 學 習 階 段 或 不 同 領 域的 統 計 課 程 綱 要 。總 計 畫 也 預 計 在 研 究 成 果 有 些 具 體 成 果 時 , 舉 辦 研 討 會 和 工 作 坊 將 研 究 成 果 和 研 究 者 與 教103
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫學 者 共 同 分 享 和 討 論 。成 人子 計 畫 五 :探 討 教 師 的 統 計 教 學 素 養( 統 計 素 養 / 統 計 思 維 )子 計 畫 三 :青 少 年 統 計 素 養 的 評 量 與 建 構( 統 計 素 養 / 統 計 思 維 )子 計 畫 二 :兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究( 統 計 推 理 / 統 計 思 維 )子 計 畫 一 :統 計 推 論 之 認 知 神 經 發 展 縱 貫 研 究( 統 計 推 理 / 統 計 思 維 )幼 童個 人 認 知環 境 認 知圖 一 各 子 計 畫 與 統 計 教 育 三 環 架 構 之 關 聯 性但 由 於 統 計 思 維 、 統 計 素 養 與 統 計 推 理 三 大 內 涵 層 層 相 扣 , 各 子 計 畫 或 多 或 少 都 與 這 些 概念 有 關 係 , 因 此 僅 就 各 子 計 畫 所 關 心 之 主 要 核 心 進 行 分 類 。 本 整 合 型 計 畫 以 認 知 及 發 展 作 為 兩大 主 軸 , 以 統 計 教 育 核 心 概 念 作 為 出 發 點 , 從 教 與 學 的 角 度 探 討 , 進 而 對 於 統 計 推 理 的 不 確 定性 、 變 異 數 概 念 、 學 生 的 統 計 素 養 及 教 師 的 統 計 教 學 素 養 進 行 研 究 。 在 過 去 兩 年 的 研 究 成 果 當中 , 總 計 畫 對 於 子 計 畫 一 研 究 當 中 「 不 確 定 性 」 思 維 概 念 其 操 作 型 定 義 較 為 模 糊 , 實 驗 當 中 所使 用 的 試 題 並 無 法 讓 不 確 定 性 思 維 有 所 發 揮 。 在 子 計 畫 二 則 建 議 統 計 素 養 應 在 生 活 情 境 中 發揮 , 以 真 實 情 境 了 解 學 生 的 變 異 數 概 念 , 同 時 對 比 文 字 題 與 情 境 題 的 差 異 。 而 子 計 畫 三 則 希 望納 入 情 意 陎 向 對 高 中 生 統 計 素 養 進 行 探 討 。 最 後 , 子 計 畫 五 建 議 分 析 架 構 與 試 題 設 計 應 明 確 釐清 與 定 義 , 現 階 段 的 分 析 有 許 多 灰 色 模 糊 地 帶 。 總 計 畫 延 續 過 去 兩 年 的 模 式 , 對 於 子 計 畫 間 給予 建 議 與 回 饋 , 並 將 資 料 透 過 國 際 評 比 (PISA, TIMMS) 加 以 對 比 或 邀 請 國 際 學 者 來 台 參 與 工 作坊 與 計 畫 成 員 彼 此 意 見 交 流 , 並 由 認 知 與 發 展 兩 個 不 同 維 度 , 對 統 計 教 育 進 行 人 才 培 養 與 資 訊整 合 。五 、 研 究 成 果研 究 成 果1. 三 年 來 針 對 各 子 計 畫 研 究 範 疇 提 供 的 研 究 建 議 包 括104
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫子 計 畫 一 :第 一 年 研 究 歷 程對 初 期 研 究 的 提 問 為 :1. 小 孩 子 陎 對 數 學 問 題 時 , 多 似 仍 使 用 其 數 學 直 覺 在 判 斷 , 或 者 是 使 用 估 算 策 略 , 而 非 使 用不 確 定 性 思 維 , 所 以 是 否 需 要 也 找 出 一 些 估 算 的 frame, 且 針 對 研 究 『 估 算 的 策 略 』 時 , 其研 究 對 象 的 年 齡 層 是 否 需 要 再 拉 高 ?2. 對 於 探 究 不 確 定 性 的 概 念 , 需 要 在 確 定 跟 不 確 定 混 雜 的 情 況 中 去 區 辨 、 去 辨 識 確 定 跟 不 確定 。 在 看 似 隨 機 的 情 境 下 , 要 用 確 定 的 方 法 去 解 不 確 定 的 問 題 ? 不 確 定 性 思 維 是 否 包 括 也帶 進 一 些 可 以 analytical thinking 的 較 為 確 定 的 pattern?3. 在 小 孩 比 較 小 的 時 候 , 感 覺 就 是 一 定 要 透 過 『 視 覺 』 才 願 意 回 答 問 題 , 但 長 大 後 已 經 可 以接 受 透 過 『 觸 覺 』 來 作 答 。 其 實 不 同 的 資 訊 來 源 , 也 會 影 響 到 他 的 確 定 與 不 確 定 性 的 思 考 ,有 沒 有 可 能 透 過 觸 覺 的 方 式 , 去 造 出 不 確 定 的 思 考 是 在 腦 部 哪 一 塊 運 作 ?提 出 的 具 體 建 議1. 要 壓 低 不 確 定 的 隨 機 , 要 不 去 受 他 干 擾 。 其 不 確 定 性 思 維 有 沒 有 包 括 到 說 我 要 去 克 制(inhibit) 那 個 random, 然 後 回 歸 到 analytical thinking, 去 分 析 這 個 問 題 , 這 個 在 不 確 定性 思 維 裡 陎 , 算 是 更 高 階 。2. 設 計 一 些 統 計 的 實 驗 , 控 制 其 變 異 的 程 度 , 以 利 找 出 一 些 可 以 呈 現 出 pattern 的 東 西 。 到 所謂 有 model 出 來 後 , 就 是 已 經 有 一 些 不 只 是 質 性 的 區 辨 而 是 量 化 的 區 辨 了 。3. 研 究 者 應 將 研 究 中 的 圖 形 再 改 變 , 把 一 些 圖 跟 點 重 新 安 排 , 並 找 出 其 他 的 frame 且 重 新 審視 研 究 對 象 的 年 齡 層 是 否 合 適 。4. 子 計 畫 一 以 國 小 學 生 解 簡 單 代 數 方 程 式 的 解 題 歷 程 中 , 研 究 學 生 的 不 確 定 性 思 維 。 但 數 學教 育 文 獻 已 明 顯 指 出 學 生 在 解 代 數 方 程 式 時 , 非 常 可 能 不 需 要 不 確 定 思 維 , 就 能 進 行 解 題活 動 。 尤 其 學 生 在 初 始 階 段 就 能 辨 識 出 解 題 策 略 時 , 解 題 歷 程 可 能 只 剩 下 程 序 性 的 處 理 。子 計 畫 一 應 考 量 認 知 實 驗 使 用 數 學 試 題 的 適 切 性 。5. 統 計 文 獻 近 二 十 年 提 出 相 當 多 學 生 在 機 率 與 統 計 上 的 迷 思 概 念 ( 如 統 計 推 論 的 不 確 定 性 )(Garfield & Ben-Zvi, 2007; Shaughnessy, 2003, 2007)。 建 議 計 畫 主 持 人 分 析 這 些 文 獻 , 找 出更 合 適 探 究 學 生 不 確 定 性 思 維 的 試 題 設 計 。第 二 年 研 究 歷 程1. 子 計 畫 一 應 提 出 不 確 定 性 (uncertainty) 的 操 作 型 定 義 。 所 謂 的 不 確 定 性 是 來 自 於 個 體 參 與 實驗 歷 程 中 , 腦 中 對 於 數 學 題 材 產 生 的 不 確 定 反 應 , 以 及 對 於 這 個 不 確 定 性 反 應 的 處 理 能 力 。2. 子 計 畫 一 分 析 臺 灣 學 生 在 TIMSS 的 數 學 和 統 計 表 現 , 發 現 臺 灣 學 生 的 統 計 表 現 不 如 數 學 。依 此 , 若 比 較 臺 灣 學 生 在 以 數 學 素 養 導 向 的 PISA 評 量 結 果 , 這 個 差 異 性 應 該 更 大 。第 三 年 研 究 歷 程1. 台 灣 學 生 在 TIMSS 四 個 數 學 領 域 的 成 績 排 名 第 一 為 代 數 、 其 次 為 幾 何 , 表 現 最 差 為 資 料 與機 率 。 其 背 後 原 因 跟 台 灣 的 課 程 安 排 有 非 常 大 的 關 連 性 。子 計 畫 二 :第 一 年 研 究 歷 程105
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫對 初 期 研 究 的 提 問 為 :1. 研 究 對 象 對 一 個 不 確 定 性 的 事 件 , 往 往 會 一 直 嘗 試 , 每 一 次 嘗 試 , 試 完 以 後 他 認 為 已 經 確定 了 之 後 , 這 個 過 程 及 現 象 要 如 何 描 述 它 ? 是 不 確 定 性 思 維 的 成 長 , 還 是 介 於 確 定 性 與 不確 定 性 中 間 的 發 展 ? 何 謂 『 不 確 定 性 思 維 的 發 展 』?2. 不 確 定 性 如 何 穩 定 的 被 觀 察 ? 或 者 是 成 長 , 也 可 能 變 成 是 『 消 退 』, 是 否 漸 漸 地 就 會 沒 有 了 ?消 退 是 受 學 校 教 育 數 學 教 育 框 架 的 影 響 ?3. 得 知 三 、 四 年 級 小 學 生 多 會 用 『 大 約 (about)』 或 『 範 圍 (range)』 去 形 容 不 確 定 性 概 念 ,並 且 含 有 變 數 容 忍 上 下 值 (upper and lower bounds) 的 概 念 , 此 可 容 忍 的 範 圍 ( 例 如 ±5)其 根 據 與 想 法 起 源 為 何 ? 要 如 何 描 述 ? 是 該 去 再 訪 談 與 探 究 的 。4. 對 於 研 究 者 很 欣 賞 的 一 訪 談 對 象 , 你 認 為 他 的 思 維 特 質 是 什 麼 ? 要 怎 麼 詮 釋 他 這 樣 的 說明 ? 除 了 要 更 客 觀 之 外 , 要 進 一 步 去 檢 驗 他 是 不 是 真 的 這 樣 ? 所 以 研 究 者 的 詮 釋 為 何 ? 研究 者 本 身 想 法 的 結 構 呢 ? 要 問 的 問 題 的 frame 是 什 麼 ?具 體 研 究 建 議1. 訪 談 後 要 自 己 先 形 成 conjecture, 才 能 客 觀 的 對 訪 談 內 容 做 interpretation。2. 這 研 究 的 關 鍵 可 能 就 在 此 , 若 研 究 者 假 設 它 是 一 個 『 大 數 法 則 』 的 萌 芽 處 , 必 頇 存 有 一 個terminology。 大 數 法 則 不 是 瞭 解 跟 完 全 不 瞭 解 , 裡 陎 一 定 有 個 瞭 解 的 hierarchy, 如 果 要 去研 究 它 , 必 頇 有 個 terminology 出 來 。 現 在 提 到 的 random 概 念 , 研 究 裡 陎 的 variation 沒 有出 來 , 所 以 要 去 分 析 , 小 學 生 在 回 答 之 時 , 基 本 上 他 腦 筋 裡 陎 有 的 概 念 是 什 麼 ? 那 個 元 素很 重 要 , 在 小 學 生 的 不 確 定 性 思 維 發 展 裡 陎 , 是 一 個 很 重 要 的 位 階 , 必 頇 於 訪 談 中 去 確 認 。3. 看 下 一 次 能 不 能 有 hypothetical construction 出 來 , 把 它 整 理 成 結 論 。第 二 年 研 究 歷 程1. 統 計 素 養 強 調 學 生 必 需 在 真 實 情 境 中 , 利 用 統 計 工 具 、 概 念 進 行 相 關 的 推 理 、 評 析 、 判 斷 。研 究 國 小 學 生 變 異 數 概 念 也 應 符 合 統 計 素 養 , 需 以 真 實 情 境 來 檢 測 國 小 學 生 對 變 異 數 的 理解 與 其 概 念 的 發 展 。 建 議 實 際 錄 影 現 實 問 題 ( 如 拍 攝 橘 子 、 一 包 糖 果 等 ) 當 作 訪 談 的 工 具 。直 接 呈 現 物 品 的 測 量 歷 程 ( 秤 、 記 錄 ) 與 資 料 的 變 異 性 ( 如 : 橘 子 如 何 按 照 大 小 做 分 類 )來 瞭 解 學 生 對 變 異 性 的 認 知 。2. 子 計 畫 二 第 一 年 提 出 的 報 告 中 , 有 一 個 試 題 設 計 不 錯 。 題 目 如 下 : 超 市 買 了 紅 豆 一 包 , 這包 紅 豆 約 50 公 克 , 其 他 每 一 包 都 是 幾 公 克 , 販 賣 紅 豆 的 商 家 有 沒 有 欺 騙 消 費 者 ? 這 樣 的 試題 設 計 提 供 學 生 一 個 由 最 後 的 資 料 呈 現 , 反 推 原 始 資 料 變 異 性 的 機 會 。 同 時 , 也 提 供 學 生一 個 思 考 不 確 定 性 (uncertainty thinking) 的 機 會 。3. 另 外 , 建 議 使 用 「 現 實 的 情 境 問 題 」 與 「 文 字 敘 述 的 問 題 」 兩 種 試 題 設 計 , 比 較 學 生 在 這兩 種 試 題 的 變 異 數 概 念 的 理 解 差 異 。檢 視 子 計 畫 二 根 據 上 述 意 見 編 制 實 際 情 境 腳 本 後 , 進 一 步 提 出 的 建 議 包 括 :1. 需 思 考 情 境 問 題 腳 本 中 , 以 小 朋 友 的 對 話 的 方 式 呈 現 變 異 數 概 念 的 相 關 問 題 是 否 是 一 個 好的 呈 現 方 式 ?2. 初 始 設 計 情 境 問 題 腳 本 對 話 的 目 的 是 什 麼 ? 是 要 呈 現 變 異 的 概 念 、 程 序 ? 還 是 呈 現 出 變 異的 另 類 想 法 ? 若 是 能 確 認 對 話 的 目 的 及 背 後 的 理 論 依 據 , 之 後 的 研 究 資 料 分 析 結 果 可 期 。具 體 建 議106
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫1. 子 計 畫 二 由 文 獻 上 架 構 出 主 要 三 個 認 知 變 異 數 的 階 段 , 每 個 階 段 又 從 學 生 的 訪 談 資 料 中 分析 出 細 部 的 層 次 ( 如 noticing) 的 細 部 。 目 前 呈 現 的 資 料 已 經 可 以 看 出 這 些 層 次 的 特 殊 性 ,但 需 進 一 步 思 考 是 否 有 哪 些 認 知 理 論 ( 如 Piaget) 可 以 支 持 這 些 層 次 的 分 類 , 尤 其 用 來 檢測 層 次 之 間 學 生 認 知 的 關 連 性 。2. 由 子 計 畫 二 的 研 究 成 果 , 應 對 臺 灣 現 行 的 國 小 統 計 課 程 提 出 具 體 的 建 議 。3. 目 前 國 內 外 很 少 實 徵 性 的 研 究 , 分 析 國 小 學 生 變 異 數 (variation) 的 概 念 。 子 計 畫 二 研 究 結 果發 表 在 SSCI 或 TSSCI 等 級 期 刊 是 可 以 期 待 的 。第 三 年 研 究 歷 程1. 建 議 子 計 畫 二 採 用 Duval 的 認 知 建 築 來 分 析 學 生 對 情 境 導 向 變 異 性 問 題 的 認 知 行 為 。Duval的 認 知 建 築 (cognitive architecture) 包 含 intentional and automatic, 以 及 這 兩 者 之 間 如 何 轉 換和 其 與 認 知 發 展 的 關 連 性 。 尤 其 , 認 知 建 築 涵 蓋 不 同 表 徵 的 學 習 與 認 知 成 長 之 間 的 具 體 意義 。 以 子 計 畫 二 的 研 究 , 可 以 檢 驗 學 生 如 何 從 automatic 意 識 到 變 異 性 , 並 獲 得 變 異 性 的認 知 images。 然 後 進 到 intentional 裡 , 進 行 不 同 學 習 表 徵 之 間 的 學 習 轉 換 ( 如 : 語 言 、 數字 或 測 量 、 圖 表 )。 依 據 此 , 此 理 論 架 構 可 提 供 子 計 畫 二 一 個 具 體 分 析 學 生 認 知 行 為 的 好 方法 。2. 以 圖 形 表 徵 來 說 , 學 生 認 知 到 的 事 所 有 蘋 果 重 量 數 字 都 是 二 百 多 , 但 是 無 法 從 圖 表 中 解 讀蘋 果 的 重 量 比 200 多 , 但 比 300 少 。 換 句 話 說 , 學 生 沒 有 注 意 到 統 計 圖 表 呈 現 的 中 間 數 。3. 大 部 分 學 生 都 使 用 極 端 值 來 進 行 預 測 。 其 背 後 對 應 到 統 計 思 維 應 進 一 步 分 析 。4. 另 , 此 研 究 應 根 據 研 究 成 果 對 現 場 國 小 統 計 變 異 性 教 學 提 出 具 體 研 究 建 議 。子 計 畫 三 :第 一 年 研 究 歷 程對 初 期 研 究 的 提 問 及 具 體 建 議 :1. 測 出 來 的 『 素 養 』 是 要 真 的 完 全 表 現 出 來 , 不 是 知 道 或 不 知 道 。 知 道 但 沒 有 表 現 出 來 , 不算 ; 沒 有 講 出 來 , 就 當 作 不 算 你 知 道 ,PISA 就 是 這 樣 訂 。 所 以 應 該 要 學 生 主 動 給 出 來 , 沒有 主 動 給 出 來 的 , 有 機 會 訪 談 時 應 要 繼 續 追 問 。2. 現 在 的 高 中 生 的 統 計 素 養 怎 麼 樣 ? 要 盡 可 能 去 素 描 、 刻 畫 在 一 個 frame 裡 陎 。提 出 具 體 建 議1. 於 問 卷 中 其 中 一 題 有 關 全 班 帄 均 身 高 題 目 中 , 題 目 語 意 需 要 再 修 正 的 更 為 明 確 , 以 免 對 學生 閱 讀 與 判 斷 上 造 成 無 法 預 期 的 干 擾 。 並 且 建 議 將 原 本 選 項 『 是 』 與 『 否 』(”Yes” or “No”),其 中 的 『 否 』 全 部 改 成 『 不 確 定 』(“Uncertain”), 再 向 學 生 做 一 次 測 試 與 統 計 , 以 探 究 學生 的 不 確 定 性 概 念 。2. 若 需 描 述 說 『 現 在 高 中 生 的 統 計 素 養 到 底 是 怎 麼 樣 ?』 該 怎 麼 說 ? 就 在 研 究 者 做 完 這 個 調查 之 後 , 要 如 何 告 訴 大 眾 說 我 們 現 在 高 中 生 的 統 計 素 養 是 怎 麼 樣 ? 不 能 太 detail 以 免 一 般大 眾 聽 不 懂 。 要 給 出 frame, 然 後 如 果 按 照 這 個 frame 可 以 看 出 我 們 高 中 生 現 在 大 概 是 怎 樣的 趨 勢 。3. 下 次 一 併 修 題 目 裡 的 term 的 用 法 。第 二 年 研 究 歷 程107
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫1. 應 將 研 究 主 題 及 研 究 問 題 的 英 文 更 改 為 Senior High School Students, 使 其 更 切 合 研 究 對 象的 描 述 。2. 若 能 夠 納 入 情 意 陎 向 的 問 題 , 應 能 更 完 整 的 瞭 解 臺 灣 高 中 學 生 的 統 計 素 養 發 展 。3. 文 獻 已 經 提 出 學 生 對 於 機 率 和 統 計 的 學 習 經 驗 是 不 同 的 , 所 以 對 應 的 自 我 概 念 、 學 習 焦 慮與 學 習 策 略 也 應 該 不 一 樣 。 子 計 畫 三 的 問 卷 設 計 應 該 區 隔 這 兩 個 統 計 內 涵 。4. 能 不 能 看 到 高 中 生 的 統 計 素 養 national-wide 的 全 國 圖 像 , 並 進 一 步 描 繪 出 不 同 素 養 能 力 的學 生 具 備 的 知 識 與 能 力 。5. 提 出 增 進 學 生 統 計 素 養 的 方 針 為 何 。第 三 年 研 究 歷 程1. 從 學 生 在 問 卷 的 答 題 表 現 , 應 進 一 步 澄 清 學 生 的 統 計 素 養 能 力 是 linear order or partialorder。 如 何 定 義 hierarchy 及 確 認 學 生 的 表 現 是 hierarchy。 同 時 , 需 要 確 認 hierarchy 對 統計 及 機 率 的 教 育 意 義 為 何 。2. 施 測 問 卷 內 容 ( 統 計 、 機 率 、 圖 表 、 樣 本 空 間 ) 決 定 試 題 難 度 包 括 :reproduction, connection,and reflection。3. 統 計 測 驗 應 參 考 TIMSS 的 測 量 方 式 , 考 題 除 了 從 出 題 者 的 觀 點 來 進 行 設 計 之 外 , 也 應 該 從學 生 、 統 計 學 家 的 觀 點 來 描 述 。 尤 其 TIMSS 不 單 只 是 能 夠 說 明 各 國 家 學 生 的 表 現 差 異 之外 , 同 時 提 出 高 、 中 、 低 的 benchmark 來 描 述 各 階 段 學 生 能 夠 展 些 什 麼 樣 的 數 學 能 力 。 對應 到 以 統 計 測 驗 或 評 量 方 式 來 檢 驗 學 生 的 機 率 和 統 計 能 力 , 這 是 一 個 好 的 參 考 點 。 因 此 ,測 驗 涵 蓋 的 題 目 應 該 要 依 題 目 內 容 、 主 題 進 行 分 層 , 且 能 夠 清 楚 的 說 明 各 層 次 試 題 要 檢 測的 能 力 為 何 , 將 來 這 些 題 目 就 能 夠 描 述 學 生 具 備 哪 些 統 計 能 力 。子 計 畫 五 :第 一 年 研 究 歷 程對 初 期 研 究 的 提 問 為1. 為 什 麼 研 究 者 要 選 擇 『 分 配 』 作 為 切 入 的 概 念 ?2. 為 什 麼 要 以 『 造 反 例 』 這 樣 的 問 題 來 調 查 ? 造 反 例 為 什 麼 是 這 個 階 段 高 中 老 師 最 需 要 的 ?為 何 要 有 這 樣 的 能 力 ?3. 『 正 確 使 用 公 式 』, 為 什 麼 算 是 重 要 ? 為 什 麼 這 一 件 事 情 反 映 到 說 統 計 是 重 要 的 ?4. 對 於 一 些 訪 談 的 高 中 老 師 的 想 法 , 對 照 到 他 行 為 上 的 表 現 , 不 見 得 是 他 所 想 的 這 樣 子 。 所以 有 些 教 師 的 信 念 會 不 會 有 些 是 錯 的 ?提 出 的 具 體 建 議1. 把 學 生 使 用 的 幾 個 策 略 納 進 來 成 為 幾 個 technique 。 例 如 general 的 知 識 影 響 他 的self-efficiency, 或 teaching efficiency, 再 影 響 到 老 師 的 教 學 行 為 會 怎 麼 樣 , 這 裡 只 要 有 一 、兩 點 出 來 , 研 究 者 的 策 略 才 能 夠 真 正 推 進 。2. 高 中 老 師 講 的 東 西 不 很 合 理 , 後 來 影 響 到 研 究 者 的 分 析 , 那 是 不 對 的 , 所 以 要 捨 棄 它 。3. 針 對 批 判 性 思 維 這 個 主 題 , 這 個 單 元 對 發 展 批 判 性 思 維 跟 這 個 單 元 的 東 西 比 較 能 夠 在 現 實上 實 用 , 就 是 這 兩 點 , 所 以 依 舊 回 歸 到 『 實 用 』。4. 調 查 結 果 出 來 , 教 學 困 難 跟 教 學 行 為 之 間 的 關 係 呢 ? 有 互 動 關 係 才 是 重 點 。108
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫5. 想 策 略 不 要 太 細 節 , 說 幾 個 大 的 問 題 即 可 。 談 統 計 教 育 , 我 們 不 可 能 解 決 很 多 細 節 的 問 題 ,大 問 題 能 夠 解 決 就 不 錯 了 。第 二 年 的 研 究 歷 程1. 研 究 結 果 的 呈 現 已 混 合 教 師 對 統 計 的 認 知 與 研 究 者 的 詮 釋 。 建 議 應 區 分 開 來 , 先 談 教 師 的認 知 , 再 針 對 教 師 的 認 知 提 出 詮 釋 。2. 第 二 層 的 分 類 標 準 不 夠 一 致 , 不 像 同 一 向 度 上 的 元 素 。 建 議 以 原 則 來 定 位 第 二 層 的 分 類 ,並 進 一 步 以 策 略 來 形 成 第 三 層 的 分 類 。3. 子 計 畫 四 應 由 國 高 中 數 學 老 師 的 訪 談 資 料 中 , 架 構 臺 灣 理 想 數 學 教 師 統 計 教 學 所 需 知 識 與信 念 的 藍 圖 。4. 為 何 使 用 學 測 、 基 測 考 題 來 瞭 解 教 師 的 統 計 教 學 思 維 ? 使 用 這 些 試 題 來 瞭 解 教 師 統 計 教 學思 維 是 否 有 其 侷 限 性 ?5. 因 研 究 方 法 與 資 料 的 限 制 性 , 子 計 畫 四 研 究 結 果 的 討 論 應 僅 止 於 教 師 教 學 知 識 與 內 涵 的 發展 , 強 調 教 師 對 統 計 推 理 和 數 學 推 理 的 教 學 差 異 性 , 而 非 將 討 論 層 次 提 高 到 教 科 書 與 統 計課 程 設 計 。第 三 年 的 研 究 歷 程1. 如 何 整 合 不 同 子 研 究 結 果 , 建 構 出 教 師 統 計 教 學 和 統 計 知 識 的 藍 圖 。2. 針 對 統 計 教 學 分 析 , 是 否 涵 蓋 其 他 的 陎 向 , 進 一 步 分 析 教 學 以 及 教 學 對 學 生 統 計 學 習 的 影響 。其 他 參 與 symposium 學 者 激 起 的 研 究 火 花第 一 次 國 際 symposium報 告 學 者 :Professor Lee, Kyeong-Hwa ( 韓 國 )報 告 標 題 :Searching for the meaning of talented performance in reasoning with data andchange對 整 合 型 計 畫 的 啟 發 :1. 韓 國 學 者 類 比 資 優 學 生 數 學 表 現 的 研 究 到 統 計 研 究 上 , 此 領 域 目 前 發 表 的 文 章 還 很 少 , 具有 新 奇 性 。 尤 其 國 際 數 學 評 量 ( 如 PISA) 已 經 發 現 亞 洲 學 生 在 數 學 與 統 計 的 表 現 呈 現 差 異性 , 研 究 資 優 學 生 在 統 計 上 的 表 現 , 更 有 其 立 基 點 與 發 表 的 優 勢 。2. 韓 國 學 者 整 合 不 同 研 究 生 在 資 優 教 育 的 小 研 究 成 果 , 拉 高 層 陎 並 提 出 有 趣 的 研 究 假 設 。 如 :資 優 生 對 數 學 的 興 趣 、 耐 心 與 自 發 性 , 這 些 學 習 特 質 是 否 也 會 出 現 在 統 計 概 念 的 學 習 ? 這樣 的 研 究 合 作 方 式 與 架 高 層 陎 讓 文 章 更 有 發 表 性 的 能 力 , 值 得 我 們 參 考 。第 二 次 國 際 Symposium報 告 者 :Lee, Kyeong-Hwa ( 韓 國 )報 告 標 題 : Discourse-Moulding in statistics education1. 韓 國 學 者 從 本 身 專 長 的 臆 測 (conjecturing) 與 數 學 類 比 (mathematical analogy) 研 究 出 發 , 結合 新 的 學 習 理 論 (discourse), 提 出 新 的 研 究 。 以 這 樣 的 方 式 思 考 新 的 研 究 方 向 , 值 得 我 們 學109
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫習 。2. 澄 清 discourse 對 應 中 文 應 該 是 「 論 語 」。3. 但 韓 國 學 者 以 西 方 課 室 特 有 的 對 話 文 化 來 研 究 東 方 課 室 , 可 能 會 忽 略 東 方 課 室 獨 有 的 靜 默文 化 . Asian students are learning mathematics in silence in classrooms。 建 議 韓 國 學 者 仔 細 考 量learning in silence, especially engaged silence 對 東 方 學 生 數 學 學 習 的 影 響 , 並 以 研 究 結 果 對比 出 東 、 西 方 不 同 的 數 學 學 習 進 路 。4. 學 生 在 課 室 與 教 師 和 其 他 學 生 的 對 話 , 需 仰 賴 他 們 語 言 能 力 。 因 此 , 需 考 量 學 生 語 言 能 力對 此 研 究 的 影 響 。報 告 者 : 鮑 建 生 教 授 ( 中 國 )報 告 標 題 :Grade 1-9 statistics curriculum and teaching in mainland china1. 比 較 中 國 與 美 國 國 中 統 計 教 材 的 差 異 性 。 中 國 統 計 教 材 只 在 七 、 八 年 級 , 試 題 共 40 餘 個 ;而 美 國 則 是 有 200 多 個 試 題 。 但 是 相 較 之 下 , 臺 灣 國 中 統 計 教 材 及 教 科 書 試 題 更 少 , 統 計只 出 現 在 國 三 下 學 期 , 教 材 內 容 包 括 統 計 圖 表 、 直 方 圖 、 統 計 分 配 圖 、 帄 均 數 等 。2. 中 國 統 計 課 程 先 介 紹 uncertainty 然 後 才 是 data, 較 有 利 於 學 生 統 計 概 念 的 學 習 。 而 台 灣 的國 小 課 程 並 沒 有 任 何 不 確 定 性 與 變 異 性 的 教 材 設 計 , 較 不 利 於 學 生 統 計 思 維 的 發 展 。報 告 者 : 李 士 錡 教 授 ( 中 國 )報 告 標 題 : Assessment of probability and statistics in mainland high school1. 台 灣 的 統 計 正 式 放 入 高 中 是 1978 年 , 包 括 相 關 和 線 性 回 歸 。 中 國 高 中 的 統 計 課 程 則 包 括 密度 函 數 、 獨 立 事 件 、 事 件 和 概 念 、 隨 機 變 量 等 。2. 中 國 高 中 給 理 科 學 生 多 學 一 些 統 計 , 但 是 強 調 的 是 數 理 統 計 ; 但 是 台 灣 高 中 的 課 程 設 計 則是 讓 社 會 組 多 學 統 計 , 著 重 在 統 計 結 果 的 解 讀 。3. Statistics is not a subject in mathematics but a kind of art!第 三 次 國 際 symposium報 告 者 :Christine Reiss and Matthias Bernhard ( 德 國 )報 告 標 題 : Probability and statistics in early education (grade 1 –grade 12)1. Presentation shows that the statistics and probability education in German adopted much fromNCTM and moved probability and statistics education from grade 12/13 to grade 6. For example,moving “discrete probability distribution” from grade 12/13 to grade 8 and “relative frequencyand the law of large numbers” from grade 12/13 to grade 6.2. In order to do so, they re-design the curriculum and textbooks accordingly by usingrepresentations that young students can make sense (e.g., diceexperiments for probability)3. Task example (for grade 8): each of these figures are made of foursmall cubes. They were mixed in a bag and one was taken blindly. (1)Determine the probability of getting a unicolored figure. (2)110
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫Determine the probability of getting at least two light colored cubes.4. German used spiral curriculum design as a way to enhance students’ learning of probability andstatistics.5. Compared to German, we introduce Taiwanese students concepts related to probability andstatistics from very late grades. For example, Taiwanese textbook arrange probability in 9 th gradeand teaching usually ignored this part as it is not included in entrance examination. Similarsituations can be found in grade 12.6. Questions to the presentation: teaching statistical concepts in a realistic situation is often morechallenging than drill-oriented teaching. How German overcomes the difficulty? Do parents,students, and teachers argue about the curriculum arrangement?報 告 者 :Christine Reiss and Matthias Bernhard( 德 國 )報 告 標 題 : Children’s understanding of probability concepts1. The study examined basic probability concepts, contingencytable, probability concepts, and contingency table with grade2, 4, and 6 students.2. Here provides examples showing how they examinedstudents’ basic probability concepts and contingency tableanalysis, which kinds of items are new to statistics andprobability education in Taiwan.3. The study presents the solution strategies generated bystudents by do not show how the researchers analyzed thedata.4. Of importance is the study shows that even young elementaryschool children show a basic understanding of experimentaldesigns and of covariation evidence within a particular context.5. Germany students have to develop their statistical reasoning competencies, both with and withoutcontextual support, especially in two-factorial designs.報 告 者 : 劉 美 惠 教 授 、 楊 志 堅 教 授 ( 臺 灣 )報 告 標 題 : Clustering of Asian students’ performance inTIMSS and ICCS studies1. 分 析 學 生 數 學 成 就 表 現 與 數 學 正 向 學 習 態 度 (PAT,positive affective toward mathematics), 顯 示 臺 灣 學 生數 學 表 現 名 列 前 茅 , 但 是 幾 乎 也 是 最 不 喜 歡 數 學 的 國家 之 一 。 研 究 目 標 是 從 統 計 數 據 分 析 來 看 臺 灣 討 厭 數學 的 主 要 原 因 為 何 。 尤 其 其 他 低 成 就 的 國 家 ( 泰 國 、菲 律 賓 、 馬 來 西 亞 、 印 尼 ) 等 國 家 對 數 學 學 習 的 態 度 反 倒 比 臺 灣 好 。111
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫2. 根 據 這 份 數 據 資 料 , 進 一 步 的 研 究 問 題 則 是 如 果 提 升學 生 的 學 習 興 趣 , 會 不 會 高 成 就 國 家 的 表 現 下 降 。 如果 提 升 學 生 數 學 成 就 ( 如 泰 國 等 ), 會 不 會 他 們 的 數學 學 習 態 度 就 降 低 ?3. ICCS 研 究 的 研 究 結 果 : 劉 美 惠 教 授 從 公 民 教 育 出 發探 討 亞 洲 國 家 學 習 習 慣 的 特 質 。 從 參 與 的 五 個 國 家 韓國 、 臺 灣 、 香 港 、 泰 國 、 印 尼 中 選 取 超 過 5000 個 學生 , 瞭 解 各 個 國 家 特 殊 文 化 相 關 的 學 習 特 質 。 他 們 的研 究 架 構 包 括 四 個 層 陎 :civic society and system; civic principles; civic participation; civicidentities表 X:ICCS 研 究 架 構 及 說 明ContentDomainCivic Society and System Civic Principles CivicParticipationValue Strong government Eastern societyBeliefs vs .weak government believe that if for(responsibility of the instance in thegovernment). Western election, if peoplesociety belief that the have relation withgovernment should be the candidate, theylimited. In contrary, In may choose theAsian society, people candidate. But inbelieve that Government the western societyshould be strongis not so obviousGovernment and doeverything for the society.The second one is thestatus and authority(obedience to authorityversus individual will).For example, Asianstudents believe that theyshould obey to teacher,parents and elders opinionand for western societythey might think that theyshould follow what isright.Civic IdentitiesAsian identity,the goodcitizen, socialharmony versussaving face.112
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫Attitudes It has the concept of“undemocratic”government behavior andthe legal system in owncountryThis ask questionabout : do studentsaccept Politianwho hascorruption andwhat are theattitudes orqualification ofThe questionabout: “Do youaccept thepolitician who hascorruption or not?What kind ofattributes ofqualification ofThe question isabout therelationshipbetween Asiancountry and dothey appreciatetheir traditionalculture or not.Politianpolitician4. 研 究 結 果 包 括 :(1) 印 尼 和 泰 國 具 備 較 低 的 公 民 知 識 , 而 臺 灣 和 韓 國 則 是 具 備 較 高 的 公 民知 識 , 但 對 他 們 的 政 府 機 關 信 心 低 。 這 不 同 於 芬 蘭 、 丹 麥 、 瑞 士 、 英 國 等 國 家 同 時 具 備 高公 民 知 識 和 高 信 任 度 。(2) 政 治 人 物 品 德 操 守 方 陎 , 印 尼 和 泰 國 此 方 陎 的 要 求 較 低 ; 而 臺灣 、 韓 國 、 香 港 則 對 政 治 人 物 的 操 守 要 求 高 。(3) 公 家 機 關 的 信 任 度 。 印 尼 、 泰 國 和 香 港對 公 家 機 關 的 信 任 度 高 , 臺 灣 和 韓 國 則 偏 低 。(4) 關 係 ; 同 樣 的 。 印 尼 和 泰 國 在 同 一 群 體 ,而 臺 灣 、 香 港 、 韓 國 則 同 一 群 體 。(5) 香 港 、 韓 國 對 傳 統 文 化 認 同 感 較 低 ; 印 尼 和 泰 國 則是 較 高 。5. 另 一 重 要 研 究 成 果 則 是 亞 洲 國 家 在 數 學 成 就 表 現 與 學 習 態 度 之 間 的 關 連 性 , 與 西 方 參 與 國家 不 同 。 此 對 數 學 教 育 的 改 陏 與 發 展 的 具 體 建 議 又 為 何 呢 ?6. 研 究 問 題 : 如 何 確 認 兩 個 國 際 比 較 資 料 庫 變 項 之 間 異 同 , 以 進 行 二 階 的 資 料 分 析 。六 、 提 出 台 灣 統 計 教 育 的 藍 圖本 整 合 計 畫 最 後 針 對 目 前 台 灣 的 統 計 教 育 課 程 、 教 學 、 與 研 究 提 出 幾 點 建 議 :1. 重 構 臺 灣 統 計 課 程TIMSS 國 際 數 學 評 量 內 容 區 分 為 數 、 代 數 、 幾 何 、 和 數 據 與 機 率 。 比 較 臺 灣 學 生 TIMSS的 歷 年 表 現 可 以 發 現 數 據 和 機 率 是 臺 灣 學 生 表 現 較 弱 的 一 塊 。 以 八 年 級 為 例 , 臺 灣 學 生 在 2007(Mullis, Martin, & Foy, 2008) 和 2011 評 比 , 代 數 和 幾 何 均 為 全 世 界 第 一 ; 數 則 是 排 名 第 三 。 統計 在 2007 則 是 排 名 第 四 ;2011 排 名 第 三 。 資 料 顯 示 臺 灣 學 生 在 數 據 和 機 率 的 表 現 不 若 其 他 數學 內 涵 表 現 來 得 好 。 甚 至 與 評 比 排 名 相 似 的 韓 國 ( 韓 國 在 數 據 和 機 率 的 表 現 第 一 ) 落 後 頗 多 。因 此 , 本 研 究 建 議 重 新 架 構 台 灣 統 計 課 程 的 目 標 與 內 容 。 以 PISA 提 出 的 數 學 素 養 為 主 軸 , 如歐 洲 國 家 ( 如 : 丹 麥 ) 進 行 課 程 改 陏 。 改 陏 重 點 為 培 養 學 生 統 計 素 養 (statistical literacy) 而 非 單純 知 識 獲 得 與 運 算 。在 此 論 述 之 下 , 不 確 定 性 思 維 、 變 異 性 思 維 、 統 計 推 論 應 成 為 課 程 設 計 與 規 劃 的 三 大 主 軸 。此 三 大 個 主 軸 應 同 時 含 括 國 小 、 國 中 和 高 中 課 程 , 提 供 連 續 性 與 一 致 性 的 課 程 安 排 。 尤 其 變 異性 與 不 確 定 性 思 維 應 在 國 中 、 小 開 始 養 成 。 課 程 規 劃 強 調 從 生 活 情 境 出 發 , 如 何 將 真 實 情 境 歸納 、 轉 換 成 特 定 數 值 的 思 維 和 推 論 歷 程 。 而 非 只 讓 學 生 運 算 已 經 分 類 後 的 數 據 或 表 格 而 已 。 後者 容 易 讓 學 生 將 統 計 看 成 固 定 數 值 , 進 行 純 數 學 運 算 , 無 法 覺 知 背 後 的 變 異 性 思 維 。 換 句 話 說 ,依 據 課 程 綱 要 規 劃 的 教 科 書 , 也 應 避 免 只 是 使 用 統 計 題 材 布 置 學 習 情 境 , 實 際 的 學 習 內 涵 仍 落113
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫在 確 定 思 維 下 的 數 字 運 算 。另 一 關 注 的 重 點 則 是 國 際 數 學 評 比 顯 示 學 後 生 的 百 分 比 。 比 較 亞 洲 名 列 前 茅 的 幾 個 國 家 ,發 現 臺 灣 後 段 學 生 的 百 分 比 比 其 他 國 家 都 來 得 高 。 雖 然 , 教 育 部 已 於 2007 年 提 出 「 攜 手 計 畫 」,擴 大 學 後 生 課 後 輔 導 , 進 行 補 救 教 學 。 但 最 新 2011 年 TIMSS 的 報 告 書 中 , 我 們 後 段 生 的 百 分比 降 低 程 度 仍 不 若 當 初 預 期 理 想 。 歸 咎 原 因 可 能 在 於 目 前 補 救 教 學 方 式 的 妥 切 性 。 對 學 後 生 而言 , 補 救 教 學 不 應 該 是 正 常 課 室 教 學 的 重 教 而 已 。 教 師 應 要 檢 視 學 生 的 先 備 知 識 及 迷 思 概 念 的產 生 原 因 , 並 以 此 為 教 學 的 出 發 點 , 規 劃 可 行 的 教 學 內 涵 進 行 實 際 教 學 。 教 學 活 動 應 強 調 學 生的 主 動 性 , 且 在 學 生 能 夠 理 解 的 邏 輯 思 考 下 , 逐 一 帶 領 他 們 思 考 數 學 , 建 構 數 學 概 念 。 這 樣 才有 機 會 幫 助 他 們 學 好 數 學 。 但 是 這 樣 的 教 學 負 荷 、 時 間 規 劃 、 以 及 教 師 教 學 知 識 與 教 學 能 力 的需 求 應 重 新 反 省 與 考 量 。2. 思 維 如 何 在 “ 確 定 性 ” 的 考 試 導 向 下 , 設 計 涵 蓋 “ 不 確 定 性 ” 思 維 試 題 的 可 能 性 。考 試 領 導 教 學 、 影 響 學 習 一 直 是 臺 灣 教 育 的 重 要 特 質 。 在 目 前 統 計 教 育 考 試 偏 向 技 術 性 測驗 之 下 , 推 重 動 不 確 定 性 思 維 、 變 異 性 思 維 和 統 計 推 論 的 教 學 , 可 預 期 成 效 必 大 受 影 響 。 尤 其 ,不 確 定 思 維 通 常 沒 有 標 準 答 案 , 如 何 在 統 一 的 考 試 制 度 下 , 評 量 這 樣 的 思 維 成 為 統 計 教 育 陎 臨的 困 難 點 之 一 。 同 樣 的 , 變 異 性 的 思 維 概 念 , 如 果 只 著 重 數 字 運 算 , 也 無 法 檢 測 出 學 生 是 否 具備 變 異 性 的 思 維 能 力 。 因 此 , 統 計 教 育 當 前 重 點 工 作 之 一 應 是 發 展 檢 測 學 生 不 確 定 思 維 、 變 異性 思 維 、 統 計 推 論 的 測 驗 工 具 。 以 德 國 的 研 究 為 例 , 使 用 contingency table 讓 國 中 小 學 生 進 行統 計 推 論 , 或 許 是 一 個 好 的 檢 測 進 路 。3. 教 師 統 計 教 學 相 關 知 識 與 教 學 能 力 之 建 言 。以 統 計 素 養 為 依 歸 的 統 計 教 育 對 現 場 教 師 本 身 來 說 也 是 一 大 挑 戰 。 從 研 究 上 來 看 , 臺 灣 教師 缺 乏 對 統 計 素 養 的 瞭 解 , 也 無 法 進 行 以 統 計 素 養 為 本 的 教 學 活 動 。 比 如 說 : 研 究 訪 談 發 現 高中 老 師 無 法 解 釋 清 楚 , 從 古 典 統 計 來 解 釋 信 賴 區 間 和 以 貝 氏 統 計 解 釋 , 其 學 生 統 計 素 養 能 力 的影 響 為 何 。 國 中 、 小 老 師 進 行 資 料 制 表 歷 程 時 , 也 未 能 清 楚 說 明 製 表 的 目 的 、 背 後 的 變 異 性 思維 , 以 及 使 用 圖 表 推 論 的 意 涵 ( 如 : 從 天 氣 的 圖 表 可 以 預 測 明 天 是 不 是 要 雨 傘 )。我 們 臆 測 數 學 教 師 極 可 能 以 代 數 、 算 術 思 維 解 讀 統 計 教 材 。 舉 例 說 明 : 我 們 在 數 學 科 輔 導員 工 作 坊 提 問 下 陎 問 題 :「 甲 、 乙 兩 人 投 籃 , 甲 投 中 13 顆 , 乙 投 中 15 顆 。 請 問 誰 的 命 中 率 比較 高 ?」。 在 場 數 學 科 輔 導 員 的 回 答 偏 向 於 假 定 某 一 投 籃 總 數 , 然 後 進 行 純 數 字 運 算 。 但 基 本上 , 回 答 這 個 題 目 必 頇 考 量 現 實 上 各 種 不 同 的 可 能 性 , 以 及 其 可 能 性 發 生 的 機 率 為 何 。 然 後 才能 進 一 步 進 行 推 論 與 運 算 。 由 這 例 子 可 看 出 「 代 數 運 算 思 維 」 主 導 臺 灣 數 學 教 師 的 教 學 假 設 的合 理 性 。 在 實 際 教 學 時 , 不 確 定 性 的 統 計 思 維 並 未 成 為 他 們 解 讀 情 境 與 教 學 的 重 要 方 向 。 教 師極 可 能 認 為 統 計 思 維 並 不 是 教 學 重 點 。 在 此 之 下 , 推 動 以 統 計 素 養 為 本 的 統 計 教 育 及 需 要 培 養現 場 教 師 此 方 陎 的 專 業 知 能 。4. 實 際 統 計 資 料 的 使 用統 計 教 育 試 圖 由 學 生 自 己 或 藉 由 科 技 輔 助 來 產 生 現 實 的 資 料 , 藉 由 資 料 產 生 歷 程 , 促 發 其瞭 解 資 料 的 變 異 性 , 並 認 知 到 使 用 統 計 方 法 進 行 分 析 、 評 判 的 需 求 。 但 是 由 Chick 和 Pierce 的研 究 (2012) 可 以 發 現 統 計 教 育 目 前 的 大 問 題 並 不 在 於 資 料 是 給 定 的 , 還 是 由 學 生 產 生 的 。 重點 是 教 師 如 何 辨 識 資 料 的 功 能 性 (affordances)。 知 道 資 料 與 背 後 統 計 概 念 連 結 的 適 切 性 以 及 可以 發 展 出 哪 些 高 層 次 的 統 計 問 題 以 提 升 學 生 的 統 計 素 養 (Watson & Callingham, 2003)。114
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫七 、 國 際 合 作 研 究 大 綱研 究 名 稱 : 以 統 計 素 養 為 核 心 , 從 分 析 臺 灣 、 韓 國 、 德 國 三 個 國 家 課 程 及 教 科 書 , 提 出 臺 灣 統計 課 程 的 具 體 修 改 方 向研 究 大 綱一 、 臺 灣 學 生 在 國 際 統 計 學 習 表 現 評 比 分 析1. 臺 灣 學 生 的 學 習 問 題• 國 際 數 學 評 比 TIMSS 和 PISA 代 數 比 其 他 國 家 好 , 但 是 統 計 比 其 他 表 現 前 幾 名 的 國 家弱 ( 如 : 韓 國 、 日 本 )。• 從 TIMSS (high, average, and low) benchmark 描 述 臺 灣 學 生 的 統 計 表 現 , 及 臺 灣 統 計 教育 的 缺 失 。2. 臺 灣 數 學 教 師 的 PCK 和 CK 都 強 (TEDS-M), 那 統 計 教 學 能 力 呢 ?二 、 臺 灣 統 計 教 學 現 況 調 查 分 析1. 臺 灣 國 小 、 國 中 、 高 中 教 師 統 計 教 學 的 觀 點 分 析• 以 數 學 確 定 性 思 維 和 計 算 思 維 進 行 統 計 教 學 。• 本 身 統 計 知 識 與 統 計 教 學 知 識 的 不 足 。三 、 臺 灣 、 韓 國 、 德 國 課 程 與 教 科 書 分 析1. 三 個 國 家 統 計 課 程 分 析2. 三 個 國 家 教 科 書 分 析 , 分 析 重 點• 以 統 計 或 數 學 思 維 為 主 , 進 行 教 材 編 輯• 統 計 教 材 使 用 context 分 析 ( 真 實 性 , 擬 真 實 性 )• 教 學 取 向 的 不 同 ( 如 : 德 國 小 學 教 材 包 括 教 列 聯 表 , 與 臺 灣 一 般 描 述 性 統 計 表 格 差 異很 大 。 列 聯 表 與 其 他 學 科 的 關 連 性 )3. 教 科 書 分 析 重 點 包 括 variation, uncertainty, sampling, and algebra 的 概 念 呈 現 。四 、 探 討 統 計 教 學 的 兩 個 進 路 與 其 對 學 生 統 計 學 習 的 影 響1. 以 真 實 資 料 為 教 材 的 教 學 進 路 ( 如 : 真 實 選 舉 資 料 )2. 以 擬 真 實 資 料 為 情 境 的 教 學 進 路 。( 如 : 青 春 痘 擦 藥 )是 不 一 樣 的 思 考 模 式 )五 、 對 臺 灣 統 計 教 育 提 出 建 言 與 努 力 方 向1. 臺 灣 統 計 教 育 課 程 主 軸 需 要 重 新 架 構2. 如 何 將 統 計 課 程 的 重 要 概 念 ( 如 : 不 確 定 思 維 ) 提 早 學 習 , 學 習 的 進 路 為 何 。3. 提 出 教 師 所 需 統 計 素 養 教 學 知 識 與 教 學 力 的 具 體 意 涵 。參 考 文 獻Biggs, J. B., & Collis, K. F. (1991). Multimodal learning and the quality of intelligent behaviour. InH. A. H. Rowe (Ed.), Intelligence: Reconceptualization and measurement (pp. 57-76).115
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫Hillsdale, N.J: Lawrence Erlbaum.Carmichael, C. (2010). Measuring middle school students†interest in statistical literacy.Mathematics Education Research Journal, 22(3), 9.Carmichael, C., Callingham, R., Hay, I., & Watson, J. M. (2010). Statistical literacy in teh middleschool: The relationship between interest, self-efficacy and prior mathematics achievement.Austrian Journal of Educaiton & Developmental Psychology, 10, 83-93.Chance, B., del Mas, R., & Garfield, J. (2005). Reasoning about Sampling Distribitions. In D.Ben-Zvi & J. Garfield (Eds.), The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoningand Thinking (pp. 295-323): Springer Netherlands.Duval, R. (2000). Basic issues for research in mathematics education. Paper presented at the 24thConference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education,Hiroshima, Japan.Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics-An educational approach. Dordrecht: D.Reidel Publishing Company.Fischbein, E., Nello, M., & Marino, M. (1991). Factors affecting probabilistic judgements in childrenand adolescents. Educational Studies in Mathematics, 22(6), 523-549. doi:10.1007/bf00312714Gal, I. (2005). Statistical Literacy. In D. Ben-Zvi & J. Garfield (Eds.), The Challenge of DevelopingStatistical Literacy, Reasoning and Thinking (pp. 47-78): Springer Netherlands.Garfield, J. (2002). The challenge of developing statistical reasoning. Journal of statistics education,10(3), 58.Garfield, J., & Ben-Zvi, D. (2007). How students learn statistics revisited: A current review ofresearch on teaching and learning statistics. International Statistical Review, 75(3), 372-396.Gigenenzer, G. (1998). We need statistical thinking, not statistical rituals. Behavioral and BrainSciences, 21(2), 199-200.Hastie, T., Tibshirani, R., Friedman, J., & Franklin, J. (2005). The elements of statistical learning:data mining, inference and prediction. The Mathematical Intelligencer, 27(2), 83-85. doi:10.1007/bf02985802Jones, G., Langrall, C., Mooney, E., & Thornton, C. (2005). Models of Development in StatisticalReasoning. In D. Ben-Zvi & J. Garfield (Eds.), The Challenge of Developing Statistical116
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫Literacy, Reasoning and Thinking (pp. 97-117): Springer Netherlands.Jones, G. A., Thornton, C. A., Langrall, C. W., Mooney, E. S., Perry, B., & Putt, I. J. (2000). Aframework for characterizing children's statistical thinking. Mathematical thinking andlearning, 2(4), 269.Kahneman, D., Slovic, P., & Tversky, A. (1982). Judgment under uncertainty: Heuristics and biases.Cambridge: Cambridge Unversity Press.Lajoie, S. P., Jacobs, V. R., & Lavigne, N. C. (1995). Empowering children in the use of statistics.The Journal of Mathematical Behavior, 14(4), 401-425. doi: 10.1016/0732-3123(95)90039-xLin, F.-L., & Tsao, L.-C. (1999). Exam math re-examined. In C. Hoyles, C. Morgan & G. Woodhouse(Eds.), Rethinking mathematics curriculum (pp. 228-239). London: Falmer Press.Liu, T. C., Lin, Y. C., & Tsai, C. C. (2009). Identifying misconceptions about statistical correlationand their possible causes among high school students: An exploratory study using conceptmapping with interviews. International Journal of Science and Mathematics Education, 7(4),791-820.Moore, D. S. (1997). New pedagogy and new content: The case of statistics. International statisticalreview, 65(2), 123.Mullis, I. V. S., Martin, M. O., & Foy, P. (2008). TIMSS 2007 international mathematics report.Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College.OECD. (2009). PISA 2009 Assessment framework: Key competencies in reading, mathematics andscience Retrieved from http://www.oecd.org/dataoecd/11/40/44455820.pdfdoi:http://www.oecd.org/dataoecd/11/40/44455820.pdfOnstenk, J. (1995). Work-based learning in organisational change in the process industry. VocationalTraining, 5, 33-39.Pfannkuch, M., & Wild, C. (2005). Towards an Understanding of Statistical Thinking. In D. Ben-Zvi& J. Garfield (Eds.), The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning andThinking (pp. 17-46): Springer Netherlands.Piaget, J., & Inhelder, B. (1967). The child's conception of space. New York: The Norton Library.Rosenberg, M. S., & Anderson, C. D. (2011). PASSaGE: Pattern Analysis, Spatial Statistics andGeographic Exegesis. Version 2. Methods in Ecology and Evolution, 2(3), 229-232. doi:10.1111/j.2041-210X.2010.00081.x117
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫Roth, W.-M., & Lawless, D. V. (2002). Signs, deixis, and the emergences of scientific explanation.Semiotica, 138(1), 95-130.Rumsey, D. J. (2002). Statistical literacy as a goal for introductory statistics courses. Journal ofstatistics education, 10(3), 6.Sedlmeier, P. (1999). Improving statistical reasoning: Theoretical models and practical implications.Mahwah, NJ: Erlbaum.Sedlmeier, P. (2000). How to improve statistical thinking: Choose the task representation wisely andlearn by doing. Instructional science, 28(3), 227.Shaughnessy, J. M. (1992). Research in probability and statistics: Reflections and directionsHandbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the NationalCouncil of Teachers of Mathematics (pp. 465-494). New York, NY, England: MacmillanPublishing Co, Inc.Shaughnessy, J. M. (2003). Research on students' understanding of probability. In J. Kilpatric, W. G.Martin & D. Schifter (Eds.), A research companion to principles and standards for schoolmathematics (pp. 216-226). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.Shaughnessy, J. M. (2007). Research on statistics learning and reasoning. In F. K. Lester (Ed.), Thesecondary handbook of research on mathematics (Vol. 2, pp. 957-1010). REston, VA:National Council of Teachers of Mathematics.Skovsmore, O. (1994). Towards a philosoply of critical mathematics education. Dordrecht: KluwerAcademic Publishers.Snee, R. D. (1990a). Statistical thinking and its contribution to total quality. The AmericanStatistician, 44(2), 116-121.Snee, R. D. (1990b). Statisticians must develop data-based management and improvement systems aswell as create measurement systems. Comments on "using statistics and statistical thinking toimprove organizational performance" by S.B. Dransfield, N.I. Fisher, and N. J. Vogel.International statistical review, 67, 99-150.Snee, R. D. (1999). Discussion: Development and use of statistical thinking: A new era. Internationalstatistical review, 67(3), 255.Stohl, H. (2005). Probability in Teacher Education and Development. In G. Jones (Ed.), ExploringProbability in School (Vol. 40, pp. 345-366): Springer US.Wallman, K. K. (1993). Enhancing Statistical Literacy: Enriching Our Society. Journal of the118
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫American Statistical Association, 88(421), 1-8.Watson, J. M. (1997). Assessing statistical thinking using the media. In I. Gal & J. Garfield (Eds.),The assessment challenge in statistics education (pp. 107-121). Amsterdam: IOS Press andThe International Statistical Institute.Watson, J. M., & Callingham, R. (2003). Statistical literacy: A complex hierarchical construct.Statistics Education Research Journal, 2(2), 3-46.Wild, C. J. (1999). Statistical thinking in empirical enquiry. International statistical review, 67(3),223.余 文 卿 . (1999). 漫 談 高 中 數 學 新 課 程 . 數 學 傳 播 , 23(1), 52-56.李 坤 崇 . (2010). 高 中 課 程 99 課 綱 與 95 暫 綱 之 分 析 . 教 育 資 料 與 研 究 雙 月 刊 , 92, 1-24.邱 婉 嘉 . (2010). 臺 灣 與 美 國 高 中 信 賴 區 間 單 元 教 材 內 容 之 分 析 比 較 . 碩 士 , 國 立 臺 灣 師 範 大 學 ,台 北 .張 少 同 . (2005). 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 的 詮 釋 : 國 中 統 計 部 分 。: 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題研 究 成 果 報 告 .張 少 同 . (2007a). 中 學 數 學 教 師 專 業 發 展 指 標 之 研 究 ─ 子 計 畫 三 : 中 學 數 學 教 師 統 計 思 維 發 展指 標 之 研 究 (2/3): 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 .張 少 同 . (2007b). 青 少 年 數 學 概 念 「 學 習 與 教 學 」 之 研 究 ─ 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 概 念 「 學 習與 教 學 」 之 研 究 (3/3): 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 .教 育 部 . (2003). 九 年 一 貫 課 程 數 學 領 域 綱 要 . 台 北 市 : 作 者 .教 育 部 . (2004). 普 通 高 級 中 學 課 程 暫 行 綱 要 . 台 北 : 未 出 版 .教 育 部 . (2009). 普 通 高 級 中 學 課 程 綱 要 . 台 北 : 未 出 版 .陳 仁 義 . (2006). 非 中 心 化 t 統 計 分 配 的 計 算 法 研 究 : 南 華 大 學 資 訊 管 理 學 研 究 所 .陳 幸 枚 . (2004). 九 年 一 貫 數 學 能 力 指 標 的 詮 釋 ─ 國 小 統 計 。: 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究計 畫 成 果 報 告 .陳 幸 枚 . (2005). 國 小 統 計 圖 表 解 讀 之 教 學 研 究 ─ 與 「 社 會 」 和 「 自 然 與 生 活 科 學 」 課 程 之 連 結 。:行 政 院 國 交 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 .陳 幸 枚 . (2007). 從 報 章 雜 誌 中 統 計 訊 息 的 理 解 探 究 國 民 基 本 統 計 素 養 : 行 政 院 國 交 科 學 委 員會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 .119
林 福 來 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 總 計 畫楊 凱 琳 , & 林 珊 如 . (2012). 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 . 台 北 :國 科 會 .羅 夢 娜 . (2005). 機 率 概 念 與 應 用 網 路 學 習 研 究 . 台 北 : 國 立 中 山 大 學 應 用 數 學 系 ( 所 ).120
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 ■ 成 果 報 告□ 期 中 進 度 報 告統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 -- 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料變 異 概 念 之 發 展 研 究計 畫 類 別 :□ 個 別 型 計 畫 ■ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 98-2511-S-152-001-M執 行 期 間 : 2009 年 08 月 1 日 至 2012 年 07 月 31 日執 行 機 構 及 系 所 : 國 立 台 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育 學 系計 畫 主 持 人 : 陳 幸 玫共 同 主 持 人 : 鍾 靜計 畫 參 與 人 員 : 許 沛 婷成 果 報 告 類 型 ( 依 經 費 核 定 清 單 規 定 繳 交 ):□ 精 簡 報 告 ■ 完 整 報 告本 計 畫 除 繳 交 成 果 報 告 外 , 另 須 繳 交 以 下 出 國 心 得 報 告 :□ 赴 國 外 出 差 或 研 習 心 得 報 告□ 赴 大 陸 地 區 出 差 或 研 習 心 得 報 告■ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告□ 國 際 合 作 研 究 計 畫 國 外 研 究 報 告處 理 方 式 : 除 列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,□ 一 年 ■ 二 年 後 可 公 開 查 詢中 華 民 國 101 年 11 月 02 日121
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究目 錄一 、 前 言二 、 研 究 目 的三 、 文 獻 探 討( 一 ) 變 異 概 念( 二 ) 數 學 概 念 表 徵四 、 研 究 方 法( 一 ) 研 究 工 具 的 理 論 架 構 和 內 容 設 計( 二 ) 研 究 對 象( 三 ) 資 料 收 集 和 分 析 方 法五 、 晤 談 資 料 整 理 結 果( 一 ) 變 異 概 念 --- 察 覺 變 異 的 無 所 不 在 、 接 受 變 異 的 存 在( 二 ) 變 異 概 念 --- 以 統 計 圖 或 計 算 統 計 量 表 徵 變 異 程 度 , 以 作 為 比 較 、 決 策 或 估 計 的 依 據( 三 ) 變 異 概 念 --- 解 釋 變 異 的 原 因 或 對 變 異 表 徵 的 影 響( 四 ) 變 異 概 念 訪 談 回 應 之 表 現 分 佈六 、 結 論( 一 ) 變 異 概 念 認 知 層 次 表 現 特 徵( 二 ) 表 徵 和 變 異 概 念 的 歸 納七 、 參 考 文 獻八 、 計 畫 成 果 自 評122
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究摘 要本 研 究 計 畫 共 三 年 , 以 國 小 一 ~ 五 年 級 兒 童 為 研 究 對 象 , 第 一 年 發 展 晤 談 工 具 , 第 二 年 和 第 三 年進 行 晤 談 , 採 質 性 縱 貫 法 收 集 資 料 , 藉 由 所 設 計 的 研 究 工 具 , 將 兒 童 於 真 實 情 境 中 所 經 驗 或 感 受 到 的變 化 現 象 , 透 過 影 像 、 數 字 、 圖 形 的 轉 譯 , 誘 導 並 探 究 兒 童 可 能 存 在 於 心 智 中 的 變 異 概 念 。 本 研 究 將變 異 概 念 分 成 三 個 面 向 :「 察 覺 變 異 的 無 所 不 在 、 接 受 變 異 的 存 在 」、「 以 統 計 圖 或 計 算 統 計 量 表 徵 變異 程 度 , 以 作 為 比 較 、 決 策 或 估 計 的 依 據 」、「 解 釋 變 異 的 原 因 或 對 變 異 表 徵 的 影 響 」, 在 各 個 面 向 下 ,歸 納 變 異 概 念 四 個 認 知 層 次 :「 無 變 異 概 念 」、「 不 一 致 的 變 異 概 念 」、「 量 化 的 變 異 概 念 」、「 分 析 的 變異 概 念 」 的 表 現 特 徵 , 並 分 析 不 同 表 徵 對 不 同 面 向 之 變 異 概 念 表 現 的 關 係 , 其 中 在 「 察 覺 變 異 的 無 所不 在 、 接 受 變 異 的 存 在 」 中 以 圖 形 表 徵 表 現 最 好 、 在 「 以 統 計 圖 或 計 算 統 計 量 表 徵 變 異 程 度 , 以 作 為比 較 、 決 策 或 估 計 的 依 據 」 中 以 圖 形 表 徵 表 現 最 差 。關 鍵 字 : 變 異 概 念 、 數 學 表 徵 、 認 知 層 次123
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究一 、 前 言生 活 中 為 了 瞭 解 不 確 定 的 事 件 和 現 象 , 例 如 氣 溫 、 降 雨 量 、 出 生 率 等 , 於 是 收 集 資 料 , 試 圖 藉 由資 料 的 呈 現 找 出 規 律 。 由 於 許 多 預 期 或 非 預 期 因 素 的 影 響 , 使 得 所 收 集 到 的 資 料 呈 現 不 確 定 性 的 變 化而 無 法 預 期 , 因 此 人 們 開 始 試 圖 描 繪 和 測 量 此 不 確 定 性 的 變 化 , 了 解 其 來 源 或 產 生 的 原 因 , 思 考 如 何控 制 以 降 低 其 不 確 定 性 。 統 計 的 發 展 即 是 為 了 整 理 和 分 析 這 些 不 確 定 變 化 的 資 料 , 從 中 找 出 可 能 的 特徵 、 關 係 或 趨 勢 , 以 作 為 判 斷 、 決 策 和 推 論 的 依 據 。Reading 和 Reid (2004) 定 義 變 異 度 (variation) 為 變 化 的 程 度 , 變 化 性 (variability) 為 變 化 的 特 性 ; 當觀 察 的 現 象 或 事 件 具 有 變 化 的 特 性 , 則 需 要 度 量 此 變 化 的 程 度 , 包 括 記 錄 、 分 類 、 整 理 、 製 作 統 計 圖和 計 算 統 計 量 數 等 。 本 研 究 定 義 為 了 描 述 、 表 徵 、 辨 識 和 預 測 變 化 而 度 量 變 化 的 程 度 , 進 行 此 程 序 所需 具 備 的 概 念 即 為 變 異 概 念 。Watson 和 Kelly (2002) 認 為 變 異 是 統 計 的 核 心 ; 許 多 學 者 亦 建 議 統 計 素養 (statistical literacy) 和 統 計 思 維 (statistical thinking) 的 培 養 應 從 察 覺 真 實 情 境 中 的 變 化 並 探 索 其 變 異開 始 (Ben-Zvi 和 Garfield,2004)。兒 童 的 變 異 概 念 或 許 無 法 清 晰 地 呈 現 出 來 , 但 是 兒 童 對 於 環 境 事 物 的 隨 機 變 化 確 實 可 能 存 在 於其 心 智 。 在 真 實 情 境 中 , 人 們 透 過 視 覺 、 聽 覺 、 觸 覺 、 味 覺 等 來 感 受 自 然 和 社 會 環 境 中 的 變 化 , 藉 由感 覺 經 驗 的 累 積 和 系 統 性 的 方 法 將 這 些 變 化 轉 化 為 語 言 、 符 號 、 圖 形 等 予 以 記 錄 、 測 量 、 解 釋 , 使 達到 溝 通 的 目 的 , 進 而 內 化 為 自 身 的 概 念 , 並 期 望 能 在 此 感 覺 、 轉 化 和 內 化 的 過 程 中 , 建 構 對 變 異 有 一致 性 和 一 般 性 的 理 解 。九 年 一 貫 數 學 領 域 課 程 綱 要 國 小 部 份 的 統 計 能 力 指 標 包 括 分 類 、 畫 記 整 理 和 統 計 圖 表 ( 教 育 部 ,2003), 在 分 年 細 目 的 說 明 中 較 著 墨 於 整 理 、 記 錄 和 表 徵 變 化 的 技 巧 , 關 於 「 為 了 描 述 、 表 徵 、 辨 識和 預 測 變 化 而 度 量 變 化 的 程 度 」 的 變 異 概 念 則 沒 有 特 別 突 顯 。 雖 然 統 計 課 程 並 非 立 基 於 變 異 概 念 的 觀點 來 設 計 , 但 自 然 和 社 會 環 境 中 的 變 化 無 處 不 在 , 因 此 我 們 期 望 國 小 學 生 在 學 習 統 計 課 程 時 或 之 後 ,自 發 性 地 將 自 身 在 環 境 中 對 變 化 的 經 驗 和 感 覺 , 轉 化 為 統 計 課 程 所 學 習 的 內 容 , 最 後 可 內 化 為 變 異 概念 。 此 應 有 利 於 學 生 學 習 更 進 階 的 統 計 , 並 理 解 其 內 涵 , 進 而 建 構 統 計 思 維 。二 、 研 究 目 的本 研 究 計 畫 共 三 年 , 以 國 小 一 ~ 六 年 級 兒 童 作 為 研 究 對 象 , 藉 由 所 設 計 的 研 究 工 具 , 將 兒 童 於 真實 情 境 中 所 經 驗 或 感 受 到 的 變 化 現 象 , 透 過 影 像 、 數 字 、 圖 形 的 轉 譯 , 誘 導 並 探 究 兒 童 可 能 的 變 異 概念 。 研 究 目 的 如 下 :• 發 展 兒 童 變 異 概 念 晤 談 工 具 。• 探 究 兒 童 自 發 變 異 概 念 的 特 徵 。• 探 究 兒 童 自 發 變 異 概 念 的 迷 思 。• 探 究 各 年 級 兒 童 變 異 概 念 的 轉 變 。因 篇 幅 的 關 係 , 在 此 僅 就 晤 談 工 具 的 發 展 、 變 異 概 念 的 特 徵 作 報 告 。三 、 文 獻 探 討124
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究( 一 ) 變 異 概 念統 計 思 維 和 統 計 過 程 中 的 變 異 概 念過 去 的 研 究 太 強 調 數 學 的 統 計 課 程 和 教 材 , 以 至 於 忽 視 了 變 異 概 念 對 統 計 思 維 的 影 響 , 近 年 來許 多 統 計 教 育 學 者 已 開 始 注 意 到 變 異 是 統 計 思 維 的 基 本 原 則 和 核 心 (Shaughnessy, 1997; Pfannkuch,1997; Moore, 1990; 引 自 Pfannkuch 和 Wild, 2004)。許 多 關 於 統 計 思 維 (statistical thinking) 和 統 計 過 程 (statistical process) 的 研 究 都 強 調 變 異 的 重 要性 , 例 如 Moore (1990) 提 出 統 計 過 程 的 五 個 核 心 要 素 :(1) 過 程 中 無 所 不 在 的 變 異 ;(2) 需 要 關 於 過 程的 資 料 ;(3) 資 料 產 出 的 設 計 需 要 考 慮 變 異 ;(4) 變 異 的 量 化 ;(5) 變 異 的 解 釋 ; 又 如 Wild 和 Pfannkuch(1999) 訪 談 統 計 實 務 人 員 和 學 習 統 計 的 學 生 在 解 決 實 徵 性 的 統 計 調 查 問 題 時 想 甚 麼 ? 怎 麼 作 ? 試 圖找 出 統 計 思 維 的 關 鍵 要 素 , 提 出 統 計 思 維 的 五 個 基 本 類 型 :(1) 對 資 料 需 求 的 確 認 ;(2) 改 變 表 徵 使 產生 理 解 ;(3) 考 慮 變 異 ;(4) 運 用 統 計 模 型 理 解 ;(5) 整 合 統 計 和 脈 絡 的 訊 息 、 知 識 和 概 念 , 其 中 「 考 慮變 異 」 包 括 四 個 要 素 :(1) 注 意 和 承 認 變 異 ;(2) 測 量 和 建 模 變 異 以 達 到 預 測 、 解 釋 和 決 策 的 目 的 ;(3)解 釋 和 處 理 變 異 ;(4) 變 異 的 觀 察 策 略 。Reading 和 Shaughnessy(2004) 則 認 為 Wild 和 Pfannkuch 的 「 考慮 變 異 」 應 更 強 調 「 描 述 變 異 」 和 「 表 徵 變 異 」, 即 利 用 方 法 說 明 和 呈 現 資 料 變 異 的 特 徵 。變 異 概 念 之 課 程 、 教 學 和 評 量 的 相 關 研 究Reading 和 Reid (2004) 簡 化 詮 釋 Wild 和 Pfannkuch (1999) 提 出 的 「 考 慮 變 異 」 的 四 個 要 素 ( 如 表1), 並 對 應 四 個 課 程 主 題 ( 探 究 資 料 分 析 、 機 率 、 抽 樣 分 配 、 推 論 統 計 ), 作 為 課 程 發 展 模 型 , 然 後 依據 四 個 考 慮 變 異 之 層 次 ( 無 、 弱 、 發 展 、 強 ) 來 評 量 學 生 在 回 應 中 考 慮 變 異 的 層 次 , 以 評 估 課 程 的 效 能 。表 1.「 考 慮 變 異 」 的 四 個 要 素 和 詮 釋 (Reading 和 Reid,2004)考 慮 變 異注 意 和 承 認 變 異為 了 預 測 、 解 釋 和 決 策 的 目的 而 測 量 和 建 模 變 異解 釋 和 處 理 變 異使 用 策 略 觀 察 變 異詮 釋察 覺 變 異 的 無 所 不 在 、 在 討 論 中 察 覺 需 要 記 錄 變 異設 計 統 計 量 或 統 計 圖 以 表 徵 資 料 的 變 異 , 使 用 統 計 量 或 統 計 圖 以理 解 變 異 對 預 測 、 解 釋 和 決 策 的 影 響解 釋 變 異 的 原 因 , 處 理 變 異 在 研 究 設 計 和 抽 樣 的 影 響使 用 正 式 的 程 序 來 尋 找 變 異 本 身 的 屬 性Garfield 和 Ben-Zvi(2005) 整 理 過 去 有 關 變 異 概 念 的 研 究 , 而 發 展 七 個 深 層 理 解 資 料 之 變 化 性的 知 識 :「 發 展 變 化 的 直 觀 想 法 」、「 描 述 和 表 徵 變 化 」、「 利 用 變 化 比 較 」、「 在 特 殊 類 型 之 分 布 中 察 覺變 化 」、「 在 適 配 模 型 中 識 別 變 化 的 樣 式 」、「 利 用 變 化 預 測 隨 機 樣 本 或 結 果 」、「 考 慮 變 化 為 統 計 思 維 的一 部 分 」, 且 列 出 每 個 知 識 的 關 鍵 觀 念 , 以 作 為 教 學 和 評 量 學 生 理 解 變 化 性 的 架 構 , 並 依 據 關 鍵 觀 念發 展 教 學 和 評 量 目 標 。Reading 和 Reid (2010) 建 議 此 七 個 深 層 理 解 資 料 之 變 化 性 的 知 識 應 再 增 加「 認 識 變 異 的 來 源 」 和 「 以 觀 察 到 的 變 異 解 釋 期 望 值 」 兩 個 知 識 ; 並 將 所 有 知 識 壓 縮 為 四 個 :「 察 覺和 描 述 變 異 」、「 使 用 變 異 支 持 推 論 」、「 解 釋 變 異 來 源 」、「 連 結 變 異 到 其 它 概 念 」。在 表 2 中 將 所 有 學 者 提 出 的 變 異 概 念 相 關 要 素 、 知 識 或 面 向 , 依 據 文 獻 中 所 論 述 的 意 義 和 詮 釋 ,彼 此 對 應 , 以 作 為 開 發 本 計 畫 研 究 工 具 的 依 據 。125
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究表 2 資 料 變 異 概 念 的 比 較Moore(1990)Wild 和 Pfannkuch(1999)Garfield 和 Ben-Zvi(2005)Reading 和 Reid(2010)過 程 中 無 所 不 在 的 變 異 注 意 和 承 認 變 異 發 展 變 化 的 直 觀 想 法 察 覺 和 描 述 變 異需 要 關 於 過 程 的 資 料變 異 的 量 化 測 量 和 建 模 變 異 描 述 和 表 徵 變 化利 用 變 化 比 較使 用 變 異 支 持 推 論在 特 殊 類 型 之 分 布 中 察 覺 變 化在 適 配 模 型 中 識 別 變 化 的 樣 式利 用 變 化 預 測 隨 機 樣 本 或 結 果設 計 資 料 產 出 需 考 慮 變 異 解 釋 和 處 理 變 異 解 釋 變 異 來 源變 異 的 解 釋連 結 變 異 到 其 它 概 念使 用 策 略 觀 察 變 異考 慮 變 化 為 統 計 思 維 的 一 部 分( 二 ) 數 學 概 念 表 徵表 徵 的 內 涵在 數 學 的 教 學 過 程 中 , 常 運 用 不 同 的 表 徵 呈 現 數 學 概 念 和 思 維 。 學 者 依 不 同 觀 點 而 對 表 徵 的 意義 有 不 同 的 見 解 : 以 心 理 學 觀 點 來 看 , 表 徵 是 指 將 外 在 現 實 的 事 物 以 另 一 種 較 為 抽 象 或 符 號 化 的 形 式來 表 示 的 歷 程 ( 張 春 興 ,1989); 從 數 學 的 觀 點 來 看 , 表 徵 是 指 用 某 一 種 形 式 將 解 題 活 動 類 型 表 現 出 來 ,以 達 成 溝 通 的 目 的 ( 蔣 治 邦 ,1994); 若 以 學 生 運 思 觀 點 來 看 , 表 徵 可 詮 釋 為 心 智 過 程 模 式 化 所 使 用 的符 號 系 統 , 像 是 圖 形 、 符 號 、 文 字 、 具 體 操 作 物 等 , 也 就 是 將 學 生 內 心 的 概 念 及 運 思 過 程 轉 為 看 得 見的 具 體 外 在 表 現 事 物 (Lesh, Post, 和 Behr, 1987)。 美 國 數 學 教 師 協 會 認 為 數 學 表 徵 是 一 種 數 學 概 念 的呈 現 方 式 , 代 表 人 們 對 於 數 學 概 念 的 理 解 與 運 用 (NCTM, 2000)。在 數 學 活 動 中 表 徵 具 備 了 兩 種 功 能 : 一 是 作 為 溝 通 工 具 , 一 是 作 為 運 思 活 動 的 材 料 ( 蔣 治 邦 ,1994)。 除 此 之 外 , 表 徵 的 運 用 亦 有 助 於 學 生 對 數 學 概 念 之 建 構 。 表 徵 是 一 個 概 念 的 多 重 具 體 化(concretization), 期 望 學 生 能 從 各 種 表 徵 中 獲 得 共 同 的 性 質 並 成 功 地 建 構 出 該 概 念 。不 同 的 表 徵 形 式 和 認 知 學 習 的 關 係Hiebert 和 Carpenter (1992) 是 依 照 存 在 形 式 將 表 徵 分 為 外 在 表 徵 與 內 在 表 徵 兩 類 。 外 在 表 徵 指 的是 有 形 的 , 如 語 言 、 文 字 、 符 號 、 圖 片 、 具 體 物 、 活 動 或 實 際 情 境 等 ; 內 在 表 徵 則 是 無 形 的 , 是 存 在於 個 人 心 中 或 腦 海 裡 的 , 他 人 無 法 直 接 觀 察 的 心 智 表 徵 。Bruner (1964) 提 出 表 徵 思 維 (representational thought) 發 展 論 , 指 將 外 在 具 體 刺 激 轉 換 為 內 在 抽 象表 徵 從 而 形 成 概 念 的 認 知 歷 程 , 並 依 此 理 論 將 兒 童 的 認 知 發 展 分 為 三 階 段 :1. 動 作 表 徵 期 (enactive representative stage): 嬰 兒 期 靠 身 體 動 作 認 識 周 圍 世 界 的 事 物 , 即 憑 手抓 口 嚐 或 身 體 活 動 為 獲 得 知 識 的 認 知 歷 程 。2. 形 式 表 徵 期 (iconic representative stage): 嬰 兒 期 以 後 的 幼 兒 , 可 憑 對 物 體 知 覺 留 在 記 憶 中 的形 狀 或 意 象 認 識 周 圍 的 世 界 。3. 符 號 表 徵 期 (symbolic representative stage): 指 小 學 兒 童 運 用 語 言 或 符 號 推 理 獲 得 知 識 的 認 知126
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究歷 程 。Heddens(1984) 由 表 徵 的 觀 點 , 將 學 生 的 學 習 區 分 為 四 個 連 續 的 階 段 :1. 具 體 表 徵 階 段 : 運 用 生 活 中 真 實 存 在 的 實 體 如 蘋 果 、 汽 車 、 桌 子 等 , 以 發 展 數 學 概念 。2. 半 具 體 表 徵 階 段 : 利 用 圖 片 或 照 片 來 表 示 生 活 中 的 實 際 物 體 。 如 汽 車 的 照 片 、 蘋 果 的 圖 片 等 。3. 半 抽 象 表 徵 階 段 : 利 用 一 些 上 同 於 實 際 物 體 的 符 號 或 圖 形 來 代 表 具 體 物 , 例 如 用 畫 三 個 圈 圈來 代 表 三 部 汽 車 。4. 抽 象 表 徵 階 段 : 運 用 符 號 表 徵 來 學 習 的 階 段 。Kaput(1987) 從 認 知 的 角 度 來 看 , 將 數 學 表 徵 系 統 分 成 四 類 , 前 三 類 屬 於 心 智 活 動 的 產 物 , 主要 是 個 體 腦 海 裡 的 心 智 運 作 , 第 四 類 則 屬 於 外 在 表 徵 , 學 生 以 不 同 的 表 徵 方 式 表 現 其 心 智 活 動 :1. 認 知 與 知 覺 表 徵 (cognitive and perceptual representation): 指 個 體 內 在 對 於 知 識 和 訊 息 的 表徵 , 也 就 是 大 腦 將 訊 息 儲 存 或 轉 譯 的 格 式 。2. 解 釋 性 的 表 徵 (explanatory representation): 是 指 將 自 然 語 言 或 心 像 與 其 他 數 學 符 號 連 結 ,並 表 示 兩 者 間 關 係 的 系 統 。3. 數 學 內 的 表 徵 (representation within mathematics): 指 不 同 數 學 結 構 之 間 的 相 互 關 連 , 也 就是 用 數 學 的 某 一 種 結 構 來 呈 現 出 另 一 種 結 構 系 統 。4. 外 在 符 號 表 徵 (external symbolic representation): 指 以 外 在 的 符 號 來 表 達 數 學 概 念 的 系 統 ,是 用 來 表 示 抽 象 的 數 學 概 念 的 物 質 形 式 。Lesh,Post,Behr(1987) 提 出 數 學 學 習 和 解 題 的 五 種 表 徵 系 統 :1. 真 實 情 境 (experience-based scripts): 指 學 童 運 用 實 物 或 是 真 實 情 境 的 東 西 與 知 識 等 , 來 表 示問 題 中 的 情 境 與 內 容 並 藉 以 解 決 問 題 。2. 教 具 模 型 (manipulatable models): 透 過 具 體 物 之 操 作 , 以 探 討 數 學 概 念 , 如 : 古 氏 積木 、 圓 形 分 數 板 、 位 值 板 、 數 線 等 , 在 這 些 表 徵 中 的 元 素 本 身 沒 有 太 大 的 意 義 , 但 在 這 些 模型 中 加 入 的 關 係 與 操 作 , 可 應 用 在 許 多 日 常 生 活 情 境 中 , 來 理 解 數 學 概 念 。3. 圖 像 (pictures or diagrams): 利 用 靜 態 的 圖 畫 模 式 , 如 : 統 計 圖 、 面 積 圖 、 數 線 等 , 以 增 強 概念 的 發 展 。4. 語 言 (spoken language): 運 用 日 常 生 活 用 的 口 語 陳 述 , 以 表 達 想 法 或 解 題 過 程 。5. 符 號 (written symbols): 常 用 之 數 學 符 號 或 數 學 算 式 , 如 同 語 言 , 也 包 括 特 殊 化 的 句 子 和 片 語 。表 徵 系 統 之 間 的 轉 譯 和 協 調由 上 一 段 文 獻 之 歸 納 , 外 在 表 徵 的 形 式 包 括 語 言 、 文 字 、 符 號 、 圖 片 、 圖 像 、 圖 形 、 模 型 、 具體 物 、 或 實 際 情 境 等 , 而 內 在 表 徵 的 形 式 則 存 在 於 心 智 中 。 由 於 個 體 內 在 不 斷 感 受 或 經 驗 周 遭 環 境 之外 在 事 物 的 刺 激 , 而 產 生 知 覺 或 認 知 , 並 內 化 於 其 心 智 中 形 成 個 人 的 心 象 , 而 後 再 透 過 學 習 以 語 言 、文 字 、 符 號 、 圖 形 等 表 徵 形 式 , 連 結 或 誘 導 存 在 於 其 心 智 中 的 心 象 , 而 產 生 新 的 知 覺 或 認 知 , 並 再 次內 化 形 成 新 的 心 象 , 如 圖 1 所 示 。Davis(1984) 認 為 數 學 概 念 的 理 解 , 包 括 能 以 一 套 符 號 或 系 統 來 表 達數 學 概 念 和 能 以 多 重 表 徵 來 呈 現 某 一 個 概 念 , 並 且 能 在 不 同 的 表 徵 系 統 之 間 作 轉 譯 。Duval (2000) 認為 數 學 概 念 需 要 在 不 同 的 符 號 表 徵 系 統 之 間 協 調 而 獲 得 。127
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究圖 1 外 在 表 徵 和 內 在 表 徵 之 間 的 協 調 和 轉 譯 (Duval,2000)本 研 究 在 所 設 計 的 研 究 工 具 中 利 用 不 同 表 徵 刺 激 學 生 可 能 存 在 於 心 智 中 的 變 異 概 念 , 依 此 觀 察學 生 變 異 概 念 的 認 知 發 展 。四 、 研 究 方 法本 研 究 第 一 年 著 重 在 晤 談 工 具 的 開 發 ; 第 二 年 和 第 三 年 則 採 縱 貫 性 研 究 法 , 藉 由 第 一 年 所 開 發的 晤 談 工 具 在 第 二 年 和 第 三 年 重 複 對 同 一 組 樣 本 進 行 晤 談 , 以 了 解 兒 童 資 料 變 異 概 念 的 特 徵 和 轉 變 情形 。 研 究 方 法 說 明 如 下 :( 一 ) 研 究 工 具 的 理 論 架 構 和 內 容 設 計研 究 和 晤 談 工 具 之 架 構本 研 究 主 要 的 目 的 在 探 究 兒 童 的 變 異 概 念 , 因 此 將 文 獻 探 討 中 各 學 者 提 出 的 關 於 統 計 思 維 和 統 計過 程 中 的 變 異 概 念 (Moore,1990;Wild 和 Pfannkuch ,1999), 以 及 為 發 展 課 程 、 教 學 和 評 量 而 架 構的 變 異 概 念 (Reading 和 Reid,2004;Garfield 和 Ben-Zvi,2005;Reading 和 Reid 2010), 整 理 於 表2。 雖 然 Garfield 和 Ben-Zvi 對 七 個 深 層 理 解 資 料 之 變 化 性 的 知 識 有 詳 盡 且 系 統 性 的 說 明 , 甚 至 有 評量 範 例 , 但 內 容 太 過 細 微 而 侷 限 , 且 多 數 關 鍵 觀 念 牽 涉 高 中 和 大 學 統 計 學 課 程 , 因 此 不 適 合 作 為 本 計畫 開 發 研 究 工 具 的 依 據 。Moore 所 提 出 的 統 計 過 程 的 五 個 核 心 要 素 被 國 際 學 生 評 量 計 劃 (Programme forInternational Student Assessment, 簡 稱 PISA) 採 用 作 為 數 學 素 養 中 不 確 定 性 之 評 量 的 定 義 (OECD,2009)。Wild 和 Pfannkuch 所 提 出 的 考 慮 變 異 之 要 素 以 及 Garfield 和 Ben-Zvi 所 提 出 的 深 層 理 解 資 料128
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究之 變 化 性 的 知 識 均 有 對 應 到 Moore 所 提 出 的 五 個 核 心 要 素 , 但 Reading 和 Reid (2004) 對 於 Wild 和Pfannkuch 所 提 出 的 「 考 慮 變 異 」 有 較 簡 單 且 明 確 的 定 義 , 如 表 1。 依 此 , 本 計 畫 採 用 Moore 的 五 個核 心 要 素 對 應 Reading 和 Reid(2004) 對 「 考 慮 變 異 」 的 詮 釋 , 並 將 此 詮 釋 內 容 再 予 以 聚 焦 作 為 設 計 研究 工 具 當 中 變 異 概 念 之 面 向 。表 3 研 究 工 具 中 訂 定 變 異 概 念 之 面 向 的 依 據Moore(1990) Wild 和 Pfannkuch(1999)Reading 和 Reid(2004)過 程 中 無 所 不 在 的 變 異 注 意 和 承 認 變 異 察 覺 變 異 的 無 所 不 在 、 在 討需 要 關 於 過 程 的 資 料論 中 察 覺 需 要 記 錄 變 異變 異 的 量 化 測 量 和 建 模 變 異 設 計 統 計 量 或 統 計 圖 以 表徵 資 料 的 變 異 , 使 用 統 計 量或 統 計 圖 以 理 解 變 異 對 預測 、 解 釋 和 決 策 的 影 響設 計 資 料 產 出 需 考 慮 變 異 解 釋 和 處 理 變 異 解 釋 變 異 的 原 因 , 處 理 變 異在 研 究 設 計 和 抽 樣 的 影 響變 異 的 解 釋晤 談 工 具 變 異 概 念 之 面 向 的 詮 釋察 覺 變 異 無 所 不 在 , 接 受 變 異 的 存 在以 統 計 圖 或 計 算 統 計 量 表 徵 變 異 程度 , 以 作 為 比 較 、 決 策 或 估 計 的 依 據解 釋 變 異 原 因 或 對 變 異 表 徵 的 影 響此 外 , 開 發 研 究 工 具 的 目 的 為 期 望 藉 由 此 工 具 引 導 出 學 生 的 變 異 概 念 。 將 數 學 概 念 予 以 表 徵 ,可 協 助 研 究 者 和 被 研 究 者 相 互 溝 通 , 並 可 作 為 被 研 究 者 於 運 思 活 動 中 研 究 者 可 操 弄 的 材 料 , 利 於 研 究者 觀 察 。 因 此 本 計 畫 以 影 片 拍 攝 呈 現 真 實 情 境 中 觀 察 物 的 變 化 , 學 生 透 過 視 覺 的 刺 激 , 將 影 片 表 達 的意 象 內 化 為 心 象 , 並 結 合 已 存 在 於 心 智 中 的 心 象 , 透 過 不 同 的 外 在 表 徵 系 統 呈 現 概 念 , 包 括 文 字 敘 述 、數 字 、 統 計 圖 等 , 依 此 觀 察 學 生 變 異 概 念 的 表 現 和 認 知 發 展 以 及 表 徵 系 統 之 間 的 協 調 , 如 圖 1。依 據 表 3 最 後 一 欄 之 變 異 概 念 的 三 個 面 向 以 及 圖 1 外 在 表 徵 和 內 在 表 徵 之 間 的 協 調 和 轉 譯 , 勾勒 出 本 計 畫 之 研 究 和 工 具 開 發 的 架 構 , 如 下 圖 2。129
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究圖 2 研 究 和 工 具 開 發 之 架 構晤 談 工 具 之 內 容研 究 工 具 包 括 三 份 晤 談 大 綱 。 第 一 份 晤 談 大 綱 , 以 影 片 實 境 和 數 字 來 呈 現 觀 察 物 ( 事 件 ) 的 特 質 。晤 談 操 作 方 式 為 學 生 觀 看 影 片 , 到 一 個 段 落 後 , 採 停 格 的 方 式 , 讓 學 生 回 應 所 設 計 的 問 題 。 場 景 大 致分 成 三 個 ,(1) 農 場 採 收 水 果 和 操 作 分 果 機 ;(2) 大 潤 發 和 頂 好 超 級 市 場 買 水 果 、 牛 奶 糖 和 巧 克 力 ;(3)家 裡 客 廳 , 秤 水 果 和 巧 克 力 重 量 。 主 角 為 皮 皮 哥 哥 和 毛 毛 妹 妹 , 配 角 為 農 場 和 超 級 市 場 工 作 人 員 。 故事 為 皮 皮 哥 哥 和 毛 毛 妹 妹 一 起 參 觀 農 場 , 看 到 工 作 人 員 正 在 採 收 水 果 和 操 作 分 果 機 ; 兩 人 一 起 去 大 賣場 買 水 果 、 牛 奶 糖 和 巧 克 力 , 並 使 用 大 賣 場 的 秤 子 秤 水 果 的 重 量 , 被 大 賣 場 工 作 人 員 制 止 ; 兩 人 回 家繼 續 秤 水 果 重 量 , 並 驗 證 牛 奶 糖 和 巧 克 力 包 裝 盒 上 重 量 的 說 明 。晤 談 大 綱 問 題 :1. 你 認 為 分 果 機 在 做 甚 麼 ?2. 顯 示 同 一 區 挑 出 來 的 12 顆 蘋 果 , 實 際 測 量 其 中 6 顆 蘋 果 的 重 量 , 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 。3. 顯 示 牛 奶 糖 包 裝 盒 上 的 說 明 50±4g, 這 個 符 號 代 表 一 盒 牛 奶 糖 的 重 量 是 多 少 公 克 ?4. 顯 示 巧 克 力 包 裝 盒 上 的 說 明 “50 公 克 “, 實 際 測 量 十 盒 巧 克 力 糖 的 重 量 , 並 顯 示 重 量 。 每 一 盒 巧克 力 不 是 剛 好 50g, 你 認 為 廠 商 有 欺 騙 顧 客 嗎 ?5. 為 什 麼 每 一 盒 巧 克 力 不 一 定 都 是 剛 好 50g?第 二 份 晤 談 大 綱 問 題 :1. 將 這 一 枚 硬 幣 旋 轉 10 次 , 每 次 都 讓 它 自 然 停 止 。10 次 當 中 會 有 幾 次 是 人 頭 面 朝 上 ?2. 老 師 從 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊 、 己 六 個 班 級 中 各 抽 出 六 位 同 學 , 要 求 每 一 個 班 級 抽 出 的 每 一 位 同學 都 輪 流 旋 轉 這 一 枚 硬 幣 10 次 , 下 表 是 每 一 個 班 級 紀 錄 的 結 果 。 哪 個 班 級 的 結 果 比 較 合 乎 實際 會 發 生 的 狀 況 ? 為 什 麼 ?130
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究班 級人 頭 面 朝 上 的 次 數甲 5 6 7 7 8 9乙 3 4 5 5 7 8丙 5 5 5 5 5 5丁 2 3 3 4 4 5戊 7 7 7 7 7 7己 10 10 10 10 10 103. 媽 媽 在 超 級 市 場 , 從 放 雞 蛋 的 籃 子 裡 隨 意 拿 了 1 顆 雞 蛋 秤 一 秤 , 發 現 這 顆 雞 蛋 的 重 量 有 21 公克 , 於 是 媽 媽 又 從 同 一 個 籃 子 裡 隨 意 拿 了 2 顆 雞 蛋 , 請 你 說 說 看 媽 媽 拿 的 這 3 顆 雞 蛋 總 共 的 重量 是 多 少 公 克 ? 為 什 麼 ?4. 下 面 各 小 題 中 顯 示 五 年 甲 班 和 五 年 乙 班 兩 班 同 學 的 數 學 成 績 , 每 班 各 有 7 個 人 。 說 說 看 , 那 一班 的 成 績 表 現 比 較 分 散 ?成 績五 年 甲 班 數 學 成 績 □77, 80, 83, 86, 87, 89, 91五 年 乙 班 數 學 成 績 □70, 85, 85, 86, 87, 87, 935. 我 每 次 跑 100 公 尺 的 時 間 都 一 樣 嗎 ?第 三 份 晤 談 大 綱 問 題 :1. 遊 樂 園 每 天 打 烊 前 服 務 員 會 清 點 投 籃 機 的 紀 錄 , 今 日 同 一 台 投 籃 機 每 一 回 合 的 進 球 數 紀 錄 如 下圖 , 一 個代 表 玩 一 回 合 同 一 台 投 籃 機 , 橫 線 上 的 數 字 代 表 每 次 玩 投 籃 機 的 進 球 數 。 金 妮 今天 在 這 一 台 投 籃 機 玩 一 回 合 , 所 以 她 進 幾 球 ?10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24進 球 數131
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究2. 上 體 育 課 時 , 老 師 將 班 上 21 位 同 學 拍 球 的 次 數 記 錄 下 來 , 每 個 人 拍 球 的 時 間 都 一 樣 , 圖 形 中一 個 X 代 表 一 位 同 學 , 橫 軸 上 的 數 字 代 表 拍 球 的 次 數 。 可 是 記 錄 完 之 後 , 老 師 不 小 心 將 這 張 記錄 表 和 其 他 三 張 記 錄 表 弄 亂 了 。 你 認 為 下 列 哪 一 個 圖 形 才 是 真 正 老 師 的 記 錄 表 ? 為 什 麼 ?XXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX20 21 22 23 24 25 26 2720 21 22 23 24 25 26 27XXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXX XX XXXXXXXXXXX20 21 22 23 24 25 26 2720 21 22 23 24 25 26 273. 有 一 場 跑 步 活 動 , 選 手 沿 著 一 條 直 線 道 路 跑 步 , 中 間 沒 有 停 留 或 休 息 。 下 面 表 格 為 A 選 手 跑 步時 間 和 距 離 的 記 錄 。 將 表 格 的 記 錄 標 記 在 圖 形 上 。A 選 手 跑 了 2.5 小 時 後 , 距 離 原 點 多 少 公 里 ?時 間 ( 時 ) 1 2 3 4離 原 點 的 距 離 ( 公 里 ) 3 5 6 8距離時 間4. 王 爺 爺 有 兩 個 向 日 葵 花 圃 , 兩 個 花 圃 裡 面 分 別 有 21 朵 向 日 葵 , 所 有 的 向 日 葵 都 是 相 同 品 種 ,且 爺 爺 照 顧 的 方 法 和 用 心 都 一 樣 , 只 是 在 兩 個 花 圃 裡 面 使 用 兩 種 不 同 品 牌 的 肥 料 施 肥 。 一 個 月後 分 別 紀 錄 每 個 花 圃 中 21 朵 向 日 葵 生 長 的 高 度 , 製 成 下 面 兩 個 統 計 圖 形 , 一 個 代 表 一 朵 向日 葵 , 橫 軸 上 的 數 字 代 表 生 長 的 高 度 。 請 問 , 依 據 這 兩 個 統 計 圖 形 的 紀 錄 結 果 , 你 會 使 用 哪 一品 牌 的 肥 料 ? 為 什 麼 ?132
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究A 牌B 牌2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12公 分2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12公 分5. 在 路 上 隨 機 調 查 10 位 民 眾 家 中 飼 養 的 寵 物 類 型 , 調 查 結 果 如 下 圖 ( 一 個 x 代 表 一 個 人 ):ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ Χ貓 狗 其 他 無如 果 在 狗 展 覽 時 找 十 位 民 眾 做 調 查 , 請 將 你 認 為 的 結 果 畫 在 下 圖 :貓 狗 其 他 無133
晤 談 工 具 之 問 題 分 佈陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究訪 談 大 綱 之 問 題 題 數 於 變 異 概 念 各 面 向 的 分 佈 , 如 下 表 :表 4 晤 談 工 具 之 問 題 題 數 的 雙 向 細 目 分 佈晤 談 大 綱變 異 概 念面 向 ( 一 ) 面 向 ( 二 ) 面 向 ( 三 ) 總 計第 一 份 3 1 1 5第 二 份 3 1 1 5第 三 份 3 1 1 5總 計 9 3 3 15晤 談 工 具 之 效 度採 專 家 效 度 和 內 容 效 度 , 邀 請 兩 位 統 計 專 長 教 授 依 據 所 定 義 的 研 究 架 構 ( 圖 2) 進 行 專 家 檢 核 。 晤 談大 綱 依 據 專 家 所 建 議 的 部 分 進 行 修 改 。 以 下 為 第 三 份 晤 談 大 綱 之 專 家 檢 核 結 果 舉 例 :表 5 專 家 檢 核 結 果 舉 例晤 談 大 綱 問 題 變 異 概 念 專 家 適 當 修 改 修 改 建 議面 向第 三 份 3 一 1 v 建 議 在 圖 形 上 畫 資 料 的 起 始 點 ,…2 v 如 果 晤 談 對 象 包 括 一 年 級 學 生 , 建 議用 格 子 , 不 要 只 用 橫 隔 線 ,…第 三 份 4 二 1 v 建 議 將 高 度 11 上 的 次 數 移 到 高 度 12上 面 , 可 以 更 突 顯 極 大 值 對 決 策 的 影響2 v第 三 份 5 三 1 v2 v 寵 物 犬 建 議 改 為 狗 展 就 好 了 , 怕 學 生不 了 解 ” 犬 ” 意 思 ," 寵 物 ” 有 可 能 會 以為 有 其 他 不 同 種 類 的 寵 物( 二 ) 研 究 對 象預 試 晤 談 對 象在 開 發 訪 談 大 綱 之 前 , 研 究 者 預 先 訪 談 學 生 , 如 表 6。 訪 談 問 題 摘 取 自 Reading(2004)、Reading 和Shaughbessy (2004)、Watson, Kelly, Callingham and Shaughnessy (2003) 之 部 分 訪 談 問 題 或 評 量 試 題 。 由於 學 生 在 學 校 並 未 學 習 變 異 概 念 之 相 關 課 程 , 且 所 接 觸 的 數 學 課 程 均 建 構 於 確 定 情 境 中 , 因 此 預 先 訪談 的 主 要 目 的 是 讓 研 究 者 了 解 學 生 在 面 對 此 類 不 確 定 問 題 時 是 否 有 感 受 , 其 回 應 是 否 合 乎 預 期 , 以 作為 設 計 新 的 訪 談 問 題 、 擷 取 或 修 改 文 獻 中 設 計 的 訪 談 問 題 和 評 量 試 題 , 以 及 改 進 訪 談 技 巧 的 依 據 。每 一 份 晤 談 大 綱 之 初 稿 均 經 過 預 試 訪 談 , 依 預 試 訪 談 的 結 果 再 次 修 改 問 題 大 綱 、 並 製 作 訪 談 流134
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究程 , 如 圖 3 以 作 為 正 式 訪 談 時 的 依 循 , 如 此 訪 談 者 不 會 遺 漏 關 鍵 的 訪 談 提 問 , 且 每 位 訪 談 者 的 訪 談 內容 不 會 相 差 太 多 。 以 下 為 預 試 訪 談 對 象 的 分 佈 及 訪 談 流 程 之 範 例 。表 6 預 試 訪 談 對 象 之 年 級 分 佈訪 談 大 綱 三 年 級 四 年 級 五 年 級 六 年 級第 一 份 2 1 1 1第 二 份 2 1 2 2第 三 份 2 2 1 1三 個 晤 談 均 參 與 者 2 1 1 1T: 說 說 看 ( 猜 猜 看 )「 重 量 50±4 公 克 」代 表 這 包 糖 果 的 重 量 是 多 少 公 克 ?S 錯 誤 解 釋S: 不 知 道T: 每 包 糖 果 的 重 量 都 會 一 模一 樣 嗎 ?S: 不 一 樣 S: 一 樣S 正 確 解 釋 50±4 公 克T: 你 說 , 每 包 糖 果 重 量 都 相T: 有 可 能 是 55 公 克 嗎 ? 有 可 能 是 45 公 克 嗎 ? 有 可 能糖 果 的 重 量 不 在 這 個 範 圍 嗎 ?等 , 是 多 少 公 克 ? 為 什 麼 ?註 : 若 學 生 在 這 裡 思 考 發 現 ,改 變 想 法 , 可 以 從 頭 再 問 一 次 。圖 3 第 一 份 訪 談 大 綱 之 問 題 3 的 晤 談 流 程正 式 晤 談 對 象正 式 晤 談 對 象 共 56 人 , 分 佈 於 九 個 學 校 , 計 畫 之 第 二 年 學 生 為 一 ~ 五 年 級 , 計 畫 之 第 三 年 學 生 為二 ~ 六 年 級 , 其 中 四 個 學 校 位 於 台 北 市 , 五 個 學 校 位 於 新 北 市 。 計 畫 之 第 二 年 第 二 學 期 使 用 第 一 份 晤談 大 綱 、 計 畫 之 第 三 年 第 一 學 期 使 用 第 二 份 晤 談 大 綱 、 計 畫 之 第 三 年 第 二 學 期 使 用 第 三 份 晤 談 大 綱 。訪 談 人 員 共 二 位 , 一 位 為 研 究 者 本 身 、 一 位 為 研 究 助 理 , 晤 談 人 員 在 進 行 晤 談 以 前 均 觀 看 預 試 之 晤 談影 片 並 討 論 , 了 解 晤 談 大 綱 的 架 構 和 內 容 , 並 對 晤 談 流 程 有 共 識 。表 7 正 式 晤 談 對 象 之 年 級 和 性 別 分 佈第 二 年 一 年 級 二 年 級 三 年 級 四 年 級 五 年 級男 生 4 4 10 6 12女 生 4 4 2 4 6( 三 ) 資 料 收 集 和 分 析 方 法晤 談 時 , 進 行 錄 影 和 錄 音 , 並 請 工 讀 生 製 作 逐 字 稿 。 之 後 逐 字 稿 由 訪 談 者 檢 視 以 確 定 訪 談 內 容 。135
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究依 據 逐 字 稿 , 研 究 者 參 考 Jones,Thornton,Langrall 和 Mooney (2000) 提 出 的 統 計 思 維 的 四 個 認 知 層次 : 個 人 的 、 過 渡 的 、 量 化 的 、 分 析 的 , 並 依 據 本 研 究 的 研 究 目 的 , 修 改 為 以 下 四 個 層 次 , 作 為 初 步分 類 準 則 :層 次 一 : 沒 有 變 異 概 念層 次 二 : 不 一 致 的 變 異 概 念層 次 三 : 量 化 的 變 異 概 念層 次 四 : 分 析 的 變 異 概 念依 據 以 上 四 個 層 次 , 先 橫 向 將 每 個 學 生 在 每 個 晤 談 大 綱 的 每 個 問 題 之 回 應 內 容 予 以 對 應 , 並 於過 程 中 不 斷 來 回 修 改 分 類 準 則 , 最 後 將 每 個 類 別 之 分 類 準 則 , 配 合 問 題 內 容 , 給 予 操 作 型 定 義 , 且 製作 編 碼 簿 。之 後 , 由 一 位 研 究 助 理 和 兩 位 在 職 教 師 依 據 編 碼 簿 之 編 碼 定 義 , 為 每 個 學 生 在 每 個 晤 談 大 綱 的每 個 問 題 之 回 應 進 行 給 分 。 每 個 問 題 之 計 分 範 圍 為 1~4 分 , 分 別 代 表 四 個 層 次 的 回 應 ,4 分 為 最 高 層次 的 回 應 。 若 三 位 評 分 者 對 同 一 個 研 究 對 象 之 同 一 問 題 的 回 應 有 不 同 給 分 , 則 由 研 究 者 判 斷 或 採 多 數決 。 若 同 一 個 研 究 對 象 的 回 應 有 超 過 5 個 問 題 (1/3) 有 不 同 給 分 , 則 視 為 無 效 樣 本 , 予 以 刪 除 , 共 計 4人 ; 而 中 途 轉 學 的 學 生 , 也 不 計 入 有 效 樣 本 , 共 計 2 人 。 依 據 給 分 結 果 計 算 評 分 者 信 度 為 0.93。 有 效樣 本 為 50 個 人 , 無 效 樣 本 為 6 人 , 分 別 為 1 位 一 年 級 女 生 ,2 位 三 年 級 男 生 、1 位 四 年 級 女 生 和 2 位五 年 級 男 生 ( 以 第 一 次 晤 談 時 學 生 的 年 級 ), 如 下 表 。表 8 有 效 樣 本 之 年 級 分 佈一 年 級 二 年 級 三 年 級 四 年 級 五 年 級 總 計男 生 4 4 8 6 10 32女 生 3 4 2 3 6 18總 計 7 8 10 9 16 50確 定 每 個 學 生 在 每 個 晤 談 大 綱 的 每 個 問 題 之 回 應 的 給 分 後 , 縱 向 地 整 理 和 歸 檔 ( 即 每 個 學 生 三 次晤 談 的 給 分 整 理 ), 從 橫 向 和 縱 向 的 資 料 整 理 , 歸 納 學 生 變 異 概 念 的 特 徵 和 轉 變 , 以 及 晤 談 過 程 中 發現 的 迷 思 。 學 生 身 分 的 編 碼 共 4 碼 , 前 兩 碼 為 流 水 號 , 第 三 碼 為 性 別 (F 和 M), 第 四 碼 為 年 級 , 所 以02M1 表 示 第 二 位 晤 談 學 生 為 男 生 一 年 級 。五 、 晤 談 資 料 整 理 結 果在 變 異 概 念 之 每 個 面 向 下 , 就 各 訪 談 大 綱 分 別 討 論 各 訪 談 問 題 的 回 應 特 徵 。 其 中 第 一 份 訪 談 大 綱設 計 的 目 的 為 透 過 視 覺 的 刺 激 , 引 發 學 生 心 智 中 可 能 存 在 的 變 異 概 念 ; 第 二 份 訪 談 大 綱 設 計 的 目 的 為藉 由 情 境 文 字 描 述 和 數 字 的 刺 激 , 引 發 學 生 心 智 中 可 能 存 在 的 變 異 概 念 ; 第 三 份 訪 談 大 綱 設 計 的 目 的為 藉 由 情 境 文 字 描 述 和 圖 象 的 刺 激 , 引 發 學 生 心 智 中 可 能 存 在 的 變 異 概 念 。136
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究( 一 ) 變 異 概 念 --- 察 覺 變 異 的 無 所 不 在 、 接 受 變 異 的 存 在1. 第 一 份 訪 談 大 綱 之 資 料 整 理 結 果在 第 一 份 訪 談 大 綱 中 共 有 3 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 一 「 察 覺 變 異 的 無 所 不 在 、 接 受 變 異的 存 在 」。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說 明 :第 (1) 題 螢 幕 上 呈 現 作 業 中 的 分 果 機 , 同 時 也 出 現 ” 分 果 機 ” 三 個 字 , 目 的 是 理 解 學 生 是 否 會 因 為看 到 分 果 機 的 操 作 而 注 意 到 無 所 不 在 的 變 異 ? 對 此 觀 察 物 , 他 們 會 察 覺 甚 麼 樣 的 變 異 特值 。。i. 在 訪 談 中 , 研 究 者 發 現 , 大 部 分 學 生 會 有 ” 分 ” 的 想 法 , 但 此 想 法 不 一 定 是 來 自 於 看 到作 業 中 的 分 果 機 , 有 些 學 生 是 因 為 ” 分 果 機 ” 這 三 個 字 當 中 的 ” 分 ” 字 , 而 有 ” 分 ” 的 想 法 。ii. 部 分 學 生 有 ” 分 ” 的 想 法 , 但 此 ” 分 ” 不 一 定 是 因 為 觀 察 物 本 身 變 異 的 性 質 而 產 生 的 ” 分類 ” 的 動 機 , 而 是 分 送 、 分 裝 的 意 思 。T: 有 一 台 機 器 對 不 對 , 那 台 機 器 做 了 什 麼 事 ?09F3: 那 個 機 器 就 把 水 果 放 下 來 。 然 後 小 朋 友 就 把 他 放 進 籃 子 裡 。T: 你 看 喔 , 這 台 機 器 有 好 多 個 格 子 ?09F3: 恩 !T: 那 這 麼 多 不 同 的 格 子 是 為 什 麼 ? 他 們 為 什 麼 要 把 水 果 放 在 這 些 盤 子 上 滾 下 來 ?09F3: 因 為 有 很 多 蘋 果 。 如 果 一 個 一 個 人 去 放 進 箱 子 , 他 要 花 很 多 時 間 。T: 如 果 一 個 一 個 去 放 , 要 花 很 多 時 間 , 是 嗎 ?09F3: 然 後 數 量 會 不 同 ?T: 什 麼 意 思 …?09F3: 就 是 每 一 籃 都 要 一 樣 多 。ii. 部 分 學 生 會 因 為 作 業 中 的 分 果 機 , 而 對 觀 察 物 本 身 變 異 的 性 質 產 生 ” 分 類 ” 的 想 法 , 但此 變 異 的 性 質 為 主 觀 的 、 無 法 客 觀 量 化 的 特 質 。T: 請 問 , 農 場 他 們 這 些 人 在 做 甚 麼 ?05M3: 在 分 類 。T: 你 看 得 懂 這 個 機 器 在 做 甚 麼 嗎 ?05M3: 看 不 懂 , 為 什 麼 有 一 些 水 果 他 就 不 會 從 這 裡 滾 下 去 , 都 偏 偏 要 從 別 的 地 方 滾 下 去 。T: 對 阿 , 他 把 剛 剛 那 些 梨 子 一 個 一 個 放 上 來 , 有 些 好 像 會 滾 到 這 哩 , 有 些 都 滾 過 去 那 邊 , 你 覺 得 有可 能 是 什 麼 原 因 ?05M3: 可 能 有 一 些 培 養 的 比 較 好 , 所 以 他 們 要 把 它 們 分 類 起 來 。T: 培 養 起 來 比 較 好 , 什 麼 是 培 養 的 比 較 好 ?05M3: 比 如 對 這 顆 樹 照 顧 、 關 心 它 比 較 久 。iii. 部 分 學 生 會 因 為 作 業 中 的 分 果 機 , 而 對 觀 察 物 本 身 變 異 的 性 質 產 生 ” 分 類 ” 的 想 法 , 且此 變 異 的 性 質 是 可 量 化 的 , 但 學 生 無 法 以 分 析 的 方 式 說 明 。137
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究T: 他 說 這 是 什 麼 機 器 ?11F2: 分 果 機 。T: 剛 剛 這 些 人 在 做 什 麼 ?11F2: 裝 水 果 。T: 為 什 麼 要 放 到 這 個 機 器 上 面 ? 這 個 機 器 在 做 什 麼 ?11F2: 分 大 顆 小 顆 。T: 那 怎 麼 分 ?11F2: 就 有 幾 個 格 子 投 大 的 , 有 幾 個 格 子 投 小 的 。iv. 部 分 學 生 會 因 為 作 業 中 的 分 果 機 , 而 對 觀 察 物 本 身 變 異 的 性 質 產 生 ” 分 類 ” 的 想 法 , 且此 變 異 的 性 質 是 客 觀 的 、 可 量 化 的 , 學 生 可 明 確 地 以 分 析 的 方 式 說 明 。T: 有 看 懂 他 們 在 做 什 麼 ?10M3: 把 好 的 留 下 來 不 好 的 挑 掉 。T: 怎 麼 挑 ?10M3: 機 器 會 把 好 的 留 下 、 不 好 的 挑 掉 。T: 那 什 麼 是 好 的 ?10M3: 顏 色 、 形 狀 跟 大 小 。T: 那 大 小 怎 麼 分 ?10M3: 重 量 。10M3: 就 是 把 下 面 換 成 磅 秤 。T: 所 以 這 裡 每 一 格 都 是 不 同 重 量 囉 ?10M3: 對 !T: 那 同 一 格 的 都 一 樣 重 囉 ?10M3: 相 似 的 重 量 。第 (3) 題 影 片 中 呈 現 牛 奶 糖 包 裝 盒 上 的 說 明 “50±4g“, 目 的 是 理 解 學 生 是 否 能 透 過 對 此 符 號 的 說明 來 描 述 處 處 存 在 的 變 異 。i. 有 部 分 學 生 無 法 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意 義 , 且 沒 有 變 異 的 想 法 。T: 你 覺 得 這 盒 糖 果 他 這 樣 寫 , 代 表 他 有 多 重 ?02M1: 不 知 道 。T: 那 妳 覺 得 他 有 多 重 ?02M1: 50 公 克 , 因 為 50 加 4 等 於 54 再 減 4。T: 你 覺 得 有 沒 有 可 能 牛 奶 糖 51 公 克 ?02M1: 不 可 能 , 一 定 50 公 克 。ii. 有 部 分 學 生 無 法 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意 義 , 但 有 變 異 的 想 法 。T: 它 寫 重 量 50±4 公 克 是 什 麼 意 思 ?138
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究09F3: 只 算 裡 面 糖 果 的 重 量 , 不 算 包 裝 。T: 裡 面 糖 果 的 重 量 是 幾 公 克 ?09F3:50 公 克 包 裝 4 公 克 。T: 每 一 盒 糖 果 都 是 50 公 克 嗎 ?09F3: 會 有 一 點 不 一 樣 。T: 可 以 秤 出 48 公 克 嗎 ? 52 公 克 可 以 嗎 ?09F3: 太 遠 了 , 就 是 只 有 50 點 多 公 克 。iii. 有 部 分 學 生 可 以 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意 義 , 但 無 法 合 理 地 或 一 致 地 描 述 變 異 。iv. 有 部 分 學 生 可 以 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意 義 , 且 一 致 性 地 描 述 變 異 。T: 你 知 道 是 什 麼 意 思 嗎 ?05M3: 如 果 50+4 公 克 不 就 是 54 公 克 ,50-4 公 克 就 是 46 公 克 , 可 能 就 是 這 兩 個 數 字 之內 。T: 什 麼 東 西 在 這 兩 個 數 字 之 內 ?05M3: 這 盒 重 量 。T: 所 以 有 可 能 牛 奶 糖 是 52 公 克 嗎 ?05M3: 有 可 能 。T:55 公 克 呢 ?05M3: 不 可 能 。T:54 公 克 ?05M3: 可 以 。T:46 公 克 ?05M3: 有 可 能 。T:45 公 克 ?05M3: 不 行 。v. 有 部 分 學 生 可 以 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意 義 , 並 從 機 率 觀 點 描 述 變 異 。T: 你 知 道 這 是 什 麼 意 思 嗎 ?12F5: 包 裝 的 時 候 , 機 器 可 能 沒 那 麼 準 。 所 以 可 能 會 少 4 公 克 或 多 4 公 克 。T: 以 誰 為 基 準 去 多 4 公 克 還 有 少 4 公 克 ?12F5:50, 就 是 會 變 成 54 公 克 或 是 46 公 克 。T: 所 以 每 包 牛 奶 糖 會 一 樣 重 嗎 ?12F5: 有 可 能 不 一 樣 。T: 可 不 可 以 是 55?12F5: 他 寫 4 公 克 應 該 很 少 會 超 過 吧 !T: 很 少 ?12F5: 一 點 點 , 就 是 機 率 很 小 。139
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究第 (4) 題 影 片 中 呈 現 巧 克 力 包 裝 盒 上 的 說 明 “50 公 克 “, 並 實 際 測 量 和 顯 示 巧 克 力 糖 的 重 量 , 目 的是 了 解 學 生 對 變 異 的 結 果 是 否 能 接 受 。i. 有 部 分 學 生 不 能 接 受 巧 克 力 的 重 量 不 是 “50 公 克 “, 因 為 巧 克 力 包 裝 盒 上 的 說 明 為 淨重 “50g“, 所 以 巧 克 力 的 重 量 就 一 定 要 剛 剛 好 50 公 克 。ii. 有 部 分 學 生 不 能 接 受 包 裝 盒 上 重 量 的 說 明 , 認 為 應 該 要 寫 ”50±□g“ 或 “ 約 50g“ 或 重 量是 多 少 就 應 該 寫 多 少 , 而 判 斷 廠 商 欺 騙 , 並 非 不 接 受 巧 克 力 的 重 量 不 是 剛 好 “50 公 克“。iii. 有 部 分 學 生 接 受 巧 克 力 的 淨 重 超 過 50g, 但 不 接 受 低 於 50g, 而 判 斷 廠 商 欺 騙 。iv. 有 部 分 學 生 接 受 巧 克 力 的 淨 重 不 是 ”50g”, 因 為 每 一 盒 裝 的 數 量 不 一 樣 或 大 小 不 一樣 , 而 判 斷 廠 商 沒 有 欺 騙 。T: 好 , 那 這 是 剛 剛 秤 出 來 的 , 你 覺 得 廠 商 有 沒 有 騙 人 ? 他 寫 淨 重 50 可 是 卻 沒 有 秤 出 50。03F1: 沒 有 。T: 為 什 麼 ?03F1: 因 為 他 每 一 盒 裝 的 數 量 不 一 樣 大 小 也 不 一 樣 。v. 有 部 分 學 生 接 受 巧 克 力 的 淨 重 不 是 ”50g”, 因 為 重 量 沒 有 差 太 多 , 而 判 斷 廠 商 沒 有 欺騙 。T: 每 一 包 都 不 是 50 對 不 對 ?10M3: 恩 !T: 那 你 覺 得 廠 商 有 沒 有 騙 人 啊 ?10M3: 沒 有 !T: 為 什 麼 ?10M3: 因 為 接 近 50。vi. 有 部 分 學 生 接 受 巧 克 力 的 淨 重 不 是 ”50g”, 因 為 測 量 不 可 能 那 麼 精 準 或 有 誤 差 , 而 判斷 廠 商 沒 有 欺 騙 。T: 內 容 物 是 50 公 克 , 卻 沒 有 量 到 50 啊 ?12F5: 就 像 剛 剛 一 樣 可 能 會 有 點 偏 差 。T: 你 可 以 允 許 的 意 思 嗎 ?12F5: 其 實 差 一 點 點 是 還 好 啦 。 因 為 是 機 器 嘛 , 沒 辦 法 像 人 那 麼 精 準 。140
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究表 9 給 分 標 準 : 第 一 份 訪 談 大 綱 變 異 概 念 之 面 向 一第 一 題 第 三 題 第 四 題1有 ” 分 ” 的 想 法 , 但 此 ” 分 ” 不 一 定 是 因無 法 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意不 能 接 受 巧 克 力 的 重 量 不 是分為 觀 察 物 本 身 變 異 的 性 質 而 產 生義 , 且 沒 有 變 異 的 想 法 。“50 公 克 “ 。的 ” 分 類 ” 的 動 機 , 而 是 分 送 、 分 裝的 意 思 。2因 為 作 業 中 的 分 果 機 , 而 對 觀 察 物無 法 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意接 受 巧 克 力 的 重 量 不 是 “50 公分本 身 變 異 的 性 質 產 生 ” 分 類 ” 的 想義 , 但 有 變 異 的 想 法 ; 可 以 正 確 解克 “, 但 不 接 受 包 裝 盒 上 重 量 的法 , 但 此 變 異 的 性 質 為 主 觀 的 、 無釋 “50±4g“ 的 數 學 意 義 , 但 無 法 合說 明 ; 接 受 巧 克 力 的 淨 重 超 過法 客 觀 量 化 的 性 質 。理 地 或 一 致 地 描 述 變 異 。50g, 但 不 接 受 低 於 50g。3因 為 作 業 中 的 分 果 機 , 而 對 觀 察 物可 以 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意接 受 巧 克 力 的 重 量 不 是 “50 公分本 身 變 異 的 性 質 產 生 ” 分 類 ” 的 想義 , 且 一 致 性 地 描 述 變 異 。克 “, 因 為 每 一 盒 裝 的 數 量 不 一法 , 且 此 變 異 的 性 質 是 可 客 觀 量 化樣 或 大 小 不 一 樣 或 因 為 重 量的 , 但 學 生 無 法 以 分 析 的 方 式 說 明 。沒 有 差 太 多 。4因 為 作 業 中 的 分 果 機 , 而 對 觀 察 物可 以 正 確 解 釋 “50±4g“ 的 數 學 意接 受 巧 克 力 的 淨 重 不分本 身 變 異 的 特 質 產 生 ” 分 類 ” 的 想義 , 並 從 機 率 的 觀 點 描 述 變 異 。是 ”50g”, 因 為 測 量 不 可 能 那 麼法 , 且 此 變 異 的 性 質 是 客 觀 的 、 可精 準 或 有 誤 差 。量 化 的 性 質 , 且 學 生 可 明 確 地 以 分析 的 方 式 說 明 。2. 第 二 份 訪 談 大 綱在 第 二 份 訪 談 大 綱 中 共 有 3 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 一 。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說明 :第 (1) 題 描 述 旋 轉 十 次 硬 幣 可 能 出 現 的 人 頭 面 次 數 , 目 的 是 理 解 學 生 是 否 能 描 述 變 異 。i. 所 有 學 生 均 回 應 旋 轉 硬 幣 一 次 的 結 果 是 不 確 定 。ii. 11/50 學 生 認 為 發 生 機 會 小 、 不 大 ( 太 ) 可 能 、 幾 乎 不 可 能 、 比 較 不 可 能 等 在 現 實 生 活中 就 不 可 能 或 不 會 發 生 。iii. 9/50 學 生 認 為 發 生 次 數 太 多 ( 少 ) 的 狀 況 在 現 實 生 活 中 不 可 能 或 不 會 發 生 。iv. 9/50 學 生 當 對 發 生 機 率 小 的 事 件 存 在 會 不 會 發 生 的 懷 疑 時 , 會 使 用 ” 應 該 不 會 發 生 ”來 描 述 。v. 5/50 學 生 誤 解 最 有 可 能 發 生 的 意 思 , 而 選 擇 人 頭 面 發 生 1 次 的 可 能 性 最 高 , 理 由 是 至少 有 一 次 會 發 生 , 或 者 選 擇 9 次 , 理 由 是 發 生 的 次 數 比 較 多 。vi. 22/50 學 生 認 為 最 可 能 發 生 的 次 數 雖 然 是 5 次 , 但 是 現 實 中 不 可 能 會 這 樣 完 美 , 而 也選 擇 或 僅 選 擇 4 或 6 次 最 可 能 發 生 。vii. 部 分 學 生 由 自 己 的 經 驗 認 定 出 現 的 人 頭 面 次 數 僅 有 一 種 可 能 。viii. 部 分 學 生 列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為 4~7 或 4~8, 因 為 它 們 比 較 靠 近 5。ix. 部 分 學 生 列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為 5~8 或 5~9, 因 為 之 前 的 經 驗 得 到 人 頭 面 的 次 數 比較 多 。x. 部 分 學 生 列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為 3~6、3~9, 其 他 次 數 不 是 太 少 , 就 是 太 多 。141
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究xi. 部 分 學 生 列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為 1~9、1~10、2~8 或 1~8, 並 認 為 0、1 或 9、10 的次 數 不 太 可 能 、 不 可 能 、 比 較 不 可 能 發 生 。xii. 部 分 學 生 列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為 0~10, 並 認 為 最 有 可 能 出 現 的 次 數 不 是 5 次 。xiii. 部 分 學 生 列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為 0~10, 並 認 為 最 有 可 能 出 現 的 次 數 是 5 次 。第 (2) 題 指 出 哪 個 結 果 是 實 際 旋 轉 硬 幣 六 次 會 發 生 的 結 果 , 目 的 是 理 解 學 生 如 何 認 定 現 實 生 活 中發 生 的 變 異 。i. 43/50 的 學 生 指 出 甲 乙 丁 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 , 原 因 均 為 六 次 的 次 數 一 模 一 樣 比較 不 可 能 、 機 率 小 或 不 會 發 生ii. 48/50 的 學 生 認 為 己 的 情 況 最 不 可 能 發 生 。iii. 部 分 學 生 指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 丙 戊 己 當 中 的 丙 , 因 為 最 靠 近 5。iv. 部 分 學 生 指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 甲 ( 丁 ), 因 為 次 數 比 較 多( 少 ), 或 者 沒 有 一 致 性 的 說 明 。v. 部 分 學 生 指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 甲 , 因 為 次 數 種 類 多 又 連 貫 。vi. 部 分 學 生 指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 丁 , 因 為 次 數 比 較 ” 平 均 ”( 靠近 5)、4 和 6 出 現 得 次 數 比 較 多 ( 學 生 認 定 4 次 和 6 次 比 較 有 可 能 出 現 ) 或 者 沒 有 一 致性 的 說 明 。vii. 部 分 學 生 指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 乙 , 因 為 次 數 相 差 最 多 、 比 較 ”分 散 ( 重 複 性 較 少 )” 、” 平 常 ( 重 複 性 較 少 ) ” 或 ” 平 均 ( 有 很 多 不 同 的 數 字 )”、 相 鄰 兩 次數 相 差 的 次 數 不 固 定 、 或 者 次 數 不 會 太 多 也 不 會 太 少 。viii. 部 分 學 生 指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 乙 , 因 為 乙 在 5 左 右 都 有 次數 。第 (3) 題 描 述 同 一 區 任 意 三 顆 雞 蛋 的 重 量 , 此 問 題 以 學 生 的 直 觀 回 應 作 為 計 分 的 內 容 , 目 的 是 理解 學 生 是 否 能 察 覺 處 處 存 在 的 變 異 。i. 部 分 學 生 直 接 回 應 63gii. 部 分 學 生 回 應 另 外 兩 顆 雞 蛋 的 重 量 不 是 21g, 但 為 不 合 理 的 重 量 或 不 合 理 的 解 釋 。。T: 媽 媽 拿 的 這 3 顆 雞 蛋 總 共 的 重 量 是 多 少 公 克 ?03F1:( 作 答 中 )T:50 公 克 ! 為 什 麼 ?03F1: 因 為 一 顆 雞 蛋 21 公 克 , 兩 顆 雞 蛋 就 一 定 不 同 公 克 。A: 你 覺 得 3 顆 雞 蛋 總 共 有 多 重 ?B:61 公 克 !A: 為 什 麼 你 會 選 61 公 克 ?B: 因 為 他 61 公 克 , 剩 下 兩 個 就 20 公 克 , 然 後 加 起 來 。A: 你 說 剩 下 兩 顆 是 20 公 克 ? 為 什 麼 ?B: 因 為 21 不 多 不 少 , 最 接 近 是 22 跟 20, 然 後 正 常 來 說 應 該 是 整 數 (20) 啊 !A: 你 說 雞 蛋 的 重 量 應 該 是 整 數 ?B: 正 常 出 ( 題 ) 數 字 都 是 整 數 啊142
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究iii. 部 分 學 生 以 21 為 中 心 回 應 另 外 二 顆 雞 蛋 重 量 。iv. 部 分 學 生 回 應 每 顆 雞 蛋 大 約 21g 或 與 21g 不 會 差 太 多 , 或 三 顆 總 重 量 大 約 63g。表 10 給 分 標 準 : 第 二 份 訪 談 大 綱 變 異 概 念 之 面 向 一第 (1) 題 第 (2) 題 第 (3) 題1由 自 己 的 經 驗 認 定 出 現 的指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 丙 戊 己 當 中 的 丙 , 因直 接 回 應 63g分人 頭 面 次 數 僅 有 一 種 可 能為 最 靠 近 5。2列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 甲三 個 不 一 樣 的 重 量 , 但 不 合 理分不 完 整 , 並 認 為 其 他 次 數( 丁 ), 因 為 次 數 比 較 多 ( 少 )。 指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的的 重 量 或 不 合 理 的 解 釋不 太 可 能 、 應 該 不 可 能 、情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 甲 , 因 為 次 數 種 類 多 又 連 貫 。 部幾 乎 不 可 能 、 次 數 太 多 或分 學 生 指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的次 數 太 少 等 。丁 , 因 為 次 數 比 較 ” 平 均 ”( 靠 近 5)、4 和 6 出 現 得 次 數比 較 多 ( 學 生 認 定 4 次 和 6 次 比 較 有 可 能 出 現 )3列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 乙 , 因三 顆 雞 蛋 總 重 量 以 63g 為 中分0~10。為 次 數 相 差 最 多 、 比 較 ” 分 散 ” 或 ” 平 均 ” 或 ” 平 常 ”( 重 複心 或 者 一 顆 雞 蛋 重 量 以 21 為性 較 少 )、 相 鄰 兩 次 數 相 差 的 次 數 不 固 定 、 或 者 次 數 不中 心會 太 多 也 不 會 太 少 。4列 出 可 能 的 人 頭 面 次 數 為指 出 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 為 甲 乙 丁 當 中 的 乙 , 因每 顆 雞 蛋 大 約 21g 或 與 21g 不分0~10, 並 認 為 最 可 能 的 次為 5 左 右 都 有 次 數 。會 差 太 多 , 或 三 顆 總 重 量 大 約數 為 5。63g3. 第 三 份 訪 談 大 綱在 第 三 份 訪 談 大 綱 中 共 有 3 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 一 。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說明 :第 (1) 題 回 應 金 妮 玩 投 籃 機 一 回 合 的 進 球 數 , 目 的 是 理 解 學 生 是 否 能 察 覺 生 活 中 處 處 存 在 的 變異 。 晤 談 此 問 題 以 前 先 確 定 學 生 確 實 理 解 此 類 型 統 計 圖 表 徵 資 料 的 意 義 , 且 在 晤 談 過 程中 也 不 斷 僅 就 圖 形 表 徵 的 部 分 再 三 確 認 並 提 醒 。i. 部 分 學 生 由 自 己 的 經 驗 認 為 一 定 是 某 特 定 的 進 球 數 。ii. 部 分 學 生 認 為 進 球 數 不 確 定 , 但 以 個 人 的 經 驗 選 擇 較 多 ( 少 ) 的 進 球 數 。iii. 部 分 學 生 認 為 進 球 數 不 確 定 , 但 選 擇 很 多 人 發 生 的 進 球 數 、 或 選 擇 只 有 一 個 人 發 生 的進 球 數 。T: 那 你 覺 得 金 妮 會 投 進 幾 球 ?36M5:10 球 …23、24…T: 怎 麼 說 ?36M5: 因 為 他 這 幾 個 一 個 回 合 。iv. 部 分 學 生 認 為 只 要 有 資 料 點 的 進 球 數 都 有 可 能 。143
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究T: 金 妮 投 了 兩 枚 代 幣 , 所 以 她 投 進 幾 球 ?33M5: 除 了 13、15、19、22 以 外 其 他 都 有 可 能第 (2) 題 哪 個 拍 球 次 數 統 計 圖 比 較 符 合 實 際 會 發 生 的 情 況 , 目 的 是 理 解 學 生 如 何 認 定 現 實 生 活 中發 生 的 變 異 。 晤 談 此 問 題 以 前 先 確 定 學 生 確 實 理 解 統 計 圖 表 徵 的 意 義 , 且 在 晤 談 過 程 中也 不 斷 僅 就 圖 形 表 徵 的 部 分 再 三 確 認 並 提 醒 。i. 部 分 學 生 從 主 觀 或 經 驗 來 說 明 選 擇 某 個 選 項 的 原 因 。ii. 部 分 學 生 選 擇 B 不 選 擇 D, 因 為 越 難 應 該 越 少 人 、 每 個 類 別 的 人 數 不 可 差 太 多 、 或中 間 人 數 多 兩 端 人 數 少 才 正 常 。iii. 部 分 學 生 選 擇 D 不 選 擇 B, 因 為 D 有 多 有 少 、 直 覺 、B 的 形 狀 太 整 齊 。iv. 部 分 學 生 選 擇 D 不 選 擇 B, 因 為 D 的 次 數 沒 有 規 律 或 B 的 次 數 太 有 規 律 。第 (3) 題 呈 現 距 離 和 時 間 的 關 係 圖 , 問 A 選 手 跑 了 2.5 小 時 後 , 距 離 原 點 多 少 公 里 ? 目 的 是 理 解學 生 是 否 能 察 覺 生 活 中 處 處 存 在 的 變 異 。 晤 談 此 問 題 以 前 先 確 定 學 生 確 實 理 解 此 類 型 統計 圖 表 徵 資 料 的 意 義 和 2.5 個 小 時 的 意 義 , 且 在 晤 談 過 程 中 也 不 斷 僅 就 圖 形 表 徵 和 時 間表 徵 的 部 分 再 三 確 認 並 提 醒 。i. 部 分 學 生 回 應 的 距 離 為 不 在 5 和 6 之 間 的 確 定 數 值 。T: 這 個 2.5 小 時 就 是 說 兩 個 小 時 又 三 十 分 鐘 , 那 現 在 兩 個 小 時 在 多 遠 的 位 置 ?03F1: 這 裡 ( 點 11)T: 為 什 麼 ?03F1: 因 為 他 有 可 能 已 經 跑 很 遠 了T: 可 是 他 是 跑 兩 個 小 時 又 三 十 分 鐘 喔 ! 不 是 第 五 個 小 時 , 想 看 看 兩 個 小 時 的 時 候 在 哪 裡03F1: 五 公 里T: 那 跑 三 個 小 時 的 時 候 呢 ?03F1: 六 公 里T: 那 兩 個 小 時 又 三 十 分 鐘 的 時 候 呢 ?03F1: 這 裡 ( 指 11)ii. 部 分 學 生 回 應 的 距 離 在 5.5, 或 計 算 平 均 速 率 、 或 5~6 之 間 的 某 些 數 值 。iii. 部 分 學 生 回 應 的 距 離 在 5.2~5.8 之 間 或 5.5 左 右 或 最 有 可 能 5.5。iv. 部 分 學 生 回 應 的 距 離 在 5~6 之 間 。144
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究表 11 給 分 標 準 : 第 三 份 訪 談 大 綱 變 異 概 念 之 面 向 一第 (1) 題 第 (2) 題 第 (3) 題1由 自 己 的 經 驗 認 為 一 定 是 某 特 定從 主 觀 或 經 驗 來 說 明 選 擇 某 個 選 項 的 原 因 。回 應 的 距 離 為 不 在 5 和 6 之分的 進 球 數 。間 的 確 定 數 值 。2進 球 數 不 確 定 , 但 以 個 人 的 經 驗 選選 擇 B 不 選 擇 D, 因 為 越 難 應 該 越 少 人 、 每 個回 應 的 距 離 在 5.5, 或 計 算 平分擇 較 多 ( 少 ) 的 進 球 數 。類 別 的 人 數 不 可 差 太 多 、 或 中 間 人 數 多 兩 端 人均 速 率 、 或 5~6 之 間 的 某 些數 少 才 正 常 。數 值 。3進 球 數 不 確 定 , 但 選 擇 很 多 人 發 生部 分 學 生 選 擇 D 不 選 擇 B, 因 為 D 有 多 有 少 、回 應 的 距 離 在 5.2~5.8 之 間 或分的 進 球 數 、 或 選 擇 只 有 一 個 人 發 生直 覺 、B 的 形 狀 、 高 低5.5 左 右 或 最 有 可 能 5.5。的 進 球 數4只 要 有 資 料 點 的 進 球 數 都 有 可 能 。部 分 學 生 選 擇 D 不 選 擇 B, 因 為 D 的 次 數 沒回 應 的 距 離 在 5~6 之 間 。分有 規 律 或 B 的 次 數 比 較 規 律 。( 二 ) 變 異 概 念 --- 以 統 計 圖 或 計 算 統 計 量 表 徵 變 異 程 度 , 以 作 為 比 較 、 決 策 或 估 計 的 依 據1. 第 一 份 訪 談 大 綱在 第 一 份 訪 談 大 綱 中 有 1 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 二 。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說明 :第 (2) 題 12 顆 在 同 一 區 選 取 的 蘋 果 , 測 量 其 中 6 顆 蘋 果 的 重 量 (206g, 210g, 219g, 221g, 224g,228g), 估 計 其 餘 六 顆 蘋 果 的 重 量 , 目 的 是 理 解 學 生 如 何 依 據 變 異 程 度 估 計 重 量 。i. 部 分 學 生 認 為 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 和 已 知 的 6 顆 蘋 果 重 量 一 樣 。ii. 部 分 學 生 依 據 個 人 主 觀 經 驗 或 無 一 致 性 的 理 由 來 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 。iii. 部 分 學 生 依 據 已 知 的 每 顆 蘋 果 的 重 量 , 多 一 點 或 少 一 點 來 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 。iv. 部 分 學 生 直 接 觀 察 每 個 數 據 的 共 同 特 徵 (200 多 ) 來 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 。v. 部 分 學 生 依 據 數 據 , 估 計 合 理 的 範 圍 , 再 依 此 範 圍 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 。T: 你 怎 麼 知 道 是 這 些 重 量 , 你 寫 220、217、211、226、214、219?10M3: 跟 這 邊 差 不 多T: 什 麼 叫 差 不 多10M3: 就 是 會 在 200~230 之 內 的T: 為 什 麼 會 選 這 個 範 圍 ?10M3: 因 為 沒 有 低 於 200 或 高 於 230vi. 部 分 學 生 依 據 數 據 發 生 的 次 數 和 範 圍 來 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 。T: 那 請 問 接 下 來 六 粒 會 有 多 重26F4: 大 概 220 吧T:220, 為 什 麼 ?26F4: 因 為 這 是 22 幾 22 幾 ,221、224、228 都 比 較 多 阿T: 他 想 要 叫 你 幫 我 猜 看 看 剩 下 六 顆 會 有 多 重 , 我 給 你 一 張 紙 , 你 幫 我 寫 看 看 剩 下 六 顆 有 多 重145
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究26F4:( 220、221、222、223、224、210)vii. 部 分 學 生 依 據 數 據 , 估 計 合 理 的 中 心 點 和 範 圍 , 依 此 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 。T: 你 同 意 , 你 覺 得 在 同 一 區 拿 我 可 以 從 知 道 的 六 粒 猜 出 剩 下 的 六 粒13M5: 大 概 是 218 吧T: 你 幫 我 寫 下 來 , 其 他 六 粒 會 不 會 都 一 樣 重13M5:(212、216、218、220、224、228)T: 為 什 麼13M5: 我 就 看 它 們 最 少 的 跟 最 多 的 , 最 重 的 跟 最 輕 的 , 然 後 再 從 裡 面 隨 便 挑 幾 個 數 字2. 第 二 份 訪 談 大 綱在 第 二 份 訪 談 大 綱 中 有 1 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 二 。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說明 :第 (4) 題 顯 示 五 年 甲 班 和 五 年 乙 班 兩 班 同 學 的 數 學 成 績 , 並 比 較 那 一 班 的 成 績 表 現 比 較 分 散 , 目的 是 理 解 學 生 如 何 依 據 變 異 程 度 作 比 較 。 在 晤 談 以 前 , 先 確 認 學 生 理 解 分 散 的 意 義 ; 在晤 談 過 程 中 , 隨 時 僅 就 分 散 的 意 義 提 醒 學 生 。i. 部 分 學 生 依 據 個 位 數 字 的 接 近 程 度 說 明 分 散 程 度 。T: 你 覺 得 哪 一 個 班 級 的 表 現 比 較 分 散 ?20F2: 甲 班 。T: 為 什 麼 是 甲 班 ?20F2: 因 為 有 人 考 90、 有 人 考 77, 差 很 多 。T: 可 是 乙 班 也 有 考 90 幾 跟 70 幾 耶 !20F2: 乙 班 的 個 位 數 比 較 接 近 。T: 乙 班 的 個 位 數 ? 你 看 哪 幾 個 數 字 可 以 告 訴 我 嗎 ?20F2:(8)5 跟 (9)3 很 接 近 , 然 後 (7)0 跟 (9)3 很 接 近 、(8)6 跟 (8)7 也 很 接 近 。ii. 部 分 學 生 上 下 成 對 比 較 班 級 間 分 數 的 數 據 大 小 , 數 據 大 發 生 次 數 多 的 班 級 分 散 程 度大 。T: 那 哪 一 班 比 較 分 很 開 ?04M1: 沒 有T: 沒 有 喔 , 一 樣 開 是 不 是 , 你 怎 麼 知 道 一 樣 開 ?04M1: 因 為 70 跟 77 是 70 再 加 7 是 77,80 再 加 5 是 85, 然 後 83 跟 85 差 很 近 ,86 跟 86 一 樣 ,87跟 87 也 一 樣 ,89 跟 87,91 跟 93 都 差 很 近 。 所 以 兩 班 都 沒 有 分 散iii. 部 分 學 生 依 據 班 級 內 較 高 分 數 的 數 據 大 小 , 數 據 大 比 較 分 散T: 哪 一 班 的 分 數 比 較 分 散 ?146
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究03F1: 乙 班T:: 你 為 什 麼 覺 得 是 乙 班 ?03F1:93 跟 89 比T:93 為 什 麼 要 跟 89 比 ?03F1: 一 個 是 大 號 碼 , 一 個 是 90 幾T: 那 你 要 怎 麼 比 ?03F1: 看 誰 的 數 字 比 較 大iv. 部 分 學 生 計 算 班 級 內 相 鄰 兩 個 分 數 的 差 距 , 差 距 較 大 發 生 在 哪 一 組 , 該 組 分 數 就 分 散T: 那 一 班 的 數 學 成 績 表 現 比 較 分 散 ?14F5::( 寫 )T: 甲 班 阿 , 為 什 麼14F5: 因 為 這 個 分 數 差 距 都 比 較 大T: 誰 跟 誰 差 距 大14F5: 這 兩 個 是 差 三T:77 跟 80 差 三14F5: 然 後 這 個 也 是 差 三T:80 跟 83 也 差 三14F5: 這 也 是 差 三 , 然 後 從 這 裡 是 差 一 , 這 裡 是 差 二 , 然 後 這 裡 差 二T: 然 後 乙 班 的 呢14F5: 乙 班 這 個 是 差 五 , 這 邊 是 差 十 五 , 這 邊 沒 有 差 , 這 邊 差 一 , 這 邊 差 一 , 這 邊 沒 有 差 , 這 邊 差六T: 那 你 覺 得 甲 班 的 數 學 分 數 跟 乙 班 的 數 學 分 數 誰 比 較 散 開14F5: 乙T: 乙 班 , 為 什 麼14F5: 因 為 它 這 個 是 差 十 五v. 部 分 學 生 依 據 班 級 內 最 高 ( 低 ) 和 次 高 ( 低 ) 分 數 的 差 距 , 差 距 大 比 較 分 散 。vi. 部 分 學 生 依 據 班 級 內 中 間 相 鄰 分 數 的 差 距 , 差 距 大 比 較 分 散 。T: 所 以 他 們 的 數 學 成 績 誰 分 比 較 開 ?09F3: 五 年 甲 班 。A: 你 怎 麼 判 斷 的 ?09F3: 因 為 乙 班 他 就 是 85、85 兩 個 , 和 86、87, 只 有 最 後 一 個 93 和 一 開 始 的 70 跳 的 比 較 遠 。09F3: 然 後 ( 甲 ) 第 一 個 就 是 他 都 跳 3 格 , 他 77 到 80 就 差 3 格 、80 到 83 就 差 3 格 、83 到 86 就 差 3格 、87 到 89 也 差 3 格 , 然 後 89 到 91 也 是 差 3 格 。vii. 部 分 學 生 依 據 全 距 , 全 距 大 比 較 分 散 。viii. 部 分 學 生 依 據 數 據 重 複 性 , 重 複 性 少 比 較 分 散 。147
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究3. 第 三 份 訪 談 大 綱在 第 三 份 訪 談 大 綱 中 有 1 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 二 。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說明 。第 (4) 題 比 較 兩 個 統 計 圖 形 , 分 別 記 錄 21 朵 向 日 葵 生 長 高 度 , 依 此 判 斷 使 用 哪 一 種 品 牌 的 肥 料 ,目 的 是 理 解 學 生 如 何 比 較 變 異 程 度 並 作 決 策 。i. 部 分 學 生 比 較 某 一 個 點 的 次 數 訂 定 決 策 , 例 如 A 和 B 的 集 中 點 或 A 的 集 中 點 。。ii. 部 分 學 生 僅 依 據 最 大 ( 小 ) 值 的 數 據 大 小 訂 定 決 策 。iii. 部 分 學 生 依 據 整 體 次 數 分 佈 訂 定 決 策 , 例 如 每 個 高 度 都 要 有 次 數 、 次 數 不 會 差 很 多 ,高 度 高 的 次 數 多 。iv. 部 分 學 生 僅 依 據 分 散 程 度 訂 定 決 策 。v. 部 分 學 生 依 據 集 中 點 的 位 置 訂 定 決 策 。vi. 部 分 學 生 依 據 集 中 點 位 置 和 分 散 程 度 訂 定 決 策 。表 12 給 分 標 準 : 變 異 概 念 之 面 向 二第 一 份 訪 談 大 綱 第 二 份 訪 談 大 綱 第 三 份 訪 談 大 綱1其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 和 已 知 的 6 顆 蘋 果 重依 據 個 位 數 字 的 接 近 程 度 說 明 分 散 程 度 ; 上部 分 學 生 比 較 某 一 個分量 一 樣下 成 對 比 較 班 級 間 分 數 的 數 據 大 小 來 說 明 分點 的 次 數 訂 定 決 策 ;散 程 度 ; 依 據 班 級 內 較 高 分 數 的 數 據 大 小 ,僅 依 據 最 大 ( 小 ) 值 的數 據 大 比 較 分 散數 據 大 小 訂 定 決 策2依 據 個 人 主 觀 經 驗 或 無 一 致 性 的 理 由 來 估依 據 班 級 內 最 高 ( 低 ) 和 次 高 ( 低 ) 分 數 的 差 距依 據 整 體 次 數 分 佈 訂分計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 或 重 量 範 圍 ; 依 據定 決 策已 知 的 每 顆 蘋 果 的 重 量 , 多 一 點 或 少 一 點來 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 ; 直 接 觀 察 每個 數 據 的 共 同 特 徵 (200 多 ) 來 估 計 其 餘 6 顆蘋 果 的 重 量3依 據 數 據 , 估 計 合 理 的 範 圍 , 再 依 此 範 圍計 算 班 級 內 相 鄰 兩 個 分 數 的 差 距 ; 依 據 班 級依 據 分 散 程 度 訂 定 決分估 計 其 餘 6 顆 蘋 果 的 重 量內 中 間 相 鄰 分 數 的 差 距 ; 依 據 全 距策 ; 依 據 集 中 點 的 位依 據 數 據 重 複 性置 訂 定 決 策4依 據 數 據 發 生 的 次 數 比 例 和 範 圍 來 估 計 其依 據 集 中 點 位 置 和 分分餘 6 顆 蘋 果 的 重 量 ; 依 據 數 據 , 估 計 合 理散 程 度 訂 定 決 策的 中 心 點 和 範 圍 , 依 此 估 計 其 餘 6 顆 蘋 果的 重 量( 三 ) 變 異 概 念 --- 解 釋 變 異 的 原 因 或 對 變 異 表 徵 的 影 響1. 第 一 份 訪 談 大 綱在 第 一 份 訪 談 大 綱 中 有 1 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 三 。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說明 。第 (5) 題 巧 克 力 糖 每 盒 重 量 變 異 的 來 源 和 控 制 , 目 的 是 理 解 學 生 是 否 知 道 可 能 的 變 異 來 源 , 是 否148
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究可 利 用 此 變 異 來 源 作 變 異 程 度 的 控 制 。i. 全 部 學 生 主 要 都 認 為 每 盒 巧 克 力 糖 的 數 量 或 每 顆 巧 克 力 糖 的 大 小 ( 果 實 和 小 克 力 醬 的影 響 ) 是 影 響 巧 克 力 每 盒 重 量 不 同 的 原 因 。ii. 部 分 學 生 認 為 只 要 出 廠 以 前 有 先 秤 過 , 每 盒 重 量 就 會 一 樣 。iii. 部 分 學 生 認 為 只 要 控 制 每 盒 巧 克 力 糖 數 量 一 樣 , 每 盒 重 量 就 一 樣 。iv. 部 分 學 生 認 為 很 難 控 制 每 一 顆 巧 克 力 重 量 一 樣 , 但 可 以 控 制 每 盒 巧 克 力 重 量 一 樣 。v. 部 分 學 生 說 明 很 難 控 制 每 一 盒 巧 克 力 重 量 相 同 的 原 因 。vi. 部 分 學 生 說 明 可 以 控 制 每 一 盒 巧 克 力 重 量 接 近 , 但 沒 說 明 如 何 控 制 或 使 用 非 變 異 來 源的 因 素 控 制 。vii. 部 分 學 生 說 明 可 以 控 制 造 成 變 異 發 生 的 因 素 來 控 制 每 一 盒 巧 克 力 重 量 接 近 。T: 那 我 問 妳 , 妳 覺 得 有 沒 有 辦 法 控 制 到 讓 它 大 家 都 一 樣 ?35M5: 控 制 的 話 , 那 就 是 ~ 恩 ~ 就 把 他 仔 細 的 數 清 楚 的 話 。T: 數 清 楚 ?35M5: 恩 。T: 數 顆 數 是 不 是 ?35M5: 對 , 然 後 在 送 出 去 前 先 秤 一 下 。T: 然 後 秤 到 剛 好 五 十 才 出 去 ?35M5: 就 是 五 十 一 四 十 九 。T: 就 是 差 一 公 克 以 內 妳 覺 得 都 是 很 接 近 了 是 不 是 ?35M5: 恩 。2. 第 二 份 訪 談 大 綱在 第 二 份 訪 談 大 綱 中 有 1 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 三 。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說明 。第 (5) 題 每 次 跑 100 公 尺 的 時 間 都 一 樣 嗎 ? 目 的 是 理 解 學 生 是 否 知 道 變 異 來 源 , 以 及 控 制 變 異 來源 之 後 變 異 程 度 的 改 變 。i. 部 分 學 生 認 為 每 次 跑 100 公 尺 的 時 間 都 一 樣 。ii. 部 分 學 生 認 為 只 要 控 制 造 成 變 異 的 因 素 , 每 次 跑 100 公 尺 的 時 間 都 一 樣 。iii. 部 分 學 生 認 為 控 制 造 成 變 異 的 因 素 , 每 次 跑 100 公 尺 的 時 間 不 一 樣 或 有 時 候 一 樣 有 時候 不 一 樣 。iv. 部 分 學 生 認 為 控 制 造 成 變 異 的 因 素 , 每 次 跑 100 公 尺 的 時 間 就 會 差 比 較 少 。3. 第 三 份 訪 談 大 綱在 第 三 份 訪 談 大 綱 中 有 1 個 問 題 屬 於 變 異 概 念 之 面 向 三 。 以 下 為 訪 談 內 容 之 整 理 和 舉 例 說明 。第 (5) 題 呈 現 養 寵 物 種 類 的 調 查 統 計 表 , 思 考 變 異 來 源 如 何 影 響 統 計 圖 表 徵 的 變 異 。i. 十 個 人 全 部 都 養 狗149
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究21M3:ii. 呈 現 一 模 一 樣 的 統 計 圖13F5:iii. 狗 的 比 例 沒 有 增 加 , 次 數 不 是 最 多 , 解 釋 不 一 致 或 與 狗 展 無 關 。03F1:iv. 狗 的 比 例 沒 有 減 少 , 次 數 最 多 , 理 由 與 參 加 狗 展 無 關 。01F1:v. 狗 的 比 例 一 樣 , 次 數 最 多 , 理 由 與 參 加 狗 展 有 關10M3:vi. 狗 的 比 例 沒 有 減 少 , 次 數 最 多 , 理 由 與 狗 展 有 關 。05M3:150
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究表 13 給 分 標 準 : 變 異 概 念 之 面 向 三第 一 份 訪 談 大 綱 第 二 份 訪 談 大 綱 第 三 份 訪 談 大 綱1部 分 學 生 認 為 每 次 跑 100 公 尺 的 時十 個 人 全 部 都 養 狗分間 都 一 樣呈 現 一 模 一 樣 的 統 計 圖2很 難 控 制 每 一 顆 巧 克 力 重 量 一 樣 , 但 可 以 控只 要 控 制 造 成 變 異 的 因 素 , 每 次 跑狗 的 比 例 沒 有 增 加 , 次 數 不分制 每 盒 巧 克 力 重 量 一 樣 ; 或 僅 說 明 很 難 控 制100 公 尺 的 時 間 都 一 樣是 最 多 , 解 釋 不 一 致 或 與 狗每 一 盒 巧 克 力 重 量 一 樣 的 原 因 ; 只 要 控 制 每展 無 關 ; 狗 的 比 例 沒 有 減盒 巧 克 力 糖 數 量 一 樣 , 每 盒 重 量 就 一 樣 ; 只少 , 次 數 最 多 , 理 由 與 參 加要 出 廠 以 前 有 先 秤 過 , 每 盒 重 量 就 會 一 樣狗 展 無 關3可 以 控 制 每 一 盒 巧 克 力 重 量 接 近 , 但 沒 說 明控 制 造 成 變 異 的 因 素 , 每 次 跑 100狗 的 比 例 一 樣 , 次 數 最 多 ,分如 何 控 制 或 用 非 變 異 來 源 的 因 素 控 制公 尺 的 時 間 不 一 樣 或 有 時 候 一 樣理 由 與 參 加 狗 展 有 關有 時 候 不 一 樣4可 以 控 制 造 成 變 異 來 源 發 生 的 因 素 來 控 制 每控 制 造 成 變 異 的 因 素 , 每 次 跑 100狗 的 比 例 增 加 , 次 數 最 多 ,分一 盒 巧 克 力 重 量 接 近公 尺 的 時 間 就 會 差 比 較 少理 由 與 狗 展 有 關( 四 ) 變 異 概 念 訪 談 回 應 之 表 現 分 佈下 表 為 每 份 問 卷 大 綱 每 個 變 異 概 念 面 向 的 每 個 問 題 , 學 生 給 分 的 分 佈 和 平 均 表 現 。 從 數 據 中 顯 示1. 學 生 在 每 一 份 訪 談 大 綱 中 的 表 現 都 是 變 異 概 念 之 面 向 三 優 於 面 向 一 , 且 面 向 一 優 於 面 向 二 。2. 在 變 異 概 念 之 面 向 一 中 , 以 第 三 份 問 卷 大 綱 的 平 均 (3.04) 表 現 最 佳 , 第 二 份 問 卷 大 綱 的 平 均表 現 最 差 (2.60)。3. 在 變 異 概 念 之 面 向 二 中 , 以 第 一 份 問 卷 大 綱 的 第 2 題 表 現 較 佳 (2.61), 第 三 份 問 卷 大 綱 的 第 4題 表 現 最 差 (2.39)。4. 在 變 異 概 念 之 面 向 三 中 , 以 第 二 份 問 卷 大 綱 的 第 5 題 表 現 較 佳 (2.28), 第 一 份 問 卷 大 綱 的 第 5題 表 現 最 差 (2.97)。表 14 學 生 在 變 異 概 念 各 面 向 之 平 均 表 現平 均面 向 ( 一 ) 2.76面 向 ( 二 ) 2.50面 向 ( 三 ) 3.15151
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究表 15 學 生 回 應 問 題 的 給 分 分 佈 和 平 均 表 現訪 談 大 綱 變 異 概 念 問 題 給 分 各 題各 題面 向訪 談 大 綱1 2 3 4平 均 數標 準 差平 均 數平 均 數一 面 向 ( 一 ) 1 12% 32% 24% 32% 2.76 1.03 2.65 2.733 14% 38% 30% 18% 2.52 0.944 14% 26% 36% 24% 2.68 1.01面 向 ( 二 ) 2 8% 39% 39% 14% 2.61 0.81 2.61面 向 ( 三 ) 5 0% 36% 32% 32% 2.97 0.81 2.97二 面 向 ( 一 ) 1 4% 58% 20% 18% 2.51 0.85 2.60 2.712 14% 36% 36% 14% 2.50 0.913 22% 22% 14% 42% 2.77 1.21面 向 ( 二 ) 4 18% 14% 68% 0% 2.50 0.78 2.50面 向 ( 三 ) 5 4% 8% 46% 42% 3.28 0.75 3.28三 面 向 ( 一 ) 1 0% 10% 36% 54% 3.42 0.70 3.04 2.942 8% 26% 46% 20% 2.80 0.853 8% 26% 40% 28% 2.91 0.86面 向 ( 二 ) 4 18% 42% 22% 18% 2.39 0.98 2.39面 向 ( 三 ) 5 8% 26% 10% 58% 3.20 1.00 3.20六 、 結 論將 以 上 表 9~13 中 學 生 在 每 個 問 題 的 得 分 依 變 異 概 念 之 面 向 說 明 每 個 層 次 的 表 現 特 徵 。( 一 ) 變 異 概 念 認 知 層 次 表 現 特 徵1. 變 異 概 念 --- 察 覺 變 異 的 無 所 不 在 、 接 受 變 異 的 存 在(1) 無 變 異 概 念 的 表 現 特 徵i. 因 個 人 主 觀 經 驗 或 機 率 迷 思 而 沒 有 注 意 或 察 覺 變 異ii. 確 定 且 單 一 對 應 的 思 考 模 式iii. 面 對 操 作 變 異 的 情 境 或 變 異 表 徵 符 號 時 , 仍 無 法 或 沒 有 察 覺 變 異(2) 不 一 致 變 異 概 念 的 表 現 特 徵i. 以 個 人 經 驗 、 主 觀 或 迷 思 描 述 變 異 可 能 發 生 的 點ii. 僅 注 意 或 察 覺 到 觀 察 物 視 覺 或 感 官 性 的 變 異 性 質iii. 數 學 計 算 思 考 無 法 連 結 變 異 思 考iv. 可 注 意 或 察 覺 到 變 異 的 存 在 , 但 不 能 接 受 變 異 的 事 實(3) 量 化 變 異 概 念i. 注 意 或 察 覺 到 變 異 , 並 接 受 變 異 的 事 實 , 但 無 法 正 確 描 述 其 不 確 定 性ii. 注 意 或 察 覺 到 觀 察 物 可 客 觀 量 化 的 變 異 性 質 。iii. 數 學 計 算 和 變 異 思 考 可 相 互 連 結iv. 以 某 特 定 點 ( 非 集 中 點 ) 為 中 心 或 以 次 數 分 佈 的 形 狀 、 特 徵 來 描 述 變 異 可 能 發 生 的 點152
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究(4) 分 析 變 異 概 念i. 可 注 意 或 察 覺 到 變 異 , 且 能 正 確 描 述 不 確 定 性ii. 注 意 或 察 覺 到 觀 察 物 可 客 觀 量 化 的 變 異 性 質 , 並 以 分 析 的 方 式 說 明iii. 能 連 結 數 學 和 機 率 來 思 考 和 接 受 變 異iv. 考 量 最 可 能 發 生 的 點 來 描 述 變 異 可 能 發 生 的 點2. 變 異 概 念 --- 以 統 計 圖 或 計 算 統 計 量 表 徵 變 異 程 度 , 以 作 為 比 較 、 決 策 或 估 計 的 依 據(1) 無 變 異 概 念i. 錯 誤 或 無 意 義 的 方 式 表 徵 變 異 程 度ii. 以 單 一 點 訂 定 決 策iii. 單 一 對 應 的 方 法 估 計(2) 不 一 致 的 變 異 概 念i. 以 不 一 致 的 理 由 或 個 人 主 觀 經 驗 來 表 徵 變 異ii. 每 個 數 字 分 開 考 量 或 依 據 每 個 數 字 的 共 同 特 徵 來 估 計iii. 看 統 計 圖 圖 形 ( 次 數 分 佈 ) 來 訂 定 決 策 。iv. 依 據 某 一 部 份 資 料 的 分 散 程 度 作 為 整 體 資 料 的 分 散 程 度(1) 量 化 變 異 概 念i. 使 用 範 圍 作 為 估 計 的 依 據ii. 依 據 差 距 或 重 複 性 來 比 較 變 異 程 度iii. 依 據 分 散 程 度 或 集 中 位 置 來 訂 定 決 策(2) 分 析 變 異 概 念i. 同 時 依 據 數 字 發 生 的 範 圍 和 發 生 的 次 數 比 例 或 合 理 的 中 心 點 來 估 計ii. 同 時 以 集 中 點 位 置 和 分 散 程 度 訂 定 決 策iii. 同 時 考 量 平 均 數 和 數 據 到 平 均 數 的 差 距 來 比 較 分 散 程 度3. 變 異 概 念 --- 解 釋 變 異 的 原 因 或 對 變 異 表 徵 的 影 響(1) 無 變 異 概 念i. 變 異 來 源 對 變 異 表 徵 沒 有 影 響ii. 沒 有 察 覺 變 異(2) 不 一 致 的 變 異 概 念i. 可 以 控 制 整 體 的 變 異 , 但 不 能 控 制 部 分 的 變 異ii. 只 要 控 制 影 響 變 異 的 來 源 , 就 沒 有 變 異iii. 變 異 表 徵 的 改 變 與 變 異 來 源 無 關(3) 量 化 變 異 概 念i. 知 道 控 制 變 異 來 源 後 , 變 異 仍 然 存 在ii. 變 異 來 源 對 變 異 表 徵 的 改 變 有 影 響(4) 分 析 變 異 概 念i. 知 道 控 制 變 異 來 源 後 , 變 異 仍 然 存 在 且 變 異 程 度 變 小ii. 變 異 來 源 對 變 異 表 徵 的 改 變 程 度 有 強 烈 影 響153
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究( 二 ) 表 徵 和 變 異 概 念 的 歸 納1. 學 生 表 徵 變 異 以 估 計 、 比 較 或 決 策 的 表 現 最 差 , 而 知 道 變 異 來 源 及 其 影 響 的 表 現 最 佳2. 在 察 覺 和 注 意 變 異 的 表 現 中 , 學 生 在 圖 形 表 徵 的 部 份 表 現 最 好3. 在 表 徵 變 異 以 估 計 、 比 較 或 決 策 中 , 學 生 在 圖 形 表 徵 的 部 份 表 現 最 差4. 在 知 道 變 異 來 源 及 其 影 響 中 , 以 文 字 描 述 情 境 的 部 分 表 現 最 好七 、 參 考 文 獻教 育 部 (2003)。 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 。 台 北 : 教 育 部 。張 春 興 。(1989)。 張 氏 心 理 學 辭 典 。 台 北 。 東 華 書 局 。蔣 治 邦 。(1994)。 由 表 徵 觀 點 探 討 新 教 材 數 與 計 算 活 動 的 設 計 。 台 灣 省 國 民 學 校 教 師 研 習 會 編 印Ben-Zvi, D. 和 Garfield, J. (Eds.) (2004). Special issue: Research on reasoning aboutvariability. StatisticsEducation Research Journal 3(2).Bruner, J. S. (1964). The course of cognitive growth. American Psychologist, 19, 1-15.Davis, R. B. (1984). Learning Mathematics: The Cognitive Approach to Mathematics Education. London:Croom HelmDufour – Janvier, B., Bednarz, N., 和 Belanger, M. (1987). Pedagogical considerations concerning theproblem of representation. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learningof mathematics (pp. 109-122). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates Publishers.Duval, R. (2000). Basic issues for research in mathematics education, in T. Nakahara and M. Koyama (eds.),Proceedings of the 24th Conference of PME, 1, Nishiki Print Co. Ltd., Hiroshima, pp. 55–69.Garfield, J., 和 Ben-Zvi, D. (2005). A Framework for teaching and assessing reasoning about variability.Statistics Education Research Journal 3(2).Heddens, J. W. (1984). Today’s Mathematics, 5thed. Chicago: Ccience Research Associates.Hiebert, J. 和 Carpenter, T. P. (1992). Learning and Teaching with Understanding. In Grouws, D. A. (Ed.)Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 65-97). New York: MacmillanKaput, J. J. (1987a). Representation systems and mathematics. In C. Janvier (Ed.), Problems ofrepresentation in teaching and learning mathematics (pp. 19–26). Hillsdale, NJ: Erlbaum.Lesh, R., Post, T.& Behr, M.(1987). Representations and translations among representations inmathematics learning and problem solving . In C.Janvier(ed.)Problems of representation in theteaching and learning of mathematics. Lawrence Erblaum Associates,inc.,125-145.Moore, D. (1990). Uncertainty. In L. Steen (Ed.), On the Shoulders of Giants (pp. 95-137). Washington, DC: Academy Press.National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics.Reston, VA: Author.Pfannkuch, M. (1997). Statistical thinking: One statistician’s perspective In F. Bidduch 和 K. Carr (Eds.),Proceedings of the 20th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group ofAustralasia , (pp. 406-413). Rotorua, NZ:MERGA.154
陳 幸 玫 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 二 : 兒 童 資 料 變 異 概 念 之 發 展 研 究Pfannkuch, M., 和 Wild, C.J. (2004). Towards an understanding of statistical thinking. In D. Ben-Zvi 和 J.Garfield (Eds.), The challenge of developing statistical literacy, reasoning, and thinking (pp. 17-46).Dordrecht, The Netherlands, Kluwer Academic Publishers.Reading, C., 和 Reid, J. (2004). Measuring the development of students’ consideration of variation.Statistics Education Research Journal, 7(1), 40-59.Reading, C., 和 Reid, J. (2010). Reasoning about variation rethinking theoretical frameworks to informpractice. International Association of Statistical Education (IASE) ICOTS8 Invited Paper Refereed.Reading, C., 和 Shaughnessy, M. (2004). Reasoning about variation. In D. Ben-Zvi 和 J. Garfield (Eds.)The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning, and Thinking (pp. 201-226). Dordrecht,The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.Shaughnessy, J. (1997). Missed opportunities in research on the teaching and learning of data and chance. InF. Bidduch 和 K. Carr (Eds.), Proceedings of the 20th Annual Conference of the MathematicsEducation Research Group of Australasia, (pp. 6-22). Rotorua, NZ: MERGA.Watson, J. M., 和 Kelly, B. A. (2002). Can grade 3 students learn about variation? In B. Phillips(Ed.),Developing a statistically literate society: Proceedings of the Sixth International Conference onTeaching Statistics, Cape Town. Voorburg, The Netherlands: International Statistical InstituteWatson, J. M., Kelly, B. A., Callingham, R. A., & Shaughnessy, J. M. (2003). The measurement of schoolstudents’ understanding of statistical variation. International Journal of Mathematical Education inScience and Technology, 34, 1-29.Wild, C. J., 和 Pfannkuch, M. (1999). Statistical thinking in empirical enquiry. International StatisticalReview, 67(3), 223–265.七 、 計 畫 成 果 自 評本 研 究 在 三 年 中 所 收 集 到 的 資 料 均 為 質 性 資 料 , 資 料 量 多 且 整 理 工 作 一 而 再 修 改 和 重 新 計 分 。整 理 出 來 的 變 異 概 念 各 層 次 的 特 徵 表 現 仍 有 待 更 細 緻 的 潤 修 , 雖 不 盡 滿 意 , 但 綜 觀 目 前 相 關 文 獻 , 針對 各 面 向 之 自 發 性 變 異 概 念 的 表 現 特 徵 作 深 入 的 概 念 層 次 分 析 , 相 當 少 數 。 而 對 於 個 別 學 生 在 不 同 表徵 的 情 況 下 , 概 念 的 轉 變 和 協 調 , 此 部 分 的 分 析 仍 在 繼 續 努 力 中 。 本 研 究 在 三 年 期 間 , 參 與 三 次 國 內和 國 際 研 討 會 各 三 次 並 在 會 中 報 告 研 究 成 果 。 此 外 , 指 導 研 究 生 三 位 並 完 成 碩 士 論 文 。 依 據 本 計 畫 所歸 納 出 來 的 變 異 概 念 認 知 層 次 表 現 特 徵 , 研 究 者 已 經 完 成 調 查 問 卷 的 設 計 , 預 計 於 下 學 期 進 行 大 量 施測 , 以 作 為 質 性 分 析 結 果 的 量 化 佐 證 , 此 部 份 的 工 作 , 並 未 於 三 年 計 畫 中 , 但 研 究 者 認 為 對 於 論 文 的發 表 應 更 有 幫 助 。155
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php156
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 -子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量 (3/3)計 畫 主 持 人 : 林 素 微共 同 主 持 人 : 蔡 蓉 青計 畫 參 與 人 員 : 王 長 勝 、 黃 千 益 、 鄭 伊 淳計 畫 類 別 : 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 : NSC 98-2511-S-024-011-M執 行 期 間 : 100 年 08 月 01 日 至 101 年 07 月 31 日執 行 單 位 : 國 立 臺 南 大 學 教 育 系壹 、 前 言數 量 化 的 訊 息 處 處 存 在 , 並 且 以 統 計 方 式 呈 現 的 訊 息 愈 來 愈 多 , 例 如 運 用 統 計資 訊 來 增 加 廣 告 、 論 述 或 者 建 議 等 等 的 可 信 度 。 然 而 許 多 研 究 調 查 指 出 主 流 社 會 的成 年 人 無 法 思 考 影 響 他 們 生 活 的 重 要 統 計 議 題 (Ben-Zvi & Garfield, 2005)。Pfannkuch 與 Wild (2005) 指 出 當 今 的 教 學 方 法 常 著 重 在 技 巧 的 發 展 而 無 法 強 化 統計 思 考 的 能 力 。 當 今 對 於 統 計 重 視 , 可 以 從 現 在 中 小 學 數 學 課 程 中 的 統 計 內 容 的 增加 , 並 將 統 計 教 學 焦 點 著 重 在 於 協 助 學 生 發 展 資 料 分 析 的 理 解 和 熟 悉 感 , 而 不 再 是教 導 他 們 一 組 瑣 碎 的 技 巧 和 程 序 。 許 多 國 家 新 近 設 定 的 K-12 統 計 教 學 課 程 計 畫 目標 , 均 包 含 發 展 學 生 的 統 計 理 解 、 推 理 、 和 統 計 素 養 。 ( 如 , 澳 洲 —AustralianEducation Council, 1991, 1994; 紐 西 蘭 —Ministry of Education, 1992; 美國 —National Council of Teachers for Mathematics, 2000)。統 計 素 養 (statistical literacy) 可 廣 泛 地 視 為 人 們 解 釋 和 嚴 謹 計 算 統 計 資訊 、 資 料 關 係 或 隨 機 現 象 的 能 力 ; 人 們 去 論 述 或 傳 遞 他 們 對 統 計 資 訊 的 看 法 和 意 義的 理 解 ; 以 及 他 們 對 這 些 訊 息 的 應 用 或 他 們 對 特 定 論 述 決 定 是 否 接 受 的 能 力(Gal,2005)。 隨 著 統 計 的 逐 步 發 展 , 並 且 變 成 了 愈 獨 特 的 學 科 , 統 計 教 學 面 臨 了 改變 的 需 要 。 統 計 的 改 革 趨 勢 愈 來 愈 著 重 資 料 數 據 , 但 相 對 的 降 低 了 理 論 的 比 重 (Cobb,1992)。在 教 學 目 標 與 活 動 進 行 方 式 發 生 實 質 改 變 後 , 教 什 麼 ? 怎 麼 教 ? 往 往 需 要 明 確的 教 學 指 引 提 供 實 際 的 協 助 , 同 樣 的 , 如 果 教 育 目 標 、 課 程 內 容 及 教 學 活 動 設 計 發157
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量生 變 革 , 評 量 內 容 和 方 式 也 自 然 需 要 配 合 改 變 。 如 果 再 沿 襲 傳 統 測 量 的 方 式 來 進 行評 量 , 可 能 會 嚴 重 斲 傷 課 程 精 義 、 折 損 改 革 成 效 。 從 改 寫 教 育 目 標 為 可 觀 察 可 評 量的 標 的 , 修 訂 舊 題 目 , 嘗 試 新 題 型 到 明 確 具 體 參 考 示 例 的 累 積 , 這 些 工 作 絕 不 是 少數 人 短 時 間 所 可 能 達 成 的 。 這 一 點 ,Ben-Zvi 與 Garfield(2005) 所 提 到 的 統 計 教 學改 革 建 議 中 也 提 及 對 評 量 的 重 視 , 顯 示 統 計 素 養 的 評 量 是 目 前 亟 待 研 究 心 力 投 入 的領 域 之 一 。PISA 數 學 素 養 處 理 的 是 一 個 具 有 理 解 與 反 思 的 現 代 國 民 、 以 及 聰 慧 的 消 費 者 所能 達 到 的 解 題 程 度 。 在 OECD/PISA 所 測 量 的 數 學 素 養 包 含 的 主 要 概 念 如 下 : 數 量 ,空 間 與 形 狀 , 改 變 與 關 係 , 以 及 不 確 定 性 。 針 對 不 確 定 性 部 分 ,PISA 指 出 目 前 “ 資訊 社 會 " 常 以 相 當 程 度 精 確 、 科 學 和 確 定 性 提 供 大 量 的 訊 息 , 然 而 , 日 常 生 活 中 我們 面 對 的 多 是 不 確 定 性 的 選 舉 結 果 、 倒 塌 的 橋 、 股 市 崩 盤 、 不 準 確 的 天 氣 預 報 、 人口 成 長 的 差 勁 預 測 、 不 搭 調 的 經 濟 模 式 、 和 其 他 許 多 尚 不 確 定 性 的 實 例 。 不 確 定 性主 要 有 兩 個 相 關 議 題 : 資 料 數 據 與 機 會 。 這 些 現 象 相 對 應 的 數 學 主 題 是 有 關 統 計 與機 率 的 研 究 。 最 近 對 於 學 校 課 程 , 學 者 們 皆 建 議 在 統 計 與 機 率 方 面 , 應 較 過 去 增 加更 多 的 比 重 ( 如 NCTM, 2000)。 在 該 領 域 中 , 特 定 的 重 要 數 學 概 念 與 活 動 如 資 料 蒐 集 、資 料 分 析 與 呈 現 ( 視 覺 化 )、 機 率 與 推 論 等 (OECD,2003,2006)。本 研 究 擬 以 統 計 素 養 為 探 討 內 涵 , 發 展 以 PISA 評 量 架 構 的 統 計 素 養 評 量 系 統 ,以 進 一 步 探 討 我 國 中 學 學 生 的 統 計 素 養 , 希 望 透 過 本 研 究 所 開 發 的 評 量 工 具 及 研 究成 果 , 可 以 豐 富 當 前 國 內 有 關 統 計 素 養 的 評 量 與 教 學 參 考 資 源 。貳 、 研 究 目 的在 近 十 年 來 , 有 更 多 的 聲 音 提 倡 統 計 教 學 應 著 重 更 多 的 焦 點 在 統 計 素 養 、 推 理和 思 考 上 ; 提 出 的 主 要 批 判 之 一 為 傳 統 的 統 計 教 學 著 重 在 技 術 、 步 驟 和 計 算 , 而 這些 並 不 能 帶 給 學 生 在 統 計 上 的 推 理 和 思 考 (Ben-Zvi & Garfield, 2005)。 本 計 畫 目的 在 於 透 過 PISA 數 學 素 養 的 統 計 素 養 評 量 內 涵 做 為 設 計 主 軸 , 探 討 目 前 青 少 年 的 統計 素 養 , 並 透 過 生 活 化 取 向 的 評 量 作 業 內 容 來 檢 視 當 前 不 同 年 齡 層 次 的 青 少 年 統 計素 養 的 本 質 和 發 展 , 希 望 能 豐 富 統 計 教 學 的 評 量 資 源 , 並 進 一 步 提 供 統 計 教 學 上 參158
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量考 資 訊 。基 於 此 , 本 研 究 計 畫 將 規 畫 三 年 期 之 研 究 , 第 一 年 之 主 要 目 的 依 據 PISA 統 計 素養 的 架 構 測 驗 , 針 對 高 中 生 進 行 統 計 素 養 評 量 測 試 , 討 論 PISA 取 向 下 高 中 生 的 統 計素 養 現 況 。 第 二 年 的 計 畫 則 基 於 第 一 年 的 結 果 , 進 行 統 計 素 養 評 量 的 試 題 設 計 , 並進 行 預 試 , 第 三 年 則 進 行 統 計 素 養 評 量 正 式 施 測 與 分 析 , 資 料 蒐 集 包 括 中 學 生 的 統計 素 養 和 學 習 問 卷 資 料 , 並 與 研 究 團 隊 、 中 學 教 師 、 以 及 專 家 學 者 諮 詢 討 論 期 望 能提 供 統 計 教 學 的 相 關 建 議 。叁 、 研 究 方 法一 、 樣 本 分 配表 1. 第 三 年 正 式 施 測 樣 本 人 數 分 配 摘 要 表一 年 級 二 年 級 三 年 級 合 計台 南 海 事 34 32 33 99育 英 醫 專 69 72 0 141明 德 高 中 42 44 43 129花 蓮 高 中 26 0 0 26長 億 高 中 39 37 35 111南 寧 高 中 0 0 76 76徐 匯 中 學 37 33 36 106海 星 中 學 0 47 0 47海 星 中 學 - 綜 合 30 0 27 57高 雄 女 中 78 65 66 209新 化 高 工 38 40 41 119鼓 山 高 中 29 0 0 29鼓 山 高 中 - 體 育 0 20 20 40羅 東 高 中 46 44 42 132合 計 468 434 419 1321二 、 研 究 工 具( 一 ) 統 計 素 養 題 庫 的 研 發本 題 庫 從 PISA 的 實 用 功 能 觀 點 出 發 , 針 對 情 境 中 的 統 計 素 養 進 行 探 討 , 主 要 的159
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量試 題 能 力 內 涵 包 括 統 計 知 識 、 解 釋 及 推 論 、 批 判 質 疑 , 相 呼 應 的 素 養 表 現 如 表 2 所示 。 表 3 呈 現 的 是 本 題 庫 的 雙 向 細 目 表 。 因 為 題 數 頗 多 , 加 上 考 量 題 目 的 位 置 可 能造 成 的 難 度 差 異 , 本 研 究 以 五 個 題 本 來 進 行 試 題 群 組 的 編 輯 和 實 施 。表 2. 本 研 究 統 計 素 養 試 題 之 內 涵素 養 面 向統 計 知 識解 釋 及 推 論批 判 質 疑素 養 表 現1 能 對 百 分 比 和 平 均 數 執 行 相 關 的 基 本 演 算 程 序2 描 寫 從 統 計 圖 表 得 到 的 資 訊 和 傳 達 從 中 得 到 的 簡 單 論 據3 使 用 基 本 的 機 率 知 識 解 決 問 題4 能 連 結 二 張 不 同 的 圖 表 中 的 相 關 訊 息5 能 理 解 統 計 圖 表 構 成 要 素 的 特 性 和 其 對 應 的 訊 息 。6 能 找 出 文 本 中 的 統 計 訊 息 並 給 予 對 應 的 統 計 圖 表 表 徵1 能 根 據 數 據 資 料 進 行 多 步 的 推 論2 能 察 覺 及 解 釋 適 當 的 資 料 對 結 論 是 有 影 響 的 , 包 括 樣 本 大 小 、 樣本 代 表 性 、 調 查 方 法 、 資 料 來 源 等 。3 能 根 據 文 本 內 容 論 述 。4 辨 認 和 設 法 將 從 多 元 資 料 ( 文 本 、 多 元 表 格 、 圖 表 等 ) 得 到 的 相 關訊 息 進 行 解 釋 和 連 結5 傳 達 具 有 統 計 知 識 的 解 釋6 具 備 足 夠 的 識 數 能 力 (numeracy skill) 正 確 解 釋 統 計 數 字1 能 質 疑 真 實 世 界 情 境 中 資 料 呈 現 的 結 果 是 否 能 支 持 或 影 響 其 結 論2 能 察 覺 資 料 整 體 的 趨 勢 並 發 現 在 推 論 過 程 中 可 能 產 生 的 錯 誤表 3. 統 計 素 養 題 庫 雙 向 細 目 表類 別統 計 圖 / 表 統 計 量 機 率 / 抽 樣 合 計素 養 面 向統 計 知 識 10 6 12 28解 釋 及 推 論 9 9 13 31批 判 質 疑 6 2 3 11合 計 25 17 28 70( 二 ) 統 計 素 養 態 度 量 表 的 研 發為 能 更 深 入 了 解 學 生 的 統 計 素 養 , 本 研 究 亦 同 步 發 展 統 計 自 我 效 能 、 統 計 焦 慮 、以 及 機 率 與 統 計 的 學 習 策 略 運 用 等 李 克 特 量 表 , 非 常 同 意 4 分 , 同 意 3 分 、 不 同 意2 分 , 非 常 不 同 意 1 分 。 反 向 題 則 為 反 向 計 分 。160
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量肆 、 研 究 結 果 與 討 論一 、 統 計 素 養 題 庫 的 結 構 及 其 初 步 信 效 度 分 析( 一 )、 評 分 者 一 致 性 分 析五 份 題 本 各 有 四 位 評 分 者 依 據 PISA 型 態 的 編 碼 和 給 分 標 準 進 行 評 分 。 其 中 題 本中 具 有 標 準 答 案 的 選 擇 題 的 信 度 皆 為 1, 其 餘 類 型 的 試 題 的 信 度 者 皆 達 .9 以 上 。( 二 )、 測 驗 題 庫 試 題 分 析本 題 庫 包 含 的 開 放 式 建 構 試 題 、 封 閉 式 建 構 題 充 以 及 選 擇 試 題 ( 含 多 重 是 非題 ), 後 兩 者 的 給 分 屬 於 對 錯 的 二 元 計 分 , 開 放 建 構 題 則 是 為 多 點 計 分 。 統 計 素 養 的估 計 將 採 用 IRT 試 題 反 應 理 論 , 依 照 作 答 反 應 的 編 碼 及 給 分 標 準 , 以 ConQuest 軟 體進 行 多 點 計 分 分 析 , 取 得 其 統 計 素 養 的 能 力 值 , 估 計 出 的 統 計 素 養 能 力 值 越 高 , 由於 本 題 庫 當 中 納 入 部 分 PISA 統 計 素 養 的 公 布 試 題 , 因 此 本 研 究 進 行 試 題 參 數 及 能 力估 計 時 , 並 以 這 些 題 目 的 PISA 國 際 參 數 做 為 試 題 的 定 錨 來 進 行 , 以 便 可 以 和 國 際 的統 計 素 養 放 在 同 一 量 尺 上 。表 4 呈 現 的 是 本 題 庫 逐 題 答 對 率 、 鑑 別 指 數 以 及 IRT 試 題 難 度 分 析 的 描 述 統 計摘 要 表 , 而 表 5 則 是 針 對 各 素 養 面 向 的 試 題 答 對 率 、 鑑 別 指 數 與 IRT 難 度 描 述 摘 要結 果 。 圖 1 為 本 題 的 訊 息 曲 線 、 圖 2 為 測 驗 特 徵 曲 線 、 圖 3 則 為 誤 差 曲 線 。 訊 息 曲線 越 高 、 誤 差 曲 線 越 低 的 地 方 表 示 對 該 對 應 X 軸 能 力 水 準 考 生 能 力 的 測 量 越 精 準 。測 驗 特 徵 曲 線 是 考 生 答 對 該 測 驗 預 期 答 對 概 率 與 所 評 量 的 特 質 間 的 數 學 函 數 。 整 體而 言 , 由 於 PISA 是 以 15 歲 學 生 為 研 究 對 象 , 故 本 研 究 樣 本 再 以 PISA 是 題 參 數 進 行定 錨 後 所 估 的 能 力 值 會 略 高 , 從 訊 息 曲 線 可 以 看 出 本 題 庫 適 合 測 量 的 學 生 包 含 能 力點 在 -0.5~3 之 間 , 其 中 , 對 於 能 力 範 圍 在 於 0.5~2.5 的 學 生 所 能 提 供 訊 息 量 較 佳 。臺 灣 高 中 學 生 在 各 次 領 域 的 表 現 由 高 到 低 分 別 為 統 計 圖 表 、 統 計 量 、 機 率 與 抽 樣 。而 在 統 計 素 養 面 相 當 中 以 統 計 知 識 最 好 、 批 判 質 疑 最 為 薄 弱 。我 們 以 學 生 在 校 的 數 學 成 就 為 效 標 變 項 , 進 行 效 標 關 聯 效 度 的 分 析 。 由 於 各 校各 班 的 老 師 評 定 量 尺 的 差 異 , 因 此 逐 班 進 行 學 生 在 校 成 績 與 數 學 成 就 相 關 的 分 析 ,在 本 研 究 中 , 我 們 取 得 30 個 班 級 的 在 校 成 績 資 料 , 表 6 呈 現 的 即 是 各 班 統 計 素 養 表161
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量現 與 在 校 成 績 的 之 相 關 資 訊 摘 要 , 各 班 在 校 成 績 與 統 計 素 養 的 相 關 平 均 為 0.27、 中數 為 0.27、 最 大 值 為 0.6、 最 小 值 為 -0.06, 各 班 的 相 關 值 的 標 準 差 為 0.19, 顯 示統 計 素 養 與 數 學 學 習 表 現 僅 有 低 度 的 正 相 關 。表 4. 統 計 素 養 試 題 答 對 率 、 鑑 別 指 數 與 IRT 難 度 描 述 摘 要 表答 對 率 鑑 別 指 數 IRT 難 度題 數平 均 數 標 準 差 平 均 數 標 準 差 平 均 數 標 準 差統 計 知 識 10 .60 .22 .44 .09 1.19 1.16解 釋 及 推 論 9 .61 .23 .43 .10 1.33 1.03統 計 圖 / 表批 判 質 疑 6 .60 .13 .54 .10 1.18 .72合 計 25 .60 .20 .46 .10 1.24 .98統 計 知 識 6 .67 .24 .45 .10 .80 1.43統 計 量解 釋 及 推 論 9 .51 .24 .41 .11 1.72 1.22批 判 質 疑 2 .39 .16 .39 .24 2.34 .76合 計 17 .55 .24 .42 .11 1.47 1.31統 計 知 識 12 .55 .22 .40 .10 1.45 1.06機 率 / 解 釋 及 推 論 13 .50 .27 .44 .12 1.76 1.62抽 樣 批 判 質 疑 3 .39 .15 .47 .06 2.22 .70合 計 28 .51 .24 .43 .11 1.68 1.31合 計 70 .55 .22 .44 .11 1.47 1.20表 5. 各 素 養 面 向 的 試 題 答 對 率 、 鑑 別 指 數 與 IRT 難 度 描 述 摘 要 表素 養 面 向 題 數答 對 率 鑑 別 指 數 IRT 難 度平 均 數 標 準 差 平 均 數 標 準 差 平 均 數 標 準 差統 計 知 識 28 .59 .22 .43 .10 1.22 1.16解 釋 及 推 論 31 .53 .25 .43 .11 1.62 1.33批 判 質 疑 11 .50 .16 .49 .12 1.68 .86162
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量圖 1. 高 中 生 統 計 素 養 題 庫 訊 息 曲 線圖 2. 高 中 生 統 計 素 養 題 庫 測 驗 特 徵 曲 線圖 3. 高 中 生 統 計 素 養 題 庫 測 驗 誤 差 曲 線163
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量表 6. 初 步 效 度 資 訊 摘 要 表班 級 數 平 均 數 中 位 數 標 準 差 最 小 值 最 大 值30 .27 .27 .19 -.06 .62( 二 ) 學 生 表 現 分 析表 7 呈 現 的 是 不 同 年 級 高 中 學 生 的 統 計 素 養 描 述 統 計 摘 要 , 圖 4 則 為 不 同 年 級學 生 在 各 統 計 素 養 水 準 的 人 數 比 例 對 照 。 此 題 庫 與 國 際 PISA 不 確 定 性 內 容 量 尺 進 行比 對 , 則 可 發 現 八 成 左 右 的 高 中 學 生 其 統 計 素 養 多 在 高 分 群 的 水 準 五 、 六 。 其 中 高一 、 高 二 學 生 的 表 現 剖 面 接 近 , 高 三 學 生 則 明 顯 較 為 優 異 , 顯 示 可 能 因 為 統 計 課 程主 要 出 現 在 高 二 下 學 期 以 及 高 三 , 所 以 學 生 的 表 現 差 異 可 能 受 到 修 習 統 計 相 關 單 元的 影 響 。 以 年 級 為 自 變 項 、 統 計 素 養 為 依 變 項 所 進 行 的 變 異 數 分 析 結 果 ,F(1 ,1316)=14.15,p< .05 達 顯 著 差 異 , 即 不 同 年 級 的 學 生 的 統 計 素 養 能 力 值 達 顯 著 差 異 ,表 現 變 異 解 釋 力 為 2.1%。表 7. 不 同 年 級 高 中 學 生 的 統 計 素 養 描 述 統 計 摘 要 表年 級 個 數 平 均 數 標 準 差 最 小 值 最 大 值一 468 651.39 276.39 874.06 85.56二 432 640.64 321.82 847.27 94.60三 419 673.35 379.38 889.08 94.26圖 4. 不 同 年 級 學 生 在 各 統 計 素 養 水 準 的 人 數 比 例 對 照164
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量研 究 進 一 步 比 較 有 、 無 修 習 統 計 課 程 的 學 生 差 異 , 有 修 習 統 及 課 程 的 表 現 差 異約 為 27 分 左 右 ( 見 表 8)。 在 單 因 子 變 異 數 分 析 中 , 在 類 別 方 面 , 自 由 度 為 1, 均 方為 210351.68,F(1 , 1317) =25.15,p< .05 達 顯 著 差 異 , 即 受 過 與 未 受 過 高 中 機 率 與 統計 課 程 的 學 生 的 統 計 素 養 能 力 值 達 顯 著 差 異 , 表 現 變 異 解 釋 力 為 1.9%。表 8. 修 習 與 未 修 習 高 中 機 率 與 統 計 課 程 學 生 之 統 計 素 養 描 述 統 計 摘 要 表類 別 人 數 平 均 數 標 準 差未 受 過 高 中 機 率 與 統 計 課 程 900 646.23 90.12受 過 高 中 機 率 與 統 計 課 程 419 673.35 94.26全 體 1319 654.85 92.29進 一 步 檢 視 有 、 無 修 習 高 中 機 率 與 統 計 課 程 學 生 在 各 素 養 面 向 的 平 均 答 對 率 ,由 表 9 可 知 ,「 統 計 知 識 」 素 養 面 向 的 表 現 皆 為 最 佳 , 而 對 於 「 解 釋 及 推 論 」 和 「 批判 質 疑 」 的 素 養 面 向 表 現 則 較 差 。表 9. 受 過 與 未 受 過 高 中 機 率 課 程 學 生 在 不 同 統 計 素 養 面 向 的 描 述 統 計 摘 要素 養 面 向 統 計 知 識 解 釋 及 推 論 批 判 質 疑人 數類 別答 對 率 標 準 差 答 對 率 標 準 差 答 對 率 標 準 差受 過 58.59% 0.21 52.57% 0.23 46.07% 0.16 903未 受 過 50.52% 0.21 45.25% 0.24 37.25% 0.16 419全 體 53.04% 0.21 47.48% 0.23 40.06% 0.15 1322( 三 ) 統 計 素 養 、 統 計 自 我 效 能 、 統 計 焦 慮 與 統 計 學 習 策 略 之 間 的 相 關 性為 能 更 深 入 了 解 學 生 的 統 計 素 養 , 本 研 究 亦 同 步 發 展 統 計 自 我 效 能 、 統 計 焦 慮 、以 及 機 率 與 統 計 的 學 習 策 略 運 用 等 量 表 , 其 中 統 計 自 我 效 能 量 表 共 有 10 題 , 內 部 一致 性 為 .9; 統 計 焦 慮 有 10 題 , 內 部 一 致 性 為 .91; 而 記 憶 、 控 制 、 精 緻 化 策 略 分 別有 4、5、5 題 , 信 度 則 分 別 為 .76、.83、.83。 初 步 資 訊 顯 示 本 研 究 所 發 展 的 相 關 量表 信 度 尚 佳 。表 10 為 統 計 素 養 、 統 計 自 我 效 能 、 控 制 策 略 、 精 緻 化 策 略 與 記 憶 策 略 的 相 關 係數 整 理 。 由 表 2 可 看 出 統 計 素 養 、 統 計 自 我 效 能 與 統 計 學 習 策 略 彼 此 之 間 皆 呈 現 顯著 正 相 關 , 其 中 統 計 自 我 效 能 與 統 計 素 養 的 關 係 最 高 ; 而 統 計 焦 慮 則 與 變 項 呈 現 負165
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量相 關 , 顯 示 焦 慮 越 高 的 學 生 的 統 計 素 養 、 自 我 效 能 與 統 計 策 略 的 使 用 上 均 較 為 薄 弱 ;且 三 個 統 計 學 習 策 略 之 間 的 相 關 都 達 到 0.71 以 上 , 可 見 受 試 者 在 三 種 統 計 學 習 策 略的 使 用 上 可 能 具 有 高 度 的 重 疊 性 。表 2. 統 計 素 養 、 統 計 自 我 效 能 、 統 計 焦 慮 與 統 計 學 習 策 略 之 相 關統 計 素 養 自 我 效 能 統 計 焦 慮 記 憶 策 略 控 制 策 略自 我 效 能 .24**統 計 焦 慮 -.18** -.44**控 制 策 略 .11** .40** -.38**精 緻 化 策 略 .20** .42** -.38** .75**記 憶 策 略 .17** .44** -.42** .71** .78****p
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量伍 、 結 論 與 建 議本 計 畫 目 的 在 於 透 過 PISA 數 學 素 養 的 統 計 素 養 評 量 內 涵 做 為 設 計 主 軸 , 探 討 目前 青 少 年 的 統 計 素 養 , 並 透 過 生 活 化 取 向 的 評 量 作 業 內 容 來 檢 視 當 前 不 同 年 齡 層 次的 青 少 年 統 計 素 養 的 本 質 和 發 展 , 希 望 能 豐 富 統 計 教 學 的 評 量 資 源 , 並 進 一 步 提 供統 計 教 學 上 參 考 資 訊 。 整 體 而 言 :「 統 計 知 識 」 素 養 面 向 的 表 現 較 佳 , 而 對 於 「 解 釋及 推 論 」 和 「 批 判 質 疑 」 的 素 養 面 向 表 現 則 略 差 。 統 計 素 養 試 題 採 用 情 境 式 問 題 ,利 用 貼 近 實 際 生 活 的 問 題 , 偏 重 在 瞭 解 學 習 者 在 思 考 活 動 及 能 力 上 的 表 現 , 透 過 高中 學 生 的 答 題 表 現 發 現 我 國 高 中 學 生 具 有 良 好 的 統 計 知 識 , 相 對 缺 乏 統 計 素 養 中 的解 釋 推 論 與 批 判 質 疑 的 能 力 。 我 國 目 前 統 計 與 機 率 課 程 , 多 數 的 內 容 都 在 教 導 學 生認 識 統 計 圖 表 和 統 計 量 , 在 統 計 圖 表 和 統 計 量 的 教 學 上 也 多 以 正 向 和 直 接 的 方 式 呈現 所 有 統 計 概 念 和 知 識 且 重 視 報 讀 和 計 算 統 計 量 的 課 程 , 所 以 學 生 在 「 統 計 知 識 」面 向 的 試 題 的 表 現 較 好 。 張 少 同 (2007) 認 為 統 計 課 程 真 正 困 擾 學 生 的 部 份 是 統 計 資料 的 解 讀 。 譚 克 平 (2006) 也 在 研 究 中 提 到 近 年 來 國 內 、 外 學 術 界 對 統 計 的 教 育 十 分重 視 , 有 不 少 統 計 學 者 批 評 傳 統 的 教 導 方 式 , 過 於 著 重 統 計 技 術 的 訓 練 , 而 忽 略 了協 助 學 生 建 立 統 計 的 思 維 , 因 此 很 多 學 生 對 統 計 概 念 的 瞭 解 並 未 足 夠 。 另 外 , 高 中學 生 對 於 「 解 釋 及 推 論 」 和 「 批 判 質 疑 」 的 素 養 表 現 較 「 統 計 知 識 」 差 , 可 能 由 於高 中 的 機 率 與 統 計 課 程 多 數 只 有 正 確 答 案 而 缺 乏 解 釋 推 論 與 批 判 的 訓 練 。除 了 高 中 生 統 計 素 養 評 量 的 建 構 之 外 , 本 計 畫 亦 針 對 學 生 的 統 計 自 我 效 能 、 統計 焦 慮 以 及 統 計 學 習 策 略 ( 包 括 記 憶 、 精 緻 化 ( 連 結 )、 以 及 控 制 ( 後 設 認 知 )) 進 行 探討 , 結 果 亦 顯 示 此 五 個 量 表 均 有 良 好 的 信 度 (.76~.91), 將 這 些 學 習 情 意 以 及 學 習 策略 做 為 自 變 項 來 解 釋 高 中 學 生 統 計 素 養 的 變 異 , 則 發 現 自 我 效 能 解 釋 力 最 大 , 控 制策 略 其 次 。 因 此 , 本 計 畫 建 議 當 前 高 中 統 計 與 機 率 課 程 應 能 引 導 學 生 從 高 觀 點 來 解讀 統 計 資 料 , 並 且 積 極 與 生 活 情 境 或 者 社 會 議 題 進 行 連 結 , 提 升 學 生 對 統 計 實 用 價值 的 認 識 , 而 非 只 有 公 式 的 推 導 或 範 例 制 式 解 題 。 而 教 學 時 應 以 提 升 學 生 的 統 計 自我 效 能 、 降 低 學 習 焦 慮 為 主 要 考 量 、 並 教 導 學 生 高 觀 點 的 後 設 認 知 控 制 策 略 , 如 此 ,應 將 能 有 效 提 升 學 學 生 的 統 計 素 養 。167
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量陸 、 參 考 文 獻Australian Education Council (1991). A national statement on mathematicsfor Australian schools. Carlton, Vic.: Author.Australian Education Council (1994). Mathematics—a curriculum profile forAustralian schools. Carlton, Vic.: Curriculum Corporation.Ben-Zvi, D. & Garfield J. (Eds) (2005).The challenge of developingstatistical literacy, reasoning and thinking. Springer Science +Business Media, Inc.Cobb, G. W. (1992). Report of the joint ASA/MAA committee on undergraduatestatistics. In American Statistical Association 1992 Proceedings of theSection on Statistical Education, (pp. 281–283). Alexandria, VA: ASA.Gal, I. (2002). Adults' statistical literacy: Meanings, components,responsibilities. International Statistical Review, 70(1), 1-25.Gal, I. (2005). Statistical Literacy:Meanings, Components, Responsibilities.In D. Ben-Zvi & J. Garfield (Eds).The challenge of developingstatistical literacy, reasoning and thinking (pp.17-46). SpringerScience + Business Media, Inc.Ministry of Education (1992). Mathematics in the New Zealand curriculum.Wellington, NZ: Author.National Council of Teacher of Mathematics (2000). Principals and Standardsfor School Mathematics. Reston, VA:NCTM.OECD (2003). The PISA 2003 Assessment Framework-Mathematics, Reading,Science and Problem Solving Knowledge and Skills. OECD, Paris.OECD (2006). Assessing Scientific, Reading, and Mathematical Literacy- AFramework for PISA 2006. OECD, Paris.Pfannkuch, M. & Wild, C. (2005).Towards an understanding of statisticalthinking. In D. Ben-Zvi & J. Garfield (Eds).The challenge of developingstatistical literacy, reasoning and thinking (pp.17-46). SpringerScience + Business Media, Inc.柒 、 計 畫 成 果 自 評 部 份 :本 研 究 透 過 統 計 素 養 評 量 的 設 計 與 實 施 來 探 討 青 少 年 學 生 在 統 計 素 養 的 表 現 , 期 能豐 富 當 前 統 計 教 學 的 評 量 與 課 程 相 關 資 源 。 第 三 年 所 收 集 的 資 料 包 括 統 計 素 養 試題 、 統 計 學 習 問 卷 正 式 施 測 分 析 、 並 與 研 究 團 隊 、 中 學 教 師 、 以 及 專 家 學 者 諮 詢 討168
林 素 微 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 三 : 青 少 年 統 計 素 養 的 建 構 與 評 量論 。 研 究 內 容 基 本 上 已 經 達 到 原 計 畫 的 目 標 , 在 國 科 會 的 支 持 下 , 本 研 究 計 畫 已 經完 成 碩 士 論 文 一 篇 , 第 二 篇 碩 士 論 文 也 即 將 成 形 , 目 前 也 已 將 研 究 結 果 發 表 至 PME35研 討 會 、2012 藝 術 與 人 文 亞 洲 研 討 會 、 以 及 第 28 屆 科 教 年 會 。 同 時 , 也 針 對 青 少年 統 計 素 養 的 評 量 內 涵 與 架 構 , 與 中 學 教 師 進 行 PISA 統 計 素 養 的 內 涵 溝 通 , 建 立 學術 與 實 務 界 對 於 統 計 素 養 的 評 量 與 教 學 共 識 。 本 研 究 有 相 當 豐 富 的 研 究 成 果 , 目 前預 計 將 分 成 四 個 子 主 題 進 行 期 刊 論 文 的 發 表 。 其 中 兩 篇 已 在 撰 寫 中 , 預 計 年 底 送 出審 查 。169
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php170
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告總 計 畫 名 稱 : 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合子 計 畫 ( 五 ) 名 稱 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能計 畫 編 號 :NSC 98-2511-S-003-009 -M執 行 期 限 :98 年 8 月 1 日 至 100 年 7 月 31 日主 持 人 : 楊 凱 琳 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 所共 同 主 持 人 : 林 珊 如 國 立 台 灣 大 學 圖 書 資 訊 學 系 所研 究 小 組 : 毛 立 甫 、 王 淳 華 、 王 筱 惠 、 洪 允 東 、 陳 嘯 虎 、 張 宛 婷 、張 雯 涵 、 葉 裕 益 、 劉 欣 怡 ( 按 姓 氏 筆 畫 排 列 )成 果 報 告中 文 摘 要本 研 究 旨 在 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能 , 經 由 量 化 和 質 性 資 料 的 蒐 集 與 分析 , 本 研 究 之 成 果 有 : ( 一 ) 數 學 教 師 在 比 較 兩 資 料 分 配 情 境 中 造 反 例 的 策 略 類 型 ,主 要 有 「 同 時 調 整 」 與 「 先 固 定 一 組 , 再 調 整 另 一 組 」;( 二 ) 在 九 個 信 賴 區 間 相關 的 子 概 念 中 , 大 學 部 職 前 教 師 (n=113) 在 關 於 「 知 道 抽 樣 誤 差 較 小 不 表 示 比 較可 信 」 的 試 題 答 對 率 最 低 , 只 有 37.6% 的 答 對 率 ; 研 究 所 職 前 教 師 (n=19) 則 在 關於 「 計 算 95% 信 心 水 準 之 信 賴 區 間 、 樣 本 數 、 樣 本 比 率 或 抽 樣 誤 差 」 的 試 題 答 對率 最 低 , 只 有 36.8% 的 答 對 率 。 而 在 職 數 學 教 師 呈 現 的 另 有 想 法 包 含 三 種 類 型 :1. 只 依 據 樣 本 特 徵 進 行 推 論 、2. 依 賴 精 確 的 計 算 、3. 以 二 元 邏 輯 思 維 判 斷 與 推 論 ;( 三 ) 中 學 數 學 教 師 認 為 統 計 教 學 時 所 遇 到 的 困 難 或 困 境 有 : 知 識 與 經 驗 不 足 、對 輔 助 工 具 的 使 用 不 熟 悉 或 不 易 取 得 輔 助 教 具 、 不 易 協 調 理 論 與 經 驗 的 觀 點 、 考試 不 用 計 算 機 的 限 制 、 統 計 公 式 的 定 義 不 一 致 ; 認 為 統 計 不 同 於 數 學 之 處 可 分 為 :本 質 、 工 具 和 脈 絡 三 種 。( 四 ) 綜 合 三 位 個 案 教 師 的 教 學 分 析 發 現 , 三 位 教 師 的教 學 行 為 和 其 表 達 對 實 際 教 學 的 信 念 是 相 符 的 ; 教 學 行 為 的 共 同 點 有 : 生 活 例 引入 、 提 問 澄 清 觀 念 、 明 確 的 結 論 ; 不 同 點 有 : 引 入 方 式 ( 學 生 看 或 學 生 做 )、 公 式說 明 方 法 ( 敘 述 性 推 導 或 圖 文 推 導 )、 模 擬 的 完 整 度 ( 產 生 隨 機 變 數 或 從 隨 機 變 數 至信 賴 區 間 )、 教 材 來 源 ( 自 編 講 義 或 課 本 )、 介 紹 概 念 方 式 ( 先 說 明 概 念 再 讀 課 本或 未 讀 課 本 )、 講 解 題 目 ( 學 生 先 讀 或 老 師 先 解 釋 題 目 )。中 文 關 鍵 字信 賴 區 間 、 統 計 概 念 、 統 計 教 學171
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能AbstractThis research project aimed at investigating high school mathematics teachers’knowledge and competences of statistics and its teaching. After collecting andanalyzing quantitative and qualitative data, the findings included that (1) Whenmathematics teachers were required to generate counter-examples in comparing thedistributions of two groups, their strategies could be mainly classified assimultaneously modifying the two groups or fixing one group and modifying the other.(2) Among nine sub-conceptions related to confidence intervals, preservice teachers(n=113) in university showed the lowest rate of correct answers (37.6%) on knowingthat the smaller sample error does not imply the more confidence, and preserviceteachers (n=19) in graduated school showed the lowest rate of correct answers (36.8%)on counting confidence intervals, samples, sample ratios or sampling errors. Inserviceteachers showed three types of alternative conceptions: making inference based on thedistribution of sampled values, relying on the exact calculations, making judgmentsbased on binary logic. (3) Difficulties or challenges encountered by high schoolmathematics teachers included insufficient knowledge and experience, the use oraccessibility of supplementary instruments or technology, the coordination oftheoretical and experiential perspectives on probability, the limitation of no calculatorin tests, the inconsistency between the definitions of a statistical formula. In addition,their perceptions on the differences between mathematics and statistics included threefaces: nature, tool and context. (4) According to the analyses of the teaching of threesenior high school mathematics teachers, we found that all of them showed theconsistency between teaching behaviors and beliefs about teaching in reality. Thecommon features of their teaching behaviors as to confidence intervals included usingdaily life examples to introduce the concept, questioning to clarify the concept, givingexplicit conclusions. The different features included the ways of using daily lifeexamples (see or do), the methods of introducing formulas (symbolic or embodied),the intentions of simulation (only for the convenience of calculation or for makingsense of the concept), the sources of teaching materials (textbooks or handouts), theways of using teaching materials (with or without reading), the understanding of anexample (reading by students or by teachers).Keywords:Confidence Interval、Conception of Statistics、Statistical Teaching172
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能一 、 研 究 背 景本 研 究 是 三 年 期 的 研 究 計 畫 , 三 年 中 預 計 瞭 解 中 學 數 學 教 師 對 統 計 的 知 識 、 概念 和 教 學 行 為 , 並 據 此 建 議 設 計 與 評 估 協 助 中 學 數 學 教 師 發 展 統 計 教 學 知 能 的 策略 。 統 計 素 養 是 適 應 現 今 與 未 來 社 會 所 需 的 知 識 與 能 力 , 文 獻 上 也 有 不 少 研 究 探討 各 階 段 學 生 的 統 計 素 養 。 相 較 之 下 , 探 討 數 學 教 師 統 計 教 學 知 能 的 研 究 則 顯 得不 足 。 然 而 , 數 學 教 師 是 培 養 學 生 統 計 素 養 的 橋 樑 之 一 。 若 能 深 入 探 討 其 教 統 計時 所 需 的 教 學 知 能 , 除 了 促 進 數 學 教 師 本 身 的 專 業 發 展 , 也 有 助 於 提 昇 學 生 的 統計 素 養 。在 日 常 生 活 中 常 會 遇 到 比 較 兩 分 配 的 問 題 , 例 如 : 今 天 燈 泡 壞 了 , 欲 至 五 金 行買 一 盞 燈 泡 , 五 金 行 提 供 兩 個 品 牌 可 供 選 擇 , 假 設 已 知 這 兩 種 燈 泡 的 壽 命 分 佈 ,要 怎 樣 選 擇 才 能 挑 到 壽 命 較 長 的 燈 泡 。 當 我 們 感 興 趣 的 是 母 體 時 , 如 果 可 以 依 據母 體 的 趨 勢 及 狀 況 做 預 測 或 是 下 決 策 是 最 佳 的 , 但 現 實 上 往 往 無 法 收 集 到 母 體 中所 有 樣 本 。 因 此 , 會 隨 機 收 集 部 份 樣 本 , 針 對 這 些 樣 本 推 論 至 母 體 的 真 實 情 況 ,進 而 採 取 適 當 的 策 略 。 然 而 在 做 統 計 推 論 時 , 必 須 清 楚 資 料 背 後 的 分 配 假 設 , 才能 選 擇 適 合 的 統 計 方 法 , 利 用 統 計 歸 納 出 有 參 考 價 值 的 資 訊 。 因 此 決 策 者 對 於 分配 的 了 解 與 應 用 將 是 一 個 重 要 的 課 題 。 在 學 習 信 賴 區 間 或 是 抽 樣 等 概 念 時 , 也 必須 具 備 對 分 配 的 認 識 與 區 辨 以 進 行 有 效 的 推 論 。Makar 和 Confrey(2002) 認 為 比 較 兩 個 群 組 的 分 配 是 一 個 很 有 效 的 方 法 以 及 工 具 , 能 透 過 此 工 具 做出 有 根 據 的 推 論 與 考 量 以 及 大 致 歸 納 出 結 論 。 本 研 究 將 以 這 比 較 兩 種 分 配 的 實 際應 用 問 題 , 瞭 解 老 師 的 統 計 推 論 能 力 以 及 對 統 計 量 意 義 的 瞭 解 。二 十 世 紀 初 以 來 , 隨 著 電 腦 資 訊 的 快 速 發 展 , 人 們 進 入 資 訊 爆 炸 的 時 代 , 因 應面 臨 資 訊 量 日 與 俱 增 , 統 計 能 力 與 教 育 很 自 然 備 受 教 育 單 位 的 重 視 ( 譚 克 平 ,2006)。 在 國 內 ,「 九 五 數 學 暫 綱 各 界 回 饋 意 見 」 ( 數 學 學 科 中 心 , 2006) 中 的 「 機率 與 統 計 」 部 分 , 高 中 老 師 認 為 九 五 課 綱 並 未 詳 盡 說 明 「 信 賴 區 間 與 信 心 水 準 的解 讀 」 單 元 的 教 學 內 容 深 度 , 造 成 教 學 上 不 少 的 困 擾 。 因 而 在 九 九 課 綱 中 ,「 機率 與 統 計 」 勢 必 進 行 修 改 。 邱 婉 嘉 訪 談 當 時 規 劃 九 五 暫 綱 中 「 機 率 與 統 計 」 課 程的 陳 宏 教 授 表 示 , 希 望 此 單 元 能 幫 助 學 生 學 習 以 機 率 來 論 證 事 情 的 方 法 , 並 察 覺抽 樣 前 後 隨 機 性 的 存 在 , 統 計 推 論 的 引 進 成 為 必 然 的 趨 勢 ( 邱 婉 嘉 , 民 99)。九 九 課 綱 與 九 五 暫 綱 的 差 異 在 於 教 材 學 習 的 安 排 次 序 不 同 , 九 五 暫 綱 的 學 習 先 後次 序 為 高 二 課 程 的 「 機 率 」、「 期 望 值 」、「 統 計 抽 樣 」、「 一 維 數 據 分 析 」、「 常 態 分配 」、「 信 賴 區 間 和 信 心 水 準 的 解 讀 」 與 高 三 課 程 的 「 期 望 值 與 二 項 分 配 」; 九 九課 綱 的 學 習 先 後 次 序 為 高 一 課 程 的 「 機 率 」、「 一 維 數 據 分 析 」 和 「 二 維 數 據 分 析 」,高 三 課 程 的 「 隨 機 的 意 義 」、「 期 望 值 」、「 二 項 分 配 」、「 抽 樣 方 法 」、「 常 態 分 配 」、「 信 賴 區 間 和 信 心 水 準 的 解 讀 」。 除 了 教 材 學 習 的 安 排 次 序 不 同 之 外 , 九 九 課 綱比 九 五 暫 綱 多 強 調 了 「 隨 機 性 」 的 概 念 。民 國 九 十 八 年 大 學 入 學 學 力 測 驗 中 有 關 信 賴 區 間 的 試 題 之 答 對 率 及 鑑 別 度 分別 為 7% 及 -0.01, 而 當 時 九 五 暫 綱 已 實 施 三 年 , 各 界 已 完 成 信 賴 區 間 單 元 的 教 學173
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能準 備 , 例 如 : 數 學 學 科 中 心 與 各 學 校 就 辦 理 了 無 數 場 次 得 該 單 元 研 習 課 程 、 學 者也 針 對 此 單 元 充 分 地 闡 釋 了 統 計 學 裡 信 賴 及 信 心 的 涵 義 ( 黃 文 璋 ,2006)。 但 學 測測 驗 的 結 果 無 疑 地 衝 擊 了 高 中 數 學 教 師 及 高 中 學 子 對 於 「 信 賴 區 間 與 信 心 水 準 的解 讀 」 單 元 的 學 習 認 知 ( 朱 惠 文 , 2009)。 上 述 的 兩 個 例 子 符 合 許 多 研 究 者 所 認 為的 : 信 賴 區 間 是 一 個 難 以 理 解 的 概 念 (delMas,Garfield,Ooms, & Chance, 2007)。 因此 , 本 研 究 欲 深 入 探 討 我 國 高 中 數 學 教 師 在 信 賴 區 間 的 知 識 與 教 學 行 為 , 以 瞭 解高 中 數 學 教 師 的 需 求 。二 、 研 究 目 的 與 問 題本 研 究 原 以 統 計 為 主 題 , 探 討 各 行 業 對 統 計 的 需 求 與 學 習 , 後 參 考 審 查 者 的 建議 改 為 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能 。 以 下 為 各 年 度 之 研 究 問 題 :( 一 ) 第 一 年1. 職 前 教 師 與 在 職 教 師 在 比 較 兩 分 配 資 料 時 , 造 反 例 的 困 難 與 策 略 為 何 ?2. 數 學 教 師 統 計 教 學 的 困 難 與 可 能 協 助 其 改 進 的 策 略 為 何 ?( 二 ) 第 二 年1. 高 中 學 生 及 職 前 數 學 教 師 在 信 賴 區 間 相 關 子 概 念 的 理 解 程 度 為 何 ?2. 高 中 數 學 教 師 的 統 計 思 考 之 另 有 想 法 為 何 ?( 三 ) 第 三 年1. 高 中 數 學 教 師 對 統 計 教 育 的 想 法 為 何 ?2. 高 中 數 學 教 師 在 信 賴 區 間 的 教 學 特 徵 為 何 ?三 、 研 究 結 果本 研 究 旨 在 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能 , 經 由 量 化 和 質 性 資 料 的 蒐 集 與分 析 , 本 研 究 之 成 果 有 : ( 一 ) 數 學 教 師 在 比 較 兩 資 料 分 配 情 境 中 造 反 例 的 策 略 類型 , 主 要 有 「 同 時 調 整 」 與 「 先 固 定 一 組 , 再 調 整 另 一 組 」;( 二 ) 在 九 個 信 賴 區間 相 關 的 子 概 念 中 , 大 學 部 職 前 教 師 (n=113) 在 關 於 「 知 道 抽 樣 誤 差 較 小 不 表 示比 較 可 信 」 的 試 題 答 對 率 最 低 , 只 有 37.6% 的 答 對 率 ; 研 究 所 職 前 教 師 (n=19) 則在 關 於 「 計 算 95% 信 心 水 準 之 信 賴 區 間 、 樣 本 數 、 樣 本 比 率 或 抽 樣 誤 差 」 的 試 題答 對 率 最 低 , 只 有 36.8% 的 答 對 率 。 而 在 職 數 學 教 師 呈 現 的 另 有 想 法 包 含 三 種 類型 :1. 只 依 據 樣 本 特 徵 進 行 推 論 、2. 依 賴 計 算 的 精 確 性 、3. 以 二 元 邏 輯 思 維 判 斷與 推 論 ;( 三 ) 中 學 數 學 教 師 認 為 統 計 教 學 時 所 遇 到 的 困 難 或 困 境 有 : 知 識 與 經驗 不 足 、 對 輔 助 工 具 的 使 用 不 熟 悉 或 不 易 取 得 輔 助 教 具 、 不 易 協 調 理 論 與 經 驗 的觀 點 、 考 試 不 用 計 算 機 的 限 制 、 統 計 公 式 的 定 義 不 一 致 ; 認 為 統 計 不 同 於 數 學 之處 可 分 為 : 本 質 、 工 具 和 脈 絡 三 種 。( 四 ) 綜 合 三 位 個 案 教 師 的 教 學 分 析 發 現 ,三 位 教 師 的 教 學 行 為 和 其 表 達 對 實 際 教 學 的 信 念 是 相 符 的 ; 教 學 行 為 的 共 同 點 有 :生 活 例 引 入 、 提 問 澄 清 觀 念 、 明 確 的 結 論 ; 不 同 點 有 : 引 入 方 式 ( 學 生 看 或 學 生做 )、 公 式 說 明 方 法 ( 敘 述 性 推 導 或 圖 文 推 導 )、 模 擬 的 完 整 度 ( 產 生 隨 機 變 數 或 從隨 機 變 數 至 信 賴 區 間 )、 教 材 來 源 ( 自 編 講 義 或 課 本 )、 介 紹 概 念 方 式 ( 先 說 明 概174
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能念 再 讀 課 本 或 未 讀 課 本 )、 講 解 題 目 ( 學 生 先 讀 或 老 師 先 解 釋 題 目 )。( 一 ) 中 學 數 學 教 師 在 比 較 兩 分 布 資 料 時 的 思 考 特 徵1. 對 於 「 可 能 性 較 大 」 的 理 解當 教 師 閱 讀 「 甲 、 乙 兩 個 班 級 的 答 對 題 數 次 數 分 配 表 」 並 回 答 此 問 題 「 若 今 從兩 班 中 各 抽 一 位 學 生 , 甲 班 的 答 對 題 數 較 多 , 還 是 乙 班 的 答 對 題 數 較 多 , 哪 個 可能 性 較 大 ?」 時 , 教 師 會 呈 現 兩 種 理 解 的 方 式 , 一 種 會 將 「 可 能 性 較 大 」 理 解 為「 期 望 值 」, 另 一 種 則 理 解 為 「 贏 的 機 率 」。2. 推 論 方 法約 90% 的 在 職 教 師 採 用 敘 述 統 計 作 為 比 較 兩 分 配 時 的 依 據 , 其 在 比 較 分 配 時 的迷 思 有 : (1) 為 何 比 較 兩 個 班 級 哪 位 答 對 題 數 較 多 , 要 用 機 率 計 算 而 不 是 用 平 均 數或 期 望 值 來 看 ?(2) 為 何 平 均 數 較 高 的 班 級 贏 面 不 一 定 較 大 ? 以 平 均 數 和 以 機 率作 為 比 較 的 依 據 之 思 考 特 徵 分 別 為 , 前 者 將 各 自 的 分 配 量 化 成 平 均 數 並 將 平 均 數視 為 各 班 的 代 表 量 而 進 行 比 較 , 後 者 將 兩 分 配 的 情 形 互 相 比 較 後 再 量 化 成 機 率 而進 行 判 斷 。 簡 言 之 , 前 者 以 個 別 整 體 的 量 化 評 估 不 確 定 性 , 而 後 者 以 相 互 比 較 後量 化 評 估 不 確 定 性 。 經 討 論 後 在 職 老 師 針 對 第 一 個 迷 思 已 不 反 對 使 用 機 率 來 解 ,但 仍 然 不 知 使 用 平 均 數 是 錯 誤 的 理 由 。3. 造 反 例 策 略在 了 解 迷 思 後 , 下 一 個 階 段 即 請 老 師 們 試 著 造 反 例 以 澄 清 先 前 錯 誤 的 觀 念 並 反駁 不 同 的 意 見 。 由 於 在 職 老 師 對 於 第 二 個 迷 思 仍 無 法 認 同 , 因 此 研 究 者 嘗 試 請 在職 老 師 針 對 第 二 個 迷 思 舉 反 例 , 而 職 前 老 師 則 是 舉 更 有 挑 戰 性 的 反 例 , 即 「 某 個班 級 的 平 均 數 、 中 位 數 、 眾 數 皆 大 於 另 一 個 班 級 , 但 贏 的 機 率 卻 小 於 另 一 個 班級 」。當 他 們 想 造 反 例 澄 清 這 些 迷 思 時 卻 發 現 並 不 容 易 。 造 成 老 師 不 易 造 反 例 的 因 素可 能 有 :1. 受 到 情 境 中 所 給 的 分 配 影 響 ( 一 個 分 配 明 顯 右 偏 , 另 一 個 則 是 左 偏 ),因 此 會 有 一 個 潛 在 的 意 識 想 造 出 一 個 分 別 為 右 偏 及 左 偏 分 配 的 反 例 。2. 從 情 境 出發 , 在 同 一 個 分 配 中 同 時 考 慮 太 多 組 別 或 類 別 導 致 計 算 上 較 複 雜 及 難 兼 顧 各 統 計量 的 條 件 限 制 。3. 同 時 考 慮 多 個 統 計 量 的 條 件 限 制 , 為 了 符 合 其 中 一 個 條 件 而 修改 分 配 卻 間 接 影 響 另 一 個 統 計 量 的 條 件 。4. 考 量 現 實 層 面 時 , 又 覺 得 分 配 的 組 別及 個 數 過 少 的 反 例 不 是 真 的 反 例 。 針 對 以 上 不 易 造 反 例 的 因 素 , 爾 後 做 了 一 些 調整 , 包 括 修 改 原 情 境 中 的 兩 分 配 , 取 而 代 之 的 是 兩 不 規 則 分 配 , 以 及 做 適 當 的 介入 , 例 如 : 先 聚 焦 在 某 些 敘 述 統 計 量 或 是 放 寬 分 配 中 的 類 別 數 等 等 。教 師 們 舉 反 例 的 策 略 可 略 分 為 以 下 兩 種 :(1) 同 時 調 整A. 毫 無 頭 緒 的 嘗 試B. 依 照 比 例 調 整 兩 組 人 數C. 以 性 質 為 導 向 調 整 兩 組 人 數(2) 先 固 定 一 組 , 再 調 整 另 一 組175
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能A. 以 符 合 各 統 計 量 做 為 修 正 依 據B. 釋 放 一 分 配 中 的 類 別 再 加 以 調 整 另 一 分 配相 關 研 究 結 果 已 撰 寫 成 研 討 會 論 文 , 接 受 並 發 表 於 ICOTS-8 研 討 會 。( 二 ) 數 學 教 師 的 統 計 知 識 與 教 學 : 以 信 賴 區 間 為 例1. 職 前 數 學 教 師 在 信 賴 區 間 各 子 概 念 的 表 現根 據 擬 定 信 賴 區 間 的 九 個 子 概 念 測 驗 所 設 計 出 的 試 題 , 對 有 效 樣 本 為 113 位 師範 大 學 學 過 信 賴 區 間 的 大 學 生 , 和 有 效 樣 本 為 19 位 師 範 大 學 研 究 所 的 碩 士 生 進行 施 測 。 以 下 為 大 學 部 職 前 教 師 與 研 究 所 職 前 教 師 於 九 個 子 概 念 的 平 均 答 對 率 :信 賴 區 間 子 概 念平 均 答 對 率大 學 部 研 究 所(1) 辨 識 信 賴 區 間 圖 形 表 徵 內 的 轉 換 61.9% 71.1%(2) 知 道 抽 樣 誤 差 較 小 不 表 示 比 較 可 信 37.6% 50%(3) 以 抽 樣 誤 差 計 算 信 賴 區 間 長 度 51.8% 47.4%(4) 推 論 樣 本 比 例 93.8% 100%(5) 能 辨 識 樣 本 數 與 抽 樣 誤 差 、 信 賴 區 間 、 樣 本 比 率 、 信 43.1% 52.6%心 水 準 、 標 準 差 之 間 的 關 聯 性(6) 計 算 95% 信 心 水 準 之 信 賴 區 間 、 樣 本 數 、 樣 本 比 率 或 43.2% 36.8%抽 樣 誤 差(7) 推 論 母 體 比 例 44% 40.4%(8) 解 讀 95% 信 心 水 準 55.8% 72.9%(9) 誤 以 樣 本 分 配 推 論 信 賴 區 間 51.4% 52.6%整 體 而 言 , 研 究 所 職 前 教 師 於 此 信 賴 區 間 的 試 題 表 現 較 佳 , 在 「 推 論 樣 本 比 例 」子 概 念 中 , 兩 組 的 答 題 表 現 皆 最 優 , 而 研 究 所 職 前 教 師 在 「 以 抽 樣 誤 差 計 算 信 賴區 間 長 度 」 一 子 概 念 的 答 對 率 最 低 , 且 低 於 大 學 部 職 前 教 師 在 該 子 概 念 中 的 答 題表 現 , 大 學 部 職 前 教 師 則 是 在 「 知 道 抽 樣 誤 差 較 小 不 表 示 比 較 可 信 」 一 子 概 念 的答 對 率 最 低 。2. 在 職 數 學 教 師 的 統 計 思 考 之 另 有 想 法在 與 信 賴 區 間 相 關 的 試 題 晤 談 下 , 發 現 在 職 數 學 教 師 的 統 計 思 考 之 另 有 想 法 有三 種 , 分 別 是 只 依 據 樣 本 特 性 推 論 、 以 確 定 性 思 維 進 行 判 斷 和 推 論 、 依 賴 計 算 的精 確 性 。 只 依 據 樣 本 特 性 推 論 又 可 細 分 成 :(1) 基 於 樣 本 分 配 推 論 最 有 可 能 、(2)把 樣 本 的 分 配 視 為 抽 樣 分 配 、(3) 忽 略 母 群 體 的 特 性 進 行 推 論 ; 以 確 定 性 思 維 進行 判 斷 又 可 細 分 成 :(1) 估 計 量 的 信 賴 區 間 、(2) 一 定 要 算 ; 依 賴 計 算 的 精 確 性又 可 細 分 成 :(1) 以 沒 有 反 例 進 行 推 論 、(2) 充 分 條 件 。 相 關 研 究 結 果 已 撰 寫 成研 討 會 論 文 , 接 受 並 發 表 於 BSRLM Day Conference。( 三 ) 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 育 想 法176
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能由 半 結 構 式 訪 談 17 位 在 職 教 師 與 22 位 在 職 教 師 於 開 放 式 問 卷 的 回 答 中 , 研 究者 分 析 歸 納 教 師 們 對 統 計 的 想 法 , 包 含 : 統 計 的 重 要 性 、 統 計 的 困 難 、 統 計 觀 、統 計 教 學 觀 、 統 計 與 數 學 的 不 同 。其 中 , 老 師 們 提 及 統 計 的 重 要 性 包 含 :(1) 解 讀 生 活 中 所 遇 到 的 各 式 報 表 與 數字 、(2) 應 用 於 解 決 生 活 中 實 際 的 問 題 、(3) 選 用 統 計 方 法 、(4) 辨 別 資 料 的 真 偽 ;老 師 們 教 統 計 時 的 困 難 有 :(1) 知 識 與 信 心 不 足 、(2) 對 輔 助 工 具 的 使 用 不 熟 悉或 不 易 取 得 輔 助 教 具 、(3) 幫 助 學 生 區 辨 用 來 模 擬 的 母 體 分 配 與 模 擬 的 結 果 , 或區 辨 假 設 與 實 驗 不 易 、(4) 教 學 時 間 不 夠 和 考 試 中 不 得 用 計 算 機 、(5) 公 式 的 定義 不 一 時 , 造 成 學 習 與 教 學 的 困 擾 、(6) 對 於 統 計 方 法 在 現 實 中 的 意 義 或 感 覺 不足 ; 關 於 老 師 們 的 「 統 計 觀 」 與 「 統 計 教 學 觀 」 的 想 法 , 在 統 計 觀 方 面 又 分 為 :關 係 / 策 略 性 ( 不 同 表 徵 間 的 轉 換 或 解 題 方 法 。)、 工 具 / 應 用 性 ( 運 用 所 學 解 讀 、 解決 實 際 的 問 題 。)、 方 法 論 ( 從 不 足 的 知 識 中 , 發 展 新 方 法 。); 在 統 計 教 學 觀 方 面又 分 為 : 介 紹 與 解 釋 ( 介 紹 定 義 、 公 式 後 解 釋 其 由 來 )、 解 釋 性 引 導 ( 學 生 對 問 題 無回 應 時 , 給 予 設 想 好 的 提 示 )、 參 與 性 引 導 ( 學 生 對 問 題 無 回 應 時 , 給 予 較 不 複 雜的 問 題 , 直 到 學 生 達 出 來 為 止 )、 參 與 性 諮 詢 ( 與 學 生 一 同 探 討 、 思 考 問 題 , 為 諮詢 者 的 角 色 )。 在 此 分 類 中 發 現 , 在 職 教 師 的 統 計 觀 多 屬 於 工 具 / 應 用 性 類 型 (17位 , 約 63%), 統 計 教 學 觀 多 屬 於 介 紹 與 解 釋 (13 位 , 約 48.1%)、 解 釋 性 引 導 (11位 , 約 40.7%) 兩 類 型 。 老 師 們 認 為 統 計 與 數 學 的 不 同 分 為 本 質 、 工 具 、 脈 絡 三類 。 本 質 上 的 不 同 , 亦 即 確 定 性 與 不 確 定 性 , 認 為 數 學 上 的 解 往 往 有 唯 一 性 或 確定 性 , 但 統 計 上 因 有 隨 機 的 概 念 因 此 伴 隨 著 不 確 定 性 。 然 而 根 據 所 採 用 統 計 方 法的 不 同 , 及 個 人 解 讀 不 同 , 也 將 會 有 不 同 的 答 案 ; 工 具 上 的 不 同 , 亦 即 對 資 料 或圖 形 的 處 理 需 不 需 要 檢 驗 假 設 , 認 為 在 數 學 中 通 常 假 設 為 資 料 是 對 的 , 不 用 經 過判 別 即 可 運 算 , 但 在 統 計 中 處 理 資 料 時 , 必 須 對 資 料 的 來 源 持 有 保 留 態 度 , 必 須確 認 資 料 符 合 各 假 設 才 能 進 行 統 計 分 析 , 又 或 是 在 數 學 中 幾 何 單 元 中 所 給 的 圖 形僅 供 參 考 , 參 考 各 條 件 的 相 關 位 置 , 不 保 證 角 度 與 長 度 比 例 的 正 確 性 , 在 統 計 中則 是 假 設 圖 形 正 確 的 情 況 下 , 根 據 圖 形 做 出 各 式 推 論 ; 脈 絡 上 的 不 同 , 又 分 數 字的 意 義 與 公 式 的 易 解 釋 性 。 數 字 的 意 義 亦 即 需 不 需 要 解 讀 數 字 , 在 數 學 上 會 有 固定 的 尺 度 及 標 準 , 然 而 在 統 計 上 容 許 有 不 同 的 標 準 ; 公 式 的 易 解 釋 性 , 亦 即 數 學上 易 解 釋 , 但 統 計 上 就 難 說 清 楚 。 數 學 上 的 有 些 公 式 為 定 義 是 不 用 解 釋 的 , 學 生接 受 度 高 ; 但 統 計 上 卻 難 解 釋 一 些 公 式 , 例 如 : 母 體 平 均 數 的 信 賴 區 間 中 為 何 要將 變 異 數 除 以 抽 樣 個 數 的 平 方 根 、 樣 本 變 異 數 的 計 算 為 何 要 除 以 N-1 等 等 。部 分 相 關 研 究 結 果 已 撰 寫 成 研 討 會 論 文 , 接 受 並 發 表 於 The Asian Conferenceon Education2011 研 討 會 。( 四 ) 教 學 特 徵以 下 為 三 位 個 案 老 師 自 身 對 於 統 計 的 信 念 , 以 及 實 際 教 學 的 教 學 特 徵 。1、C 老 師(1) 有 關 統 計 的 信 念177
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能對 統 計 的 想 法 :問 題 是 不 確 定 的 、 偏 向 對 產 品 ( 成 果 ) 的 解 讀 、 是 一 個 研 究 問 題 的 探 索 方 法 。對 統 計 學 習 的 想 法 :理 想 上 認 為 學 生 要 學 好 統 計 , 應 該 要 從 收 集 資 料 開 始 , 觀 察 資 料 中 的 現 象 後 轉成 數 字 , 再 從 數 字 中 的 趨 勢 提 出 相 關 的 研 究 問 題 , 最 後 選 擇 適 當 的 統 計 量 回 答 問題 。 不 只 要 主 動 想 , 也 需 要 操 作 軟 體 應 用 , 而 不 是 只 會 代 公 式 算 結 果 。 使 用 ( 操作 ) 軟 體 可 以 快 速 的 算 出 各 種 統 計 量 的 值 , 對 每 個 統 計 量 的 結 果 是 否 可 以 解 釋 比較 有 感 覺 , 久 了 就 有 能 力 可 篩 選 合 適 的 統 計 量 來 解 釋 數 據 。實 際 上 沒 有 足 夠 的 時 間 讓 學 生 收 集 資 料 , 僅 能 用 可 取 得 適 合 的 現 成 資 料 教 學 生模 擬 , 現 實 社 會 中 真 正 用 來 統 計 的 資 料 對 高 中 來 說 過 於 複 雜 , 此 並 不 適 合 讓 高 中學 生 學 習 統 計 。對 統 計 教 學 的 想 法 :理 想 上 教 學 生 看 懂 數 據 的 意 義 重 於 數 據 的 計 算 過 程 , 讓 學 生 了 解 統 計 的 有 用 性 。認 為 輔 以 軟 體 展 現 模 擬 資 料 是 不 可 或 缺 的 , 一 方 面 多 了 電 腦 軟 體 的 實 作 經 驗 , 會使 教 學 變 得 有 趣 , 可 以 直 接 解 釋 數 據 的 意 義 ; 另 一 方 面 也 節 省 了 運 算 時 間 , 答 案或 圖 表 都 較 為 精 確 。實 際 上 會 在 適 當 的 時 機 下 帶 入 統 計 的 概 念 ( 如 成 績 單 ), 不 會 只 侷 限 在 教 統 計 單元 時 才 介 紹 ; 亦 會 朝 著 學 生 如 何 學 好 統 計 的 步 驟 來 進 行 教 學 , 但 受 限 於 時 間 以 致於 只 能 濃 縮 每 個 步 驟 實 行 。 此 外 , 認 為 學 生 可 能 因 知 識 背 景 不 足 而 無 法 理 解 統 計量 推 導 過 程 的 意 涵 , 因 此 在 課 堂 上 講 解 時 並 不 會 強 調 。 在 操 作 軟 體 部 分 , 僅 能 以基 本 或 是 常 用 的 統 計 量 來 介 紹 , 要 讓 學 生 可 以 對 軟 體 上 手 , 也 是 需 要 時 間 引 導 。(2) 教 學C 老 師 實 際 在 課 堂 中 的 教 學 方 式 與 其 統 計 教 學 的 信 念 並 無 太 大 出 入 。 在 課 堂 開始 時 , 會 先 回 顧 複 習 先 前 所 學 的 相 關 單 元 , 接 著 透 過 操 作 軟 體 並 用 生 活 例 介 紹 統計 觀 念 。 之 後 正 式 引 入 教 科 書 上 所 列 的 定 義 , 並 以 數 學 例 來 展 現 統 計 量 的 推 導 過程 。 在 此 堂 課 的 最 後 進 行 總 結 並 強 調 該 注 意 的 地 方 。 在 整 節 課 中 , 會 適 時 地 穿 插提 問 , 以 澄 清 學 生 在 學 習 此 單 元 時 容 易 產 生 迷 思 或 困 難 之 處 。 以 下 為 研 究 者 觀 察C 老 師 的 教 學 特 徵 :A. 重 複 提 醒 並 強 調 易 誤 解 的 名 詞 (「 一 回 實 驗 」 的 涵 義 )。B. 由 生 活 例 引 入 新 觀 念 。C. 合 理 連 結 新 概 念 ( 從 點 估 計 到 區 間 估 計 )。D. 澄 清 易 誤 解 的 觀 念 。2、Y 老 師(1) 有 關 統 計 的 信 念對 統 計 的 想 法 :高 中 的 統 計 是 分 析 資 料 並 解 讀 資 料 。178
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能對 統 計 學 習 的 想 法 :認 為 學 生 在 學 習 統 計 時 較 好 的 學 習 方 式 , 理 想 與 實 際 兩 種 情 況 中 並 無 不 同 , 即由 老 師 引 導 提 問 , 進 而 激 發 出 學 生 不 一 樣 的 想 法 , 這 對 他 們 來 說 會 是 比 較 好 的 學習 方 式 。 因 為 統 計 各 單 元 比 較 獨 立 , 定 義 往 往 都 訂 於 某 種 狀 況 出 現 時 用 來 解 決 ,若 沒 有 老 師 的 介 入 , 學 生 可 能 受 限 於 背 景 知 識 的 不 足 , 無 法 主 動 提 出 疑 問 探 索 。對 統 計 教 學 的 想 法 :理 想 上 較 佳 的 統 計 教 學 , 會 是 透 過 設 計 一 些 活 動 與 學 生 互 動 , 帶 入 統 計 的 思 維 、講 解 實 例 讓 同 學 深 刻 的 體 會 如 何 用 各 種 不 同 的 統 計 量 解 讀 資 料 。實 際 上 , 需 要 視 單 元 而 定 。 若 為 敘 述 統 計 , 則 直 接 跟 同 學 介 紹 、 解 釋 定 義 比 較適 當 ; 若 像 相 關 係 數 的 單 元 , 需 要 收 集 大 量 資 料 , 電 腦 模 擬 的 呈 現 方 式 比 較 恰 當 。(2) 教 學Y 老 師 認 為 學 生 在 學 習 統 計 時 , 可 能 會 受 限 於 背 景 知 識 的 不 足 而 無 法 主 動 提 問探 索 。 因 此 會 用 前 半 堂 課 的 時 間 , 先 回 顧 複 習 相 關 的 數 學 或 統 計 知 識 , 由 老 師 講解 或 是 提 出 與 先 備 知 識 有 關 的 問 題 來 讓 學 生 回 答 , 以 增 加 課 堂 上 的 互 動 。 而 在 課堂 的 後 半 段 ,Y 老 師 藉 由 生 活 例 來 介 紹 統 計 觀 念 , 並 不 時 提 問 以 澄 清 學 生 的 錯 誤觀 念 。 之 後 再 引 進 教 科 書 上 的 數 學 例 讓 學 生 了 解 如 何 善 用 各 種 不 同 的 統 計 量 於 資料 解 讀 。 與 其 他 兩 位 個 案 教 師 不 同 之 處 在 於 Y 老 師 在 課 堂 中 較 偏 重 於 和 學 生 間的 互 動 與 問 答 。 以 下 為 研 究 者 觀 察 Y 老 師 的 教 學 特 徵 :A. 電 腦 模 擬 與 展 示a. 以 簡 單 的 數 字 說 明 抽 樣 的 隨 機 性b. 展 示 樣 本 數 不 同 時 的 抽 樣 分 配 和 母 體 分 配 的 比 較B. 推 導 公 式C. 舉 例a. 引 入 例b. 澄 清 例D. 總 結 信 心 水 準 並 解 釋 點 估 計 與 區 間 估 計3、W 老 師(1) 有 關 統 計 的 信 念對 統 計 的 想 法 :是 一 個 好 玩 又 有 用 的 工 具 , 可 以 應 用 在 真 實 的 情 境 中 。對 統 計 學 習 的 想 法 :理 想 上 認 為 若 教 學 材 料 上 有 妥 當 的 鋪 陳 之 下 , 學 生 可 以 主 動 學 習 、 提 問 , 會 是最 好 的 學 習 方 式 。由 於 高 中 的 統 計 課 程 仍 以 計 算 為 主 , 且 單 元 間 各 自 獨 立 , 較 無 法 連 貫 , 故 實 際上 認 為 學 生 要 學 好 統 計 的 方 式 就 是 上 課 聽 講 後 多 練 習 題 目 。對 統 計 教 學 的 想 法 :認 為 理 想 上 的 教 法 會 因 學 生 的 程 度 而 有 所 不 同 。 若 學 生 資 質 較 佳 , 鋪 陳 以 系 統179
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能性 的 問 題 提 問 , 會 是 理 想 的 教 學 方 式 , 但 若 學 生 的 資 質 無 法 從 老 師 的 提 問 中 突 破瓶 頸 , 比 較 理 想 的 教 學 方 式 是 老 師 給 與 適 時 的 引 導 。實 際 上 會 在 上 課 時 解 釋 引 導 定 理 和 概 念 , 並 加 入 多 一 些 生 活 上 的 應 用 讓 學 生 感受 統 計 量 的 解 讀 。(2) 教 學W 老 師 在 課 堂 中 的 教 學 方 式 與 其 統 計 教 學 的 信 念 並 無 太 大 出 入 。 在 課 堂 開 始時 會 先 以 生 活 例 引 入 概 念 , 講 解 統 計 觀 念 時 直 接 以 板 書 方 式 呈 現 , 甚 至 請 學 生 上台 一 同 模 擬 區 間 估 計 中 p 與 ˆp 的 關 係 。 接 著 演 示 教 材 中 的 習 題 , 讓 學 生 體 驗 如 何應 用 統 計 與 如 何 解 讀 數 據 。 在 介 紹 完 每 個 觀 念 與 演 練 後 , 均 先 會 對 此 統 計 量 做 個小 結 , 亦 於 此 堂 課 的 最 後 進 行 總 結 並 強 調 該 注 意 的 地 方 。 在 整 節 課 中 ,W 老 師並 無 帶 入 過 多 繁 雜 的 推 導 過 程 於 介 紹 統 計 公 式 , 亦 會 適 時 地 提 問 , 來 了 解 或 澄 清學 生 容 易 產 生 迷 思 或 困 難 之 處 。 以 下 為 研 究 者 觀 察 W 老 師 的 教 學 特 徵 :A. 完 全 以 板 書 呈 現B. 以 實 例 體 驗 統 計 量 的 用 途C. 以 圖 像 表 徵 多 回 實 驗D. 以 常 態 分 配 圖 形 介 紹 p 符 合 常 態 分 配 。E. 藉 由 和 學 生 互 動 , 說 明 區 間 估 計 中 p 與 ˆp 的 角 色 。F. 以 澄 清 式 提 問 總 結 說 明 。綜 合 三 位 個 案 教 師 的 教 學 分 析 發 現 , 三 位 教 師 的 教 學 行 為 和 其 表 達 對 實 際 教學 的 信 念 是 相 符 的 ; 教 學 行 為 的 共 同 點 有 : 生 活 例 引 入 、 提 問 澄 清 觀 念 、 明 確 的結 論 ; 不 同 點 有 : 引 入 方 式 ( 學 生 看 或 學 生 做 )、 公 式 說 明 方 法 ( 敘 述 性 推 導 或 圖 文推 導 )、 模 擬 的 完 整 度 ( 產 生 隨 機 變 數 或 從 隨 機 變 數 至 信 賴 區 間 )、 教 材 來 源 ( 自 編講 義 或 課 本 )、 介 紹 概 念 方 式 ( 先 說 明 概 念 再 讀 課 本 或 未 讀 課 本 )、 講 解 題 目 ( 學生 先 讀 或 老 師 先 解 釋 題 目 )。( 五 ) 信 賴 區 間 的 教 學 問 題數 學 教 師 在 教 學 中 呈 現 有 關 信 賴 區 間 概 念 理 解 的 問 題 , 整 理 如 下 :(1) 未 區 分 參 數 和 隨 機 變 數(2) 估 計 值 和 隨 機 變 數 用 同 一 符 號 表 示(3) 出 現 正 面 的 比 例 指 估 計 量 、 出 現 正 面 的 機 率 指 參 數(4) 以 N(μ, σ) 表 示 常 態 分 配(5) 以 σ p 表 示 出 現 正 面 比 例 估 計 量 的 標 準 差(6) 只 說 P( 未 知 ), 未 指 出 其 內 涵 : 母 體 的 真 實 比 例(7) 在 P( 未 知 ) 的 前 提 下 , 又 藉 由 電 腦 設 定 P 值 模 擬 實 驗 結 果(8) 指 P 是 正 面 出 現 的 機 率 , 並 混 淆 為 隨 機 變 數(9) 因 為 p 是 變 動 的 、P 是 固 定 值 , 所 以 p 落 在 某 一 區 間 有 機 率 、P 落 在 某 一區 間 沒 有 機 率 。 但 是 某 一 區 間 包 含 P 是 有 機 率 的 , 因 為 這 個 區 間 是 變 動180
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能的 。(10) 未 區 分 標 準 差 、 標 準 誤(11) 未 區 分 近 似 和 收 斂(12) 離 均 差 平 方 和 除 以 n 都 稱 為 母 體 標 準 差(13) 以 小 樣 本 取 後 不 放 回 解 釋 為 什 麼 樣 本 標 準 差 要 除 以 n-1(14) 以 小 母 體 與 小 樣 本 取 後 不 放 回 的 抽 樣 分 配 引 入 中 央 極 限 定 理(15) 以 500 回 樣 本 數 為 4 和 16 的 實 驗 模 擬 , 樣 本 數 仍 不 夠 多 , 較 難 顯 現 平 均數 的 分 配 趨 近 於 常 態 分 配(16) 藉 由 推 導 離 均 差 平 方 和 說 明 參 數 估 計 量 的 變 異 數 是 母 體 變 異 數 除 以 n(17) 從 點 估 計 可 能 不 準 ( 不 同 於 真 實 值 ) 引 出 需 要 信 賴 區 間 , 因 為 真 實 值 落 在信 賴 區 間 的 機 率 較 大( 六 ) 教 師 提 問為 了 探 討 職 前 教 師 訪 談 學 生 中 的 提 問 方 式 , Moyer 與 Milewicz (2002) 先 從 文獻 中 整 理 出 五 種 提 問 的 功 能 : 包 含 幫 助 學 生 理 解 ( 例 如 : 你 能 解 釋 這 是 什 麼 意 思嗎 ?); 幫 助 學 生 靠 自 己 檢 驗 正 確 性 ( 例 如 : 怎 麼 得 到 這 個 答 案 的 ?); 幫 助 學 生學 習 如 何 做 數 學 推 理 ( 例 如 : 為 什 麼 可 以 這 樣 做 呢 ?); 幫 助 學 生 去 臆 測 、 創 造或 解 題 ( 例 如 : 如 果 …, 會 發 生 什 麼 ?); 幫 助 學 生 去 連 結 應 用 ( 例 如 : 你 以 前有 想 過 或 學 過 類 似 的 問 題 嗎 ?)。 本 研 究 先 基 於 這 五 種 分 類 , 但 是 發 現 不 足 以 顯現 台 灣 在 職 數 學 教 師 提 問 的 多 樣 性 和 差 異 性 。 因 而 , 在 各 類 提 問 中 再 區 分 為 是 開放 式 或 封 閉 式 問 題 類 型 。此 外 , 台 灣 在 職 數 學 教 師 在 幫 助 學 生 理 解 的 提 問 上 , 也 呈 現 許 多 不 同 的 提 問 方式 。 因 此 編 碼 時 , 在 封 閉 式 理 解 提 問 中 又 分 成 辨 認 和 區 辨 兩 種 提 問 , 在 開 放 式 理解 提 問 中 又 納 入 臆 測 的 四 個 認 知 歷 程 : 觀 察 、 建 構 、 轉 換 和 反 思 等 。 為 什 麼 不 將這 樣 的 提 問 編 入 臆 測 呢 ? 主 要 是 因 為 教 師 提 問 的 問 題 並 非 在 引 出 學 生 的 臆 測 歷程 , 而 是 讓 學 生 產 生 理 解 為 目 標 。 所 以 , 我 們 將 其 納 入 幫 助 學 生 理 解 的 類 別 後 ,再 細 分 可 能 會 需 要 學 生 透 過 哪 些 臆 測 歷 程 來 回 答 此 問 題 。 再 者 , 我 們 在 幫 助 學 生理 解 的 部 分 又 增 加 寫 出 答 案 或 想 法 , 以 及 增 加 評 估 答 案 的 正 確 性 和 解 法 的 合 適性 。在 分 析 了 三 位 教 師 在 教 信 賴 區 間 時 的 提 問 後 , 發 現 此 三 位 教 師 於 教 學 時 所 提 出的 問 題 , 出 現 於 五 種 分 類 中 的 兩 種 : 幫 助 學 生 理 解 (29 個 , 佔 76%)、 幫 助 學 生 學習 如 何 做 數 學 推 理 (9 個 , 佔 24%)。 當 中 封 閉 式 的 理 解 提 問 (23 個 , 佔 60.5%) 多於 開 放 式 的 理 解 提 問 (6 個 , 佔 15.8%), 且 多 為 區 辨 和 辨 認 類 型 , 但 三 位 老 師 未有 提 出 讓 學 生 靠 自 己 檢 驗 正 確 性 的 問 題 、 幫 助 學 生 產 生 創 造 或 解 題 的 臆 測 過 程 之問 題 、 幫 助 學 生 連 結 應 用 的 問 題 。六 、 結 論 與 建 議181
楊 凱 琳 統 計 教 育 研 究 : 人 才 培 育 與 資 訊 整 合 - 子 計 畫 五 : 探 討 中 學 數 學 教 師 的 統 計 教 學 知 能綜 言 之 , 我 們 的 中 學 數 學 教 師 對 於 統 計 教 育 的 想 法 , 較 著 重 於 數 學 上 的 合 理 性 ,但 忽 略 常 識 性 。 教 師 們 能 覺 察 統 計 能 被 廣 泛 地 應 用 在 其 他 領 域 中 , 因 而 認 同 統 計的 重 要 性 。 但 是 仍 受 數 學 思 考 的 嚴 密 性 的 影 響 , 強 調 統 計 概 念 在 演 繹 推 理 系 統 的合 理 性 。 教 師 們 也 承 認 科 技 在 統 計 教 學 中 的 必 要 性 , 它 有 利 於 減 少 計 算 時 間 和 不必 要 的 認 知 負 荷 , 但 是 仍 因 不 熟 悉 科 技 的 使 用 , 無 法 有 效 善 用 科 技 增 進 學 生 的 統計 思 考 能 力 。 如 果 能 增 進 教 師 對 學 生 在 統 計 推 論 上 的 認 識 與 瞭 解 , 並 經 驗 科 技 輔助 統 計 教 學 的 多 樣 性 , 則 有 助 於 提 昇 教 師 的 統 計 教 學 知 能 。參 考 文 獻朱 惠 文 ( 民 98)。 我 有 95% 信 心 說 98 學 測 數 學 第 9 題 得 分 了 嗎 ? 選 才 通 訊 ,175。取 自 選 才 通 訊 http://www.ceec.edu.tw/ceecmag/Articles/175/175-10.pdf邱 婉 嘉 ( 民 99)。 台 灣 與 美 國 高 中 「 信 賴 區 間 單 元 教 材 」 內 容 之 分 析 比 較 。 國 立 臺灣 師 範 大 學 數 學 系 碩 士 班 碩 士 論 文 。高 中 數 學 學 科 中 心 ( 2006)。95 數 學 暫 綱 各 界 回 饋 意 見 。 教 育 部 , 取 自http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:IZIbAhFlGkkJ:mathcenter.ck.tp.edu.tw/MCenter/Center/CourseOutline.aspx+&cd=2&hl=zh-TW&ct=clnk&gl=tw&lr=lang_zh-TW。黃 文 璋 (2006)。 決 策 的 誤 差 。 數 學 傳 播 季 刊 ,30(3),66-79.譚 克 平 (2006)。 提 昇 科 教 研 究 生 基 本 統 計 能 力 之 研 究 ( 國 科 會 專 題 研 究 計 畫 成果 報 告 編 號 :NSC 93-2521-S-003-013)。 台 北 : 中 華 民 國 行 政 院 國 家 科 學 委員 會 。delMas, R., Garfield, B., Ooms, A., & Chance, B. (2007). Assessing Students'Conceptual Understanding After a First Course in Statistics. Statistics EducationResearch Journal, 6(2), 28-58.Makar K, & Confrey, J. (2002). Comparing two distributions: Investigating secondaryteachers’ statistical thinking. Paper pressed at the Sixth International Conferenceon Teaching Statistics (ICOT-6), Cape Town, South Africa.182
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 ■ 成 果 報 告□ 期 中 進 度 報 告以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 台 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要以 及 評 量 架 構 之 開 發計 畫 類 別 :■ 個 別 型 計 畫 □ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 98-2511-S-003 -012 -M執 行 期 間 :100 年 08 月 01 日 至 101 年 11 月 31 日執 行 機 構 及 系 所 : 國 立 台 灣 師 範 大 學科 學 教 育 研 究 所計 畫 主 持 人 : 譚 克 帄成 果 報 告 類 型 ( 依 經 費 核 定 清 單 規 定 繳 交 ):■ 精 簡 報 告本 計 畫 除 繳 交 成 果 報 告 外 , 另 須 繳 交 以 下 出 國 心 得 報 告 :■ 赴 國 外 出 差 或 研 習 心 得 報 告□ 赴 大 陸 地 區 出 差 或 研 習 心 得 報 告□ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告□ 國 際 合 作 研 究 計 畫 國 外 研 究 報 告處 理 方 式 : 除 列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢■ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,□ 一 年 □ 二 年 後 可 公 開 查 詢中 華 民 國 101 年 11 月 14 日183
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發摘 要近 二 十 多 年 來 , 統 計 教 育 在 國 際 間 越 來 越 受 教 育 研 究 者 的 關 注 , 不 但 已 逐 漸成 為 一 個 獨 立 的 研 究 領 域 , 而 且 還 發 展 得 頗 為 迅 速 。 至 於 在 學 校 該 如 何 教 授 統 計的 概 念 , 漸 有 學 者 主 張 要 從 教 導 統 計 相 關 大 概 念 的 方 式 來 引 導 學 生 學 習 , 更 以 此作 為 研 究 主 題 做 進 一 步 的 探 討 。 然 而 , 臺 灣 在 統 計 教 育 方 面 的 發 展 相 對 較 為 緩慢 , 儘 管 九 年 一 貫 的 正 綱 已 經 比 暫 行 綱 要 增 加 了 不 少 統 計 概 念 的 篇 幅 , 但 經 分 析相 關 課 程 及 教 科 書 的 內 容 , 發 現 很 多 統 計 概 念 的 介 紹 並 非 從 大 概 念 的 方 式 來 規劃 , 而 是 偏 重 於 個 別 方 法 的 計 算 、 製 作 或 技 術 性 的 層 面 , 概 念 之 間 較 少 連 結 , 因此 很 容 易 讓 學 習 者 誤 認 為 統 計 只 不 過 是 一 些 計 算 公 式 與 步 驟 的 組 合 , 或 者 是 一 些資 料 處 理 技 術 的 統 稱 , 而 非 一 套 容 許 學 習 者 從 整 體 的 觀 點 瞭 解 量 化 資 訊 的 知 識 體系 。 另 一 方 面 , 在 中 、 小 學 的 科 學 課 程 中 , 也 有 不 少 需 要 運 用 統 計 概 念 以 協 助 理解 的 科 學 主 題 , 但 由 於 目 前 學 制 缺 乏 跨 數 學 與 科 學 的 統 整 課 程 , 導 致 一 些 學 生 因為 統 計 背 景 不 足 , 而 在 理 解 科 學 的 概 念 時 遭 遇 困 難 。 有 鑑 於 此 , 本 計 畫 主 要 的 目的 是 在 統 計 大 概 念 的 觀 點 之 下 , 研 擬 比 較 適 合 用 作 整 合 與 連 結 中 、 小 學 課 程 內 各類 統 計 相 關 主 題 的 統 計 概 念 , 並 據 此 大 概 念 構 思 及 設 計 一 套 既 能 連 結 各 年 級 所 需學 習 的 內 容 , 又 能 兼 顧 科 學 科 目 中 相 關 概 念 的 統 計 課 程 架 構 。從 第 一 年 計 畫 之 文 獻 分 析 發 現 , 分 布 不 但 是 統 計 學 中 的 一 個 重 要 觀 念 , 而 且與 目 前 臺 灣 中 、 小 學 所 要 教 導 大 部 份 的 統 計 概 念 都 有 直 接 關 係 , 因 此 可 考 慮 將 其視 為 大 概 念 , 並 環 繞 分 布 的 概 念 在 不 同 年 級 作 不 同 程 度 的 介 紹 , 若 能 以 此 大 概 念將 學 生 要 學 習 的 各 類 統 計 圖 表 、 中 央 位 置 、 分 散 程 度 等 概 念 連 結 起 來 , 並 添 補 分布 形 狀 與 整 體 等 概 念 , 將 增 加 中 、 小 學 統 計 課 程 的 連 貫 性 。 本 研 究 第 二 年 的 計 畫針 對 分 布 概 念 進 行 更 精 緻 化 的 文 獻 探 討 , 並 對 不 同 版 本 小 學 數 學 的 教 科 書 進 行 比較 , 將 臺 灣 康 軒 版 、 南 一 版 及 翰 林 版 小 學 數 學 教 科 書 中 之 統 計 內 容 , 分 別 與 新 加坡 及 中 國 教 科 書 的 統 計 內 容 進 行 深 入 的 分 析 比 對 , 本 計 畫 選 擇 以 北 京 師 範 大 學 出版 的 版 本 與 新 加 坡 的 My Pals Are Here 版 本 作 為 分 析 的 焦 點 。 分 析 結 果 發 現 , 臺灣 各 版 本 統 計 內 容 所 占 的 總 頁 數 皆 比 北 京 師 範 版 與 新 加 坡 版 的 頁 數 為 少 , 而 且 統計 相 關 的 章 節 主 要 集 中 在 四 、 五 及 六 年 級 , 而 北 京 師 範 版 本 則 將 相 關 內 容 分 配 至各 年 級 。 至 於 概 念 之 間 的 關 連 性 , 則 以 臺 灣 版 本 的 轉 接 最 為 迅 速 , 從 低 年 級 的 基本 概 念 快 速 轉 為 在 高 年 級 介 紹 複 雜 的 統 計 圖 形 。 此 外 還 發 現 各 版 本 的 統 計 圖 形 皆有 需 要 改 善 的 地 方 。 本 研 究 第 三 年 計 畫 尚 以 統 計 分 布 的 大 概 念 為 主 軸 , 實 際 上 設計 了 一 套 課 程 協 助 學 生 學 習 高 三 物 理 學 的 馬 克 士 威 速 率 分 布 之 統 整 課 程 , 並 探 討其 效 益 。 初 步 分 析 結 果 發 現 , 有 證 據 顯 示 首 先 教 導 統 計 分 布 的 概 念 , 並 在 科 學 課堂 中 學 習 馬 克 士 威 速 率 分 布 時 , 透 過 設 計 的 EXCEL 電 腦 資 料 處 理 操 作 活 動 學 習馬 克 士 威 速 率 分 布 中 統 計 分 布 的 子 概 念 , 有 加 強 學 生 瞭 解 馬 克 士 威 速 率 分 布 的 效果 。 綜 合 而 言 , 本 研 究 推 薦 中 小 學 統 計 課 程 考 慮 以 分 布 為 大 概 念 以 連 結 現 行 課 程中 各 統 計 主 題 , 而 且 還 可 以 考 慮 將 統 計 分 布 的 概 念 橫 向 統 整 至 科 學 科 目 中 的 相 關184
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發概 念 , 這 樣 的 處 理 可 使 學 生 將 要 學 習 的 概 念 連 結 成 為 一 個 有 意 義 且 很 有 助 益 的 網絡 。關 鍵 詞 : 統 計 分 布 、 中 央 位 置 、 分 散 程 度 、 分 布 的 形 狀 、 分 布 整 體 的 概 念 、 教科 書 分 析AbstractFor the past two decades, statistics education has drawn the attention ofeducators around the globe. Not only has it become an independent area of research, italso represents one of the fastest areas of growth in terms of progress gained. So far asinstruction is concerned, some researchers have suggested using big ideas as a way toorganize the statistics curriculum. Research has also been done along this directionwith respect to how this can be done. In contrast, research in statistics education hasbeen rather slow in Taiwan, at least in a relatively sense. Even though the currentmathematics syllabus in the Grade 1 to 9 Curriculum has already included anexpanded collection of statistics topics, they are, upon inspection, not organized alongthe lines of big ideas. Moreover, the way the statistical topics are introduced inclinedtowards delineating their technical or computational aspects, with little emphasis onthe connection between concepts. This approach will likely render students the wrongidea that statistics is all about formula substitution and compilation, rather than as aholistic way of understanding the data that has been collected. Hence the purpose ofthis project it to identify a suitable big idea that can organize the statistical conceptsbeing taught in mathematics classes at various levels as a more connected whole.According to the literature review performed in the first year of this project, itwas concluded there that statistical distribution is an important big idea and isconnected to almost all of the statistical topics covered in the Grade 1 to 9 Curriculum.More specific literature review was performed during the second year of the project,together with a detailed content analysis of the statistics material in currentmathematics textbooks from China, Singapore and Taiwan at the primary level. It wasfound that the three versions from Taiwan have a lower coverage on statistics topicsthan the textbooks from China and Singapore. Moreover their contents are moreconcentrated within grades four, five and six rather than spreading out throughout allthe primary grades. The variety of content being covered is less than those of Chinabut more than Singapore. However, the topic transition in the Taiwan textbooks tendsto be, generally speaking, more abrupt than the other versions. Various technicalproblems are also found to be more abound within the Taiwan versions of textbooks.185
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發The third year project further furnished an integrated curriculum that used statisticaldistribution as an overarching concept to introduce Maxwell speed distribution inphysics to twelfth graders. A teaching experiment using the non-equivalent grouppretest posttest design was conducted to investigate the relative merits of thisexperimental curriculum. Based on the preliminary results, there are evidences thatthe prior introduction of distribution concept accompanied with computer activities onMaxwell speed distribution can facilitate students in their learning of this difficultconcept in physics. In sum, this study suggests that distribution can be regarded as aneffective organizational concept to connect apparently disparate topics now existing inschool mathematics curricula in Taiwan.Keywords: statistical distribution, central tendency, variability, shape of distribution,textbook analysis186
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發前 言近 年 來 , 隨 著 資 訊 科 技 的 迅 速 發 展 , 社 會 變 遷 加 劇 , 無 可 否 認 , 當 今 已 進 入資 訊 時 代 , 一 般 市 民 大 眾 每 天 從 傳 播 媒 體 所 接 觸 到 以 及 需 要 處 理 的 量 化 資 訊 亦 日益 增 加 。 然 而 , 目 前 一 般 學 校 的 數 學 課 程 , 通 常 較 為 忽 略 統 計 及 機 率 概 念 的 教 導 ,尤 其 是 在 要 求 學 生 實 際 應 用 統 計 概 念 的 層 面 , 即 使 有 教 導 這 些 概 念 , 亦 傾 向 於 採用 套 公 式 以 求 解 的 教 導 方 式 。 因 此 在 國 際 間 , 學 術 界 對 統 計 教 育 有 愈 加 重 視 的 趨勢 。 例 如 有 一 百 多 年 歷 史 的 International Statistics Institute (ISI) 機 構 , 在 1991 年正 式 成 立 了 International Association for Statistics Education (IASE) 的 組 織 分 支 , 其主 旨 即 為 推 動 統 計 教 育 。 在 由 IASE 主 辦 的 第 五 屆 International Conference onTeaching Statistics (ICOTS V, 1998) 研 討 會 中 , 美 國 的 Moreno 博 士 甚 至 倡 導 要 開設 「 民 眾 統 計 學 101」 的 課 程 , 以 應 付 要 面 對 的 數 據 日 趨 繁 重 的 現 代 社 會 生 活 。再 者 , 近 年 來 國 際 間 有 不 少 學 者 倡 導 統 計 素 養 應 被 視 為 是 生 活 素 養 的 其 中 一 種 ,並 且 談 論 量 化 素 養 及 統 計 素 養 的 學 術 研 究 也 越 來 越 多 ( 郭 慧 玲 , 2003;Steen,2001)。反 觀 臺 灣 統 計 教 育 的 推 動 起 步 較 晚 , 而 且 有 資 料 顯 示 , 臺 灣 數 學 教 育 界 對 於統 計 概 念 重 視 的 程 度 較 諸 很 多 國 家 為 低 。 例 如 PISA 2012 年 數 學 素 養 評 比 的 研 究中 , 不 確 定 性 與 資 料 的 配 分 占 總 得 分 的 比 例 達 25%, 而 資 料 分 析 在 TIMSS 2011年 數 學 科 評 比 的 配 分 比 例 亦 達 20%, 反 映 出 國 際 上 對 於 統 計 概 念 有 日 趨 著 重 的 情況 。 相 較 之 下 , 臺 灣 對 其 重 視 的 程 度 尚 嫌 不 足 , 例 如 歷 年 國 中 基 測 機 率 與 統 計 考題 僅 占 數 學 科 總 題 數 的 8.8%, 比 例 明 顯 偏 低 , 間 接 反 映 出 臺 灣 對 統 計 教 育 的 重視 程 度 低 於 國 際 帄 均 。 再 者 , 目 前 課 程 安 排 的 焦 點 比 較 是 在 中 、 小 學 統 計 課 程 內容 的 加 深 加 廣 , 例 如 在 高 中 階 段 加 入 信 賴 區 間 , 國 中 階 段 加 入 盒 狀 圖 等 主 題 , 但整 體 而 言 比 較 偏 重 技 術 的 層 面 。 至 於 內 容 安 排 , 則 忽 略 了 建 立 課 程 內 容 的 一 致性 , 各 年 級 之 間 統 計 內 容 的 連 結 亦 不 明 顯 , 從 而 很 有 可 能 讓 學 習 者 只 習 得 個 別 統計 技 術 的 片 斷 知 識 , 缺 乏 對 統 計 產 生 整 體 性 的 瞭 解 。 因 此 為 了 配 合 國 際 上 推 動 統計 教 育 發 展 的 趨 勢 , 以 及 因 應 前 述 臺 灣 數 學 課 程 中 統 計 內 容 的 不 足 , 數 學 教 育 工作 者 有 需 要 思 考 是 否 應 該 加 強 統 計 或 資 料 處 理 相 關 內 容 的 介 紹 , 以 及 構 思 該 如 何合 理 地 安 排 各 年 級 需 要 學 習 的 統 計 概 念 , 以 協 助 學 生 能 夠 整 體 學 習 相 關 的 統 計 概念 , 形 成 具 連 結 性 及 有 效 的 統 計 思 維 。 目 前 臺 灣 數 學 教 育 工 作 者 對 於 這 方 面 的 研究 相 對 缺 乏 , 實 有 加 強 重 視 的 必 要 。要 達 到 課 程 連 結 的 目 的 , 近 代 學 者 指 出 中 、 小 學 的 課 程 設 計 中 , 並 不 需 要 涵蓋 眾 多 細 微 末 節 的 觀 念 , 而 比 較 適 合 用 大 概 念 做 為 設 計 的 框 架 , 讓 學 生 可 以 集 中注 意 於 學 科 中 最 重 要 及 最 有 助 於 啟 發 思 考 的 大 概 念 , 進 而 深 入 學 習 相 關 的 概 念 。透 過 此 模 式 , 學 生 不 但 能 夠 了 解 概 念 之 間 的 關 係 , 並 可 做 有 意 義 的 連 結 , 而 且 還能 夠 體 會 到 概 念 的 意 涵 是 可 延 伸 的 , 得 以 繼 續 發 展 出 更 豐 富 的 內 容 , 從 而 領 略 到187
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發日 後 面 對 陌 生 的 主 題 時 可 如 何 進 行 研 究 , 甚 至 是 進 行 具 深 度 的 探 討 。研 究 目 的由 於 數 學 領 域 發 展 悠 久 , 因 此 相 關 的 大 概 念 為 數 不 少 , 例 如 : 維 度 、 測 量 、乘 法 結 構 等 觀 念 皆 可 歸 類 於 大 概 念 的 行 列 , 雖 然 這 些 概 念 在 臺 灣 中 、 小 學 的 數 學課 程 中 並 不 突 出 , 但 其 基 本 觀 念 在 課 堂 已 有 被 觸 及 , 而 且 占 據 不 少 教 學 時 數 。 由於 九 年 一 貫 正 綱 的 課 程 架 構 下 , 統 計 內 容 是 隸 屬 於 數 學 課 程 之 內 , 因 此 目 前 中 、小 學 雖 然 有 教 導 不 少 統 計 相 關 概 念 和 技 術 , 但 概 念 之 間 僅 以 獨 立 的 方 式 呈 現 , 學生 難 以 領 會 到 這 些 概 念 和 技 術 之 間 的 關 係 , 反 而 容 易 誤 以 為 統 計 只 不 過 是 一 組 瑣碎 的 知 識 及 技 能 , 並 無 大 用 , 對 統 計 缺 乏 宏 觀 的 瞭 解 。 因 此 本 計 畫 的 研 究 目 的 ,即 為 探 討 適 合 連 結 臺 灣 中 、 小 學 統 計 主 題 的 核 心 大 概 念 , 並 探 討 如 何 以 該 等 大 概念 組 織 目 前 中 、 小 學 的 統 計 課 程 。 進 一 步 來 說 , 由 於 統 計 概 念 對 於 學 習 某 些 科 學概 念 亦 相 當 重 要 , 如 果 學 習 者 未 能 掌 握 基 本 的 統 計 概 念 , 很 可 能 會 妨 礙 到 他 們 學習 該 等 科 學 概 念 , 因 此 本 計 畫 尚 嘗 試 開 發 一 套 將 統 計 大 概 念 融 入 適 當 科 學 主 題 的相 關 課 程 , 並 進 行 實 驗 教 學 , 藉 以 瞭 解 整 合 統 計 與 科 學 課 程 的 可 行 性 , 協 助 學 生培 養 出 具 結 構 性 的 統 計 思 維 。 有 鑑 於 以 臺 灣 統 計 課 程 為 主 題 的 研 究 並 不 多 , 因 此本 計 畫 針 對 此 方 向 的 探 索 甚 有 其 重 要 性 。研 究 方 法本 計 畫 第 一 年 的 研 究 重 點 是 透 過 內 容 分 析 法 , 在 中 、 小 學 統 計 主 題 的 相 關 文獻 中 , 深 入 整 理 出 在 中 、 小 學 階 段 應 教 導 的 統 計 大 概 念 , 並 且 分 析 這 些 大 概 念 背後 包 含 的 核 心 概 念 , 再 進 一 步 釐 清 各 大 概 念 之 間 的 關 係 。 這 些 經 整 理 的 資 料 將 作為 探 討 以 哪 一 個 大 概 念 最 能 夠 整 合 目 前 臺 灣 中 、 小 學 各 統 計 主 題 之 依 據 。 第 二 年的 研 究 重 點 是 依 據 第 一 年 計 畫 文 獻 中 所 推 薦 的 大 概 念 作 為 主 軸 , 透 過 內 容 分 析 法比 較 臺 灣 、 大 陸 及 新 加 坡 數 學 教 科 書 中 的 統 計 內 容 , 分 別 就 所 涵 蓋 主 題 的 廣 度 、幅 度 、 編 排 方 式 和 次 序 , 以 及 統 計 圖 形 的 製 作 等 向 度 進 行 比 較 , 並 整 理 出 與 統 計相 關 的 課 程 主 題 。 此 外 , 本 計 畫 還 進 一 步 以 第 一 年 整 理 出 的 大 概 念 作 為 主 軸 , 探討 各 年 級 統 計 主 題 的 課 程 架 構 應 該 如 何 安 排 , 藉 以 方 便 學 習 者 將 該 等 核 心 概 念 連結 成 為 有 意 義 的 概 念 整 體 。 第 三 年 的 研 究 重 點 則 是 嘗 試 以 統 計 大 概 念 為 主 軸 , 實質 設 計 一 套 課 程 協 助 學 生 學 習 科 學 相 關 主 題 , 並 探 討 其 效 益 。 本 計 畫 選 用 高 三 物理 學 的 馬 克 士 威 速 率 分 布 (Maxwell distribution) 為 統 整 課 程 之 主 題 , 雖 則 本 計 畫 第一 、 二 年 是 聚 焦 於 國 中 、 小 的 統 計 概 念 , 但 由 於 高 中 的 馬 克 士 威 速 率 分 布 需 要 運用 所 有 分 布 的 概 念 才 能 全 面 掌 握 , 因 此 最 可 能 反 映 出 將 統 計 大 概 念 融 入 學 習 科 學主 題 的 效 果 , 所 以 本 計 畫 決 定 選 用 馬 克 士 威 速 率 分 布 為 開 發 統 整 課 程 的 對 象 。 第三 年 的 研 究 除 統 整 課 程 的 研 發 外 , 並 進 行 教 學 實 驗 , 應 用 準 實 驗 研 究 法 中 之 不 等組 前 後 測 的 設 計 , 作 為 分 析 比 較 該 統 整 課 程 之 教 學 效 益 的 依 據 , 亦 作 為 探 討 整 合統 計 與 科 學 課 程 可 行 性 的 依 據 。188
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發研 究 結 果第 一 年 的 計 畫 中 , 透 過 相 關 的 文 獻 分 析 (Bakker & Gravemeijer, 2004; Cobb,1999; Wild, 2005), 整 理 出 不 確 定 性 (uncertainty)、 變 異 (variability) 與 分 布(distribution) 等 統 計 的 大 概 念 , 可 做 為 組 織 中 、 小 學 統 計 學 科 內 容 知 識 的 架 構 。一 般 而 言 , 分 布 是 指 某 變 數 (variable) 在 樣 本 或 母 群 體 中 取 得 的 值 的 集 合 , 以 及 該等 數 值 出 現 的 次 數 ( 例 如 參 Watkins, Scheaffer & Cobb, 2004), 在 很 多 課 本 的 論 述中 亦 常 以 次 數 分 布 (frequency distribution) 的 名 稱 出 現 。 然 而 , 進 一 步 分 析 不 確 定性 與 變 異 的 概 念 內 容 , 發 現 這 兩 者 似 乎 比 較 不 容 易 在 中 、 小 學 階 段 發 展 。 不 確 定性 的 概 念 較 為 抽 象 , 且 因 其 內 容 偏 重 機 率 , 故 目 前 一 般 教 科 書 已 將 該 等 內 容 分 別處 理 , 另 安 排 相 關 的 課 程 內 容 。 變 異 為 另 一 重 要 的 大 概 念 , 然 而 變 異 亦 為 較 抽 象的 概 念 ,Wild (2005) 甚 至 指 出 統 計 學 者 是 透 過 分 布 這 一 面 「 透 鏡 」 來 了 解 變 異 的 ,因 此 似 乎 不 宜 以 此 作 為 組 織 中 、 小 學 統 計 主 題 的 大 概 念 。 再 者 , 在 中 、 小 學 的 學習 階 段 中 , 僅 教 導 變 異 的 數 值 計 算 方 法 , 而 並 非 以 大 概 念 的 形 式 來 引 介 出 其 它 統計 主 題 。 相 對 的 , 由 於 分 布 產 生 的 原 因 是 與 不 確 定 性 與 變 異 有 關 , 從 概 念 上 即 可連 結 到 這 兩 個 重 要 的 概 念 , 並 且 分 布 與 目 前 臺 灣 中 、 小 學 要 教 導 絕 大 部 份 的 統 計概 念 都 有 直 接 關 係 , 因 此 本 計 畫 建 議 以 分 布 為 核 心 大 概 念 , 從 而 可 方 便 學 習 者 將大 部 份 要 掌 握 的 統 計 概 念 連 結 成 為 有 意 義 的 整 體 , 以 及 一 個 有 意 義 的 網 絡 。至 於 分 布 所 涵 蓋 的 內 容 , 本 計 畫 綜 合 多 位 學 者 的 觀 點 (Ciancetta, 2007; Cobb,2002; Konold, 2002; Mcclain, McGatha, & Hodge, 2000), 基 本 上 將 帄 均 值 、 眾 數 、中 位 數 等 中 央 位 置 的 概 念 , 配 合 分 散 程 度 以 及 分 布 的 形 狀 等 觀 念 視 之 為 分 布 的 特徵 。 此 外 ,Bakker 與 Gravemeijer (2004) 則 強 調 分 布 是 一 個 整 體 性 的 概 念 。 再 者 ,若 要 認 識 分 布 的 概 念 , 有 效 的 方 式 是 透 過 繪 製 相 關 統 計 分 布 圖 來 協 助 瞭 解 , 而 且如 果 有 超 過 一 組 以 上 不 同 的 數 據 時 , 若 能 針 對 它 們 的 分 布 圖 進 行 詮 釋 , 會 比 較 方便 描 述 出 各 組 別 的 特 色 (Howell, 2009)。 而 上 述 這 些 分 布 的 相 關 特 徵 , 原 則 上 已涵 蓋 中 、 小 學 絕 大 部 份 的 統 計 主 題 , 可 以 發 揮 連 結 各 統 計 主 題 成 為 有 意 義 的 概 念整 體 。 因 此 本 計 畫 進 一 步 建 議 將 中 央 位 置 、 分 散 程 度 、 整 體 與 形 狀 等 概 念 視 為 是分 布 的 主 要 子 概 念 , 成 為 分 布 概 念 之 結 構 元 素 , 如 圖 一 所 示 。189
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發抽 樣變 異分 布中 央位 置分 散程 度整 體形 狀圖 一 分 布 相 關 概 念 的 結 構 圖第 二 年 計 劃 主 要 進 行 教 科 書 分 析 , 由 於 篇 幅 所 限 , 以 下 只 報 導 小 學 數 學 教 科書 的 分 析 , 並 分 別 針 對 臺 灣 的 康 軒 版 、 翰 林 版 及 南 一 版 、 新 加 坡 的 My Pals AreHere! 第 二 版 , 以 及 中 國 北 京 師 範 大 學 2007 年 小 學 數 學 教 科 書 的 版 本 進 行 課 本 分析 , 以 瞭 解 各 版 本 統 計 相 關 內 容 的 安 排 方 式 與 所 占 比 例 有 何 差 異 。 所 有 版 本 每 一年 級 皆 出 版 兩 冊 課 本 , 分 上 、 下 學 期 使 用 , 整 個 小 學 階 段 各 有 十 二 冊 。分 析 結 果 顯 示 , 統 計 概 念 占 各 版 本 所 有 頁 數 與 百 分 比 分 別 為 臺 灣 康 軒 版 48頁 (3.24%)、 臺 灣 翰 林 版 40 頁 (2.94%)、 臺 灣 南 一 版 52 頁 (3.74%)、 北 京 師 範 版 74頁 (6.4%)、 新 加 坡 86 頁 (4.6%), 三 個 臺 灣 版 本 的 統 計 概 念 所 占 百 分 比 與 中 國 及 新加 坡 相 比 皆 相 對 顯 為 偏 低 。進 一 步 以 統 計 概 念 編 排 之 序 列 來 看 ( 參 表 一 ), 臺 灣 各 版 本 基 本 上 將 統 計 相 關的 內 容 集 中 於 較 少 冊 數 , 基 本 上 是 於 4 至 6 年 級 密 集 呈 現 。 相 對 於 臺 灣 的 課 本 ,北 京 師 範 版 本 在 各 冊 中 皆 有 以 統 計 為 獨 立 章 節 的 主 題 , 並 且 經 常 有 複 習 前 一 冊 統計 內 容 的 編 排 , 從 而 達 到 概 念 鞏 固 的 效 果 。 至 於 新 加 坡 版 本 , 在 概 念 安 排 上 雖 與北 京 師 範 版 本 同 樣 較 為 帄 均 , 但 所 觸 及 的 概 念 數 量 卻 遠 少 於 北 京 師 範 版 本 , 而 臺灣 各 版 本 之 概 念 數 量 亦 為 如 此 。 至 於 概 念 內 容 方 面 , 北 京 師 範 版 本 較 其 他 版 本 多出 「 機 率 」、「 推 論 」、「 中 位 數 」 與 「 眾 數 」 等 統 計 概 念 。 此 外 , 針 對 所 陳 列的 統 計 圖 形 來 說 , 臺 灣 各 版 本 在 縱 軸 出 現 刪 截 的 問 題 相 較 於 北 京 師 範 與 新 加 坡 版本 皆 顯 為 嚴 重 , 值 得 關 注 。表 一 各 版 本 統 計 概 念 安 排 之 內 容 與 次 序冊 別 臺 灣 康 軒 版 臺 灣 翰 林 版 臺 灣 南 一 版 北 京 師 範 版 新 加 坡1 上 實 物 統 計 圖一 維 表有 序 數 據(ordinality)1 下 正 字 計 次 表長 條 圖一 維 表正 字 計 次 表長 條 圖一 維 表正 字 計 次 表實 物 統 計 圖一 維 表正 字 計 次 表長 條 圖實 物 統 計 圖190
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發2 上 長 條 圖一 維 表機 率2 下 長 條 圖一 維 表3 上 二 維 表 一 維 表二 維 表3 下 一 維 表二 維 表一 維 表機 率推 論帄 均 數正 字 計 次 表實 物 統 計 圖長 條 圖一 維 表二 維 表機 率推 論4 上 帄 均 數實 物 統 計 圖長 條 圖折 線 圖一 維 表推 論4 下 實 物 統 計 圖複 雜 長 條 圖折 線 圖圓 形 圖5 上 全 距實 物 統 計 圖複 雜 長 條 圖折 線 圖一 維 表二 維 表全 距複 雜 長 條 圖圓 形 圖折 線 圖一 維 表二 維 表5 下 複 雜 長 條 圖複 雜 折 線 圖一 維 表二 維 表6 上 複 雜 長 條 圖圓 形 圖一 維 表圓 形 圖一 維 表長 條 圖複 雜 長 條 圖圓 形 圖折 線 圖一 維 表長 條 圖複 雜 長 條 圖圓 形 圖折 線 圖複 雜 折 線 圖一 維 表二 維 表6 下 圓 形 圖一 維 表二 維 表一 維 表機 率正 字 計 次 圖一 維 表機 率帄 均 數中 位 數眾 數長 條 圖圓 形 圖折 線 圖一 維 表二 維 表推 論全 距複 雜 長 條 圖複 雜 折 線 圖二 維 表推 論帄 均 數中 位 數眾 數正 字 計 次 表長 條 圖圓 形 圖實 物 統 計 圖一 維 表實 物 統 計 圖長 條 圖正 字 計 次 表長 條 圖折 線 圖一 維 表二 維 表帄 均 數一 維 表二 維 表圓 形 圖一 維 表191
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發複 雜 折 線 圖一 維 表機 率推 論若 將 上 述 各 統 計 內 容 集 中 為 主 要 的 主 題 , 則 可 整 理 出 各 主 要 主 題 占 各 版 本 總頁 數 百 分 比 之 比 較 圖 , 如 以 下 圖 二 所 示 。圖 二 各 主 要 統 計 主 題 占 各 版 本 頁 數 百 分 比 之 比 較 圖第 二 年 之 分 析 結 果 顯 示 , 臺 灣 各 版 本 之 統 計 內 容 皆 以 個 別 概 念 的 形 式 出 現 ,並 未 予 以 連 結 , 因 此 容 易 使 統 計 概 念 流 於 方 法 與 技 術 的 呈 現 , 學 習 者 缺 乏 分 析 與詮 釋 資 料 意 涵 的 機 會 (Singer & Willett, 1990)。 由 於 目 前 臺 灣 課 本 並 未 教 導 分 布 的概 念 , 因 此 本 計 畫 第 三 年 嘗 試 以 分 布 概 念 結 構 為 主 軸 ( 參 圖 一 ) , 按 照 統 計 分 布的 概 念 及 性 質 , 設 計 一 套 統 整 課 程 協 助 學 生 學 習 高 三 物 理 學 的 馬 克 士 威 速 率 分 布(Maxwell distribution) 概 念 , 並 藉 由 教 學 實 驗 探 討 該 套 統 整 課 程 的 效 益 。第 三 年 計 畫 的 資 料 蒐 集 則 是 透 過 不 等 組 前 後 測 的 設 計 來 進 行 , 教 學 實 驗 學 校為 臺 灣 北 部 某 地 區 第 一 志 願 的 高 中 , 研 究 對 象 為 該 校 三 年 級 的 學 生 , 於 該 校 三 個192
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發數 理 資 優 班 中 隨 機 選 取 兩 班 分 別 作 為 實 驗 組 與 控 制 組 , 學 生 人 數 總 共 47 人 , 分 別來 自 實 驗 組 班 級 的 23 位 學 生 , 以 及 控 制 組 班 級 的 24 位 學 生 。實 驗 課 程 共 包 括 四 節 課 , 每 節 上 課 時 間 為 50 分 鐘 , 第 一 節 課 的 內 容 主 要 介紹 統 計 分 布 的 概 念 , 包 括 分 布 涵 蓋 整 體 的 觀 念 ( 整 體 )、 分 布 的 形 狀 與 其 意 涵 ( 形狀 )、 不 同 分 布 的 分 散 程 度 比 較 ( 分 散 程 度 )、 最 可 以 代 表 分 布 的 單 一 數 值 , 以 及該 單 一 數 值 對 於 分 布 而 言 有 多 大 的 代 表 性 ( 中 央 位 置 ) 等 觀 念 。 第 二 節 則 是 以 複 習氣 體 動 力 論 的 概 念 為 主 , 第 三 節 課 則 介 紹 馬 克 士 威 速 率 分 布 的 概 念 , 第 四 節 集 中介 紹 溫 度 與 分 子 量 這 兩 個 因 素 對 速 率 分 布 有 何 影 響 。 從 課 程 設 計 的 理 念 而 言 , 第一 節 課 的 分 布 概 念 即 為 馬 克 士 威 速 率 分 布 的 先 備 知 識 , 因 其 中 第 三 和 第 四 節 課 的科 學 內 容 與 統 計 分 布 的 概 念 息 息 相 關 。 至 於 控 制 組 的 課 程 內 容 除 了 沒 有 安 排 第 一節 的 統 計 分 布 概 念 之 外 , 其 餘 概 念 內 容 皆 與 實 驗 組 相 同 。 在 教 學 方 面 , 實 驗 組 學生 在 學 習 馬 克 士 威 速 率 分 布 以 及 溫 度 與 分 子 量 對 速 率 分 布 的 影 響 時 , 特 別 透 過EXCEL 進 行 電 腦 資 料 處 理 操 作 的 活 動 , 加 強 學 生 瞭 解 馬 克 士 威 速 率 分 布 中 統 計分 布 的 子 概 念 。至 於 評 量 方 面 , 則 是 透 過 前 、 後 測 的 方 式 進 行 。 由 於 前 後 測 題 數 甚 多 , 受 限於 篇 幅 , 本 文 僅 以 前 測 第 五 題 中 的 第 二 小 題 [AM5b] 與 後 測 第 二 題 中 的 第 一 及 第二 小 題 [BM2a, BM2b-1, BM2b-2] 進 行 分 析 報 導 。 這 兩 題 皆 為 測 驗 「 分 子 量 對 速率 分 布 的 影 響 」 的 概 念 , 因 此 , 就 「 統 計 分 布 」 的 概 念 而 言 , 學 生 必 須 運 用 分 布之 整 體 與 形 狀 的 概 念 才 能 正 確 作 答 , 對 於 瞭 解 學 生 學 習 本 計 畫 的 統 整 課 程 之 表 現甚 具 代 表 性 。 玆 分 別 轉 錄 如 下 , 首 先 報 導 前 測 題 目 , 接 著 報 導 後 測 題 目 :[AM5b]5. 同 溫 下 , 三 種 不 同 的 氣 體 A、B、C 在 帄 衡 態 時呈 現 如 右 圖 所 示 的 運 動 速 率 分 布 ,(1) A、B、C 三 者 的 分 子 量 大 小 關 係 為 何 ?(2) A、B、C 三 者 具 有 帄 均 速 率 之 分 子 數 目分子數目ABC的 大 小 關 係 為 何 ?(3) A、B、C 三 者 中 , 何 者 的 分 子 運 動 速 率最 為 分 散 ? 你 如 何 判 斷 ?分 子 運 動 速 率答 :○1 ______○2 判 斷 理 由 :以 下 為 後 測 聚 焦 題 , 亦 包 含 三 子 題 , 本 文 僅 集 中 分 析 學 生 在 第 一 及 第 二 子 題的 表 現 , 兹 轉 錄 如 下 :193
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發[BM2a, BM2b-1, BM2b-2]2. 在 298K 時 , 密 閉 容 器 中 裝 有 氖 (Neon, 分 子 量 為 20.18) 與 氪 (Krypton, 分 子 量為 83.80), 系 統 達 熱 力 帄 衡 , 請 回 答 以 下 各 子 題 。(1) 畫 出 氖 與 氪 的 運 動 速 率 分 布 ( 請 清 楚 標 示 元 素 與 分 布 曲 線 的 配 對 )。分子數目分 子 運 動 速 率(2) 氖 與 氪 的 帄 均 動 能 大 小 關 係 為 何 ? 並 說 明 你 的 理 由 。(3) 解 釋 第 (2) 子 題 的 結 果 與 兩 氣 體 運 動 速 率 分 布 的 關 係 。在 前 測 試 題 第 二 子 題 中 , 學 生 必 須 根 據 分 布 之 整 體 與 形 狀 的 概 念 , 先 判 斷 出A、B、C 三 種 氣 體 的 帄 均 速 率 位 置 (x 軸 ), 接 著 再 對 應 到 分 子 數 目 (y 軸 ), 以 判斷 出 正 確 答 案 。 此 子 題 實 驗 組 答 對 的 人 數 共 18 人 , 而 控 制 組 答 對 的 人 數 則 為 16人 , 人 數 十 分 接 近 。以 下 接 續 報 導 兩 組 學 生 在 後 測 第 一 子 題 的 表 現 。表 二後 測 第 一 子 題 依 各 判 準 條 件 與 正 確 畫 圖 之 人 次 表正 確 畫 圖 之 條 件控 制 組實 驗 組小 計(24 人 )(23 人 )(47 人 )一 、 畫 出 Kr 的 vp小 於 Ne。 20(83.3%) 23(100.0%) 43(91.5%)二 、 畫 出 Kr 的 低 速 分 子 多 於 Ne,且 Kr 的 高 速 分 子 少 於 Ne。21(87.5%) 23(100.0%) 44(93.6%)三 、 兩 分 布 曲 線 下 所 圍 面 積 相 同 。 9(37.5%) 17(73.9%) 26(55.3%)四 、 分 布 曲 線 經 過 原 點 (Kr 與 Ne)。 13(54.2%) 17(73.9%) 30(63.8%)五 、 正 偏 態 分 布 。 17(70.8%) 21(91.3%) 38(80.9%)上 表 中 判 準 二 及 五 皆 與 分 布 的 形 狀 概 念 有 關 , 另 外 判 準 三 及 四 則 與 分 布 的 整體 概 念 有 關 。 由 上 表 中 兩 組 學 生 的 表 現 可 看 出 , 兩 組 學 生 在 判 準 一 及 二 表 現 頗 為接 近 , 實 驗 組 則 在 判 準 三 、 四 及 五 優 於 控 制 組 。後 測 第 二 子 題 是 在 分 布 概 念 教 學 後 進 行 施 測 的 試 題 , 該 子 題 評 量 的 目 的 是 要194
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發承 接 第 一 子 題 的 問 題 , 在 學 生 畫 出 兩 氣 體 分 子 運 動 速 率 分 布 後 , 接 著 要 求 學 生 判斷 兩 氣 體 的 帄 均 動 能 大 小 。 該 子 題 解 題 的 關 鍵 在 於 學 生 需 要 知 道 當 溫 度 相 同 時 ,氣 體 分 子 的 帄 均 動 能 即 相 同 , 即 便 兩 種 氣 體 的 分 子 量 並 不 相 同 亦 為 如 此 。 分 子 量小 者 高 速 分 子 較 多 , 低 速 分 子 較 少 ; 反 之 , 分 子 量 大 者 則 高 速 分 子 較 少 , 低 速 分子 較 多 , 因 此 兩 氣 體 動 能 在 整 體 分 子 動 能 的 帄 均 後 會 相 等 ( E : 兩 者 相 等 )。 此 題需 要 掌 握 分 布 的 整 體 及 形 狀 的 概 念 作 答 , 至 於 正 確 作 答 的 人 數 , 控 制 組 方 面 共 有12 人 (50.0%), 而 實 驗 組 則 有 20 人 (87.0%), 實 驗 組 表 現 優 於 控 制 組 。k1 2然 而 , 此 題 學 生 容 易 產 生 錯 誤 的 理 解 , 將 個 別 分 子 的 動 能 ( mv ) 與 帄 均 動2能 混 淆 , 以 個 別 分 子 動 能 代 替 帄 均 分 子 動 能 , 缺 乏 整 體 的 概 念 , 誤 以 為 分 子 量 大者 帄 均 動 能 較 大 , 而 分 子 量 小 者 帄 均 動 能 較 小 ( E : 氖 > 氪 )。 分 析 後 發 現 , 控 制組 有 29.2% 的 學 生 抱 持 此 錯 誤 概 念 , 而 實 驗 組 有 13% 持 此 錯 誤 概 念 。k本 子 題 另 一 類 容 易 犯 的 錯 誤 概 念 , 是 誤 以 為 分 子 量 小 的 氣 體 分 子 , 運 動 速 率較 快 , 因 此 其 帄 均 動 能 較 大 ( E : 氪 > 氖 ), 忽 略 了 帄 均 動 能 的 速 率 值 為 整 體 分 子k的 方 均 根 速 率 值 , 並 非 個 別 分 子 的 速 率 。 分 析 後 則 發 現 , 控 制 組 有 8.3% 的 學 生抱 持 此 錯 誤 概 念 , 實 驗 組 則 沒 有 學 生 犯 此 類 錯 誤 。 此 外 , 控 制 組 有 12.5% 的 學 生未 作 答 ( 參 表 三 )。作 答表 現組 別控 制 組(24 人 )實 驗 組(23 人 )Ek: 氖 > 氪( 受 分 子 量 影 響 )表 三 後 測 第 二 小 題 的 作 答 表 現錯 誤Ek: 氪 > 氖( 受 分 子 量 影 響 )未 作 答正 確Ek: 兩 者 相 等( 不 受 分 子 量 影 響 )7(29.2%) 2(8.3%) 3(12.5%) 12(50.0%)3(13.0%) 0 0 20(87.0%)以 上 兩 子 題 , 學 生 作 答 時 需 要 掌 握 分 布 的 形 狀 與 整 體 的 概 念 , 透 過 形 狀 特 徵對 整 體 資 料 產 生 初 步 的 了 解 , 接 著 以 整 體 的 角 度 對 資 料 進 行 詮 釋 。 例 如 學 生 若 能以 分 布 的 整 體 特 徵 切 入 , 就 不 會 只 留 意 到 分 子 量 的 變 因 , 或 是 特 定 氣 體 分 子 的 速率 , 才 能 正 確 瞭 解 資 料 隱 含 的 意 義 。195
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發若 以 兩 組 學 生 後 測 第 二 題 中 之 第 一 及 二 子 題 的 表 現 進 行 單 因 子 共 變 數 分 析(ANCOVA), 並 以 前 測 第 五 題 中 之 第 二 子 題 作 為 共 變 數 (covariate), 分 析 後 發 現兩 組 學 生 表 現 達 統 計 上 的 顯 著 ,t(44)=3.70, p
譚 克 平 以 統 計 大 概 念 的 觀 點 重 整 臺 灣 中 、 小 學 統 計 課 程 綱 要 以 及 評 量 架 構 之 開 發範 大 學 科 學 教 育 研 究 所 碩 士 論 文 。Bakker, A., & Gravemeijer, K. P. E. (2004). Learning to reason about distribution InD. Ben-Zvi & J. B. Garfield (Eds.), The challenge of developing statisticalliteracy, reasoning and thinking (pp. 147-168). Dordrecht, The Netherlands:Kluwer Academic Publishers.Ciancetta, M. A. (2007). Statistics students reasoning when comparing distributionsof data. Unpublished doctoral dissertation, State University of Portland,Portland.Cobb, P. (2002). Modeling, symbolizing, and tool use in statistical data analysis. In K.Gravemeijer, R. Lehrer, B. v. Oers & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing,modeling and tool use in mathematics education (pp. 171-195). Netherland:Kluwer Academic.Kheong, F. H., Ramakrishnan, C., & Wah, B. L. P. (2011). My pals are here! Maths1A to 6B (2 nd Edition). Singapore: Marshall Cavendish Education.Konold, C., Robinson, A., & Khalil, K. (2002, July). Students' use of modal clumps tosummarize data. Paper presented at the Proceedings of the Sixth InternationalConference on Teaching Statistics, Cape Town, South Africa.McClain, K., McGatha, M., & Hodge, L. L. (2000). Improving data analysis throughdiscourse. Mathematics Teaching in the Middle School, 5(8), 548-553.Moore, D. (1997). New pedagogy and new content: The case of statistics.International Statistical Review, 65, 123-137.Moore, D. S., & McCabe, G. P. (2003). Introduction to the practice of statistics (4 thed.). New York: W. H. Freeman and Company.Singer, J. D., & Willett, J. B. (1990). Improving the teaching of applied statistics:Putting the data back into data-analysis. American Statistician, 44(3), 223-230.Tufte, E. R. (1983). The Visual Display of Quantitative Information, Cheshire,Connecticut: Graphics Press.Watkins, A. E., Scheaffer, R. L., & Cobb, G. W. (2004). Statistics in action:understanding a world of data. Emeryville: Key Curriculum Press.Wild, C. (2006). The concept of distribution. Statistics Education Research Journal,5(2), 10-26.197
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php198
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 劃 結 案 報 告數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象Eye Movement during mathematic text reading計 畫 編 號 :NSC 99-2511-S-003-023-MY2執 行 期 限 :99 年 8 月 1 日 至 101 年 7 月 31 日主 持 人 : 吳 昭 容 共 同 主 持 人 : 鄭 英 豪研 究 助 理 : 江 健 豪 、 簡 郁 芩中 文 摘 要 : 本 計 畫 旨 在 以 測 驗 表 現 與 眼 動 追 蹤 技 術 探 討 數 學 圖 文 閱 讀 的 理 解 與 歷 程 。 成 果 已發 表 兩 篇 TSSCI 期 刊 論 文 、 六 篇 國 際 研 討 會 論 文 , 與 兩 篇 國 內 研 討 會 論 文 , 本 報 告 僅 呈 現 尚未 正 式 發 表 的 研 究 成 果 , 其 餘 可 在 網 路 上 取 得 已 發 表 的 成 果 , 不 再 贅 述 。(1)「 已 知 - 新 訊 息 編寫 原 則 對 幾 何 閱 讀 的 影 響 」, 從 閱 讀 效 益 、 閱 讀 效 率 , 和 眼 動 軌 跡 三 個 方 向 討 論 符 合 與 不 符 合「 已 知 — 新 訊 息 」(given-new contract) 溝 通 原 則 的 幾 何 敘 述 句 陳 述 方 式 的 效 果 。 結 果 符 合 已知 — 新 訊 息 原 則 的 幾 何 敘 述 句 顯 著 較 不 符 合 的 敘 述 句 之 作 答 反 應 時 間 與 凝 視 時 間 來 得 短 , 且差 異 在 於 前 者 會 縮 短 看 圖 的 時 間 。(2)「 不 同 幾 何 文 本 的 閱 讀 歷 程 比 較 — 敘 述 句 與 證 明 的 眼 動差 異 」, 指 出 幾 何 證 明 文 本 雖 然 非 常 精 簡 , 但 讀 者 卻 需 耗 費 相 當 多 的 認 知 資 源 , 且 圖 區 的 總 凝視 時 間 佔 總 凝 視 時 間 百 分 率 高 達 50%; 敘 述 句 、 證 明 題 的 已 知 求 證 部 份 、 以 及 證 明 題 的 示 範證 明 , 在 初 始 理 解 與 回 視 的 比 重 上 不 同 , 亦 即 初 始 理 解 時 間 佔 總 時 間 的 百 分 比 依 序 為 敘 述 句> 已 知 求 證 > 示 範 證 明 , 而 回 視 百 分 比 則 是 示 範 證 明 > 已 知 求 證 ≒ 敘 述 句 , 顯 示 初 始 閱 讀 以完 成 視 覺 化 , 而 回 視 則 重 在 掌 握 推 論 。(3) 完 成 「 不 同 表 徵 方 式 對 數 學 科 普 圖 文 閱 讀 的 影 響 :文 字 與 算 式 的 比 較 」 研 究 , 本 研 究 旨 在 探 討 語 文 和 算 式 的 表 徵 對 於 閱 讀 數 學 科 普 圖 文 理 解 歷程 的 影 響 。 實 驗 操 弄 數 學 文 本 的 表 徵 方 式 , 文 字 版 本 以 中 文 字 為 主 , 算 式 版 本 則 有 部 份 內 容以 算 式 取 代 文 字 說 明 , 兩 種 版 本 都 敘 述 相 同 的 數 學 概 念 並 搭 配 一 樣 的 解 釋 性 圖 示 。54 位 大 學生 受 詴 者 被 隨 機 分 派 去 讀 其 中 一 個 版 本 , 讀 完 文 章 之 後 頇 回 答 閱 讀 理 解 是 非 題 並 完 成 問 卷 。結 果 顯 示 兩 版 本 在 測 驗 正 確 率 、 答 題 反 應 時 間 、 難 度 評 估 上 都 沒 有 顯 著 差 異 ; 雖 然 算 式 版 的字 元 較 少 , 但 兩 版 本 閱 讀 總 時 間 無 顯 著 差 異 , 且 算 式 版 讀 圖 的 比 率 顯 著 高 於 文 字 版 , 顯 示 算式 表 徵 的 文 本 雖 然 較 為 精 簡 , 但 閱 讀 者 會 有 更 多 的 回 視 以 及 更 仰 賴 圖 示 的 線 索 。關 鍵 字 : 眼 動 型 態 、 圖 文 整 合 、 數 學 文 本 、 閱 讀199
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象Abstract:This project employed comprehension test and eye-tracking technique to explore reading process ofmathematical text with figure. Until now, 2 TSSCI journal papers, 6 seminar papers of internationalconferences, and 2 seminar papers of domestic conferences were published. This report presentedsome unpublished results. These published papers were accessible on internet. (1) ”The influence ofgiven-new contrast on reading geometric statements” used reading efficiency, effectiveness, andscan path to examine whether the reading effect of geometric statement matches given-new contractor not. These results pointed out reaction time and percentage of total fixation time (TFT) on figuresin matching condition were significantly shorter than non-matching. Specially, the difference oftime was reading on figure. (2) ”An eye tracking comparison of different geometric texts” pointedout that even text of geometric proof is concise, readers spent a lot of cognitive resources. Thepercentage of TFT on figure in geometric texts was about 50%. The Initial Comprehensionpercentage of TFT in statements was highest, then in given-proof, and in worked proofs was less.Rereading percentage of TFT in worked proofs was higher than statements and given-proof. Theresult indicated that initial comprehension focuses on visualization and rereading processemphasizes reasoning. (3) “The effects of representation on reading popular mathematical text:Verbal comparing with equation” focused on reading comprehension and eye movement of popularmathematical text which was presented by verbal version or equation version. Verbal version basedon Chinese statement and equation version was with part of equation which to displace some ofChinese statement. Both of them contained the same mathematical concept and figure. After 54participants randomly assigned to read two versions, they were asked to answer true or falsequestions of reading comprehension and questionnaire. There were no difference in accuracy,reaction time, and evaluation of difficulty between two versions. Total reading duration was also nodifference between two versions, even equation version contained less characters and concise.However, percentage of TFT on figure in equation version was higher than verbal version. Theresult indicated comprehension of equation version more rereading to integrate information andmore relies on figure.Keywords: eye movement, Integration of figure and text, mathematics text, reading200
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象本 兩 年 期 計 畫 旨 在 探 究 數 學 圖 文 閱 讀 的 歷 程 與 理 解 表 現 , 成 果 包 括 兩 篇 期 刊 論 文 、 六 篇國 際 研 討 會 論 文 , 與 兩 篇 國 內 研 討 會 論 文 , 以 及 一 些 尚 未 正 式 發 表 的 研 究 發 現 。 本 報 告 僅 呈現 尚 未 發 表 的 部 份 , 已 發 表 之 論 文 可 在 網 路 查 閱 , 故 僅 列 出 發 表 清 單 , 內 容 不 再 贅 述 。( 一 ) 幾 何 文 本 的 閱 讀 理 解 與 眼 動 型 態延 續 之 前 的 三 年 期 計 畫 (NSC 96-2521-S-003-002-MY3), 完 成 幾 何 文 本 的 閱 讀 理 解 與 歷程 的 研 究 包 括 :1. TSSCI 期 刊 論 文 一 篇 — 陳 琪 瑤 、 吳 昭 容 ( 已 接 受 ), 摘 要 見 附 錄 1。2. PME 國 際 研 討 會 論 文 三 篇 —Chen & Wu ( 2012)、Lin, Wu, & Sommers (2012)、Wu &Cheng (2011), 摘 要 見 附 錄 2 至 4。3. 國 內 研 討 會 論 文 兩 篇 吳 昭 容 、 江 健 豪 (2010), 以 及 陳 奕 帆 、 吳 昭 容 (2011), 摘 要 見附 錄 5 至 6。4. 撰 寫 中 的 論 文 內 容 詳 見 本 報 告 的 研 究 一 與 研 究 二 。( 二 ) 數 學 圖 文 閱 讀 上 的 效 益 與 效 率以 測 驗 與 眼 球 追 蹤 探 討 文 字 表 徵 與 算 式 表 徵 在 數 學 文 本 閱 讀 上 的 影 響 , 成 果 包 括 :1. PME 國 際 研 討 會 論 文 一 篇 —Wu (2012), 內 容 見 附 錄 7。2. 撰 寫 中 的 研 究 結 果 詳 見 本 報 告 研 究 三 。( 三 ) 科 學 圖 文 閱 讀 上 的 效 益 與 效 率以 測 驗 與 眼 球 追 蹤 探 討 科 學 圖 文 閱 讀 的 歷 程 與 表 現 , 雖 然 與 數 學 文 本 無 直 接 相 關 , 但 協助 研 究 人 員 更 能 掌 握 圖 文 閱 讀 的 分 析 方 式 。 成 果 包 括 :1. TSSCI 期 刊 論 文 一 篇 — 簡 郁 芩 、 吳 昭 容 (2012), 摘 要 見 附 錄 8。2. 眼 動 國 際 研 討 會 論 文 兩 篇 —Jian, Wu, & Su (2011a) 與 Jian, Wu, & Su (2011b), 摘 要 見 附錄 9 至 10。研 究 發 表 清 單吳 昭 容 、 江 健 豪 (2010,11 月 )。 閱 讀 幾 何 文 本 的 眼 動 軌 跡 。 第 49 屆 台 灣 心 理 學 年 會 , 嘉 義 :中 正 大 學 ,11 月 6-7 日 。陳 奕 帆 、 吳 昭 容 (2011,12 月 )。 幾 何 證 明 之 提 示 語 對 國 三 學 生 閱 讀 理 解 的 影 響 。 論 文 發 表於 中 華 民 國 第 27 屆 科 學 教 育 研 討 會 , 高 雄 : 高 雄 師 範 大 學 ,12 月 16-17 日 。陳 琪 瑤 、 吳 昭 容 ( 已 接 受 )。 幾 何 證 明 文 本 閱 讀 的 眼 動 研 究 : 圖 文 比 重 及 圖 示 著 色 效 果 。 教 育實 踐 與 研 究 。( TSSCI)簡 郁 芩 、 吳 昭 容 (2012)。 以 眼 動 型 態 和 閱 讀 測 驗 表 現 探 討 箭 頭 在 科 學 圖 文 閱 讀 中 的 圖 示 效 果 。中 華 心 理 學 刊 ,54(3), 385-402。( TSSCI)Chen, C. Y., & Wu, C. J. (2012, July). Color effects in reading geometry proofs: Evidence from eyemovements and recall tests. In T. Y. Tso (Ed.), Proceedings of the 36 th Conference of theInternational Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, p. 256. Taipei,Taiwan: PME. (7/18/2011-7/21/2011)Jian, Y. C., Wu, C. J., & Su, J. H. (2011a, August). Eye movements when integrating scientific textand graphics information: the effect of sequential layouts on graphics. The 16 th European201
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象Conference on Eye Movements (ECEM), Marseille, France. (8/21/2011-8/25/2011).Jian, Y. C., Wu, C. J., & Su, J. H. (2011b, August). Using eye-tracker to investigate how readersallocate their visual attention when reading the scientific text contained an interpretativepicture. The 34 th European Conference on Visual Perception (ECVP), Toulouse, France.(8/28/2011-9/1/2011).Lin, T. W., Wu, C. J., & Sommers, S. (2012, July). The influence of reading figures in geometryproof on eye movement. In T. Y. Tso (Ed.), Proceedings of the 36 th Conference of theInternational Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 3, p. 147-152. Taipei,Taiwan: PME. (7/18/2011-7/21/2011)Wu, C. J. (2012, July). Comprehension tests and eye movements in reading mathematics: Verbalcomparing with equation. In T. Y. Tso (Ed.), Proceedings of the 36 th Conference of theInternational Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 1, p. 279. Taipei,Taiwan: PME. (7/18/2011-7/21/2011)Wu, C. J., & Cheng, Y. H. (2011, July). Eye movement in reading geometric texts: Allocating ontext and figures. In Ubus, B. (ed. ), Proceedings of the 35rd Conference of the InternationalGroup for the Psychology of Mathematics Education, 1, 516. (7/10/2011-7/15/2011)研 究 一 : 已 知 - 新 訊 息 編 寫 原 則 對 幾 何 閱 讀 的 影 響文 本 因 素 如 何 影 響 閱 讀 理 解 效 果 , 常 用 的 方 式 是 操 弄 文 本 的 不 同 變 項 以 觀 察 閱 讀 後 的 記憶 、 理 解 , 或 解 題 表 現 (Mayer, 2001; Ö sterholm, 2006)。 幾 何 證 明 文 本 常 見 兩 種 寫 法 , 其 一 :△ABC,DE 是 AB 、BC 兩 邊 的 中 點 連 線 ; 另 一 :△ABC, 在 AB 、BC 兩 邊 作 中 點 連 線 DE ;前 者 將 想 要 強 調 的 新 訊 息 放 在 主 體 句 的 句 首 , 而 後 者 則 以 作 圖 的 方 式 陳 述 。 這 兩 種 寫 法 到 底何 者 較 利 於 閱 讀 呢 ?Clark 和 Haviland(1974) 以 語 言 溝 通 的 觀 點 指 出 , 語 句 的 組 織 若 遵 循 已 知 ─ 新 訊 息 策略 (Given-new Strategy) 會 較 易 理 解 。 聽 者 ( 讀 者 ) 通 常 假 設 說 者 ( 作 者 ) 會 在 已 知 的 訊 息上 攜 帶 新 訊 息 , 所 以 理 解 的 過 程 至 少 包 括 三 個 階 段 :1. 分 析 句 子 的 結 構 , 以 決 定 何 為 已 知 訊息 、 何 為 新 訊 息 ;2. 找 出 已 知 訊 息 在 記 憶 中 的 位 址 ;3. 將 新 訊 息 安 置 於 已 知 訊 息 所 在 之 處 。 例如 理 解 a 的 第 二 句 , 比 b 的 第 二 句 容 易 許 多 , 因 為 a 第 二 句 所 提 到 的 「 酒 」 容 易 安 置 在 第 一 句 的「 酩 町 大 醉 」 上 , 其 語 句 的 組 織 符 合 已 知 — 新 訊 息 的 原 則 。a. 去 年 聖 誕 節 國 勝 喝 得 酩 町 大 醉 , 今 年 的 聖 誕 節 他 又 喝 了 很 多 酒 。b. 去 年 聖 誕 節 國 勝 參 加 很 多 派 對 , 今 年 的 聖 誕 節 他 又 喝 了 很 多 酒 。故 本 研 究 操 弄 幾 何 敘 述 句 上 的 編 寫 方 式 是 否 符 合 已 知 — 新 訊 息 的 原 則 , 以 觀 察 其 閱 讀 表現 上 的 差 異 。一 、 方 法受 詴 者 : 施 測 68 名 大 學 生 或 研 究 生 , 有 效 資 料 為 65 名 , 校 正 通 過 率 為 96%。 受 詴 者 背202
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象景 以 教 育 學 院 的 學 生 為 主 , 沒 有 數 學 或 數 學 教 育 相 關 系 所 的 受 詴 者 。實 驗 材 料 : 閱 讀 材 料 為 九 題 幾 何 敘 述 句 及 其 附 圖 , 每 題 文 本 部 份 均 有 兩 種 版 本 。 所 謂 敘述 句 是 以 中 文 字 與 數 學 符 號 描 述 附 圖 的 幾 何 性 質 , 其 中 版 一 是 將 新 訊 息 放 在 舊 訊 息 之 前 , 版二 則 改 使 舊 訊 息 在 新 訊 息 之 前 。 以 圖 2 為 例 , 敘 述 架 構 含 有 脈 絡 句 與 主 體 句 , 第 一 句 先 界 定了 脈 絡 句 △ABC, 第 二 句 為 主 體 句 , 版 一 是 國 中 數 學 課 本 常 見 的 寫 法 , 新 訊 息 DE 在 前 , 接著 說 明 該 幾 何 元 件 的 位 置 與 特 性 ; 而 版 二 則 延 續 △ABC 的 訊 息 指 出 位 置 「 在 AB、BC 兩 邊 」,接 著 指 出 所 做 幾 何 元 件 的 特 性 是 「 中 線 連 線 」, 最 後 命 名 。 除 了 閱 讀 材 料 之 外 , 為 使 受 詴 者 認真 閱 讀 內 容 但 無 頇 背 誦 , 每 個 文 本 之 後 都 會 要 求 回 答 一 道 是 非 題 。圖 1正 式 實 驗 第 一 部 份 兩 種 敘 寫 方 式 的 幾 何 敘 述 句實 驗 儀 器 。Eyelink 1000 眼 動 儀 與 19 吋 顯 示 器 ( 解 析 度 1024 × 768)。實 驗 程 序 。 受 詴 者 被 隨 機 分 派 到 兩 組 , 控 制 組 閱 讀 版 一 , 實 驗 組 閱 讀 版 二 。 主 詴 者 先 說明 指 導 語 , 並 複 習 實 驗 相 關 的 基 本 幾 何 性 質 , 經 13 點 校 正 後 以 隨 機 順 序 呈 現 閱 讀 材 料 。 每 題呈 現 60 秒 , 按 任 意 鍵 會 跳 出 該 題 的 是 非 題 ( 原 材 料 保 留 在 畫 面 上 ),30 秒 內 答 題 , 每 3 題 會眼 動 校 正 一 次 , 直 至 完 成 所 有 題 目 。 最 後 , 以 回 饋 單 與 訪 談 收 集 受 詴 者 對 版 一 與 版 二 的 偏 好情 況 與 對 題 目 難 度 的 回 饋 。資 料 分 析 。 本 研 究 運 用 眼 動 分 析 套 裝 軟 體 Data Viewer 在 文 本 上 標 示 出 重 點 區 (Interest Area,IA), 再 針 對 重 點 區 內 凝 視 點 所 提 供 之 基 本 資 料 進 行 分 析 , 文 區 與 圖 區 之 IA 的 劃 分 原 則 如 下 :文 區 以 「 詞 」 為 單 位 : 劃 分 原 則 主 要 參 考 中 研 院 CKIP 中 文 斷 詞 系 統 與 楊 文 金 教 授 發 展 的STA 科 學 文 本 分 析 系 統 , 考 量 到 語 文 、 科 學 與 數 學 文 本 在 用 詞 上 的 差 異 , 輔 以 數 教 專 家 確 定出 數 學 專 有 名 詞 而 成 。( 如 圖 2)圖 2 文 區 IA 劃 分 原 則 示 例2. 圖 區 以 「 幾 何 元 件 端 點 」 為 單 位 : 從 端 點 標 示 處 向 外 擴 張 , 研 究 者 進 行 了 多 方 嘗 詴 以 確 定203
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象擴 張 的 範 圍 , 茲 將 嘗 詴 歷 程 簡 述 如 下 :(1) 以 各 端 點 為 圓 心 , 閱 讀 圖 形 時 眼 跳 距 離 4.5 度 (Rayner et al. , 2001) 為 半 徑 劃 圓 ( 如圖 3A), 但 此 劃 法 範 圍 重 疊 過 大 , 難 以 分 析 。(2) 以 各 點 為 圓 心 , 最 短 鄰 近 邊 邊 長 的 一 半 為 半 徑 劃 圓 ( 如 圖 3B), 其 缺 點 在 容 易 遺 漏座 落 在 線 段 中 央 的 凝 視 點 , 且 各 圓 範 圍 不 均 。(3) 以 各 邊 中 點 為 判 準 , 用 圓 滑 曲 線 圈 劃 出 卵 形 範 圍 ( 如 圖 3C), 此 劃 法 優 點 在 於 能 涵蓋 大 多 數 的 凝 視 點 , 且 使 涵 蓋 範 圍 符 合 間 距 比 例 。 此 劃 法 經 研 究 者 隨 機 抽 取 100 筆 資 料 檢核 , 適 用 度 頗 高 , 故 成 為 本 研 究 劃 分 圖 區 IA 的 原 則 。二 、 結 果 與 討 論A B C圖 3 圖 區 IA 劃 分 原 則 示 例針 對 9 題 敘 述 句 的 是 非 題 正 確 率 進 行 組 間 (2) 題 間 (2) 的 受 詴 者 間 二 因 子 ANOVA,結 果 組 間 主 要 效 果 未 達 顯 著 , 代 表 受 詴 者 答 題 正 確 率 , 並 未 因 敘 述 句 編 排 符 合 given-new P.與 否 而 有 差 異 。 題 間 主 要 效 果 達 顯 著 ,F(8,565)= 9.98, p < .001, η = .124, 經 事 後 比 較 發 現第 7 題 ( 平 均 .55) 與 其 他 題 ( 均 大 於 .80, 平 均 .91) 差 異 較 大 , 然 題 間 差 異 非 本 研 究 探 討 重心 。 整 體 平 均 .86, 中 位 數 .89, 顯 示 多 數 受 詴 者 能 答 對 問 題 , 閱 讀 品 質 有 一 定 水 準 。回 饋 單 上 調 查 受 詴 者 的 主 觀 偏 好 , 是 以 一 題 版 一 和 版 二 為 例 , 請 受 詴 者 主 觀 判 斷 何 者 較容 易 理 解 。 結 果 整 體 的 偏 好 與 理 論 值 50% 相 近 , 顯 示 受 詴 者 覺 得 不 論 敘 寫 方 式 是 否 符 合 已 知 —新 訊 息 的 原 則 , 兩 種 版 本 閱 讀 難 度 並 無 不 同 。 進 一 步 以 組 別 跟 偏 好 情 形 進 行 卡 方 考 驗 後 發 現 ,也 未 發 現 兩 者 有 關 連 之 偏 好 情 況 無 顯 著 差 異 。反 應 時 間 (RT,reaction time) 為 受 詴 者 從 刺 激 出 現 到 按 鍵 反 應 的 時 間 。 針 對 9 題 敘 述 句的 反 應 時 間 進 行 組 間 (2) 題 間 (2) 的 受 詴 者 間 二 因 子 ANOVA, 結 果 主 要 效 果 均 達 顯 著 ,沒 有 交 互 作 用 。 組 間 方 面 , 實 驗 組 反 應 時 間 (9.49 秒 ) 少 於 控 制 組 (10.11 秒 ),F(1,545)=5.16, p < .05, η = .009。 題 間 方 面 ,F(8,545)= 28.59, p < .001, η = .296, 然 題 間 差 異 非 本 研 究探 討 重 心 , 故 不 討 論 題 間 差 異 。 上 述 結 果 顯 示 受 詴 者 閱 讀 符 合 已 知 — 新 訊 息 的 敘 述 句 , 其 反應 時 間 較 閱 讀 未 符 合 的 敘 述 句 快 。其 次 , 本 研 究 採 用 凝 視 時 間 (FD,fixation duration) 來 探 討 文 圖 凝 視 差 異 , 原 因 有 三 :(1)反 應 時 間 代 表 的 是 刺 激 開 始 到 按 鍵 離 開 的 時 間 , 因 不 能 切 割 , 無 從 了 解 受 詴 者 在 文 圖 各 自 所耗 費 的 時 間 。(2) 閱 讀 時 間 包 括 了 凝 視 點 (fixation) 與 掃 視 (saccade) 等 眼 動 行 為 , 而 掃 視過 程 非 常 迅 速 (10~30 毫 秒 ) 並 無 法 處 理 訊 息 , 故 分 析 凝 視 點 較 能 代 表 閱 讀 行 為 。(3)FD 與凝 視 點 個 數 均 為 眼 動 時 間 的 代 表 性 指 標 , 兩 者 在 文 圖 兩 區 都 具 有 顯 著 高 相 關 ( 文 :r = .958, p< .001; 圖 :r = .952, p < .001), 擇 一 即 可 。 因 為 FD 概 念 較 類 似 RT, 方 便 延 續 前 述 反 應 時 間204
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象的 分 析 , 故 選 用 FD 進 行 分 析 。 針 對 9 題 敘 述 句 的 凝 視 時 間 進 行 題 間 (2)× 組 間 (2)× 文 圖(2) 的 混 合 三 因 子 ANOVA, 結 果 顯 示 三 種 主 要 效 果 均 達 顯 著 , 題 間 × 組 間 、 組 間 × 文 圖 的 單純 交 互 作 用 顯 著 , 三 因 子 則 無 交 互 作 用 。 由 於 題 間 差 異 非 本 研 究 探 討 重 心 , 研 究 者 僅 針 對 組間 × 文 圖 進 行 探 討 , 單 純 交 互 作 用 顯 著 ,F(1, 545)= 6.14, p < . 05, η = . 011, 續 而 考 驗 單 純主 要 效 果 , 結 果 顯 示 組 間 方 面 , 實 驗 組 的 文 區 凝 視 時 間 (4.32 秒 ) 顯 著 大 於 圖 區 (2.41 秒 ),F(1, 280)= 315.28, p < . 001, η = . 530; 控 制 組 亦 然 , 文 區 (4.39 秒 ) 大 於 圖 區 (2.85 秒 ),F(1, 280)= 212.51, p < . 001, η = . 431。 文 圖 方 面 , 文 區 凝 視 時 間 沒 有 顯 著 差 異 , 然 圖 區 的實 驗 組 凝 視 時 間 (2.41 秒 ) 少 於 控 制 組 (2.85 秒 ),F(1, 561)= 11.24, p < .01, η = . 020。綜 上 所 述 , 兩 組 不 論 在 RT 或 FD, 都 呈 現 出 實 驗 組 閱 讀 時 間 較 短 的 趨 勢 。 細 部 分 析 文 圖兩 區 的 凝 視 時 間 , 發 現 受 詴 者 閱 讀 幾 何 敘 述 句 時 , 凝 視 在 文 區 的 時 間 明 顯 比 圖 區 多 ; 組 間 比較 則 顯 示 控 制 組 較 實 驗 組 花 耗 更 多 時 間 處 理 圖 區 訊 息 。第 三 , 研 究 者 針 對 9 題 敘 述 句 的 圖 文 參 照 次 數 ( 即 凝 視 點 從 文 區 跳 到 圖 區 的 次 數 ), 進 行組 間 (2)× 題 間 (2) 的 受 詴 者 間 二 因 子 ANOVA, 結 果 主 要 效 果 均 達 顯 著 , 沒 有 交 互 作 用 。組 間 方 面 , 實 驗 組 看 圖 次 數 (4.49 次 ) 少 於 控 制 組 (5.06 次 ),F(1, 524)= 12.77, p < .001, η= .024。 題 間 方 面 ,F(8, 524)= 20.15, p < .001, η = .235, 然 題 間 差 異 非 本 研 究 探 討 重 心 。 上述 結 果 顯 示 受 詴 者 閱 讀 符 合 已 知 - 新 訊 息 的 敘 述 句 , 其 圖 文 參 照 次 數 較 閱 讀 未 符 合 的 敘 述 句 少 ,亦 即 符 合 已 知 - 新 訊 息 論 述 順 序 的 幾 何 句 較 有 利 於 閱 讀 者 對 一 個 命 題 形 成 基 本 的 表 徵 , 因 此 減少 了 讀 者 來 回 參 照 圖 示 的 頻 率 。第 四 , 依 據 馬 可 夫 定 理 計 算 各 分 析 區 (IA) 間 的 轉 換 機 率 ( 即 凝 視 點 進 入 某 分 析 區 後 ,再 前 往 其 他 分 析 區 的 機 率 ), 藉 此 檢 視 凝 視 點 在 敘 述 句 各 個 IA 間 的 移 動 軌 跡 。 結 果 發 現 控 制組 ( 不 符 合 已 知 — 新 訊 息 原 則 的 寫 法 ), 受 詴 者 通 常 句 首 或 句 中 就 必 頇 看 圖 ; 而 實 驗 組 ( 符 合的 敘 述 句 ) 則 多 半 會 一 路 讀 到 句 末 才 看 圖 ( 參 圖 4)。 更 確 切 說 明 , 受 詴 者 遇 到 新 訊 息 時 就 會看 圖 , 所 以 新 訊 息 放 在 主 體 句 前 端 的 控 制 組 會 在 句 首 或 句 中 看 圖 , 而 新 訊 息 放 在 主 體 句 後 端的 實 驗 組 會 在 句 末 才 看 圖 。 研 究 者 將 機 率 最 高 與 次 高 的 軌 跡 視 為 主 要 移 動 方 向 , 整 體 符 合 率為 100%。控 制 組實 驗 組圖 4 IA 轉 移 路 徑 分 布 圖 ( 最 大 圓 圈 代 表 最 大 機 率 為 同 區 凝 視 )整 體 而 言 , 受 詴 者 在 閱 讀 兩 種 陳 述 方 式 之 後 的 是 非 題 表 現 與 偏 好 上 並 無 差 異 , 顯示 在 難 度 不 高 的 幾 何 敘 述 句 上 , 是 否 符 合 已 知 - 新 訊 息 的 原 則 並 不 影 響 閱 讀 效 益 ; 但符 合 的 文 本 在 閱 讀 的 反 應 時 間 、 凝 視 時 間 、 讀 圖 凝 視 時 間 、 圖 文 參 照 次 數 等 閱 讀 效 率的 指 標 上 , 都 比 不 符 合 的 來 得 時 間 短 或 次 數 少 , 顯 示 符 合 原 則 的 幾 何 文 本 能 較 有 利 於閱 讀 整 合 的 歷 程 ; 且 依 據 馬 可 夫 定 理 算 出 的 轉 換 機 率 顯 示 , 受 詴 者 遇 到 新 訊 息 時 就 會看 圖 , 所 以 新 訊 息 放 在 主 體 句 前 端 的 不 符 合 原 則 之 文 本 , 受 詴 者 會 在 句 首 或 句 中 看 圖 ,而 新 訊 息 放 在 主 體 句 後 端 的 符 合 原 則 之 文 本 會 在 句 末 才 看 圖 。205
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象研 究 二 : 不 同 幾 何 文 本 的 閱 讀 歷 程 比 較 — 敘 述 句 與 證 明 的 眼 動 差 異依 據 陳 琪 瑤 、 吳 昭 容 ( 已 接 受 ) 的 研 究 顯 示 , 受 詴 者 閱 讀 證 明 文 本 時 圖 文 參 照 的 比 重 很高 , 大 約 佔 凝 視 時 間 的 一 半 , 此 外 ,Miquel、Steve、 Iestyn、Alison 和 Nieves(2010) 以 七名 成 人 在 三 種 幾 何 圖 形 作 業 中 的 眼 動 資 料 , 包 含 看 圖 時 間 (fixation duration) 和 正 確 看 圖 點間 的 距 離 兩 項 指 標 , 分 析 不 同 看 圖 策 略 下 所 呈 現 的 看 圖 型 態 , 用 以 驗 證 建 構 幾 何 圖 形 歷 程 的知 覺 局 部 性 。 本 研 究 欲 進 一 步 探 究 個 體 閱 讀 幾 何 證 明 文 本 歷 程 中 , 整 合 圖 文 訊 息 所 表 徵 的 認知 活 動 。 本 研 究 旨 在 探 討 , 高 比 率 的 圖 文 參 照 行 為 是 幾 何 文 本 普 遍 存 在 的 現 象 , 還 是 幾 何 證明 的 特 性 。 故 以 幾 何 證 明 與 幾 何 敘 述 句 為 對 照 , 作 為 推 敲 閱 讀 證 明 文 本 相 較 於 描 述 幾 何 圖 形之 敘 述 句 , 其 認 知 歷 程 上 的 差 異 。一 、 方 法受 詴 者 : 同 研 究 一 , 有 效 樣 本 為 65 名 大 學 生 。實 驗 材 料 : 閱 讀 材 料 除 了 研 究 一 的 九 題 幾 何 敘 述 句 之 外 , 另 有 兩 題 幾 何 證 明 題 。 兩 題 幾何 證 明 題 均 包 含 題 目 、 附 圖 和 示 範 證 明 , 其 中 方 題 ( 見 圖 5) 是 利 用 正 方 形 的 邊 長 、 角 度 等訊 息 , 以 SAS 證 明 鑲 嵌 在 內 的 兩 角 形 全 等 , 另 一 題 圓 題 ( 見 圖 6) 則 利 用 同 弧 所 對 的 圓 周 角相 等 來 證 明 圓 內 的 兩 三 角 形 相 似 , 進 而 得 證 相 似 形 對 應 邊 成 比 例 。 前 者 的 行 數 11, 後 者 為 9行 , 文 本 的 長 度 差 不 多 。除 了 閱 讀 材 料 之 外 , 為 使 受 詴 者 認 真 閱 讀 內 容 但 無 頇 背 誦 , 閱 讀 每 個 敘 述 句 或 證 明 題 之後 , 都 會 要 求 受 詴 者 回 答 一 道 是 非 題 。實 驗 儀 器 。Eyelink 1000 眼 動 儀 與 19 吋 顯 示 器 ( 解 析 度 1024 × 768)。實 驗 程 序 。 受 詴 者 和 研 究 一 相 同 。 受 詴 者 在 完 成 幾 何 敘 述 句 的 閱 讀 與 是 非 題 之 後 , 會 再次 校 正 後 進 入 證 明 文 本 的 閱 讀 與 測 驗 , 方 題 與 圓 題 的 順 序 隨 機 , 每 篇 文 本 完 整 呈 現 180 秒 ,受 詴 者 可 在 時 限 內 按 任 意 鍵 終 止 閱 讀 , 接 著 跳 出 該 題 的 是 非 題 ( 題 目 的 已 知 、 求 證 和 附 圖 會保 留 在 畫 面 上 , 但 示 範 證 明 的 部 分 由 題 目 取 代 ),60 秒 內 答 題 。圖 5 研 究 二 證 明 題 材 料 之 一 — 方 題206
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象二 、果討結與論圖 6 研 究 二 證 明 題 材 料 之 一 — 圓 題1. 文 區 平 均 一 個 IA 的 凝 視 次 數研 究 者 以 二 階 段 篩 選 後 的 50 人 為 受 詴 者 , 依 照 前 述 IA 劃 分 原 則 , 劃 出 敘 述 句 與 證 明 題兩 類 文 本 的 分 析 區 塊 (IA), 比 較 兩 類 文 本 上 平 均 一 個 文 區 IA 的 凝 視 次 數 差 異 。 結 果 顯 示 敘述 句 平 均 凝 視 次 數 (1.22 次 ) 顯 著 少 於 證 明 題 (1.85 次 ),F(1,49)= 94.76, p < .001, η = .659,代 表 受 詴 者 對 證 明 題 的 一 個 詞 彙 平 均 需 閱 讀 接 近 兩 次 , 敘 述 句 僅 需 1 次 多 ; 從 兩 類 文 本 的 面積 來 看 , 證 明 題 平 均 一 個 IA 面 積 還 小 於 敘 述 句 ( 約 1:1.2), 面 積 無 法 解 釋 上 述 結 果 , 差 異可 能 是 證 明 題 文 本 難 度 較 高 , 受 詴 者 需 要 對 分 析 區 閱 讀 較 多 次 造 成 。2. 階 段 與 詞 彙 的 交 互 作 用 :為 探 討 幾 何 文 本 閱 讀 歷 程 階 段 的 差 異 , 研 究 者 先 將 受 詴 者 整 體 閱 讀 歷 程 分 成 三 階 段 :(1)第 一 階 段 , 對 各 IA 的 第 一 回 的 閱 讀 。(2) 第 二 階 段 , 對 各 IA 的 第 二 回 的 閱 讀 。(3) 第 三 階段 , 對 各 IA 第 三 回 及 以 上 回 的 閱 讀 。 再 將 各 IA 進 一 步 區 分 成 四 類 詞 彙 :(1) 中 文 詞 , 如 垂直 線 、 連 接 。(2) 幾 何 元 件 , 如 △ABC、 DE。( 3) 運 算 符 號 , 如、 。( 4) 標 點 符 號 。 接著 以 三 階 段 為 基 準 , 計 算 其 中 分 屬 四 類 詞 彙 的 凝 視 點 數 , 除 以 該 階 段 所 有 凝 視 點 數 的 比 例 當作 依 變 項 ( 例 如 受 詴 者 於 第 一 階 段 有 10 個 凝 視 點 , 其 中 3 個 在 幾 何 元 件 , 其 比 例 即 為 30%),將 兩 類 文 本 分 開 進 行 題 間 ( 敘 :9 題 / 證 :2 題 )× 階 段 (3)× 詞 彙 (4) 的 受 詴 者 內 三 因 子ANOVA, 平 均 數 整 理 於 下 表 1。敘述句證明題表 1 各 階 段 中 分 屬 四 類 詞 彙 的 凝 視 點 數 佔 該 階 段 所 有 凝 視 點 數 的 比 例中 文 詞 幾 何 元 件 運 算 符 號 標 點 符 號第 一 階 段 .52 .40 .03 .04第 二 階 段 .50 .40 .03 .01第 三 階 段 .35 .24 .02 .00第 一 階 段 .17 .65 .17 .02第 二 階 段 .12 .74 .14 .01第 三 階 段 .06 .84 .09 .00207
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象結 果 顯 示 敘 述 句 三 種 主 要 效 果 、 三 種 單 純 交 互 作 用 與 三 因 子 的 交 互 作 用 均 達 顯 著 , 由 於題 間 差 異 非 本 研 究 探 討 重 心 , 研 究 者 僅 針 對 階 段 詞 彙 進 行 探 討 , 單 純 交 互 作 用 顯 著 ,F(6,3198)= 31.32, p < . 001, η = . 055, 考 驗 單 純 單 純 主 要 效 果 顯 示 : 階 段 方 面 , 三 階 段 的 四 類 詞彙 的 比 例 均 達 顯 著 (p=.000), 事 後 比 較 結 果 也 類 似 , 三 階 段 均 為 中 文 詞 比 例 最 高 、 幾 何 元 件次 高 , 運 算 符 號 與 標 點 符 號 在 三 階 段 的 趨 勢 則 稍 有 差 異 ( 第 一 階 段 標 點 符 號 顯 著 高 於 運 算 符號 , 到 了 第 二 、 三 階 段 則 降 為 最 低 )。 詞 彙 方 面 , 三 階 段 出 現 中 文 詞 、 幾 何 元 件 、 運 算 符 號 與標 點 符 號 的 比 例 均 達 顯 著 (p=.00), 事 後 比 較 發 現 中 文 詞 、 幾 何 元 件 與 運 算 符 號 的 結 果 相 同 ,第 一 階 段 與 第 二 階 段 彼 此 並 無 差 異 , 但 均 顯 著 大 於 第 三 階 段 , 而 標 點 符 號 比 例 則 依 階 段 增 加而 顯 著 降 低 。證 明 題 三 種 主 要 效 果 均 達 顯 著 , 題 間 × 詞 彙 、 階 段 × 詞 彙 的 單 純 交 互 作 用 顯 著 , 三 因 子 則無 交 互 作 用 。 由 於 題 間 差 異 非 本 研 究 探 討 重 心 , 研 究 者 僅 針 對 階 段 × 詞 彙 進 行 探 討 , 單 純 交 互作 用 顯 著 ,F(6, 276)= 97.19, p < . 001, η = . 679, 考 驗 單 純 單 純 主 要 效 果 顯 示 : 階 段 方 面 ,三 階 段 的 四 類 詞 彙 的 比 例 均 達 顯 著 (p=.000), 事 後 比 較 結 果 也 相 同 , 幾 何 元 件 顯 著 高 於 其 他三 者 , 標 點 符 號 顯 著 低 於 其 他 三 者 , 中 文 詞 與 運 算 符 號 則 無 顯 著 差 異 。 詞 彙 方 面 , 三 階 段 出現 中 文 詞 、 幾 何 元 件 、 運 算 符 號 與 標 點 符 號 的 比 例 均 達 顯 著 (p=.000), 事 後 比 較 發 現 中 文 詞 、運 算 符 號 與 標 點 符 號 的 結 果 相 同 , 閱 讀 比 例 依 階 段 序 顯 著 降 低 , 第 一 階 高 於 第 二 階 高 於 第 三階 ; 然 幾 何 元 件 閱 讀 比 例 則 依 階 段 序 顯 著 升 高 , 第 三 階 高 於 第 二 階 高 於 第 一 階 。綜 上 可 知 , 受 詴 者 隨 著 閱 讀 階 段 數 的 變 化 而 改 變 對 不 同 詞 彙 關 注 的 比 例 。 敘 述 句 的 趨 勢顯 示 前 兩 階 段 中 文 詞 與 幾 何 元 件 的 比 例 並 無 差 異 , 然 在 證 明 題 中 , 中 文 詞 、 運 算 符 號 與 標 點符 號 被 閱 讀 的 比 例 隨 著 階 段 數 增 加 有 依 序 明 顯 減 少 的 趨 勢 , 幾 何 元 件 閱 讀 比 例 則 明 顯 上 升 。3. 看 圖 比 例針 對 受 詴 者 閱 讀 敘 述 句 與 證 明 題 的 看 圖 時 間 比 例 ( 圖 區 總 凝 視 時 間 / 全 區 總 凝 視 時 間 )進 行 考 驗 , 結 果 發 現 敘 述 句 的 看 圖 時 間 比 例 (.37) 顯 著 少 於 證 明 題 (.50), F(1,57)= 212.86,p < .001, η = .789, 由 於 敘 述 句 圖 區 面 積 比 例 為 71%, 證 明 題 則 為 48%, 上 述 結 果 無 法 以 面 積比 來 解 釋 。 綜 上 可 知 , 幾 何 敘 述 句 與 證 明 文 本 的 圖 文 閱 讀 比 重 不 同 , 讀 懂 一 段 幾 何 敘 述 句 ,文 區 的 凝 視 時 間 約 為 圖 區 的 1.7 倍 ( .63 /.37); 而 讀 懂 一 題 幾 何 證 明 , 兩 區 的 時 間 則 約 略 各 半 。由 此 推 測 閱 讀 不 同 類 型 幾 何 文 本 時 , 其 閱 讀 歷 程 可 能 不 同 , 圖 形 也 扮 演 不 同 角 色 。 敘 述句 圖 形 的 角 色 可 能 偏 輔 助 , 被 當 作 理 解 題 意 及 預 測 問 題 的 依 據 , 用 來 確 認 題 目 所 提 元 件 之 空間 關 係 , 故 文 句 的 閱 讀 比 重 大 於 圖 形 。 證 明 題 圖 形 除 同 樣 具 有 上 述 特 性 外 , 可 能 尚 頇 協 助 受詴 者 在 證 明 過 程 中 進 行 整 合 、 反 推 等 高 階 認 知 處 理 歷 程 , 故 圖 形 在 證 明 題 中 扮 演 更 吃 重 的 角色 , 圖 形 的 閱 讀 比 重 相 對 於 敘 述 句 較 高 。4. 掃 視 長 度掃 視 長 度 (Saccade length,SL) 指 兩 個 連 續 凝 視 點 之 間 的 距 離 , 常 用 的 計 算 單 位 有 視 角( 度 )、 像 素 (pixel) 與 字 數 。Rayner(1998) 研 究 指 出 , 視 角 與 像 素 容 易 受 到 字 型 大 小 或 間距 等 外 在 因 素 影 響 , 字 數 是 較 合 宜 的 計 算 單 位 , 然 由 於 幾 何 文 本 包 含 圖 形 , 本 研 究 遂 以 度 當作 SL 的 單 位 , 再 提 供 將 度 轉 換 成 中 文 字 數 後 的 數 據 以 茲 參 考 。研 究 者 針 對 受 詴 者 閱 讀 兩 類 文 本 的 SL 進 行 考 驗 , 進 行 文 本 (2) 文 圖 (2) 的 受 詴 者 內二 因 子 ANOVA, 結 果 兩 種 主 要 效 果 均 達 顯 著 (p = .000), 交 互 作 用 也 達 顯 著 ,F(1,49)= 173.45,208
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象p < .001, η = .780。 考 驗 單 純 主 要 效 果 發 現 : 文 本 方 面 , 敘 述 句 文 區 的 SL(2.14 度 / 2.57 字 )短 於 圖 區 (3.45 度 / 4.14 字 ),F(1,49)= 133.80, p < .001, η = .732; 證 明 題 兩 區 則 未 有 顯 著差 異 。 文 圖 方 面 , 文 區 的 SL 為 敘 述 句 (2.14 度 / 2.57 字 ) 長 於 證 明 題 (1.88 度 / 2.25 字 ),F(1,49)= 42.77, p < .001, η = .466; 圖 區 亦 然 為 敘 述 句 (3.45 度 / 4.14 字 ) 長 於 證 明 題 (1.90度 / 2.28 字 ),F(1,49)= 242.66, p < .001, η = .832。綜 上 可 知 , 敘 述 句 文 區 的 SL 與 純 文 本 的 眼 動 文 獻 長 度 相 近 ( 本 研 究 :2.57 字 ; 文 獻 :2.5 字 ), 證 明 題 相 對 較 短 (2.25 字 )。 不 論 文 區 圖 區 , 敘 述 句 的 SL 均 比 證 明 題 長 。 而 敘 述 句文 圖 兩 區 比 較 的 趨 勢 與 過 往 文 獻 吻 合 , 圖 區 的 SL 均 明 顯 長 於 文 區 , 然 在 證 明 題 並 無 此 現 象 。5. 其 它 現 象本 實 驗 將 微 型 校 正 點 移 至 畫 面 正 中 央 的 文 圖 交 界 處 , 欲 探 究 受 詴 者 閱 讀 幾 何 文 本 時 , 傾向 優 先 參 照 文 句 或 者 圖 形 。 界 定 方 式 如 下 : 由 於 刺 激 呈 現 後 受 詴 者 第 一 個 凝 視 點 受 到 校 正 點的 影 響 , 通 常 會 暫 留 於 畫 面 中 央 。 故 本 實 驗 以 第 一 個 凝 視 點 後 , 第 二 點 若 往 左 方 回 視 ( 含 左上 、 左 下 ) 即 算 優 先 看 文 , 若 往 右 方 前 視 ( 含 右 上 、 右 下 ) 則 視 為 優 先 看 圖 。從 頻 率 看 , 敘 述 句 542 筆 資 料 ( 題 × 組 × 人 ) 中 , 先 看 文 區 494 筆 , 先 看 圖 區 只 有 48 筆 ,不 到 10%; 且 先 看 圖 區 者 多 半 凝 視 1 個 點 後 即 轉 往 文 區 閱 讀 ( 比 例 :40 筆 / 48 筆 , 約 83%)。證 明 題 100 筆 資 料 ( 題 × 人 ) 中 , 先 看 文 區 67 筆 , 先 看 圖 區 有 33 筆 , 然 先 看 圖 區 後 僅 凝 視 1個 點 後 即 轉 往 文 區 閱 讀 者 有 32 筆 , 約 97%。 推 測 受 詴 者 閱 讀 幾 何 文 本 習 慣 上 仍 優 先 看 文 。研 究 三 : 不 同 表 徵 方 式 對 數 學 科 普 圖 文 閱 讀 的 影 響 : 文 字 與 算 式 的 比 較閱 讀 是 人 們 獲 得 知 識 的 途 徑 , 數 學 科 普 文 章 是 成 人 離 開 課 室 之 後 取 得 數 學 新 知 與 欣 賞 數學 之 美 的 管 道 之 一 。 學 科 閱 讀 (literacy reading) 的 文 獻 指 出 , 不 同 學 科 的 文 本 有 特 殊 的 閱 讀特 性 (Johnson & Watson, 2011; Shanahan & Shanahan, 2008), 數 學 擁 有 自 己 的 符 號 、 術 語 、 語法 、 圖 示 , 和 基 模 , 使 得 數 學 閱 讀 能 力 有 別 於 文 學 或 報 導 文 體 的 閱 讀 能 力 (Adams & Lowery,2007)。 Ö sterholm(2006) 以 高 中 與 大 學 生 為 對 象 , 探 討 數 學 符 號 表 徵 和 文 字 表 徵 對 文 本 閱讀 理 解 的 影 響 , 發 現 在 數 學 文 章 中 符 號 表 徵 組 的 表 現 較 差 , 且 閱 讀 符 號 表 徵 所 需 技 巧 和 文 字閱 讀 能 力 的 增 長 並 不 同 步 。數 學 科 普 文 本 有 時 會 夾 雜 算 式 , 有 時 則 將 算 式 改 以 文 字 說 明 , 到 底 何 種 表 徵 傳 達 數 學 概念 的 效 能 或 效 率 較 佳 ? 本 研 究 旨 在 以 閱 讀 理 解 測 驗 與 眼 球 追 蹤 技 術 , 探 討 上 述 兩 種 對 閱 讀 數學 科 普 圖 文 的 理 解 和 歷 程 有 何 影 響 , 兩 種 文 本 仰 賴 圖 的 程 度 是 否 也 有 所 不 同 。 研 究 問 題 如 下 :(1) 兩 種 表 徵 下 閱 讀 理 解 測 驗 的 表 現 差 異 ( 含 正 確 率 、 理 解 程 度 、 反 應 時 間 )。(2) 兩 種 表徵 下 閱 讀 眼 動 指 標 的 差 異 。我 們 首 先 改 寫 文 本 , 經 一 位 數 教 專 家 與 一 位 科 教 專 家 審 查 後 , 進 行 一 個 前 導 的 行 為 實 驗以 確 認 並 修 改 閱 讀 與 測 驗 材 料 的 品 質 , 其 結 果 如 下 。一 、 前 導 實 驗 的 方 法受 詴 者 。 由 網 路 招 募 來 自 全 省 各 地 的 大 學 生 或 研 究 生 , 共 41 名 有 效 樣 本 , 學 科 背 景 多 元 ,包 括 歷 史 、 英 文 、 圖 傳 、 資 教 、 資 工 、 醫 工 、 醫 學 、 農 化 、 心 理 、 餐 飲 ……, 也 包 括 有 兩 位數 學 系 學 生 。 男 生 11 名 , 女 生 30 名 , 有 數 學 家 教 經 驗 者 12 名 。209
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象材 料 。 實 驗 材 料 包 括 閱 讀 的 文 本 與 測 驗 題 。 兩 篇 數 學 科 普 文 本 — 地 球 半 徑 與 重 差 法 , 及一 篇 練 習 用 的 文 本 — 熱 氣 球 , 這 三 篇 文 本 都 包 括 文 章 與 附 圖 , 由 作 者 參 考 科 普 書 籍 改 寫 ( 曹亮 吉 ,1996,2003), 並 經 一 位 數 學 教 育 教 授 與 一 位 科 學 教 育 教 授 修 訂 。 文 本 有 兩 種 表 徵 的 版本 , 文 字 表 徵 盡 量 採 用 語 文 方 式 敘 述 推 算 的 道 理 , 算 式 表 徵 則 採 用 算 式 的 方 式 呈 現 , 表 4 左右 對 照 的 方 式 呈 現 兩 種 表 徵 的 版 本 ; 同 一 文 本 之 兩 種 表 徵 版 本 的 附 圖 均 相 同 。 由 於 附 圖 上 的角 度 或 邊 長 必 頇 有 數 學 符 號 加 以 命 名 , 所 以 即 使 是 文 字 表 徵 的 版 本 , 在 文 章 行 文 中 也 必 頇 提及 這 些 數 學 符 號 , 以 利 讀 者 統 整 文 章 內 容 與 附 圖 , 圖 9 為 其 中 一 畫 面 。表 4: 前 導 實 驗 兩 個 文 本 的 兩 種 表 徵 版 本子 句 地 球 / 文 字 版 地 球 / 算 式 版1 我 們 怎 麼 知 道 地 球 的 半 徑 呢 ?2 古 代 有 位 數 學 家 想 出 了 一 個 聰 明 的 方 法 ,3 就 是 利 用 扇 形 的 弧 長 d、 半 徑 r, 與 圓 心 角 之 間 的 關 係 去推 導 地 球 的 半 徑 。4 由 於 弧 長 是 圓 周 長 的 一 部 份 ,5 且 一 個 圓 周 又 可 分 為 360º,6 故 弧 長 可 依 圓 心 角 佔 360º 的 比 率 乘 以 圓 周 長 求 得 。故 d 2πr360 。7 而 360º 以 弧 度 表 示 就 是 2π。 而 360° = 2π。8 所 以 , 弧 長 等 於 所 對 應 的 圓 心 角 弧 度 乘 以 半 徑 。所 以 ,d r。9 如 果 在 地 表 的 兩 點 上 測 得 距 離 ,10 且 我 們 知 道 過 此 兩 點 之 半 徑 的 夾 角 ,11 就 可 推 算 地 球 的 半 徑 。12 至 於 夾 角 如 何 得 知 呢 ?13 假 設 陽 光 平 行 直 射 地 球 ,14 令 兩 個 人 分 別 站 在 地 球 的 位 置 A 及 其 正 南 的 位 置 B,15 想 像 從 兩 人 的 頭 頂 到 腳 底 畫 直 線 ,16 將 交 於 地 心 O,17 兩 線 的 夾 角 為 。18 雖 然 我 們 無 法 直 接 測 得 ,19 但 可 透 過 太 陽 光 線 與 這 兩 線 的 夾 角 分 別 為 1 、 2 來 推 算 ,20 也 就 是 由 對 頂 角 、 平 行 線 同 位 角 、 補 角 , 以 及 三 角 形 內 角和 性 質 求 得 為 1 與 2 的 差 。也 就 是 由 對 頂 角 、 平行 線 同 位 角 、 補 角 ,以 及 三 角 形 內 角 和 性質 求 得 1 2 。21 因 此 , 可 知 地 球 半 徑 就 是 兩 地 距 離 除 以 這 兩 地 陽 光 斜 射 夾角 的 差 。因 此 , 可 知 rd 。210
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象子 句 重 差 法 / 文 字 版 重 差 法 / 算 式 版1 如 何 不 親 臨 而 能 測 得 遠 方 海 島 的 高 度 呢 ?2 首 先 , 假 設 島 頂 有 一 光 源 充 足 的 燈 火 ,3 接 著 在 此 岸 兩 處 垂 直 豎 立 等 高 的 兩 竹 竿 AB 、 CD ,4 經 光 源 斜 射 得 竿 影 BE 與 DF ;5 其 次 , 從 竿 頂 C 點 作 平 行 AE 的 直 線 ,6 交 地 面 M 點 。7 因 為 三 角 形 CDM 與 ABE 全 等 ,8 兩 竿 影 長 之 差 可 當 作 是 DF 減 掉 DM 後 剩 下 的 MF ,9 設 其 長 度 為 d 1 ;10 兩 竿 位 置 之 差 BD ,11 設 其 長 度 為 d 2 。12 d 1 與 d 2 都 是 此 岸 可 量 測 的 距 離 ,13 於 是 可 以 進 一 步 以 相 似 三 角 形 邊 長 等 比 例 的 原 理 ,14 用 已 知 距 離 去 推 算 出 無 法 親 身 測 量 的 海 島 高 度 。15 由 平 行 線 截 線 的 同 位 角 性 質 得 知 ,16 三 角 形 PAC 與 CMF 相 似 ,17 因 此 位 置 之 差 d 2 與 影 長 之 差 d 1 的 比 值 , 等 於 PA 與CM 的 比 值 。18 而 三 角 形 PRA 與 CDM 相 似 ,△ PACd因 此d21而 △ PRA△ CMF,PA 。CM△ CDM,19因 此 PR 等 於 「 CD 乘 以 PA 與 CM 的 比 值 」, 因 此 PR CD20 也 等 於 「 竿 高 乘 以 d 2 與 d 1 的 比 值 」。21 故 島 高 等 於 「 竿 高 」 加 上 「 竿 高 乘 以 d 2 與 d 1 的 比 值 」。竿 高d2 。d1PACM故 島 高 竿 高 竿 高22 此 法 運 用 到 「 影 長 之 差 d 1 」 與 「 位 置 之 差 d 2 」,23 古 籍 《 九 章 算 術 》 稱 之 為 「 重 差 法 」。d2 。d1211
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象圖 9 地 球 文 本 的 文 字 表 徵 版 畫 面兩 個 文 本 的 測 驗 題 各 七 題 , 每 次 呈 現 一 題 , 且 畫 面 右 邊 保 留 原 文 本 的 附 圖 。 設 計 測 驗 題時 盡 量 使 文 字 或 算 式 描 述 的 問 題 各 半 , 且 盡 量 包 括 與 文 本 內 容 相 近 的 文 本 題 及 需 要 理 解 與 推論 的 推 論 題 , 但 因 兩 種 表 徵 版 本 所 攜 帶 的 訊 息 不 同 , 本 研 究 並 未 嚴 格 區 分 文 本 題 或 推 論 題 。程 序 。 採 小 團 体 施 測 , 最 多 六 位 受 詴 者 同 時 在 個 別 的 電 腦 上 進 行 實 驗 。 每 名 受 詴 者 先 由主 詴 口 頭 並 搭 配 字 幕 說 明 整 個 實 驗 流 程 與 作 答 方 式 。 接 著 進 入 文 本 閱 讀 與 測 驗 部 分 , 包 括 一題 練 習 文 本 與 兩 題 正 式 文 本 , 每 個 文 本 都 依 序 進 行 文 本 閱 讀 、 難 度 評 估 、 閱 讀 理 解 測 驗 , 閱讀 與 測 驗 時 間 不 限 時 , 由 受 詴 者 依 其 習 慣 與 理 解 速 度 作 答 。 回 饋 卷 內 容 包 括 基 本 資 料 與 數 個有 關 題 目 設 計 的 意 見 調 查 。 基 本 資 料 包 括 學 校 、 科 系 , 及 數 學 家 教 經 驗 ; 意 見 調 查 則 先 請 受詴 者 在 所 閱 讀 的 兩 個 正 式 文 本 上 圈 出 較 難 理 解 的 部 份 , 並 說 明 理 由 , 隨 後 會 看 到 兩 個 文 本 的另 一 種 表 徵 , 此 時 頇 評 比 兩 種 不 同 表 徵 的 優 缺 點 , 最 後 就 字 體 大 小 等 版 置 , 勾 選 適 宜 或 需 修改 的 選 項 。受 詴 者 被 隨 機 分 派 到 兩 個 組 別 — 文 字 表 徵 或 算 式 表 徵 , 前 者 20 人 , 後 者 21 人 。 兩 組 的受 詴 者 都 隨 機 分 派 到 接 受 地 球 文 本 在 前 與 在 後 的 兩 種 狀 況 , 且 每 一 文 本 閱 讀 理 解 時 的 是 非 題 ,亦 以 隨 機 順 序 呈 現 , 目 的 在 平 衡 文 本 順 序 或 題 目 順 序 所 可 能 造 成 的 影 響 。本 實 驗 是 以 experiment builder 在 個 人 電 腦 之 環 境 下 撰 寫 與 執 行 。 閱 讀 的 文 本 與 測 驗 題 呈現 在 螢 幕 中 央 , 螢 幕 是 採 用 17 吋 液 晶 顯 示 器 , 解 析 度 為 1024x768。 在 8.90 寬 ( 左 右 ) 與 6.70長 ( 上 下 ) 的 視 角 範 圍 內 。 程 式 記 錄 了 每 位 受 詴 者 讀 完 文 本 、 尚 未 進 行 測 驗 題 之 前 , 對 文 本難 度 的 評 估 ,1 表 示 極 為 簡 單 ,6 表 示 極 為 困 難 , 兩 個 文 本 各 有 一 個 難 度 分 數 。 另 外 也 記 錄 受詴 者 在 測 驗 題 上 的 表 現 , 包 括 對 錯 及 反 應 時 間 ( 秒 ), 兩 個 文 本 各 7 題 。二 、 前 導 實 驗 的 結 果 與 分 析1. 兩 種 表 徵 與 兩 個 文 本 的 正 確 率 與 反 應 時 間 差 異212
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象閱 讀 兩 種 表 徵 版 本 的 受 詴 者 在 兩 個 文 本 測 驗 題 上 答 題 正 確 率 與 反 應 時 間 的 平 均 數 與 標 準差 見 表 5。文 本 /表 徵地 球文 字數 字表 5 閱 讀 兩 種 表 徵 者 在 兩 文 本 測 驗 題 上 的 答 題 正 確 率 與 反 應 時 間 ( 秒 )ab正 確 率 (%)平 均 數 ( 標 準 差 )反 應 時 間 ( 秒 )平 均 數 ( 標 準 差 )83 (16) 29.07 (13.26)78 (25) 26.75 (16.70)小 計 80 (21) 27.88 (14.98)重 差 法文 字數 字ab75 (17) 32.58 (17.04)73 (23) 22.51 (10.20)小 計 74 (20) 27.42 (14.69)a: 文 字 表 徵 的 受 詴 者 為 20 人 ;b: 數 字 表 徵 的 受 詴 者 為 21 人 。為 了 瞭 解 兩 個 文 本 是 否 可 以 合 併 , 先 分 就 正 確 率 與 反 應 時 間 進 行 文 本 (2)× 表 徵 (2) 的二 因 子 變 異 數 分 析 。 結 果 地 球 文 本 正 確 率 (.80) 較 重 差 文 本 (.74) 邊 緣 顯 著 地 高 ,F(1, 39) =4.03,p = .052, 文 字 表 徵 雖 然 正 確 率 較 算 式 表 徵 高 一 點 ( 約 .04), 但 未 達 顯 著 , 交 互 作 用 也未 顯 著 。 反 應 時 間 的 兩 個 主 要 效 果 未 達 顯 著 , 但 交 互 作 用 為 邊 緣 顯 著 ,F(1, 39) = 2.95,p = .094,地 球 文 本 讀 兩 種 表 徵 者 的 反 應 時 間 差 不 多 , 但 重 差 文 本 讀 兩 種 表 徵 者 的 反 應 時 間 差 異 較 大 。所 以 , 兩 個 文 本 的 資 料 不 宜 合 併 處 理 , 後 續 分 析 保 留 文 本 變 項 之 兩 個 水 準 的 比 較 。此 外 , 從 上 述 的 ANOVA 分 析 可 知 , 地 球 文 本 的 答 題 正 確 率 較 重 差 題 來 得 高 , 反 應 時 間上 則 差 不 多 , 顯 示 整 體 而 言 地 球 題 的 閱 讀 理 解 較 為 簡 單 ; 兩 種 表 徵 答 題 正 確 率 與 反 應 時 間 都差 不 多 , 但 表 徵 與 文 本 的 交 互 作 用 顯 示 , 雖 然 正 確 率 上 沒 有 交 互 作 用 , 但 反 應 時 間 上 有 交 互作 用 , 亦 即 地 球 題 兩 種 表 徵 的 反 應 時 間 差 不 多 , 而 重 差 題 則 文 字 表 徵 的 反 應 時 間 遠 較 算 式 表徵 的 來 得 長 , 可 能 因 為 重 差 法 討 論 了 多 組 三 角 形 全 等 或 相 似 及 其 對 應 邊 成 比 例 的 關 係 , 所 以 ,以 文 字 表 徵 呈 現 的 文 本 在 答 題 時 需 要 較 長 的 時 間 轉 譯 , 方 能 產 生 正 確 率 相 當 的 表 現 ; 相 較 下 ,地 球 文 本 所 討 論 的 數 學 概 念 較 為 單 一 , 閱 讀 時 是 文 字 表 徵 或 算 式 表 徵 , 並 未 造 成 答 題 時 正 確率 或 速 度 上 明 顯 的 差 異 。另 外 , 表 5 各 細 格 標 準 差 也 顯 現 了 一 些 差 異 , 因 為 本 研 究 特 別 關 心 表 徵 的 效 果 , 故 以Levene 變 異 數 差 異 檢 定 比 較 兩 種 表 徵 的 變 異 數 。 結 果 發 現 地 球 題 上 閱 讀 文 字 表 徵 者 之 正 確 率的 標 準 差 (.16) 較 算 式 表 徵 者 的 標 準 差 (.25) 邊 緣 顯 著 地 小 ,F = 2.78,p = .10, 而 重 差 題亦 同 , 閱 讀 文 字 表 徵 者 的 正 確 率 之 標 準 差 (.17) 較 算 式 表 徵 者 的 標 準 差 (.23) 顯 著 地 小 ,F =5.09,p = .030。 就 反 應 時 間 的 標 準 差 看 來 , 並 無 一 致 的 趨 勢 , 地 球 題 閱 讀 文 字 表 徵 者 之 反 應時 間 的 標 準 差 (13.26 秒 ) 與 算 式 表 徵 者 的 標 準 差 (16.70 秒 ) 沒 有 差 異 , 而 重 差 題 閱 讀 文 字表 徵 者 的 反 應 時 間 之 標 準 差 (17.04 秒 ) 較 算 式 表 徵 者 之 標 準 差 (10.20 秒 ) 邊 緣 顯 著 地 長 ,F= 3.01,p = .091。 從 上 述 標 準 差 比 較 看 來 , 閱 讀 兩 個 文 本 之 文 字 表 徵 的 受 詴 者 , 其 正 確 率 的標 準 差 都 較 算 式 表 徵 者 的 標 準 差 小 , 顯 示 掌 控 文 字 表 徵 的 能 力 之 個 別 差 異 比 掌 控 算 式 表 徵 的個 別 差 異 小 。213
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象二 、 客 觀 與 主 觀 資 料 對 實 驗 材 料 的 回 饋受 詴 者 閱 讀 測 驗 的 表 現 及 其 回 饋 卷 所 提 供 的 建 議 是 研 究 者 修 改 實 驗 材 料 的 依 據 。 以 2 考驗 兩 種 表 徵 的 對 錯 反 應 , 所 有 14 題 均 未 達 顯 著 。 而 地 球 第 1、7 題 和 重 差 第 6 題 正 確 率 相 當高 (.93、.93、.90); 地 球 第 5 題 、 重 差 第 2、7 題 則 相 當 接 近 猜 測 率 (.61、.63、.44), 顯 示前 導 實 驗 的 測 驗 題 無 法 在 正 確 率 上 顯 示 閱 讀 兩 種 表 徵 文 本 者 的 差 異 , 且 部 份 詴 題 的 正 確 率 偏高 或 偏 低 , 有 必 要 調 整 。以 獨 立 樣 本 t 考 驗 比 較 兩 種 表 徵 下 14 題 的 反 應 時 間 差 異 , 在 此 之 前 , 先 以 Levene 法 檢驗 兩 種 表 徵 的 標 準 差 有 無 差 異 , 結 果 文 字 表 徵 反 應 時 間 之 標 準 差 顯 著 或 邊 緣 顯 著 地 較 長 者 ,包 括 地 球 第 5 題 ( F = 5.06,p= .088)、 重 差 第 5 題 ( F = 5.03,p= .031)、 重 差 第 7 題 ( F = 4.78,p= .035), 而 相 反 地 是 數 字 表 徵 反 應 時 間 之 標 準 差 較 長 者 僅 地 球 第 6 題 (F = 3.94,p= .054)。在 調 整 必 要 的 t 考 驗 標 準 差 後 , 兩 種 表 徵 之 反 應 時 間 的 差 異 達 顯 著 的 , 僅 重 差 文 本 的 第 5 和 7題 , 均 是 文 字 表 徵 的 反 應 時 間 顯 著 較 算 式 表 徵 的 長 ,t(29.66) = 2.25,p = .032;t(21.60) = 2.17,p = .041。 顯 示 前 導 實 驗 測 驗 題 在 反 應 時 間 上 整 體 而 言 也 未 顯 示 閱 讀 兩 個 版 本 受 詴 者 答 題 反 應的 速 度 與 個 別 差 異 , 但 在 部 份 詴 題 上 , 閱 讀 文 字 表 徵 者 的 答 題 速 度 會 較 慢 , 但 個 別 差 異 卻 較算 式 版 的 小 。受 詴 者 的 主 觀 評 價 包 括 在 所 閱 讀 的 文 本 上 標 示 理 解 困 難 之 語 句 、 在 看 到 另 一 表 徵 版 本 後評 比 兩 種 表 徵 的 優 缺 點 , 及 對 版 置 的 意 見 上 顯 示 , 超 過 半 數 的 受 詴 者 是 籠 統 地 比 較 文 字 版 本與 算 式 版 本 的 優 劣 , 其 中 多 數 受 詴 者 表 示 文 字 敘 述 冗 長 、 不 易 閱 讀 , 但 也 有 受 詴 者 表 示 算 式若 佐 以 文 字 說 明 , 語 意 上 會 較 清 楚 , 甚 至 有 少 數 受 詴 者 表 示 , 文 字 的 解 說 比 算 式 清 楚 。 部 份受 詴 者 針 對 特 定 語 句 或 詞 彙 具 體 建 議 , 例 如 地 球 文 本 的 圖 無 法 看 出 「 正 南 」, 建 議 文 章 只 說 「 位置 A、B」 即 可 ; 又 如 重 差 法 文 本 的 「 此 岸 」, 乍 看 會 看 不 懂 。 雖 然 這 些 具 體 建 議 多 半 僅 一 二人 提 及 , 但 只 要 言 之 成 理 , 研 究 者 就 會 參 酌 用 以 修 改 文 本 與 詴 題 。研 究 者 根 據 回 饋 卷 上 的 意 見 與 測 驗 題 的 正 確 率 與 反 應 時 間 , 修 改 後 文 本 如 附 錄 4, 網 底為 有 修 改 的 部 份 。 修 改 後 的 語 句 除 了 要 求 在 兩 種 表 徵 版 本 上 都 一 樣 流 暢 之 外 , 也 期 望 在 所 操弄 的 小 句 上 , 能 增 加 兩 種 版 本 的 差 異 性 。 修 改 的 目 標 在 使 正 確 率 不 過 高 也 不 過 低 , 以 使 閱 讀兩 種 版 本 之 受 詴 者 的 差 異 有 機 會 展 現 在 測 驗 上 。三 、 正 式 研 究 的 方 法受 詴 者 : 網 路 招 募 非 數 學 相 關 科 系 的 大 學 生 或 研 究 生 , 閱 讀 測 驗 部 份 共 56 名 受 詴 者 , 眼動 資 料 在 刪 除 眼 動 軌 跡 較 為 偏 移 者 之 後 的 有 效 樣 本 各 為 42 名 ( 地 球 題 ) 與 36 名 ( 島 高 題 ),學 科 背 景 多 元 , 包 括 護 理 、 材 料 、 教 育 、 財 管 、 資 工 、 法 律 、 體 育 、 英 文 、 化 學 、 特 教 、 地理 、 舞 蹈 、 心 理 、 歷 史 、 哲 學 ……。 男 、 女 生 比 例 約 3:7。實 驗 材 料 : 同 前 導 實 驗 , 包 括 各 具 兩 種 表 徵 版 本 的 地 球 題 文 本 與 島 高 題 文 本 , 以 及 七 題測 驗 題 。程 序 : 採 個 別 施 測 方 式 進 行 實 驗 。 受 詴 者 被 隨 機 分 派 到 閱 讀 文 字 表 徵 或 算 式 表 徵 的 組 別 ,前 者 28 人 , 後 者 28 人 , 表 徵 為 受 詴 者 間 變 項 ; 兩 組 內 各 有 一 半 的 受 詴 者 先 讀 地 球 題 或 先 讀島 高 題 。受 詴 者 首 先 閱 讀 指 導 語 , 確 認 實 驗 程 序 與 做 法 , 接 著 需 進 行 眼 球 校 正 的 程 序 。 通 過 眼 球位 置 校 準 後 , 受 詴 者 接 著 進 行 一 篇 練 習 文 章 的 閱 讀 , 讀 完 該 篇 文 章 後 , 頇 對 該 篇 文 本 進 行 六點 量 表 的 難 度 評 分 ,1 表 示 極 為 簡 單 ,6 表 示 極 為 困 難 , 隨 後 進 行 逐 題 的 測 驗 題 作 答 。 每 一 文214
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象本 閱 讀 理 解 的 是 非 題 皆 以 隨 機 順 序 呈 現 , 目 的 在 平 衡 文 本 順 序 或 題 目 順 序 所 可 能 造 成 的 影 響 。閱 讀 時 間 與 測 驗 時 間 皆 由 受 詴 者 自 行 決 定 , 所 有 實 驗 程 序 皆 在 電 腦 上 完 成 。 正 式 實 驗 有 兩 篇文 章 ─ 地 球 題 與 島 高 題 , 實 驗 程 序 同 練 習 文 章 。 受 詴 者 閱 讀 文 本 的 時 間 、 答 對 與 否 與 按 鍵 反應 時 間 皆 會 被 電 腦 紀 錄 。本 實 驗 是 以 experiment builder 在 個 人 電 腦 之 環 境 下 撰 寫 與 執 行 。 閱 讀 的 文 本 與 測 驗 題 呈現 在 螢 幕 中 央 , 螢 幕 是 採 用 19 吋 液 晶 顯 示 器 , 解 析 度 為 1024x768。 受 詴 者 距 離 螢 幕 約 65 公分 , 如 此 , 實 驗 材 料 呈 現 在 受 詴 者 寬 8.90 度 與 高 6.70 度 的 視 角 範 圍 內 。眼 動 資 料 的 分 析 方 法 :1. 受 詴 者 篩 選 原 則眼 動 實 驗 輸 出 的 數 據 單 位 精 細 , 如 毫 秒 或 視 角 度 , 然 實 驗 有 時 受 限 於 無 法 避 免 之 干 擾 ,如 受 詴 者 按 錯 反 應 鍵 、 眼 睛 疲 勞 、 專 注 力 減 低 等 , 以 上 因 素 除 了 影 響 閱 讀 時 間 外 , 更 會 造 成凝 視 點 位 置 不 夠 精 準 , 即 使 每 回 凝 視 前 均 校 正 成 功 , 實 驗 進 行 中 眼 動 軌 跡 仍 可 能 有 所 偏 移 ,分 析 上 並 非 受 詴 者 所 有 資 料 均 可 採 用 。 故 如 何 過 濾 實 驗 雜 訊 , 並 減 少 樣 本 損 耗 , 是 眼 動 分 析上 需 特 別 注 意 的 要 點 , 本 研 究 的 篩 選 原 則 詳 述 如 下 :(1) 行 為 表 現 結 果 採 用 刪 除 前 數 據在 進 行 逐 題 正 確 率 與 答 題 時 間 的 考 驗 時 , 發 現 少 數 受 詴 者 在 部 份 詴 題 出 現 數 倍 於 其 它 人的 極 端 反 應 時 間 , 故 以 2.5 個 標 準 差 為 離 散 值 的 判 準 , 刪 除 各 題 答 題 時 間 在 M 2.5SD 之 外 的受 詴 者 資 料 , 結 果 兩 文 本 共 14 道 題 目 中 , 每 題 各 刪 除 1 至 3 人 , 總 共 刪 除 25 筆 資 料 (7 筆為 文 字 表 徵 組 ,18 筆 為 算 式 表 徵 組 ) 後 , 刪 除 率 約 6%, 然 由 於 離 散 值 刪 除 前 後 考 驗 結 果 均相 同 , 故 行 為 表 現 在 此 選 擇 報 導 刪 除 前 的 考 驗 結 果 。(2) 眼 動 表 現 採 用 刪 除 後 數 據除 了 上 述 提 到 的 受 詴 者 生 理 與 心 理 狀 態 外 , 文 本 在 螢 幕 上 呈 現 的 位 置 也 會 影 響 眼 動 軌 跡的 精 準 性 , 雖 然 柯 華 葳 、 陳 明 蕾 與 廖 家 寧 (2005) 研 究 提 供 較 適 合 眼 動 實 驗 的 版 置 標 準 , 然本 研 究 文 本 內 容 因 需 詳 述 完 整 的 推 導 過 程 , 在 文 章 字 數 盡 量 精 簡 下 , 其 字 距 、 行 距 及 螢 幕 邊框 距 離 仍 較 柯 華 葳 等 人 (2005) 密 集 , 使 得 受 詴 者 每 個 凝 視 點 訊 息 處 理 範 圍 變 廣 , 若 有 稍 微偏 移 的 凝 視 點 , 研 究 者 判 斷 其 歸 屬 於 何 區 IA 的 難 度 提 高 。 研 究 者 為 求 謹 慎 , 決 定 刪 除 凝 視 軌跡 有 誤 判 疑 慮 的 受 詴 資 料 , 刪 除 後 地 球 題 的 有 效 樣 本 為 42 名 ( 文 字 版 :20; 算 式 版 :22),島 高 題 的 有 效 樣 本 為 36 名 ( 文 字 版 :18; 算 式 版 :18)。 雖 然 經 過 初 步 統 計 , 發 現 在 全 文 與關 鍵 區 層 次 的 眼 動 表 現 上 , 刪 除 軌 跡 偏 移 者 前 後 之 考 驗 結 果 上 完 全 相 同 , 但 考 量 眼 動 表 現 包括 關 鍵 句 與 詞 等 更 精 細 的 分 析 層 次 , 決 定 統 一 採 取 刪 除 後 的 數 據 。2. 分 析 單 位 劃 分 原 則本 文 眼 動 資 料 依 據 分 析 區 域 的 單 位 由 大 到 小 劃 分 為 四 個 層 次 , 第 一 層 是 將 整 個 螢 幕 的 全文 本 畫 面 分 成 文 區 和 圖 區 ; 第 二 層 則 分 析 關 鍵 文 區 與 關 鍵 圖 區 , 關 鍵 文 區 與 關 鍵 圖 區 的 界 定方 式 不 同 , 關 鍵 文 區 類 似 第 一 層 的 文 區 塊 概 念 , 只 是 範 圍 縮 小 至 兩 個 表 徵 版 本 有 差 異 的 所 有文 句 , 所 謂 關 鍵 圖 區 的 界 定 方 式 為 「 從 關 鍵 文 區 跳 至 圖 區 , 包 含 繼 續 處 理 圖 區 的 凝 視 點 。」例 如 圖 10 上 實 心 圓 圈 ; 另 界 定 出 非 關 鍵 區 , 非 關 鍵 文 區 為 兩 個 表 徵 版 本 一 模 一 樣 的 所 有 文 句 ,非 關 鍵 圖 區 的 界 定 方 式 為 「 從 非 關 鍵 文 區 跳 至 圖 區 , 包 含 繼 續 處 理 圖 區 的 凝 視 點 。」, 例 如 圖10 上 空 心 圓 圈 ; 第 三 層 則 將 關 鍵 區 細 分 為 關 鍵 句 , 兩 個 文 本 共 12 句 , 參 照 第 二 層 的 方 式 劃分 出 關 鍵 句 文 區 與 關 鍵 句 圖 區 ; 最 後 , 第 四 層 分 析 單 位 則 將 各 關 鍵 句 斷 出 詞 來 , 標 準 以 中 央研 究 院 CKIP 斷 詞 系 統 為 主 , 然 因 該 系 統 的 資 料 庫 並 未 完 整 收 錄 的 數 學 專 有 名 詞 , 為 求 謹 慎 ,215
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象研 究 者 再 請 一 位 數 學 系 教 授 檢 視 文 本 中 的 專 有 名 詞 的 斷 詞 。圖 10 關 鍵 圖 區 界 定 示 意 圖 ( 實 心 點 為 關 鍵 凝 視 ; 空 心 點 為 非 關 鍵 凝 視 )3. 分 析 指 標 說 明實 驗 資 料 共 有 6 項 指 標 作 為 依 變 項 , 說 明 如 下 :(1) 總 凝 視 時 間 : 分 析 區 內 所 有 凝 視 點 時 間 加 總 , 單 位 為 秒 。(2) 總 凝 視 點 數 : 分 析 區 內 所 有 凝 視 點 次 數 加 總 。(3) 看 圖 比 例 : 該 分 析 層 次 中 , 圖 區 總 凝 視 時 間 佔 文 圖 兩 區 加 總 凝 視 時 間 之 比 例 。(4) 看 圖 次 數 : 該 分 析 層 次 中 , 凝 視 點 從 文 區 轉 換 到 圖 區 的 次 數 。(5) 單 點 平 均 : 單 一 凝 視 點 注 視 時 間 , 單 位 為 毫 秒 (ms)。(6) 跳 視 距 離 : 分 析 區 內 每 個 凝 視 點 移 動 到 下 個 凝 視 點 的 距 離 , 單 位 為 視 角 度 。本 研 究 僅 計 算 同 區 移 動 距 離 ( 文 區 到 文 區 、 圖 區 到 圖 區 ), 跨 區 跳 視距 離 ( 文 區 到 圖 區 、 圖 區 到 文 區 ) 則 不 採 用 。(7) 詞 間 轉 移 機 率 : 以 關 鍵 斷 詞 為 計 算 單 位 , 運 用 Markov 轉 換 機 率 概 念 , 算 出 閱 讀 者凝 視 某 詞 後 , 下 一 步 凝 視 的 斷 詞 中 , 機 率 前 三 高 者 。研 究 者 根 據 分 析 層 次 選 擇 適 當 的 眼 動 指 標 , 第 一 層 的 全 文 本 採 用 總 凝 視 時 間 與 整 體 看 圖比 例 來 判 讀 趨 勢 ; 第 二 層 關 鍵 區 除 含 前 述 指 標 外 , 還 包 含 總 凝 視 點 數 與 看 圖 次 數 , 而 單 點 平均 與 跳 視 距 離 兩 項 指 標 則 用 來 與 文 獻 對 話 。 此 外 , 非 關 鍵 區 的 考 驗 則 用 來 佐 證 關 鍵 區 考 驗 效度 , 故 僅 分 析 同 第 一 層 的 指 標 ; 第 三 層 的 關 鍵 句 較 第 二 層 關 鍵 區 少 了 單 點 平 均 與 跳 視 距 離 ;第 四 層 斷 詞 分 析 的 指 標 與 上 述 皆 不 同 , 為 運 用 數 學 中 Markov 機 率 的 概 念 , 提 供 斷 詞 間 彼 此的 轉 移 情 形 。四 、 正 式 研 究 的 結 果 與 分 析一 、 行 為 表 現 的 結 果受 詴 者 在 兩 個 文 本 與 兩 種 表 徵 的 主 觀 難 度 評 價 、 七 題 平 均 正 確 率 , 與 七 題 平 均 答 題 時 間如 表 6 所 示 。 以 文 本 (2)× 表 徵 (2) 分 別 進 行 三 個 依 變 項 的 二 因 子 變 異 數 分 析 , 三 者 均 僅有 文 本 的 主 要 效 果 , 表 徵 的 主 要 效 果 和 交 互 作 用 均 未 達 顯 著 。 島 高 文 本 較 地 球 文 本 在 主 觀 難度 上 來 得 困 難 ,F(1, 54)= 6.95, p < .05; 在 正 確 率 上 來 得 高 ,F(1, 54)= 7.35, p < .01; 在216
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象答 題 時 間 上 則 邊 緣 顯 著 地 短 ,F(1, 54)= 3.77, p = .057。 由 於 兩 個 文 本 在 各 依 變 項 上 都 有 差異 , 故 以 下 行 為 表 現 與 眼 動 表 現 數 據 , 會 將 兩 文 本 的 考 驗 結 果 分 開 討 論 。表 6 兩 種 表 徵 之 文 本 在 主 觀 難 度 、 正 確 率 、 答 題 時 間 上 的 平 均 數 與 標 準 差文 本 文 字 表 徵 算 式 表 徵 合 計地 球 M (SD) M (SD) M (SD)主 觀 難 度 (1-6) 4.00 (1.19) 3.61 (1.03) 3.80 (1.12)正 確 率 .73 (0.15) .80 (0.15) .77 (0.15)答 題 時 間 ( 秒 ) 24.26 (8.73) 27.49 (14.17) 25.87 (11.77)島 高主 觀 難 度 (1-6) 4.25 (0.84) 4.04 (1.04) 4.14 (0.96)正 確 率 .82 (0.16) .85 (0.18) .83 (0.17)答 題 時 間 ( 秒 ) 22.41 (12.42) 23.64 (11.06) 23.02 (11.67)雖 然 不 同 表 徵 在 七 題 平 均 正 確 率 和 平 均 答 題 時 間 未 達 顯 著 , 但 不 同 詴 題 可 能 與 表 徵 產 生交 互 作 用 , 故 進 行 逐 題 正 確 率 與 答 題 時 間 的 考 驗 。兩 種 表 徵 在 逐 題 正 確 與 否 的 χ 2 考 驗 上 , 僅 地 球 題 2 讀 算 式 版 的 正 確 率 (.75) 顯 著 高 於 文字 版 (.43), χ 2 (1)= 5.98,p < .05, 地 球 題 4 與 島 高 題 1 讀 算 式 版 的 正 確 率 (.82、.86) 邊緣 顯 著 高 於 文 字 版 (.61、.64), χ 2 (1)= 3.15,p = .076、χ 2 (1)= 3.43,p = .064, 其 餘 各 題正 確 與 否 和 表 徵 無 關 。 兩 種 表 徵 在 逐 題 答 題 時 間 的 t 考 驗 顯 示 , 僅 島 高 題 5 文 字 版 的 答 題 時間 (23.83 秒 ) 顯 著 少 於 算 式 版 (37.87 秒 ),t(37.87)= -2.48, p < .05, 其 餘 題 目 在 答 題 時 間上 兩 種 表 徵 並 無 顯 著 差 異 。上 述 結 果 顯 示 , 研 究 者 所 關 心 的 表 徵 操 弄 對 閱 讀 表 現 的 影 響 不 大 。 閱 讀 文 字 表 徵 與 算 式表 徵 文 本 的 受 詴 者 , 在 主 觀 難 度 、 七 題 平 均 正 確 率 、 七 題 平 均 答 題 時 間 上 都 沒 有 顯 著 差 異 ,而 逐 題 正 確 率 和 答 題 時 間 僅 有 少 數 一 、 兩 題 有 差 異 , 此 種 差 異 無 法 明 確 顯 示 表 徵 對 閱 讀 理 解測 驗 的 影 響 。二 、 眼 動 表 現 的 結 果( 一 ) 兩 種 表 徵 對 全 文 文 區 與 圖 區 的 影 響受 詴 者 在 文 區 、 圖 區 、 兩 區 加 總 的 凝 視 時 間 指 標 上 , 兩 個 文 本 分 別 進 行 表 徵 (2)× 文 圖區 (2) 的 二 因 子 變 異 數 分 析 , 結 果 地 球 文 本 和 島 高 文 本 都 是 表 徵 無 主 要 效 果 , 而 文 區 總 凝 視時 間 顯 著 比 圖 區 長 ,F(1, 40) = 119.39,p < .001、F(1, 34) = 21.32,p < .001, 交 互 作 用 達顯 著 ,F(1, 40) = 13.74,p < .05、F(1, 34) = 6.47,p < .05。 兩 個 文 本 看 圖 時 間 比 例 的 指標 上 , 算 式 表 徵 均 較 文 字 表 徵 顯 著 多 ,F(1, 40) = 8.99,p < .01、F(1, 34) = 9.54,p < .01。上 述 結 果 顯 示 兩 種 表 徵 版 本 的 讀 者 倚 賴 文 圖 的 程 度 不 一 樣 , 算 式 表 徵 的 讀 者 比 文 字 表 徵 的 讀者 更 傾 向 讀 圖 。( 二 ) 兩 種 表 徵 對 關 鍵 區 的 影 響關 鍵 區 除 了 看 圖 時 間 比 例 與 看 圖 次 數 進 行 單 因 子 變 異 數 分 析 外 , 其 餘 指 標 就 兩 個 文 本 進行 表 徵 (2)× 文 圖 區 (2) 的 二 因 子 變 異 數 分 析 , 統 計 結 果 如 下 。總 凝 視 時 間 的 指 標 上 , 地 球 文 本 和 島 高 文 本 都 是 表 徵 無 主 要 效 果 , 然 地 球 文 本 的 文 區 總217
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象凝 視 時 間 顯 著 比 圖 區 長 , F(1, 40)= 20.40,p < .001; 而 島 高 文 本 則 無 差 異 。 兩 文 本 之 交 互作 用 均 達 顯 著 ,F(1, 40)= 21.17,p < .01、F(1, 34)= 8.58,p < .01。 兩 個 文 本 在 看 圖 比 例的 指 標 結 果 一 致 , 算 式 表 徵 均 較 文 字 表 徵 顯 著 多 ,F(1, 40) = 28.36,p < .001、F(1, 34) =16.29,p < .001。 上 述 結 果 與 全 區 結 果 雷 同 , 顯 示 算 式 表 徵 的 讀 者 比 文 字 表 徵 的 讀 者 有 較 多 讀圖 行 為 。除 關 鍵 區 外 , 研 究 者 一 併 考 驗 非 關 鍵 區 在 上 述 兩 指 標 的 表 現 , 就 兩 個 文 本 進 行 表 徵 (2)× 文 圖 區 (2) 的 二 因 子 變 異 數 分 析 。 總 凝 視 時 間 的 指 標 上 , 兩 文 本 於 非 關 鍵 區 都 是 文 區 總 凝視 時 間 顯 著 比 圖 區 長 ,F(1, 40) = 111.92,p < .001、F(1, 34) = 136.52,p < .001, 表 徵 主要 效 果 與 交 互 作 用 均 未 達 顯 著 。 看 圖 比 例 的 指 標 上 , 兩 文 本 於 兩 個 表 徵 均 無 顯 著 差 異 。 上 述結 果 顯 示 兩 種 表 徵 的 讀 者 仰 賴 圖 的 程 度 並 無 差 異 , 此 與 關 鍵 區 結 果 明 顯 不 同 。在 總 凝 視 點 數 的 指 標 上 , 兩 文 本 都 是 表 徵 無 主 要 效 果 , 然 地 球 文 本 的 文 區 總 凝 視 點 數 顯著 比 圖 區 多 , F(1, 40)= 43.98,p < .001; 而 島 高 文 本 則 無 差 異 。 兩 文 本 之 交 互 作 用 均 達 顯著 ,F(1, 40)= 29.16,p < .01、F(1, 34)= 9.39,p < .01。 此 結 果 與 總 凝 視 時 間 一 致 。在 看 圖 次 數 的 指 標 上 , 地 球 文 本 的 算 式 表 徵 顯 著 比 文 字 表 徵 多 , F(1, 40)= 4.27,p < .05;而 島 高 文 本 雖 然 無 差 異 , 但 算 式 版 仍 比 多 近 10 次 。 顯 示 算 式 表 徵 的 讀 者 比 文 字 表 徵 的 讀 者 有較 多 讀 圖 行 為 , 而 兩 文 本 時 仰 賴 圖 的 程 度 不 同 , 可 能 是 內 容 特 性 差 異 所 致 。在 單 點 平 均 凝 視 時 間 的 指 標 上 , 兩 個 文 本 分 別 進 行 表 徵 (2)× 文 圖 區 (2) 的 二 因 子 變 異數 分 析 , 結 果 地 球 文 本 和 島 高 文 本 都 是 文 區 單 點 平 均 凝 視 時 間 顯 著 比 圖 區 短 ,F(1, 40) =24.17,p < .001、F(1, 34) = 22.75,p < .001, 表 徵 主 要 效 果 與 交 互 作 用 均 未 達 顯 著 。 上 述 結果 與 圖 文 眼 動 文 獻 研 究 一 致 。在 平 均 跳 視 距 離 的 指 標 上 , 表 徵 主 要 效 果 均 為 算 式 版 較 文 字 版 短 , 地 球 文 本 達 邊 緣 顯 著 ,F(1, 40)= 3.49,p = .069; 島 高 文 本 則 達 顯 著 ,F(1, 34)= 24.45,p < .001。 文 圖 兩 區 的 主要 效 果 為 圖 區 較 長 , 兩 文 本 亦 達 顯 著 ,F(1, 40) = 144.59,p < .05、F(1, 34) = 4.46,p < .05。交 互 作 用 方 面 , 地 球 文 本 達 邊 緣 顯 著 ,F(1, 40)= 3.12,p = .085; 島 高 文 本 則 達 顯 著 ,F(1,34)= 26.85,p < .001。 事 後 比 較 結 果 顯 示 平 均 跳 視 距 離 差 異 僅 顯 現 在 文 區 , 文 區 算 式 表 徵 的距 離 均 較 文 字 表 徵 小 , 因 兩 表 徵 內 容 差 異 本 就 在 文 區 , 數 學 符 號 表 徵 的 字 詞 密 度 也 較 高 , 故此 結 果 正 能 驗 證 文 本 內 容 設 計 時 的 預 期 。( 三 ) 兩 種 表 徵 對 關 鍵 句 的 影 響從 表 7 可 發 現 總 凝 視 時 間 與 總 凝 視 點 數 、 看 圖 比 例 與 看 圖 次 數 , 在 意 義 解 釋 上 較 為 類 似 ,其 數 據 表 現 也 呈 現 高 相 關 , 故 研 究 者 此 處 僅 挑 選 總 凝 視 時 間 與 看 圖 比 例 兩 項 指 標 進 行 考 驗 。此 外 , 兩 個 文 本 共 12 句 關 鍵 句 ( 地 1~ 地 5; 重 1~ 重 7), 因 句 數 眾 多 , 表 8 逐 句 考 驗 僅 呈 現總 時 間 與 看 圖 比 例 。總 凝 視 時 間 的 指 標 上 ,12 句 中 表 徵 主 要 效 果 顯 著 ( 包 含 邊 緣 顯 著 ) 的 為 地 1、 地 4、 地 5、島 2、 島 4, 除 了 地 5 為 文 字 表 徵 多 於 算 式 表 徵 , 其 餘 顯 著 者 均 為 算 式 表 徵 較 多 。 文 圖 主 要 效果 顯 著 的 為 地 1~ 地 5、 島 2、 島 3 與 島 7, 除 地 4、 島 2、 島 3 圖 區 多 於 文 區 , 其 餘 顯 著 者 均為 文 區 較 多 。 上 述 結 果 顯 示 12 句 關 鍵 句 在 兩 種 表 徵 的 凝 視 時 間 , 多 數 為 算 式 表 徵 較 長 (8 區 ),時 間 長 度 達 顯 著 差 異 的 5 區 中 ,4 區 為 算 式 表 徵 較 花 時 間 , 僅 1 區 為 文 字 表 徵 時 間 較 長 , 顯示 讀 者 閱 讀 算 式 表 徵 比 文 字 表 徵 花 耗 更 長 的 凝 視 時 間 。218
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象表 7 兩 種 文 本 表 徵 在 第 一 、 二 層 的 眼 動 指 標 之 平 均 數 與 標 準 差 ( 灰 框 為 差 異 顯 著 )文 區 圖 區 全 區 總 和文 字 算 式 文 字 算 式 文 字 算 式地 球 M (SD) M (SD) M (SD) M (SD) M (SD) M (SD)總 凝 視 時 間 ( 秒 ) 83.71 41.29 70.15 31.83 32.55 28.20 44.91 32.66 116.25 65.34 115.06 62.01看 圖 比 例 0.26 0.07 0.35 0.12非 關 鍵 區 總 凝 視 時 間 ( 秒 ) 52.93 25.93 45.13 16.04 20.71 17.49 19.71 13.04 73.64 38.20 64.84 26.68非 關 鍵 區 看 圖 比 例 0.26 0.10 0.27 0.12關 鍵 區 總 凝 視 時 間 ( 秒 ) 30.77 19.53 25.03 18.18 11.84 12.95 25.20 23.07 42.61 30.91 50.22 38.87關 鍵 區 看 圖 比 例 0.24 0.12 0.45 0.13關 鍵 區 總 凝 視 點 數 126.85 80.35 97.32 68.21 41.15 48.43 88.55 83.50 168.00 123.93 185.86 145.70關 鍵 區 看 圖 次 數 6.15 5.10 13.36 14.82關 鍵 區 單 點 平 均 ( 毫 秒 ) 240.92 25.86 252.45 34.63 298.90 72.02 287.50 50.16 252.07 28.90 266.53 33.23關 鍵 區 跳 視 距 離 ( 視 角 度 ) 3.11 .66 2.67 .68 1.39 .34 1.40 .44 2.80 .68 2.20 .58島 高 M (SD) M (SD) M (SD) M (SD) M (SD) M (SD)總 凝 視 時 間 ( 秒 ) 99.25 50.50 100.87 51.92 65.90 42.62 91.21 65.28 165.15 89.58 192.08 114.27看 圖 比 例 0.38 0.08 0.46 0.07非 關 鍵 區 總 凝 視 時 間 ( 秒 ) 54.27 23.58 57.91 23.39 26.71 15.72 35.49 25.58 80.98 37.92 93.40 47.35非 關 鍵 區 看 圖 比 例 0.32 0.07 0.36 0.08關 鍵 區 總 凝 視 時 間 ( 秒 ) 44.98 27.84 42.96 30.96 39.19 28.06 55.72 41.06 84.17 53.48 98.68 69.51關 鍵 區 看 圖 比 例 0.44 0.09 0.56 0.09關 鍵 區 總 凝 視 點 數 192.11 115.83 178.11 123.84 156.83 114.44 221.22 169.17 348.94 220.78 399.33 283.58關 鍵 區 看 圖 次 數 24.44 15.24 33.83 23.83關 鍵 區 單 點 平 均 ( 毫 秒 ) 235.49 24.96 238.98 19.85 251.94 25.88 253.80 29.91 242.80 23.81 247.72 23.91關 鍵 區 跳 視 距 離 ( 視 角 度 ) 2.73 .44 1.88 .40 2.15 .32 2.12 .24 2.49 .34 2.01 .24表 8 兩 種 表 徵 在 第 三 層 圖 、 文 區 的 眼 動 指 標 之 平 均 數 與 標 準 差 ( 灰 框 為 差 異 顯 著 )地 球 第 一 句 地 球 第 二 句 地 球 第 三 句文 區 圖 區 文 區 圖 區 文 區 圖 區文 字 算 式 文 字 算 式 文 字 算 式 文 字 算 式 文 字 算 式 文 字 算 式總 時 間 5.07 6.94 0.23 2.76 4.44 2.85 0.80 0.25 6.85 6.02 1.06 4.43看 圖 比 例 0.04 0.19 0.08 0.05 0.11 0.35地 球 第 四 句 地 球 第 五 句 島 高 第 一 句總 時 間 2.44 3.77 2.45 13.32 11.96 5.45 7.30 4.43 4.43 4.12 5.32 4.46看 圖 比 例 0.27 0.65 0.30 0.33 0.46 0.50島 高 第 二 句 島 高 第 三 句 島 高 第 四 句總 時 間 2.25 4.07 4.73 8.81 6.18 4.77 6.59 12.14 2.38 3.79 1.40 5.53看 圖 比 例 0.54 0.59 0.47 0.67 0.22 0.47219
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象島 高 第 五 句 島 高 第 六 句 島 高 第 七 句總 時 間 4.57 4.18 4.29 5.44 13.41 12.78 11.65 14.65 11.76 9.26 5.21 4.68看 圖 比 例 0.33 0.48 0.42 0.48 0.25 0.25看 圖 比 例 的 指 標 上 ,12 句 中 表 徵 主 要 效 果 顯 著 ( 包 含 邊 緣 顯 著 ) 的 為 地 1、 地 3、 地 4、島 3、 島 4、 島 5, 除 了 地 2 為 文 字 表 徵 多 於 算 式 表 徵 , 其 餘 顯 著 者 均 為 算 式 表 徵 較 多 。 上 述結 果 顯 示 12 個 關 鍵 區 在 兩 種 表 徵 的 看 圖 時 間 比 例 ,11 區 為 算 式 表 徵 較 多 , 僅 1 區 為 文 字 表徵 較 多 , 顯 示 讀 者 理 解 算 式 版 對 圖 的 依 賴 性 較 高 。( 四 ) 關 鍵 詞 間 最 大 轉 移 機 率 (Markov)以 關 鍵 句 的 斷 詞 為 IA 分 析 區 , 運 用 Markov 轉 換 機 率 概 念 算 出 詞 間 彼 此 轉 移 的 前 三 大 機率 。 圖 11 為 最 大 轉 移 路 徑 圖 , 以 紅 箭 頭 畫 出 最 大 轉 移 機 率 的 路 徑 , 為 減 少 文 區 和 圖 區 錯 綜 複雜 的 來 回 箭 頭 , 若 最 大 機 率 轉 移 到 圖 區 , 則 在 該 IOA 的 右 上 角 打 上 紅 色 的 勾 , 若 第 二 或 第三 大 機 率 是 轉 移 到 圖 , 則 打 上 綠 色 的 勾 。 以 地 球 題 上 半 區 ( 三 組 關 鍵 句 ) 為 例 , 可 發 現 文 字版 關 鍵 區 沒 有 任 一 IA 前 三 大 機 率 是 轉 移 到 圖 的 , 但 算 式 版 相 反 , 許 多 IA 的 最 大 或 第 二 、三 大 機 率 是 轉 移 到 圖 上 , 顯 示 讀 到 數 學 符 號 時 , 多 數 讀 者 傾 向 參 照 附 圖 , 這 可 以 和 前 述 結 論相 呼 應 。地球題前三句地球題後兩句220
吳 昭 容 數 學 文 本 閱 讀 的 眼 動 現 象島高題第一句島高題後六句圖 11 Markov 詞 間 最 大 轉 移 路 徑 圖參 考 文 獻 ( 略 )221
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php222
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 ■ 成 果 報 告□ 期 中 進 度 報 告用 數 學 解 讀 世 界 - 台 東 縣 學 童 建 模 能 力 探 究計 畫 類 別 :■ 個 別 型 計 畫 □ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 100-2511-S-143-002100執 行 期 間 :2011 年 08 月 1 日 至 2012 年 7 月 31 日計 畫 主 持 人 : 李 秀 妃共 同 主 持 人 :計 畫 參 與 人 員 :成 果 報 告 類 型 ( 依 經 費 核 定 清 單 規 定 繳 交 ):■ 精 簡 報 告 □ 完 整 報 告本 成 果 報 告 包 括 以 下 應 繳 交 之 附 件 :□ 赴 國 外 出 差 或 研 習 心 得 報 告 一 份□ 赴 大 陸 地 區 出 差 或 研 習 心 得 報 告 一 份□ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告 及 發 表 之 論 文 各 一 份□ 國 際 合 作 研 究 計 畫 國 外 研 究 報 告 書 一 份處 理 方 式 : 除 產 學 合 作 研 究 計 畫 、 提 升 產 業 技 術 及 人 才 培 育 研 究 計 畫 、列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,□ 一 年 ■ 二 年 後 可 公 開 查 詢執 行 單 位 : 國 立 臺 東 大 學 特 殊 教 育 學 系中 華 民 國 101 年 10 月 31 日223
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究中 文 摘 要2006 年 的 PISA 測 驗 結 果 , 台 灣 十 五 歲 青 少 年 的 數 學 整 體 表 現 在 50 幾 個 國 家 中 名 列 第一 , 但 是 2009 的 PISA 測 驗 結 果 顯 示 , 台 灣 學 生 在 閱 讀 、 數 學 以 及 科 學 素 養 能 力 方 面 均 下 滑 ,其 中 閱 讀 能 力 從 2006 年 的 第 16 名 滑 落 到 2009 年 的 第 23 名 、 數 學 能 力 亦 自 2006 年 的 第 1 名滑 落 至 第 5 名 、 而 科 學 能 力 自 2006 年 第 4 名 滑 落 至 12 名 。 反 觀 中 國 在 三 項 評 比 皆 排 名 第 一 ,雖 然 中 國 數 學 大 陸 分 數 僅 為 上 海 地 區 之 成 績 , 在 城 鄉 差 異 影 響 下 , 無 法 反 映 整 體 素 質 , 但 這 次測 驗 的 結 果 無 非 對 台 灣 的 數 學 教 育 敲 起 一 記 警 鐘 。此 外 , 當 世 界 數 學 教 育 的 潮 流 已 經 不 再 侷 限 於 答 案 的 對 和 錯 , 而 是 要 求 學 生 具 有 批 判 思 考能 力 、 提 出 適 當 理 由 時 , 台 灣 的 數 學 教 育 不 能 自 外 於 多 元 文 化 的 世 界 潮 流 與 趨 勢 發 展 , 應 該培 養 學 生 不 只 解 題 的 能 力 , 更 要 有 解 讀 生 活 周 遭 事 物 的 批 判 能 力 , 亦 即 解 讀 世 界 (read theworld) 的 能 力 (Paulo Freire), 也 就 是 數 學 的 素 養 (mathemacy); 而 數 學 建 模 是 一 個 有 利 /力 的 教 學 工 具 。調 查 指 出 數 學 是 學 生 最 不 喜 歡 的 科 目 , 東 部 學 生 也 不 例 外 。 加 上 東 部 的 資 源 較 缺 乏 ,外 加 的 數 學 活 動 大 多 強 調 較 機 械 式 的 解 題 技 巧 , 較 缺 乏 發 展 學 生 的 批 判 能 力 和 靈 活 、 解 決真 實 問 題 的 能 力 。 是 故 本 研 究 擬 透 過 數 學 科 和 其 它 科 目 統 整 的 方 式 , 設 計 教 學 模 組 , 讓 學生 探 索 問 題 並 探 究 發 展 學 生 的 建 模 能 力 , 而 目 前 國 內 有 關 小 學 生 建 模 方 便 的 研 究 也 相 對 少 。研 究 對 象 為 台 東 地 區 一 所 小 學 的 學 生 , 學 生 為 混 齡 包 含 小 四 到 小 六 學 生 共 10 位 。 學 生經 由 教 師 推 薦 、 閱 讀 和 表 達 能 力 的 口 試 以 及 家 長 同 意 激 烈 的 競 爭 下 選 出 , 為 下 學 期 參 加 「 科學 營 」 的 儲 備 選 手 。 研 究 方 法 合 併 量 和 質 化 分 析 , 資 料 分 析 來 源 包 括 : 數 感 前 測 、 數 學 態度 問 卷 ( 學 生 、 學 生 教 師 ) 前 後 測 、 四 個 教 學 模 組 、 課 室 觀 察 和 互 動 ( 錄 影 )、 師 生 的 數 學札 記 和 學 習 單 。 教 學 模 組 的 內 容 與 學 生 的 生 活 經 驗 有 關 , 採 主 題 探 索 、 合 作 學 習 的 方 式 進行 , 重 視 多 元 文 化 、 批 判 思 考 、 形 成 假 設 和 驗 證 的 數 學 素 養 能 力 。 本 研 究 實 施 了 四 個 教 學模 組 , 利 用 每 週 2 次 共 3 節 課 的 課 外 時 間 進 行 活 動 , 每 教 學 模 組 實 施 約 3 週 , 進 行 了 一 學期 。 模 組 主 題 有 : 原 住 民 社 經 地 位 、 衛 生 紙 省 錢 大 作 戰 、 擦 手 紙 比 一 比 、 刷 牙 浪 費 的 水 。研 究 結 果 顯 示 如 文 獻 所 示 , 小 學 生 的 數 學 能 力 雖 然 有 限 , 但 是 只 要 題 目 符 合 以 下 六 點建 模 原 則 :1) 與 真 實 世 界 相 關 的 題 目 , 提 高 動 機 ,2) 數 學 問 題 是 否 有 跡 可 尋 ,3) 解 題 過程 是 可 行 ,4) 解 答 合 理 、 可 詮 釋 的 ,5) 答 案 的 正 當 性 ,6) 教 學 的 彈 性 (Galbraith etal.,2010), 亦 即 題 目 可 發 展 成 一 系 列 的 問 題 , 仍 保 留 真 實 情 境 的 完 整 性 ; 小 學 生 也 可 以 培養 建 模 能 力 , 這 對 我 國 小 學 生 數 學 的 邏 輯 思 考 、 學 習 動 機 以 及 素 養 有 所 助 益 。 本 研 究 小 學生 延 續 建 模 的 衛 生 紙 和 擦 手 紙 主 題 , 發 展 成 科 展 的 題 目 , 得 到 台 東 縣 科 展 小 學 組 第 一 名 以及 全 國 科 展 小 學 組 優 等 的 佳 績 , 即 是 最 佳 證 明 。關 鍵 字 詞 : 數 學 教 育 、 數 學 建 模 、 公 平 教 育 、 數 學 素 養224
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究一 、 研 究 目 的2006 年 的 PISA 測 驗 結 果 , 台 灣 十 五 歲 青 少 年 的 數 學 整 體 表 現 在 50 幾 個 國 家 中 名 列 第一 , 但 是 2009 的 PISA 測 驗 結 果 顯 示 , 台 灣 學 生 在 閱 讀 、 數 學 以 及 科 學 素 養 能 力 方 面 均 下滑 , 其 中 閱 讀 能 力 從 2006 年 的 第 16 名 滑 落 到 2009 年 的 第 23 名 、 數 學 能 力 亦 自 2006 年 的第 1 名 滑 落 至 第 5 名 、 而 科 學 能 力 自 2006 年 第 4 名 滑 落 至 12 名 。 反 觀 中 國 在 三 項 評 比 皆排 名 第 一 , 雖 然 中 國 數 學 大 陸 分 數 僅 為 上 海 地 區 之 成 績 , 在 城 鄉 差 異 影 響 下 , 無 法 反 映 整體 素 質 , 但 這 次 測 驗 的 結 果 無 非 對 台 灣 的 數 學 教 育 敲 起 一 記 警 鐘 。調 查 指 出 數 學 是 學 生 最 不 喜 歡 的 科 目 , 東 部 學 生 也 不 例 外 。 台 東 地 處 偏 遠 , 教 學 資 源相 對 缺 乏 、 觀 念 也 相 對 保 守 。 外 加 的 數 學 活 動 大 多 強 調 較 機 械 式 的 解 題 技 巧 , 較 缺 乏 發 展學 生 的 批 判 能 力 和 靈 活 、 解 決 真 實 問 題 的 能 力 , 而 目 前 國 內 有 關 小 學 生 建 模 方 便 的 研 究 也相 對 少 ( 陳 冠 州 & 游 詩 憶 ,2007)。 是 故 本 研 究 透 過 設 計 教 學 模 組 , 訓 練 學 生 教 師 , 讓 大 、小 學 生 發 展 數 學 建 模 能 力 , 不 止 訓 練 學 生 解 題 能 力 , 讓 學 生 探 索 、 批 判 與 其 生 活 經 驗 相 關的 議 題 , 同 時 並 探 究 學 生 的 建 模 、 解 讀 世 界 的 能 力 , 亦 即 數 學 素 養 (mathemacy) 能 力 的 發展 , 因 應 PISA 等 國 際 評 比 的 數 學 教 育 趨 勢 , 準 備 我 們 的 孩 子 「 能 面 對 」 越 來 越 充 滿 錯 縱 複雜 、 變 化 快 速 以 及 資 訊 競 爭 的 高 科 技 時 代 。NCTM(2000) 修 訂 的 數 學 標 準 再 度 強 調 數 學 教 育 應 該 負 起 公 平 教 育 (equity education)的 責 任 , 而 台 灣 的 九 年 一 貫 的 課 程 標 準 中 只 有 提 到 多 元 文 化 觀 , 並 沒 有 明 確 指 出 數 學 教 育應 負 起 公 平 教 育 和 社 會 正 義 的 綱 要 或 施 行 細 則 , 這 點 是 數 學 教 育 需 要 加 強 的 部 分 。 過 去 的數 學 教 育 研 究 , 大 多 偏 重 探 討 認 知 心 理 和 社 會 文 化 互 動 的 主 題 , 幾 乎 很 少 碰 觸 社 會 正 義 的議 題 , 是 故 , 本 研 究 也 設 計 比 較 敏 感 的 社 會 議 題 ( 如 財 富 的 分 配 、 教 育 程 度 等 ), 讓 學 生結 合 上 網 、 找 資 料 、 訪 談 、 紀 錄 探 討 他 們 生 活 周 遭 的 活 生 生 例 子 , 然 後 討 論 、 解 讀 這 些 「 數據 」 和 資 料 , 提 出 他 們 ( 批 判 性 ) 的 看 法 。二 、 數 學 建 模 (Mathematical Modeling) 相 關 文 獻定 義針 對 數 學 解 題 、 數 學 學 習 以 及 數 學 教 學 所 提 出 有 關 模 型 和 建 模 (models and modeling)相 關 研 究 最 多 的 學 者 首 推 Richard Lesh 了 , 他 曾 在 2003 年 Mathematical Thinking andLearning 的 特 刊 「 模 型 和 建 模 觀 點 」 (Models and modeling perspectives, Lesh et.al.,2003) 中 擔 任 客 串 編 輯 並 為 文 論 述 多 篇 文 章 討 論 此 主 題 , 之 後 也 有 不 少 論 述 , 以 及 其 他 學者 加 入 此 議 題 的 探 討 。 關 於 模 型 和 建 模 的 定 義 將 整 理 如 下 :Lesh & Lehrer (2003) 認 為 「 模 型 」 這 個 詞 表 示 對 情 境 作 特 別 的 數 學 描 述 , 崁 入 在 特殊 的 操 作 系 統 中 , 代 表 模 型 契 合 和 修 正 認 識 論 的 特 徵 。「 建 模 」 意 指 在 特 殊 情 境 對 特 定 目 的所 發 展 表 徵 描 述 之 過 程 , 通 常 包 含 一 連 串 重 覆 的 測 試 和 修 正 循 環 , 這 當 中 各 種 可 能 性 的 詮釋 逐 步 被 整 理 挑 出 或 整 合 , 或 兩 者 都 有 ; 這 過 程 有 可 能 的 嘗 試 描 述 和 解 釋 會 逐 步 被 修 正 、精 進 或 拒 絕 。 最 後 的 階 段 強 調 模 型 的 「 契 合 / 適 切 」("fitness" of models) 是 關 鍵 , 因為 模 型 先 天 本 來 就 是 臨 時 的 , 它 是 為 了 特 定 情 境 的 特 殊 目 的 而 發 展 出 來 的 , 即 使 有 些 模 型可 以 保 持 好 一 段 時 日 , 以 及 它 們 特 地 是 為 在 結 構 相 似 的 情 境 中 可 以 分 享 (sharable) 和 重 覆使 用 (reuseable) 而 設 計 ( 存 在 )。 接 著 , 他 們 認 為 模 型 和 世 界 的 分 別 不 僅 止 於 確 認 出 適 當的 符 號 - 參 照 物 的 磨 合 而 已 ; 相 對 地 , 隨 著 時 間 的 推 移 , 模 型 和 經 驗 的 累 積 以 及 符 號 表 徵 密切 相 關 。 模 型 自 舉 (bootstrap) 世 界 , 而 世 界 向 自 我 的 模 型 「 推 回 」。 結 果 是 辯 論 、 數 學 以225
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究及 自 然 界 全 豁 在 一 起 , 成 為 「 壓 碎 的 行 動 」(mangle of practice) (Pickering, 1995, 引自 Lesh & Lehrer (2003)。模 型 和 建 模 (models and modeling) 在 文 獻 裡 有 不 同 的 用 法 , 包 括 : 解 文 字 題 、 做數 學 模 擬 、 表 徵 狀 況 ( 包 含 對 自 然 現 象 的 解 釋 ), 當 解 某 特 定 問 題 時 所 產 生 內 在 的 、 心 理的 表 徵 等 等 。 本 研 究 認 為 English 為 M&M 下 的 定 義 , 簡 單 易 懂 , 也 符 合 本 研 究 想 探 究 的 主旨 , 她 的 M&M 定 義 是 「 條 件 、 計 算 和 關 係 的 系 統 , 可 用 來 描 述 、 解 釋 、 或 預 測 一 些 其 它 相似 系 統 的 行 為 之 規 則 (Doerr & English, 2003, p.112 引 自 English,2007)。 建 模 問 題是 真 實 複 雜 的 情 境 , 解 題 者 參 與 數 學 思 考 時 得 超 越 普 通 的 學 校 經 驗 , 以 及 所 產 出 的 產 品 通常 包 括 複 雜 的 人 工 品 或 是 概 念 工 具 以 完 成 某 些 目 的 或 目 標 (Lesh & Zawojewski, 2007 引自 English,2007)。換 句 話 說 , 模 型 的 特 性 即 非 固 定 不 變 的 , 但 是 在 某 些 特 定 相 似 的 情 境 中 這 些 模 型 有 共通 性 , 可 被 分 享 、 重 覆 使 用 ; 而 隨 著 時 間 和 經 驗 的 累 積 , 我 們 應 該 可 以 建 立 更 貼 切 、 契 合我 們 需 求 的 模 型 。 所 以 , 老 師 們 可 不 要 輕 易 放 棄 , 認 為 學 生 學 不 會 !Lesh & English (2005) 針 對 模 型 和 建 模 (M&M) 觀 點 應 用 於 數 學 學 習 和 解 題 提 出 了以 下 觀 點 。 他 們 認 為 M&M 研 究 通 常 運 用 在 探 究 學 生 是 否 能 運 用 他 們 在 課 室 中 的 「 真 實 」 情境 所 學 , 學 生 真 正 對 數 學 知 識 的 理 解 和 能 力 的 本 質 的 方 法 。M&M 研 究 的 觀 點 發 展 自 概 念 理解 重 於 解 題 ; 超 越 課 本 裡 的 題 目 和 標 準 測 驗 , 不 再 受 限 , 強 調 在 「 戶 外 」( 模 擬 ) 解 題 。 所以 , 我 帶 學 生 到 超 市 觀 察 、 抄 寫 衛 生 紙 、 擦 手 紙 的 價 格 開 始 了 一 系 列 結 合 「 環 保 」、 學 生 生活 經 驗 的 探 索 。採 用 原 因為 何 要 選 擇 數 學 建 模 教 學 法 為 數 學 教 育 的 改 革 方 向 或 實 踐 工 具 呢 ?因 為 21 世 紀 是 資 訊 的 世 紀 (age of information), 在 資 訊 時 代 , 傳 統 計 算 、 背 誦 的 能力 逐 漸 地 被 價 格 愈 來 愈 低 廉 、 輕 巧 、 容 易 攜 帶 的 科 技 產 品 所 代 勞 , 雲 端 科 技 已 然 形 成 。 未來 應 該 是 一 支 手 機 或 一 個 多 功 能 閱 讀 器 就 可 以 上 網 瀏 覽 、 找 到 傳 統 在 圖 書 館 才 能 看 到 的 資料 或 大 學 教 授 才 知 道 的 知 識 。 資 訊 幾 乎 捶 手 可 得 , 變 化 快 速 , 且 變 得 多 而 雜 , 如 何 分 辨 消息 來 源 、 知 識 的 真 偽 、 如 何 找 尋 資 料 、 解 決 生 活 問 題 等 , 這 些 變 動 已 慢 慢 影 響 每 天 一 般 人的 生 活 。 現 代 人 如 何 學 會 面 對 生 活 所 需 「 數 學 思 考 」 的 新 能 力 ? 教 育 界 也 應 該 要 開 始 思 考如 何 教 育 這 一 代 的 孩 子 , 讓 他 們 能 在 未 來 有 富 足 的 人 生 , 能 幫 助 孩 子 做 好 準 備 , 面 對 一 個對 數 學 、 科 學 、 科 技 基 本 技 能 有 越 高 要 求 的 未 來 世 界 。Lesh & English (2005) 認 為 未 來 世 界 產 業 從 設 計 工 業 到 生 命 科 學 , 產 業 界 給 大 學 課程 的 建 言 強 調 , 未 來 產 業 界 需 求 的 人 力 必 須 具 備 以 下 的 能 力 : 一 、 瞭 解 複 雜 系 統 , 二 、 和不 同 領 域 專 家 團 隊 合 作 , 三 、 快 速 適 應 快 速 發 展 的 概 念 工 具 , 四 、 工 作 從 事 多 階 段 的 案 子 ,需 要 和 不 同 的 階 段 和 人 共 同 計 畫 、 合 作 , 五 、 發 展 分 享 和 重 覆 使 用 的 概 念 工 具 通 常 需 要 整合 不 同 的 專 業 和 課 本 知 識 。 因 此 , 數 學 將 由 計 算 轉 移 到 概 念 化 、 描 述 以 及 解 釋 , 數 學 教 育的 課 程 設 計 和 教 學 應 該 也 要 有 所 轉 變 , 以 符 合 時 代 所 需 。M&M 的 發 展 過 程 似 乎 是 一 個 蠻 值得 期 待 和 嘗 試 的 方 法 。三 、 研 究 方 法通 常 學 到 概 念 不 是 零 到 一 , 循 序 漸 進 發 展 的 關 係 , 多 數 是 同 時 進 行 , 透 過 不 同 的 管 道 、226
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究刺 激 ( 被 追 問 )、 連 結 ( 新 舊 經 驗 ) 時 , 靈 光 乍 現 的 經 驗 比 較 多 。Lesh & Yoon (2004, 引自 Lesh & English,2005) 也 支 持 此 看 法 , 認 為 重 要 的 概 念 發 展 通 常 發 生 在 學 生 被 要 求 不斷 的 說 明 、 測 試 、 以 及 修 正 現 有 想 法 的 挑 戰 時 發 生 。 由 於 M&M 的 過 程 是 變 動 的 , 經 由 已 知 、目 的 , 提 出 假 設 、 驗 證 、 被 質 問 、 修 正 , 如 此 不 斷 修 正 的 循 環 , 所 以 研 究 者 應 該 注 意 傳 統的 單 一 點 評 鑑 方 式 來 評 估 學 生 數 學 概 念 和 學 習 的 成 效 之 侷 限 。因 此 Lesh et al. (2008) 提 出 多 層 次 設 計 實 驗 的 理 論 , 認 為 一 個 研 究 設 計 、 尤 其 是 M&M 教 學 設 計 應 該 包 含 三 大 部 分 : 一 、 學 生 針 對 數 學 解 題 情 境 發 展 模 型 ; 二 、 教 師 發 展 模 型以 理 解 學 生 的 建 模 活 動 ; 三 、 研 究 者 發 展 模 型 以 理 解 學 生 們 、 老 師 們 、 師 生 互 動 以 及 其 他相 關 學 習 因 素 。 這 三 者 非 單 獨 存 在 , 會 相 互 影 響 , 而 產 生 的 影 響 對 後 續 的 學 習 、 教 學 、 觀念 發 展 皆 有 可 能 產 生 直 接 或 間 接 的 影 響 。 如 圖 一 所 示 , 研 究 者 雖 然 看 似 位 於 高 點 , 縱 觀 全局 , 但 是 這 三 個 部 分 好 似 同 切 圓 , 不 斷 的 產 生 漣 漪 效 應 , 底 層 的 學 生 內 或 學 生 間 的 變 化 會影 響 老 師 的 下 一 步 策 略 , 如 何 介 入 ; 同 理 , 老 師 的 介 入 、 提 示 、 逼 問 等 也 可 能 對 個 別 同 學的 概 念 理 解 或 同 組 間 的 互 動 產 生 變 化 。 一 位 同 學 的 「 不 理 解 」 不 可 能 不 影 響 整 組 的 互 動 ,如 果 這 規 定 是 一 個 小 組 活 動 (team work), 這 個 「 笨 李 四 」 或 「 笨 問 題 」 可 能 刺 激 班 上 別組 或 同 組 同 學 要 換 個 方 式 講 , 才 會 更 清 楚 ; 這 當 中 , 有 可 能 讓 一 樣 困 惑 的 張 三 靈 光 乍 現 ,想 起 例 子 , 引 起 話 題 , 或 讓 自 己 比 較 懂 。 就 算 概 念 理 解 沒 有 發 生 , 最 保 守 總 是 找 到 另 一 個「 知 音 」( 沒 聽 懂 、 不 會 的 人 )。本 研 究 採 設 計 - 教 學 - 修 正 - 教 學 的 不 斷 循 環 設 計 。 研 究 者 和 學 生 教 師 於 每 次 教 學 活 動 後針 對 小 學 生 的 反 應 ( 上 課 互 動 、 學 習 單 、 心 得 ) 作 討 論 , 如 有 必 要 作 教 學 設 計 的 修 正 , 學生 教 師 回 饋 他 們 學 到 什 麼 、 疏 漏 什 麼 。 本 研 究 的 教 學 程 序 大 致 上 採 多 層 次 計 畫 設 計 一 。 例如 , 先 給 學 生 一 些 資 料 、 問 題 、 數 據 , 讓 學 生 討 論 , 然 後 請 學 生 現 場 或 回 家 實 作 ( 作 相 關主 題 的 調 查 、 學 習 訪 談 、 觀 察 、 紀 錄 、 整 理 資 料 、 化 成 統 計 ), 然 後 帶 回 課 堂 上 , 全 班 分 享個 人 或 小 組 資 料 , 比 較 資 料 ( 個 人 或 小 組 間 或 全 班 的 平 均 對 小 組 )、 討 論 、 可 以 下 什 麼 結 論 、有 何 發 現 。 例 如 有 關 SES 的 官 方 統 計 , 讓 學 生 發 現 問 題 , 是 否 有 族 群 、 區 域 的 差 異 , 透 過看 圖 表 、 統 計 圖 、 數 據 等 , 引 起 討 論 。 然 後 請 學 生 回 家 作 家 庭 調 查 、 紀 錄 , 增 加 親 子 家 人圖 一 、 多 層 次 設 計 實 驗227
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究互 動 機 會 , 最 後 將 學 生 帶 回 的 資 料 全 班 作 比 較 、 彙 整 ( 算 出 平 均 )、 討 論 , 例 如 : 班 上 同 學的 SES 分 佈 情 形 , 這 和 學 生 的 學 校 成 績 、 參 與 才 藝 補 習 、 課 後 輔 導 、 家 長 管 教 方 式 、 假 日休 閒 的 關 係 。本 研 究 的 工 具 包 含 數 感 前 測 、 數 學 態 度 問 卷 前 後 測 、 四 個 教 學 模 組 。數 感 : 給 學 生 1 位 數 至 9 位 數 , 透 過 數 的 相 乘 和 加 上 某 個 數 的 一 系 列 問 題 , 看 學 生 是 否能 看 出 規 則 , 節 省 計 算 時 間 , 且 能 欣 賞 數 學 的 美 - 規 則 ? 學 生 可 以 用 計 算 機 算 。1 x 8 + 1 =12 x 8 + 2 =123 x 8 + 3 =教 學 模 組 一 ( 原 住 民 社 經 地 位 ): 給 學 生 有 關 原 住 民 的 統 計 ( 人 數 、 分 佈 、 族 別 、 就學 情 形 以 及 原 漢 教 育 程 度 、 收 入 、 工 作 類 型 、 健 康 狀 況 調 查 比 較 等 數 據 ), 要 他 們 從 這 些數 據 中 歸 類 、 推 理 、 假 設 並 提 出 結 論 。 課 堂 討 論 後 , 希 望 學 生 透 過 訪 談 、 紀 錄 他 們 生 活 周遭 相 對 應 於 主 題 的 例 子 ( 家 長 的 社 經 、 健 康 、 疾 病 ), 一 個 人 訪 談 家 族 10 人 , 帶 回 資 料 然後 討 論 、 解 讀 這 些 「 數 據 」 和 資 料 , 提 出 他 們 ( 批 判 性 ) 的 看 法 。 此 設 計 的 目 的 之 一 也 是希 望 學 生 能 和 親 人 多 聯 繫 , 可 透 過 拜 訪 、 電 話 、 視 訊 訪 談 , 學 會 資 料 收 集 也 促 進 親 情 互 動 。教 學 模 組 二 ( 衛 生 紙 省 錢 大 作 戰 ): 先 給 學 生 設 計 好 的 學 習 單 , 有 一 袋 低 於 100 元 , 和其 它 高 於 100 元 的 各 種 不 同 價 格 , 要 學 生 買 「 最 便 宜 」 的 衛 生 紙 。 透 過 討 論 , 廚 房 紙 巾 、 濕紙 巾 、 面 紙 外 , 常 用 衛 生 紙 有 分 抽 取 和 平 版 二 種 , 不 一 樣 的 包 裝 外 , 也 有 不 同 的 廠 牌 , 可以 比 嗎 ? 要 怎 麼 比 ? 研 究 者 帶 領 小 學 生 到 大 賣 場 實 地 考 察 , 抄 寫 各 種 價 格 , 回 到 教 室 討 論 。教 學 模 組 三 ( 擦 手 紙 比 一 比 ): 公 共 場 所 ( 如 機 場 、 火 車 站 ) 的 廁 所 常 提 供 如 廁 後 洗完 手 將 手 擦 乾 的 「 擦 手 紙 」, 這 尺 寸 是 最 適 合 的 尺 寸 ? 會 不 會 有 浪 費 之 虞 ? 因 為 面 對 油 電雙 漲 , 台 積 電 曾 經 將 公 司 廁 所 的 捲 桶 衛 生 紙 縮 小 了 0.5 公 分 , 一 年 下 來 為 公 司 節 省 了 61 萬元 。 如 何 設 計 最 適 合 小 朋 友 的 擦 手 紙 尺 寸 呢 ?教 學 模 組 四 ( 刷 牙 浪 費 的 水 ): 先 給 一 個 紙 本 題 目 : 阿 妃 刷 牙 習 慣 開 水 龍 頭 到 刷 完 才關 , 她 刷 一 次 牙 浪 費 了 多 少 水 ? 讓 學 生 討 論 , 要 解 答 這 個 問 題 , 必 須 要 有 哪 些 條 件 ( 數 據 )要 知 道 才 能 往 下 解 題 。 經 過 討 論 後 , 每 位 小 學 生 透 過 實 際 操 作 並 記 錄 自 己 和 全 班 刷 牙 所 浪費 的 水 量 。四 、 研 究 成 果數 感 : 大 多 數 學 生 對 計 算 機 的 操 作 並 不 熟 悉 , 經 常 會 按 錯 。 全 班 沒 有 人 自 己 看 出 「 規則 」, 過 程 中 抱 怨 聲 此 起 彼 落 。 最 後 公 布 答 案 時 , 除 了 1 位 4 年 級 女 生 ( 國 外 長 大 , 回 台 1年 多 ) 和 1 位 5 年 級 女 生 ( 導 師 強 調 數 學 要 想 ) 外 , 其 餘 的 學 生 抱 怨 聲 高 / 多 於 發 現 規 則 的 「 驚嘆 」, 大 多 不 太 願 意 討 論 和 靜 下 來 聽 如 何 看 出 「 奧 秘 」, 規 則 或 規 律 是 什 麼 。 數 學 之 美 ,透 過 這 些 至 少 補 2 種 才 藝 的 孩 子 的 反 應 , 可 能 反 映 出 目 前 的 數 學 教 育 有 關 探 索 , 願 意 花 時 間思 考 的 信 念 , 是 比 較 欠 缺 和 缺 乏 現 場 實 踐 的 。教 學 模 組 一 ( 原 住 民 社 經 地 位 ): 除 了 那 位 5 年 級 的 女 學 生 外 , 大 多 數 的 學 生 對 於 4 位數 以 上 的 數 字 一 下 子 幾 乎 念 不 出 來 , 非 常 不 熟 悉 大 的 數 , 好 像 看 到 一 堆 大 的 數 , 就 腦 袋 塞車 , 無 法 思 考 了 。 後 來 經 過 引 導 和 計 算 機 的 引 入 活 動 中 , 大 多 數 學 生 停 留 在 學 習 單 的 解 題 ,對 於 數 字 之 間 的 關 係 ( 例 如 原 漢 的 教 育 程 度 、 中 輟 生 比 較 ) 幾 乎 不 太 會 查 閱 統 計 表 上 的 數據 。 當 然 也 無 法 「 閱 讀 」 統 計 表 格 上 的 數 據 ( 數 字 、 百 分 比 ) 所 代 表 的 意 義 , 更 不 用 說 針228
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究對 原 漢 比 較 , 相 較 於 漢 人 ( 一 般 人 ), 原 住 民 是 否 落 入 低 收 入 、 低 教 育 、 低 平 均 壽 命 的 數據 一 方 , 原 漢 相 比 , 這 之 間 用 數 學 的 說 法 , 幾 倍 或 多 多 少 % 來 表 達 , 對 這 些 學 生 是 有 困 難的 。 更 高 階 的 批 判 能 力 如 對 數 字 背 後 現 象 的 理 解 , 用 數 學 解 讀 世 界 , 能 提 出 多 元 思 考 、 關懷 弱 勢 族 群 的 用 意 , 似 乎 讓 這 群 小 學 生 很 困 惑 , 這 和 數 學 ( 課 ) 有 什 麼 關 係 ?後 續 的 家 人 訪 談 數 據 , 本 以 為 每 個 學 生 訪 談 10 人 , 每 個 學 生 就 有 自 己 家 族 ( 關 於 教 育 、收 入 、 疾 病 、 家 用 電 腦 、 手 機 等 社 經 地 位 ) 的 平 均 數 , 然 後 彙 整 全 班 , 自 己 的 平 均 和 全 班的 平 均 相 比 , 呈 現 相 同 或 不 同 趨 勢 , 原 因 為 何 ? 是 否 每 個 學 生 的 親 戚 和 全 班 的 親 戚 的 社 經地 位 是 屬 於 「 同 質 性 」, 中 產 階 級 或 中 高 社 經 地 位 。 這 部 分 問 卷 , 因 為 家 長 反 應 這 是 屬 於「 個 資 」 有 隱 私 性 , 不 便 透 露 , 且 現 在 都 是 小 家 庭 , 要 訪 談 10 位 親 戚 , 不 太 可 能 , 而 難 產 。不 過 , 這 是 否 也 反 應 台 灣 家 族 成 員 的 關 係 並 未 透 過 科 技 的 發 達 ( 台 灣 是 IC 王 國 ) 而 更 緊 密 。教 學 模 組 二 ( 衛 生 紙 省 錢 大 作 戰 ): 學 生 一 致 不 假 思 索 地 說 98 元 是 最 便 宜 的 。 然 後 我們 重 新 討 論 和 定 義 「 最 便 宜 」。 得 到 的 結 論 是 : 花 最 少 的 錢 , 買 到 最 多 。 所 以 ,98 元 雖 然是 所 有 學 習 單 上 價 格 最 低 的 , 但 是 , 並 未 符 合 我 們 一 般 對 「 最 便 宜 」 的 定 義 ,98 元 可 能 只有 6 包 ,138 元 可 能 有 10 包 , 比 較 單 包 價 格 有 可 能 總 價 高 的 反 而 便 宜 。 所 以 , 全 班 進 行 討 論 ,要 決 定 「 最 便 宜 」 必 須 知 道 哪 些 條 件 ? 經 過 多 次 的 討 論 、 去 店 家 抄 寫 和 計 算 , 班 上 得 到 結論 : 衛 生 紙 可 分 成 抽 取 和 平 版 二 種 類 、 各 種 不 同 的 品 牌 、 不 同 的 包 數 ( 一 串 )、 張 / 抽 數 、面 積 各 家 也 稍 微 不 同 、 價 格 更 是 不 一 致 、 相 同 的 品 牌 在 台 東 不 同 的 賣 場 ( 全 家 、 全 聯 、 東農 、 統 一 超 商 ) 有 不 同 的 包 裝 ( 數 )、 價 格 、 張 數 / 抽 數 。如 何 將 這 些 繁 雜 的 資 料 彙 整 、 比 較 呢 ? 研 究 者 教 小 學 生 將 所 收 集 到 的 資 料 , 輸 入EXCEL, 將 平 版 和 抽 取 分 類 , 分 開 比 , 其 它 的 電 腦 會 按 照 排 序 , 顯 示 我 們 想 要 的 順 序 。 回到 最 初 的 問 題 , 如 何 算 出 「 最 便 宜 」 的 衛 生 紙 ? 討 論 後 得 到 公 式 : 每 元 可 買 到 的 面 積 , 最多 的 最 便 宜 。 學 生 分 組 用 計 算 機 計 算 並 記 錄 。 等 答 案 揭 曉 , 研 究 者 示 範 學 生 如 何 運 用 科 技當 成 輔 助 工 具 協 助 計 算 , 算 完 最 後 設 定 的 欄 位 ( 每 元 的 面 積 ) 一 格 , 滑 鼠 一 拉 , 全 部 都 算完 了 。 學 生 不 禁 罵 我 們 騙 他 們 一 個 一 個 慢 慢 算 , 為 何 不 早 點 說 ? 我 們 想 讓 學 生 體 會 電 腦 軟體 雖 然 很 方 便 , 但 是 , 之 間 的 邏 輯 要 先 推 論 出 來 , 導 出 公 式 ( 總 價 格 / 總 包 數 * 張 數 * 面 積 =每 元 可 買 到 的 面 積 ), 否 則 電 腦 也 不 會 自 動 幫 你 算 。最 後 , 我 們 還 討 論 到 「 便 宜 」 和 「 經 濟 實 惠 」 的 定 義 。 雖 然 價 格 很 便 宜 ( 低 ), 但 是若 品 質 很 差 , 其 實 反 而 會 用 更 多 , 不 見 得 更 「 省 」, 或 製 造 的 過 程 廠 商 不 願 減 少 環 境 污 染 ,雖 然 個 人 可 以 付 出 比 較 少 的 錢 購 買 , 但 是 對 整 體 環 境 的 傷 害 , 亦 即 全 體 國 民 付 出 的 隱 藏 性代 價 ( 如 健 康 ), 都 是 要 納 入 考 量 的 , 不 能 從 單 一 面 向 來 看 。 而 且 , 因 為 「 便 宜 」, 有 可能 過 渡 消 費 , 對 個 人 和 環 境 的 健 康 可 能 不 利 , 表 面 上 的 「 便 宜 」, 並 不 等 於 「 經 濟 實 惠 」,省 更 多 , 對 誰 省 等 議 題 。二 位 學 生 教 師 的 部 分 , 則 進 一 步 用 方 程 式 : Y( 面 積 )= m( 斜 率 )* x( 價 格 )+b( 截 距 ) 算出 各 個 大 賣 場 的 各 種 品 牌 和 包 裝 , 是 否 廠 商 賣 貴 與 否 。教 學 模 組 三 ( 擦 手 紙 比 一 比 ): 方 法 和 模 組 二 類 似 , 先 請 學 生 作 市 場 調 查 , 得 到 品 牌 、包 裝 、 價 格 、 張 數 、 每 張 面 積 、 不 同 商 家 的 價 格 , 算 出 每 元 可 買 面 積 , 以 及 市 售 平 均 擦 手紙 的 面 積 大 小 。 小 朋 友 的 手 平 均 比 大 人 小 , 而 小 朋 友 的 尺 寸 要 如 何 得 知 呢 ? 透 過 實 作 , 本研 究 的 學 生 利 用 早 自 習 、 午 休 、 課 外 活 動 時 間 為 學 校 一 年 級 ~ 六 年 級 , 每 年 級 抽 樣 2 班 ,讓 所 抽 樣 的 學 生 在 手 掌 上 塗 上 有 色 顏 料 , 左 、 右 手 各 壓 在 乾 淨 的 擦 手 紙 上 , 過 程 中 同 學 要分 工 , 說 明 活 動 如 何 進 行 ( 手 要 如 何 壓 、 如 何 依 序 排 隊 進 行 、 完 了 如 何 洗 手 、 擦 手 等 注 意229
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究事 項 )、 顏 料 要 如 何 塗 才 不 會 太 乾 或 太 濕 、 哪 一 班 要 用 那 個 顏 色 ( 調 色 概 念 )、 如 何 指 導 各班 同 學 壓 出 有 用 ( 清 楚 ) 的 手 紋 、 如 何 拿 走 壓 過 還 濕 濕 的 紙 、 快 速 排 上 空 白 的 紙 、 在 每 班的 成 品 空 白 處 寫 上 班 級 註 記 、 換 水 等 。 等 晾 乾 了 , 取 左 右 手 的 最 大 面 積 、 紀 錄 、 再 登 錄 EXCEL,然 後 算 出 每 一 班 、 每 一 年 級 、 全 校 的 平 均 。 建 議 廠 商 應 該 設 計 母 子 包 , 不 只 可 幫 民 眾 省 錢 ,也 可 減 少 紙 張 面 積 的 使 用 , 連 帶 紙 漿 、 原 木 的 使 用 , 為 環 保 盡 一 份 心 力 。二 位 學 生 教 師 的 部 分 , 則 進 一 步 用 標 準 差 ( 正 負 1.5) 的 統 計 概 念 , 算 出 可 建 議 廠 商 兒童 適 用 的 擦 手 紙 面 積 。教 學 模 組 四 ( 刷 牙 浪 費 的 水 ): 討 論 的 結 果 , 學 生 認 為 需 要 知 道 : 刷 牙 時 間 ( 可 計 時 )、真 正 用 掉 的 水 ( 可 用 漱 口 杯 或 量 杯 量 )、 刷 牙 時 間 水 龍 頭 一 直 開 流 掉 的 水 、 水 流 量 、 牙 膏成 份 ( 泡 泡 多 和 無 泡 泡 ) 和 牙 膏 量 等 , 是 可 能 要 考 慮 或 知 道 的 條 件 , 才 能 往 下 計 算 。 因 為教 學 時 間 有 限 , 我 們 統 一 將 水 流 浪 開 最 大 、 先 擠 完 牙 膏 和 準 備 好 裝 滿 500CC 的 水 杯 數 個 、計 時 開 始 、 將 水 龍 頭 的 水 接 到 水 桶 , 學 生 則 刷 牙 、 漱 口 直 至 結 束 , 計 時 人 員 必 須 計 時 , 同時 水 龍 頭 的 水 管 必 須 離 開 水 桶 , 最 後 測 量 全 部 的 水 ( 水 桶 ), 減 去 用 掉 的 水 , 即 是 「 浪 費的 水 」。 算 用 掉 的 水 時 , 學 生 必 須 記 得 幾 杯 , 減 去 剩 下 的 水 = 真 的 用 掉 的 水 。 水 桶 的 水 可用 不 同 的 量 杯 測 量 , 量 杯 有 1000cc,500cc, 250cc, 100cc, 10cc 等 不 同 大 小 尺 寸 。研 究 發 現 , 學 生 對 水 量 的 估 測 的 數 感 普 遍 缺 乏 , 當 水 量 少 於 1000cc 時 , 不 清 楚 要 適 時地 用 哪 一 種 量 杯 測 量 會 符 合 科 學 的 精 神 最 「 精 確 」。 顯 示 , 動 手 作 的 經 驗 不 比 動 腦 想 豐 富 。數 學 態 度 問 卷 : 前 測 顯 示 大 多 數 的 孩 子 不 喜 歡 數 學 , 認 為 數 學 的 本 質 就 是 計 算 、 解 題 、有 固 定 答 案 , 數 學 除 了 一 些 基 本 的 運 算 買 東 西 會 用 到 時 , 對 生 活 大 多 是 無 關 的 。 此 外 , 也悲 觀 地 認 為 學 數 學 的 目 的 多 數 認 為 因 為 和 成 績 、 升 學 有 關 , 父 母 、 老 師 希 望 他 們 學 。 只 有少 數 1-2 位 例 外 , 這 可 能 和 其 導 師 ( 數 學 老 師 ) 的 教 學 風 格 有 關 。 後 測 , 改 變 最 大 的 信 念 是數 學 和 生 活 有 關 係 , 只 是 老 師 都 不 太 這 麼 教 。 本 研 究 一 學 期 的 活 動 雖 然 讓 學 生 覺 得 數 學 「 有用 」, 可 協 助 思 考 , 讓 想 法 更 仔 細 外 , 似 乎 還 無 法 撼 動 大 多 數 學 生 不 喜 歡 數 學 的 頑 固 信 念 。二 位 學 生 教 師 對 數 學 建 模 從 不 懂 、 不 知 要 如 何 設 計 教 學 、 要 問 什 麼 題 目 , 逐 漸 到 期 末比 較 能 理 解 , 是 一 個 漫 長 的 訓 練 過 程 。 他 們 對 數 學 本 質 的 信 念 還 是 無 法 改 變 , 因 為 師 培 的經 驗 無 法 讓 他 們 連 結 到 研 究 者 的 研 究 理 念 和 較 新 數 學 教 育 研 究 方 向 , 例 如 探 究 教 學 、 建 構理 念 、 不 斷 修 正 教 學 模 組 ( 學 生 教 師 會 覺 得 不 解 和 挫 折 , 為 何 一 次 不 能 到 位 ) 等 。五 、 討 論 和 建 議我 問 ( 大 、 小 ) 學 生 , 他 們 是 否 有 原 住 民 的 同 學 或 朋 友 ? 雖 然 不 多 , 但 是 有 ( 其 實 可以 問 : 為 何 不 多 ?)。 我 再 問 : 他 們 的 朋 友 或 同 學 即 使 是 原 住 民 , 好 像 和 學 習 單 上 的 統 計數 字 不 一 樣 , 為 什 麼 ? 沒 有 人 回 答 得 出 來 。 這 群 孩 子 是 在 台 東 , 台 灣 最 多 元 族 群 的 地 方 ,鄉 土 教 育 、 多 元 文 化 教 育 似 乎 沒 有 和 數 學 課 當 過 「 朋 友 」。 這 點 值 得 我 們 深 思 !數 學 素 養 可 透 過 建 模 培 養 , 衛 生 紙 、 擦 手 紙 、 刷 牙 的 活 動 模 組 證 明 了 小 學 生 可 以 有 數學 建 模 的 能 力 , 如 果 我 們 給 予 時 間 、 情 境 、 主 題 、 孕 育 教 室 中 數 學 規 範 ( 可 用 計 算 機 、 可犯 錯 、 可 討 論 、 可 修 改 、 老 師 也 不 見 得 都 會 …)。 但 是 , 我 想 在 此 呼 籲 , 數 學 素 養 (mathemacy)是 數 學 (mathematics)+ 讀 寫 能 力 (literacy) 的 組 合 , 而 用 數 學 閱 讀 世 界 ( 生 活 周 遭 事 物 )的 能 力 , 光 有 數 學 能 力 是 不 足 的 。230
李 秀 妃 用 數 學 解 讀 世 界 : 台 東 小 學 生 建 模 能 力 探 究參 考 文 獻陳 冠 州 & 游 詩 憶 (2007)。 建 模 導 向 師 資 培 育 模 式 與 實 施 — 以 國 小 數 學 建 模 活 動 設 計 工 作 坊為 例 。 台 灣 數 學 教 師 電 子 期 刊 ,11 期 , 頁 33-47。English, Lyn D. (2007) Interdisciplinary modelling in the primarymathematics curriculum. In Watson, Jane and Beswick, Kim, Eds.Proceedings 30th Mathematics Education Research Group ofAustralasia Annual Conference, pages pp. 275-284, Hobart.Lesh, R.A., Kelly, A.E., & Yoon, C. (2008). Multitiered design experiments in matheamtics,science, and technology education. In A.E. Kelly, R.A. Lesh, & J.Y. Baek (Eds.), Handbookof design research methods in education: Innnovations in science, technology, engineering,and mathematics learning and teaching. New York, NY: Routledge.Lesh, R.A., English, L.Y., Lesh, R., & Goldin, G. (2003). Mathematical thinking and learning,special issue: Models and modeling perspectives.Lesh, R.A. & Lehrer, R. (2003). Models and modeling perspectives on the development ofstudents and teachers. In R.A. Lesh, L.Y. English, R. Lesh, & G.Lesh, R. & English, L.D. (2005). Trends in the evoluation of models & modeling perspectives onmathematical learning and problem solving. ZDM, 37(6), 487-489.231
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php232
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響Chinese Ancient Mathematical Education Influenced on Japanese Mathematical Schoolof SekiTakakazu,Edo Period,Japan計 畫 編 號 :NSC 98-2511-S-327-001-MY3計 畫 主 持 人 : 劉 伯 雯執 行 機 構 : 國 立 高 雄 第 一 科 技 大 學應 用 日 語 系計 畫 共 同 主 持 人 : 張 澔中 英 文 摘 要 及 關 鍵 詞本 研 究 查 證 了 在 日 本 被 稱 為 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 的 蘇 州 碼 子 , 以 及 一 同 流 傳 的 「 格 子 乘 法 」, 從 中 國 由兩 種 途 徑 傳 播 至 日 本 的 過 程 。貣 源 於 阿 拉 伯 的 「 格 子 乘 法 」 傳 入 中 國 後 , 成 為 「 寫 算 ( 鋪 地 錦 )」, 我 們 稱 之 為 東 傳 。 相 對 的 ,傳 至 歐 洲 成 為 「 納 皮 爾 的 骨 頭 」, 然 後 再 傳 入 中 國 成 為 「 籌 策 」, 我 們 稱 之 為 西 傳 。 兩 者 幾 乎 在 同 時 間傳 入 日 本 。 其 中 , 東 傳 的 部 分 , 影 響 以 關 孝 和 (1642/5?-1708) 為 首 的 數 學 家 最 深 。 東 傳 的 過 程 中 ,除 了 《 算 法 統 宗 》( 程 大 位 ,1592 年 ) 以 外 ,《 指 明 算 法 》( 夏 源 澤 ,1439 年 ?) 也 扮 演 非 常 重 要 的 角 色 。不 過 現 存 的 『 指 明 算 法 』 幾 乎 都 存 放 在 台 灣 , 由 此 可 得 知 台 灣 對 於 日 本 數 學 史 的 貢 獻 。另 一 方 面 , 西 傳 的 數 學 , 受 到 醫 學 家 、 兵 學 家 的 採 用 。 但 是 這 兩 者 交 流 少 , 使 用 的 術 語 也 不 同 。這 是 由 於 關 學 派 被 「 勘 定 方 」 的 武 士 、 以 及 幕 府 後 期 富 農 們 學 習 吸 收 , 西 洋 數 學 則 流 傳 於 謂 稱 醫 學 家 、軍 事 家 等 「 番 方 」( 戰 士 ) 的 武 士 之 間 , 一 般 認 為 貣 因 於 兩 者 社 會 階 級 不 同 的 緣 故 。關 鍵 詞 :「 格 子 乗 算 」、「 籌 策 」、 関 孝 和 、 近 世 日 本英 文 摘 要 及 關 鍵 詞In this studies, we researched that the “Lattice multiplication” was introduced by two ways from China toJapan through the Suzhou numerals’ study, which was called “Dutch numerals” in Japan.The origin of the “Lattice multiplication” was in Arabia, then it was introduced to China, it became the“Xiesuan” (or “Pudijin”) , we call it the Eastern way. In the other hand, it introduced to Europe, then itbecame Napier's bones. We call it the Western way. Napier's bones were also introduced to China, thenthese two ways introduced into Japan at the same time.233
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響Seki Takakazu (1642/5?-1708) used the Eastern way, by the mathematical art of “Suanfa Tongzong”(Cheng Dawei, 1592) and the “Zhiming Suanfa” (Xia Yuanze, 1439?). Most of edition of the “ZhimingSuanfa” were remained in Taiwan, that is to say, Taiwan was one of the most important area for transmittingmathematics to Japan.Japanese medical scientists and military scientists used the Western way. But there were few exchangebetween Japanese mathematicians and Japanese medical scientists in Japan. Japanese mathematicians wereSamurai accountant or rich famers, but Japanese medical scientists and military scientists were Samuraiwarrior. In other words, their social status was not the same, there were few exchange between Japanesemathematicians and Japanese medical scientists.Key Words: Lattice multiplication, Napier's bones, Seki Takakazu, the Edo period in Japan234
報 告 內 容劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響( 一 ) 前 言日 本 近 世 數 學 的 確 立 受 到 中 國 數 學 的 影 響 , 這 是 不 爭 的 事 實 。 但 是 ,16 世 紀 中 國 數 學 傳 入 日 本 時 ,以 宋 元 朝 的 「 天 元 術 」 為 主 的 數 學 和 使 用 中 國 南 方 算 盤 的 商 業 數 學 、 以 及 西 洋 數 學 幾 乎 同 時 傳 入 日 本 。因 此 , 關 孝 和 (1642/5?-1708) 學 派 的 數 學 是 基 於 何 種 數 學 發 展 而 成 的 這 一 部 分 , 有 必 要 嚴 格 區 分 研究 。關 於 本 研 究 背 景 , 以 跨 領 域 研 究 的 必 要 性 做 為 探 討 依 據 。 雖 然 從 以 前 到 現 在 的 數 學 研 究 都 有 不 錯成 果 , 但 僅 從 「 內 部 史 」 的 研 究 , 對 整 個 數 學 教 育 應 用 上 , 及 其 對 社 會 的 影 響 不 易 被 指 岀 。 因 此 本 研究 從 東 亞 的 國 際 觀 為 出 發 點 , 以 日 本 數 學 為 探 討 的 對 象 , 考 察 日 本 數 學 教 育 之 發 展 為 日 本 近 代 化 所 帶來 的 影 響 。 綜 合 以 上 動 機 , 本 研 究 首 先 考 察 中 國 數 學 典 範 是 否 因 南 北 而 有 所 差 異 。 又 在 中 國 數 學 典 範傳 承 到 日 本 過 程 中 , 台 灣 在 此 是 否 有 所 貢 獻 , 以 出 版 數 學 書 的 變 遷 加 以 證 實 。 加 之 、 研 究 者 重 視 中 日數 學 工 具 的 算 盤 、 中 國 南 方 ・ 台 灣 等 流 行 的 「 蘇 州 碼 子 」。 雖 然 算 盤 是 初 等 數 學 工 具 、「 蘇 州 碼 子 」是 民 間 數 字 、 一 般 數 學 史 研 究 不 重 視 算 盤 、 但 以 數 學 教 育 的 角 度 來 看 、 其 對 社 會 影 響 力 頗 大 。 可 以 驗證 傳 播 中 國 數 學 典 範 的 過 程 。( 二 ) 研 究 目 的希 望 藉 此 研 究 , 能 比 其 他 調 查 對 象 更 加 了 解 透 過 數 學 傳 播 的 過 程 及 其 時 間 等 明 確 之 傳 播 狀 況 。 此次 調 查 , 不 僅 調 查 數 學 文 本 , 並 且 依 據 中 日 兩 地 之 田 野 調 查 , 證 實 算 盤 由 中 國 傳 入 日 本 並 加 以 推 廣 普及 。 本 研 究 的 目 的 不 只 是 研 究 數 學 書 的 理 論 、 加 之 「 實 物 」( 算 盤 、「 蘇 州 碼 子 」) 的 數 學 教 育 的 實践 應 用 。( 三 ) 文 獻 探 討日 本 學 士 院 ( 編 )( 藤 原 松 三 郎 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5 巻 、 東 京 : 岩 波 書 店 、 野 間 科 學醫 學 研 究 資 料 館 .雖 然 出 版 已 逾 半 世 紀 , 但 如 今 仍 舊 是 日 本 數 學 史 研 究 的 基 本 文 獻 。 本 研 究 曾 實 地 造 訪 東 北 大 學 附屬 圖 書 館 , 經 由 再 次 調 查 作 者 藤 原 松 三 郎 所 使 用 過 的 古 書 , 得 以 取 得 「 阿 蘭 陀 符 號 」 等 珍 貴 的 史 料 。武 田 楠 雄 (1953)〈 中 國 の 民 衆 數 學 〉《 自 然 》1953-9:57-63.武 田 楠 雄 (1954)〈 明 代 における 算 書 形 式 の 變 遷 〉《 科 學 史 研 究 》26:13-19.明 朝 數 學 史 研 究 的 基 本 論 文 。 將 明 朝 的 數 學 書 分 類 整 理 成 3 個 系 統 , 以 為 現 在 的 研 究 立 下 基 礎 。大 庭 脩 (1967)《 江 戸 時 代 唐 船 持 渡 書 之 研 究 》 關 西 大 學 東 西 學 術 研 究 所研 究 日 本 ・ 江 戸 時 代 (1603-1867) 有 關 長 崎 交 易 記 錄 的 基 本 史 料 。児 玉 明 人 (1970)《 十 六 世 紀 末 明 刊 の 珠 算 書 》 東 京 : 富 士 短 期 大 學 出 版 部 .明 朝 數 學 書 研 究 的 複 刻 本 , 為 明 朝 數 學 史 研 究 的 基 本 資 料 。 中 國 大 陸 即 使 原 始 資 料 也 大 多 將 本 書重 新 複 刻 。 舉 例 來 說 ,《 中 国 科 学 技 術 典 籍 通 彙 》 一 書 也 有 部 分 是 參 考 本 書 而 成 。 有 關 『 指 明 算 法 』的 研 究 雖 有 記 載 , 但 由 於 沒 被 複 刻 , 造 成 後 代 的 研 究 者 研 究 『 指 明 算 法 』 內 容 上 的 困 難 。久 保 田 輝 雄 、 鹿 野 文 (2009)《 播 州 算 盤 》 三 帆 社不 同 於 以 往 數 學 性 質 的 考 察 , 以 播 州 ( 小 野 ) 算 盤 的 生 產 過 程 與 販 賣 過 程 為 研 究 主 體 , 即 所 謂 STS研 究 方 式 。 從 算 盤 的 相 似 點 來 分 析 , 證 明 小 野 算 盤 的 貣 源 不 是 大 津 算 盤 , 而 是 堺 算 盤 。城 地 茂 (2005;2009)《 日 本 數 理 文 化 交 流 史 》 致 良 出 版探 討 日 本 與 中 國 等 東 亞 國 家 的 數 學 交 流 。《 楊 輝 算 法 》(1275 年 ) 與 關 孝 和 的 關 連 性 , 不 只 列 舉 文235
獻 , 也 論 證 了 數 學 內 容 本 身 的 相 似 性 以 及 其 對 中 國 數 學 的 影 響 。 除 此 之 外 , 本 文 亦 探 討 《 楊 輝 算 法 》對 於 籌 ( 算 木 ) 時 代 之 數 學 的 影 響 。劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響( 四 ) 研 究 方 法本 計 畫 實 施 跨 領 域 、 跨 地 域 、 跨 時 間 的 研 究 , 並 進 一 步 證 實 史 料 調 查 的 數 學 書 。 希 望 藉 此 研 究 ,能 比 其 他 調 查 對 象 更 加 了 解 透 過 數 學 傳 播 的 過 程 及 其 時 間 等 明 確 之 傳 播 狀 況 。 並 且 透 過 此 次 調 查 , 不僅 調 查 數 學 文 本 , 並 且 依 據 中 日 兩 地 之 田 野 調 查 及 歐 洲 文 獻 史 料 , 證 實 算 盤 由 中 國 傳 入 日 本 並 且 加 以推 廣 普 及 。由 中 國 數 學 典 範 中 , 中 日 學 者 已 考 察 過 北 中 國 數 學 典 範 。 因 此 本 研 究 進 行 查 證 日 本 數 學 名 教 育 家關 孝 和 的 學 派 ( 關 流 ), 中 國 南 方 數 學 典 範 ,《 楊 輝 算 法 》《 指 明 算 法 》《 算 法 統 宗 》 中 是 哪 部 分 受 到 中 國影 響 。由 此 證 實 日 本 近 畿 地 方 的 中 國 數 學 書 是 如 何 普 及 。 另 外 , 此 研 究 並 非 只 限 於 數 學 文 本 , 還 將 算 盤之 生 產 狀 況 , 透 過 日 本 兵 庫 縣 小 野 市 , 日 本 滋 賀 縣 大 津 市 的 調 查 瞭 解 其 如 何 傳 入 及 流 傳 。此 外 、 不 僅 中 國 傳 統 數 學 、 明 末 清 初 西 洋 天 文 学 也 隨 之 傳 入 、 藉 由 《 曆 算 全 書 》《 三 才 發 秘 》 等 傳到 日 本 。( 五 ) 結 果 與 討 論貣 源 於 阿 拉 伯 的 「 格 子 乘 法 」 傳 入 中 國 後 , 成 為 「 寫 算 ( 鋪 地 錦 )」, 我 們 稱 之 為 東 傳 。 相 對 的 , 傳至 歐 洲 成 為 「 納 皮 爾 的 骨 頭 」, 然 後 再 傳 入 中 國 成 為 「 籌 策 」, 我 們 稱 之 為 西 傳 。 兩 者 幾 乎 在 同 時 間 傳入 日 本 。 其 中 , 東 傳 的 部 分 , 影 響 以 關 孝 和 (1642/5?-1708) 為 首 的 數 學 家 最 深 。 東 傳 的 過 程 中 , 除了 《 算 法 統 宗 》( 程 大 位 ,1592 年 ) 以 外 ,《 指 明 算 法 》( 夏 源 澤 ,1439 年 ?) 也 扮 演 非 常 重 要 的 角 色 。不 過 , 現 存 的 『 指 明 算 法 』 幾 乎 都 存 放 在 台 灣 , 由 此 可 得 知 台 灣 對 於 日 本 數 學 史 的 貢 獻 。另 一 方 面 , 西 傳 的 數 學 , 受 到 醫 學 家 、 兵 學 家 的 採 用 。 但 是 這 兩 者 交 流 少 , 使 用 的 術 語 也 不 同 。這 是 由 於 關 學 派 被 「 勘 定 方 」 的 武 士 、 以 及 幕 府 後 期 的 富 豪 農 們 所 學 習 吸 收 , 西 洋 數 學 則 流 傳 於 謂 稱醫 學 家 、 軍 事 家 等 「 番 方 」( 戰 士 ) 的 武 士 之 間 , 一 般 認 為 貣 因 於 兩 者 社 會 階 級 不 同 的 緣 故 。日 本 的 醫 學 家 、 軍 事 學 家 、 可 以 藉 由 西 洋 科 學 書 籍 的 漢 譯 本 而 獲 得 知 識 。 但 由 於 到 1720 年 為 止 一直 都 被 禁 止 , 因 此 一 開 放 解 禁 就 迅 速 傳 播 開 來 , 但 因 不 是 數 學 的 專 家 , 因 此 將 「 蘇 州 碼 子 」 認 定 為 也是 由 荷 蘭 傳 入 。 但 也 有 認 為 較 有 可 能 是 為 了 提 高 銷 售 初 等 數 學 書 的 數 量 , 而 特 意 使 用 印 象 深 刻 的 名 稱 。由 於 在 日 本 無 法 直 接 向 外 國 人 ( 包 含 中 國 人 ) 學 數 學 , 所 以 藉 由 中 國 數 學 書 學 習 中 國 數 學 。 藉 此 ,可 以 吸 取 從 宋 朝 到 清 朝 各 種 各 樣 具 有 時 代 特 徵 的 數 學 , 南 北 中 國 ( 籌 與 珠 算 ) 兩 者 的 優 點 。 但 另 一 方面 卻 相 繼 產 生 與 中 國 用 語 不 同 的 錯 誤 。是 以 , 若 能 將 數 學 史 上 的 趣 聞 應 用 在 數 學 教 育 上 , 改 善 中 小 學 生 遠 離 數 學 的 情 況 , 筆 者 將 感 到 極大 的 榮 幸 。 此 外 , 為 了 使 成 果 能 公 開 給 國 中 小 教 師 做 參 考 , 本 研 究 已 出 版 專 書 。( 六 ) 成 果 自 評以 往 日 本 近 世 (1603-1867) 數 學 被 認 為 是 由 北 中 國 的 曆 學 為 中 心 的 數 學 傳 入 而 發 展 貣 。 不 過 經 由本 研 究 , 發 現 是 受 到 以 算 盤 為 中 心 的 南 中 國 的 商 業 性 數 學 所 影 響 。 並 且 , 傳 入 日 本 的 數 學 內 容 當 中 ,阿 拉 伯 數 學 也 經 由 中 國 傳 播 到 日 本 , 這 可 以 說 是 從 世 界 文 明 的 觀 點 開 拓 了 新 的 研 究 領 域 。 也 就 是 說 ,阿 拉 伯 的 「 格 子 乘 法 」 傳 入 中 國 , 成 為 「 寫 算 」( 鋪 地 錦 )。 也 就 是 東 傳 。 相 對 於 此 , 傳 入 歐 洲 , 成 為「 納 皮 爾 的 骨 頭 」, 這 就 是 後 來 傳 入 中 國 而 成 為 「 籌 算 」。 稱 之 為 西 傳 。 兩 者 幾 乎 皆 在 同 時 期 傳 入 日 本 ,影 響 以 關 孝 和 (1642/5?-1708) 為 中 心 的 數 學 家 。東 傳 的 過 程 中 ,《 指 明 算 法 》( 夏 源 沢 、1439 年 ?) 扮 演 非 常 重 要 的 角 色 , 不 過 現 存 的 《 指 明 算 法 》236
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響幾 乎 存 放 在 台 灣 , 由 此 可 見 台 灣 在 日 本 數 學 史 上 的 貢 獻 。是 以 , 若 能 將 數 學 史 上 的 趣 聞 應 用 在 數 學 教 育 上 , 改 善 中 小 學 生 遠 離 數 學 的 情 況 , 筆 者 將 感 到 極大 的 榮 幸 。 此 外 , 為 了 使 成 果 能 公 開 給 國 中 小 教 師 做 參 考 , 本 研 究 已 出 版 專 書 。參 考 文 獻John Napier (1617; 1990) Rabdology. Trs. by William Frank Richardson; Intr. by Robin E. Rider. MITPress.陳 雯 (1697;1997)《 三 才 發 秘 》 台 北 : 集 文 書 局 .陳 雯 ( 畊 山 )、 石 橋 菊 子 ( 譯 )(1697; 1936; 1972)《 三 才 發 秘 : 新 譯 》 京 都 : 學 而 堂 書 店 、3 巻 .堀 田 正 敦 ( 他 編 )(1799)、 高 柳 光 寿 ( 他 編 )(1964-1967)《 寛 政 重 修 諸 家 譜 》26 巻 , 續 群 書 類 從 完 成會 .田 畑 吉 正 (1809)《 斷 家 譜 》、 齋 木 一 馬 ・ 岩 澤 愿 彦 ( 校 注 )(1969;1979) 續 群 書 類 從 完 成 會 .遠 藤 利 貞 (1896; 1918, 1960, 1981).《 増 修 日 本 數 學 史 》 東 京 : 恒 星 社 厚 生 閣 .三 上 義 夫 (1947;1984;1999)《 文 化 史 上 より 見 たる 日 本 の 數 學 》 東 京 : 創 元 社 . 2 版 恒 星 社 厚 生 閣 .3版 岩 波 書 店 .三 上 義 夫 (1932)〈 關 孝 和 傳 記 の 新 研 究 の 概 要 〉《 東 京 物 理 學 校 雑 誌 》488(1932 年 ):311-317,489(1932 年 ):340-347,490(1932 年 ):385-394.李 儼 (1925;1954)〈 中 算 輸 入 日 本 的 經 過 〉《 東 方 雑 誌 》1925-18:82-88. 李 儼 (1933;1954) 所 收 .李 儼 (1928;1954)〈 永 樂 大 典 算 書 〉《 圖 書 館 學 季 刊 》1928-2:189-195. 李 儼 (1933;1954) 所 收 .李 儼 (1930;1954)〈 宋 楊 輝 算 書 考 〉《 圖 書 館 學 季 刊 》1930-1:1-21. 李 儼 (1933;1954) 所 收 .李 儼 (1933-47; 1954-5)《 中 算 史 論 叢 》4 巻 . 上 海 : 商 務 印 書 館 , 北 京 : 科 學 出 版 社 .李 儼 (1958;1998)〈《 銅 陵 算 法 》 的 介 紹 〉《 安 徽 歴 史 學 報 》2:8-18、 李 儼 ・ 錢 寶 琮 (1998)vol.10:362-373.李 儼 ・ 杒 石 然 (1976)《 中 國 數 學 簡 史 》 香 港 : 商 務 印 書 館 香 港 分 館 .李 儼 ・ 錢 寶 琮 ( 郭 書 春 ・ 劉 鈍 ( 編 ))(1998)《 李 儼 ・ 錢 寶 琮 科 學 史 全 集 》10 巻 、 瀋 陽 : 遼 寧 教 育 出 版社 .小 倉 金 之 助 (1935-1948)《 數 學 史 研 究 》2 巻 . 東 京 : 岩 波 書 店 .林 鶴 一 (1937)《 林 鶴 一 博 士 和 算 研 究 集 録 》2 巻 . 東 京 : 東 京 開 成 館 .能 田 忠 亮 (1940)〈 新 寫 譯 本 曆 算 全 書 に 就 て〉《 東 洋 史 研 究 》5(2): 147-150.細 井 淙 (1941)《 和 算 思 想 の 特 質 》 東 京 : 共 立 社 .和 田 信 三 郎 (1941; 1994)《 中 川 淳 庵 先 生 》 京 都 : 立 命 館 出 版 社 、 大 空 社 .薮 内 清 ( 編 )(1944)《 支 那 數 學 史 》 京 都 : 山 口 書 店 .薮 内 清 ( 編 )(1970)《 明 清 時 代 の 科 學 技 術 史 》 京 都 : 京 都 大 學 人 文 科 學 研 究 所 .薮 内 清 ( 編 )(1980)《 中 國 天 文 學 ・ 數 學 集 》 東 京 : 朝 日 出 版 社 .藤 原 松 三 郎 (1944)〈 宋 元 明 數 學 の 史 料 〉《 帝 國 學 士 院 記 事 》3-1:167-193. 藤 原 松 三 郎 先 生 數 學 史 論 文刊 行 會 ( 編 )《 東 洋 數 學 史 への 招 待 》231-257 所 收 。日 本 學 士 院 ( 編 )( 藤 原 松 三 郎 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5 巻 . 東 京 : 岩 波 書 店 、 野 間 科 學 醫學 研 究 資 料 館 .武 田 楠 雄 (1953)〈 中 國 の 民 衆 數 學 〉《 自 然 》1953-9:57-63.武 田 楠 雄 (1954)〈 明 代 における 算 書 形 式 の 変 遷 〉《 科 學 史 研 究 》26:13-19.武 田 楠 雄 (1954)〈 明 代 數 學 の 特 質 Ⅰ 算 法 統 宗 成 立 の 過 程 〉《 科 學 史 研 究 》28:1-12.武 田 楠 雄 (1954)〈 明 代 數 學 の 特 質 Ⅱ 算 法 統 宗 成 立 の 過 程 〉《 科 學 史 研 究 》29:8-18.237
武 田 楠 雄 (1955)〈 天 元 術 喪 失 の 諸 相 明 代 數 學 の 特 質 Ⅲ〉《 科 學 史 研 究 》34:12-22.武 田 楠 雄 (1955)〈 東 西 16 世 紀 商 算 の 対 決 (1)〉《 科 學 史 研 究 》36:17-22.武 田 楠 雄 (1956)〈 東 西 16 世 紀 商 算 の 対 決 (2)〉《 科 學 史 研 究 》38:10-16.武 田 楠 雄 (1957)〈 東 西 16 世 紀 商 算 の 対 決 (3)〉《 科 學 史 研 究 》39:7-14.武 田 楠 雄 (1967)〈 中 國 の 數 學 - 世 界 史 的 視 野 にたって-〉《 數 學 史 研 究 》5-2:1-39.Needham,J. (1954-)Science and Civilizatoin in China. Cambridge: Cambridge University Press.猿 渡 盛 厚 (1956)《 武 州 府 中 物 語 》34,35,36, 東 京 : 大 國 魂 神 社 社 務 所 .平 山 諦 (1959;1974)《 關 孝 和 》 恒 星 社 厚 生 閣 .平 山 諦 (1993)《 和 算 の 誕 生 》 東 京 : 恒 星 社 厚 生 閣 .平 山 諦 ・ 阿 部 樂 方 (1983)《 方 陣 の 研 究 》 大 阪 : 大 阪 教 育 出 版 .平 山 諦 ・ 下 平 和 夫 ・ 広 瀬 秀 夫 ( 編 )(1974)《 關 孝 和 全 集 》 大 阪 : 大 阪 教 育 圖 書 .村 本 喜 代 作 (1963)《 關 孝 和 と 内 山 家 譜 考 》 東 京 : 内 山 商 事 。鈴 木 久 男 (1964)《 珠 算 の 歴 史 》 東 京 : 富 士 短 期 大 學 出 版 部 .鈴 木 久 男 (1970)〈 古 そろばん 考 〉《 國 士 舘 大 學 政 經 論 叢 》13:235-266。戸 谷 清 一 (1960)〈 混 帰 法 と 指 明 算 法 〉《 和 算 研 究 》7:40-44.下 平 和 夫 (1965-1970)《 和 算 の 歴 史 》 上 ・ 下 、 東 京 : 富 士 短 期 大 學 出 版 部 .厳 敦 傑 (1966;1985)〈 宋 楊 輝 算 書 考 〉 錢 寶 琮 ( 他 編 )《 宋 元 數 學 史 論 文 集 》 北 京 : 科 學 出 版 社 :.厳 敦 傑 (1987)〈 抜 重 新 發 現 之 《 永 樂 大 典 》 算 書 〉《 自 然 科 學 史 研 究 》4-1:1-19.児 玉 明 人 (1966)《 十 五 世 紀 の 朝 鮮 刊 銅 活 字 版 數 學 書 》 東 京 : 富 士 短 期 大 學 出 版 部 .児 玉 明 人 (1970)《 十 六 世 紀 末 明 刊 の 珠 算 書 》 東 京 : 富 士 短 期 大 學 出 版 部 .堺 市 ( 編 )( 小 葉 田 淳 )(1971-76)《 堺 市 史 續 編 》 堺 : 堺 市 役 所 。新 宿 區 史 編 集 委 員 會 ( 編 )(1967)《 新 修 新 宿 區 史 》 東 京 : 新 宿 區 史 編 集 委 員 會 .金 容 雲 ・ 金 容 局 (1978)《 韓 國 數 學 史 》 東 京 : 槙 書 店 .鈴 木 そろばん 博 物 館 ( 編 )( 鈴 木 俊 夫 )(1978;1979;1993)《 古 そろばんの 考 證 名 古 屋 そろばん 考 》名 古 屋 : 鈴 木 そろばん 博 物 館 。范 文 瀾 ( 他 )(1978;2008)《 中 國 通 史 》 北 京 : 人 民 出 版 社 。山 田 悦 郎 (1979)〈 關 孝 和 に 關 する 3 つの 新 資 料 〉《 和 算 》25:6-7.大 矢 真 一 (1980)《 和 算 以 前 》 東 京 : 中 央 公 論 社 .呉 文 俊 ( 編 )(1982)《〈 九 章 算 術 〉 與 劉 徽 》 北 京 : 北 京 師 範 大 學 出 版 社 .小 林 龍 彦 ・ 田 中 薫 (1982)〈 關 孝 和 と 新 井 白 石 〉《 數 學 史 研 究 》94:1-7.小 林 龍 彦 (1990)〈 石 田 玄 圭 の 曆 學 と《 曆 算 全 書 》〉《 數 學 史 研 究 》124: 1-9.小 林 龍 彦 (1990)〈〈 曆 算 全 書 〉の 三 角 法 と〈 崇 禎 曆 書 〉の 割 圓 八 線 之 表 の 傳 來 について〉《 科 學史 研 究 》174: 83-92.小 林 龍 彦 (2002)〈 紅 葉 山 文 庫 に 收 蔵 される 梅 文 鼎 の 著 作 について〉《 科 學 史 研 究 》221: 26-34.小 林 龍 彦 (2011)〈 曆 算 全 書 の 訓 點 和 譯 と 序 文 について〉《 科 學 史 研 究 》259: 174-178.白 尚 恕 (1983) 《 九 章 算 術 注 釋 》 北 京 : 科 學 出 版 社 .鈴 木 寿 ( 校 訂 )(1984)《 御 家 人 分 限 帳 》 年 , 東 京 : 近 藤 出 版 社 .李 迪 、 白 尚 恕 (1985)〈 康 熙 年 間 制 造 的 手 搖 計 算 器 〉 呉 文 俊 ( 編 )《 中 國 數 學 史 論 文 集 ( 一 )》 済 南 :山 東 教 育 出 版 社 :52-57。劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響中 外 數 學 簡 史 編 寫 組 ( 編 )(1986)《 中 國 數 學 簡 史 》 済 南 : 山 東 教 育 出 版 社 。朝 倉 治 彦 ( 監 修 )(1986)《 江 戸 城 下 変 遷 絵 圖 集 》12 巻 , 東 京 : 原 書 房 .華 印 椿 (1987)《 中 國 珠 算 史 稿 》 北 京 : 中 國 財 政 經 済 出 版 社 .238
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響いわき 史 料 集 成 刊 行 會 (1987)《いわき 史 料 集 成 》いわき: いわき 史 料 集 成 刊 行 會郭 書 春 (1988)〈 賈 憲 《 黄 帝 九 章 算 經 細 草 》 初 探 -《 詳 解 九 章 算 法 》 結 構 詴 析 〉)《 自 然 科 學 史 研 究 》7(1988)-4: 328-334.余 寧 旺 ( 他 編 )(1990)《 中 國 珠 算 大 全 》 天 津 : 天 津 科 學 技 術 出 版 社 .城 地 茂 (1993)The Influence of Chinese Mathematical Arts on Seki Kowa. Ph.D Thesis of University ofLondon〃城 地 茂 (1995)〈 和 算 の 源 流 〉《 學 習 評 價 研 究 》 26: 120-129。城 地 茂 (1996)〈 清 代 抄 本 《 諸 家 算 法 》 初 探 〉, 龍 村 倪 ・ 葉 鴻 灑 ( 編 )《 第 四 届 科 學 史 研 討 會 彙 刊 》 台北 : 中 央 研 究 院 科 學 史 委 員 會 ,33-46.城 地 茂 .(1999)〈 江 戸 時 代 日 本 數 學 家 之 思 想 與 幻 方 研 究 〉, 張 嘉 鳳 ・ 劉 君 燦 ( 編 ))《 第 五 届 科 學 史 研討 會 論 文 集 》 台 北 : 中 央 研 究 院 科 學 史 委 員 會 :95-138.城 地 茂 (1999)〈 鶴 亀 算 再 考 〉 王 瑜 生 ・ 趙 慧 芝 ( 編 ))《 第 七 届 國 際 中 國 科 學 史 會 議 論 文 集 》, 大 象 出版 社 :205-211.城 地 茂 (1999)〈 江 戸 時 代 日 本 數 學 家 之 思 想 與 幻 方 研 究 〉, 張 嘉 鳳 ・ 劉 君 燦 ( 編 ))《 第 五 届 科 學 史 研討 會 論 文 集 》 台 北 : 中 央 研 究 院 科 學 史 委 員 會 :95-138.城 地 茂 (2002)〈 楊 輝 算 法 傳 説 再 考 〉《 京 都 大 學 數 理 解 析 研 究 所 講 究 録 》1317:71-79.城 地 茂 (2003)〈 台 湾 における 日 本 統 治 時 代 の 珠 算 教 育 〉《 台 湾 応 用 日 語 研 究 》1:1-24.城 地 茂 (2004)〈 中 田 高 寛 寫 、 石 黒 信 由 蔵 、《 楊 輝 算 法 》について〉《( 京 都 大 學 ) 數 理 解 析 研 究所 講 究 録 》1392:46-59。城 地 茂 (2005;2009)《 日 本 數 理 文 化 交 流 史 》 台 北 : 致 良 出 版 社 .城 地 茂 (2005)〈 關 孝 和 の 旧 居 〉《( 京 都 大 學 ) 數 理 解 析 研 究 所 講 究 録 》1444:73-88。城 地 茂 (2006)〈 關 孝 和 と 山 路 主 住 の 接 點 -〈 甲 府 城 内 御 金 粉 失 役 人 御 仕 置 一 件 〉にみる 關 家 斷 絶 〉《( 京 都 大 學 ) 數 理 解 析 研 究 所 講 究 録 》1513:78-90.城 地 茂 (2006)〈 關 孝 和 の 傳 記 〉《 數 學 のたのしみ》2006 年 夏 :46-66.城 地 茂 (2007)〈 南 中 國 數 學 の 日 本 傳 播 -《 算 法 統 宗 》《 指 明 算 法 》から《 塵 劫 記 》〉《( 京 都 大 學 )數 理 解 析 研 究 所 講 究 録 》1546:1-20.城 地 茂 (2007)〈 瑞 成 書 局 版 《 指 明 算 法 》- 日 本 統 治 時 代 の 台 湾 における 漢 籍 數 學 書 の 出 版 〉《 現代 台 湾 研 究 》32:65-82.城 地 茂 (2009)〈 關 孝 和 の 數 學 と 勘 定 方 の 住 居 -《 楊 輝 算 法 》《 甲 府 様 御 人 衆 中 分 限 帳 》《 御 府 内 沿革 圖 書 》と《 諸 向 地 面 取 調 書 》にみる 幕 臣 の 感 性 〉《( 京 都 大 學 ) 數 理 解 析 研 究 所 講 究 録 》1625:160-178.城 地 茂 (2009)〈 關 孝 和 傳 記 史 料 再 考 - 一 關 博 物 館 蔵 肖 像 畫 ・〈 寛 永 12 年 關 孝 和 略 傳 〉・《 斷 家 譜 》〉《( 大 阪 府 立 大 學 ) 人 間 社 會 學 研 究 集 録 》4:57-75.城 地 茂 (2010)〈 關 孝 和 の 実 母 ・ 湯 淺 家 の 研 究 - 安 藤 家 の《 泰 翁 様 御 代 高 崎 江 戸 給 人 帳 》《 萬 治 元 (1658)年 江 戸 高 崎 給 帳 》〉《 數 理 解 析 研 究 所 講 究 録 》 1677:27-36.城 地 茂 ・ 劉 伯 雯 ・ 張 澔 (2011)〈 宋 元 明 代 數 學 書 と〈 阿 蘭 陀 符 帳 〉- 蘇 州 號 碼 の 日 本 傳 來 〉《 數 理 解析 研 究 所 講 究 録 》1739:128-.137.任 継 愈 ( 他 編 )(1993)《 中 國 科 學 技 術 典 籍 通 彙 》〈 數 學 巻 〉5 巻 ( 郭 書 春 ( 他 編 ) 鄭 州 : 河 南 教 育出 版 社 .鈴 木 久 男 (1993)〈 開 法 -- 塵 劫 記 と 諸 算 記 ( 資 料 )〉《 國 士 舘 大 學 政 經 論 叢 》86:101-115.靖 玉 樹 ( 編 )(1994)《 中 國 歷 代 算 學 集 成 》 済 南 : 山 東 人 民 出 版 社 .田 中 充 (1996)〈 江 戸 時 代 後 期 の 籌 算 について〉《 數 學 史 研 究 》149: 20-34.239
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響新 宿 區 南 山 伏 町 遺 跡 調 査 団 ( 編 )(1997)《 新 宿 區 南 山 伏 町 遺 跡 調 査 報 告 書 》 東 京 : 警 視 庁 .鈴 木 貞 夫 (2000)《 關 孝 和 と 内 山 家 ― 主 として 牛 込 およびその 周 辺 との 關 係 》 自 家 版 ( 新 宿 區 立 中央 圖 書 館 蔵 ).張 二 文 (2002-3)〈 美 濃 土 地 伯 公 的 祭 祀 與 聚 落 的 互 動 ( 上 )( 下 )〉《 國 立 中 央 圖 書 館 台 湾 分 館 館 刊 》8-4:63-81、9-1:99-110。陳 兆 南 (2005)《 台 中 瑞 成 書 局 及 其 歌 仔 冊 研 究 》 逢 甲 大 學 中 國 文 學 系 碩 士 論 文 。藤 原 松 三 郎 先 生 數 學 史 論 文 刊 行 會 ( 編 )(2007)《 東 洋 數 學 史 への 招 待 》 仙 台 : 東 北 大 學 出 版 會 。佐 藤 賢 一 (2003)〈 關 孝 和 を 巡 る 人 々〉《 科 學 史 研 究 》225:49-54.鈴 木 武 雄 (2004)《 和 算 の 成 立 》 東 京 : 恒 星 社 厚 生 閣 .磐 城 平 藩 主 安 藤 家 入 部 二 五 〇 年 記 念 事 業 実 行 委 員 會 (2006)《 磐 城 平 藩 と 安 藤 家 展 》いわき 市 : 磐 城平 藩 主 安 藤 家 入 部 二 五 〇 年 記 念 事 業 実 行 委 員 會 .佐 藤 健 一 ・ 真 島 秀 行 ( 編 )(2008)《 關 孝 和 の 人 と 業 績 》 東 京 : 研 成 社 .久 保 田 輝 雄 ・ 鹿 野 文 (2009)《 播 州 算 盤 》 寶 塚 : 三 帆 舎 。真 島 秀 行 (2009)〈 關 孝 和 三 百 年 祭 に 明 らかになったこと〉( 關 孝 和 三 百 週 年 紀 念 後 變 得 明 確 之 事 )《 數 學 史 研 究 》200:5-15.真 島 秀 行 (2009)〈 關 新 助 孝 和 のある 甲 府 分 限 帳 の 記 載 について〉 日 本 數 學 史 學 會 創 立 50 周 年 記 念講 演 會 .大 分 縣 立 先 哲 史 料 館 ( 編 )(2008-10)《 前 野 良 澤 資 料 集 》、 全 3 巻 、 大 分 : 大 分 縣 教 育 委 員 會 .240
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響附 表 一國 科 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 移 地 研 究 心 得 報 告計 畫 編 號 NSC 98 – 2511 – S – 327 – 001 - MY3計 畫 名 稱出 國 人 員姓 名出 國 時 間中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響劉 伯 雯101 年 7 月 5 日 至101 年 7 月 13 日服 務 機 構及 職 稱出 國 地 點日 期 : 年 月 日國 立 高 雄 第 一 科 技 大 學 應 用 日 語 系副 教 授日 本 ・ 仙 台 、 白 井 ( 千 葉 縣 )、 名 古 屋 、堺 、 廣 島 、 下 關一 、 移 地 研 究 過 程本 研 究 計 畫 原 本 預 定 於 荷 蘭 調 查 , 不 過 後 來 在 研 究 進 入 第 二 年 時 發 現 「 阿 蘭 陀 符 號 」 並 非 經 由 荷蘭 傳 入 , 而 是 經 由 中 國 傳 入 , 同 時 瞭 解 到 是 隨 著 主 要 使 用 中 國 南 方 算 盤 的 商 業 數 學 傳 入 。 因 此 決 定 針對 日 本 近 世 的 算 盤 展 開 研 究 調 查 。 民 國 100 年 5 月 11 日 , 由 全 國 珠 算 連 盟 所 創 辦 的 白 井 算 盤 博 物 館 於千 葉 縣 白 井 市 開 館 的 關 係 , 係 在 此 地 進 行 了 日 本 近 世 古 算 盤 的 實 物 調 查 。 此 外 , 為 了 進 行 文 獻 調 查 ,並 在 宮 城 縣 仙 台 市 的 東 北 大 學 附 屬 圖 書 館 中 進 行 了 調 查 , 且 在 名 古 屋 市 立 博 物 館 中 針 對 自 鈴 木 算 盤 博物 館 ( 舊 ) 接 管 過 來 的 古 算 盤 進 行 調 查 。 另 外 , 在 近 世 以 及 近 世 以 前 曾 經 為 日 本 貿 易 港 的 大 阪 府 堺 市 、廣 島 縣 廣 島 市 、 山 口 縣 下 關 市 等 地 也 展 開 算 盤 的 實 地 調 查 。二 、 研 究 成 果日 本 最 古 老 的 算 盤 為 長 崎 算 盤 以 及 堺 算 盤 , 但 是 堺 算 盤 不 但 在 堺 市 博 物 館 中 無 保 留 實 物 , 甚 至 館員 也 不 知 有 堺 算 盤 的 存 在 。 雖 然 在 鄰 近 的 堺 市 立 圖 書 館 中 收 集 到 了 堺 算 盤 的 文 獻 資 料 , 不 過 事 先 在 白井 算 盤 博 物 館 中 調 查 到 了 實 物 , 才 得 以 能 順 利 地 進 行 文 獻 調 查 。 在 白 井 算 盤 博 物 館 中 , 經 由 館 長 的 好意 安 排 下 , 得 以 實 際 用 手 接 觸 到 400 年 前 的 堺 算 盤 進 行 調 查 , 此 對 於 日 後 的 調 查 有 相 當 大 的 幫 助 。總 合 以 上 的 調 查 後 , 日 本 的 古 算 盤 的 傳 播 :長 崎 算 盤 → 大 津 算 盤出 雲 算 盤 ↓堺 算 盤 → → 播 州 算 盤如 以 上 途 徑 。 數 學 的 傳 播 也 類 似 此 途 徑 。三 、 建 議原 本 預 定 的 調 查 , 隨 著 調 查 進 行 而 變 動 的 不 少 。 國 內 的 業 務 費 用 與 海 外 的 經 費 很 難 互 相 流 動 使 用 ,因 此 海 外 的 緊 急 調 查 研 究 也 變 得 困 難 。 因 此 希 望 有 彈 性 的 經 費 運 用 。241
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響附 表 二國 科 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 項 下 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告計 畫 編 號 NSC 98 – 2511 – S – 327 – 001 - MY3計 畫 名 稱出 國 人 員姓 名會 議 時 間會 議 名 稱中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響劉 伯 雯100 年 8 月 23 日 至100 年 8 月 26 日服 務 機 構及 職 稱會 議 地 點日 期 : 年 月 日國 立 高 雄 第 一 科 技 大 學 應 用 日 語 系 副教 授( 中 文 ) 數 理 解 析 研 究 所 研 究 會 《 數 學 史 研 究 》( 英 文 ) RIMS Conference for History of Science日 本 ・ 京 都 大 學發 表 論 文題 目( 中 文 ) 《 三 才 發 秘 》( 陳 雯 、1697 年 ) 與 「 和 蘭 符 帳 」- 納 皮 爾 的 骨 頭 之 日 本 傳 達( 英 文 ) San Cai Fa Mi by CHEN Wen, 1697 and the “Dutch Numerals” - Napier'sBones transmitted into Japan一 、 參 加 會 議 經 過因 「abc 猜 想 」 的 證 明 而 舉 世 聞 名 的 日 本 ・ 京 都 大 學 數 理 解 析 研 究 所 , 在 此 地 舉 行 了 第 14 屆 的 數學 史 研 討 會 。 此 會 議 為 日 本 規 模 最 大 的 數 學 史 研 討 會 之 一 , 現 場 除 了 數 學 史 研 究 者 以 外 , 也 有 多 數 的數 學 家 旁 聽 , 可 以 深 刻 感 受 到 數 學 史 研 究 備 受 矚 目 。二 、 與 會 心 得與 會 當 中 來 自 台 灣 的 數 學 史 研 究 學 者 雖 只 有 一 位 , 但 藉 由 與 多 數 的 日 本 研 究 者 交 流 , 在 有 形 無 形間 得 到 收 獲 。 又 , 相 較 於 此 , 從 與 中 國 台 灣 的 交 流 當 中 來 探 討 日 本 數 學 史 的 觀 點 在 日 本 研 究 者 來 說 甚少 , 因 此 筆 者 的 發 表 受 到 好 評 。 從 東 亞 文 明 的 角 度 探 討 的 日 本 研 究 非 常 重 要 , 由 此 台 灣 也 應 該 對 日 本科 學 技 術 史 這 方 面 的 領 域 , 投 注 更 多 的 心 力 。三 、 建 議京 都 為 日 本 的 古 都 , 具 有 多 座 千 年 以 上 的 歷 史 古 寺 。 因 此 可 以 期 待 藉 由 調 查 這 些 寺 院 或 是 神 社 而發 現 數 學 史 史 料 。 國 外 的 會 議 多 為 7 月 、8 月 舉 行 , 希 望 國 家 科 學 委 員 會 經 會 的 補 助 若 能 給 研 究 者 更有 彈 性 的 時 程 , 研 究 活 動 勢 必 將 更 充 實 。242
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響『 三 才 発 秘 』( 陳 雯 、1697 年 )「 阿 蘭 陀 符 帳 」*- 納 皮 爾 的 骨 頭 之 日 本 傳 達San Cai Fa Mi by CHEN Wen, 1697 and the “Dutch Numerals”- Napier's Bones transmitted into Japan大 阪 教 育 大 学 国 際 センター 城 地 茂 (JOCHI Shigeru) 1台 湾 ・ 国 立 高 雄 第 一 科 技 術 大 学 応 用 日 語 系 劉 伯 雯 (LIU Bowen) 2台 湾 ・ 義 守 大 学 通 識 教 育 センター 張 澔 (CHANG Hao) 3International Center, Osaka Kyoiku University1. 緒 論中 國 與 西 域 、 印 度 〄 伊 斯 蘭 的 數 學 交 流 研 究 , 到 21 世 紀 之 後 才 開 始 變 得 繁 盛 4 。 蘇 州 碼 子 (「 阿 蘭陀 符 帳 」) 與 格 子 乘 法 (Lattice multiplication, 在 中 國 稱 為 「 鋪 地 錦 」〄「 寫 算 」, 在 西 歐 稱 為 「 納 皮 爾計 算 棒 ( 骨 )」) 兩 者 同 時 傳 入 日 本 。 格 子 乘 法 有 從 印 度 西 傳 和 東 傳 之 說 , 在 中 國 明 末 清 初 時 再 度 交 會 ,被 認 為 在 江 戶 時 代 傳 入 日 本 , 從 文 化 交 流 面 來 看 是 極 為 有 趣 的 。 本 文 藉 由 世 界 數 學 文 化 交 流 的 觀 點 ,以 及 利 用 圖 像 史 料 來 探 討 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 這 帶 有 數 字 的 特 別 名 稱 是 如 何 傳 入 日 本 。圖 1《Rabdologiæ 》 5 6扉 頁 圖 2 英 譯 本 的 納 皮 爾 計 算 棒7圖 3 展 開 圖* 本 章 是 由 城 地 茂 ・ 劉 伯 雯 ・ 張 澔 (2011)〈 宋 元 明 代 數 學 書 と〈 阿 蘭 陀 符 帳 〉〉 修 改 完 成 。1大 阪 教 育 大 学 国 際 センター 教 授 。jochi@cc.osaka-kyoiku.ac.jp http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~jochi/2台 湾 ・ 国 立 高 雄 第 一 科 技 術 大 学 応 用 日 語 系 副 教 授 。lbw@ccms.nkfust.edu.tw3台 湾 ・ 義 守 大 学 通 識 教 育 センター 副 教 授 。ch3hao@gmail.com4中 國 科 學 院 ・ 吳 文 俊 (1919-) 院 士 在 2001 年 成 立 「 數 學 與 天 文 絲 路 基 金 」, 國 際 學 會 (2005) 等 出 版 。5 Napier, J. (1617) Rabdology. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/0/08/Rabdology_Cover_Page.jpg6 John Napier (1617; 1990) Rabdology: 14。7 John Napier (1617; 1990) Rabdology: 15。243
2. 蘇 州 碼 子 傳 入 研 究 的 重 要 性蘇 州 碼 子 , 近 年 也 使 用 在 中 國 南 部 , 是 連 電 腦 編 碼 的 萬 國 碼 裡 也 被 登 錄 的 數 字 , 在 中 國 , 特 別 是香 港 和 台 灣 等 南 中 國 較 為 流 行 。 〡 、 〢 、 〣 、 〤 、 〥 、 〦 、 〧 、 〨 、 〩 、 十 和 1 到 3 是 從 縱 式 算 籌 ,6 以 上 是 從 橫 式 算 籌 而 來 ,4 和 9 並 不 是 排 列 4 條 算 籌 的 方 式 , 變 成 「×」 並 不 是 算 籌 , 是 由 算 籌 衍 生而 來 的 數 字 。8日 本 是 從 江 戶 時 代 的 中 期 以 後 , 被 醫 學 家 和 蘭 學 家 , 軍 事 學 家 們 使 用 , 雖 明 治 初 期 也 有 使 用 , 但近 幾 年 幾 乎 是 不 使 用 的 數 字 。 因 在 日 本 曾 被 稱 為 「 阿 蘭 陀 符 帳 」, 所 以 儘 管 是 從 中 國 傳 入 之 物 , 但 也被 認 為 是 由 荷 蘭 傳 入 。 事 實 上 , 因 隨 同 歐 洲 傳 入 的 納 皮 爾 計 算 棒 ( 納 皮 爾 之 骨 ,Napier’s Bone) 傳 來 ,所 以 被 稱 為 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 也 是 很 自 然 的 。 但 假 名 的 讀 音 「タニTaniスウSuu 、ウ u 、ロマRoma、チマChima、ハマHama劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響、キウKiu(タンTanLiang?= 單 ?)、リアンSanna( 兩 )、サンナ、タニTani 9」 是 用 中 文 式 拼 音 ( 參 照 圖 13、 圖 14), 在 歐 洲 和 伊 斯 蘭〄 印 度 沒 有 這 樣 的 符 號 , 因 此 可 清 楚 地 得 知 算 籌 由 來 的 符 號 是 從 中 國 而 來 。 正 因 為 被 江 戶 時 代(1603-1868) 的 日 本 學 者 所 誤 解 ( 或 以 取 名 印 象 深 刻 的 名 稱 可 提 高 出 版 物 銷 售 量 之 曲 解 ), 因 此 才 能具 體 地 研 究 江 戶 時 代 中 期 以 後 中 國 數 學 的 影 響 。 至 今 , 因 不 常 被 和 算 家 使 用 10 , 此 外 , 因 是 流 傳 時 間比 較 短 的 數 字 , 反 倒 變 得 更 能 具 體 地 考 證 中 國 數 學 是 如 何 傳 入 的 。再 者 , 因 蘇 州 碼 子 被 記 載 在 影 響 日 本 和 算 極 深 的 中 國 數 學 書 之 一 《 算 法 統 宗 》( 程 大 位 ,1592 年 )裡 , 所 以 蘇 州 碼 子 的 研 究 , 正 好 可 以 思 索 《 算 法 統 宗 》 具 體 流 傳 狀 況 的 好 材 料 。 眾 所 周 知 ,《 算 法 統宗 》 有 許 多 版 本 ,17 卷 本 11 、12 卷 本 12 、 湯 淺 訓 點 本 ( 湯 淺 得 之 ( 訓 點 )、 1675 年 ) 13 , 並 且 還 有 精 簡14版 的 《 算 法 纂 要 》( 程 大 位 、1598 年 ) 15 , 清 代 的 《 增 刪 算 法 統 宗 》( 程 大 位 ( 著 )・ 梅 瑴 成 ( 編 )、1757 年 ), 全 部 都 記 載 了 蘇 州 碼 子 16 , 可 得 知 當 時 蘇 州 碼 子 被 廣 泛 使 用 。、8明 治 26(1893) 年 有 「 藥 商 符 帳 」( 城 地 茂 ・ 劉 伯 雯 ・ 張 澔 (2011)〈 宋 元 明 代 數 學 書 と〈 阿 蘭 陀 符 帳 〉〉)。9因 此 也 被 稱 為 「 南 京 符 帳 」( 大 阪 珠 算 協 會 、 珠 研 60、 村 上 耕 一 「 符 丁 について」http://www.osaka-abacus.or.jp/library/syuken60/fucho.html)10 《 大 成 算 經 》( 關 孝 和 他 、1710 年 )( 東 北 大 學 藏 、 寛 政 2(1790) 年 平 千 里 寫 本 、 狩 野 文 庫 ・ 申 請 記 號 7.31453.20、 記錄 號 碼 4100001051、MF 號 碼 l00101 ) 卷 2, 雖 19 丁 裏 -21 丁 表 「 鋪 地 錦 」 也 有 格 子 乘 法 的 記 載 , 但 沒 有 使 用 蘇 州 號 碼 ( 阿蘭 陀 符 帳 )。 此 外 , 也 有 「 金 蟬 脫 殼 」 的 項 目 , 由 此 可 看 出 其 受 到 萬 曆 算 書 群 的 影 響 。11比 較 容 易 取 得 的 影 印 本 是 任 繼 愈 ( 編 )(1993)《 中 國 科 學 技 術 典 籍 通 彙 》2:1213-1421。12影 印 本 有 黎 凱 旋 ( 校 訂 )(1986)《 算 法 統 宗 》 台 北 : 易 學 出 版 社 ( 光 緒 9(1883 年 ) 上 海 : 埽 葉 山 房 版 的 影 印 )。13東 北 大 學 藏 、 狩 野 文 庫 、 申 請 記 號 7.31523.1、 記 錄 號 碼 4100009888。14明 代 的 數 學 書 《 九 章 算 術 》 依 照 範 例 將 題 目 分 類 成 9 種 形 式 , 如 此 一 來 因 形 成 大 部 書 , 對 出 版 社 而 言 , 行 銷 上 造 成 困 難 。因 此 , 集 結 了 完 整 版 《 算 法 統 宗 》 和 精 簡 本 《 算 法 纂 要 》 的 出 版 策 略 , 被 認 為 是 這 些 書 籍 在 萬 曆 算 書 群 中 留 存 的 理 由 之 一( 參 照 城 地 茂 (2007)〈 瑞 成 書 局 版 《 指 明 算 法 》〉)。15影 印 本 有 李 培 業 ( 校 釋 )(1986)《 算 法 纂 要 校 釋 》 合 肥 : 安 徽 教 育 出 版 社 ( 光 緒 9(1883) 年 上 海 ・ 埽 葉 山 房 版 的 影 印 )。16 《 算 法 統 宗 》 的 用 語 是 「 暗 馬 式 」。 參 照 各 算 書 的 用 語 一 覧 表 1。244
3. 納 皮 爾 計 算 棒 傳 入 中 國 , 西 傳 的 「 格 子 乘 法 」劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響格 子 乘 法 雖 相 當 於 九 九 乘 法 表 , 但 寫 成 2 位 數 字 , 連 續 使 用 此 數 , 沿 斜 線 相 加 , 就 可 將 乘 法 分 解成 加 法 計 算 。 印 度 被 認 為 是 其 貣 源 , 傳 至 阿 拉 伯 , 花 剌 子 密 (Abū ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsāal-Khwārizmī、780? -850?) 著 有 (825)《 印 度 數 字 算 數 (Kitāb al-Jām'a wa'l-Tafrīq bi'l-Hisāb al-Hindī)》一 書 。 切 斯 特 的 羅 伯 特 (Robert of Chester, 1150 年 左 右 17 ) 將 此 書 以 《 有 關 印 度 之 數 (Algoritmi de numeroIndorum)》 為 題 翻 譯 成 拉 丁 語 , 引 進 至 西 歐 。 同 時 , 斐 波 那 契 (Leonardo Fibonacci、Leonardo Pisano,1170? –1250?) 在 《 算 盤 全 書 》(Liber Abaci、1202) 中 以 「 印 度 的 方 法 」 介 紹 了 格 子 乘 法 。 到 了 16世 紀 ,Matrakçı Nasuh (? -1564) 寫 了 Umdet-ul Hisab, 格 子 乘 法 因 此 流 傳 歐 洲 。其 中 , 蘇 格 蘭 的 數 學 家 約 翰 〄 納 皮 爾 (John Napier, 1550-1617) 發 明 了 納 皮 爾 計 算 棒 ( 有 骨 頭 和計 算 尺 )。 是 為 了 簡 單 計 算 乘 法 和 除 法 的 道 具 , 記 載 在 1617 年 愛 丁 堡 出 版 的 《Rabdologiæ 18 》(Rabdologiæ 、Rabdology)。納 皮 爾 計 算 棒 是 使 用 多 條 將 九 九 乘 法 表 分 寫 成 2 位 數 字 在 棒 形 的 木 棒 , 用 來 計 算 格 子 乘 法 。 在 背面 的 補 數 表 被 寫 反 ( 參 照 圖 3), 翻 過 來 就 能 驗 算 。 如 果 使 用 平 方 數 的 表 就 能 計 算 平 方 數 。 九 九 乘 法 表是 直 寫 的 。 因 為 文 字 是 橫 寫 的 , 所 以 計 算 就 變 成 直 寫 , 計 算 棒 一 傳 到 中 國 , 變 成 與 文 字 不 同 的 橫 寫 。19傳 入 中 國 是 在 1628 年 , 羅 雅 谷 20 (Rho, Giacomo (Jacques), 1593-1638) 著 述 《 籌 算 》( 羅 雅谷 、1645 年 21 ),《 西 洋 新 法 曆 書 ( 崇 禎 曆 書 )》( 徐 光 啓 ・ 湯 若 望 22 ・ 羅 雅 谷 ( 他 )、1634 年 著 ・1643年 重 編 ) 收 錄 在 1645 年 版 本 。 雖 然 計 算 棒 被 翻 譯 成 「 籌 」, 但 籌 本 來 就 是 算 籌 。 明 末 時 期 算 籌 衰 退 ,而 到 了 清 朝 , 納 皮 爾 計 算 棒 被 稱 為 「 籌 」( 或 是 「 籌 算 」)。《 西 洋 新 法 曆 書 》 於 1627 年 傳 入 日 本 23 。圖 4 傳 教 士 墓 地 ( 北 京 行 政 學 院 )圖 5 羅 雅 谷 墓圖 6 湯 若 望 (1591-1666) 墓17花 剌 子 密 的 《 代 數 學 》 翻 譯 於 1144 年 。18 「 言 語 ( 數 字 ) 之 棒 」 之 意 。19李 迪 、 白 尚 恕 (1985)〈 康 熙 年 間 制 造 的 手 搖 計 算 器 〉:56。20義 大 利 傳 教 士 。 參 與 《 崇 禎 暦 書 》(《 西 洋 新 法 暦 書 》) 的 編 纂 。21順 治 2(1645) 年 初 刊 本 加 入 了 第 21 冊 《 籌 算 》《 籌 算 指 》( 中 外 數 學 簡 史 編 寫 組 ( 編 )(1686)《 中 國 數 學 簡 史 》:368)。此 外 , 雖 任 繼 愈 ( 他 編 )(1993)《 中 國 科 學 技 術 典 籍 通 彙 》〈 天 文 巻 〉8:642-1643 有 《 西 洋 新 法 曆 書 》, 但 沒 有 收 錄 在 《 籌算 》。22湯 若 望 Johann Adam Schall von Bell (1591-1666)。 是 德 國 的 傳 教 士 , 將 《 西 洋 新 法 曆 書 》 以 《 時 憲 曆 》 實 施 。 是 第 一個 成 為 欽 天 監 監 正 ( 天 文 台 長 官 ) 的 西 洋 人 。23有 關 「 籌 」, 日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:432-433。 享 保 12(1727) 年 傳 入 日 本 ( 日 本 學 士 院( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 学 史 》5:427)。245
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響梅 文 鼎 (1633-1721) 也 著 有 《 籌 算 》( 梅 文 鼎 、1678 年 ) 一 書 24 , 並 收 錄 在 《 曆 算 全 書 25 》( 1723;1724; 1761 年 )。 梅 文 鼎 也 沒 使 用 蘇 州 碼 子 , 因 此 未 被 西 洋 數 學 的 流 派 所 採 用 。 在 半 圓 中 橫 寫 漢 數 字 九九 。《 曆 算 全 書 》 在 1726 年 傳 入 日 本 26 。圖 7 梅 文 鼎 紀 念 館 ( 安 徽 省 宣 城 市 )梅 文 鼎 的 墓 石24日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:432。25 1723 年 版 本 的 抄 本 ・ 早 稻 田 大 學 藏 ,ニ 05 01614、1-24 如 同 原 本 (《 兼 濟 堂 纂 刻 梅 勿 菴 先 生 曆 算 全 書 》( 梅 文 鼎 、 魏 荔 彤( 編 )、1723 年 )),「 籌 」 是 半 圓 格 子 , 但 在 中 川 淳 庵 (1739-1786) 的 訓 讀 本 (( 大 槻 如 電 (1845-1931) 所 收 藏 的 自 筆 原 稿 中 , 影 印 收 錄 了 和 田 信 三 郎 (1941; 1994)《 中 川 淳 庵 先 生 》第 3 編 。 日 本 學 士 院 , 申 請 號 碼 2269 是 1912 年 11 月 抄 寫 之 物 ) 之 中 ,「 籌 」 是 如 同 「 寫 算 ( 鋪 地 錦 )」 的 正 方 形 格 子 。1761年 的 版 本 有 梅 瑴 成 (1681-1763) 編 集 的 《 梅 氏 叢 書 輯 要 》。 其 他 有 《 四 庫 全 書 》 収 錄 的 《 曆 算 全 書 》。26國 立 公 文 書 館 , 内 閣 文 庫 申 請 記 號 子 -51-6 有 《 兼 濟 堂 纂 刻 梅 勿 菴 先 生 曆 算 全 書 》 雍 正 2(1724) 年 的 版 本 , 是 1726 年外 來 ( 日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:427) 之 物 , 成 為 有 建 部 賢 弘 (1664-1739) 序 文 的 宮 內 廳 書陵 部 收 藏 和 譯 本 的 原 本 ( 小 林 龍 彥 (1990)〈〈 曆 算 全 書 〉の 三 角 法 と〈 崇 禎 曆 書 〉の 割 圓 八 線 之 表 の 傳 來 について〉:84)。246
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響4. 東 傳 的 格 子 乘 法另 一 方 面 , 格 子 乘 法 是 在 印 度 發 明 , 因 此 東 傳 至 中 國 。 在 《 九 章 詳 註 比 類 大 全 》( 吳 敬 、1450 年 ),以 「 寫 算 」 介 紹 。 因 使 用 漢 字 數 字 , 此 時 並 沒 有 使 用 蘇 州 碼 子 。圖 8 《 九 章 算 法 比 類 大 全 》( 吳 敬 、1450 年 )「 寫 算 」 27接 著 在 《 盤 珠 算 法 28 》( 徐 心 魯 、1573 年 ) 以 「 鋪 地 錦 」 介 紹 。 說 明 了 「 鋪 地 錦 」 不 要 算 盤 而 因 城見 總 。( 鋪 地 錦 不 用 算 盤 計 算 乘 法 ) 被 視 為 代 替 珠 算 算 數 的 器 具 。計 算 過 程 是 使 用 漢 字 數 字 來 計 算 「 鋪 地 錦 」, 但 在 卷 末 , 蘇 州 碼 子 以 「 馬 子 暗 數 」 來 記 述 。 蘇 州 碼子 不 是 實 際 的 數 值 「 明 數 」, 而 是 以 帶 有 表 示 順 序 的 「 暗 數 」 的 數 值 出 現 。在 與 《 盤 珠 算 法 》 内 容 完 全 相 同 的 《 桐 陵 算 法 》 中 29 30, 蘇 州 碼 子 有 些 微 的 不 同 。 同 樣 縱 式 的 「5」分 為 兩 種 , 因 縱 式 有 一 筆 畫 般 連 續 不 斷 的 「 子 」 和 筆 畫 分 開 的 「チ」, 所 以 暫 稱 連 續 縱 式 為 「 子 」, 分離 直 式 為 「チ」。 此 外 , 橫 式 也 有 連 續 的 「 〥 」 和 分 離 的 「 1 ○」, 這 也 暫 稱 為 連 續 橫 式 「 〥 」, 分 離 橫 式「 1 ○」。 如 此 , 明 朝 的 民 間 數 學 開 始 採 用 了 蘇 州 碼 子 , 其 最 早 的 史 料 就 是 《 盤 珠 算 法 》。此 外 ,《 盤 珠 算 法 》 是 使 用 梁 上 一 珠 梁 下 五 珠 的 珠 算 圖 , 以 中 國 數 學 書 來 說 是 較 為 罕 見 的 。到 了 《 算 法 統 宗 》( 程 大 位 、1592 年 ),「 寫 算 ( 鋪 地 錦 )」 裡 , 連 「 明 數 」 也 使 用 了 蘇 州 碼 子 。 名稱 仍 是 「 暗 數 式 」。圖 9 《 盤 珠 算 法 》「 鋪 地 錦 」27貣 例 ( 任 継 愈 ( 他 編 )(1993)《 中 國 科 學 技 術 典 籍 通 彙 》〈 數 學 巻 〉2: 30-31)。28 《 新 刻 訂 正 家 傳 秘 訣 盤 珠 算 法 士 民 利 用 》 國 立 公 文 書 館 藏 , 子 056-0005。 在 紅 葉 山 文 庫 就 藏 書 中 確 認 了 國 立 公 文 書 館 藏書 為 孤 本 。 此 外 , 東 京 大 學 東 洋 文 化 研 究 所 《 東 洋 文 化 研 究 所 所 藏 漢 籍 目 錄 》 也 有 任 繼 愈 ( 他 編 )(1993)《 中 國 科 學 技 術典 籍 通 彙 》〈 數 學 卷 〉2:1141-1164。29與 稱 為 《 銅 陵 算 法 》 的 《 指 明 算 法 》( 夏 源 澤 、1439 年 ?) 是 幾 乎 相 同 的 數 學 書 ( 李 儼 (1958;1998)〈《 銅 陵 算 法 》 的 介紹 〉, 在 城 地 茂 (2007)〈 瑞 成 書 局 版 《 指 明 算 法 》〉), 是 為 與 《 桐 陵 算 法 》 不 同 之 物 。30關 於 縱 式 和 橫 式 的 暫 稱 , 參 照 城 地 茂 ・ 劉 伯 雯 ・ 張 澔 (2011)〈 宋 元 明 代 數 學 書 と〈 阿 蘭 陀 符 帳 〉。247
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響圖 10 《 盤 珠 算 法 》「 馬 子 暗 數 」 31圖 11 《 桐 陵 算 法 》「 馬 子 暗 數 」 32圖 12《 算 法 統 宗 》(17 卷 本 )「 寫 算 」 335. 阿 蘭 陀 符 帳 傳 入 日 本34 35圖 13《 算 法 統 宗 》(12 卷 本 )「 寫 算 」「 寫 算 ( 鋪 地 錦 )」, 雖 在 明 朝 開 始 使 用 , 但 從 算 籌 衍 生 的 符 號 可 以 追 朔 到 宋 朝 。 算 籌 的 計 算 是 計算 過 程 中 數 值 變 化 , 將 此 變 化 以 版 本 ( 或 抄 本 ) 記 下 來 時 使 用 的 算 籌 符 號 。 在 《 測 圓 海 鏡 》( 李 冶 ,1248年 ) 裡 , 雖 算 籌 照 原 樣 寫 下 來 36 , 但 在 《 數 書 九 章 》( 秦 九 韶 ,1247 年 ) 和 《 楊 輝 算 法 》( 楊 輝 ,1275年 ) 中 , 卻 讓 算 籌 變 化 。 也 就 是 說 ,4 是 因 判 斷 3 和 5 不 易 而 使 用 ×。 使 用 5 是算 籌 符 帳 37 。 這 逐 漸 演 變 成 蘇 州 碼 子 。一○ 或 1 ○,9 是一× 或 1 × 的在 日 本 首 先 以 「 籌 算 」 介 紹 納 皮 爾 計 算 棒 的 是 《 算 法 指 要 ( 籌 算 式 ) 38 》( 有 澤 致 貞 39 、1725 年 )。31兒 玉 明 人 (1970)《 十 六 世 紀 末 明 刊 の 珠 算 書 》:6。 其 影 印 是 任 繼 愈 ( 他 編 )(1993)《 中 國 科 學 技 術 典 籍 通 彙 》〈 數 學 卷 〉2: 1163。21 丁 裏 。32兒 玉 明 人 (1970)《 十 六 世 紀 末 明 刊 の 珠 算 書 》:6。 其 影 印 是 任 繼 愈 ( 他 編 )(1993)《 中 國 科 學 技 術 典 籍 通 彙 》〈 數 學 卷 〉2: 1164。21 丁 裏 。33卷 17,4 丁 裏 。 任 繼 愈 ( 他 編 )(1993)《 中 國 科 學 技 術 典 籍 通 彙 》〈 數 學 卷 〉2: 1407。34卷 12,3 丁 裏 。 程 大 位 (1592; 1986)《 算 法 統 宗 》 台 北 : 易 學 出 版 社 : 528。 光 緒 9(1883) 年 版 的 12 卷 本 。35在 日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》4:157 是 卷 12, 好 像 有 調 查 過 12 卷 本 。36雖 算 籌 是 以 正 數 為 紅 , 負 數 為 黑 來 表 示 , 但 以 2 色 印 刷 困 難 為 由 ( 也 有 經 濟 上 的 原 因 ), 負 數 以 畫 斜 線 ( 算 籌 ) 表 示 。37參 照 城 地 茂 ・ 劉 伯 雯 ・ 張 澔 (2011)〈 宋 元 明 代 數 學 書 と「 阿 蘭 陀 符 帳 」〉。 在 《 數 書 九 章 》 中 ,( 四 庫 全 書 本 , 宜 稼 堂 叢1書 本 ) 算 籌 就 此 排 列 5 支 或 以○表 示 , 並 無 統 一 。38日 本 學 士 院 藏 , 申 請 號 碼 1639。 同 2274《 籌 算 式 》(9633 的 遠 藤 利 貞 抄 本 ), 同 9633《 籌 算 》( 坪 川 甚 二 寄 贈 本 ) 與 同一 ( 日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:437)。 國 會 圖 書 館 也 以 《 籌 算 式 》 收 藏 ( 申 請 記 號 140-210)。39加 賀 ( 現 石 川 縣 ) 的 兵 學 家 。( 日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:433)248
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響圖 14 《 算 法 指 要 ( 籌 算 式 ) 40 》 的 「 籌 」這 因 為 是 抄 本 , 較 容 易 以 多 色 ( 兩 色 ) 表 示 。 圖 10 中 段 的 數 (「 暗 數 」) 為 紅 色 書 寫 , 可 以 依 照漢 數 字 來 區 別 。 因 此 , 不 需 使 用 蘇 州 碼 子 來 區 別 「 暗 數 」。因 納 皮 爾 計 算 棒 具 有 從 西 洋 傳 入 的 認 知 , 有 「 籌 算 ト 云 フアリ。 唐 算 、 和 算 ニ 非 スシテ、 事 早 ク調 フ 術 也 。 紅 毛 人 専 此 術 ヲ 用 フ 故 ニ 紅 毛 算 トモ 云 。」 如 此 的 記 述 。此 外 , 有 澤 到 貞 的 認 知 是 :籌 算 ( 紅 毛 算 ) 歐 洲 數 學納 皮 爾 計 算 棒唐 算 中 國 數 學 算 木和 算珠 算和 算 是 珠 算 這 個 認 知 , 對 知 道 點 竄 術 ( 演 段 術 ) 使 用 代 數 符 號 的 人 來 說 , 雖 感 到 有 些 不 協 調 , 但在 金 澤 藩 士 也 是 軍 學 家 的 知 識 分 子 層 中 的 認 知 , 和 算 就 是 珠 算 。如 同 《 算 法 指 要 》 的 序 言 , 雖 《 曆 算 全 書 》 還 未 外 來 (1726 年 外 來 41 ), 但 好 像 已 有 從 西 洋 傳 來 的納 皮 爾 計 算 棒 (「 籌 算 」) 的 傳 言 , 其 內 容 因 記 載 在 1720 外 來 的 42 《 三 才 發 秘 》( 陳 雯 、1697 年 ), 因 而被 使 用 。在 《 三 才 發 秘 》 中 , 雖 沒 在 「 籌 」 描 述 「 暗 數 」, 但 在 說 明 中 以 「 暗 馬 式 」 描 述 蘇 州 碼 子 。《 三 才發 秘 》 也 是 術 數 書 ( 占 術 書 ), 也 有 記 載 民 間 的 符 帳 。圖 15 《 三 才 發 秘 43 》 之 「 籌 」「 暗 馬 式 」在 《 籌 算 指 南 44 》( 千 野 乾 弘 45 、1767 年 ) 中 , 納 皮 爾 計 算 棒 上 以 「 暗 數 之 式 」 的 蘇 州 碼 子 (「 阿 蘭陀 符 帳 」) 記 載 。「 暗 數 」 是 指 不 是 實 際 的 數 値 (「 明 數 」), 而 是 用 來 表 示 納 皮 爾 計 算 棒 的 段 數 。 此 外 ,40國 會 圖 書 館 收 藏 , 申 請 記 號 140-210, 扉 ,4 丁 表 裏 。41大 庭 脩 (1967)《 江 戸 時 代 における 唐 船 持 渡 書 の 研 究 》:687。42享 保 5(1720) 年 , 因 德 川 吉 宗 (1684-1751) 解 除 指 定 禁 書 ( 大 庭 脩 (1967)《 江 戸 時 代 における 唐 船 持 渡 書 の 研 究 》:45)。在 此 之 前 , 元 禄 12(1699) 年 以 卯 四 番 船 從 中 國 進 口 , 但 以 禁 書 之 名 受 到 了 一 部 分 文 字 消 去 及 禁 止 傳 入 的 處 分 ( 大 庭 脩 (1967)《 江 戸 時 代 における 唐 船 持 渡 書 の 研 究 》:37)。43國 會 圖 書 館 藏 , 康 煕 36(1697) 序 刊 本 , 申 請 記 號 169-28, 微 縮 膠 片 YD- 古 -2030。「 籌 」 的 圖 是 天 部 ( 巻 1)37 丁 裏-38 丁 裏 ,「 暗 馬 式 」 天 部 39 丁 裏 -40 丁 表 。 此 外 , 國 會 圖 書 館 藏 , 申 請 記 號 : 特 2-933、 微 縮 膠 片 YD- 古 -5172-5173 雖 有江 戸 時 代 的 抄 本 , 但 在 天 部 沒 有 「 籌 」「 暗 馬 式 」 的 圖 。 另 外 , 活 字 本 有 陳 雯 ・ 石 橋 菊 子 ( 日 譯 )(1697; 1936; 1972)《 三才 發 秘 : 新 譯 》 京 都 : 學 而 堂 書 店 ,3 卷 , 台 灣 的 抄 本 影 印 本 , 陳 雯 (1697;1997)《 三 才 發 秘 》 台 北 : 集 文 書 局 發 行 。 集文 書 局 復 刻 本 「 籌 」「 暗 馬 式 」 的 圖 在 pp.124-125,「 暗 馬 式 」 在 p.127。44東 北 大 學 藏 , 申 請 記 號 : 岡 本 刊 152。 此 外 還 有 謄 寫 版 (《 籌 算 指 南 》( 千 埜 ( 野 ) 乾 弘 、 古 典 數 學 書 院 、1936 年 )。45千 野 乾 弘 (1740 ー 1776) 是 高 松 的 醫 學 家 。 字 玄 長 , 號 篛 渓 、 雲 巣 主 人 ( 日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數學 史 》5:433)。 也 稱 為 尙 賢 。 千 野 邦 浩 之 子 。 讃 岐 高 松 藩 的 儒 家 , 菊 池 黄 山 門 生 。1768 年 上 京 、 成 為 醫 師 ・ 畑 柳 庵 的 門 生 ,改 姓 , 在 堺 開 業 。 著 有 《 解 毒 方 集 驗 》《 籌 算 指 南 》。 千 野 良 岱 ( 醫 生 ) 之 兄 ( 川 野 正 博 《 日 本 古 典 作 者 事 典 》:3794、http://www.geocities.jp/manyoubitom/27hi.pdf)。249
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響在 《 算 法 指 要 》 和 《 籌 算 指 南 》 之 間 所 著 的 《 牙 籌 譜 46 》( 山 縣 昌 貞 、1764 年 ) 也 沒 有 蘇 州 碼 子 , 因 此明 確 了 解 納 皮 爾 計 算 棒 (「 籌 算 」) 和 蘇 州 碼 子 (「 暗 數 之 式 」) 關 係 的 史 料 , 這 本 《 籌 算 指 南 》 是 最 初之 物 。1726 年 《 曆 算 全 書 》 傳 來 ,「 籌 算 」 因 此 廣 為 流 傳 。《 籌 算 指 南 》 的 蘇 州 碼 子 的 5 是 連 續 橫 式 的「 〥 」。圖 16 《 籌 算 指 南 47 》 的 「 籌 」 「 暗 數 之 式 」與 「 籌 算 」 不 同 , 將 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 作 為 獨 立 的 數 字 記 述 的 是 《 早 算 手 引 集 》( 山 本 一 二 三 、1775;1812年 )。「 阿 蘭 陀 符 帳 」 此 稱 呼 也 從 此 書 開 始 。《 早 算 手 引 集 》 雖 是 初 等 數 學 書 , 但 是 是 一 本 統 整 完 整 之 書48 。 從 龜 井 算 用 算 盤 來 開 平 方 、 開 立 方 來 看 , 可 得 到 如 《 塵 劫 記 》 一 樣 的 成 果49 。 初 版 是 1775 年 , 雖50在 東 北 大 學 的 版 本 有 被 認 為 是 平 山 諦 (1904-1998) 博 士 手 寫 《 早 算 手 引 集 》 的 文 字 , 但 欠 缺 目 錄 ,51沒 有 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 的 部 分 , 這 只 在 1812 年 版 中 才 能 看 見 。 但 《 算 法 萬 取 集 日 記 52 》( 四 家 福 房 、1798年 ) 是 1798 年 的 抄 本 , 這 與 《 早 算 手 引 集 》 同 樣 是 連 續 縱 式 「 子 」 的 阿 蘭 陀 符 帳 。 除 此 之 外 , 從 記 載「 阿 蘭 陀 符 帳 」 下 一 個 項 目 的 「 荒 物 符 帳 」 等 看 來 ,《 早 算 手 引 集 》 是 《 算 法 萬 取 集 日 記 》 的 藍 本 可 能性 很 高 , 這 樣 一 來 ,1775 年 版 也 有 記 載 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 的 可 能 性 很 高 。同 樣 冠 上 「 早 算 手 引 集 」 的 《 萬 海 早 算 手 引 集 》( 著 者 不 詳 、1858 年 ) 裡 也 有 「 阿 蘭 陀 符 帳 」, 但此 時 的 名 稱 為 「 藥 屋 符 帳 」。 形 式 為 分 離 縱 式 的 「 子 」。《 早 算 手 引 集 》 確 實 有 流 行 , 但 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 之 稱 不 久 消 失 , 以 蘇 州 碼 子 ( 特 別 是 分 離 縱 式 「 子 」)傳 至 明 治 時 期 。46日 本 學 士 院 藏 , 申 請 記 號 1012、1013。47東 北 大 學 藏 , 岡 本 文 庫 、 申 請 記 號 ( 刊 )152, 記 錄 號 碼 4100006584,MF 號 碼 l02306,5 丁 表 裏 。 此 外 也 刊 行 了 活 字 本( 謄 寫 版 )(《 籌 算 指 南 》( 千 埜 ( 野 ) 乾 弘 、 古 典 數 學 書 院 、1936 年 )。48遠 藤 利 貞 (1896; 1981)《 增 修 日 本 數 學 史 》: 356。 日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:518-519。49雖 在 「 百 五 減 算 」 中 《 塵 劫 記 》 的 各 版 本 是 「 百 に 余 らば」( 當 然 「 百 五 」 才 是 正 確 的 ), 這 已 被 修 正 。 此 外 , 記 為 「 青石 」 是 《 塵 劫 記 》 的 誤 植 ( 在 《 算 法 統 宗 》 是 「 碃 」)。50申 請 記 號 , 林 文 庫 0124。51文 化 9(1812) 年 版 本 。 申 請 記 號 , 林 文 庫 0207。 其 他 有 東 北 大 學 藏 , 藤 原 36531 部 , 日 本 學 士 院 藏 , 申 請 記 號 602,603 2 部 , 九 州 大 學 藏 , 桑 木 文 庫 , 和 書 462 0221320020138831 部 , 有 文 化 8(1811) 年 版 本 。52福 島 縣 磐 城 市 的 四 家 家 傳 抄 本 ( 城 地 茂 (2010)〈 關 孝 和 の 実 母 ・ 湯 淺 家 の 研 究 〉: 36)。250
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響圖 13《 早 算 手 引 集 53 》「 阿 蘭 陀 符 帳 」 圖 14《 萬 海 早 算 手 引 集 54 》「 藥 屋 符 帳 」5354文 化 9(1812) 年 版 本 。 早 稻 田 大 學 藏 , 申 請 記 號 :ニ 02_04590。7 丁 表 。東 京 學 藝 大 學 藏 , 望 月 文 庫 2051、17 丁 裏 。1858 年 。251
7. 結 論蘇 州 碼 子 以 標 記 格 子 乘 法 的 「 暗 數 」( 行 數 , 段 數 ) 流 傳 。 從 關 流 和 算 家 也 在 《 大 成 算 經 》 裡 記 載「 鋪 地 錦 」 來 看 , 雖 理 解 其 用 法 , 但 因 在 傍 書 法 ( 點 竄 術 ) 使 用 算 籌 的 記 號 , 因 此 好 像 沒 使 用 蘇 州 碼子 。另 一 方 面 , 了 解 和 算 為 珠 算 的 醫 學 家 和 蘭 學 家 、 軍 事 學 家 不 使 用 與 生 活 有 關 的 珠 算 , 而 只 關 注 西歐 傳 來 的 計 算 器 具 ・「 籌 」( 納 皮 爾 計 算 棒 )。 因 此 , 之 後 把 表 示 「 暗 數 」 的 符 號 誤 解 為 荷 蘭 傳 來 之 物 ・「 阿 蘭 陀 符 帳 」。當 然 在 西 洋 流 派 的 數 學 書 中 不 使 用 蘇 州 碼 子 。 但 最 早 傳 入 日 本 的 西 洋 格 子 乘 法 (「 籌 」) 是 《 三 才發 秘 》。 這 本 書 , 因 是 術 數 書 ( 占 術 書 ), 也 同 時 記 載 了 民 間 數 字 的 蘇 州 碼 子 。 在 《 三 才 發 秘 》 中 , 雖「 籌 」 沒 直 接 寫 上 蘇 州 碼 子 , 但 有 記 載 應 以 「 暗 數 」 使 用 , 此 外 , 因 也 描 述 了 蘇 州 碼 子 , 使 用 方 法 才被 理 解 。 因 而 廣 為 流 傳 , 在 《 籌 算 指 南 》 中 ,「 籌 」 寫 上 了 蘇 州 碼 子 , 記 述 更 容 易 理 解 。 此 時 的 蘇 州 碼子 與 《 算 法 統 宗 》 和 《 指 明 算 法 》、《 三 才 發 秘 》 一 樣 使 用 連 續 橫 式 「 〥 」。如 此 , 蘇 州 碼 子 不 只 和 算 家 , 也 普 及 至 醫 學 家 , 蘭 學 家 和 軍 事 學 家 , 在 《 早 算 手 引 集 》 中 與 格 子乘 法 分 開 , 以 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 記 述 。 不 知 是 因 為 誤 植 還 是 因 為 喜 歡 激 動 人 心 的 名 稱 無 法 判 知 , 但 這 時的 蘇 州 碼 子 是 連 續 縱 式 「 子 」。 這 與 最 早 記 載 蘇 州 碼 子 的 《 盤 珠 算 法 》 是 一 樣 的 , 和 以 前 有 差 異 。 名 稱和 形 狀 也 有 變 化 。如 同 表 1, 除 了 蘭 學 家 之 外 , 和 算 書 的 蘇 州 碼 子 以 《 盤 珠 算 法 》 的 連 續 縱 式 「 子 」 居 多 。 此 外 ,《 大成 算 經 》 的 用 語 是 「 鋪 地 錦 」 不 是 《 算 法 統 宗 》 的 「 寫 算 」, 是 《 盤 珠 算 法 》 之 物 。 甚 至 , 昭 和 年 間 被復 刻 的 《 籌 算 指 南 》(1936 年 版 ) 與 《 盤 珠 算 法 》 大 致 相 同 的 《 桐 皇 陵 算 法 》 使 用 了 分 離 縱 式 「チ」來 類 推 , 對 和 算 家 來 說 , 說 不 定 《 盤 珠 算 法 》 系 的 影 響 更 深 。從 當 地 調 查 得 知 「 阿 蘭 陀 符 帳 」 是 磐 城 平 藩 從 《 早 算 手 引 集 》 抄 寫 而 來 。 根 據 《 算 法 統 宗 》, 在 農村 , 這 樣 的 和 文 初 等 數 學 書 較 為 受 重 視 。劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響此 外 , 明 治 初 期 以 前 藥 商 之 間 , 把 蘇 州 碼 子 當 作 符 帳 使 用 。 從 醫 學 家 · 軍 學 家 流 傳 的 符 號 被 藥 商 使用 , 某 種 意 義 是 很 自 然 的 吧 。綜 上 所 述 可 得 知 , 蘇 州 碼 子 不 只 是 中 國 數 學 , 亦 以 一 變 形 的 蘭 學 傳 入 日 本 。 而 最 早 傳 入 的 就 是 術數 書 《 三 才 發 秘 》。252
55表 1 格 子 乘 法 與 蘇 州 碼 子書 名 著 者 出 版 年(→ 傳 入 日 本年 )劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響蘇 州 碼 子 (5)的 形 狀蘇 州 碼 子 的名 稱格 子 乘 法 的 名稱數 書 九 章 秦 九 韶 1247 ( 橫 式 算 木 ) 無楊 輝 算 法 楊 輝 1275→16c ( 橫 式 算 木 ) 無九 章 算 法 比 類 大 全 吳 敬 1450 無 無 寫 算56盤 珠 算 法徐 心 魯 1573 連 續 縱 式 馬 子 暗 數57鋪 地 錦子58桐 陵 算 法徐 少 嵩 1614 分 離 縱 式 馬 子 暗 數 鋪 地 錦チ59算 法 統 宗程 大 位 1592→17c 連 續 橫 式 暗 馬 式 寫 算 60 ( 鋪 地 錦 )〥籌 算 羅 雅 谷 1645→1726 無 無 籌 算61籌 算 梅 文 鼎 1678→1726 無 無籌 算籌 算 ( 訓 讀 本 )梅 文 鼎 、 中64安 永 年 間無65無66籌 算62 63川 淳 庵( 訓 讀 )三 才 發 秘 陳 雯 1697→1720 連 續 橫 式〥暗 数籌 算67大 成 算 經關 孝 和 ( 他 ) 1710 無 無 鋪 地 錦算 法 指 要 有 澤 致 貞 1725 無 無 籌 算68牙 籌 譜 山 縣 昌 貞 1764 無 無 籌 算籌 算 指 南 千 野 乾 弘 1767 連 續 橫 式〥暗 數 之 式籌 算69籌 算 開 平 立 方 法千 野 乾 弘 1768 連 續 橫 式暗 數 之 式籌 算70〥55上 記 之 外 還 有 《 捷 徑 算 法 》( 千 野 乾 弘 、1770 年 ),《 紅 毛 算 法 ( 算 籌 全 書 )》( 著 者 不 詳 ), 但 調 査 不 及 。56 《 盤 珠 算 法 》( 徐 心 魯 、1573 年 )1:11B-12A。57附 上 單 位 , 從 上 位 開 始 計 算 。 數 値 是 漢 數 字 。58卷 2 的 名 稱 是 《 明 珠 算 法 》。59日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》4:157 雖 有 卷 12, 但 這 是 否 12 卷 本 的 最 後 一 卷 之 意 ?《 算 法 統 宗 》( 程 大 位 、1592 年 )17:4B。60 「 明 數 」 以 蘇 州 號 碼 表 示 。61有 「 明 數 」「 暗 數 」 的 用 語 。62日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》4:158 有 《 籌 算 》 訓 讀 的 記 載 。 中 川 淳 庵 (1739 -1786) 是 若 狹 國小 濱 藩 的 蘭 醫 , 名 為 鱗 。 與 前 野 良 澤 和 杉 田 玄 白 一 貣 翻 譯 《 解 體 新 書 》。 此 外 , 遠 藤 利 貞 (1896; 1918, 1960, 1981)《 增 修日 本 數 學 史 》:362 本 文 裡 , 號 為 鄀 郟 , 這 是 出 身 地 若 狭 之 意 ( 和 田 信 三 郎 (1941; 1994)《 中 川 淳 庵 先 生 》:28), 三 上 義 夫也 在 頭 注 指 正 。63中 川 淳 庵 和 翻 譯 《 解 體 新 書 》 的 前 野 良 澤 (1723--1803), 留 下 年 代 不 祥 的 《 籌 算 筆 記 例 》( 鷹 見 泉 石 (1785-1858) 自 筆抄 本 收 錄 《 蘭 化 雜 篇 》)( 大 分 縣 立 先 哲 史 料 館 ( 編 )(2008-10)《 前 野 良 澤 資 料 集 》2、157-161), 這 裡 以 賈 列 船 式 的 除 法(「 筆 算 」) 記 載 。 數 字 沒 有 符 帳 , 為 漢 數 字 。64安 永 年 間 是 從 1772 年 到 1781 年 。《 解 體 新 書 》( 杉 田 玄 白 ・ 前 野 良 澤 ・ 中 川 淳 庵 、1774 年 ) 出 版 前 後 , 中 川 淳 庵 開 始 學習 荷 蘭 語 , 因 此 認 為 是 此 時 的 抄 本 。65有 「 明 數 」「 暗 數 」 的 用 語 。66有 「 牙 」 和 片 假 名 的 長 音 符 注 音 。 這 個 長 音 符 表 記 法 可 能 是 日 本 最 早 之 例 ( 和 田 信 三 郎 (1941; 1994)《 中 川 淳 庵 先生 》:65-66)。「 籌 」 是 直 寫 , 如 同 「 寫 算 」 的 正 方 形 格 子 。67日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:432。《 大 成 算 經 》( 關 孝 和 、1710 年 )2:20A。68縱 書 之 籌 , 以 中 文 數 字 表 示 ( 日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:438)。69東 北 大 學 , 岡 本 刊 , 申 請 記 號 156, 記 錄 號 碼 4100006580,MF 號 碼 l02313。 東 北 大 學 , 藤 原 文 庫 , 申 請 記 號 3656, 記錄 號 碼 4100006583,MF 號 碼 l02311。70日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:435。253
劉 伯 雯 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響捷 徑 算 法 千 野 乾 弘 1770 連 續 橫 式71〥早 算 手 引 集 山 本 一 二 三 1775 連 続 縱 式子暗 數 之 式阿 蘭 陀 符 帳籌 算無算 用 萬 取 集 日 記四 家 福 房1798 連 續 縱 式阿 蘭 陀 符 帳無( 抄 本 )子72歸 乘 捷 法74算 學 必 究73鶴 峯 戊 申 1826 無 無 籌 算奥 村 贈 貤 1841 無 無 籌 算萬 海 早 算 手 引 集不 詳 1858 連 續 縱 式藥 屋 符 帳無75子76紅 毛 筆 算 速 成77土 屋 修 蔵1867 無 無 無諸 商 人 通 用 符 帳東 京 三 階 堂1893 連 續 縱 式藥 商 通 用 符無( 編 )子帳籌 算 指 南 ( 騰 寫 ) 千 野 乾 弘 1936 78分 離 縱 式暗 數 之 式籌 算チ71日 本 學 士 院 ( 編 )(1954;1979)《 明 治 前 日 本 數 學 史 》5:434。72日 本 學 士 院 , 申 請 號 碼 1635。1885 年 發 行 時 內 書 為 《 籌 式 捷 法 》, 内 題 為 《 籌 式 便 覧 》。73籌 的 格 子 是 四 角 形 。74日 本 學 士 院 , 申 請 號 碼 5691。75東 京 學 藝 大 學 , 申 請 號 碼 465。76日 本 學 士 院 , 申 請 號 碼 2599。77名 為 愛 親 。78東 京 古 典 數 學 書 院 的 謄 寫 版 復 刻 本 , 昭 和 11(1936) 年 。* 本 論 文 由 國 家 科 學 委 員 會 〃 專 題 研 究 NSC98-2511-S-327-001-MY3「 中 國 古 代 數 學 對 日 本 江 戶 時 代 關 孝 和 學 派 的 影 響 」 補助 的 共 同 研 究 , 特 此 致 謝 。254
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展TEDS-M 中 學 數 學 初 任 教 師 工 作 適 應 與 數 學 學 習 信 念Teaching Job Adaptation and Mathematics Learning Belief Changes of TaiwanTEDS-M Beginning Secondary Mathematics TeachersFeng-Jui Hsieh National Taiwan Normal University, TaiwanWilliam H. Schmidt Michigan State University, USA國 科 會 補 助 計 畫 名 稱 : 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展計 畫 期 程 :100/08/01 ~ 101/07/3其 他 補 助 單 位 : Michigan State UniversityThe Boeing CompanyCarnegie Corporation of New YorkBill and Melinda Gates FoundationG.E. Foundation摘 要本 研 究 目 的 為 探 討 台 灣 參 與 之 國 際 數 學 師 資 培 育 評 比 研 究 (TEDS-M) 中 學 層級 樣 本 之 後 續 生 涯 情 況 , 包 括 其 初 任 在 職 教 師 後 工 作 適 應 情 形 、 對 師 資 培 育 課 程給 與 其 教 學 相 關 工 作 的 助 益 之 評 價 、 自 教 育 實 習 期 間 到 初 任 教 師 期 間 在 數 學 學 習信 念 上 的 轉 變 。 樣 本 為 187 位 曾 參 與 台 灣 TEDS-M 中 學 數 學 職 前 教 師 問 卷 調 查者 ; 於 100 年 5 至 6 月 間 完 成 線 上 問 卷 調 查 。 研 究 結 果 顯 示 , 其 中 148 位 曾 於97 或 98 學 年 度 受 聘 ; 受 聘 者 對 於 其 教 書 職 業 感 到 滿 意 , 認 為 能 實 現 其 抱 負 並 且樂 在 其 中 , 但 是 他 們 也 感 到 工 作 中 遭 遇 一 些 困 難 , 排 名 前 三 的 困 難 依 序 為 班 級 經營 、 與 家 長 合 作 、 與 學 校 行 政 協 調 。 在 教 學 意 向 上 , 僅 54% 的 受 聘 TEDS-M 初任 教 師 願 意 將 教 書 當 成 終 身 職 業 , 即 使 已 受 聘 為 正 式 教 師 , 仍 僅 59% 有 此 意 向 。針 對 各 項 教 學 相 關 工 作 , 有 自 20%~80% 不 等 的 TEDS-M 初 任 教 師 認 為 師 資 培 育學 程 對 其 教 學 相 關 工 作 助 益 足 夠 , 其 中 教 導 學 生 解 決 非 例 行 性 問 題 及 教 導 學 生 作數 學 證 明 都 約 有 一 半 的 TEDS-M 初 任 教 師 認 為 助 益 不 足 。TEDS-M 初 任 教 師 不論 是 職 前 或 職 後 , 都 高 度 認 同 學 生 主 導 層 面 的 數 學 學 習 信 念 , 其 教 師 教 導 層 面 由職 前 的 負 向 認 同 轉 為 職 後 的 正 向 認 同 , 功 利 教 學 層 面 雖 職 後 較 強 , 但 與 職 前 都 維持 在 負 向 認 同 的 等 級 。255
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展研 究 背 景國 際 中 小 學 科 學 與 數 學 學 習 成 就 比 較 (TIMSS) 及 國 際 學 生 能 力 評 量 計 畫(PISA) 的 研 究 顯 示 各 國 學 生 的 數 學 成 就 或 能 力 差 異 頗 大 (National Center forEducation Statistics [NCES], 2009; Organization for Economic Co-operation andDevelopment [OECD], 2007)。 學 者 專 家 於 是 關 心 各 國 學 生 成 就 表 現 之 差 異 的 成 因 。一 個 合 理 的 假 設 是 各 國 的 師 資 有 所 差 異 , 導 致 教 學 成 效 或 是 學 習 成 就 有 所 差 異 。而 這 個 假 設 正 符 合 許 多 研 究 發 現 (Kaplan & Owings, 2001) 及 TIMSS 1999 年 的Video study 結 果 (NCES, 2003) 。 International Association for Evaluation ofEducational Achievement (IEA) 在 比 較 數 國 的 數 學 教 學 現 況 後 , 推 動 了 國 際 數 學 師資 培 育 研 究 計 畫 (Teacher Education and Development Study in Mathematics,TEDS-M 2008), 該 計 畫 乃 由 美 國 密 西 根 州 立 大 學 (Michigan State University, MSU)與 澳 洲 教 育 研 究 會 (Australia Council for Educational Research, ACER) 共 同 執 行(Tatto et al., 2012), 我 國 也 在 國 科 會 與 教 育 部 的 補 助 下 , 參 與 這 項 計 畫 。這 項 計 畫 於 西 元 2006 年 一 月 開 始 進 行 , 包 含 台 灣 在 內 的 大 多 數 國 家 於 2007後 半 年 至 2008 前 半 年 間 進 行 問 卷 調 查 , 研 究 結 果 發 現 , 各 國 在 師 資 培 育 的 許 多面 向 上 差 異 頗 大 。 在 知 識 方 面 , 不 論 中 學 或 小 學 數 學 教 師 在 數 學 知 識 及 數 學 教 學知 識 上 都 有 極 大 的 差 異 , 其 分 散 狀 況 甚 至 比 中 小 學 生 的 分 散 狀 況 更 大 。 在 學 習 機會 上 , 各 國 也 有 極 大 的 差 異 ( 謝 豐 瑞 、 楊 志 堅 、 施 皓 耀 ,2012); 例 如 , 我 國 在 數學 知 識 的 學 習 機 會 較 高 。 而 我 國 中 學 職 前 教 師 不 論 在 數 學 知 識 或 數 學 教 學 知 識 上都 領 先 其 他 參 與 國 家 , 小 學 職 前 教 師 在 數 學 知 識 上 領 先 國 際 , 然 而 數 學 教 學 知 識上 不 如 新 加 坡 (Hsieh et al., 2010)。 雖 然 我 國 在 知 識 部 分 表 現 優 異 , 但 進 一 步 分 析許 多 其 他 面 向 , 例 如 , 師 資 培 育 課 程 的 安 排 是 否 有 助 職 前 教 師 數 學 教 學 、 大 學 師資 培 育 課 程 與 實 際 中 小 學 實 習 所 需 的 相 關 性 及 連 貫 性 等 等 , 我 國 職 前 教 師 的 表 現就 不 如 許 多 參 與 國 家 的 表 現 (Hsieh et al., 2011)。 這 是 否 意 味 著 當 我 國 的 職 前 教師 轉 為 至 課 堂 中 正 式 教 學 時 , 未 必 能 有 效 應 用 其 所 具 備 之 優 異 知 識 於 課 堂 ? 他 們的 教 學 工 作 適 應 情 形 是 否 因 而 不 順 利 ? 大 學 師 資 培 育 對 於 其 現 場 教 學 是 否 真 有所 助 益 ? 這 些 問 題 都 是 值 得 探 究 的 議 題 , 本 研 究 即 針 對 已 於 TEDS-M 被 施 測 的中 學 數 學 職 前 教 師 進 行 追 蹤 , 調 查 其 後 續 於 現 場 教 學 中 的 適 應 狀 況 與 信 念 變 化 。對 於 這 些 曾 參 與 TEDS-M 研 究 , 且 後 續 又 受 聘 為 正 式 教 師 、 代 理 或 兼 課 教 師 者 ,本 研 究 稱 其 為 TEDS-M 初 任 教 師 。256
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展研 究 目 的本 研 究 主 要 有 三 大 目 的 :(1) 探 討 台 灣 TEDS-M 中 學 數 學 職 前 教 師 初 任 在 職 教 師 後 工 作 適 應 情 形 。(2) 探 討 台 灣 TEDS-M 中 學 數 學 職 前 教 師 初 任 在 職 教 師 後 , 評 價 師 資 培 育課 程 對 其 教 學 相 關 工 作 的 助 益 情 形 。(3) 探 討 台 灣 TEDS-M 中 學 數 學 職 前 教 師 自 教 育 實 習 期 間 到 初 任 在 職 教 師期 間 在 數 學 學 習 信 念 上 的 轉 變 。文 獻 探 討國 際 研 究 發 現 , 世 界 各 國 的 中 學 生 在 mathematics knowledge and itsapplication, analysis and problem solving, model utilization and augmentation, amongother proficiencies 各 方 面 都 有 很 大 的 差 異 (OECD,2007)。 如 此 的 結 果 , 引 動 世界 各 國 對 學 生 知 識 來 源 之 一 的 數 學 教 師 研 究 產 生 興 趣 。 許 多 研 究 顯 示 在 學 校 相 關因 素 中 , 教 師 的 素 養 是 影 響 學 生 成 就 的 最 重 要 因 素 (Goe, 2007; Kaplan & Owings,2001; Rice, 2003)。 另 有 一 些 研 究 證 實 教 師 的 教 學 方 法 與 內 容 是 影 響 學 生 學 習 的決 定 性 因 素 (Abell Foundation, 2001; Fetler, 1999; Goldhaber & Brewer, 2000)。國 際 上 因 而 愈 來 愈 多 學 者 針 對 教 師 進 行 實 徵 性 研 究 , 特 別 是 在 數 學 方 面 。 例如 ,Learning Mathematics for Teaching (LMT)(Ball, Thames & Phelps, 2008),Mathematics Teaching in the 21st Century (MT21) (Schmidt et al., 2011) 或 是Professional Competence of Teachers, Cognitively Activating Instruction, andDevelopment of Students’ Mathematical Literacy (COACTIV) ( Baumert et al., 2010)。然 而 , 第 一 個 實 徵 性 國 際 評 比 的 研 究 則 是 由 美 國 密 西 根 州 立 大 學 的 William H.Schmidt 教 授 主 持 , 研 究 包 括 台 灣 、 美 國 、 德 國 、 韓 國 、 墨 西 哥 以 及 保 加 利 亞 六個 國 家 的 中 學 數 學 職 前 教 師 。 研 究 探 討 面 向 廣 泛 , 包 括 職 前 教 師 的 知 識 、 學 習 機會 、 信 念 等 等 , 研 究 結 果 發 現 , 台 灣 與 韓 國 的 數 學 知 識 表 現 最 佳 , 但 教 育 面 向 知識 僅 表 現 中 等 , 而 台 灣 數 學 主 題 學 習 機 會 豐 富 , 在 各 信 念 面 向 上 , 台 灣 的 強 度 相較 於 其 他 國 家 , 傾 向 於 較 高 (Hsieh, 2011;Schmidt et al., 2011)。其 後 IEA 推 動 之 國 際 數 學 師 資 培 育 研 究 計 畫 TEDS-M 2008, 由 美 國 密 西 根州 立 大 學 Teresa M. Tatto 主 持 與 ACER 共 同 執 行 , 比 較 17 個 國 家 的 中 小 學 數 學職 前 教 師 之 背 景 、 知 識 、 學 習 機 會 、 信 念 、 師 資 培 育 學 程 等 等 。 我 國 亦 為 參 與 國257
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展之 一 。 在 這 個 研 究 中 , 我 國 對 365 位 中 學 數 學 職 前 教 師 進 行 普 測 , 許 多 研 究 結 果已 經 公 布 於 網 頁 中 (Hsieh et al., 2010)。 研 究 結 果 中 包 含 有 許 多 頗 具 意 義 的 我 國 代表 性 資 料 , 其 中 一 項 重 要 的 結 果 與 教 師 的 教 職 意 向 有 關 。教 職 意 向 表 徵 出 對 教 書 的 熱 誠 度 。 台 灣 TEDS-M 研 究 結 果 顯 示 , 台 灣 有 18%的 中 學 數 學 職 前 教 師 將 教 書 視 為 一 種 過 渡 職 業 , 這 個 比 例 顯 著 高 於 國 際 平 均 13%,只 有 5 個 國 家 的 比 例 比 臺 灣 高 , 這 不 是 一 個 國 人 所 樂 見 的 結 果 (Hsieh et al., 2010)。然 而 , 小 學 層 級 的 情 況 更 不 樂 觀 , 有 34% 正 在 實 習 的 小 學 職 前 教 師 把 教 書 當 成 找到 心 儀 工 作 之 前 的 過 渡 工 作 , 是 參 與 國 中 比 例 最 高 的 國 家 , 此 比 例 遠 遠 高 於 排 名第 二 百 分 比 為 17% 的 Botswana。 更 甚 者 , 有 一 半 以 上 的 參 與 國 , 此 項 比 例 低 於5%。 我 國 這 樣 的 結 果 , 對 師 資 培 育 不 啻 是 一 個 大 震 撼 。 如 果 我 們 培 育 的 教 師 ,並 不 是 那 麼 想 當 老 師 , 這 不 是 一 種 社 會 資 源 的 浪 費 嗎 ? 在 看 到 此 數 據 後 , 曾 有 政府 官 員 樂 觀 地 解 讀 此 現 象 , 認 為 這 只 是 因 為 教 職 難 考 , 所 以 我 國 有 許 多 職 前 教 師並 不 想 當 老 師 。 然 而 這 樣 的 推 論 除 了 邏 輯 上 很 難 站 得 住 腳 外 , 與 研 究 的 事 實 狀 況並 不 符 合 。 這 個 題 目 是 問 正 在 中 小 學 進 行 教 育 實 習 的 職 前 教 師 如 何 看 待 個 人 的 教書 生 涯 ; 他 們 必 須 從 下 列 五 個 選 項 中 選 出 其 中 一 項 :(1) 我 期 望 教 書 是 我 的 終 身職 業 ;(2) 教 書 可 能 會 是 我 的 終 身 職 業 ;(3) 在 我 找 到 自 己 真 正 想 做 的 職 業 之 前 ,教 書 是 我 可 以 做 的 工 作 ;(4) 我 可 能 不 會 應 徵 教 職 ;(5) 我 不 知 道 。 如 果 是 因 為 教職 難 考 , 職 前 教 師 可 以 選 擇 第 一 個 選 項 , 顯 示 對 教 書 的 熱 誠 , 或 是 第 二 個 選 項 ,顯 示 職 業 選 擇 的 傾 向 , 這 兩 項 選 擇 表 示 我 們 培 育 出 想 教 書 , 但 是 在 高 度 競 爭 職 場上 卻 不 一 定 有 教 書 機 會 的 職 前 教 師 。 已 幾 乎 完 成 教 育 實 習 的 職 前 教 師 仍 有 高 比 例的 人 選 擇 第 (3) 及 第 (4) 項 , 某 種 程 度 來 說 象 徵 著 師 資 培 育 教 育 資 源 的 浪 費 。 臺 灣是 一 個 重 視 教 育 的 國 家 , 希 望 教 師 對 教 學 抱 持 著 正 面 的 態 度 , 這 個 相 反 的 發 現 值得 教 育 界 關 注 。 而 若 這 些 職 前 教 師 已 經 有 機 會 任 教 職 , 其 職 業 意 向 是 否 有 所 轉 變 ,職 業 熱 誠 程 度 是 否 增 加 , 是 頗 值 得 研 究 的 問 題 。不 管 在 哪 一 個 國 際 教 師 評 比 研 究 中 , 教 師 的 信 念 總 是 不 可 或 缺 的 要 角 。 教 師的 信 念 往 往 會 影 響 其 教 學 的 決 策 與 進 行 (Stipek, Givvin, Salmon, & MacGyvers,2001)。 信 念 一 詞 至 今 仍 未 存 在 一 致 的 定 義 ,Rokeach (1968) 認 為 信 念 是 任 何 一 個可 用 「 我 相 信 …」(I believe that…) 這 樣 的 語 句 來 推 進 之 簡 單 主 張 (simpleproposition), 而 此 主 張 的 內 容 (content) 可 以 包 含 描 述 某 事 物 的 真 假 或 對 錯 的 ( 描述 型 信 念 ,descriptive belief), 也 可 以 包 含 評 價 某 事 物 的 好 壞 ( 評 價 型 信 念 ,evaluative belief)。在 數 學 學 習 信 念 上 ,Barkastas 和 Malone (2005) 提 出 當 代 - 建 構 取 向 、 傳 統 -傳 遞 - 訊 息 處 理 取 向 , 具 當 代 - 建 構 取 向 之 教 學 信 念 者 相 信 教 師 應 提 供 機 會 讓 學 生258
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展自 己 建 構 數 學 想 法 , 具 傳 統 - 傳 遞 - 訊 息 處 理 取 向 者 相 信 教 師 負 責 傳 遞 數 學 知 識 ,而 學 生 是 這 些 知 識 的 接 收 者 ; 前 者 強 調 學 生 主 導 的 層 面 , 後 者 則 強 調 教 師 指 導 層面 。 唐 書 志 、 謝 豐 瑞 (in press) 分 析 國 際 中 學 數 學 職 前 教 師 的 資 料 , 發 現 另 存 在 一個 因 素 , 他 們 稱 其 為 功 利 教 學 因 素 , 如 : 解 數 學 問 題 時 , 相 較 於 解 題 過 程 , 得 出正 確 答 案 更 為 重 要 這 類 信 念 ; 在 這 個 信 念 中 , 解 題 過 程 仍 是 在 教 師 指 導 的 範 疇 中 ,不 重 視 之 , 乃 是 因 為 只 要 答 對 這 樣 的 功 利 信 念 。師 資 職 前 培 育 正 如 中 小 學 學 生 教 育 一 般 , 是 世 界 各 國 教 育 體 系 中 的 一 環 , 其重 要 性 不 言 而 喻 , 然 而 其 究 竟 應 包 含 哪 些 科 目 與 內 涵 , 則 一 直 是 學 術 界 在 探 討 的問 題 。Swars, Simth, & Smith (2009) 認 為 數 學 師 資 培 育 最 重 要 的 目 的 之 一 即 是 要在 培 育 的 歷 程 中 使 職 前 教 師 有 所 「 改 變 」。 他 們 透 過 調 整 數 學 師 資 培 育 學 程 的 科目 與 內 涵 , 進 行 了 一 個 為 期 兩 年 的 追 蹤 研 究 。 學 程 中 他 們 透 過 修 習 課 程 與 分 布 實習 企 圖 改 變 職 前 教 師 在 教 學 效 能 信 念 、 特 定 數 學 知 識 (SCK)、 學 生 學 習 及 數 學焦 慮 上 的 改 變 , 結 果 發 現 , 他 們 在 學 程 上 的 調 整 , 確 實 提 供 職 前 教 師 一 個 「 改 變 」的 支 持 環 境 。 這 樣 的 結 果 , 證 實 了 教 師 教 育 確 實 有 其 影 響 。 然 而 這 樣 的 改 變 或 是這 樣 的 影 響 , 究 竟 代 表 的 意 義 是 什 麼 呢 ? 是 否 代 表 著 對 在 職 後 實 際 教 學 有 所 助 益呢 ? 這 類 問 題 的 探 究 可 提 供 師 資 培 育 學 程 實 用 的 資 訊 , 以 發 展 更 符 合 職 場 需 求 的師 資 培 育 課 程 或 經 驗 。初 任 教 師 的 研 究 包 含 初 任 教 師 的 教 學 適 應 ( 例 如 ,Wilson, Ireton, & Wood,1997; Kuzmic, 1994 ) 以 及 初 任 教 師 的 信 念 ( 例 如 ,Skott, 2001)。在 初 任 教 師 適 應 部 分 ,Forgasz & Leder (2006) 以 個 案 研 究 發 現 中 學 數 學 資深 教 師 及 初 任 教 師 壓 力 的 來 源 不 同 , 資 深 教 師 較 受 行 政 工 作 困 擾 , 而 初 任 教 師 較受 數 學 教 學 相 關 問 題 困 擾 。 他 們 共 同 會 進 行 的 活 動 有 九 類 : 數 學 教 學 、 備 課 、 專業 發 展 、 行 政 工 作 、 其 他 學 校 相 關 活 動 、 家 庭 事 務 (domestic activities)、 社 交 活動 、 旅 行 及 其 他 。Veenman(1984) 針 對 有 關 中 小 學 初 任 教 師 的 需 求 方 面 進 行 了 後設 文 獻 探 討 , 他 分 析 了 83 篇 有 關 初 任 教 師 困 難 與 需 求 的 研 究 , 歸 納 出 24 項 教 師的 需 求 , 包 括 : 班 級 常 規 、 親 師 關 係 、 課 堂 活 動 安 排 、 教 材 與 設 備 的 缺 乏 等 等 。台 灣 不 外 於 世 界 , 許 多 學 者 專 家 也 進 行 了 初 任 教 師 的 研 究 , 研 究 的 範 疇 也 與國 際 相 似 。 在 教 師 適 應 方 面 , 羅 綸 新 (2002) 以 問 卷 調 查 法 對 76 名 中 學 初 任 教 師進 行 調 查 , 探 討 其 在 工 作 適 應 及 輔 導 方 面 的 需 求 , 研 究 結 果 發 現 初 任 教 師 認 為 其所 修 習 之 教 育 學 程 有 助 其 勝 任 教 職 , 但 他 們 也 確 實 在 任 教 期 間 有 過 焦 慮 感 。 他 們最 希 望 任 教 學 校 能 做 的 事 就 是 能 指 派 有 經 驗 的 教 師 給 予 協 助 , 而 他 們 最 希 望 研 習的 主 題 是 與 任 教 科 目 相 關 的 新 進 知 識 。 在 專 業 發 展 方 面 , 張 德 銳 (2003) 指 出 , 初任 教 師 教 學 能 力 、 教 學 經 驗 不 足 、 教 學 負 荷 過 重 、 教 學 環 境 孤 立 。 這 些 使 得 初 任259
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展教 師 在 班 級 經 營 與 輔 導 、 課 程 與 教 學 、 學 習 評 量 、 人 際 關 係 等 等 面 向 上 都 有 迫 切成 長 的 需 求 。 陳 英 娥 、 林 福 來 (2003) 研 究 了 一 位 初 任 數 學 教 師 參 與 行 動 研 究 之 成長 狀 況 , 他 們 描 述 了 教 師 的 教 學 及 知 能 成 長 歷 程 , 也 發 現 初 任 教 師 教 學 活 動 從 都是 傳 統 活 動 轉 而 增 加 包 含 診 斷 教 學 及 培 養 學 生 數 學 感 的 創 新 活 動 , 而 在 教 學 思 維上 則 從 關 心 教 材 轉 為 關 心 學 生 想 法 。 曾 志 華 、 張 靜 嚳 (2006) 研 究 一 位 任 教 三 年的 初 任 教 師 在 專 業 發 展 上 的 狀 況 , 研 究 發 現 其 初 期 改 變 是 短 暫 易 放 棄 的 , 而 後 其改 變 則 持 續 穩 定 , 呈 現 「 成 長 網 路 」 之 型 態 。 他 們 同 時 發 現 改 變 個 案 教 師 的 因 素有 : 實 作 與 反 思 、 懷 疑 與 相 信 、 促 進 與 支 持 、 難 度 與 能 力 以 及 正 面 的 回 饋 。 除 了研 究 個 案 的 專 業 發 展 , 也 有 研 究 者 對 教 師 專 業 標 準 感 到 興 趣 。在 數 學 相 關 信 念 方 面 ,Potari & Georgiadou-Kabouridis (2009) 進 行 了 一 個 為 期四 年 長 期 追 蹤 的 小 學 個 案 教 師 研 究 , 該 研 究 探 討 教 師 由 職 前 最 後 一 年 轉 為 在 職 的前 三 年 中 , 其 信 念 透 過 數 學 的 教 學 與 學 習 是 如 何 發 展 的 。 從 教 師 的 行 動 與 反 思 中 ,兩 個 信 念 應 運 而 生 : 其 一 為 大 人 很 容 易 理 解 的 數 學 活 動 , 學 生 也 很 容 易 理 解 ; 另一 為 : 學 生 要 靠 他 們 自 己 實 際 參 與 各 式 各 樣 的 教 學 活 動 才 能 學 會 數 學 。 除 此 該 研究 亦 發 現 個 案 教 師 的 信 念 與 專 業 發 展 是 受 到 她 在 大 學 學 習 、 實 際 課 堂 教 學 、 在 職教 育 三 類 經 驗 交 織 互 動 所 影 響 。 多 數 初 任 教 師 的 研 究 或 是 職 前 與 初 任 教 師 的 比 較都 是 以 少 數 個 案 進 行 , 目 前 尚 無 大 樣 本 的 相 關 研 究 。台 灣 TEDS-M 研 究 已 取 得 中 學 數 學 職 前 教 師 全 國 普 測 的 數 據 ( 謝 豐 瑞 、 羅 昭強 、 謝 佳 叡 、 王 婷 瑩 ,in press), 得 到 職 前 教 師 包 含 教 職 意 向 、 數 學 教 學 相 關 信念 等 等 的 資 訊 , 本 研 究 因 而 追 蹤 這 些 TEDS-M 職 前 教 師 , 探 討 其 後 續 職 業 的 發展 與 適 應 情 形 及 任 教 職 後 的 轉 變 。研 究 方 法台 灣 TEDS-M 中 學 層 級 抽 樣 為 普 測 2007 年 上 學 期 參 與 教 育 實 習 之 實 習 生 ,參 與 率 為 97.3%, 實 際 參 與 人 數 共 365 人 , 經 過 加 權 後 人 數 為 375.00 人 , 實 際 參與 人 數 與 加 權 人 數 差 異 不 大 , 故 本 研 究 在 研 究 結 果 的 報 導 中 , 若 未 特 別 說 明 , 數據 皆 僅 以 加 權 後 人 數 報 導 。台 灣 TEDS-M 研 究 於 2007 年 11 月 至 2008 年 1 月 間 , 在 各 師 資 培 育 機 構 之某 次 教 育 實 習 返 校 座 談 時 , 以 < 中 學 數 學 科 職 前 教 師 問 卷 > 對 其 實 習 教 師 施 測 。本 研 究 於 2011 年 初 , 透 過 電 話 與 電 子 郵 件 , 與 全 體 共 365 位 台 灣 TEDS-M中 學 職 前 教 師 聯 絡 , 其 中 有 45 位 無 法 聯 絡 上 , 於 聯 絡 上 的 320 位 中 , 部 分 因 當兵 因 素 無 法 參 與 後 續 研 究 , 部 分 因 準 備 各 類 考 試 或 出 國 無 法 參 與 後 續 研 究 , 最 終260
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展共 225 位 答 應 參 與 研 究 。 因 本 研 究 採 線 上 收 集 資 料 , 資 料 收 集 網 站 由 美 國 設 計 發展 , 故 由 美 國 發 email 邀 請 函 請 這 225 位 中 學 層 級 樣 本 進 入 網 頁 填 答 , 這 個 歷 程耗 時 一 個 月 , 部 分 答 應 參 與 研 究 的 樣 本 , 或 因 又 另 有 要 事 , 或 因 不 常 使 用 email而 未 收 到 邀 請 函 , 致 使 最 終 未 參 與 研 究 。本 研 究 最 後 成 功 收 集 到 187 位 曾 參 與 台 灣 TEDS-M 中 學 層 級 研 究 的 樣 本 之追 蹤 研 究 線 上 調 查 資 料 , 為 全 部 中 學 層 級 TEDS-M 樣 本 的 51.2%, 超 過 一 半 , 加權 後 共 191.29 個 樣 本 。 線 上 資 料 收 集 網 站 的 名 稱 為 「 台 灣 中 學 數 學 師 資 培 育 研究 調 查 之 填 答 網 站 (Taiwan TEDS-M 2010)」, 在 資 料 收 集 完 成 後 , 已 關 閉 網 站 。資 料 收 集 期 間 約 為 5/10/2011-6/10/2011。 調 查 項 目 由 美 國 、 德 國 、 台 灣 TEDS-M總 計 畫 主 持 人 及 其 他 學 者 專 家 共 同 發 展 與 修 訂 。在 187 位 樣 本 中 , 曾 受 聘 教 職 者 為 148 位 , 加 權 後 為 151.31 位 , 受 聘 率 為79.2%, 這 些 受 聘 者 包 含 正 式 教 師 90.92 位 ( 於 97 或 98 學 年 度 曾 受 聘 為 正 式 教師 者 ; 占 受 聘 者 之 60.1%)、 代 理 教 師 47.10 位 ( 於 97 或 98 學 年 度 不 曾 受 聘 為 正式 教 師 , 但 曾 受 聘 為 代 理 教 師 者 i ; 占 受 聘 者 之 31.1%)、 代 課 或 兼 課 教 師 13.30位 ( 於 97 或 98 學 年 度 不 曾 受 聘 為 正 式 或 代 理 教 師 , 但 曾 受 聘 代 課 或 兼 課 ii ; 占受 聘 者 之 8.8%)。 受 聘 教 師 中 ,78.55 位 (51.9%) 為 國 中 教 師 ,55.59 位 (36.7%) 為高 中 教 師 , 另 16.17 位 (10.7%) 同 時 教 國 中 也 教 高 中 , 另 有 1.00 位 (0.7%) 未 填 答 這一 題 。研 究 結 果根 據 研 究 目 的 , 研 究 結 果 將 分 為 三 大 部 分 報 導 ; 教 書 工 作 的 適 應 情 形 、 數 學學 習 信 念 的 轉 變 、 師 資 培 育 對 實 際 教 學 相 關 工 作 的 助 益 。一 . 教 書 工 作 的 適 應 情 形• 職 業 滿 意 度我 國 初 任 一 或 二 年 的 中 學 數 學 教 師 對 於 他 們 的 職 業 滿 意 度 頗 高 ( 參 見 圖 一 ),針 對 所 有 受 聘 過 的 初 任 中 學 數 學 教 師 ( 含 正 式 、 代 理 、 兼 課 ), 高 達 92% 的 教 師認 為 教 書 是 令 他 們 滿 意 的 職 業 , 其 中 更 有 36% 的 達 到 非 常 滿 意 的 程 度 。261
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展Teaching is a Satisfactory Profession (%)604020036StronglyAgree558Agree Disagree StronglyDisagree0( 圖 一 ) TEDS-M 中 學 數 學 初 任 教 師 對 於 教 書 職 業 的 滿 意 度本 研 究 針 對 幾 項 可 能 的 職 業 滿 意 原 因 與 情 況 進 行 調 查 , 其 中 包 括 實 際 面 向 :「 我 服 務 的 學 校 是 個 理 想 的 教 書 地 點 」、 精 神 面 向 :「 能 實 現 我 的 抱 負 」、 情 意 面向 :「 讓 我 樂 在 其 中 」 與 生 活 面 向 :「 每 天 都 想 去 上 班 」。80706050403020100Percentages of Begining Teachers Rating JobSatisfaction FeaturesMy school is asatisfactory placeFulfillingaspirationEnjoyable jobWant to go towork each day( 圖 二 ) TEDS-M 中 學 數 學 初 任 教 師 對 於 教 書 職 業 各 面 向 的 認 同 度研 究 結 果 顯 示 , 中 學 數 學 初 任 教 師 對 這 些 面 向 都 達 到 滿 意 的 程 度 , 在 四 等 第「 非 常 同 意 」(4 分 )、「 同 意 」(3 分 )、「 不 同 意 」(2 分 )、「 非 常 不 同 意 」(1 分 ) 的量 尺 下 , 當 以 2.5 分 作 為 認 同 與 不 認 同 二 分 的 區 隔 時 , 這 四 項 平 均 數 皆 超 過 2.5分 , 其 中 「 能 實 現 我 的 抱 負 」 與 「 讓 我 樂 在 其 中 」 都 超 過 3 分 。 圖 ( 二 ) 顯 示 ,除 「 每 天 都 想 去 上 班 」 這 一 項 外 , 其 他 三 項 都 有 約 超 過 八 成 的 初 任 教 師 達 到 認 同的 程 度 , 而 被 最 多 初 任 教 師 認 同 的 等 級 為 「 同 意 」 等 級 , 另 這 三 項 認 同 程 度 等 級262
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展分 布 樣 式 類 似 。「 每 天 都 想 去 上 班 」 這 一 項 與 其 他 三 項 的 樣 式 有 所 不 同 , 雖 有 半數 (55%) 達 認 同 等 級 , 但 與 不 認 同 等 級 僅 有 10% 的 差 異 。本 研 究 另 探 測 正 式 與 代 理 兩 種 不 同 職 位 中 學 數 學 初 任 教 師 在 職 業 滿 意 度 上的 差 異 。 研 究 結 果 顯 示 , 正 式 及 代 理 教 師 對 職 業 的 滿 意 度 沒 有 顯 著 差 異 , 但 高 中教 師 對 職 業 較 為 滿 意 ( 參 閱 表 ( 一 ))。表 ( 一 ) 不 同 職 位 及 不 同 學 校 層 級 中 學 數 學 初 任 教 師 職 業 滿 意 度 比 較不 同 層 級 之 數 學 初 任 教 師 不 同 職 位 之 數 學 初 任 教 師職 業 滿 意 度 項 目國 中 高 中 差 異 正 式 代 理 差 異教 書 是 令 我 滿 意 的 職 業 3.20 3.42 顯 著 3.27 3.30 不 顯 著能 實 現 我 的 抱 負 2.93 3.11 不 顯 著 3.00 3.08 不 顯 著讓 我 樂 在 其 中 2.94 3.16 顯 著 2.99 3.11 不 顯 著每 天 都 想 去 上 班 2.48 2.78 顯 著 2.54 2.72 不 顯 著• 職 業 困 難 與 挑 戰本 研 究 在 探 測 教 書 工 作 的 困 難 情 形 上 , 包 含 軟 體 ( 如 人 與 事 ) 及 硬 體 ( 如 物 )的 維 度 , 也 包 含 學 科 教 學 與 學 校 環 境 的 維 度 。本 研 究 詢 問 受 聘 樣 本 「 在 教 職 工 作 中 , 您 遭 遇 過 下 列 哪 些 困 難 或 挑 戰 ?」,針 對 每 一 項 , 他 們 可 以 在 四 個 描 述 :「 是 主 要 的 困 難 或 挑 戰 」(3 分 )、「 是 次 要 的困 難 或 挑 戰 」(2 分 )、「 毫 無 問 題 」(1 分 )、「 與 我 的 工 作 無 關 」 中 勾 選 一 個 描 述 。針 對 所 有 受 聘 過 的 初 任 中 學 數 學 教 師 ( 含 正 式 、 代 理 、 兼 課 ), 本 研 究 發 現 , 在「 教 自 然 科 目 」、「 教 語 文 科 目 」、「 社 會 科 目 」 上 , 分 別 有 15.9%、13.9%、8.8%的 初 任 教 師 未 勾 選 「 與 我 的 工 作 無 關 」, 反 而 勾 選 前 面 三 種 描 述 之 一 , 這 可 能 意味 者 這 些 教 師 在 教 數 學 的 同 時 , 也 被 分 派 教 其 他 科 目 。 針 對 教 職 種 類 來 看 , 僅 一位 兼 課 教 師 未 勾 選 教 其 他 科 目 與 其 工 作 無 關 。 正 式 教 師 或 代 理 教 師 未 勾 選 教 其 他科 目 與 其 工 作 無 關 的 比 例 較 高 ; 在 正 式 教 師 中 , 未 勾 選 教 自 然 、 語 文 、 社 會 科 目與 其 工 作 無 關 的 比 例 分 別 為 17.1%、13.8%、8.2%; 在 代 理 教 師 中 , 比 例 則 為 10.6%、15.1%、10.6%。 這 些 未 勾 選 教 其 他 科 目 與 其 工 作 無 關 的 初 任 教 師 在 這 些 科 目 的教 學 上 平 均 認 為 是 次 要 的 困 難 , 其 平 均 數 分 別 為 自 然 1.81 分 , 語 文 1.85 分 , 社會 2.08 分 。其 他 困 難 項 目 包 括 「 教 數 學 科 目 」、「 班 級 經 營 / 學 生 行 為 」、「 與 家 長 合 作 」、「 教 學 時 間 的 控 管 」 等 與 教 數 學 直 接 相 關 的 項 目 , 以 及 「 與 學 校 行 政 協 調 」、「 校園 暴 力 」 等 等 與 學 校 環 境 相 關 的 項 目 。 表 ( 二 ) 顯 示 這 些 項 目 的 統 計 數 值 。 由 表 ( 二 )可 知 , 中 學 數 學 初 任 教 師 在 教 職 工 作 上 所 遭 遇 的 最 大 挑 戰 為 班 級 經 營 , 其 次 為 與263
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展家 長 合 作 , 其 中 高 達 54.5% 的 初 任 教 師 認 為 班 級 經 營 是 他 們 在 教 職 上 所 遭 遇 的 主要 困 難 , 超 過 半 數 的 中 學 數 學 初 任 教 師 認 為 與 家 長 合 作 及 與 學 校 行 政 協 調 是 次 要的 困 難 。 超 過 半 數 的 中 學 數 學 初 任 教 師 認 為 教 數 學 這 一 科 毫 無 困 難 , 然 而 仍 有16.4% 認 為 教 數 學 是 其 教 職 工 作 中 的 主 要 困 難 與 挑 戰 。 與 學 校 其 他 教 師 相 處 整 體來 說 不 算 是 初 任 教 師 的 困 難 , 將 近 七 成 的 初 任 教 師 覺 得 沒 有 困 難 。表 ( 二 ) 中 學 數 學 初 任 教 師 在 教 職 工 作 中 遭 遇 之 困 難 或 挑 戰 統 計 值困 難 與 挑 戰 項 目主 要 困難 (%)次 要 困難 (%)毫 無 困難 (%)平 均 數標 準 誤班 級 經 營 / 學 生 行 為 54.5 34.4 11.2 2.43 .056與 家 長 合 作 25.4 59.6 15.0 2.10 .052與 學 校 行 政 協 調 9.7 54.3 36.0 1.74 .052教 數 學 科 目 16.4 32.1 51.5 1.65 .061校 園 暴 力 6.4 49.6 44.0 1.62 .051學 校 的 設 備 及 環 境 3.5 43.0 53.5 1.50 .047教 學 時 間 的 控 管 4.2 33.3 62.5 1.42 .047與 學 校 老 師 相 處 3.5 29.2 67.3 1.36 .045困 難 與 挑 戰 主 要 困 難 次 要 困 難 毫 無 困 難 Row effects教 數 學 科 目 0 -10 0 7與 家 長 合 作 0 8 -45 16班 級 經 營 / 學 生 行 為 46 0 -32 -1與 學 校 行 政 協 調 0 19 -9 0學 校 的 設 備 及 環 境 -14 0 1 8校 園 暴 力 -3 15 0 0與 學 校 老 師 相 處 0 0 29 -6教 學 時 間 的 控 管 -3 0 20 -2Column effects -26 0 9 35( 圖 三 ) 中 學 數 學 初 任 教 師 在 教 職 工 作 中 遭 遇 困 難 之 百 分 比 Median Polish 分 析對 初 任 教 師 而 言 , 這 些 困 難 與 挑 戰 強 度 的 情 形 不 盡 相 同 , 為 瞭 解 此 情 形 , 本研 究 對 表 ( 二 ) 中 的 百 分 比 進 行 Median Polish 分 析 , 圖 ( 三 ) column effects 顯 示 , 在困 難 等 第 上 ,「 主 要 困 難 」 是 最 少 的 , 而 「 毫 無 困 難 」 是 最 多 的 。 在 困 難 項 目 上 ,row effect 及 residuals 顯 示 , 相 較 於 整 體 困 難 情 形 ,「 與 家 長 合 作 」 的 「 毫 無 困 難 」264
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展等 第 比 例 偏 低 , 而 「 班 級 經 營 / 學 生 行 為 」 的 residuals 顯 示 , 相 對 於 其 他 項 目 來看 , 其 「 主 要 困 難 」 比 例 明 顯 偏 高 ,「 毫 無 困 難 」 比 例 也 明 顯 偏 低 。「 與 學 校 行 政協 調 」 相 較 於 其 他 項 目 , 在 「 毫 無 困 難 」 等 級 的 比 例 偏 低 , 值 得 注 意 。「 與 學 校老 師 相 處 」 及 「 教 學 時 間 的 控 管 」 具 有 類 似 的 困 難 等 第 分 布 , 其 毫 無 困 難 等 第 比例 偏 高 。 其 他 各 困 難 項 目 間 沒 有 相 似 的 分 布 情 形 。• 教 師 職 業 生 涯 態 度教 師 職 業 適 應 某 種 程 度 會 反 應 在 是 否 願 意 繼 續 從 事 教 職 。 本 研 究 因 而 以 一 個單 選 題 探 討 曾 受 聘 的 中 學 數 學 初 任 教 師 之 教 職 生 涯 態 度 。 此 題 為 TEDS-M 施 測之 題 目 , 題 目 僅 做 非 常 微 幅 修 改 , 以 符 合 施 測 當 下 的 情 境 。 題 目 要 求 初 任 教 師 在下 列 五 個 選 項 中 勾 選 其 中 一 個 以 反 映 其 在 填 答 問 卷 當 時 如 何 看 待 自 己 的 教 師 生涯 :a) 我 願 意 把 教 書 當 作 我 的 終 身 職 業 ;b) 教 書 也 許 會 是 我 的 終 身 職 業 ;c) 在我 找 到 自 己 真 正 想 做 的 職 業 之 前 , 教 書 是 我 可 以 做 的 工 作 ;d) 在 不 久 的 將 來 ,我 可 能 不 再 從 事 教 職 ;e) 我 不 知 道 。表 ( 三 ) TEDS-M 中 學 數 學 初 任 教 師 教 職 生 涯 態 度 的 維 持 與 轉 變 百 分 比從 事 教 職 後願 意 當 終 也 許 會 是 視 為 中 繼 可 能 不 再不 知 道 總 和身 職 業 終 身 職 業 職 業 從 事 教 職教 學 實 習 期 間願 意 當 終 身 職 業 37.7 11.7 2.0 1.3 0.0 52.7也 許 會 是 終 身 職 業 16.4 9.6 4.8 1.4 0.0 32.1視 為 中 繼 職 業 1.4 6.9 6.2 0.0 0.0 14.5不 準 備 找 教 職 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0不 知 道 0.0 0.0 0.7 0.0 0.0 0.7總 和 55.4 28.2 13.7 2.7 0.0 100.0研 究 結 果 發 現 僅 37.7% 的 初 任 教 師 自 始 自 終 都 維 持 願 意 將 教 書 當 作 終 身 職業 的 態 度 ( 參 閱 表 ( 三 )),16.4% 的 初 任 教 師 在 實 習 期 間 雖 未 肯 定 願 意 終 身 從 事 教職 , 但 在 從 事 教 職 後 , 轉 為 願 意 終 身 從 事 教 職 。 不 論 從 事 教 職 前 或 後 , 這 些 受 聘的 初 任 教 師 都 僅 有 五 成 多 的 樣 本 願 意 將 教 書 當 成 終 身 職 業 , 職 業 熱 誠 度 與 滿 意 度並 未 全 然 一 致 , 一 個 可 能 的 原 因 是 , 這 些 受 聘 者 僅 有 六 成 為 正 式 教 師 , 其 他 職 位的 許 多 教 師 無 法 肯 定 未 來 工 作 的 可 能 性 致 使 熱 誠 度 不 足 , 如 果 不 是 這 種 狀 況 , 而是 正 式 教 師 的 熱 誠 度 不 足 , 那 麼 將 是 教 育 界 的 一 大 課 題 。 本 研 究 因 而 針 對 正 式 與代 理 教 師 之 教 職 生 涯 態 度 進 行 分 析 。表 ( 四 ) 顯 示 , 正 式 教 師 有 接 近 六 成 的 比 例 願 意 將 教 書 當 成 其 終 身 職 業 , 換 句話 說 , 有 四 成 的 正 式 教 師 未 勾 選 願 意 將 教 書 當 成 其 終 身 職 業 ( 此 項 目 在 問 卷 上 排265
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展序 為 第 一 位 ), 轉 而 勾 選 其 他 教 職 熱 誠 度 較 弱 的 項 目 。 在 已 有 正 式 教 職 下 , 仍 有8% 的 初 任 教 師 表 示 教 師 只 是 其 在 找 到 自 己 真 正 想 做 的 職 業 之 前 可 以 做 的 工 作 ,另 有 3.4% 的 初 任 教 師 甚 至 在 不 久 的 將 來 就 可 能 不 再 從 事 教 職 。台 灣 代 理 教 師 都 至 少 有 一 學 期 的 教 職 工 作 , 且 其 工 作 內 容 與 正 式 教 師 相 同 ,在 此 情 況 下 , 約 一 半 的 代 理 教 師 職 業 熱 誠 度 足 夠 , 願 意 將 教 書 當 成 其 終 身 職 業 ,但 高 達 兩 成 的 代 理 教 師 僅 視 教 職 為 在 找 到 自 己 真 正 想 做 的 職 業 之 前 可 以 做 的 工作 。表 ( 四 ) TEDS-M 中 學 正 式 與 代 理 數 學 初 任 教 師 教 職 生 涯 態 度 狀 況統 計 值正 式 教 師代 理 教 師從 事 教 職 後次 數 有 效 百 分 比 累 積 百 分 比 次 數 有 效 百 分 比 累 積 百 分 比願 意 當 終 身 職 業 52.04 58.5 58.5 23.53 49.9 49.9也 許 會 是 終 身 職 業 26.70 30.0 88.5 12.29 26.1 76.1視 為 中 繼 職 業 7.12 8.0 96.6 10.28 21.8 97.9可 能 不 再 從 事 教 職 3.06 3.4 100.0 1.00 2.1 100.0總 和 88.92 100.0 47.10 100.0遺 漏 值 2.00 0.00總 和 90.92 47.10二 . 師 資 培 育 對 實 際 教 學 相 關 工 作 的 助 益我 國 目 前 所 有 欲 取 得 教 師 資 格 者 , 皆 須 修 習 過 國 家 法 律 規 範 之 師 資 培 育 學 程 ,師 資 培 育 學 程 除 了 是 師 資 生 取 得 教 師 資 格 的 必 備 條 件 外 , 是 否 對 其 就 職 後 實 際 教學 相 關 工 作 有 所 助 益 呢 ? 針 對 這 個 議 題 , 本 研 究 包 含 19 個 項 目 ( 參 閱 表 ( 五 )),針 對 每 一 項 , 中 學 數 學 初 任 教 師 在 「 幫 助 甚 微 」(1 分 )、「 些 許 幫 助 」(2 分 )、「 適當 幫 助 」(3 分 )、「 幫 助 甚 大 」(4 分 ) 四 個 等 第 中 選 擇 其 認 同 的 等 第 。 本 研 究 結 合前 二 等 第 , 視 為 「 助 益 不 足 」 等 級 , 結 合 後 二 等 第 , 視 為 「 助 益 足 夠 」 等 級 。 研究 結 果 發 現 大 多 數 工 作 項 目 , 都 有 超 過 半 數 的 初 任 教 師 認 為 師 資 培 育 課 程 對 其 勝任 該 工 作 助 益 足 夠 , 可 喜 的 是 , 僅 5 個 工 作 項 目 認 為 助 益 足 夠 者 低 於 半 數 , 這 5個 項 目 中 ,「 在 惡 劣 的 學 校 環 境 下 工 作 」 及 「 與 家 長 合 作 」 兩 項 有 高 達 七 成 五 的 初任 教 師 認 為 師 資 培 育 課 程 對 其 勝 任 這 些 工 作 助 益 不 足 , 從 我 國 現 實 狀 況 來 看 , 也許 師 資 培 育 者 本 身 即 缺 乏 這 樣 的 知 能 或 經 驗 , 更 遑 論 培 養 學 生 這 方 面 的 能 力 。 另3 項 都 為 數 學 教 育 課 程 應 涵 蓋 的 內 容 , 尤 其 是 「 教 導 學 生 解 決 非 例 行 性 問 題 」 應為 課 堂 教 學 的 要 角 之 一 , 而 「 根 據 課 程 綱 要 來 評 鑑 學 生 的 數 學 學 習 成 效 」 亦 應 為266
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展基 本 素 養 之 一 , 從 我 國 現 實 狀 況 來 看 , 中 學 數 學 教 師 往 往 使 用 坊 間 現 成 的 題 目 測驗 學 生 , 而 缺 乏 回 歸 根 本 , 有 所 依 據 的 命 題 。雖 然 其 他 項 目 都 有 超 過 五 成 的 初 任 教 師 認 為 師 資 培 育 學 程 助 益 足 夠 , 然 而 ,究 竟 五 成 是 否 值 得 教 育 界 滿 意 , 仍 是 頗 該 思 辯 的 問 題 。 舉 例 來 說 , 在 「 教 導 學 生作 數 學 證 明 」 這 類 必 須 面 對 的 工 作 , 在 「 教 導 學 生 使 用 演 算 法 則 」 以 及 「 在 教 學中 融 入 班 級 經 營 策 略 來 改 善 學 生 行 為 」 這 類 幾 乎 每 節 課 都 必 用 到 的 知 能 , 仍 有 四成 或 更 多 初 任 教 師 認 為 師 資 培 育 學 程 的 培 育 對 其 助 益 不 足 , 似 乎 比 例 過 高 。表 ( 五 ) 師 資 培 育 學 程 對 中 學 數 學 初 任 教 師 實 際 教 學 工 作 助 益 情 形助 益 不 助 益 足數 學 教 學 培 育 度 -- 數 學 教 育 及 教 育 面 向 平 均 數 標 準 誤足 (%) 夠 (%)在 惡 劣 的 學 校 環 境 下 工 作 1.82 .068 80.1 19.9與 家 長 合 作 1.87 .076 76.6 23.4教 導 學 生 模 擬 真 實 世 界 情 況 2.35 .075 58.1 41.9根 據 課 程 綱 要 來 評 鑑 學 生 的 數 學 學 習 成 效 2.45 .068 51.2 48.8教 導 學 生 解 決 非 例 行 性 問 題 2.48 .069 50.4 49.6教 導 學 生 作 數 學 證 明 2.50 .078 45.8 54.2在 教 學 中 融 入 班 級 經 營 策 略 來 改 善 學 生 行 為 2.65 .075 40.7 59.3教 導 學 生 使 用 演 算 法 則 2.65 .070 38.8 61.2瞭 解 數 學 課 程 綱 要 2.74 .071 32.4 67.6提 供 學 生 學 習 數 學 的 回 饋 2.80 .067 33.9 66.1擬 訂 數 學 單 元 教 學 計 畫 2.83 .068 32.8 67.2充 分 了 解 學 生 如 何 學 習 數 學 2.84 .074 31.9 68.1診 斷 學 生 的 數 學 成 就 2.84 .059 27.2 72.8討 論 並 分 享 數 學 課 本 與 教 學 材 料 2.84 .071 31.4 68.6分 析 學 生 的 學 習 反 應 2.87 .061 29.4 70.6發 展 激 發 學 生 數 學 思 考 的 問 題 2.90 .067 32.9 67.1教 學 時 間 的 控 管 2.94 .064 21.4 78.6探 知 學 生 的 數 學 先 備 知 識 2.95 .070 25.9 74.1運 用 不 同 的 數 學 教 學 方 法 3.09 .063 20.3 79.7註 : 表 中 深 色 陰 影 表 示 數 學 教 育 課 應 培 育 項 目 ; 淺 色 陰 影 表 示 一 般 教 育 及 數 學 教 育 中 應 培 育 項 目 ;無 陰 影 表 示 一 般 教 育 應 培 育 項 目 。三 . 數 學 學 習 信 念在 數 學 學 習 信 念 部 分 , 共 有 14 個 項 目 , 在 這 些 項 目 中 , 國 際 TEDS-M 根 據中 小 學 的 樣 本 , 透 過 CFA 因 素 分 析 將 這 些 項 目 分 成 兩 個 因 素 , 然 而 其 一 為 學 生267
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展主 導 層 面 (Active learning), 另 一 為 教 師 指 導 層 面 (Teacher direction)。 台 灣 TEDS-M團 隊 針 對 中 學 數 學 教 師 的 樣 本 , 透 過 CFA 將 這 些 項 目 分 成 三 個 因 素 ( 唐 書 志 、 謝豐 瑞 ,in press), 較 兩 個 因 素 解 釋 變 異 的 效 果 為 高 。 其 中 學 生 主 導 因 素 包 含 下 列六 項 :1) 教 師 應 該 容 許 學 生 想 出 自 己 的 解 法 來 解 數 學 問 題 。2) 除 了 得 到 正 確 的 數 學 答 案 , 了 解 為 什 麼 答 案 正 確 也 很 重 要 。3) 討 論 特 定 問 題 的 不 同 解 法 , 對 學 生 是 有 幫 助 的 。4) 即 使 學 生 解 數 學 問 題 的 方 法 可 能 沒 有 效 率 , 老 師 仍 應 鼓 勵 學生 找 出 自 己 的 解 法 。5) 把 時 間 花 在 探 究 為 何 某 個 數 學 解 法 有 效 是 很 值 得 的 。6) 沒 有 老 師 的 幫 助 , 學 生 也 可 以 想 出 解 決 數 學 問 題 的 方 法 。在 教 師 指 導 因 素 方 面 , 包 含 三 個 項 目 :1) 學 生 用 心 聽 老 師 的 講 解 是 學 好 數 學 的 最 佳 方 法 。2) 學 生 需 要 被 教 導 精 確 的 數 學 解 題 步 驟 。3) 把 所 有 的 公 式 背 下 來 , 是 學 好 數 學 的 最 好 方 法 。在 功 利 教 學 因 素 方 面 , 包 含 四 個 項 目 :1) 教 師 應 該 不 鼓 勵 非 標 準 程 序 的 解 法 , 因 為 會 對 標 準 程 序 解 法產 生 學 習 干 擾 。2) 當 學 生 解 數 學 問 題 時 , 相 較 於 解 題 過 程 , 應 該 更 強 調 正 確 的答 案 。3) 只 要 能 解 得 出 某 個 問 題 的 正 確 答 案 , 那 麼 是 否 瞭 解 這 個 問 題並 沒 有 關 係 。4) 我 們 不 值 得 花 時 間 和 金 錢 讓 學 生 有 動 手 操 作 數 學 的 經 驗 。針 對 這 些 項 目 , 本 研 究 比 較 中 學 初 任 數 學 教 師 於 在 職 教 學 一 、 二 年 後 及 教 學前 教 育 實 習 時 信 念 是 否 有 所 轉 變 , 以 及 其 轉 變 的 情 形 。 因 為 信 念 的 轉 變 需 要 較 長的 時 間 或 較 強 的 刺 激 , 本 研 究 因 而 剔 除 兼 課 教 師 , 僅 選 擇 正 式 與 代 理 教 師 進 行 比較 , 共 138 人 , 佔 受 聘 總 人 數 的 91.2%。 題 目 要 求 受 測 者 針 對 各 項 有 關 數 學 學 習的 敘 述 , 勾 選 其 同 意 的 等 第 , 共 六 等 第 , 分 別 為 「 非 常 不 同 意 」(1 分 )、「 不 同 意 」(2 分 )、「 算 是 不 同 意 」(3 分 )、「 還 算 同 意 」(4 分 )、「 同 意 」(5 分 )、「 非 常 同 意 」(6 分 )。研 究 結 果 發 現 , 這 些 初 任 教 師 在 職 前 教 育 實 習 時 , 學 生 主 導 層 面 各 題 上 , 認同 等 級 都 頗 高 ( 參 閱 圖 ( 四 )), 各 題 平 均 都 超 過 4.5 分 , 偏 向 「 同 意 」 等 級 , 在 「 教268
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展師 應 該 容 許 學 生 想 出 自 己 的 解 法 來 解 數 學 問 題 」 這 一 項 , 平 均 甚 至 超 過 5.5 分 ,偏 向 「 非 常 同 意 」 等 級 。 教 師 也 認 同 討 論 一 題 多 解 對 學 生 的 學 習 有 幫 助 。這 些 教 師 經 過 一 、 兩 年 教 學 後 , 在 學 生 主 導 層 面 各 題 上 , 分 數 雖 有 些 微 滑 落 ,但 都 未 達 顯 著 (p
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展程 序 解 法 產 生 學 習 干 擾 」 也 提 升 將 近 1 個 等 第 , 這 一 項 是 教 師 教 導 層 面 及 功 利 教學 層 面 中 , 唯 一 由 負 向 認 同 轉 為 正 向 認 同 的 信 念 。 雖 然 這 兩 個 面 向 的 信 念 強 度 有所 提 升 , 但 整 體 而 言 仍 低 於 學 生 主 導 層 面 中 各 項 的 信 念 強 度 , 而 功 利 教 學 層 面 的信 念 強 度 仍 低 於 教 師 教 導 層 面 的 強 度 達 約 1 個 等 第 。針 對 教 師 指 導 層 面 與 功 利 教 學 層 面 的 信 念 轉 變 , 本 研 究 對 於 正 式 教 師 與 代 理教 師 是 否 有 相 同 程 度 的 轉 變 感 到 好 奇 , 原 因 有 二 :1) 因 為 信 念 是 教 學 處 理 的 根據 之 一 (Stipek, Givvin, Salmon, & MacGyvers, 2001), 若 一 般 學 校 教 師 較 重 視 教 師教 導 或 功 利 主 義 , 則 可 能 在 聘 任 時 即 趨 向 聘 任 教 師 教 導 信 念 或 功 利 教 學 信 念 較 高的 職 前 教 師 ;2) 因 為 職 業 的 確 定 性 可 能 影 響 對 課 堂 氣 氛 的 解 讀 , 進 而 影 響 信 念 ,使 正 式 與 代 理 教 師 信 念 轉 變 可 能 有 所 差 異 。 為 探 究 第 一 個 問 題 , 本 研 究 檢 定 正 式與 代 理 初 任 教 師 在 職 前 教 育 實 習 時 信 念 是 否 有 所 差 異 , 研 究 結 果 顯 示 在 學 生 主 導層 面 上 , 正 式 教 師 信 念 幾 乎 皆 略 高 於 代 理 教 師 , 但 僅 在 「 教 師 應 該 容 許 學 生 想 出自 己 的 解 法 來 解 數 學 問 題 」 一 項 上 達 到 顯 著 (P
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展老 師 的 講 解 是 學 好 數 學 的 最 佳 方 法 」 該 項 信 念 , 正 式 教 師 明 顯 低 於 代 理 教 師 , 但同 樣 未 達 顯 著 。 這 個 結 果 顯 示 , 不 論 是 代 理 或 正 式 初 任 教 師 , 其 信 念 的 轉 變 幾 乎相 當 。本 研 究 另 好 奇 在 不 同 層 級 的 中 學 課 堂 中 , 是 否 因 為 教 學 內 容 與 課 堂 文 化 的 差異 使 得 初 任 教 師 有 不 同 的 信 念 ? 以 t 檢 定 比 較 僅 教 過 高 中 及 僅 教 過 國 中 兩 群 初 任正 式 與 代 理 教 師 的 信 念 平 均 數 發 現 , 僅 在 「 即 即 使 學 生 解 數 學 問 題 的 方 法 可 能 沒有 效 率 , 老 師 仍 應 鼓 勵 學 生 找 出 自 己 的 解 法 」 這 一 項 上 , 高 中 初 任 教 師 信 念 強 度顯 著 較 國 中 初 任 教 師 強 (p
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展意 把 教 書 當 作 終 身 職 業 的 中 學 數 學 初 任 教 師 , 在 帶 領 國 家 未 來 棟 梁 時 的 熱 誠 與 心態 , 值 得 關 注 , 是 否 影 響 其 教 學 , 該 如 何 穩 定 教 師 的 心 態 , 增 加 教 職 的 熱 誠 , 是教 育 當 局 與 師 資 培 育 界 應 加 以 著 力 之 處 。• 師 資 培 育 學 程 的 助 益我 國 目 前 所 有 欲 取 得 教 師 資 格 者 , 皆 須 修 習 師 資 培 育 學 程 , 師 資 培 育 學 程 除了 是 師 資 生 取 得 教 師 資 格 的 必 備 條 件 外 , 是 否 對 其 就 職 後 實 際 教 學 相 關 工 作 有 所助 益 呢 ? 針 對 各 項 教 學 相 關 工 作 , 本 研 究 發 現 有 自 20%~80% 不 等 的 TEDS-M 初任 教 師 認 為 師 資 培 育 學 程 對 其 教 學 相 關 工 作 助 益 足 夠 , 其 中 僅 有 五 項 認 為 助 益 足夠 者 低 於 半 數 。 然 而 , 在 「 教 導 學 生 作 數 學 證 明 」 這 類 必 須 面 對 的 工 作 , 在 「 教導 學 生 使 用 演 算 法 則 」 以 及 「 在 教 學 中 融 入 班 級 經 營 策 略 來 改 善 學 生 行 為 」 這 類幾 乎 每 節 課 都 必 用 到 的 知 能 , 仍 有 四 成 或 更 多 TEDS-M 初 任 教 師 認 為 師 資 培 育學 程 的 培 育 對 其 助 益 不 足 , 這 是 否 意 味 四 成 以 上 被 初 任 教 師 教 到 的 班 級 , 其 教 師得 自 我 於 在 職 時 發 展 或 掙 扎 , 找 出 如 何 教 這 些 項 目 的 方 法 , 更 甚 者 , 若 放 棄 這 些教 師 將 不 具 備 這 樣 的 能 力 。 此 問 題 頗 值 得 教 育 界 反 思 與 研 究 。• 數 學 學 習 信 念 的 轉 變台 灣 TEDS-M 中 學 數 學 初 任 教 師 不 論 是 職 前 或 職 後 , 都 高 度 認 同 學 生 主 導層 面 的 數 學 學 習 信 念 , 其 教 師 教 導 層 面 由 職 前 的 負 向 認 同 轉 為 職 後 的 正 向 認 同 ,功 利 教 學 層 面 雖 職 後 較 強 , 但 與 職 前 都 維 持 在 負 向 認 同 的 等 級 , 顯 示 我 國TEDS-M 中 學 職 前 初 任 教 師 偏 向 開 放 建 構 導 向 的 數 學 學 習 信 念 , 較 不 認 同 傳 統 封閉 的 信 念 。 本 研 究 另 發 現 , 在 學 生 主 導 層 面 上 , 正 式 教 師 信 念 幾 乎 皆 略 高 於 代 理教 師 , 但 僅 在 「 教 師 應 該 容 許 學 生 想 出 自 己 的 解 法 來 解 數 學 問 題 」 一 項 上 達 到 顯著 , 而 在 教 師 指 導 及 功 利 教 學 層 面 上 , 正 式 教 師 於 任 職 前 信 念 平 均 數 幾 乎 皆 略 低於 代 理 教 師 , 但 沒 有 一 項 達 到 顯 著 差 異 。 正 式 教 師 於 職 前 學 生 主 導 層 面 信 念 略 高於 代 理 教 師 的 現 象 是 否 表 示 學 生 主 導 層 面 信 念 較 高 者 有 較 高 的 機 會 獲 得 正 式 教職 , 仍 是 一 個 開 放 值 得 研 究 的 問 題 。整 體 而 言 , 本 研 究 包 含 大 樣 本 的 中 學 數 學 初 任 教 師 , 且 包 含 這 些 教 師 職 前 的一 些 數 據 , 可 作 為 比 較 研 究 , 研 究 結 果 可 提 供 教 育 界 及 教 育 當 局 反 思 的 機 會 。 然而 , 本 研 究 僅 探 究 初 任 一 、 二 年 中 學 數 學 教 師 的 任 職 狀 況 , 至 於 是 否 於 第 一 到 第五 年 逐 年 會 有 所 轉 變 , 仍 是 未 知 數 , 需 要 有 更 多 的 研 究 加 以 探 究 。 本 研 究 此 次 所以 能 順 利 進 行 , 端 賴 國 外 機 構 的 補 助 與 支 持 , 初 任 教 師 的 良 窳 與 適 應 情 形 , 影 響其 後 續 的 發 展 , 也 影 響 其 學 生 的 學 習 , 國 家 應 有 更 大 規 模 的 研 究 , 做 全 面 性 的 探討 , 而 非 僅 由 個 別 研 究 者 做 個 案 式 的 研 究 或 端 賴 外 國 不 確 定 性 的 支 援 。272
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展參 考 文 獻唐 書 志 謝 豐 瑞 (in press)。 中 學 數 學 職 前 教 師 之 信 念 。 載 於 謝 豐 瑞 ( 主 編 ),臺 灣 數 學 師 資 培 育 跨 國 研 究 , 第 拾 章 。 臺 北 市 : 師 大 數 學 系 。張 德 銳 (2003)。 中 小 學 初 任 教 師 的 教 學 困 境 與 專 業 發 展 策 略 。 教 育 研 究 集 刊 ,28,129‐144。陳 英 娥 、 林 福 來 (2004)。 行 動 研 究 促 進 初 任 數 學 教 師 的 教 學 成 長 。 科 學 教 育 學刊 ,12(1),83‐105。曾 志 華 、 張 靜 嚳 (2006)。 一 位 高 職 數 學 教 師 的 教 學 專 業 成 長 歷 程 。 師 大 學 報 科學 教 育 類 ,51(1+2), 55‐82。謝 豐 瑞 、 楊 志 堅 、 施 皓 耀 (in press)。 中 學 數 學 職 前 教 師 在 師 資 培 育 課 程 之 學 習機 會 。 載 於 謝 豐 瑞 ( 主 編 ), 臺 灣 數 學 師 資 培 育 跨 國 研 究 , 第 柒 章 。 臺 北市 : 師 大 數 學 系 。謝 豐 瑞 、 羅 昭 強 、 謝 佳 叡 、 王 婷 瑩 (in press)。 研 究 問 題 與 方 法 。 載 於 謝 豐 瑞 ( 主編 ), 臺 灣 數 學 師 資 培 育 跨 國 研 究 , 第 貳 章 。 臺 北 市 : 師 大 數 學 系 。羅 綸 新 (2002)。 中 等 學 校 初 任 教 師 工 作 適 應 與 輔 導 需 求 之 調 查 研 究 。 台 東 師 院學 報 ,13( 下 ),1‐29。Abell Foundation (2001). Teacher certification reconsidered: Stumbling for quality.Abell Foundation, Baltimore, MD. Retrieved May 1, 2010, fromhttp://www.abell.org/pubsitems/ed_cert_1101.pdfBall, D. L, Thames, M. H. & Phelps, G. (2008). Content Knowledge for Teaching.What Makes It Special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407.Barkatsas, A. & Malone, J. (2005). A typology of mathematics teachers’ beliefs aboutteaching and learning mathematics and instructional practices. MathematicsEducation Research Journal, 17(2), 69-90.Baumert, J., Kunter, M., Blum, W., Brunner, M., Voss, Th., Jordan, A., Klusmann, U.,Krauss, S., Neubrand, M. & Tsai, Y.-M. (2010). Teachers’ MathematicalKnowledge, Cognitive Activation in the Classroom, and Student Progress.American Educational Research Journal, 47(1), 133-180.Fetler, M. (1999). High school staff characteristics and mathematics test results.Education policy analysis archives, 7(9). Retrieved June 20, 2010, fromhttp://epaa.asu.edu/ojs/article/viewFile/544/667Fordasz, H. & Leder, G. (2006). Work patterns and stressors of experienced andnovice mathematics teachers. Australian Mathematics Teacher, 62(3), 36-40.Goe, L. (2007). The link between teacher quality and student outcomes: A researchsynthesis. Washington, DC: National Comprehensive Center for TeacherQuality. Retrieved June 1, 2010, form273
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展http://ncctq.learningpt.org/publications/LinkBetweenTQandStudentOutcomes.pdfGoldhaber, D., & Brewer, D. (2000). Does teacher certification matter? High schoolcertification status and student achievement. Educational Evaluation andPolicy Analysis, 22(2), 129-145.Hsieh, F.-J. (2011). Cross country study on mathematics teaching in the 21 century(Rep. No. NSC 96-2522-S-003-021-MY2). Taiwan: National Science Council.(In Chinese)Hsieh, F.-J., Law, C. K., Shy, H. Y., Wang, T. Y., Hsieh, C. J., Tang, S.-J. (2011).Mathematics Teacher Education Quality in TEDS-M—Globalizing the viewsof future teachers and teacher educators. Journal of Teacher Education, 60(2),172-187. DOI: 10.1177/0022487110390819Hsieh, F.-J., Wang, T.-Y., Hsieh, C.-J., Tang, S.-J., Chao, G.-H., & Law C.-K., et al.(2010). A milestone of an international study in Taiwan teachereducation—An international comparison of Taiwan mathematics teacher(Taiwan TEDS-M 2008). Retrieved May 25, 2010, fromhttp://tedsm.math.ntnu.edu.tw/eng/result.htmKaplan, L. S., & Owings, W. A. (2001) Teacher quality and student achievement:Recommendations for principals. National Association of Secondary SchoolPrincipals.NASSP Bulletin, 85(628), 64-73. Retrieved June 7, 2010, fromProQuest Education Journals. (Document ID: 88506463).Kuzmic, J. (1994). A beginning teacher's search for meaning: Teacher socialization,organizational literacy, and empowerment. Teaching and Teacher Education,10(1), 15-27.National Center for Education Statistics (2003). Teaching mathematics in sevencountries results from the TIMSS 1999 video study. Washington, DC: U. S.Department of Education. (NCES 2003–013) Retrieved May 1, 2010, fromhttp://nces.ed.gov/pubs2003/2003013.pdfNational Center for Education Statistics (2009). Trends in international mathematicsand science study (TIMSS). Retrieved October 27, 2009, fromhttp://nces.ed.gov/timss/video.aspOrganization for Economic Co-operation and Development (2007). OECDProgramme for international student assessment (PISA). Retrieved October 27,2009, fromhttp://www.pisa.oecd.org/pages/0,2987,en_32252351_32235731_1_1_1_1_1,00.htmlPotari, D. & Georgiadou-Kabouridis, B. (2009). A primary teacher’s mathematicsteaching: The development of beliefs and practice in different ‘‘supportive’’274
謝 豐 瑞 中 小 學 數 學 教 師 長 期 追 蹤 跨 國 比 較 研 究 —Taiwan TEDS-M2008 延 展contexts. Journal of Mathematics Teacher Education, 12(1), 7-25.Schmidt W. H., Blömeke, S., Tatto, M. T., Hsieh, F.-J., Cogan, L., Houang, R. T.,Bankov, K., Santillan, M., Cedillo, T., Han, S.-I., Carnoy, M., Paine, L., &Schwille, J. (2011). Teacher Education Matters: A Study of Middle SchoolMathematics Teacher Preparation in Six Countries. NY: Teacher CollegePress.Skott, J. (2001). The emerging practices of a novice teacher: The roles of his schoolmathematics images. Journal of Mathematics Teacher Education, 4(1), 3-28.Stipek, D., Givvin, K., Salmon, J., & MacGyvers, V. (2001). Teachers’ beliefs andpractices related to mathematics instruction. Teaching and Teacher Education,17(2), 213-226.Swars, S. L., Smith, S. Z., Smith, M. E., & Hart, L. C. (2009). A longitudinal study ofeffects of a developmental teacher preparation program on elementaryprospective teachers' mathematics beliefs. Journal of Mathematics TeacherEducation, 12(1), 47-66.Tatto, M. T., Schwille, J., Senk, S., Ingvarson, L., Rowley, G., Peck, R., …Holdgreve-Resendez, R. (2012). Policy, practice, and readiness to teachprimary and secondary mathematics in 17 countries. Amsterdam: Multicopy.Veenman, S. (1984). Perceived problem of beginning teacher. Review of EducationalResearch, 54(2), 143-178.Wilson, B., Ireton, E, & Wood, J. A. (1997). Beginning teacher fears. Education,117(3), 396-400.iii代 理 教 師 工 作 與 薪 水 等 同 於 正 式 教 師 。代 課 或 兼 課 教 師 薪 水 以 鐘 點 費 計 , 可 以 是 只 代 上 幾 堂 課 , 也 可 以 是 一 整 個 學 期 帶 一 整個 班 級 等 。275
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php276
蔡 文 煥 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究國 科 會 100 年 度 『 數 學 教 育 研 究 專 題 研 究 計 劃 』 報 告計 畫 名 稱 : 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究計 畫 編 號 :NSC 100-2511-S-134-005-執 行 期 限 :100 年 8 月 1 日 ~101 年 7 月 31 日主 持 人 : 蔡 文 煥 tsai@mail.nhctc.edu.tw共 同 主 持 人 : 林 碧 珍 linpj@mail.nhctc.edu.tw執 行 機 關 : 國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所壹 、 研 究 背 景 與 目 的NCTM 之 學 校 數 學 原 則 和 標 準 (2000) 強 烈 提 出 數 學 推 理 之 重 要 性 , 且 須 被 涵 蓋 在 所 有 年 級(P.56)。 其 要 求 從 幼 稚 園 K 到 十 二 年 級 的 推 理 和 證 明 的 過 程 標 準 須 讓 所 有 年 級 的 學 生 均 能 夠 做 到下 列 :• 認 識 推 理 和 證 明 是 數 學 的 基 礎 層 面 。• 能 形 成 並 探 究 數 學 的 臆 測 (Conjecture)。• 能 發 展 和 評 析 數 學 論 證 和 證 明 。• 能 選 擇 和 應 用 各 種 推 理 的 類 型 和 證 明 的 方 式 。以 上 之 推 理 和 證 明 的 過 程 標 準 在 不 同 年 段 (K 到 2,3 到 5,…), 均 有 不 同 程 度 發 展 的 說 明 。同 樣 地 , 我 國 九 年 一 貫 課 程 綱 要 (2003) 數 學 學 習 領 域 亦 將 各 種 推 理 類 型 和 證 明 方 式 融 合 在 連結 能 力 指 標 中 陳 述 :C-S-03: 能 熟 悉 解 題 的 各 種 歷 程 : 蒐 集 、 觀 察 、 臆 測 、 檢 驗 、 推 演 、 驗 證 、 論 證 等 。C-S-04: 能 運 用 解 題 的 各 種 方 法 : 分 類 、 歸 納 、 演 繹 、 推 理 、 推 論 、 類 比 、 分 析 、 變 形 、 一 般 化 、特 殊 化 、 模 型 化 、 系 統 化 、 監 控 等 。而 此 連 結 能 力 指 標 和 NCTM 之 數 學 原 則 和 標 準 一 樣 , 強 調 須 涵 蓋 任 何 年 級 的 數 學 課 程 內 容 之 中 , 只是 我 國 九 年 一 貫 課 程 綱 要 目 前 不 含 幼 稚 園 部 分 , 且 沒 有 仔 細 談 及 其 過 程 內 容 如 何 在 各 種 不 同 年 段 中的 發 展 。雖 然 許 多 國 家 數 學 課 程 均 強 調 推 理 和 證 明 的 重 要 性 , 但 在 我 國 小 學 課 程 發 展 中 卻 沒 有 將 之 明 顯化 說 明 如 何 設 計 課 程 內 容 活 動 去 支 撐 學 童 之 推 理 和 證 明 之 發 展 。 其 中 一 個 因 素 是 國 內 大 部 分 的 推 理與 證 明 研 究 均 在 國 中 以 上 , 而 小 學 數 學 推 理 之 研 究 較 缺 乏 。 因 此 本 研 究 將 探 討 國 小 學 童 推 理 歷 程 之發 展 理 論 , 並 檢 驗 其 可 行 性 。另 外 , 在 NCTM(2000) 之 課 程 標 準 中 亦 提 到 教 師 應 幫 助 學 生 學 習 有 關 數 學 推 理 和 證 明 的 規 範(norms) 以 及 各 種 推 理 和 證 明 的 類 型 (P.59)。Ball 和 Bass(2003) 亦 認 為 數 學 推 裡 是 包 含 不 僅僅 是 個 人 的 , 而 且 是 集 體 的 一 組 實 踐 (Practices) 和 規 範 (Norms), 上 述 均 提 到 推 理 規 範 對 學 童推 理 歷 程 發 展 之 必 需 性 。 但 目 前 研 究 較 少 探 討 如 何 發 展 國 小 課 室 推 理 和 證 明 的 規 範 , 以 及 此 推 理 規277
蔡 文 煥 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究範 對 學 生 推 理 歷 程 和 數 學 學 習 的 影 響 。 研 究 者 前 面 的 五 年 研 究 , 是 協 同 教 師 進 行 發 展 課 室 討 論 文 化之 社 會 規 範 和 社 會 數 學 規 範 , 並 且 發 現 以 上 之 規 範 對 學 生 之 數 學 學 習 均 產 生 重 大 影 響 。 因 此 本 計 畫將 延 續 前 面 幾 年 的 研 究 基 礎 , 繼 續 探 討 國 小 學 童 之 推 理 和 證 明 之 規 範 之 發 展 , 及 探 討 此 推 理 規 範 對學 童 推 理 和 證 明 歷 程 和 數 學 學 習 之 影 響 如 何 ?課 室 之 推 理 規 範 之 發 展 須 建 立 在 學 童 在 數 學 活 動 中 的 推 理 經 驗 上 。 當 學 童 在 多 種 不 同 數 學 推 理工 作 任 務 活 動 情 境 中 , 依 學 童 以 前 所 建 立 的 數 學 知 識 之 理 解 程 度 , 會 發 展 各 種 不 同 的 推 理 路 徑 , 而那 些 推 理 路 徑 經 班 上 討 論 後 在 學 童 的 推 理 經 驗 上 被 大 家 接 受 為 「 合 法 的 推 理 過 程 」, 即 所 謂 的 推 理規 範 。 依 Stylianides(2007) 研 究 , 教 師 在 學 童 的 推 理 活 動 中 需 有 能 力 判 斷 那 些 論 證 是 不 具 有 證明 資 格 (not qualify to proof) 哪 些 論 證 是 具 有 證 明 資 格 (qualities to proof)。 教 師 在 教 學時 如 何 讓 那 些 不 具 證 明 資 格 成 為 具 有 證 明 資 格 , 那 些 具 有 證 明 資 格 也 能 產 出 更 進 一 步 的 証 明 。 因 此本 研 究 一 方 面 要 協 同 教 師 去 發 展 課 室 中 可 被 接 受 為 具 有 證 明 資 格 或 不 具 證 明 資 格 的 推 理 規 範 , 另 一方 面 也 必 須 在 教 師 成 長 團 體 中 屬 於 教 師 課 室 中 發 展 學 童 推 理 歷 程 之 經 驗 上 , 論 證 哪 些 是 在 學 童 經 驗上 可 被 視 為 合 法 證 明 和 不 合 法 證 明 之 教 學 規 範 , 換 言 之 , 這 些 可 接 受 的 過 程 亦 須 建 立 在 教 師 的 教 學經 驗 上 的 可 接 受 , 而 非 外 在 強 加 在 教 師 之 教 學 上 。 基 於 前 面 的 研 究 經 驗 , 推 理 規 範 之 教 學 亦 隨 教 師教 學 經 驗 的 豐 富 而 隨 之 演 化 。 因 此 , 本 研 究 主 要 有 兩 個 :一 、 探 討 課 室 推 理 規 範 發 展 的 歷 程 。二 、 探 討 推 理 規 範 發 展 對 學 童 數 學 學 習 之 影 響 為 何 ?貳 、 理 論 基 礎本 研 究 之 理 論 是 延 伸 Cobb 和 Yackel (1996) 所 提 之 建 構 主 義 、 社 會 文 化 認 知 觀 點 和 浮 現(emergent) 之 觀 點 為 主 , 此 學 習 理 論 是 發 展 課 室 討 論 文 化 以 培 養 學 童 的 社 會 性 自 主 和 智 力 自 主 性為 主 要 理 論 基 礎 。Von Glasersfeld (1987,1991) 以 皮 亞 傑 的 觀 點 為 基 礎 , 並 強 調 建 構 知 識 的 〝 存活 〞 (viability) 觀 點 。Von Glasersfeld (1992) 引 用 且 延 伸 皮 亞 傑 的 調 適 主 義 將 知 識 視 為 感覺 動 作 和 概 念 運 作 在 知 識 者 的 經 驗 中 , 被 證 明 可 存 活 (P.380)。 因 此 真 理 (Truths) 將 被 存 活 模式 取 代 , 並 且 存 活 經 常 和 目 標 的 選 擇 有 關 。 雖 然 Von Glasersfeld(1989,P.136) 的 學 習 定 義 為 自我 組 織 , 但 他 很 小 心 的 澄 清 這 種 建 構 的 活 動 , 可 發 生 在 知 識 個 體 和 一 個 社 群 的 其 他 成 員 之 互 動 上 。他 強 調 認 知 衝 突 最 經 常 發 生 在 發 展 認 知 主 體 和 其 他 人 之 互 動 上 。 換 言 之 , 學 習 不 僅 僅 是 社 會 性 , 亦和 他 人 互 動 可 作 為 自 主 性 概 念 發 展 的 催 化 劑 , 並 且 學 習 的 結 果 , 在 社 會 不 斷 的 互 動 下 , 可 逐 漸 增 加識 知 (Knowing) 的 複 雜 方 式 。社 會 文 化 認 知 之 觀 點 , 以 Bauersfeld 等 人 (1988) 所 提 的 符 號 互 動 論 為 主 。Cobb(2000) 認為 Bauersfeld 等 人 (1988) 的 互 動 觀 點 和 Von Glasersfeld 的 建 構 心 理 觀 點 可 互 補 , 兩 者 均 視 溝通 是 一 種 相 互 調 適 的 過 程 , 在 此 個 案 藉 由 連 續 地 修 飾 及 其 解 釋 而 達 成 磋 商 意 義 , 只 不 過 VonGlasersfeld 所 關 心 的 是 在 個 體 其 識 知 方 式 的 建 構 , 而 Banersfeld 等 人 強 調 的 是 學 習 被 描 述 為 社會 意 義 和 模 式 , 透 過 社 會 互 動 中 意 義 磋 商 的 主 體 再 建 構 (the subjective & reconstruction), 在說 明 此 主 體 再 建 構 時 , 他 強 調 課 室 文 化 下 師 生 互 動 的 組 織 。Bauersfeld 等 人 引 用 互 動 論 者 之 隱 喻 且描 述 磋 商 是 一 種 相 互 調 適 的 過 程 , 其 間 教 師 和 學 生 相 互 建 立 彼 此 活 動 中 的 期 望 和 他 們 自 己 活 動 所 需278
蔡 文 煥 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究應 盡 的 義 務 ( Cobb & Bauersfeld,1995; Voigt,1995), Bauersfeld 等 人 認 為 教 室 微 觀 文 化 是 一種 浮 現 現 象 (emerging phenomenon)。 換 言 之 , 教 師 和 學 生 在 互 動 的 歷 程 中 共 同 結 合 去 組 織 教 室 規範 和 實 踐 。Cobb 、Yackel 和 Woof(1989) 提 出 和 Bauersfeld 等 人 提 到 , 相 容 的 社 會 建 構 主 義 的觀 點 (Social constructivism) 他 認 為 個 別 學 生 似 乎 主 動 貢 獻 於 課 室 數 學 實 踐 的 演 化 , 而 且 課 室數 學 實 踐 (Classroom mathematical practices), 同 時 亦 增 能 且 限 制 學 生 個 別 的 數 學 活 動 。 換 言之 , 學 生 數 學 活 動 和 課 室 文 化 是 具 有 反 身 性 。 從 這 樣 反 身 性 的 觀 點 , 只 單 從 學 生 個 別 的 數 學 推 理 或從 教 室 微 觀 文 化 一 面 , 是 無 法 充 分 說 明 其 一 而 沒 有 同 時 考 慮 二 者 。 基 於 此 觀 點 Cobb 和 Yackel(1996)更 進 一 步 提 出 一 個 解 釋 架 構 ( 如 圖 2) 來 說 明 在 社 會 情 境 脈 絡 下 學 習 的 議 題 。此 架 構 很 明 顯 的 統 合 教 室 活 動 中 兩 種 不 同 理 論 的 概 念 。 社 會 觀 點 是 視 自 治 體 和 集 體 的 課 室 過 程之 互 動 主 義 的 觀 念 ; 而 心 理 觀 點 是 視 個 別 學 生 ( 或 教 師 ) 的 活 動 , 當 他 們 參 與 和 有 助 於 這 個 自 治 體過 程 發 展 的 建 構 主 義 觀 點 。Cobb 和 Bauersfeld(1995) 將 統 合 互 動 主 義 和 心 理 的 建 構 主 義 作 為 社會 建 構 主 義 的 詮 釋 , 他 們 將 之 稱 為 浮 現 方 法 (the emergent approach) 或 浮 現 觀 點 (the emergentperspective)。 社 會 規 範 是 用 於 說 明 教 室 教 學 的 結 構 。 這 種 規 範 利 用 於 其 他 學 科 領 域 並 非 只 用 於 數學 。 例 如 , 理 想 上 , 在 課 室 中 學 生 應 被 期 望 去 挑 戰 其 他 人 想 法 , 或 解 釋 和 證 明 其 想 法 , 在 科 學 和 語文 科 上 亦 可 用 。 而 社 會 數 學 規 範 是 指 針 對 學 生 數 學 活 動 中 數 學 討 論 所 形 成 的 規 範 , 其 具 有 數 學 意 義內 涵 之 特 殊 性 。社 會 觀 點心 理 學 觀 點課 室 社 會 規 範對 自 己 角 色 、 他 人 角 色 和 數 學 活 動 一 般 本 質(Classroom social norms) 等 的 信 仰社 會 數 學 規 範數 學 的 信 仰 和 價 值(Sociomathenatical norms)課 室 數 學 實 踐數 學 概 念 和 活 動(Classroom mathematical practice)圖 -2: 分 析 個 體 和 集 體 活 動 的 一 個 解 釋 架 構 (Cobb & Yackel,1996)在 研 究 者 ( 蔡 文 煥 ,2004) 前 面 研 究 中 發 現 數 學 規 範 之 一 是 指 學 生 在 解 釋 其 解 法 時 , 必 須 要 回 到 問題 之 題 目 情 境 中 說 明 , 否 則 只 把 作 法 的 算 式 唸 一 遍 是 不 被 班 上 同 學 接 受 的 。 而 在 Yackel 和 Cobb(1996) 中 提 到 什 麼 被 視 為 是 對 數 學 地 不 同 性 、 數 學 地 複 雜 性 和 數 學 地 有 效 性 等 均 為 社 會 數 學 規範 。 這 些 規 範 同 時 影 響 個 人 的 推 理 認 知 , 反 之 , 個 人 認 知 亦 促 進 規 範 的 發 展 。課 室 數 學 實 踐 是 用 來 描 述 一 個 課 室 社 群 和 個 別 學 童 之 數 學 發 展 。 換 言 之 , 某 些 數 學 概 念 和 活 動在 此 課 室 之 社 群 中 以 不 言 自 明 , 大 家 均 認 為 是 理 所 當 然 而 無 需 再 加 以 說 明 , 或 一 些 過 程 上 大 家 視 為合 理 的 , 如 此 的 數 學 概 念 和 活 動 稱 為 此 課 室 數 學 實 踐 。 在 課 室 社 會 規 範 和 社 會 數 學 規 範 之 發 展 基 礎下 , 課 室 數 學 實 踐 逐 漸 已 發 展 出 來 , 其 構 成 了 學 生 的 局 部 情 況 (local situation)。 當 規 範 之 形 成而 影 響 學 童 認 為 理 當 如 此 做 時 , 則 當 學 生 重 新 組 織 他 們 個 別 的 數 學 活 動 , 他 們 主 動 貢 獻 於 課 室 數 學實 踐 的 發 展 。 反 之 , 這 種 重 新 組 織 會 因 學 生 參 與 數 學 的 實 踐 而 受 限 制 和 增 能 。 換 句 話 說 , 當 規 範 形成 時 , 數 學 的 實 踐 會 受 規 範 的 限 制 , 但 學 童 之 數 學 經 驗 增 加 時 , 則 相 對 地 亦 會 影 響 規 範 之 內 涵 之 發279
蔡 文 煥 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究展 , 進 而 影 響 學 童 之 數 學 學 習 。 前 面 的 研 究 便 基 於 此 浮 現 的 觀 點 , 協 同 教 師 發 展 其 課 室 討 論 文 化 的社 會 規 範 和 社 會 數 學 規 範 進 而 促 進 學 童 之 社 會 自 主 性 和 智 力 自 主 性 (Tsai,2003;Yackel & Cobb,1996)。研 究 者 所 發 展 之 文 化 學 習 理 論 包 含 幾 個 學 習 觀 點 : 心 理 建 構 論 、 社 會 性 之 互 動 論 、 浮 現 觀 點 ( 社會 建 構 論 ) 和 情 境 學 習 理 論 的 真 實 文 化 活 動 (Authentic cultural activity)。 文 化 學 習 理 論 將 Cobb和 Yackel (1996) 所 發 展 之 三 個 學 習 觀 點 融 入 情 境 學 習 理 論 的 真 實 文 化 活 動 情 境 中 涵 化 的 觀 點 。這 理 論 可 同 時 詮 釋 學 童 在 課 室 學 習 數 學 活 動 中 , 個 別 建 構 和 群 體 之 互 動 情 形 。 這 文 化 學 習 理 論 於 前階 段 是 應 用 在 課 室 的 討 論 文 化 中 學 童 數 學 學 習 之 發 展 , 其 真 實 文 化 活 動 是 指 類 似 數 學 家 社 群 的 探 究文 化 活 動 。 學 童 在 產 生 相 互 間 之 “ 主 觀 " 時 (intersubjetive), 是 透 過 質 疑 、 辯 證 、 討 論 、 磋 商等 過 程 去 發 展 課 室 之 數 學 實 踐 (Classroom mathematical practice) 然 而 學 童 一 時 要 達 到 如 此 這種 數 學 家 社 群 之 真 實 文 化 活 動 是 不 可 能 的 , 因 此 在 課 室 提 供 的 特 定 真 實 文 化 中 企 圖 建 立 一 些 推 理 規範 , 鷹 架 學 童 進 行 如 數 學 家 社 群 的 真 實 數 學 文 化 活 動 中 的 部 分 運 作 , 最 後 能 如 數 學 家 般 能 以 較 嚴 謹的 數 學 推 理 技 巧 , 自 己 去 探 究 並 發 現 數 學 的 “ 真 實 "(truth)。課 室 社 群 之 真 實 學 習 文 化 活 動社 會 觀 點課 室 社 會 規 範社 會 數 學 規 範心 理 學 觀 點對 自 己 角 色 , 其 他 人 角 色 和 數 學 活 動之 一 本 質 之 信 仰對 數 學 推 理 信 仰 和 價 值( 含 推 理 規 範 )課 室 數 學 實 踐數 學 推 理 概 念 和 活 動( 推 理 實 踐 )圖 -4: 分 析 課 室 社 群 之 個 體 和 集 體 數 學 活 動 之 整 體 詮 釋 架 構此 次 計 畫 主 要 的 企 圖 是 欲 發 展 課 室 討 論 文 化 之 推 理 規 範 為 主 , 而 再 探 討 教 師 成 長 團 體 之 教 學 規範 之 發 展 之 教 師 專 業 成 長 模 式 之 理 論 , 往 昔 之 研 究 只 是 協 同 教 師 企 圖 發 展 課 室 討 論 文 化 之 社 會 規 範和 社 會 數 學 規 範 , 但 並 沒 有 去 探 討 教 師 成 長 團 體 之 教 學 推 理 規 範 之 發 展 且 探 討 成 長 團 體 教 學 規 範 和學 生 團 體 推 理 規 範 之 互 動 歷 程 。 此 次 計 畫 重 點 將 集 中 在 學 生 數 學 推 理 之 發 展 , 而 推 理 亦 是 學 生 社 群在 探 究 數 學 的 〝 真 實 〞(〝truth〞), 和 產 生 數 學 知 識 的 主 要 歷 程 。 亦 就 是 研 究 者 所 稱 之 課 室 學 生 社群 之 真 實 文 化 活 動 (Authentic Cultural Activities)。 因 此 前 面 圖 -3 之 整 體 詮 釋 架 構 以 課 室 討 論之 社 會 規 範 和 社 會 數 學 規 範 為 主 軸 而 發 展 為 圖 -4 之 數 學 推 理 之 整 體 詮 釋 架 構 。 此 數 學 推 理 整 體 詮 釋架 構 , 一 方 面 可 探 討 學 生 推 理 歷 程 之 發 展 一 方 面 亦 可 探 討 教 師 成 長 團 體 數 學 教 學 推 理 發 展 。參 、 研 究 方 法280
蔡 文 煥 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究本 計 畫 是 配 合 九 年 一 貫 之 數 學 教 學 之 注 意 事 項 強 調 教 師 之 專 業 發 展 及 培 養 教 室 討 論 溝 通 之 教學 規 範 和 學 習 規 範 之 文 化 。 為 達 成 此 目 標 , 一 個 協 同 成 長 團 體 由 二 位 師 院 教 授 、 四 位 五 年 級 國 小 教師 和 一 些 碩 士 班 研 究 生 共 同 組 成 一 個 數 學 教 學 專 業 成 長 討 論 團 體 。 每 星 期 三 早 上 會 有 二 節 課 之 教 室觀 察 , 學 校 亦 同 意 將 五 年 級 的 第 三 節 和 第 四 節 安 排 其 他 科 任 上 課 , 好 讓 其 他 參 與 計 畫 教 師 能 進 行 教師 觀 察 。 全 部 人 員 會 參 加 某 位 老 師 的 教 學 且 紀 錄 學 生 個 別 解 題 和 全 班 討 論 的 情 形 , 以 便 下 午 進 行 討論 。 每 次 所 討 論 的 議 題 或 共 識 , 每 位 教 師 想 辦 法 或 試 驗 教 學 並 在 下 次 提 供 教 學 經 驗 分 享 ; 因 此 每 次教 學 討 論 均 會 基 於 教 學 事 件 提 出 主 要 教 學 議 題 , 經 由 討 論 溝 通 而 產 生 一 些 論 點 , 再 經 老 師 之 教 學 的檢 驗 修 正 , 如 此 反 覆 不 斷 而 逐 漸 形 成 教 師 有 用 的 教 學 知 識 。 另 外 每 位 教 師 在 教 學 觀 摩 後 須 觀 看 其 教學 錄 影 帶 , 依 討 論 會 議 所 討 論 的 論 點 或 教 師 自 身 的 看 法 , 撰 寫 反 省 日 記 , 作 為 檢 視 自 己 成 長 的 探 討 。每 位 教 學 觀 摩 之 教 師 均 有 二 位 參 與 研 究 生 負 責 錄 影 並 紀 錄 小 組 討 論 情 形 、 鎖 定 之 觀 察 之 學 生 討論 小 組 , 除 記 錄 解 法 外 亦 用 錄 音 筆 放 在 桌 上 給 予 小 組 討 論 錄 音 , 其 他 參 與 教 學 觀 摩 之 教 師 亦 須 作 記錄 ( 含 學 生 討 論 之 過 程 ) 且 在 下 午 討 論 會 議 時 提 出 看 法 , 研 究 生 亦 參 與 討 論 會 議 , 並 錄 音 。因 此 資 料 收 集 包 含 : 教 學 觀 摩 之 錄 影 、 場 地 觀 察 記 錄 、 會 議 討 論 之 錄 音 記 錄 、 教 師 之 反 省 日 記 、學 生 之 作 品 等 ; 錄 影 帶 及 錄 音 帶 均 打 成 逐 字 稿 並 加 以 分 析 , 本 研 究 是 居 於 質 性 研 究 法 (Strauss, &Corbin, 1998), 由 實 際 協 同 成 長 的 互 動 去 探 討 教 師 專 業 成 長 透 過 培 養 教 室 溝 通 討 論 文 化 和 發 展 學生 智 力 自 主 性 , 質 化 研 究 的 編 碼 過 程 是 研 究 者 閱 讀 語 料 多 次 以 後 , 經 分 類 整 理 而 賦 予 資 料 意 義 化 的過 程 , 其 包 含 三 階 段 的 編 碼 : 開 放 性 編 碼 、 主 軸 編 碼 和 選 擇 性 編 碼 。肆 、 研 究 結 果本 研 究 計 劃 為 期 連 續 三 年 期 的 計 劃 , 從 國 小 四 年 級 進 行 至 六 年 級 , 本 研 究 結 果 乃 式 進 行 五 年 級課 室 的 討 論 而 來 的 部 分 研 究 結 果 , 六 年 級 持 續 在 進 行 中 。 本 研 究 結 果 分 為 兩 部 分 , 第 一 部 份 是 在 研究 者 所 發 展 的 推 理 驗 證 本 架 構 下 指 導 研 究 生 所 進 行 的 論 文 研 究 , 第 二 部 份 是 分 析 研 究 課 室 討 論 成 為團 體 的 部 份 結 果 , 其 它 結 果 尚 在 分 析 中 。第 一 部 份 研 究 生 完 成 的 論 文 如 下 :1. 王 芝 澐 (2012)。 一 位 三 年 級 教 師 發 展 數 學 課 室 討 論 之 行 動 研 究 。 國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教 育 研究 所 碩 士 論 文 , 未 出 版 , 新 竹 市 。2. 林 杏 珠 (2012)。 探 究 五 年 級 課 室 數 學 推 理 歷 程 之 發 展 。 國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所 碩 士論 文 , 未 出 版 , 新 竹 市 。3. 楊 云 禎 (2012)。 教 師 發 展 三 年 級 學 生 數 學 推 理 規 範 歷 程 之 行 動 研 究 。 國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教育 研 究 所 碩 士 論 文 , 未 出 版 , 新 竹 市 。王 芝 澐 發 展 三 年 級 課 室 討 論 之 行 動 研 究 結 果 是 社 會 規 範 和 社 會 數 學 規 範 之 發 展 。 社 會 規 範 包含 : 舉 手 發 言 、 面 向 大 家 大 聲 說 清 楚 、 安 靜 專 心 聽 、 解 題 紀 錄 要 清 楚 明 白 、 看 不 懂 就 要 問 ; 而 社 會數 學 規 範 包 含 : 每 個 人 都 要 「 說 數 學 」、 分 類 並 比 較 解 題 紀 錄 、 解 題 策 略 要 合 理 , 大 家 接 受 、 回 到題 目 說 明 理 由 想 法 、 形 成 有 效 率 的 解 題 紀 錄 、 發 現 數 學 關 係 、 後 設 認 知 能 力 的 培 養 。楊 云 禎 發 展 三 年 級 學 生 的 推 理 規 範 如 下 : 使 用 舊 知 識 、 使 用 數 學 語 言 、 使 用 數 學 定 義 、 使 用 公共 知 識 推 理 、 利 用 舊 經 驗 推 論 未 知 、 利 用 定 義 推 論 未 知 、 回 到 題 目 說 明 清 楚 、 回 到 題 目 , 釐 清 表 徵281
蔡 文 煥 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究意 、 合 理 的 演 繹 推 理 、 合 理 的 說 清 楚 每 個 推 理 步 驟 、 建 立 排 列 規 範 、 建 立 書 寫 方 向 、 能 夠 為 課 室 成員 接 受 的 算 則 , 才 能 使 用 、 課 室 成 員 能 理 解 的 教 具 , 才 能 公 開 使 用 。林 杏 珠 觀 察 一 位 五 年 級 課 室 數 學 推 理 規 範 的 發 展 分 為 兩 個 面 向 : 第 一 個 面 向 是 藉 由 已 知 推 論 未知 ( 一 ) 以 各 種 不 同 的 數 學 表 徵 做 為 說 明 的 理 由 ( 二 ) 要 能 回 到 題 目 說 明 解 題 策 略 並 說 出 使 用 那 些 知識 ; 第 二 個 面 向 是 尋 找 數 學 關 係 ( 一 ) 質 疑 與 論 證 ( 二 ) 建 立 分 類 的 判 準 ( 三 ) 數 學 問 題 可 有 不 同 的 解法 , 並 嘗 試 有 效 率 的 解 法 ( 四 ) 經 由 例 子 或 發 現 數 學 規 律 推 論 到 一 般 化 。以 上 的 研 究 發 現 研 究 生 在 執 行 課 室 討 論 行 動 研 究 的 計 劃 中 , 不 但 促 進 其 課 室 學 生 的 數 學 學 習外 , 也 增 進 其 數 學 教 學 的 專 業 發 展 。第 二 部 份 是 研 究 者 初 步 分 析 所 獲 得 的 結 果 分 為 兩 部 份 , 第 一 部 份 是 課 室 學 生 的 數 學 學 習 機 會 ,第 二 部 份 是 研 究 者 教 師 專 業 成 長 團 體 之 教 師 教 學 的 分 析 、 部 份 結 果 。雖 然 本 研 究 的 主 要 目 標 是 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 學 童 之 推 理 歷 程 , 但 須 建 立 在 一 般 課 室 論 證的 文 化 基 礎 上 , 因 此 第 一 年 和 第 二 年 仍 發 展 此 環 境 並 逐 漸 發 展 推 理 規 範 。 以 下 為 此 第 二 年 的 結 果 ,第 三 年 正 進 行 中 。一 、 課 室 論 證 文 化 之 發 展第 一 年 幫 助 學 童 之 社 會 規 範 , 第 二 年 發 現 學 童 已 發 展 一 些 社 會 數 學 規 範 如 : 學 童 解 題 說 明 算 式時 必 須 符 合 題 意 , 不 能 只 說 明 算 式 的 計 算 。 另 外 , 必 須 依 以 前 學 過 的 數 學 知 識 說 明 解 題 的 過 程 , 例如 在 算 式 中 這 一 步 驟 到 下 一 步 驟 是 使 用 以 前 學 過 的 什 麼 知 識 , 這 對 新 知 識 和 舊 知 識 之 間 的 連 結 和 數學 之 理 解 有 相 當 大 的 幫 助 。 另 外 學 童 所 使 用 的 方 法 必 須 說 服 全 班 同 學 ( 含 老 師 ) 才 能 使 用 , 因 此 在 論證 中 亦 逐 漸 發 展 出 什 麼 是 可 被 接 受 的 方 法 論 證 說 明 過 程 。二 、 學 童 的 智 力 自 主 性 之 發 展前 面 研 究 已 證 明 社 會 規 範 能 幫 助 學 童 發 展 社 會 性 自 主 性 , 而 社 會 數 學 規 範 能 幫 助 學 童 發 展 智 力自 主 性 , 傳 統 講 述 教 學 是 教 師 為 知 識 權 威 , 老 師 佈 題 , 告 訴 學 生 如 何 解 題 , 而 學 生 依 老 師 的 說 明 再加 以 練 習 。 但 在 課 室 討 論 中 , 老 師 佈 題 , 學 生 須 自 行 解 題 , 並 提 出 理 由 說 服 小 組 或 全 班 其 解 法 是 對的 。 而 社 會 數 學 規 範 正 式 發 展 一 些 判 準 , 來 說 明 什 麼 是 可 被 接 受 說 明 的 判 斷 。 例 如 學 童 在 說 明 解 題步 驟 時 , 必 須 依 以 前 學 過 的 知 識 來 說 明 這 一 步 驟 到 下 一 步 驟 的 理 由 。 因 此 學 童 不 但 能 檢 驗 自 己 解 題每 一 步 驟 的 合 理 性 , 因 此 如 Cobb 和 Yackel(1996) 說 明 社 會 數 學 規 範 影 響 了 學 童 智 力 自 主 性 的 發展 。 另 外 在 此 規 範 發 展 下 , 學 童 亦 能 尊 重 他 人 的 不 同 想 法 和 解 法 。三 、 教 師 數 學 教 學 的 專 業 發 展傳 統 講 述 教 學 的 教 師 , 依 教 科 書 之 佈 題 , 說 明 如 何 解 題 , 讓 學 童 練 習 。 因 此 教 師 能 依 進 度 教 學 ,教 學 完 全 擔 負 學 童 的 學 習 責 任 , 但 課 室 論 證 之 學 童 , 學 習 責 任 是 在 學 童 身 上 , 學 童 依 據 以 前 學 過 的知 識 來 說 服 同 學 其 解 法 是 正 確 的 。 以 學 生 為 中 心 的 課 室 討 論 , 雖 然 老 師 不 是 直 接 擔 負 學 生 學 習 責任 , 但 老 師 的 心 中 負 擔 不 比 傳 統 講 述 教 師 輕 。 老 師 必 須 考 慮 教 材 之 間 的 邏 輯 性 , 此 活 動 中 學 童 所 產生 的 經 驗 能 否 支 撐 下 一 個 活 動 的 發 展 , 因 此 教 材 討 論 和 重 新 設 計 成 為 成 長 團 體 討 論 的 重 點 。 另 外 教師 雖 然 不 是 知 識 的 告 知 者 , 是 學 童 知 識 發 展 的 促 進 者 。 教 師 如 何 幫 助 學 童 由 低 層 次 的 認 知 發 展 至 高層 次 的 認 知 , 因 此 教 師 在 引 導 學 童 全 班 的 討 論 時 , 對 學 童 之 各 種 不 同 之 推 理 路 徑 要 相 當 了 解 , 因 此 ,當 學 童 在 解 一 道 數 學 題 時 , 有 些 不 同 推 理 歷 程 亦 是 成 長 團 體 討 論 的 焦 點 。 另 外 , 在 不 同 推 理 路 徑 下 ,老 師 有 那 些 方 法 能 支 撐 學 生 的 理 解 , 和 擴 張 學 生 的 想 法 , 亦 是 成 長 團 體 討 論 的 重 點 。 此 一 序 列 的 過程 包 含 了 教 師 MK、SK、PK 等 知 識 的 發 展 。282
蔡 文 煥 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究結 論 : 以 學 生 為 學 習 中 心 的 課 室 討 論 學 習 中 , 研 究 者 、 老 師 和 學 生 均 為 分 享 者 或 學 習 者 。 如 何 協 助研 究 者 研 究 學 生 學 習 歷 程 , 教 師 如 何 幫 助 學 生 思 考 , 教 師 學 習 學 生 如 何 思 考 , 如 何 設 計 教 材 , 以 及如 何 支 撐 學 生 的 了 解 , 擴 張 學 生 的 思 考 , 和 幫 助 學 童 發 展 推 理 規 範 , 而 學 童 學 習 如 何 解 題 、 推 理 、溝 通 、 連 結 和 表 徵 而 成 為 一 個 智 力 自 主 的 學 習 者 。 此 研 究 結 果 另 一 發 現 , 一 個 數 學 教 育 者 必 須 和 教師 共 同 進 教 師 之 教 室 現 場 , 了 解 學 生 如 何 學 和 教 師 如 何 教 , 才 能 有 效 協 助 教 師 教 學 和 學 生 之 學 習 。參 考 文 獻教 育 部 (2003): 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 。蔡 文 煥 (2004): 協 同 教 師 發 展 有 利 數 學 意 義 產 生 之 課 室 討 論 文 化 之 研 究 。 海 峽 兩 岸 教 育 行 動 研 究研 討 會 議 。 北 京 師 範 大 學 教 育 學 院 。Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W. G. Martin,and D. Schifter (Eds.), A Research Companion to Principals and Standards for School Mathematics(pp.27-44). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.Bauersfeld, H. (1988). Interaction, construction, and knowledge: Alternative perspectives for mathematicseducation, in Cooney, T. and Grouws, D. (Eds), effective mathematics teaching, Reston, VA: NationalCouncil of Teachers of mathematics and Lawrence Erlbaum, pp. 29-46.Cobb, P. (2000). Constructivism in Social Context in Steffe, L. P. and Thompson, P. W. (Eds.), RadicalConstructivism in Action, New York, NY.Cobb, P. & Bauersfeld, H. (1995) Introduction: The coordination of psychological and sociologicalperspectives in mathematics education, in COBB, P. and BAUERSFELD, H. (eds). Emergence ofMathematics Meanings: Interaction in Classroom Cultures, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.Cobb, P. & Yackel, E. (1996) Constructivist, emergent, and sociocultural perspectives in the context ofdevelopmental research, Educational Psychologist, 31, pp. 175-90.Cobb, P., Yackel, E. & Woof, T. (1989).Young childre’s emotional acts while doing mathematical problemsolving. In D. B McLeod & V. M. Adams (Eds.) Affect and mathematical problem solving :A newperspective(pp. 117-148). New York:Springer-Verlag.National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards for School Mathematics.Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.Strauss, A., & Corbin, j. (1998). Basic of qualitative research: Ground theory procedures and technique(2 nd .) Newbury Park, CA: Sage publications, Inc.Stylianides, A. J. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal for Research in MathematicsEducation, 38, 289-321.Tsai W. H. (2003). Supporting Teachers In Building Classroom Discourse Centered On Mathematics TheProceeding of the 27th International Group for the Psychology of Mathematics Education. Honolulu,Hawaii.283
蔡 文 煥 協 同 國 小 教 師 發 展 課 室 推 理 規 範 以 促 進 國 小 學 童 推 理 歷 程 之 研 究Voigt, J. (1995). Thematic patterns of interaction and sociomathematical norms. In P. Cobb & H.Bauersfeld (Eds.), Emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom culture (pp. 163-201).Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.Von Glasersfeld, E. (1987) “ learning as a constructive activities” Poetics, 12, pp.207-18. Problems ofrepresentation in the Teaching and Learning of Mathematics, Hillsdale, NJ: Lawrence Eulbaum, pp.3-18.Von Glasersfeld, E. (1989)‘Constructivism’, in HUSEN, T. and POSTLETHWAITE, T. N. (eds), TheInternational Encyclopedia of education (1 st edn, supplement. Vol.1), Oxford: Pergamon, pp. 162-3.Von Glasersfeld, E. (1991) “ Abstraction, re-presentation, and reflection: An interpretation of experienceand Piaget’s approach’, in Steffe, L.P. (ed), Epistemological Foundations of mathematical experience,New York: Springer, pp.45-67.Von Glasersfeld, E. (1992) ‘ Constructivism reconstructed: A reply to Suchting’, Science and Education, 1,pp.379-84.Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Social mathematical Norms, Argumentation, and Autonomy InMathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 458-477.284
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫■ 成 果 報 告□ 期 中 進 度 報 告師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 個 案 研 究計 畫 類 別 :■ 個 別 型 計 畫 □ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 100-2511-S-415-009-執 行 期 間 :100 年 8 月 1 日 至 101 年 7 月 31 日執 行 機 構 及 系 所 : 國 立 嘉 義 大 學 教 育 行 政 與 政 策 發 展 研 究 所計 畫 主 持 人 : 張 宇 樑 國 立 嘉 義 大 學 教 育 行 政 與 政 策 發 展 研 究 所 副 教 授共 同 主 持 人 : 吳 樎 椒 國 立 嘉 義 大 學 幼 兒 教 育 學 系 ( 所 ) 副 教 授計 畫 參 與 人 員 : 盧 思 岑 、 林 采 珊 、 蔡 佳 伶 、 陳 映 均成 果 報 告 類 型 ( 依 經 費 核 定 清 單 規 定 繳 交 ):■ 精 簡 報 告□ 完 整 報 告本 計 畫 除 繳 交 成 果 報 告 外 , 另 須 繳 交 以 下 出 國 心 得 報 告 :□ 赴 國 外 出 差 或 研 習 心 得 報 告□ 赴 大 陸 地 區 出 差 或 研 習 心 得 報 告■ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告□ 國 際 合 作 研 究 計 畫 國 外 研 究 報 告處 理 方 式 : 除 列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,□ 一 年 ■ 二 年 後 可 公 開 查 詢中 華 民 國 一 ○ 一 年 十 月 三 十 一 日285
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 個 案 研 究摘 要具 信 、 效 度 的 數 學 測 驗 工 具 的 編 製 與 多 元 評 量 的 設 計 與 執 行 是 數 學 課 程 與 教 學 中 的 必 要 條 件 ;然 而 , 這 些 評 量 方 式 只 出 現 在 研 究 的 情 境 中 嗎 ? 還 是 應 該 是 實 際 教 室 中 的 常 態 ?! 現 場 教 師 是 否 具備 這 些 能 力 ? 據 此 , 研 究 者 ( 師 培 者 ) 期 能 藉 由 和 國 小 在 職 教 師 共 組 數 學 教 師 學 習 型 組 織 , 藉 以 達 成下 列 目 標 : 籌 組 數 學 教 師 學 習 型 組 織 , 以 協 助 參 與 國 小 教 師 在 數 學 教 學 評 量 ( 以 測 驗 評 量 為 主 軸 ) 上之 專 業 成 長 , 同 時 瞭 解 其 改 變 情 形 。本 計 畫 主 要 採 質 化 之 個 案 研 究 法 ( 單 一 個 案 整 體 設 計 ) 為 主 , 進 行 描 述 性 與 解 釋 性 之 研 究 。 此外 , 在 研 究 中 所 設 定 的 測 驗 ( 即 段 考 題 ), 乃 依 所 蒐 集 之 量 化 資 料 以 統 計 方 法 檢 定 之 , 以 確 立 測 驗 或評 量 工 具 之 信 、 效 度 。 本 研 究 以 嘉 義 市 希 望 國 小 ( 化 名 ) 五 年 級 ( 第 一 年 時 ) 為 主 要 研 究 場 域 ,5 位 五年 級 教 師 ( 導 師 , 教 數 學 ) 皆 為 數 學 教 師 學 習 型 組 織 的 成 員 。 研 究 資 料 以 半 結 構 式 之 參 與 觀 察 、 階 段總 結 性 之 個 別 深 度 訪 談 及 追 蹤 訪 談 、 及 各 類 之 文 件 資 料 等 方 式 蒐 集 之 , 並 採 用 樣 本 式 與 編 輯 式 分 析法 進 行 分 析 。 根 據 研 究 資 料 的 分 析 可 知 , 個 案 教 師 在 設 計 數 學 段 考 試 題 之 知 能 上 有 明 顯 之 轉 變 , 且他 們 在 接 受 專 業 成 長 和 實 際 設 計 段 考 考 題 後 , 逐 漸 能 體 會 此 出 題 模 式 的 優 勢 。 雖 然 個 案 教 師 雖 逐 漸能 認 同 此 出 題 模 式 , 但 仍 保 有 部 分 不 同 之 看 法 ; 不 過 , 研 究 者 能 夠 由 學 習 型 組 織 中 教 師 的 回 饋 , 得知 此 專 業 成 長 的 實 施 是 舉 具 有 相 當 成 效 的 , 且 將 依 此 持 續 規 劃 未 來 的 學 習 型 組 織 活 動 。關 鍵 詞 : 數 學 教 師 學 習 型 組 織 、 數 學 教 學 評 量 、 教 師 專 業 發 展 、 高 年 級286
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究A Case Study—Developing Teachers’ Knowledge and Capability ofDesigning and Executing Instructional Assessment in Mathematicsthrough the Constitution of Cooperative Learning Organizationby Teacher Educators and Teachers of Fifth and Sixth GradesAbstractDesigning and executing mathematical tests and multiple assessment tools with reliability andvalidity is essential for elementary mathematics curriculum and instruction. However, does it justbelong to the research situation and appear within the experimental environment? Or, should it becomea normal condition in every classroom in the elementary school? Also, do our classroom teachers havethe capabilities of designing and executing those assessment tools mentioned above? Based on thesearguments, we (teacher educators as researchers) established and developed a mathematics teacherlearning organization (MTLO) associated with elementary in-service teachers in order to reach thefollowing objectives: Implementing and verifying the final model and operational strategies of MTLO;guiding and working in coordination with these teachers to design and execute reliable and validinstructional assessment tools in mathematics (including tests and multiple assessment tools); andexploring the initial status and developmental changes of these teachers’ professional knowledge inmathematics.A single-case holistic design was employed in this qualitative and “explanatory and descriptive” casestudy. Tests and multiple assessment tools in mathematics that were designed were testified forestablishing their reliability and validity.Five fifth-grade (i.e. the first year of the study) classrooms ofthe “Hope Elementary School” (alias) in Chiayi City were selected as the research fields. Fivefifth-grade classroom teachers (teaching mathematics) were chosen to participate in the MTLO. Datawas gathered through semi-structured observations, individual summative in-depth interviews (at all fourstages of the study) and follow-up interviews, and various kinds of documents, and then analyzedqualitatively by template and editing analytic strategies.Acoording to the data analysis, it is found that:Targerted teachers’ professional knowledge and ability of designing mathamtics achievement test hadobviously changes.It showed that, after receiving the professional development programs and actuallydesigning the tests by themselves within the MTLO, they could gradually feel the powerful advantages of287
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究this cooperative working model.Even though they still owned some different thoughts about thisdesigning process, they all agreed on this model for designing mathematics achievement tests.Further,the researchers were aware of positive feedbacks from these teachers, which informed that theprofessional development programs of the MTLO were substantially effective.Accordingly, theresearch team will keep planning the future professional development programs based on these valuablefeedback and experience.Keywords: Mathematics Teacher Learning Organization, Instructional Assessment in Mathematics,Teachers’ Professional Development, Fifth and Sixth Grades288
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 個 案 研 究壹 、 研 究 背 景 與 動 機一 、 發 展 師 資 培 育 者 與 在 職 教 師 專 業 合 作 關 係 相 當 重 要( 一 ) 師 培 者 與 在 職 教 師 應 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 數 學 專 業 合 作 關 係學 校 由 一 群 教 師 所 組 成 , 這 群 教 師 能 否 有 效 地 被 組 織 以 便 能 合 作 運 用 所 具 備 的 專 業 資 源 , 將 在現 今 學 校 教 育 環 境 革 新 的 過 程 中 扮 演 關 鍵 性 之 角 色 。Senge (1990) 認 為 : 組 織 學 習 的 速 度 可 能 成 為競 爭 優 勢 唯 一 永 續 之 來 源 , 而 且 組 織 必 須 了 解 如 何 創 造 知 識 , 與 學 習 如 何 學 習 , 才 得 以 達 成 革 新 的目 標 。 各 級 「 學 校 」 乃 社 會 結 構 中 之 核 心 組 織 , 負 責 建 構 學 習 文 化 , 以 確 保 持 續 的 知 識 創 造 和 轉 化 ;而 國 民 小 學 更 扮 演 著 基 礎 教 育 中 吃 重 的 「 起 始 點 」 角 色 。 又 , 因 為 知 識 是 資 訊 時 代 的 重 要 資 源 , 面對 資 訊 科 技 日 新 月 異 的 21 世 紀 ,「 學 校 」 的 組 織 運 作 情 形 及 其 組 織 中 的 重 要 角 色 「 教 師 」 之 專 業 發展 與 否 , 對 我 們 的 社 會 與 生 活 影 響 甚 鉅 。 其 實 , 早 在 20 年 前 , 美 國 全 美 教 學 專 業 標 準 委 員 會 (NationalBoard for Professional Teaching Standards [NBPTS], 1989) 所 提 出 之 教 學 專 業 標 準 之 第 五 大 核 心 主 張為 :「 教 師 是 學 習 社 群 的 成 員 — 教 師 經 由 和 其 他 專 業 人 員 的 合 作 來 對 學 校 效 能 產 生 貢 獻 」。 這 個 核 心主 張 清 楚 確 立 了 教 師 專 業 發 展 與 成 長 團 體 之 建 立 的 必 要 性 。 此 外 ,Senge (1990) 說 :「 組 織 學 習 的 速度 可 能 成 為 競 爭 優 勢 的 唯 一 永 續 來 源 」。 再 者 ,NBPTS (1989) 所 提 之 第 四 大 核 心 主 張 為 :「 教 師 有系 統 地 思 考 教 學 實 務 並 且 從 經 驗 中 學 習 」, 這 個 核 心 主 張 清 楚 宣 示 教 師 應 透 過 學 習 型 組 織 中 的 核 心要 素 「 系 統 思 考 」(Senge, 1990) 來 提 昇 自 身 教 學 專 業 的 必 要 性 。 因 此 , 如 何 讓 學 校 成 為 「 能 ( 會 )、且 願 學 習 」 的 組 織 , 且 讓 學 校 內 教 師 組 成 學 習 型 組 織 以 促 進 其 專 業 發 展 , 即 是 現 今 學 校 革 新 的 要 務之 一 。事 實 上 , 國 內 外 許 多 數 學 教 育 領 域 的 學 者 已 陸 續 完 成 各 種 型 態 或 採 用 不 同 理 論 基 礎 之 數 學 教 師專 業 成 長 研 究 及 數 學 教 師 成 長 團 體 ( 或 名 為 學 習 型 組 織 、 教 師 專 業 社 群 等 ) 的 建 置 , 其 所 提 出 及 使 用之 數 學 教 師 專 業 成 長 團 體 建 置 模 式 與 策 略 , 可 歸 納 為 三 大 類 ( 張 宇 樑 ,2010):「 學 校 外 」、「 學 校 內 」、與 「 合 併 — 校 內 外 合 作 」 模 式 。 其 中 , 第 三 類 之 「 合 併 — 校 內 外 合 作 」 模 式 旨 在 成 立 共 同 合 作 之 教師 專 業 成 長 團 體 或 學 習 型 組 織 , 以 期 能 結 合 校 內 與 校 外 之 力 量 來 協 助 教 師 專 業 發 展 與 成 長 ( 張 宇樑 ,2010), 而 這 種 模 式 正 符 合 Loborde (1999) 所 提 : 在 職 教 師 參 與 師 資 培 育 者 所 執 行 之 研 究 計 畫 ,可 促 進 教 師 們 學 習 計 畫 內 所 擬 訂 且 必 要 的 專 業 知 能 , 並 將 其 應 用 於 自 己 的 課 程 與 教 學 實 務 工 作 中 。其 次 , 無 論 是 哪 種 類 型 之 教 師 專 業 發 展 , 其 目 的 皆 在 於 提 供 在 職 教 師 專 業 成 長 的 機 會 , 同 時 可 藉 由此 機 會 的 提 供 , 拉 近 師 資 培 育 者 與 在 職 教 師 間 的 關 係 , 以 延 續 且 進 一 步 提 升 職 前 師 資 培 育 體 系 的 功效 。 透 過 這 層 專 業 合 作 關 係 , 師 資 培 育 者 與 在 職 教 師 間 能 夠 進 行 更 密 切 的 交 流 與 互 動 , 在 職 教 師 不但 可 增 進 其 教 學 之 專 業 知 能 (Loborde, 1999), 更 可 合 作 解 決 實 際 教 學 現 場 所 發 生 或 存 在 的 可 能 問題 , 以 達 成 改 善 教 學 品 質 及 提 升 學 習 成 效 之 目 標 ( 張 宇 樑 ,2010)。( 二 ) 嘉 義 地 區 數 學 教 師 專 業 學 習 社 群 仍 屬 缺 乏承 前 述 , 雖 然 國 內 數 學 教 育 領 域 之 學 者 已 嘗 試 組 織 或 協 助 在 職 教 師 組 織 數 學 專 業 學 習 社 群 或 成長 團 體 ( 包 含 中 小 學 ), 且 亦 皆 有 顯 著 之 成 效 ( 張 宇 樑 ,2010), 然 而 這 在 全 台 灣 超 過 2600 所 國 小 之 中 ,仍 屬 少 數 。 此 外 , 教 育 部 (2005) 訂 定 「 補 助 試 辦 教 師 專 業 發 展 評 鑑 實 施 計 畫 」( 以 下 簡 稱 教 專 計 畫 ),自 95 學 年 度 起 至 今 (99 學 年 度 ) 即 積 極 推 動 中 小 學 試 辦 此 計 畫 , 此 計 畫 旨 在 「 協 助 教 師 專 業 成 長 ,增 進 教 師 專 業 素 養 , 提 升 教 學 品 質 , 以 增 進 學 生 學 習 成 果 」( 教 育 部 ,2010), 亦 即 希 望 中 小 學 藉 由289
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究參 與 此 計 畫 , 主 動 建 立 專 業 成 長 輔 導 機 制 、 並 規 劃 相 關 工 作 , 以 達 成 前 述 教 師 專 業 成 長 之 目 標 。 在實 施 方 式 方 面 , 期 望 各 校 能 建 立 教 師 專 業 學 習 ( 成 長 ) 社 群 , 以 提 升 教 師 之 專 業 知 能 。 然 而 , 根 據 98學 年 度 資 料 顯 示 ( 教 師 專 業 發 展 評 鑑 網 ,2010), 全 台 也 僅 有 351 所 國 小 參 與 此 計 畫 ( 僅 達 13.2%),且 嘉 義 地 區 ( 含 嘉 義 市 及 嘉 義 縣 ) 更 只 有 7 所 國 小 參 與 , 僅 佔 所 有 國 小 總 校 數 (147 校 ) 之 4.76%。 又 在這 7 所 參 與 國 小 ( 其 中 尚 包 含 嘉 大 附 小 ) 中 , 雖 然 共 成 立 了 17 個 教 師 專 業 社 群 、 且 實 際 參 與 教 師 僅105 人 ( 見 表 1), 但 檢 視 其 專 業 社 群 之 主 題 後 , 發 現 皆 非 屬 數 學 教 育 相 關 領 域 。 再 由 今 (99) 學 年 度 之資 料 可 知 , 雖 然 參 與 校 數 提 升 至 11 所 , 社 群 數 量 及 參 與 教 師 總 數 亦 有 增 加 , 但 仍 屬 相 對 少 數 ( 僅 佔所 有 嘉 義 地 區 國 小 校 數 之 7.4%、 教 師 總 數 之 4.6%), 且 遠 落 後 於 其 他 縣 市 國 小 的 實 際 參 與 情 形 ; 同時 , 仍 然 沒 有 任 何 數 學 教 育 相 關 之 專 業 社 群 ( 教 師 專 業 發 展 評 鑑 網 ,2010)。 由 此 可 知 , 在 嘉 義 地 區( 含 嘉 義 市 及 嘉 義 縣 ), 輔 導 或 協 助 國 小 教 師 成 立 數 學 教 育 領 域 專 屬 的 教 師 專 業 學 習 社 群 實 屬 必 要 、且 刻 不 容 緩 ; 研 究 者 希 望 未 來 藉 由 此 計 畫 之 執 行 , 發 揮 帶 頭 示 範 之 功 效 , 並 且 建 立 有 系 統 且 有 效 率之 運 作 模 式 , 以 作 為 未 來 其 他 學 校 與 其 教 師 仿 效 之 參 考 依 據 。二 、 發 展 數 學 教 師 教 學 評 量 專 業 知 能 刻 不 容 緩( 一 ) 數 學 教 學 評 量 之 重 要 性在 現 今 之 教 育 改 革 聲 浪 下 , 學 校 教 育 能 否 跟 上 世 界 的 腳 步 隨 著 之 求 變 與 革 新 , 將 是 成 功 與 否 之關 鍵 要 素 。 事 實 上 , 現 今 之 教 師 們 擁 有 更 多 的 專 業 自 主 空 間 , 但 相 對 地 也 面 臨 了 更 多 的 挑 戰 ; 特 別是 在 課 程 與 教 學 革 新 的 議 題 上 , 教 師 的 專 業 知 能 將 成 為 左 右 他 們 能 否 積 極 面 對 挑 戰 與 成 功 完 成 任 務的 核 心 因 素 。 王 如 哲 (2000) 也 認 為 教 師 知 識 的 發 展 與 學 習 對 教 師 的 教 學 基 礎 有 深 遠 的 影 響 , 且 將 會影 響 其 教 學 的 品 質 。 因 此 , 唯 有 擁 有 充 分 且 適 切 專 業 知 能 的 教 師 , 才 能 突 破 現 存 之 可 能 困 境 且 臻 至成 功 (Borko & Putnam, 1995; Cantrell, Young, & Moore, 2003; Rodriguez, 1998)。 然 而 , 現 今 許 多 教 師專 業 成 長 之 作 為 卻 未 如 預 期 達 成 前 述 目 標 , 所 以 反 成 為 在 從 事 革 新 工 作 上 之 問 題 ( 潘 慧 玲 ,2002)。而 在 前 述 教 師 專 業 成 長 的 問 題 中 , 教 師 在 教 學 評 量 上 的 專 業 知 能 始 終 是 一 個 重 要 議 題 。 特 別 是在 數 學 教 育 領 域 , 教 學 評 量 方 式 的 問 題 與 其 革 新 始 終 是 數 學 教 育 研 究 者 的 焦 點 之 一 ( 洪 碧 霞 ,2002); 因 為 在 教 與 學 的 循 環 歷 程 中 , 教 學 評 量 著 實 扮 演 著 中 介 與 回 饋 的 重 要 角 色 ( 林 素 微 ,2000)。其 實 , 早 在 1989 年 , 全 美 數 學 教 師 協 會 (National Council of Teachers of Mathematics, 簡 稱 NCTM)就 針 對 數 學 評 量 概 念 , 提 出 一 個 較 廣 義 的 看 法 , 它 將 教 學 評 量 訊 息 的 蒐 集 聚 焦 在 下 列 四 項 目 的 中 ,即 評 量 可 以 : 作 為 數 學 教 學 的 內 涵 及 方 法 的 決 策 參 考 、 作 為 班 級 氣 氛 營 造 之 決 策 參 考 、 有 助 於 溝 通何 者 屬 數 學 重 要 的 內 涵 、 及 評 定 學 生 的 數 學 成 就 ( 成 績 )。 因 此 , 當 學 校 之 數 學 課 程 內 容 及 教 學 方 法產 生 變 革 時 , 測 驗 和 評 量 的 程 序 與 方 式 也 應 同 時 隨 之 調 整 。 因 此 ,NCTM (1989) 在 其 Curriculum andEvaluation Standards for School Mathematics 中 就 已 明 確 指 出 數 學 評 量 之 三 項 基 本 原 則 , 即 評 量 要 配合 數 學 課 程 之 內 容 、 需 透 過 多 樣 化 學 習 資 訊 的 蒐 集 來 評 量 學 生 之 數 學 學 習 過 程 、 及 需 使 用 適 切 的 評量 工 具 來 發 現 學 生 之 數 學 學 習 問 題 與 困 難 。 此 外 , 在 NCTM (2000) 之 Principles and Standards forSchool Mathematics 中 也 接 續 了 這 個 觀 點 , 在 其 六 大 原 則 (principles) 中 , 將 評 量 (assessment) 列 為 其中 之 一 , 且 亦 明 確 指 出 : 數 學 評 量 應 具 有 支 持 學 生 學 習 重 要 數 學 內 涵 的 功 能 , 且 能 同 時 提 供 必 要 資訊 給 教 師 與 學 生 。 隨 著 這 個 趨 勢 , 近 十 數 年 來 , 教 學 評 量 在 世 界 各 國 也 都 普 遍 受 到 決 策 者 、 數 學 教育 研 究 者 、 及 現 場 數 學 教 師 等 之 重 視 (Fan, 2006; Morgan, 2000; NCTM, 1995; Niss, 1993; Ruthven,1994; Singapore Ministry of Education, 2004a, 2004b)。在 國 內 , 隨 著 九 年 一 貫 課 程 綱 要 之 公 告 、 實 施 、 與 修 訂 , 近 十 年 來 數 學 課 程 之 內 涵 也 隨 著 調 整 ,除 了 重 視 以 學 生 為 主 軸 的 學 習 環 境 建 置 外 , 更 強 調 數 學 的 學 習 在 國 小 階 段 要 能 夠 更 生 活 化 , 以 讓 學生 擁 有 帶 著 走 的 能 力 ( 教 育 部 ,2000,2009)。 當 然 , 這 項 數 學 課 程 革 新 工 作 也 包 含 了 對 數 學 教 學 評290
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究量 革 心 的 期 許 與 要 求 ( 教 育 部 ,2000)。 事 實 上 , 台 灣 在 這 波 數 學 教 育 改 革 的 全 球 化 趨 勢 下 並 未 落 後 ,許 多 另 類 的 多 元 評 量 方 式 也 開 始 受 到 台 灣 數 學 教 育 領 域 之 重 視 , 諸 如 : 實 作 評 量 、 歷 程 評 量 、 檔 案評 量 、 動 態 評 量 、 觀 察 、 晤 談 、 及 軼 事 錄 或 學 生 日 誌 等 ( 洪 碧 霞 ,2002)。 而 這 個 趨 勢 也 正 符 合 了Gardner (1992) 所 提 出 的 看 法 , 就 是 教 學 評 量 必 須 配 合 特 定 之 學 習 情 境 脈 絡 來 設 計 與 執 行 , 如 此 才能 真 正 獲 致 學 生 之 學 習 情 形 與 成 效 。 日 前 , 教 育 部 「 九 年 一 貫 課 程 推 動 工 作 — 課 程 與 教 學 輔 導 組 」之 「 數 學 學 習 領 域 輔 導 群 」( 即 國 教 數 學 輔 導 團 ) 也 將 推 動 教 師 精 進 數 學 教 學 評 量 專 業 知 能 一 項 , 列為 其 100 年 (2011 年 ) 之 團 務 重 點 之 ㄧ( 鍾 靜 ,2010), 由 此 可 見 此 議 題 之 重 要 性 。綜 上 所 述 , 數 學 教 學 評 量 在 國 內 外 都 受 到 普 遍 性 的 重 視 , 更 是 現 今 數 學 教 育 革 新 中 重 要 的 一環 。 因 此 , 除 了 以 往 在 傳 統 數 學 課 室 中 常 用 的 紙 筆 測 驗 之 外 , 多 元 化 的 數 學 教 學 評 量 方 式 也 應 同 樣的 被 重 視 。 據 此 , 教 師 ( 特 別 是 國 小 教 師 ) 在 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 上 之 專 業 知 能 , 則 將 對 其 是 否能 順 利 完 成 此 項 任 務 有 著 相 當 重 要 的 影 響 。 是 以 , 本 研 究 便 期 望 以 數 學 教 學 評 量 為 主 軸 , 透 過 前 述之 學 習 型 組 織 ( 教 師 專 業 成 長 社 群 ) 提 供 教 師 們 在 此 專 業 上 之 支 援 與 輔 助 , 以 便 能 提 升 他 們 在 此 方 面的 專 業 知 能 。( 二 ) 由 美 國 教 育 政 策 發 展 趨 勢 可 知 教 學 評 量 系 統 建 置 之 必 要 性美 國 自 推 動 「No Child Left Behind (NCLB) Act」(NCLB, 2002) 以 來 , 對 於 中 小 學 學 校 教 育 及 其教 師 之 專 業 品 質 之 提 升 可 謂 不 遺 餘 力 , 尤 其 是 在 閱 讀 、 數 學 、 與 自 然 科 學 等 領 域 , 更 是 這 一 波 教 育革 新 的 重 點 。 同 時 , 研 究 亦 指 出 :NCLB 法 案 的 推 動 , 的 確 整 體 地 提 升 了 小 學 生 的 數 學 成 就 ( 成 績 )(Chudowsky, Chudowsky, & Kober, 2007; Tough, 2006), 當 然 也 有 許 多 不 贊 同 的 聲 音 與 相 反 的 研 究 結果 (Karp, 2004; Kohn, 2004; Price, 2010)。 而 這 項 政 策 隨 著 在 2009 年 Obama 總 統 與 其 新 政 府 的 執 政 ,產 生 了 新 的 變 化 與 方 向 : 他 們 提 出 了 一 個 高 達 43.5 億 美 金 的 Race to the Top 計 畫 ( 簡 稱 R2T)。 這 個競 爭 型 計 畫 的 主 要 目 的 在 於 鼓 勵 各 州 進 行 教 育 革 新 , 以 期 能 提 升 學 生 的 學 習 成 效 、 拉 近 學 生 學 習 成就 間 的 差 距 ; 其 中 一 項 革 新 的 核 心 目 標 就 是 : 建 立 一 套 評 量 系 統 來 檢 視 學 生 的 學 習 成 長 與 成 就 , 同時 教 師 ( 與 校 長 ) 可 透 過 此 系 統 來 改 進 其 教 學 (U.S. Department of Education, 2009)。 在 此 目 標 下 , 各 州政 府 必 須 提 出 其 對 建 立 此 種 教 學 評 量 系 統 的 計 畫 , 描 述 其 如 何 依 據 現 有 之 課 程 標 準 (standards) 來 設計 與 執 行 高 品 質 的 教 學 評 量 ; 當 然 , 數 學 領 域 就 是 此 計 畫 中 的 重 要 推 動 領 域 之 一 。 而 他 們 也 對 高 品質 教 學 評 量 (high-quality assessment) 下 了 明 確 的 定 義 : 亦 即 評 量 要 能 準 確 檢 驗 ( 測 量 ) 出 學 生 的 知 識 、理 解 、 應 用 能 力 ; 且 評 量 要 能 檢 視 學 生 的 成 長 (growth) 與 成 就 (achievement), 也 需 具 有 信 度 、 效 度 、及 兼 顧 公 平 性 、 甚 或 是 在 適 當 時 機 使 用 科 技 輔 助 之 。 此 外 , 評 量 之 種 類 則 須 包 涵 形 成 性 (formative)評 量 、 階 段 性 (interim) 評 量 、 及 總 結 性 (summative) 評 量 (U.S. Department of Education, 2009)。 這 項政 策 可 謂 宣 告 美 國 正 式 進 行 重 視 教 學 評 量 的 戰 國 時 期 , 至 今 已 有 12 個 州 ( 含 特 區 ) 獲 得 此 項 補 助 。此 外 ,Duncan (Secretary, U.S. Department of Education) 更 進 一 步 說 明 , 在 這 個 政 策 ( 計 畫 ) 下 , 他 希望 各 週 能 夠 根 據 課 程 標 準 編 製 新 的 評 量 工 具 , 以 便 能 夠 瞭 解 學 生 之 學 習 情 形 是 否 真 能 達 到 該 標 準(Duncan, 2009a)。 也 唯 有 如 此 , 我 們 才 能 很 明 確 的 告 訴 我 們 的 學 生 和 其 家 長 , 他 / 她 ( 即 學 生 ) 的 學 習一 切 符 合 學 校 的 要 求 、 沒 有 落 後 (Duncan, 2009b)。 若 是 學 生 未 能 達 到 標 準 , 學 校 也 能 夠 透 過 教 學 改進 系 統 (instructional improvement system), 以 實 際 行 動 來 協 助 學 生 之 學 習 (U.S. Department ofEducation, 2009)。由 上 可 知 , 建 立 一 套 教 學 評 量 系 統 是 現 今 美 國 的 重 要 教 育 發 展 趨 勢 與 作 為 , 這 也 等 於 宣 示 了 美國 的 教 育 體 系 展 現 其 對 改 進 現 有 教 學 評 量 系 統 與 作 為 的 魄 力 。 承 襲 前 項 所 述 , 在 世 界 各 國 ( 包 含 台灣 在 內 ) 都 對 數 學 教 學 評 量 議 題 十 分 重 視 的 情 形 下 , 我 們 應 該 透 過 更 具 體 的 方 式 來 協 助 我 們 的 教 師們 提 升 其 在 數 學 教 學 評 量 上 之 專 業 知 能 , 以 便 能 提 升 在 學 校 內 的 數 學 教 學 評 量 品 質 , 除 能 有 效 檢 視與 監 測 學 生 的 數 學 學 習 情 況 外 , 更 能 藉 以 達 到 改 進 教 師 們 的 數 學 教 學 的 目 的 。 當 然 , 特 別 是 國 小 領291
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究域 之 數 學 教 學 評 量 , 在 現 今 教 師 與 家 長 們 大 多 較 重 視 段 考 ( 如 月 考 、 期 中 或 期 末 考 ) 之 分 數 的 情 形下 , 教 師 能 否 掌 握 教 學 評 量 的 定 義 , 設 計 出 具 信 、 效 度 、 兼 顧 公 平 性 的 測 驗 , 並 能 瞭 解 與 實 踐 多 元評 量 的 設 計 , 以 期 準 確 檢 驗 學 生 的 學 習 情 形 與 成 效 , 並 進 而 檢 討 教 師 自 身 的 教 學 品 質 , 就 成 為 本 研究 之 主 要 研 究 目 的 。三 、 由 現 今 學 校 ( 課 室 ) 內 在 數 學 教 學 評 量 之 現 狀 與 專 業 發 展 問 題 突 顯 本 研 究 之 重 要 性首 先 , 綜 觀 台 灣 近 幾 年 來 之 研 究 結 果 可 發 現 , 有 許 多 研 究 者 針 對 國 小 數 學 測 驗 工 具 的 編 製 與 施測 ( 如 : 白 雲 霞 ,2010; 呂 玉 琴 ,2009; 洪 碧 霞 、 林 素 微 、 林 娟 如 ,2006; 張 勝 凱 ,2010; 鄧 凱 仁 ,2009), 也 有 研 究 針 對 多 元 評 量 工 具 的 設 計 、 執 行 、 與 其 教 學 之 研 究 ( 如 : 吳 耀 明 ,2010; 洪 珮 芬 ,2009; 張 宇 樑 、 洪 巽 盈 ,2009; 黃 志 賢 ,2009)。 以 上 研 究 的 證 據 皆 顯 示 : 具 信 、 效 度 的 數 學 測 驗工 具 的 編 製 與 多 元 評 量 的 設 計 與 執 行 是 數 學 課 程 與 教 學 中 的 必 要 條 件 ; 然 而 , 這 些 評 量 的 方 式 只 是出 現 在 研 究 的 情 境 中 嗎 ? 還 是 應 該 是 實 際 教 室 中 的 常 態 ?! 換 句 話 說 , 我 們 應 該 反 思 「 誰 」 是 才 是數 學 教 學 評 量 的 設 計 者 與 執 行 者 , 且 現 場 教 師 是 否 具 備 這 些 能 力 ? 是 以 , 研 究 者 ( 師 培 者 ) 希 望 能 夠藉 由 國 小 在 職 教 師 共 組 數 學 教 師 學 習 型 組 織 , 以 便 檢 驗 與 提 升 現 場 教 師 們 在 教 學 評 量 設 計 與 執 行 的專 業 知 能 , 進 而 使 這 種 知 與 行 成 為 國 小 課 室 內 的 常 態 , 以 便 能 發 揮 以 適 切 方 式 檢 驗 ( 評 量 ) 學 生 數 學學 習 表 現 的 功 效 。四 、 研 究 目 的 與 問 題根 據 前 述 研 究 動 機 , 研 究 者 欲 以 嘉 義 市 希 望 國 小 ( 化 名 ) 五 年 級 為 主 要 研 究 場 域 , 以 達 成 下 列 研究 目 的 : 籌 組 數 學 教 師 學 習 型 組 織 , 以 協 助 參 與 國 小 教 師 在 數 學 教 學 評 量 ( 以 測 驗 評 量 為 主 軸 ) 上 之專 業 成 長 , 同 時 瞭 解 其 改 變 情 形 。 同 時 , 在 此 學 習 型 組 織 中 , 協 助 參 與 國 小 教 師 設 計 具 有 信 、 效 度之 數 學 段 考 考 題 , 並 執 行 及 完 成 資 料 分 析 工 作 。 其 中 , 第 一 階 段 ( 上 學 期 ) 為 師 培 者 ( 即 研 究 者 ) 引 導 ( 協助 ) 教 師 設 計 教 學 評 量 工 具 , 第 二 階 段 ( 下 學 期 ) 則 為 教 師 完 全 主 導 設 計 教 學 評 量 工 具 ( 師 培 者 則 僅 擔任 輔 導 者 角 色 )。 根 據 上 述 目 的 , 本 研 究 之 主 要 研 究 問 題 為 : 在 專 業 成 長 之 歷 程 中 , 參 與 國 小 教 師在 數 學 教 學 評 量 專 業 知 能 上 之 起 始 狀 態 及 改 變 情 形 為 何 ? 又 , 數 學 教 師 學 習 型 組 織 的 運 作 成 效 和 未來 發 展 方 向 為 何 ?( 註 : 文 獻 探 討 略 )貳 、 研 究 設 計一 、 研 究 方 法本 研 究 計 畫 主 要 以 質 化 之 個 案 研 究 法 為 主 進 行 資 料 之 蒐 集 與 分 析 ; 其 中 , 個 案 研 究 採 單 一 個 案整 體 (single-case holistic design) 設 計 (Yin, 2003), 將 所 有 參 與 研 究 之 在 職 教 師 視 為 一 整 體 性 之 個 案 ,針 對 參 與 教 師 在 接 受 專 業 成 長 的 過 程 中 , 其 在 評 量 設 計 與 執 行 上 的 專 業 能 力 之 變 化 情 形 , 進 行 描 述性 與 解 釋 性 (Yin, 2003) 之 個 案 研 究 。二 、 研 究 場 域 與 對 象 、 及 研 究 者 的 角 色( 一 ) 研 究 場 域 與 對 象本 研 究 將 以 嘉 義 地 區 希 望 國 小 ( 化 名 ) 五 年 級 為 主 要 研 究 場 域 。 該 校 五 年 級 共 有 5 個 班 級 , 其 5位 在 職 教 師 ( 皆 為 班 級 導 師 並 教 授 數 學 ) 將 成 為 本 研 究 中 所 成 立 之 數 學 教 師 學 習 型 組 織 (MathematicsTeacher Learning Organization, MTLO) 的 主 要 成 員 。 其 次 ,5 個 班 級 中 的 所 有 ( 五 年 級 ) 學 生 , 皆 為 教學 評 量 的 受 測 者 。 又 , 為 能 有 效 完 成 評 量 工 具 之 編 製 工 作 , 在 所 有 評 量 工 具 編 製 初 稿 完 成 後 , 選 定292
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究嘉 義 地 區 另 一 所 國 小 之 學 生 ( 至 少 2 個 班 級 ) 進 行 預 試 , 以 作 為 修 改 工 具 之 依 據 。再 者 , 在 本 研 究 中 , 個 案 教 師 完 整 地 被 告 知 所 有 研 究 訊 息 , 包 含 參 與 MTLO 的 相 關 時 程 及 教學 評 量 設 計 與 執 行 工 作 等 。 此 外 , 研 究 場 域 希 望 國 小 地 處 嘉 義 之 中 心 區 , 共 有 30 班 , 學 校 經 常 性的 參 與 各 類 教 學 與 研 究 計 畫 , 因 此 個 案 教 師 及 學 生 皆 多 習 慣 教 室 內 有 其 他 成 員 進 行 課 室 觀 察 , 對 於攝 影 器 材 與 研 究 人 員 進 入 教 室 拍 攝 教 學 , 多 有 親 身 體 驗 之 經 驗 , 故 不 影 響 其 正 常 之 教 學 與 學 習 情形 。 又 , 該 校 之 段 考 設 計 為 期 中 考 及 期 末 考 之 模 式 , 故 每 學 期 僅 有 兩 次 段 考 。( 二 ) 研 究 者 的 角 色兩 位 主 要 研 究 者 都 接 受 過 質 化 研 究 的 專 業 訓 練 , 並 且 執 行 過 多 項 個 案 研 究 工 作 , 分 屬 數 學 教 育與 研 究 設 計 及 質 化 研 究 之 經 驗 與 專 長 , 足 以 勝 任 此 研 究 之 工 作 。 其 次 , 由 於 本 研 究 採 用 單 一 個 案 整體 設 計 , 因 此 為 了 有 意 義 的 呈 現 事 件 的 關 聯 性 與 情 節 性 , 且 能 使 研 究 者 深 入 研 究 場 域 與 個 案 本 身 ,以 詳 實 記 錄 學 習 型 組 織 的 運 作 情 形 及 教 學 評 量 的 執 行 情 形 等 , 所 以 研 究 者 ( 含 團 隊 成 員 ) 將 主 要 以 參與 觀 察 之 方 式 進 行 資 料 之 蒐 集 , 且 研 究 者 之 角 色 定 位 為 「 參 與 的 觀 察 者 (participant-as-observer)」。然 而 , 配 合 研 究 之 需 要 、 及 獲 致 最 真 實 的 一 手 資 料 , 在 特 定 情 境 下 ( 如 : 在 學 習 型 組 織 的 討 論 過 程中 ), 研 究 團 隊 將 保 持 有 一 名 研 究 人 員 以 「 觀 察 者 的 參 與 (observer-as-participant)」 的 角 色 , 以 蒐 集較 客 觀 性 與 全 面 性 的 資 料 , 且 避 免 流 於 研 究 者 主 觀 之 評 判 。三 、 執 行 步 驟 與 資 料 蒐 集 方 法( 一 ) 執 行 步 驟 — 教 師 專 業 成 長 規 劃根 據 研 究 目 的 , 研 究 者 將 於 計 畫 確 認 後 ( 即 100 學 年 度 第 一 學 期 開 學 前 —2011 年 8 月 初 ), 立 即通 知 個 案 學 校 與 教 師 , 並 成 立 數 學 教 師 學 習 型 組 織 (MTLO), 進 行 專 業 成 長 內 容 之 規 劃 【 請 參 閱 下方 第 ( 二 ) 項 】, 及 依 序 完 成 下 列 工 作 :1. 個 案 教 師 教 學 評 量 現 況 分 析 與 MTLO 之 專 業 成 長 規 劃 (2011 年 8 月 ): 研 究 團 隊 將 針 對 個 案教 師 先 前 一 學 年 之 教 學 評 量 情 形 進 行 資 料 之 蒐 集 與 分 析 。 其 中 , 文 件 資 料 部 份 首 先 針 對 教學 評 量 中 之 段 考 考 題 進 行 資 料 蒐 集 ; 另 對 每 位 教 師 進 行 第 一 次 階 段 總 結 性 個 別 深 度 訪 談 ,以 瞭 解 其 教 學 評 量 之 基 本 知 能 與 實 際 作 為 。 根 據 此 分 析 結 果 , 完 成 專 業 成 長 之 規 劃 工 作 。2. MTLO 運 作 及 教 學 評 量 設 計 (2011 年 9 月 ~2012 年 6 月 ):(1) 首 先 , 透 過 MTLO 之 運 作 , 提 供 個 案 教 師 進 行 教 學 評 量 設 計 之 專 業 成 長 , 主 題 為 設計 段 考 考 題 ( 測 驗 ), 同 時 配 合 兩 階 段 之 規 劃 , 執 行 教 學 評 量 ( 即 段 考 考 題 ) 之 設 計 : 第一 階 段 ( 上 學 期 ) 為 師 培 者 引 導 ( 協 助 ) 教 師 設 計 教 學 評 量 工 具 , 第 二 階 段 ( 下 學 期 ) 則 為 個案 教 師 完 全 主 導 設 計 教 學 評 量 工 具 ( 師 培 者 則 僅 擔 任 輔 導 者 角 色 ); 而 最 後 完 成 設 計 之工 具 由 個 案 教 師 於 各 班 進 行 施 測 。(2) 此 外 , 為 能 順 利 後 續 之 研 究 主 題 和 內 容 , 研 究 者 針 對 個 案 教 師 關 於 設 計 與 執 行 教 學 評量 部 份 , 進 行 文 件 資 料 的 蒐 集 , 且 進 入 班 級 教 室 觀 察 其 執 行 情 形 , 以 進 行 後 續 分 析 。3. MTLO 成 效 檢 討 (2012 年 7 月 ): 針 對 一 整 年 之 運 作 成 效 進 行 全 面 性 檢 討 , 以 作 為 未 來 運 作分 項 與 策 略 訂 定 之 參 考 。 另 外 , 針 對 個 案 教 師 進 行 第 二 次 階 段 總 結 性 個 別 深 度 訪 談 , 以 確認 其 教 學 評 量 之 基 本 知 能 的 改 變 情 形 。( 二 ) MTLO 專 業 成 長 規 劃本 學 習 型 組 織 之 專 業 成 長 規 劃 秉 持 文 獻 探 討 ( 理 論 基 礎 ) 中 所 提 及 之 理 念 、 策 略 、 及 模 式 , 提 供參 與 個 案 教 師 在 教 學 評 量 領 域 之 專 業 發 展 機 會 , 其 活 動 方 式 包 含 下 列 三 項 :1. 專 業 成 長 與 對 話 活 動 : 每 學 期 規 劃 6 次 之 成 長 與 對 話 活 動 , 每 次 至 少 2 小 時 。 專 業 成 長 活動 以 測 驗 編 製 理 論 和 編 製 方 法 為 主 要 內 涵 , 另 有 相 關 數 學 學 習 和 數 學 概 念 之 探 討 等 內 容 。293
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究2. 評 量 設 計 與 討 論 活 動 : 規 劃 每 學 期 6 次 之 設 計 與 討 論 活 動 ( 每 次 至 少 2 小 時 )。3. 評 量 工 具 執 行 結 果 分 析 與 修 正 活 動 : 配 合 評 量 工 具 之 執 行 , 規 劃 每 學 期 至 少 3 次 之 分 析 與修 正 活 動 , 每 次 至 少 2 小 時 。( 三 ) 資 料 蒐 集 方 法研 究 者 將 根 據 研 究 目 的 及 前 述 之 執 行 步 驟 , 以 下 列 方 式 進 行 資 料 之 蒐 集 :1. 觀 察 : 本 研 究 將 針 對 以 下 兩 部 份 進 行 觀 察 , 主 要 觀 察 方 式 為 半 結 構 式 之 參 與 觀 察 。(1) MTLO 運 作 : 包 含 MTLO 運 作 過 程 中 之 「 專 業 成 長 與 對 話 活 動 」、「 評 量 設 計 與 討 論活 動 」、「 評 量 工 具 執 行 結 果 分 析 與 修 正 活 動 」 等 ; 另 亦 包 含 研 究 團 隊 之 會 議 。(2) 課 室 觀 察 : 選 定 每 學 期 1~2 個 教 學 單 元 進 班 觀 察 , 以 瞭 解 教 師 之 教 學 評 量 現 況 。2. 訪 談 : 根 據 前 述 專 業 成 長 規 劃 , 研 究 者 對 每 位 參 與 個 案 教 師 進 行 二 次 階 段 總 結 性 之 個 別 深度 訪 談 ( 第 一 學 期 初 及 第 二 學 期 末 各 一 次 , 每 次 至 少 40 分 鐘 ; 不 含 過 程 中 之 追 蹤 訪 談 或 集體 訪 談 ), 以 暸 解 教 師 們 在 教 學 評 量 上 之 改 變 情 形 , 進 一 步 評 鑑 學 習 型 組 織 專 業 成 長 之 成效 。 又 訪 談 採 半 結 構 式 設 計 , 訪 談 內 容 分 為 兩 大 類 : 一 為 期 初 訪 談 , 主 要 聚 焦 於 個 案 教 師之 評 量 基 本 知 能 與 現 況 ( 即 段 考 設 計 ); 另 一 為 期 末 訪 談 , 主 要 在 檢 驗 與 確 認 個 案 教 師 之 評量 知 能 改 變 情 形 。3. 文 件 資 料 ( 含 質 化 與 量 化 ): 本 研 究 所 蒐 集 之 文 件 資 料 包 含 下 列 三 類(1) 活 動 過 程 與 會 議 紀 錄 : 如 , 前 述 MTLO 運 作 過 程 之 田 野 筆 記 及 個 案 教 師 學 習 紀 錄 與回 饋 單 、 與 研 究 團 隊 會 議 紀 錄 等 。(2) 教 與 學 之 檔 案 : 如 , 教 師 必 要 之 教 學 檔 案 、 及 學 生 之 學 習 檔 案 資 料 ( 含 相 關 作 業 與 評量 結 果 ) 等 。(3) 反 思 週 誌 : 除 研 究 團 隊 之 反 思 週 誌 外 , 亦 將 委 請 個 案 教 師 撰 寫 反 思 紀 錄 , 以 供 佐 證參 考 。( 四 ) 信 賴 度1. 個 案 研 究 信 賴 度依 據 質 化 研 究 的 重 要 工 具 是 研 究 者 本 身 的 重 要 理 念 , 本 研 究 將 結 合 研 究 主 持 人 與 共 同 主 持人 之 在 此 ( 數 學 教 育 ) 領 域 之 專 長 與 經 驗 , 一 起 進 行 本 研 究 之 實 施 與 分 析 。 為 提 升 研 究 之 可 信性 、 可 靠 性 、 可 證 實 性 、 與 資 料 相 依 性 , 研 究 者 參 考 Yin (2003) 所 提 出 之 準 則 , 執 行 下 列 工 作以 提 升 研 究 信 賴 度 : 首 先 , 在 本 研 究 中 使 用 的 多 重 證 據 來 源 來 建 立 證 據 鍊 , 確 認 所 蒐 集 之 資料 之 豐 富 與 正 確 性 , 以 建 立 本 研 究 之 構 念 效 度 。 其 次 , 使 用 參 與 者 查 證 之 模 式 , 讓 參 與 的 兩位 教 師 檢 視 訪 談 及 觀 察 之 結 果 ; 同 時 由 多 位 研 究 人 員 對 同 ㄧ 現 象 或 行 為 進 行 觀 察 與 訪 談 , 以確 立 其 ㄧ 致 性 與 提 升 研 究 之 信 度 。 例 如 : 在 課 室 觀 察 時 , 至 少 兩 位 觀 察 員 同 時 進 入 教 室 中 ,並 於 觀 察 後 隨 即 討 論 與 比 對 所 獲 得 之 研 究 資 料 ; 又 此 觀 察 資 料 中 若 有 需 再 確 認 者 , 則 於 其 後之 訪 談 中 由 兩 位 訪 談 員 分 別 進 行 確 認 , 或 更 深 入 地 瞭 解 個 案 教 師 之 意 念 或 作 為 。 再 者 , 在 分析 的 過 程 中 , 透 過 前 面 所 述 的 步 驟 與 過 程 進 行 MTLO 專 業 成 長 成 效 、 個 案 教 師 教 學 評 量 知 能 、及 配 合 採 用 時 間 序 列 方 式 進 行 資 料 分 析 , 提 升 本 研 究 之 內 在 效 度 。 又 ,Hammesley (1995) 認 為質 化 研 究 就 是 一 種 反 思 的 過 程 , 因 此 本 研 究 採 用 研 究 團 隊 反 思 週 誌 及 個 案 教 師 反 思 紀 錄 等 模式 , 以 期 能 於 研 究 過 程 中 不 斷 反 省 思 考 如 何 增 進 本 研 究 之 信 、 效 度 , 並 獲 致 最 直 接 且 有 效 的資 料 以 解 析 與 回 應 研 究 之 問 題 。 同 時 , 將 於 過 程 中 進 行 動 態 之 修 正 及 完 成 最 後 研 究 結 果 之 整理 與 撰 寫 , 及 針 對 所 有 資 料 進 行 統 整 性 解 釋 與 分 析 , 以 求 研 究 結 果 之 完 整 性 與 ㄧ 致 性 。2. 評 量 工 具 信 效 度本 研 究 中 設 計 之 段 考 考 題 , 為 確 保 其 具 有 信 效 度 , 故 執 行 後 列 之 相 關 工 作 : 各 段 考 之 考294
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究題 再 完 成 初 稿 設 計 後 , 將 進 行 預 試 , 根 據 預 試 後 之 結 果 進 行 試 題 之 難 易 度 與 鑑 別 度 等 分 析 ,以 及 初 步 之 錯 誤 類 型 分 析四 、 資 料 分 析( 一 ) 質 化 - 個 案 — 樣 本 式 與 編 輯 式首 先 , 由 於 本 研 究 採 用 單 一 個 案 整 體 設 計 , 故 將 所 有 參 與 MTLO 之 ( 五 位 ) 在 職 教 師 視 為 一 個 整體 之 分 析 單 位 , 因 此 研 究 報 告 中 不 進 行 每 位 個 案 教 師 的 交 叉 比 較 分 析 (Yin, 2003)。 同 時 在 分 析 過 程中 , 研 究 者 重 視 個 案 研 究 資 料 間 的 複 現 邏 輯 或 現 象 , 意 即 兩 位 教 師 必 須 出 現 相 同 的 感 受 、 意 見 、 或行 動 時 , 才 將 這 些 現 象 歸 納 為 研 究 結 果 的 主 題 , 並 藉 以 作 為 歸 納 研 究 結 果 的 根 據 。 亦 即 , 研 究 者 將針 對 個 案 教 師 們 所 呈 現 出 前 述 複 現 邏 輯 的 範 圍 , 並 盡 可 能 說 明 — 如 : 為 什 麼 這 些 個 案 教 師 會 有 某 些特 定 ( 相 同 或 相 近 ) 的 結 果 ( 即 發 現 類 似 的 結 果 — 一 種 原 樣 複 現 ,literal replication), 或 哪 一 個 個 案 ( 如果 有 的 話 ) 則 預 測 ( 產 生 ) 了 相 反 的 結 果 ( 即 由 可 預 測 的 理 由 , 產 生 不 同 的 結 果 — 一 種 理 論 複 現 ,theoretical replication) 等 。 而 以 上 所 有 資 料 , 將 作 為 回 應 研 究 目 的 ( 問 題 ) 之 證 據 基 礎 , 以 檢 驗 MTLO之 運 作 模 式 與 策 略 的 有 效 性 , 同 時 「 描 述 」 與 「 解 釋 」 個 案 教 師 在 教 學 評 量 專 業 知 能 上 的 改 變 ( 成長 ) 情 形 。其 次 , 本 研 究 將 採 用 樣 本 式 與 編 輯 式 分 析 法 進 行 資 料 分 析 :Crabtree 與 Miller (1992) 提 出 一 套直 性 研 究 中 描 繪 分 析 策 略 類 型 的 連 續 向 度 模 式 , 本 研 究 中 使 用 的 資 料 分 析 模 式 則 傾 向 立 基 於 以 樣 本式 分 析 (template analysis) 為 初 始 之 主 軸 , 以 瞭 解 個 案 教 師 在 教 學 評 量 專 業 知 能 之 起 始 狀 態 , 分 析 之內 涵 將 以 文 獻 探 討 中 所 提 之 測 驗 編 製 與 多 元 評 量 相 關 理 論 為 主 要 依 據 。 而 隨 著 MTLO 之 運 作 , 研究 者 將 逐 漸 傾 向 編 輯 式 分 析 (editing analysis), 根 據 前 述 預 先 規 劃 之 分 析 內 涵 與 範 疇 ( 即 測 驗 理 論 ),針 對 個 案 教 師 之 專 業 發 展 情 形 與 歷 程 , 進 行 資 料 之 編 輯 、 剪 裁 、 與 再 重 組 , 已 發 現 ( 可 能 ) 研 究 結 果的 各 類 別 間 的 關 聯 與 意 義 , 並 進 一 步 加 以 詮 釋 。 綜 合 上 述 兩 項 , 研 究 者 當 以 較 開 放 之 心 ,「 投 入 相關 文 本 資 料 之 分 析 中 , 不 帶 任 何 寄 存 的 概 念 模 本 」(Crabtree & Miller, 1992, p. 20), 努 力 搜 尋 其 中 可分 析 之 片 段 , 從 而 建 立 各 項 意 義 範 疇 , 並 加 以 舉 例 說 明 與 闡 述 。最 後 , 以 上 所 有 質 化 資 料 將 採 用 下 列 步 驟 進 行 整 理 :1. 研 究 者 將 不 同 方 式 所 蒐 集 得 到 的 資 料先 轉 譯 成 文 本 資 料 ( 如 訪 談 資 料 轉 譯 為 逐 字 稿 );2. 將 上 述 文 本 資 料 進 行 編 碼 ;3. 進 行 前 述 資 料 之 譯碼 工 作 , 以 進 ㄧ 步 解 析 所 得 資 訊 ;4. 研 究 者 運 用 備 忘 錄 進 行 已 譯 碼 資 料 之 分 析 與 整 合 , 以 發 展 主題 與 次 主 題 , 並 透 過 搜 尋 反 向 對 照 或 矛 盾 證 據 以 評 估 所 得 結 果 之 正 確 性 ;5. 透 過 厚 實 描 述 與 交 叉詮 釋 過 程 , 以 連 結 前 述 主 題 並 尋 求 關 聯 性 ;6. 進 行 質 化 資 料 所 得 結 果 之 敘 述 性 討 論 。 最 後 , 將 所獲 致 之 所 有 質 化 資 料 進 行 深 入 之 分 析 比 對 , 以 統 整 性 之 解 析 模 式 來 分 析 所 得 之 資 料 , 以 求 研 究 結 果之 完 整 性 與 正 確 性 。( 二 ) 量 化 - 評 量 工 具 — 學 生 月 考 成 績 分 析在 評 量 工 具 部 分 , 第 一 及 第 二 年 中 之 各 次 段 考 成 績 , 除 工 具 之 信 、 效 度 分 析 外 , 研 究 者 亦 將 進行 初 階 之 統 計 分 析 , 以 作 為 瞭 解 學 生 學 習 成 效 的 佐 證 資 料 , 其 中 包 含 學 生 的 答 題 情 形 ( 如 : 答 對 率 )、及 可 能 之 學 習 困 難 或 迷 思 概 念 ( 如 : 錯 誤 類 別 ) 等 。參 、 研 究 結 果本 研 究 旨 在 籌 組 數 學 教 師 學 習 型 組 織 , 以 協 助 參 與 之 國 小 教 師 在 數 學 教 學 評 量 ( 以 段 考 試 題 為主 軸 ) 上 之 專 業 成 長 , 同 時 瞭 解 其 改 變 情 形 。 參 與 之 國 小 教 師 們 在 研 究 者 所 提 供 之 專 業 成 長 的 協 助下 , 設 計 具 有 信 、 效 度 之 數 學 段 考 試 題 , 並 執 行 及 完 成 資 料 分 析 工 作 。 據 此 , 研 究 者 根 據 所 蒐 集 之研 究 資 料 進 行 分 析 , 整 理 出 下 列 兩 大 部 分 之 研 究 結 果 , 並 分 別 說 明 之 。295
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究一 、 個 案 教 師 在 設 計 數 學 段 考 試 題 之 知 能 上 有 明 顯 之 轉 變( 一 ) 由 個 案 教 師 之 起 始 狀 態 可 知 其 數 學 段 考 試 題 設 計 知 能 有 相 當 大 的 改 善 空 間1. 由 單 一 教 師 負 責 出 題 之 方 式 易 有 主 觀 意 識 及 難 易 度 掌 握 不 易 等 缺 點個 案 學 校 為 一 學 期 有 兩 次 段 考 的 定 期 評 量 安 排 , 同 年 級 之 每 位 任 課 教 師 都 有 機 會 擔 任 出 題教 師 , 而 其 主 要 模 式 為 該 位 教 師 出 題 後 , 再 將 考 題 於 段 考 前 交 由 其 他 教 師 審 閱 , 其 他 教 師 可 依據 考 題 內 容 給 予 意 見 , 然 此 時 的 討 論 多 針 對 「 題 目 有 沒 有 哪 裡 出 的 不 太 好 、 不 太 恰 當 ? 還 有 配分 …」(0907 訪 談 B) 等 面 向 為 討 論 的 重 點 。 且 基 於 尊 重 該 教 師 為 出 題 者 的 普 遍 立 場 , 大 幅 修 改或 調 整 原 出 題 教 師 的 可 能 性 相 對 甚 低 。E 師 就 說 到 :「 基 本 上 我 們 在 審 題 的 時 候 因 為 會 有 一 個主 要 負 責 老 師 , 那 我 們 會 比 較 尊 重 他 的 意 見 , 如 果 他 堅 持 不 改 的 話 , 也 是 不 能 強 迫 他 說 要 改 」(0907 訪 談 E); 也 正 因 如 此 , 因 「 整 份 考 卷 已 經 出 好 了 」(0914 訪 談 C) 的 理 由 , 再 加 上 考 前 其他 的 相 關 壓 力 , 因 此 教 師 們 較 無 法 對 段 考 考 題 進 行 實 質 的 檢 視 和 調 整 。對 於 出 題 的 歷 程 , 有 教 師 表 示 易 有 個 人 主 觀 偏 好 , 可 能 出 題 數 為 某 單 元 或 概 念 居 多 ( 配 分多 )、 可 能 偏 簡 單 或 是 偏 難 、 可 能 僅 能 考 慮 到 出 題 教 師 之 班 級 學 習 狀 況 而 呈 現 考 題 的 樣 態 、 可能 參 考 依 據 不 足 ( 課 本 、 習 作 或 評 量 卷 等 都 是 出 題 根 源 )、 可 能 較 為 鬆 散 、 或 可 能 出 題 類 型 不 夠符 合 學 生 的 思 考 模 式 等 , 亦 或 是 可 由 一 份 考 卷 的 風 格 看 出 是 哪 位 教 師 的 傑 作 , 前 述 等 等 都 是 單一 教 師 出 題 的 缺 失 ; 以 下 訪 談 即 為 例 證 :「 有 時 候 自 己 出 題 , 就 可 能 會 沒 有 去 做 那 個 細 目 分 析 或 什 麼 的 …。 可 能 比 重 上 , 有 些 單元 就 會 偏 重 或 偏 少 , 也 是 有 可 能 的 。」(0907 訪 談 B)「 通 常 我 出 出 來 的 題 目 人 家 就 會 覺 得 比 較 難 , 可 是 我 覺 得 如 果 我 再 放 鬆 一 點 又 會 變 得 太容 易 , 所 以 我 會 覺 得 我 自 己 在 出 題 上 好 像 會 很 難 達 到 一 個 剛 剛 好 , 就 是 那 個 難 易 度 的 衡量 很 難 達 到 。」(0907 訪 談 C)「 如 果 自 己 出 的 話 你 會 發 現 可 能 你 會 偏 向 某 一 類 型 的 題 目 , 因 為 你 可 能 在 教 學 的 過 程 中覺 得 學 生 可 能 學 得 比 較 不 好 或 是 有 哪 些 問 題 , 所 以 你 會 很 想 把 那 個 東 西 呈 現 在 考 卷 裡面 , 那 會 造 成 那 個 考 卷 的 內 容 比 較 偏 頗 一 點 。」(0907 訪 談 E)然 而 , 上 述 情 形 也 是 教 師 們 普 遍 認 為 於 現 今 的 教 育 現 場 較 可 行 的 模 式 , 主 要 原 因 或 許 是 較 具 有彈 性 、 較 少 限 制 ; 但 卻 也 凸 顯 了 教 師 們 在 編 製 段 考 試 題 的 可 能 潛 在 問 題 , 同 時 可 能 也 將 因 此 而無 法 真 正 達 到 評 量 的 目 的 , 且 教 師 們 也 將 難 以 透 過 試 題 編 製 和 調 整 修 改 的 過 程 , 針 對 自 身 的 數學 教 學 進 行 全 面 性 的 省 思 和 調 整 。2. 對 於 學 生 答 錯 題 目 缺 乏 分 析 個 別 迷 思 概 念 的 差 異 知 能教 師 們 表 示 , 過 去 教 授 數 學 時 , 礙 於 教 學 與 課 程 的 進 度 壓 力 , 在 批 改 學 生 作 業 與 考 卷 時 ,常 以 快 速 為 原 則 , 因 此 倘 若 學 生 答 案 寫 錯 則 全 錯 , 教 師 較 無 時 間 思 索 解 答 過 程 的 可 能 迷 思 , 也難 以 分 析 同 一 題 型 之 錯 誤 可 能 有 不 同 的 角 度 或 歷 程 。D 師 就 提 及 :「 錯 了 就 是 錯 了 , 基 本 上 答案 錯 我 都 會 直 接 打 叉 , 再 一 起 講 解 或 是 換 個 方 式 再 教 一 次 」(0907 訪 談 D), 且 多 將 重 點 著 眼 於錯 誤 後 的 再 教 學 部 分 , 而 非 針 對 學 生 的 錯 誤 類 型 給 予 不 同 程 度 的 指 導 。 面 對 學 生 間 對 於 理 解 數學 題 目 的 個 別 差 異 , 教 師 亦 指 出 現 實 上 的 時 間 考 量 :「 說 真 的 沒 有 那 麼 多 的 時 間 去 做 這 麼 多 的事 情 」(0928 訪 談 D); 但 這 樣 的 時 間 考 量 同 樣 也 凸 顯 了 教 師 們 可 能 對 於 學 生 不 同 解 題 之 理 解 程度 有 差 異 而 造 成 的 錯 誤 , 缺 少 深 入 評 估 與 補 救 的 可 能 性 。3. 課 堂 上 雖 具 多 元 評 量 的 運 用 知 能 , 然 對 於 測 驗 評 量 的 使 用 仍 多 依 賴 坊 間 考 卷根 據 研 究 資 料 可 知 , 教 師 們 其 實 會 在 課 堂 中 運 用 較 多 樣 化 的 評 量 策 略 , 來 評 估 學 生 的 學 習狀 況 。 例 如 :D 師 常 用 口 頭 抽 問 的 方 式 , 讓 學 生 表 達 初 期 心 中 的 想 法 或 答 案 ,「 抽 的 很 大 量 然後 就 回 答 、 回 答 、 回 答 , 抽 到 就 回 答 抽 到 就 站 起 來 回 答 」(0907 訪 談 D)。E 師 則 常 用 課 堂 的 詢296
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究室 , 來 瞭 解 學 生 的 學 習 狀 況 ( 如 : 解 題 過 程 )(0314 觀 察 D), 這 也 符 合 他 自 己 的 說 法 :「 有 時 候你 請 他 們 做 一 個 題 目 , 旁 邊 看 一 下 他 們 作 的 狀 況 , 然 後 可 以 給 他 們 提 示 一 下 , 因 為 有 些 做 得 比較 快 , 就 看 一 下 他 們 是 不 是 答 對 , 也 可 以 提 示 一 下 你 答 錯 了 再 想 想 看 這 樣 , 或 是 看 他 們 解 題 的方 式 有 沒 有 甚 麼 問 題 」(0914 訪 談 E)。B 師 則 表 示 , 某 些 數 學 概 念 的 學 習 實 作 評 量 , 真 的 需 要給 他 們 ( 學 生 ) 實 際 的 物 品 來 操 作 , 以 加 深 學 習 的 印 象 、 及 幫 助 學 生 理 解 概 念 的 真 正 意 涵 (1215日 誌 R)。 例 如 : 在 體 積 單 元 ,B 師 就 給 學 生 實 際 操 作 的 機 會 「… 請 量 出 石 頭 的 體 積 , 你 們 可以 用 一 些 工 具 ,… 像 是 量 杯 …, 大 家 實 際 做 看 看 」(0307 觀 察 B)。不 過 , 雖 然 教 師 們 會 使 用 教 多 元 的 評 量 工 具 , 但 仍 然 擺 脫 不 了 傳 統 紙 筆 測 驗 所 帶 來 的 便 利性 和 習 慣 性 , 如 B 師 所 言 :「 它 是 一 個 最 快 速 , 然 後 也 最 不 花 時 間 的 一 個 方 法 」(0914 訪 談 B)。其 實 , 除 段 考 外 , 教 師 另 有 其 於 課 堂 上 或 早 自 習 等 時 間 進 行 測 驗 的 練 習 , 故 多 有 自 行 出 題 的 經驗 , 只 是 多 屬 題 數 少 的 練 習 方 式 。 亦 或 是 修 改 考 卷 或 習 作 上 的 數 字 , 作 為 自 行 出 題 的 依 據 , 如 :「 從 考 卷 上 挑 題 目 , 但 是 是 自 己 修 改 過 的 」(0907 訪 談 C)。 無 論 是 大 考 還 是 小 考 , 教 師 們 出 題還 是 多 採 用 坊 間 的 考 卷 作 為 主 要 題 目 來 源 , 原 因 或 許 是 班 務 忙 碌 所 致 :「 因 為 也 比 較 忙 啦 , 所以 我 就 是 直 接 用 坊 間 的 考 卷 」(1005 訪 談 C); 但 這 當 然 也 使 得 教 師 難 以 有 心 力 於 忙 碌 教 學 任 務外 , 另 行 設 計 符 合 班 級 學 生 學 習 狀 況 的 評 量 試 卷 。4. 教 師 認 為 結 合 不 同 評 量 策 略 來 確 認 學 生 的 學 習 執 行 不 易教 師 們 表 示 , 於 課 堂 中 仍 然 會 依 單 元 難 度 的 不 同 、 概 念 包 含 多 寡 等 , 調 配 評 量 的 份 量 與 方式 , 但 其 考 量 原 因 卻 有 些 許 不 同 。 有 的 教 師 認 為 概 念 較 多 , 相 對 評 量 次 數 也 應 增 多 , 如 E 師所 言 :「 有 的 單 元 它 的 概 念 包 含 比 較 多 , 或 是 會 讓 學 生 學 習 比 較 困 難 , 所 以 會 讓 他 們 練 習 的 次數 要 比 較 多 一 點 」(0907 訪 談 E)。 但 有 教 師 認 為 基 本 觀 念 部 分 才 需 要 更 多 的 評 量 ,「 基 本 觀 念題 會 花 比 較 多 時 間 」(0907 訪 談 D)。 更 有 教 師 著 重 於 複 合 式 概 念 的 題 型 的 反 覆 練 習 ,「 當 所 有概 念 都 綜 合 在 一 起 的 時 候 , 他 就 會 頭 腦 打 結 , 也 是 要 透 過 精 熟 練 習 」(0907 訪 談 B)。 然 而 無 論前 述 何 者 之 觀 點 , 均 呈 現 教 師 們 的 確 能 依 據 教 學 內 容 的 不 同 變 化 , 使 用 不 同 的 評 量 方 式 、 或 自行 搭 配 評 量 次 數 以 作 為 評 估 之 用 ; 但 是 , 教 師 們 使 用 評 量 方 式 有 所 偏 好 , 卻 是 不 爭 的 事 實 。對 於 同 時 如 何 在 不 同 時 機 、 結 合 不 同 評 量 方 式 來 確 認 學 生 的 學 習 狀 況 , 似 乎 就 是 還 需 要 再強 化 的 部 分 了 。 例 如 : 運 用 口 頭 評 量 時 , 可 搭 配 運 用 實 作 評 量 或 其 他 方 式 , 來 確 認 學 生 的 理 解是 正 確 無 誤 且 能 變 通 的 情 況 , 同 時 也 能 給 予 學 生 以 不 同 表 徵 方 式 呈 現 其 思 考 模 式 的 機 會 ; 但 這也 是 教 師 們 較 未 能 顧 及 的 層 面 (1223 日 誌 R)。 對 此 , 教 師 們 表 示 僅 能 多 以 平 日 的 課 堂 巡 視 、 學生 作 業 的 練 習 狀 況 ,「 看 他 們 寫 作 業 就 知 道 了 」(1123 訪 談 D); 抑 或 是 僅 根 據 個 人 經 驗 而 自 行判 斷 ,「 有 累 積 了 一 些 經 驗 , 就 是 學 生 在 這 個 問 題 上 會 比 較 困 難 」(1130 訪 談 E)。 實 際 上 , 教師 們 坦 承 :「 我 們 沒 有 辦 法 知 道 他 答 對 就 是 真 的 會 」(1221 訪 談 E); 同 時 也 認 為 課 堂 上 的 時 間有 限 , 倘 若 需 不 斷 地 確 認 , 將 難 以 掌 握 教 學 的 節 奏 ,B 師 的 看 法 即 為 例 證 :「 其 實 到 高 年 級 差 異 很 大 。 不 可 能 為 了 一 兩 位 同 學 , 而 去 拖 滿 整 班 的 進 度 , 當 然 就 是 補教 教 學 再 說 了 」(1130 訪 談 B)。因 此 , 這 部 分 或 許 是 未 來 教 師 們 需 要 再 進 行 專 業 成 長 的 層 面 , 也 是 研 究 者 未 來 將 持 續 努 力 的 方向 之 一( 二 ) 個 案 教 師 在 接 受 專 業 成 長 和 實 際 設 計 段 考 考 題 後 逐 漸 能 體 會 此 出 題 模 式 的 優 勢1. 團 體 出 題 之 合 作 方 式 所 編 製 出 的 段 考 題 較 以 往 完 整 且 適 宜打 破 以 往 段 考 考 卷 由 一 位 教 師 負 責 出 題 的 方 式 , 讓 教 師 們 為 一 個 團 隊 , 經 專 業 成 長 課 程後 , 以 討 論 、 學 習 、 意 見 交 換 、 專 業 對 話 的 方 式 來 進 行 出 題 的 工 作 (1223 日 誌 R), 亦 即 ,「 如果 是 五 個 單 元 的 話 , 那 就 是 剛 好 一 個 老 師 主 要 負 責 出 一 個 單 元 , 再 由 一 個 老 師 統 整 起 來 」(0523297
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究訪 談 B), 讓 合 作 的 方 式 成 為 段 考 的 出 題 模 式 。 於 此 方 式 進 行 之 下 , 教 師 們 雖 有 不 同 的 知 覺 與想 法 , 但 相 同 處 是 教 師 們 均 感 覺 到 試 題 本 身 較 周 延 且 配 分 平 均 , 同 時 難 易 度 較 符 合 學 生 的 程 度(0524 日 誌 R); 再 者 , 教 師 們 除 於 專 業 成 長 課 程 中 吸 收 新 知 外 , 討 論 的 過 程 也 是 另 一 種 成 長 。以 下 簡 要 說 明 教 師 們 自 身 所 感 受 到 的 改 變 和 體 會 到 的 優 勢 :(1) 試 題 之 配 分 平 均 且 客 觀以 往 獨 自 一 名 教 師 出 題 的 方 式 , 容 易 因 其 班 上 學 生 的 狀 況 而 有 所 偏 頗 ,「 以 前 自 己 出 就是 每 單 元 挑 題 目 出 , 難 免 會 不 小 心 挑 哪 一 個 單 元 的 題 目 多 一 點 , 出 題 的 依 據 就 是 自 己 班 上的 學 生 」(0523 訪 談 D)。 然 透 過 每 一 次 的 會 議 討 論 與 構 思 後 , 教 師 們 對 於 試 題 的 單 元 比 重較 能 平 均 分 配 ,B 師 就 提 到 :「 其 實 透 過 這 樣 子 的 一 個 分 配 方 式 , 每 個 單 元 的 命 題 真 的 很 平均 的 」(0523 訪 談 B)。 同 時 , 也 較 不 易 出 現 「 強 烈 的 個 人 的 風 格 」(0523 訪 談 E), 讓 每 一個 概 念 在 試 卷 中 都 可 以 看 到 平 均 的 質 量 。 此 外 , 當 各 單 元 間 比 重 相 近 或 比 例 適 切 時 , 試 題的 客 觀 性 也 跟 著 提 高 , 因 教 師 主 觀 意 識 而 受 到 影 響 的 情 形 變 大 為 減 少 。 再 者 , 各 單 元 的 子概 念 也 能 平 均 出 現 於 試 題 中 , 這 也 正 是 A 師 對 此 作 法 的 省 思 ,「 每 個 子 概 念 , 盡 量 都 要 顧慮 到 」(0509 省 思 A)。 而 正 因 一 份 試 題 集 結 了 所 有 教 師 們 的 想 法 , 試 題 也 較 活 , 較 能 突 破以 往 單 打 獨 鬥 之 限 制 , 如 B 師 所 言 :「 小 組 一 起 出 題 的 話 就 會 透 過 一 些 討 論 激 盪 出 不 同 的想 法 」(0523 訪 談 B)。(2) 試 題 之 編 製 過 程 較 嚴 謹過 去 的 試 題 因 主 要 多 為 某 位 老 師 的 觀 點 , 加 上 試 題 的 審 閱 常 因 尊 重 該 位 教 師 而 僅 流 於討 論 是 否 會 答 題 過 久 或 是 太 難 之 類 的 (0509 省 思 D), 對 於 試 題 也 並 非 逐 題 討 論 , 因 此 「 審題 不 見 得 每 題 都 會 審 的 那 麼 仔 細 」(0314 訪 談 C); 甚 至 也 較 不 易 出 現 內 容 的 錯 誤 , 如 以 往能 「 考 試 當 天 還 會 在 發 現 一 些 錯 誤 」(0313 訪 談 B), 畢 竟 幾 乎 都 是 「 出 完 考 卷 就 考 了 」(0907訪 談 B), 因 此 難 有 針 對 整 體 試 題 的 架 構 再 全 盤 修 改 的 機 會 。 然 而 , 新 的 合 作 模 式 因 需 全 學年 的 教 師 從 討 論 開 始 , 一 起 達 成 共 識 後 才 進 行 單 元 的 分 配 與 出 題 , 也 因 已 獲 得 所 有 教 師 的意 見 與 想 法 , 所 以 「 你 可 以 比 較 仔 細 的 去 思 考 題 目 的 那 個 結 構 」(0530 訪 談 E)。 加 上 試 卷出 題 的 過 程 拉 長 ,「 前 面 要 花 很 多 時 間 在 討 論 。 那 這 份 考 卷 當 然 就 比 較 嚴 謹 啦 ! 任 何 一 個 概念 , 真 的 就 一 條 一 條 列 出 來 , 所 以 就 不 會 漏 掉 任 何 一 個 …」(0627 訪 談 B), 所 以 教 師 們 認為 試 題 的 編 製 真 的 較 以 往 嚴 謹 許 多 。(3) 試 題 之 難 易 度 適 中過 去 的 試 題 可 能 具 個 人 風 格 與 喜 好 而 定 , 而 每 位 教 師 對 於 難 易 度 的 喜 好 不 同 , 有 時 題目 偏 難 ,「 通 常 我 出 出 來 的 題 目 人 家 就 會 覺 得 比 較 難 」(0907 訪 談 C), 如 此 便 較 難 真 正 了 解學 生 的 學 習 成 果 。E 師 就 說 到 :「 如 果 偏 難 的 話 ,( 分 數 ) 可 能 會 偏 低 , 他 到 底 是 因 為 粗 心 或是 不 會 又 還 只 是 算 錯 , 這 些 就 分 不 出 來 」(0907 訪 談 E), 而 且 因 為 偏 難 可 能 家 長 會 有 所 反應 。 而 諸 如 此 類 因 為 試 題 難 易 度 的 問 題 所 造 成 的 困 擾 , 在 教 師 們 經 歷 過 擁 有 較 標 準 化 歷 程的 合 作 出 題 模 式 後 , 也 有 了 實 質 上 的 變 化 。 透 過 此 模 式 , 教 師 認 為 不 只 是 試 題 較 符 合 學 生的 學 習 狀 態 , 同 時 也 較 能 測 出 學 生 的 真 實 程 度 , 當 然 相 較 於 以 前 也 較 不 會 感 受 到 家 長 給 予的 壓 力 , 可 謂 三 贏 狀 態 。 三 位 教 師 都 提 及 類 似 的 看 法 :「 比 較 容 易 測 出 學 生 真 實 的 程 度 」(0627 訪 談 E)「 團 體 出 來 的 考 卷 我 覺 得 不 會 很 簡 單 阿 , 我 就 覺 得 是 難 易 適 中 , 基 本 上 不 會 太 難 。」(0530 訪 談 C)「… 老 師 開 心 、 學 生 開 心 、 家 長 更 開 心 …」(0627 訪 談 A)同 時 , 也 因 難 易 度 適 中 , 過 去 試 題 可 能 因 較 難 、 或 題 目 過 多 等 因 素 , 導 致 「 在 考 試 的 時 候298
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究往 往 數 學 都 必 須 要 延 長 個 10 分 鐘 」(0530 訪 談 E)。 然 而 , 教 師 表 示 透 過 共 同 出 題 的 方 式 這樣 的 困 擾 能 立 即 獲 得 改 善 ,「 這 樣 子 處 理 之 後 就 沒 有 延 過 了 , 我 也 覺 得 這 樣 是 比 較 正 常 的 方法 , 不 要 讓 他 在 時 間 內 寫 不 完 」(0521 省 思 E)。(4) 分 段 給 分 模 式 的 優 勢過 去 試 題 的 批 改 , 教 師 們 多 大 致 上 有 所 共 識 即 可 , 且 多 以 答 案 對 與 錯 作 為 給 分 的 要 件「 算 式 全 對 , 但 最 後 錯 , 我 就 全 部 算 錯 」(0907 訪 談 D), 那 是 教 師 認 為 學 生 未 來 面 對 的 考試 , 答 案 才 是 最 重 要 的 , 其 演 算 過 程 是 看 不 見 的 , 就 如 同 D 師 所 言 :「 聯 考 都 是 計 算 題 阿 ,錯 了 就 是 錯 嘛 」(0907 訪 談 D)。 又 或 僅 依 據 個 人 標 準 予 以 給 分 ,「 每 個 人 有 每 個 人 的 標 準 ,我 覺 得 他 應 該 要 算 對 他 沒 算 對 就 會 不 給 他 分 數 之 類 的 , 有 的 時 候 會 這 樣 子 , 這 樣 子 對 他 ( 學生 ) 比 較 不 利 」(0914 訪 談 E), 以 致 教 師 扣 分 標 準 偏 高 且 不 一 。 然 而 透 過 合 作 模 式 的 學 習 型組 織 引 導 , 教 師 們 逐 漸 能 了 解 與 分 析 學 生 的 思 考 模 式 以 及 不 同 的 迷 思 概 念 所 在 , 如 此 有 助於 教 學 能 力 的 提 升 , 故 批 改 時 以 分 段 給 分 的 方 式 來 進 行 。 意 即 , 教 師 們 會 依 據 前 測 的 結 果討 論 ,「 比 如 說 列 式 正 確 或 是 算 到 那 個 部 分 可 以 得 幾 分 , 會 事 先 先 討 論 說 扣 的 標 準 」(0523訪 談 E)。 對 此 , 教 師 們 皆 認 為 有 正 向 的 激 勵 作 用 , 讓 學 生 不 至 於 放 棄 作 答 ,「 他 至 少 想 矇 ,不 會 交 白 卷 」(0530 訪 談 A), 嘗 試 作 答 的 意 願 提 升 亦 獲 提 升 。E 師 也 提 到 :「 一 般 學 生 在 考 試 的 時 候 應 該 謹 慎 程 度 都 會 比 一 般 高 很 多 , 那 他 也 會 希 望 盡 量 可 以得 到 分 數 , 所 以 給 他 一 些 提 示 給 他 一 些 鼓 勵 他 應 該 會 比 較 認 真 , 比 較 專 注 願 意 去 做答 。」(0627 訪 談 E)且 因 為 分 數 也 不 會 太 低 , 因 此 「 對 小 朋 友 來 講 他 們 在 寫 考 卷 的 時 候 也 比 較 容 易 得 分 」(0627訪 談 E); 再 加 上 在 題 型 與 單 元 分 配 平 均 的 前 提 下 , 學 生 不 會 因 為 單 一 概 念 的 不 熟 捻 而 使成 績 不 理 想 ,「 因 為 題 目 不 會 太 偏 頗 , 萬 一 他 這 個 單 元 學 的 不 好 的 話 , 其 他 的 答 題 也 都 還蠻 ok」(0627 訪 談 E), 這 似 乎 也 是 此 運 作 模 式 所 帶 來 的 好 處 。2. 段 考 試 卷 經 預 試 後 所 帶 來 之 優 勢 明 顯 易 見教 師 們 經 合 作 方 式 完 成 一 份 試 題 編 制 後 , 由 大 學 端 協 助 尋 找 他 校 學 生 進 行 預 試 , 以 了 解 此份 試 題 的 相 關 資 訊 , 包 涵 難 易 度 、 鑑 別 度 、 敘 述 的 完 整 性 以 及 學 生 易 出 現 的 迷 思 概 念 等 。 這 樣的 方 式 也 讓 教 師 們 提 到 了 下 列 的 正 向 感 受 和 意 見 :(1) 修 改 試 題 的 描 述 使 之 趨 於 完 善教 師 們 多 認 為 試 題 先 讓 他 校 學 生 答 題 後 , 可 以 了 解 到 試 題 的 描 述 方 式 , 以 及 描 述 的 完整 性 , 試 題 之 可 獲 得 較 立 即 的 回 饋 和 改 善 ,「 預 試 完 回 來 之 後 , 通 常 一 些 小 錯 誤 就 會 立 刻 跑出 來 」(0530 訪 談 A)。 教 師 亦 表 示 評 量 的 目 的 本 非 刻 意 考 驗 學 生 的 出 錯 程 度 , 倘 若 題 目 中有 類 似 敘 述 應 予 以 改 進 ,B 師 就 說 到 :「 其 實 像 有 時 候 試 題 出 的 不 是 那 麼 … 像 那 個 回 來 之 後不 是 可 以 發 現 有 一 些 問 題 , 命 題 出 的 不 是 那 麼 的 完 整 …… 畢 竟 不 是 要 他 們 就 是 雞 蛋 裡 挑 骨頭 , 讓 他 們 寫 錯 這 樣 子 。 不 是 故 意 設 陷 阱 的 。」(0627 訪 談 B)。 可 見 , 預 試 結 果 可 做 為 教師 們 修 改 試 題 敘 述 的 依 據 , 讓 教 師 們 知 曉 出 題 易 忽 略 的 地 方 , 以 及 易 讓 學 生 誤 解 之 處 , 讓試 題 更 完 整 ,「 等 於 是 說 把 那 個 整 個 命 題 變 得 更 好 啦 」(0627 訪 談 D), 且 更 能 趨 向 於 真 實 檢視 出 學 生 的 實 際 學 習 狀 況 。(2) 知 曉 學 生 錯 誤 類 型 與 思 考 模 式預 試 的 結 果 可 以 看 見 學 生 答 題 時 錯 誤 情 形 的 分 布 , 再 藉 由 難 易 度 與 鑑 別 度 的 分 析 , 教師 紛 紛 表 示 :「 學 生 比 較 容 易 出 現 的 錯 誤 類 型 是 什 麼 」(0530 訪 談 C)「 去 知 道 說 學 生 可 能 思 考 的 盲 點 是 什 麼 」(0627 訪 談 B)299
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究「 可 以 看 到 他 們 有 些 癥 結 點 到 底 在 哪 裡 , 可 能 會 錯 到 哪 一 種 流 程 , 或 者 是 卡 在 哪 一邊 」(0627 訪 談 D)不 只 是 知 道 學 生 容 易 出 錯 的 地 方 , 由 答 題 的 演 算 過 程 , 也 可 以 發 現 學 生 的 思 考 方 式 為 何 ,這 樣 可 以 「 幫 助 老 師 的 部 分 是 更 了 解 學 生 的 思 考 方 式 」(0521 省 思 E); 同 時 , 在 知 道 學 生的 思 考 方 式 之 後 , 教 師 們 認 為 這 亦 可 作 為 考 前 提 醒 與 複 習 的 依 據 。(3) 預 試 考 前 提 醒 的 參 考 指 標 但 非 唯 一 之 功 效依 據 前 述 教 師 們 經 預 試 後 對 於 學 生 錯 誤 類 型 與 迷 思 概 念 的 掌 握 , 教 師 認 為 可 以 幫 助 學生 「 去 加 強 某 一 個 關 鍵 點 」(0627 訪 談 D), 也 能 先 提 醒 學 生 以 避 免 不 必 要 的 錯 誤 ,「… 我 們在 考 試 之 前 , 多 提 醒 孩 子 可 能 什 麼 事 情 要 注 意 這 樣 」(0530 訪 談 C), 尤 其 是 針 對 概 念 釐 清的 部 分 ,「 概 念 上 的 錯 誤 類 型 的 話 , 我 就 會 覺 得 會 再 幫 他 們 釐 清 」(0528 省 思 B), 或 是 提 醒教 師 發 現 於 教 學 時 未 注 意 到 的 ,「 有 時 候 我 自 己 也 沒 看 到 迷 思 概 念 , 那 我 就 會 幫 他 們 再 次 澄清 」(0627 訪 談 E); 甚 至 是 進 一 步 確 認 自 己 班 上 學 生 的 學 習 狀 況 ,「 再 去 確 認 自 己 的 班 級 學生 會 不 會 犯 同 樣 的 錯 」(0627 訪 談 D)。 但 是 , 若 僅 將 預 試 易 錯 誤 的 題 目 , 作 為 讓 學 生 特 別練 習 的 部 分 , 教 師 們 一 致 認 為 此 非 預 試 的 本 意 :「 譬 如 說 這 一 題 錯 誤 率 很 高 , 那 我 就 按 照 這 個 , 幾 乎 類 似 的 題 型 在 給 他 們 做 練 習 ,我 覺 得 這 應 該 不 是 老 師 的 問 題 吧 !」(0530 訪 談 B)「 我 覺 得 蠻 兩 難 的 。 因 為 我 覺 得 如 果 預 試 回 來 , 那 譬 如 說 某 一 題 錯 誤 率 很 高 , 那 我刻 意 去 針 對 於 這 樣 子 的 一 個 題 目 來 做 複 習 , 那 想 必 他 們 考 試 的 時 候 一 定 會 比 較 是 少錯 。 但 是 , 如 果 是 這 樣 子 的 話 , 我 會 覺 得 那 我 們 是 不 是 就 很 難 去 測 出 他 們 的 真 正 的程 度 。」(0627 訪 談 A)相 反 地 , 他 們 也 能 理 解 , 預 試 的 目 的 其 實 在 檢 驗 試 題 的 有 效 性 和 可 靠 性 , 同 時 能 夠 體 會 透過 此 預 試 的 過 程 , 將 可 以 讓 他 們 在 正 式 施 測 時 , 真 正 地 獲 知 學 生 的 真 實 程 度 , 這 樣 的 正 面效 益 才 是 主 要 的 目 的 。(4) 增 進 教 學 策 略 的 活 用除 了 分 析 與 了 解 之 外 , 教 師 亦 知 覺 教 學 策 略 會 受 到 此 試 題 編 製 過 程 所 帶 來 的 正 面 影響 , 尤 其 是 對 於 學 生 思 考 的 方 式 的 理 解 , 讓 教 師 將 此 延 續 至 課 堂 上 , 讓 學 生 學 習 找 出 錯 誤而 達 更 進 階 的 思 考 方 式 。B 師 就 說 :「 我 以 前 不 太 會 做 的 就 是 把 他 們 的 算 法 來 跟 他 們 討 論 ,那 我 現 在 變 成 就 是 我 會 寫 一 個 錯 誤 的 算 法 來 反 問 他 們 是 哪 裡 算 錯 、 那 個 問 題 是 出 在 哪 裡 」(0530 訪 談 B)。 當 學 生 能 自 己 找 出 錯 誤 時 , 對 該 概 念 的 吸 收 更 甚 、 且 錯 誤 更 少 ; 又 或 是 因出 題 時 經 由 教 師 們 討 論 , 以 及 吸 收 大 學 端 所 給 予 的 新 知 與 建 議 , 讓 教 師 於 教 室 裡 自 行 出 題測 驗 ( 平 常 考 或 小 考 ) 時 , 會 去 留 意 與 生 活 經 驗 的 連 結 , 讓 試 題 更 接 近 學 生 的 生 活 , 這 些 都是 教 師 們 所 感 受 到 的 優 勢 (0628 日 誌 R)。 如 同 C 師 所 提 :「 我 應 該 有 比 較 會 去 注 意 一 些 … 他 們 用 的 到 的 東 西 , 就 是 說 他 可 以 結 合 到 生 活 上 面的 … 在 評 量 上 面 會 比 較 注 意 去 往 這 個 部 分 去 引 導 他 們 去 思 考 , 就 是 說 我 出 的 題 目 不要 太 … 大 概 就 是 比 較 趨 近 於 這 個 部 分 」(0627 訪 談 C)。這 應 該 就 是 教 師 們 共 同 體 驗 此 試 題 編 製 過 程 之 主 要 價 值 所 在 吧 !( 三 ) 個 案 教 師 雖 逐 漸 能 認 同 此 出 題 模 式 但 仍 保 有 部 分 不 同 之 看 法1. 對 於 出 題 歷 程 之 負 擔 , 個 案 教 師 們 有 不 同 之 意 見此 處 的 負 擔 分 為 兩 個 層 面 , 第 一 個 是 關 於 整 份 試 題 的 出 題 量 , 對 此 教 師 們 一 致 認 為 的 確 較以 往 輕 鬆 , 不 僅 不 須 於 考 前 有 時 間 壓 力 的 孤 軍 奮 鬥 ,「 以 前 我 們 出 題 可 能 考 前 的 一 兩 個 禮 拜 ,就 自 己 埋 頭 苦 幹 啊 ! 那 現 在 就 是 , 就 這 樣 一 步 一 步 的 … 所 以 你 就 會 在 這 樣 的 一 個 考 試 前 , 就 提300
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究早 把 這 些 事 情 做 好 啊 !」(0530 訪 談 B); 也 減 去 了 多 個 單 元 的 負 荷 量 ,「 我 們 要 出 的 單 元 就 變少 。 分 配 在 各 人 身 上 感 覺 比 較 輕 鬆 」(0514 省 思 A)。 相 對 地 , 因 為 有 了 較 標 準 化 的 程 序 , 所 以教 師 們 當 然 也 感 受 的 較 多 的 負 擔 , 其 中 一 項 就 是 列 出 雙 向 細 目 表 的 工 作 。 在 出 題 前 教 師 們 需 列出 雙 向 細 目 表 、 標 示 題 目 的 難 度 、 於 前 測 後 對 於 結 果 進 行 分 析 以 修 改 試 題 等 , 這 些 比 起 以 前 僅只 要 將 題 目 「 交 出 」 的 情 形 , 讓 教 師 們 有 了 額 外 的 負 擔 , 對 此 感 到 較 艱 難 。 兩 位 教 師 都 有 類 似的 看 法 :「 那 個 就 難 了 , 因 為 那 個 就 變 成 … 走 研 究 的 方 向 了 。」(0627 訪 談 C)「 比 較 煩 的 是 後 面 要 寫 那 個 題 目 的 等 級 、 幾 分 , 就 是 後 續 的 那 一 些 啦 」(0627 訪 談 D)。2. 分 段 給 分 模 式 的 限 制前 述 分 段 給 分 的 模 式 對 於 學 生 有 激 勵 以 及 提 升 成 就 感 等 的 正 面 效 果 , 然 對 此 部 分 教 師 仍 持保 留 態 度 。 有 教 師 認 為 分 段 給 分 的 方 式 , 反 倒 讓 學 生 的 答 題 時 專 注 力 下 降 ,D 師 就 說 到 :「 算式 寫 對 阿 , 可 是 答 案 錯 , 那 我 不 會 扣 到 全 部 , 所 以 就 不 會 那 麼 的 謹 慎 」(0627 訪 談 D); 又 或 讓學 生 較 平 常 考 試 對 於 出 錯 的 反 省 度 降 低 ,「 像 那 個 平 常 考 , 我 還 是 全 扣 , 然 後 他 們 拿 到 考 卷 就會 挨 挨 叫 , 然 後 很 懊 悔 自 己 計 算 錯 誤 , 可 是 假 如 是 酌 扣 的 話 , 他 們 的 懊 悔 程 度 就 不 會 這 麼 大 」(0627 訪 談 D)。 此 外 , 因 受 限 於 分 段 給 分 的 模 式 , 教 師 認 為 題 型 也 會 受 限 , 意 即 因 教 師 們 對 扣分 的 標 準 未 達 共 識 , 則 可 能 因 此 而 出 現 刪 減 題 目 的 情 形 ,C 師 就 說 到 :「 這 次 考 試 都 沒 有 作 圖 題 阿 , 這 就 是 這 次 我 們 在 審 題 的 時 候 , 作 圖 的 題 目 你 要 評 分 真 的 …這 到 底 要 扣 1 分 還 是 2 分 還 是 全 部 , 因 為 長 條 圖 照 道 理 講 他 是 一 個 圖 表 耶 , 那 你 到 底 … 要怎 麼 扣 , 所 以 像 這 種 會 有 點 爭 議 性 的 我 們 通 通 都 把 他 除 去 。」(0627 訪 談 C)再 者 , 此 模 式 在 於 促 使 教 師 能 更 了 解 學 生 的 思 考 模 式 , 找 出 其 個 別 的 迷 思 概 念 予 以 補 強 , 使 其後 之 教 學 效 能 更 提 升 。 但 教 師 坦 承 每 位 學 生 思 考 模 式 相 異 , 計 算 技 巧 也 不 同 , 難 以 統 一 每 位 學生 的 列 式 過 程 , 故 有 時 難 透 過 分 段 給 分 的 方 式 與 以 評 斷 , 那 麼 對 教 師 的 能 力 將 是 一 大 考 驗 ,E師 說 到 :「 如 果 他 沒 有 寫 得 很 清 楚 的 話 , 那 我 們 也 很 難 一 一 去 找 每 一 個 人 , 然 後 每 一 題 都 這 樣做 」(0521 省 思 E); 因 此 , 這 對 教 師 們 未 來 出 題 時 的 意 願 多 少 有 負 面 的 影 響 。3. 合 作 出 題 其 方 向 與 類 型 可 能 因 考 慮 多 而 受 限從 自 己 的 意 見 出 發 作 為 整 份 試 題 的 出 題 依 據 , 轉 而 到 每 一 題 都 需 經 過 五 位 教 師 的 討 論 , 加上 每 一 位 教 師 僅 負 責 某 些 概 念 的 出 題 , 再 交 由 一 位 教 師 彙 整 後 , 此 份 試 題 往 往 已 非 該 位 教 師 的本 意 。 對 此 有 教 師 表 示 , 比 起 以 往 彈 性 縮 小 、 限 制 增 多 :「 像 我 只 要 出 一 個 單 元 ,6 題 , 還 不是 每 一 題 都 會 錄 取 , 題 目 阿 , 沒 有 辦 法 想 出 什 麼 就 出 什 麼 。 第 一 個 就 單 元 限 制 , 第 二 個 就 難 度也 受 限 制 阿 。 當 然 題 型 也 會 」(0530 訪 談 A)。 對 於 程 度 較 高 的 孩 子 , 則 「 少 了 那 種 挑 戰 的 感 覺 ,沒 有 考 那 麼 難 了 」(0509 省 思 C)。 同 時 因 出 題 受 限 考 量 的 因 素 多 , 教 師 以 為 反 而 可 能 缺 乏 鑑 別度 ,「 其 實 每 次 出 題 都 是 中 等 偏 低 , 缺 點 就 是 很 沒 有 鑑 別 度 」(0530 訪 談 A), 又 或 是 多 為 「 其他 幾 乎 都 是 很 基 礎 、 很 基 礎 的 題 目 」(0627 訪 談 D)。 雖 然 覺 得 有 受 限 , 但 還 是 有 正 面 的 想 法 ,如 E 師 提 到 的 , 難 易 度 適 中 的 題 目 其 實 惠 使 學 生 也 較 有 成 就 感 , 同 時 分 數 不 至 於 太 低 , 他 說 :「 對 小 朋 友 來 講 他 們 在 寫 考 卷 的 時 候 也 比 較 容 易 得 分 。 因 為 題 目 不 會 太 偏 頗 , 萬 一 他 這 個 單 元學 的 不 好 的 話 , 其 他 的 答 題 也 都 還 蠻 ok」(0627 訪 談 E)。二 、 由 學 習 型 組 織 中 教 師 的 回 饋 來 看 此 專 業 成 長 的 實 施 成 效 ( 代 結 語 )( 一 ) 由 大 學 端 ( 師 培 者 ) 協 助 與 引 導 帶 給 教 師 們 的 助 益學 習 型 組 織 不 只 是 提 供 一 個 討 論 與 對 話 的 空 間 , 許 多 時 候 會 議 的 進 行 是 包 括 由 大 學 端 規 劃 之 專業 成 長 課 程 , 可 讓 教 師 們 獲 得 教 學 上 新 知 與 技 能 , 同 時 教 師 們 的 審 題 與 分 析 等 , 大 學 端 的 協 助 與 引301
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究導 也 是 組 織 裡 不 可 或 缺 的 部 分 。 在 歷 經 一 年 的 專 業 成 長 歷 程 後 , 除 前 述 關 於 試 題 設 計 與 執 行 之 專 業知 能 獲 得 提 升 外 , 教 師 們 也 有 其 他 的 收 穫 , 以 下 分 別 簡 要 說 明 之 。1. 解 答 數 學 教 學 疑 惑 和 獲 取 數 學 教 學 新 知這 是 一 個 由 數 學 教 育 和 課 程 與 教 學 專 長 的 師 培 者 們 所 帶 領 的 學 習 型 組 織 , 儘 管 目 的 在 於 提升 數 學 教 師 於 測 驗 評 量 上 的 專 業 知 能 , 然 針 對 過 程 中 的 討 論 , 教 師 表 示 : 其 實 不 只 侷 限 於 討 論測 量 或 評 量 的 部 分 , 對 於 教 學 上 的 瓶 頸 、 或 是 困 難 , 大 學 端 所 提 供 的 協 助 更 是 一 大 幫 助 (0606會 議 )。 正 如 B 師 所 言 :「 除 評 量 以 外 , 因 為 像 教 授 他 是 數 學 專 長 嘛 , 那 就 是 這 個 部 分 , 像 我 們在 教 學 上 遇 到 一 些 問 題 , 也 可 以 請 張 教 授 為 我 們 解 答 , 這 是 一 個 很 棒 的 地 方 」(0530 訪 談 B)。因 此 , 學 習 型 組 織 的 活 動 中 , 雖 然 大 多 有 特 訂 的 內 容 和 目 的 , 特 別 是 針 對 測 驗 的 理 論 、 試 題 設計 的 要 點 、 試 卷 分 析 的 能 力 等 部 分 ; 但 是 ,「… 除 討 論 試 題 之 外 , 教 授 也 會 跟 我 們 分 享 一 些 數學 教 學 上 可 以 用 到 的 軟 體 , 我 也 覺 得 還 滿 不 錯 , 因 為 以 前 不 會 所 以 不 會 這 樣 教 , 現 在 就 可 以 了 」(0627 訪 談 B)。 這 樣 的 回 饋 著 實 帶 給 研 究 者 不 少 的 鼓 舞 , 未 來 也 會 持 續 以 類 似 的 模 式 繼 續 協 助教 師 們 進 行 專 業 成 長 (0628 日 誌 R)。2. 釐 清 出 題 盲 點 和 重 新 思 考 如 何 妥 善 設 計 試 題一 份 試 題 往 往 包 含 選 擇 題 、 填 充 題 、 計 算 題 、 作 圖 題 以 及 應 用 題 等 多 樣 化 的 題 型 , 透 過 專業 成 長 的 歷 程 , 個 案 教 師 們 才 赫 然 發 現 , 整 份 試 卷 其 實 僅 有 一 種 「 計 算 」 的 題 型 , 看 似 選 擇 題也 只 是 在 考 學 生 的 計 算 能 力 , 而 非 概 念 或 定 義 。 而 這 樣 的 「 出 題 上 不 易 發 現 的 盲 點 」 正 式 往 往容 易 被 教 學 現 場 的 教 師 們 忽 略 的 問 題 ,A 師 便 贊 同 這 樣 的 看 法 :「… 我 們 的 選 擇 題 其 實 都 在 考計 算 題 。 這 也 是 一 個 盲 點 。 這 都 是 很 正 向 的 影 響 」(0530 訪 談 A)。 再 者 , 一 個 試 題 的 內 容 敘 述 ,可 能 包 含 不 同 的 概 念 , 也 因 此 可 能 造 成 學 生 在 讀 題 上 的 混 淆 。 亦 即 , 有 可 能 學 生 答 題 錯 誤 並 非該 單 元 ( 欲 檢 測 的 單 元 ) 之 概 念 不 能 理 解 , 而 是 其 他 隱 藏 在 題 目 中 的 其 他 概 念 所 致 。 如 此 , 教 師可 能 無 從 判 斷 學 生 的 可 能 錯 誤 概 念 所 在 , 當 然 也 就 無 法 進 一 步 的 協 助 學 生 學 會 該 概 念 。 這 樣 的考 量 , 也 是 教 師 們 容 易 忽 略 的 ,A 師 在 後 期 的 訪 談 中 , 也 表 達 有 同 樣 的 感 受 :「… 像 教 授 對 我 最 大 的 影 響 是 , 他 會 去 注 意 到 這 個 題 目 他 有 沒 有 考 到 不 同 的 觀 念 , 就是 你 以 為 他 在 考 這 個 觀 念 , 其 實 另 外 一 個 東 西 會 去 影 響 到 , 你 無 法 去 察 覺 」(0530 訪談 A)而 透 過 學 習 型 組 織 中 的 討 論 和 分 享 活 動 , 教 師 們 就 有 機 會 檢 視 以 往 常 常 被 忽 略 的 可 能 潛 在 問題 , 進 而 能 夠 設 計 一 份 較 能 真 實 評 量 出 孩 子 學 習 狀 況 和 問 題 的 段 考 試 題 。3. 對 話 是 正 向 的 交 流 活 動 、 也 是 專 業 提 升 的 必 要 途 徑在 此 所 提 之 對 話 其 實 有 兩 種 意 涵 , 第 一 種 是 數 學 教 師 間 的 討 論 與 分 享 。 藉 由 討 論 活 動 , 教師 們 能 充 分 理 解 其 他 教 師 對 於 試 題 的 看 法 、 出 題 方 式 、 甚 至 是 特 定 數 學 概 念 的 教 學 策 略 (0608會 議 )。 當 問 題 被 提 出 時 , 教 師 們 因 教 學 年 資 、 經 驗 、 和 原 有 專 業 背 景 的 差 異 , 就 能 夠 創 造 出分 享 及 交 流 的 腦 力 激 盪 成 果 。 幾 位 教 師 都 有 類 似 的 看 法 :「 可 以 看 到 不 同 老 師 出 題 的 風 格 , 那 我 覺 得 像 這 樣 的 方 式 就 是 … 就 是 一 種 學 習 啦 , 就是 … 我 可 以 學 到 別 人 不 同 的 方 式 。」(0627 訪 談 C)「 我 是 覺 得 我 是 從 別 的 同 事 那 邊 學 習 到 滿 多 的 。」(0627 訪 談 D)「 大 家 一 起 合 作 也 許 跟 教 學 經 驗 或 是 甚 麼 大 家 一 起 互 相 交 流 。」(0627 訪 談 E)這 是 過 去 比 較 不 曾 經 歷 的 過 程 , 通 常 「 沒 有 人 會 去 問 你 為 什 麼 要 去 出 這 個 題 目 、 這 個 想 法 是 什麼 」(0627 訪 談 C)。 但 , 研 究 者 認 為 , 這 不 只 是 一 種 教 學 相 長 的 分 享 過 程 , 教 師 彼 此 間 的 對 話更 能 有 效 的 幫 助 教 師 反 思 自 己 的 觀 點 和 作 為 , 找 去 過 去 所 不 知 或 忽 略 的 缺 失 和 問 題 (0628 日 誌R), 真 的 是 如 A 師 在 其 省 思 中 所 記 錄 的 :「 你 比 較 不 會 侷 限 在 自 己 的 框 框 內 , 你 覺 得 對 的 事 情302
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究有 時 候 有 一 些 盲 點 , 別 人 會 幫 你 點 出 來 」(0509 省 思 A)。第 二 種 意 涵 則 是 合 作 模 式 中 師 培 ( 研 究 ) 者 與 現 場 數 學 教 師 間 的 對 話 , 這 種 對 話 的 專 業 意 味更 為 濃 厚 , 且 帶 有 指 導 與 釐 清 的 涵 義 :「 每 次 以 透 過 像 一 些 團 體 的 討 論 , 就 可 以 知 道 說 , 有 時 候 就 是 透 過 老 師 們 之 間 的 分 享 ,或 者 是 教 授 的 指 導 , 那 我 們 就 是 可 以 知 道 小 朋 友 一 些 迷 思 概 念 可 以 用 哪 些 方 法 在 跟 他 們釐 清 , 那 在 討 論 的 時 候 都 會 提 到 , 那 我 覺 得 這 個 在 教 學 上 是 一 大 助 益 啦 。」(0530 訪 談B)而 這 樣 的 專 業 對 話 過 程 , 也 正 是 本 研 究 原 本 規 劃 的 主 要 目 標 , 就 是 將 大 學 端 的 學 術 研 究 想 法 和作 為 , 充 分 地 和 現 場 在 職 教 師 的 想 法 和 作 為 進 行 連 結 (0628 日 誌 R), 讓 教 師 們 透 過 此 專 業 對 話的 歷 程 , 學 習 到 更 多 數 學 教 育 領 域 的 專 業 知 能 , 進 而 能 將 所 學 直 接 應 用 於 教 學 現 場 之 中 。( 二 ) 教 師 肯 定 合 作 出 題 模 式 , 但 自 覺 未 來 自 己 執 行 可 能 仍 有 困 難透 過 前 述 的 教 師 攜 手 合 作 進 行 考 題 設 計 的 學 習 型 組 織 活 動 , 教 師 們 皆 認 為 學 習 到 很 多 , 且 「 這樣 的 方 式 好 像 沒 甚 麼 缺 點 , 好 處 很 多 」(0528 省 思 B); 同 時 , 運 用 此 模 式 還 能 使 測 驗 評 量 更 具 信 效度 , 教 師 感 覺 藉 此 計 畫 能 夠 獲 得 許 多 實 質 的 效 益 ,E 師 就 提 到 :「 我 覺 得 整 個 過 程 都 還 蠻 不 錯 的 , 就 是 這 種 出 題 的 構 想 , 這 種 以 前 在 讀 書 的 時 候 也 曾 經 有老 師 教 過 這 種 比 較 好 的 出 題 方 式 , 但 是 實 際 上 比 較 不 太 容 易 實 行 , 所 以 藉 著 這 個 機 會 可 以把 它 付 諸 實 現 。」(0627 訪 談 E)然 而 , 若 少 了 師 培 者 ( 大 學 端 ) 的 資 源 、 協 助 或 引 導 , 教 師 們 表 示 可 能 較 難 持 續 為 之 。 原 因 可 能 除 了缺 乏 動 力 與 目 標 外 , 也 少 了 外 在 的 督 促 , 還 有 許 多 數 學 教 育 和 測 驗 評 量 領 域 專 業 知 能 部 分 也 是 教 師們 較 無 法 自 行 掌 握 的 內 容 ,B 師 就 說 到 :「 我 覺 得 因 為 像 現 在 跟 教 授 合 作 , 還 有 許 多 的 一 些 協 助 , 那 基 本 上 , 如 果 是 五 個 老 師 這 樣的 去 進 行 的 話 , 其 實 基 本 上 有 時 候 會 蠻 吃 力 的 。 如 果 每 一 次 命 題 都 是 這 麼 嚴 謹 的 話 , 那 又沒 有 人 去 統 籌 跟 指 導 的 話 , 基 本 上 就 比 較 難 繼 續 下 去 。」(0530 訪 談 B)也 因 此 要 教 師 們 未 來 自 行 執 行 此 模 式 來 設 計 段 考 試 題 , 不 但 可 能 會 覺 得 有 些 無 法 負 荷 的 負 擔 , 更 可能 有 其 他 專 業 領 域 上 的 考 量 有 待 解 決 。再 者 , 前 述 的 作 為 若 又 缺 乏 校 內 行 政 的 支 持 , 即 便 同 學 年 教 師 有 共 識 , 且 以 突 破 額 外 負 擔 或 專業 考 量 問 題 , 恐 怕 都 有 可 能 使 得 此 模 式 無 法 繼 續 被 完 整 執 行 , 進 而 被 迫 再 回 到 一 個 人 出 題 的 模 式(0608 會 議 )。「 我 覺 得 可 能 要 看 大 家 配 合 的 意 願 跟 客 觀 條 件 , 如 果 大 家 覺 得 數 學 可 以 這 樣 子 大 家 分 配 來出 題 的 話 , 那 也 許 以 後 在 出 題 分 配 上 , 數 學 就 大 家 共 同 負 責 , 不 要 把 它 分 成 某 一 個 人 的 ,這 樣 子 也 許 可 能 有 一 點 要 行 政 搭 配 , 因 為 也 許 我 還 要 出 健 康 , 然 後 就 是 變 成 負 擔 不 要 變 成雙 重 的 負 擔 這 樣 子 。 這 樣 的 話 可 行 性 會 比 較 高 。」(0627 訪 談 E)如 E 師 所 言 , 其 他 學 習 領 域 如 果 沒 有 類 似 的 出 題 模 式 , 同 時 也 沒 有 如 數 學 領 域 般 的 專 業 成 長 團 體支 援 , 就 可 能 對 於 後 續 繼 續 執 行 造 成 阻 礙 。 這 樣 的 問 題 , 的 確 值 得 師 培 ( 研 究 ) 者 再 繼 續 思 考 , 如 何尋 找 解 決 有 效 策 略 , 以 便 延 續 這 個 得 來 不 易 的 初 步 成 果 (0628 日 誌 R)。( 三 ) 對 於 日 後 在 學 習 型 組 織 的 繼 續 運 作 下 , 期 許 能 再 獲 得 其 他 面 向 的 專 業 知 能此 學 習 型 組 織 的 建 置 目 的 著 眼 於 教 師 們 與 師 培 者 以 合 作 的 方 式 , 編 製 段 考 試 題 並 進 行 相 關 分析 , 藉 以 提 升 教 師 在 測 驗 評 量 的 專 業 設 計 與 執 行 之 知 能 。 事 實 上 , 過 程 中 教 師 們 還 有 其 他 收 穫 , 例如 : 教 學 新 知 的 獲 得 、 釐 清 教 學 上 的 疑 惑 和 盲 點 、 以 及 進 行 數 學 專 業 對 話 和 分 享 等 。 對 此 , 教 師 表303
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究示 希 望 未 來 能 獲 得 更 深 層 的 協 助 , 如 :「 其 實 最 大 的 那 個 比 如 說 我 們 在 教 學 上 遇 到 的 一 些 問 題 , 然後 教 授 諮 詢 然 後 他 給 我 們 一 些 回 饋 」(0530 訪 談 B); 或 是 專 業 成 長 課 程 中 師 培 ( 研 究 ) 者 曾 提 及 給 予關 於 其 他 評 量 方 式 的 建 議 , 其 中 教 師 們 對 「 數 學 日 記 」 產 生 高 度 興 趣 與 嘗 試 的 意 願 ,C 師 提 及 :「 其 實 我 記 得 教 授 之 前 一 直 都 有 講 到 那 個 數 學 日 記 , 就 是 … 我 以 前 也 有 聽 過 , 可 是 我 自 己沒 有 做 過 , 可 能 … 我 會 覺 得 怎 樣 的 題 目 去 讓 孩 子 去 做 這 個 思 考 上 面 的 紀 錄 , 我 會 比 較 感 興趣 也 想 要 試 試 看 」(0627 訪 談 C)此 外 , 對 於 教 學 上 的 幫 助 還 有 如 教 具 和 遊 戲 的 選 擇 和 使 用 等 。 而 這 些 教 師 們 對 未 來 學 習 型 組 織 活 動的 回 饋 和 期 待 , 都 將 作 為 研 究 者 後 續 進 行 相 關 設 計 和 研 究 的 重 要 參 考 依 據 。綜 合 上 述 , 本 研 究 透 過 數 學 教 師 學 習 型 組 織 之 籌 組 和 運 作 , 能 夠 協 助 參 與 之 國 小 教 師 在 數 學 教學 評 量 ( 以 測 驗 評 量 為 主 軸 ) 上 之 專 業 成 長 和 改 變 。 同 時 , 也 順 利 協 助 參 與 國 小 教 師 設 計 具 有 信 、 效度 之 數 學 段 考 考 題 , 並 執 行 及 完 成 資 料 分 析 工 作 , 特 別 在 第 二 階 段 ( 下 學 期 ) 中 , 個 案 教 師 們 能 夠 完全 主 導 設 計 段 考 試 題 ( 師 培 者 則 僅 擔 任 輔 導 者 角 色 )。 而 限 於 報 告 之 篇 幅 , 研 究 者 僅 針 對 其 專 業 成 長和 學 習 型 組 織 運 作 的 部 分 進 行 資 料 分 析 和 陳 述 , 對 於 教 師 們 設 計 的 段 考 試 題 部 分 , 則 未 列 入 報 告中 , 但 將 於 成 果 討 論 會 中 說 明 和 展 示 其 設 計 的 段 考 試 題 , 未 來 亦 將 針 對 所 有 研 究 結 果 進 行 論 文 之 撰寫 工 作 , 並 投 稿 至 學 術 研 討 會 和 期 刊 中 。肆 、 參 考 文 獻一 、 中 文 部 分王 如 哲 (2006)。 知 識 經 濟 的 學 校 經 營 策 略 。 研 習 論 壇 月 刊 ,68,5-9。白 雲 霞 (2010)。 國 小 數 學 低 成 就 學 生 在 補 習 班 數 學 補 習 與 學 校 學 習 之 歷 程 研 究 (Ⅲ)- 補 習 與 未 補 習之 低 成 就 學 童 在 數 學 文 字 題 之 學 習 成 就 與 閱 讀 理 解 情 形 之 比 較 。 國 科 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報告 編 號 :NSC 98-2511-S-160-002-M。。 台 北 : 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 。呂 玉 琴 (2009)。 國 小 高 年 級 數 學 資 優 生 的 數 學 學 習 評 量 。 國 科 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 編 號 : NSC95-2521-S-152-009-MY3。 台 北 : 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 。吳 耀 明 (2010)。 多 元 教 學 與 評 量 對 國 小 學 童 學 習 態 度 及 學 習 焦 慮 之 影 響 。 教 育 研 究 學 報 ,44(1),153-177。洪 珮 芬 (2009)。 線 對 稱 概 念 的 van Hiele 層 次 及 其 S-P 表 分 析 結 果 之 研 究 - 以 國 小 五 年 級 學 童 的 實作 評 量 為 例 。 國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所 碩 士 論 文 , 未 出 版 , 台 中 市 。洪 碧 霞 (2002)。 國 小 數 學 科 教 學 評 量 的 改 革 與 創 新 。2005 年 1 月 15 日 取 自http://class.eje.isst.edu.tw/0201.asp。洪 碧 霞 、 林 素 微 、 林 娟 如 (2006)。 認 知 複 雜 度 分 析 架 構 對 TASA-MAT 六 年 級 線 上 測 驗 試 題 難 度 的解 釋 力 。 教 育 研 究 與 發 展 期 刊 ,2(4),69-86。教 育 部 (2000)。90 年 版 之 國 民 中 小 學 課 程 暫 行 綱 要 。 台 北 : 作 者 。2010 年 12 月 1 日 摘 自 國 民 教 育社 群 網 ,http://teach.eje.edu.tw/9CC2/9cc_90.php。教 育 部 (2005)。 補 助 試 辦 教 師 專 業 發 展 評 鑑 實 施 計 畫 。 台 北 : 作 者 。教 育 部 (2009)。97 年 版 之 國 民 中 小 學 課 程 綱 要 。 台 北 : 作 者 。2010 年 12 月 1 日 摘 自 國 民 教 育 社 群網 ,http://teach.eje.edu.tw/9CC/index_new92.php。教 育 部 (2010)。 教 育 部 補 助 辦 理 教 師 專 業 發 展 評 鑑 實 施 要 點 。 台 北 : 作 者 。教 師 專 業 發 展 評 鑑 網 (2010)。 嘉 義 縣 市 國 小 教 師 專 業 社 群 辦 理 現 況 。2010 年 12 月 8 日 摘 自 網 頁http://tepd.moe.gov.tw/chinese/04_situation/01_01list.php?page=10&year。張 宇 樑 (2010)。 學 習 型 組 織 與 數 學 教 師 專 業 發 展 。 教 育 研 究 月 刊 ,198,103-117。304
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究張 宇 樑 、 洪 巽 盈 (2009)。 運 用 概 念 構 圖 教 學 策 略 提 升 六 年 級 數 學 低 成 就 學 生 學 習 效 益 之 個 案 研 究 。台 灣 數 學 教 師 電 子 期 刊 ,18,50-65。張 勝 凱 (2010)。 使 用 HIRT 模 式 建 立 國 小 六 年 級 學 童 數 學 推 理 能 力 測 驗 。 國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測驗 統 計 研 究 所 碩 士 論 文 , 未 出 版 , 台 中 市 。黃 志 賢 (2009)。 多 元 智 能 教 學 模 式 對 台 灣 泰 雅 族 國 小 學 生 數 學 學 習 表 現 之 影 響 。 國 科 會 專 題 研 究 計畫 成 果 報 告 編 號 :NSC 97-2511-S-131-001-。 台 北 : 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 。潘 慧 玲 (2002,12 月 )。 學 校 革 新 經 驗 的 回 顧 與 展 望 。 論 文 發 表 於 教 育 研 究 學 會 2002 年 主 辦 之 全 球化 : 教 育 變 革 新 領 域 國 際 研 討 會 , 香 港 。鄧 凱 仁 (2009)。 國 小 六 年 級 學 童 數 學 解 題 能 力 測 驗 編 製 之 研 究 。 國 立 屏 東 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所碩 士 論 文 , 未 出 版 , 屏 東 市 。鍾 靜 (2010)。 教 育 部 「 九 年 一 貫 課 程 推 動 工 作 — 課 程 與 教 學 輔 導 組 」 之 「 數 學 學 習 領 域 輔 導 群 」 團務 重 點 說 明 ( 主 席 致 詞 )。2010 年 12 月 17 日 於 99 學 年 度 南 區 數 學 輔 導 團 / 員 帶 領 教 師 專 業 成長 研 討 會 , 高 雄 市 。二 、 外 文 部 分Borko, H., & Putnam, R. T. (1995). Expanding a teacher’s knowledge base: A cognitive psychologicalperspective on professional development. In T. R. Guskey & M. Huberman (Eds.), Professionaldevelopment in education: New paradigms and practices (pp. 35-65). New York: TeachersCollege Press.Cantrell, P., Young, S., & Moore, A. (2003). Factors affecting science teaching efficacy of preserviceelementary teachers. Journal of Science Teacher Education, 14, 177-192.Chudowsky, N., Chudowsky, V., & Kober, N. (2007). Answering the question that matters most: Hasstudent achievement increased since No Child Left Behind? Washington, DC: Center onEducation Policy.Crabtree, B. F., & Miller, W. (Eds.) (1992). Doing qualitative research. London, UK: Sage.Duncan, A. (2009a). States will lead the way towards reform. Address by the Secretary of Education, U.S.Department of Education, at the 2009 Governors Education Symposium on June 14, 2009. ChapelHill, NC: The University of North Carolina. (December 1, 2010, retrieved fromhttp://www.ed.gov)Duncan, A. (2009b). Robust data gives us the roadmap to reform. Address by the Secretary of Education,U.S. Department of Education, at the Fourth Annual Institute of Education Sciences ResearchConference on June 8, 2009. Washington, DC: Marriot Wardman Park Hotel. (December 1, 2010,retrieved from http://www.ed.gov)Fan, L. (2006). Making alternative assessment an integral part of instructional practice. In P. Y. Lee (Ed.),Teaching secondary school mathematics: A resource book (pp.343-354). Singapore: McGraw Hill.Gardner, H. (1992). Assessment in context: The alternative to standardized testing. In B.R. Gifford &M.C.O'Connor (Eds.), Changing assessments: Alternative view of aptitude, achievement andinstruction (pp.77-120). London, UK: Kluwer Academic Publishers.Hammersley, D. (1995). Counseling people on prescribed drugs. London, UK: Sage.Karp, S. (2004). NCLB’s Selective vision of equality: Some gaps count more than others. In D. Meier &G. Wood (Eds.), Many children left behind: How the No Child Left Behind Act is damaging ourchildren and our schools (pp. 53-65). Boston, MA: Beacon.305
張 宇 樑 師 培 者 與 高 年 級 教 師 共 組 學 習 型 組 織 以 發 展 教 師 數 學 教 學 評 量 設 計 與 執 行 知 能 之 研 究Kohn, A. (2004). NCLB and the effort to privatize public education. In D. Meier & G. Wood (Eds.), Manychildren left behind: How the No Child Left Behind Act is damaging our children and our schools(pp. 79-100). Boston, MA: Beacon.Loborde, C. (1999). The integration of technologies as a window on teachers’ decision. In F. L. Lin (Ed.),Proceedings of the 1999 International Conference of Mathematics Teacher Education (pp.96-109).Taipei: National Taiwan Normal University.Morgan, C. (2000). Better assessment in mathematics education? A social perspective. In J. Boaler (Ed.),Multiple perspectives on mathematics teaching and learning (pp. 225-242). Westport, CT: Ablex.National Board for Professional Teaching Standards [NBPTS] (1989). Toward high and rigorousstandards for the teaching profession. Detroit, MI: Author.National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (1989). Curriculum and evaluation standards forschool mathematics. Reston, VA: Author.National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (1995). Assessment standards for schoolmathematics. Reston, VA: Author.National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (2000). Principles and standards for schoolmathematics. Reston, VA: Author.Niss, M. (1993). (Ed.). Cases of assessment in mathematics education: An ICMI study. Dordrecht, TheNetherlands: Kluwer.No Child Left Behind Act of 2001, Pub. L. No. 107-110 (2002).Price, H. E. (2010). Does No Child Left Behind really capture school quality? Evidence from an urbanschool district. Educational Policy, 24(5), 779-814.Rodriguez, E. M. (1998). Preparing quality teachers: Issues and trends in the States. Washington, DC:State Higher Education Executive Officers.Ruthven, K. (1994). Better judgment: Rethinking assessment in mathematics education. EducationalStudies in Mathematics, 27, 433-450.Senge, P. M. (1990). The fifth discipline: The art and practice of the learning organization. London, UK:Century Business.Singapore Ministry of Education (2004a). Assessment guides to primary mathematics. Singapore: Author.Singapore Ministry of Education (2004b). Assessment guides to lower secondary mathematics. Singapore:Author.Tough, P. (2006, November 26). What it takes to make a student. The New York Times Magazine.U.S. Department of Education (2009). Race to the Top program executive summary. Washington, DC:Author.Yin, R. K. (2003). Case study research: Design and methods (3 rd ed.). Thousand Oaks, CA: Sage.306
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 補 助 專 題 研 究 計 畫 ■ 成 果 報 告□ 期 中 進 度 報 告國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 :知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構計 畫 類 別 :■ 個 別 型 計 畫 □ 整 合 型 計 畫計 畫 編 號 :NSC 100-2511-S-142 -009 -執 行 期 間 :100 年 08 月 01 日 至 101 年 07 月 31 日執 行 機 構 及 系 所 : 國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系 ( 含 碩 士 班 、 國 民 小 學教 師 在 職 進 修 教 學 碩 士 學 位 班 )計 畫 主 持 人 : 陳 彥 廷 ( 國 立 臺 中 教 育 大 學 )共 同 主 持 人 : 蕭 儒 棠 ( 國 家 教 育 研 究 院 )、 王 瑞 壎 ( 國 立 嘉 義 大 學 )、洪 明 全 ( 中 華 醫 事 科 技 大 學 )計 畫 參 與 人 員 : 周 宜 、 劉 慶 鴻 、 黃 尹 柔 、 董 建 弘 、 紀 筱 嵐 、 丁 斌 悅 、李 孟 憲 、 呂 尚 霖 、 王 中 瓔 、 張 仕 儒 、 林 育 帆 、 林 巧 玲成 果 報 告 類 型 ( 依 經 費 核 定 清 單 規 定 繳 交 ):□ 精 簡 報 告 ■ 完 整 報 告本 計 畫 除 繳 交 成 果 報 告 外 , 另 須 繳 交 以 下 出 國 心 得 報 告 :□ 赴 國 外 出 差 或 研 習 心 得 報 告□ 赴 大 陸 地 區 出 差 或 研 習 心 得 報 告■ 出 席 國 際 學 術 會 議 心 得 報 告□ 國 際 合 作 研 究 計 畫 國 外 研 究 報 告處 理 方 式 : 除 列 管 計 畫 及 下 列 情 形 者 外 , 得 立 即 公 開 查 詢□ 涉 及 專 利 或 其 他 智 慧 財 產 權 ,□ 一 年 ■ 二 年 後 可 公 開 查 詢中 華 民 國 101 年 10 月 31 日307
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 :知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構第 一 年 : 國 小 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 發 展 與 個 案 分 析中 文 摘 要本 研 究 旨 在 建 構 「 國 小 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 」, 並 將 建 構 之 量 表 進 行 抽 樣 調查 , 以 驗 證 分 析 量 表 具 有 良 好 之 信 、 效 度 。 此 外 , 本 研 究 亦 依 據 量 表 之 面 向 , 檢 視 一 位 專 家教 師 在 「 因 數 與 倍 數 」 單 元 教 學 中 的 數 學 教 學 知 識 統 整 情 形 。 因 此 , 研 究 共 分 四 階 段 進 行 :第 一 階 段 , 主 要 是 文 獻 整 合 與 分 析 , 建 立 「 國 小 數 學 學 科 教 學 知 識 覺 知 量 表 」 之 面 向 與 各 面向 題 項 內 涵 初 稿 ; 第 二 階 段 , 是 以 焦 點 座 談 之 專 家 內 容 效 度 修 正 量 表 內 容 ; 第 三 階 段 , 則 將量 表 製 作 成 預 試 問 卷 , 以 立 意 取 樣 進 行 預 試 施 測 , 回 收 有 效 樣 本 131 份 , 經 項 目 分 析 、 探 索性 因 素 分 析 檢 驗 、 修 訂 , 保 留 知 覺 量 表 共 17 題 。 再 將 修 訂 之 量 表 進 行 正 式 問 卷 施 測 , 回 收 有效 樣 本 194 份 , 再 以 結 構 方 程 模 式 進 行 驗 證 性 因 素 分 析 檢 驗 量 表 的 構 念 效 度 ; 第 四 階 段 , 則以 正 式 量 表 所 建 構 數 學 教 學 知 識 之 五 個 面 向 , 分 析 一 位 國 小 專 家 教 師 其 在 「 因 數 與 倍 數 」 單元 教 學 的 歷 程 中 , 其 數 教 學 知 識 的 整 合 情 形 。 研 究 結 果 顯 示 , 本 研 究 所 建 構 之 「 國 小 數 學 教學 知 識 知 覺 量 表 」 的 測 量 模 式 與 觀 察 資 料 適 配 度 大 致 良 好 。 該 量 表 整 體 信 度 為 .919, 各 分 量表 的 信 度 (Cronbach’s alpha 值 ) 介 於 .644 至 .837 之 間 , 具 有 良 好 的 信 度 與 效 度 。 而 專 家 教師 在 教 學 過 程 中 的 數 教 學 知 識 整 合 分 析 發 現 , 其 PCK 各 面 向 均 有 涉 及 整 合 , 整 合 尚 稱 平 均 。並 且 , 是 以 「 學 科 內 容 知 識 」、「 教 學 策 略 知 識 」 與 「 教 學 表 徵 知 識 」 為 整 合 的 核 心 。 最 後 ,本 研 究 亦 根 據 研 究 結 果 對 教 師 數 學 教 學 知 識 的 養 成 提 出 具 體 建 議 。關 鍵 字 : 知 覺 量 表 、 國 小 教 師 、 數 學 教 學 知 識308
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 :知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構第 一 年 : 國 小 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 發 展 與 個 案 分 析壹 、 前 言近 二 十 多 年 來 , 關 於 教 師 知 識 的 研 究 , 其 實 包 含 許 多 不 同 面 向 。Shulman (1986) 鑑 於 許 多學 者 甚 至 實 務 界 教 師 逐 漸 重 視 促 進 學 生 學 習 之 教 學 法 與 教 學 技 巧 等 實 務 知 識 ( 如 :Elbaz,1983), 而 忽 略 學 科 內 容 知 識 之 際 , 主 張 教 師 教 學 的 知 識 應 融 合 學 科 知 識 與 教 學 知 識 , 因 此 提出 學 科 教 學 知 識 (Pedagogical content knowledge, PCK) 的 觀 點 。 而 Shulman (1986, 1987) 所 提 關於 教 師 PCK 的 觀 點 , 算 是 近 年 來 數 學 教 育 探 究 教 師 教 學 知 識 研 究 的 濫 觴 。 後 續 , 有 許 多 學 者(Ball, 1990; Borko, Eisenhart, Brown, Underhill, Jones & Agard, 1992; Eisenhart, Borko, Underhill,Brown, Jones & Agard, 1993; Fennema & Franke, 1992) 基 於 Shulman 的 想 法 , 針 對 教 師 在 進 行數 學 教 學 時 所 需 的 數 學 知 識 及 如 何 使 用 這 些 知 識 進 行 探 究 , 進 而 提 出 不 同 觀 點 。 可 見 , 數 學教 師 所 應 具 備 的 教 學 相 關 知 識 內 涵 受 到 數 學 教 育 學 者 持 續 的 關 注 與 重 視 。Cheang, Yeo, Chan, & Lim-Teo (2007) 指 出 ,PCK 強 調 的 是 教 師 對 領 域 知 識 (subject matterknowledge)( 例 如 : 他 們 知 道 教 些 什 麼 ) 和 教 學 知 識 (pedagogical knowledge)( 例 如 : 他 們 知道 教 學 相 關 知 識 ) 的 關 係 , 以 及 領 域 知 識 如 何 成 為 教 學 推 理 過 程 中 的 一 部 分 。 因 此 ,Shulman(1986) 認 為 ,PCK 意 指 教 師 知 道 表 徵 想 法 以 及 有 效 類 比 、 圖 解 、 舉 例 、 說 明 與 論 證 的 最 有 用的 形 式 。 也 就 是 將 制 式 化 (formulating) 的 領 域 知 識 表 徵 成 其 他 可 理 解 的 形 式 。 由 此 看 來 ,PCK即 是 教 師 在 進 行 專 業 領 域 的 教 學 過 程 中 所 涉 及 的 知 識 。 然 而 , 要 界 定 與 測 量 教 師 的 數 學 教 學知 識 (mathematics pedagogical content knowledge, MPCK) 其 實 並 不 容 易 。 因 為 MPCK 是 融 合 一般 教 學 知 識 、 對 數 學 學 科 具 有 深 層 理 解 以 及 熟 稔 數 學 獨 特 教 學 規 準 的 知 識 (Cheang, Yeo,Chan, & Lim-Teo; 2007)。 而 這 些 知 識 內 涵 , 則 有 許 多 不 同 的 觀 點 ( 例 如 :Cochran, DeRuiter &King, 1993; Hashweh 2005; Loughran, Berry, & Mulhall, 2006), 可 說 是 眾 說 紛 紜 。 有 鑑 於 此 ,本 研 究 希 望 能 綜 合 彙 整 過 去 學 者 的 主 張 , 企 圖 建 構 出 教 師 MPCK 的 面 向 , 並 編 製 一 個 能 提 供研 究 者 檢 視 教 師 或 教 師 自 我 檢 視 之 「 教 師 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」, 在 理 論 支 持 與 量 化 分 析的 基 礎 上 , 建 立 一 個 具 信 效 度 之 工 具 , 提 供 作 為 未 來 後 續 探 究 教 師 數 學 教 學 知 識 之 使 用 。 此為 本 研 究 之 動 機 之 一 。近 年 來 , 有 學 者 (Darling-Hammond, 2000) 提 到 , 教 師 的 教 學 知 識 具 有 領 域 的 獨 特 性 。 換言 之 , 教 師 的 教 學 知 識 會 因 學 科 知 識 的 不 同 而 有 差 異 性 存 在 。 此 外 , 也 有 研 究 ( 例 如 :Kagan,1992; Reynolds, 1992) 指 出 , 初 任 教 師 經 常 對 於 如 何 使 用 可 理 解 的 方 式 去 表 徵 概 念 感 到 困 乏 ,因 為 他 們 少 有 甚 至 沒 有 此 方 面 的 PCK。 而 Ball (2000) 也 認 為 , 教 師 對 於 MPCK 理 解 的 深 度 將會 決 定 他 在 教 學 中 所 使 用 的 例 子 、 解 釋 、 練 習 題 目 以 及 對 學 生 的 回 饋 。 然 而 , 過 去 有 許 多 研309
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構究 指 出 , 生 手 教 師 的 學 科 教 學 知 識 通 常 較 屬 表 面 層 次 且 不 完 整 ( 例 如 :Carpenter, Fennema,Petersen, & Carey, 1988; Feiman-Nemser & Paeker, 1990; Shulman, 1987); 而 他 們 從 教 科 書 中 所獲 得 的 學 科 知 識 , 亦 較 無 連 貫 性 , 並 且 經 常 在 無 獲 知 學 生 先 備 知 識 的 情 況 下 , 便 坐 下 教 學 決定 (Carpenter, Fennema, Petersen, & Carey, 1988)。 因 此 , 透 過 專 家 與 生 手 教 師 學 科 教 學 知 識的 檢 視 , 或 許 能 讓 師 資 培 育 者 從 中 獲 知 生 手 教 師 所 欠 缺 、 應 培 育 之 知 識 內 涵 , 進 而 提 出 促 進教 師 學 科 教 學 知 識 成 長 的 途 徑 。 此 為 本 研 究 之 動 機 之 二 。據 此 , 茲 提 列 本 研 究 之 目 的 如 下 :一 、 建 構 並 效 化 教 師 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」。二 、 植 基 於 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」 之 面 向 , 分 析 專 家 與 生 手 教 師 在 數 學 教 學 知 識 上的 異 同 。貳 、 文 獻 探 析根 據 研 究 動 機 與 目 的 , 本 研 究 廣 泛 蒐 集 國 內 外 文 獻 , 解 析 目 前 各 學 者 對 於 教 師 學 科 教 學知 識 PCK 的 看 法 , 做 為 教 師 PCK 知 覺 量 表 建 構 之 基 礎 , 進 而 形 成 「 指 標 初 稿 」。一 、 教 師 學 科 教 學 知 識 (PCK) 的 內 容 架 構本 研 究 歸 納 過 去 相 關 文 獻 之 觀 點 , 將 PCK 的 內 涵 分 為 七 類 :1. 課 程 與 目 標 知 識 : 這 是 指數 學 課 程 內 容 的 沿 革 、 組 織 架 構 及 教 學 目 標 等 相 關 知 識 。 屬 於 邱 美 虹 等 人 (1997)、 陳 國 泰(2010)… 等 所 稱 之 「 課 程 知 識 」、「 教 學 目 標 知 識 」 以 及 段 曉 林 等 人 (1998)、Magnusson et.al(1999)… 等 所 稱 之 「 課 程 知 識 」;2. 學 科 內 容 知 識 : 這 是 指 教 學 單 元 的 概 念 內 涵 與 運 算 法 則 等相 關 知 識 。 屬 於 邱 美 虹 等 人 (1997)、 段 曉 林 等 人 (1998)、 張 世 忠 等 人 (2009) 所 稱 之 「 學 科 知 識 」及 Park 與 Oliver (2008)… 等 所 稱 之 「 主 題 內 容 知 識 」;3. 教 學 策 略 知 識 : 這 是 指 教 學 過 程 中 所使 用 的 一 般 教 學 策 略 知 識 。 屬 於 邱 美 虹 等 人 (1997)、 段 曉 林 等 人 (1998)、 張 世 忠 等 人 (2009)、Magnusson、Krajcik 與 Borko(1999)、Park 與 Oliver (2008)… 等 所 稱 之 「 教 學 策 略 知 識 」;4.教 學 表 徵 知 識 : 這 是 指 教 師 在 教 學 過 程 中 可 能 使 用 的 活 動 、 舉 例 、 示 範 、 說 明 ( 例 如 : 圖 表 、口 說 、 符 號 …), 以 幫 助 學 生 學 習 。 屬 於 段 曉 林 等 人 (1998)、 張 世 忠 等 人 (2009) 以 及 Magnussonet. al(1999) 所 稱 之 「 教 學 表 徵 知 識 」;5. 數 學 情 境 知 識 : 這 是 指 教 師 能 佈 置 合 適 教 學 環 境 等 相關 知 識 。 屬 於 邱 美 虹 等 人 (1997) 所 稱 之 「 情 境 知 識 」;6. 對 學 生 學 習 理 解 的 知 識 : 這 是 指 教 師能 夠 瞭 解 學 生 在 學 習 此 單 元 前 已 具 備 的 先 備 知 識 , 以 及 它 們 在 此 單 元 可 能 會 產 生 的 迷 思 等 相關 的 知 識 。 屬 於 邱 美 虹 等 人 (1997)、 段 曉 林 等 人 (1998)、 張 世 忠 等 人 (2009) 及 Magnusson et.al(1999)、Park 與 Oliver (2008)… 等 所 稱 之 「 對 學 生 學 習 理 解 的 知 識 」;7. 學 習 成 效 評 估 的 知 識 :這 是 指 教 師 能 運 用 適 當 的 評 量 方 式 評 估 學 生 的 學 習 成 效 。 屬 於 Park 與 Oliver (2008), Tamir(1988)… 等 所 稱 之 「 評 量 知 識 」。 下 表 1 為 本 研 究 對 PCK 之 歸 納 面 向 以 及 該 面 向 與 過 去 相 關 學者 之 對 應 關 係 :表 1: 本 研 究 對 PCK 歸 納 之 面 向 與 內 涵面 向 內 涵 觀 點 相 同 之 學 者310
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構課 程 與 目 標 知 識學 科 內 容 知 識教 學 策 略 知 識教 學 表 徵 知 識數 學 情 境 知 識對 學 生 學 習 理 解的 知 識學 習 成 效 評 估 的知 識數 學 課 程 內 容 的 沿 革 、 組 織 架 構 及教 學 目 標 等 相 關 知 識教 學 單 元 的 概 念 內 涵 與 運 算 法 則等 相 關 知 識教 學 過 程 中 所 使 用 的 一 般 教 學 策略 知 識教 師 在 教 學 過 程 中 可 能 使 用 的 活動 、 舉 例 、 示 範 、 說 明 ( 例 如 : 圖表 、 口 說 、 符 號 …), 以 幫 助 學 生學 習 的 知 識教 師 能 佈 置 合 適 教 學 環 境 等 相 關知 識教 師 能 夠 瞭 解 學 生 在 學 習 此 單 元前 已 具 備 的 先 備 知 識 , 以 及 它 們 在此 單 元 可 能 會 產 生 的 迷 思 等 相 關的 知 識教 師 能 運 用 適 當 的 評 量 方 式 評 估學 生 的 學 習 成 效邱 美 虹 、 江 玉 婷 (1997), 段 曉 林 、 王 國 華 與 張 惠 博(1998), 陳 國 泰 (2010),Fernandez-Balboa & Stiehl(1995), Geddis et al. (1993), Grossman (1990), Hasweh(2005), Lin & Yang (1998), Loughran et al. (2006),Magnussonet al. (1999), Park & Oliver (2008), Smith &Neale (1989), Tamir (1988), van Driel、Verloop & Vos(1998)邱 美 虹 、 江 玉 婷 (1997), 段 曉 林 、 王 國 華 與 張 惠 博(1998), 張 世 忠 、 羅 慧 英 (2009), 陳 國 泰 (2010),Cochranet al. (1993), Fernandez-Balboa & Stiehl (1995),Hasweh (2005), Loughran et al. (2006), Marks (1990),van Driel、Verloop & Vos (1998)邱 美 虹 、 江 玉 婷 (1997), 段 曉 林 、 王 國 華 與 張 惠 博(1998), 張 世 忠 、 羅 慧 英 (2009),Fernandez-Balboa &Stiehl (1995), Geddis et al. (1993), Grossman (1990),Hasweh (2005), Loughran et al. (2006), Magnussonet al.(1999), Marks (1990), Park & Oliver (2008), Shulman(1987), Smith & Neale (1989), Tamir (1988), vanDriel、Verloop & Vos (1998)邱 美 虹 、 江 玉 婷 (1997), 陳 國 泰 (2010),Cochran et al.(1993), Fernandez-Balboa & Stiehl (1995), Hasweh(2005), Loughran et al. (2006), van Driel、Verloop &Vos (1998)邱 美 虹 、 江 玉 婷 (1997), 段 曉 林 、 王 國 華 與 張 惠 博(1998), 張 世 忠 、 羅 慧 英 (2009), 陳 國 泰 (2010)Cochranet al. (1993), Fernandez-Balboa & Stiehl (1995), Geddiset al. (1993), Grossman (1990), Hasweh (2005),Loughran et al. (2006), Magnussonet al. (1999), Marks(1990), Park & Oliver (2008), Shulman (1987), Smith &Neale (1989), Tamir (1988), van Driel、Verloop & Vos(1998)Hasweh (2005), Magnussonet al. (1999), Park & Oliver(2008), Tamir (1988)參 、 研 究 設 計 與 實 施由 於 本 研 究 目 的 有 二 : 其 一 , 是 建 構 並 效 化 教 師 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」。 其 二 , 是植 基 於 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」 之 面 向 , 分 析 個 案 教 師 在 數 學 教 學 知 識 上 的 異 同 。 首 先 ,是 量 表 建 構 部 分 : 本 研 究 經 由 文 獻 歸 納 之 量 表 之 面 向 後 , 再 以 實 證 方 法 加 以 修 正 與 驗 證 。 本部 分 的 方 法 共 有 三 個 階 段 , 第 一 階 段 主 要 是 文 獻 整 合 與 分 析 , 建 立 「 國 小 數 學 學 科 教 學 知 識覺 知 量 表 」 初 稿 ; 第 二 階 段 是 以 焦 點 座 談 之 專 家 內 容 效 度 修 正 量 表 內 容 ; 第 三 階 段 則 將 量 表製 作 成 預 試 問 卷 , 並 透 過 項 目 分 析 、 探 索 性 因 素 分 析 檢 驗 、 修 訂 , 形 成 正 式 量 表 , 再 藉 由 驗證 性 因 素 分 析 建 立 量 表 之 信 、 效 度 。 其 次 , 本 研 究 再 以 開 發 之 量 表 進 行 個 案 教 師 之 PCK 探 究 。企 圖 從 教 師 在 量 表 之 表 現 以 及 課 室 觀 察 與 晤 談 之 對 照 , 描 繪 出 個 案 教 師 的 PCK。一 、 研 究 方 法 與 流 程311
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構本 研 究 之 主 要 目 的 在 建 構 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」, 並 基 於 此 量 表 之 面 向 探 知 國 小 個案 教 師 數 學 PCK 之 現 況 。 依 此 目 的 , 本 研 究 所 涉 及 的 方 法 分 兩 部 分 說 明 。首 先 , 透 過 文 獻 整 合 與 分 析 , 將 國 內 外 相 關 學 者 所 提 及 關 於 教 師 PCK 之 面 向 歸 納 為 7個 面 向 , 並 參 考 段 曉 林 、 王 國 華 、 張 惠 博 (1998) 所 開 發 之 「 學 生 對 教 師 學 科 教 學 知 覺 問 卷 」內 容 , 統 整 編 製 成 量 表 之 初 稿 , 合 計 35 道 題 目 。 接 續 , 採 焦 點 座 談 法 修 正 量 表 各 面 向 之 題 目 ,並 進 行 問 卷 調 查 法 以 驗 證 量 表 題 目 。其 次 , 本 研 究 植 基 於 量 表 建 構 之 面 向 , 透 過 問 卷 調 查 、 觀 察 法 與 半 結 構 式 晤 談 法 , 分 析專 家 教 師 與 生 手 教 師 的 數 學 PCK 差 異 。( 一 ) 量 表 建 構 部 分1. 焦 點 座 談 法本 研 究 邀 請 數 學 教 育 教 授 、 數 學 教 育 博 士 以 及 小 學 教 師 等 7 位 學 者 專 家 進 行 一 次 焦 點 座談 , 針 對 本 研 究 編 製 之 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」 面 向 合 適 性 與 題 目 的 內 容 、 題 意 、 語 辭 表達 逐 一 檢 視 並 提 供 修 正 意 見 , 以 提 昇 量 表 的 專 家 效 度 。 接 著 , 再 邀 請 二 位 具 國 小 數 學 教 學 經驗 五 年 以 上 之 教 師 進 行 試 答 與 校 稿 , 以 進 行 表 面 效 度 檢 核 。 最 後 , 以 此 修 改 後 之 量 表 進 行 預試 。2. 問 卷 調 查 法本 研 究 透 過 問 卷 調 查 法 , 進 行 預 試 量 表 的 效 度 與 信 度 分 析 。 本 量 表 是 以 Likert 五 點 計 分量 表 呈 現 , 而 在 樣 本 的 選 擇 上 , 本 研 究 利 用 教 師 參 加 研 習 的 場 合 , 選 擇 臺 中 市 、 彰 化 縣 、 臺南 市 共 140 位 國 小 在 職 教 師 進 行 該 量 表 的 預 試 施 測 , 共 回 收 有 效 問 卷 131 份 , 回 收 率 達93.6%。 並 就 回 收 資 料 進 行 量 表 各 面 向 的 項 目 分 析 及 探 索 性 因 素 分 析 , 作 為 修 正 量 表 題 目 的 參考 , 而 形 成 正 式 量 表 。然 而 , 本 研 究 再 運 用 利 益 取 樣 的 方 式 , 選 擇 臺 中 市 、 彰 化 縣 、 嘉 義 市 共 210 位 國 小 在 職教 師 進 行 正 式 量 表 的 施 測 , 共 回 收 有 效 問 卷 194 份 , 回 收 率 達 92.3%。 其 結 果 除 了 進 行 信 度與 效 度 分 析 外 , 更 以 結 構 方 程 模 式 進 行 驗 證 性 因 素 分 析 , 評 估 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」 測量 模 式 的 適 配 度 。( 二 ) 個 案 教 師 數 學 PCK 現 況 分 析 部 分1. 問 卷 調 查 法為 了 瞭 解 個 案 教 師 數 學 PCK 內 涵 , 本 研 究 首 先 讓 個 案 教 師 填 寫 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量表 」, 從 量 化 的 數 據 理 解 教 師 在 數 學 PCK 各 面 向 的 得 分 情 形 , 以 初 步 掌 握 教 師 所 具 備 的 數 學PCK 內 涵 。2. 觀 察 與 晤 談 法本 研 究 主 要 使 用 非 參 與 式 課 室 觀 察 與 晤 談 的 方 式 探 析 個 案 教 師 的 數 學 PCK 內 涵 。 在 課 室觀 察 部 分 , 除 教 學 過 程 全 程 錄 影 外 , 研 究 者 也 會 記 錄 當 下 所 觀 察 值 得 討 論 的 教 師 行 為 , 以 進一 步 晤 談 教 師 在 這 些 行 為 背 後 的 想 法 。 至 於 晤 談 部 分 , 本 研 究 使 用 「 背 景 晤 談 」、「 觀 察 前 教學 計 畫 晤 談 」 與 「 觀 察 後 晤 談 」 三 種 類 型 的 半 結 構 式 晤 談 。 其 中 , 研 究 者 對 教 師 進 行 一 次 「 背景 晤 談 」, 晤 談 中 主 要 在 於 瞭 解 教 師 的 教 學 背 景 、 對 數 學 教 學 的 看 法 以 及 對 於 教 學 單 元 的 知312
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構識 。 晤 談 時 間 約 30~45 分 鐘 。 然 而 ,Hashweh (2005) 指 出 ,PCK 會 出 現 在 教 學 的 計 畫 、 過 程中 的 互 動 與 教 學 後 的 行 動 中 。 因 此 , 本 研 究 於 教 師 教 學 前 , 也 針 對 他 如 何 規 劃 課 程 、 教 學 目標 為 何 、 如 何 規 劃 評 量 進 行 「 觀 察 前 教 學 計 畫 晤 談 」, 晤 談 時 間 約 40~50 分 鐘 。 而 在 教 完 每 一個 單 元 後 , 則 針 對 他 教 學 後 的 反 思 ( 特 別 是 教 學 過 程 中 觀 察 者 所 觀 察 到 發 生 的 事 件 )… 等 議 題 進行 「 觀 察 後 晤 談 」, 讓 教 師 有 機 會 說 清 楚 他 教 學 決 定 的 理 由 ( 晤 談 問 題 見 下 表 3)。 而 上 述 「 觀察 前 教 學 計 畫 晤 談 」 與 「 觀 察 後 晤 談 」 的 過 程 是 全 程 錄 影 並 將 對 話 轉 譯 為 文 字 稿 , 再 進 行 分析 。3. 文 件 分 析 法本 研 究 亦 收 集 相 關 文 件 ( 課 程 計 畫 教 案 、 學 生 的 學 習 文 件 ) 進 行 分 析 。 學 生 的 學 習 文 件包 括 學 習 單 、 習 作 與 評 量 文 件 。 這 些 資 料 將 做 為 比 對 教 師 PCK 內 涵 的 資 訊 。4. 個 案 教 師 PCK map 分 析為 了 描 繪 個 案 教 師 在 教 學 過 程 中 所 呈 現 PCK 各 成 分 的 動 態 整 合 過 程 , 本 研 究 參 考 Park與 Chen(2012) 所 發 展 的 「PCK 成 分 整 合 歷 程 圖 」(Integration of the Components of PedagogicalContent Knowledge) 進 行 分 析 。 其 PCK map 的 繪 製 步 驟 如 下 :(1) 切 割 教 學 過 程 中 的 PCK 事 件(2) 確 認 每 個 PCK 事 件 中 PCK 面 向 的 出 現 次 數 與 整 合(3) 繪 製 教 師 教 學 過 程 之 PCK map然 而 , 或 許 每 個 PCK 事 件 中 各 面 向 的 連 結 線 未 必 有 相 等 的 強 度 , 但 為 了 便 於 計 算 與 強 度不 易 測 量 的 考 量 , 本 研 究 都 給 予 1 次 的 記 數 。 依 此 步 驟 , 本 研 究 持 續 畫 出 教 學 過 程 中 每 一 個PCK 事 件 的 圖 像 。 接 著 , 研 究 者 再 計 算 出 教 學 過 程 中 PCK 各 面 向 出 現 的 總 次 數 , 以 及 各 面 向連 結 的 總 次 數 , 最 後 , 形 成 教 師 在 該 單 元 教 學 的 PCK map。二 、 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 的 編 製「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」 是 用 以 蒐 集 教 師 對 自 我 數 學 教 學 知 識 的 感 知 , 量 表 中 共 包 含五 個 面 向 , 共 計 17 道 題 目 。 題 目 作 答 選 項 採 取 Likert 五 點 設 計 型 式 , 分 別 為 「 總 是 如 此 」、「 經常 發 生 」、「 偶 爾 發 生 」、「 很 少 發 生 」、「 從 來 沒 有 」, 依 序 以 5 至 1 分 計 。 其 中 , 有 3 道 問 題 為反 向 題 , 其 計 分 恰 與 其 他 各 題 相 反 。 至 於 各 面 向 名 稱 、 內 涵 說 明 與 問 題 舉 隅 如 表 2 所 示 :表 2: 本 研 究 所 開 發 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」 之 面 向 與 問 題 舉 隅面 向 內 涵 量 表 問 題 舉 隅課 程 與 目 標 知 識數 學 課 程 內 容 的 沿 革 、 組 織 架 構 及 教 學 目 標 我 能 了 解 歷 年 課 程 改 革 中 各 單 元 內 容 的等 相 關 知 識改 變學 科 內 容 知 識 教 學 單 元 的 概 念 內 涵 與 運 算 法 則 等 相 關 知 識 我 知 道 所 要 教 授 的 數 學 概 念 內 涵教 學 策 略 知 識 教 學 過 程 中 所 使 用 的 一 般 教 學 策 略 知 識 我 所 用 的 教 學 法 能 讓 學 生 認 真 思 考教 學 表 徵 知 識教 師 在 教 學 過 程 中 可 能 使 用 的 活 動 、 舉 例 、示 範 、 說 明 ( 例 如 : 圖 表 、 口 說 、 符 號 …), 以幫 助 學 生 學 習 的 知 識我 在 解 說 數 學 概 念 時 , 必 要 時 會 使 用 示 範活 動數 學 情 境 知 識 教 師 能 佈 置 合 適 教 學 環 境 等 相 關 知 識 我 會 佈 置 適 當 的 學 習 環 境 提 供 學 生 學 習313
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構對 學 生 學 習 理 解的 知 識學 習 成 效 評 估 的知 識教 師 能 夠 瞭 解 學 生 在 學 習 此 單 元 前 已 具 備 的先 備 知 識 , 以 及 它 們 在 此 單 元 可 能 會 產 生 的迷 思 等 相 關 的 知 識教 師 能 運 用 適 當 的 評 量 方 式 評 估 學 生 的 學 習成 效我 知 道 學 生 容 易 犯 的 運 算 錯 誤我 所 使 用 的 評 量 方 法 , 可 測 出 學 生 的 理 解程 度三 、 研 究 樣 本( 一 ) 預 試 施 測 樣 本本 研 究 以 便 利 性 為 考 量 , 利 用 教 師 參 加 研 習 的 場 合 , 選 擇 臺 中 市 、 彰 化 縣 、 臺 南 市 共 140位 國 小 在 職 教 師 作 為 預 試 樣 本 , 採 紙 筆 問 卷 填 寫 的 方 式 進 行 量 表 施 測 , 共 回 收 有 效 問 卷 131份 , 回 收 率 達 93.6%。( 二 ) 正 式 施 測 樣 本本 研 究 再 運 用 利 益 取 樣 的 方 式 , 選 擇 新 北 市 、 臺 中 市 、 彰 化 縣 、 嘉 義 市 、 宜 蘭 縣 、 臺 東縣 共 210 位 國 小 在 職 教 師 進 行 正 式 量 表 的 施 測 , 共 回 收 有 效 問 卷 194 份 , 回 收 率 達 92.3%。接 近 一 般 結 構 方 程 模 式 所 需 的 理 想 樣 本 數 200。肆 、 研 究 結 果 與 討 論本 研 究 目 的 有 二 : 其 一 , 發 展 一 個 「 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」, 用 以 評 估 教 師 的 數 學 PCK內 涵 。 其 二 , 基 於 此 量 表 的 面 向 , 分 析 個 案 教 師 的 數 學 PCK 內 涵 的 差 異 性 。 其 研 究 結 果 如 下 :一 、 量 表 建 構 結 果 與 討 論首 先 , 本 研 究 在 此 部 分 主 要 是 驗 證 量 表 的 品 質 , 將 回 收 有 效 預 試 問 卷 131 份 , 以 SPSS10.0版 統 計 軟 體 進 行 「 探 索 性 因 素 分 析 」(Exploratory Factor Analysis, EFA), 另 外 , 將 有 效 正 式 問卷 194 份 , 以 Amos 16.0 版 結 構 方 程 模 式 軟 體 進 行 「 驗 證 性 因 素 分 析 」(Confirmatory FactorAnalysis, CFA), 其 目 的 在 以 兩 種 不 同 的 統 計 方 法 交 互 驗 證 本 研 究 所 開 發 之 工 具 的 信 、 效 度 。( 一 ) 預 試 量 表 之 效 度 與 信 度 分 析1. 預 試 量 表 之 效 度 分 析本 研 究 以 回 收 之 預 試 的 有 效 問 卷 131 份 , 進 行 效 度 之 題 項 與 因 素 分 析 。(1) 題 項 分 析為 了 檢 驗 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 題 目 的 適 切 程 度 , 研 究 者 將 預 試 的 施 測 結果 進 行 項 目 分 析 。 其 結 果 如 下 表 3。314
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構表 3: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 的 項 目 分 析 結 果題 目 描 述 統 計 量 極 端 組 差 異 檢 核 同 質 性 檢 核編 號 平 均 數 標 準 差 決 斷 值 (CR 值 ) 校 正 題 目 與 總 分 相 關 刪 題 後 信 度因 素 負 荷選 題 決 策1 3.72 .86 7.003*** .529 .929 .55 保 留2 3.94 .75 5.802*** .535 .929 .56 保 留3 4.24 .64 6.194*** .578 .928 .61 保 留4 3.21 1.07 2.756** .188 .936 .21 刪 題5 4.35 .58 7.115*** .597 .928 .64 保 留6 3.49 .74 3.023** .277 .932 .27 刪 題7 4.18 .60 8.326*** .611 .928 .65 保 留8 4.11 .45 5.804*** .530 .929 .55 保 留9 3.92 .64 7.828*** .644 .927 .63 保 留10 4.34 .52 13.422*** .693 .927 .54 保 留11 4.27 .57 9.400*** .727 .927 .76 保 留12 3.89 .68 7.156*** .646 .927 .63 保 留13 4.28 .67 6.628*** .530 .929 .54 保 留14 4.27 .54 6.069*** .560 .929 .59 保 留15 4.40 .54 11.625*** .607 .928 .64 保 留16 4.16 .54 7.176*** .658 .928 .70 保 留17 4.35 .57 10.884*** .672 .927 .72 保 留18 4.10 .63 7.894*** .663 .927 .71 保 留19 3.13 .97 2.763** .184 .935 .17 刪 題20 4.27 .57 7.089*** .565 .928 .61 保 留21 4.32 .57 8.162*** .576 .928 .62 保 留22 3.15 .95 6.491*** .504 .930 .51 保 留23 3.68 .70 4.642*** .451 .930 .44 保 留24 3.91 .84 4.447*** .422 .930 .42 保 留25 4.00 .63 7.966*** .657 .927 .66 保 留26 4.03 .68 7.641*** .627 .928 .64 保 留27 4.30 .51 9.245*** .655 .928 .70 保 留28 4.27 .61 8.717*** .594 .928 .63 保 留29 4.16 .52 8.411*** .642 .928 .67 保 留30 4.00 .54 7.249*** .666 .928 .68 保 留31 4.07 .76 3.568** .238 .932 .27 刪 題32 3.85 .60 7.002*** .654 .927 .65 保 留33 4.20 .59 7.641*** .610 .928 .63 保 留N = 131 人 ,**p < .05, ***p < .001有 關 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 題 目 平 均 值 的 偏 離 檢 驗 , 由 於 本 量 表 採 1 到 5 的五 點 尺 度 , 量 尺 的 中 間 值 為 3。 上 表 5 中 各 題 目 項 描 述 統 計 量 的 平 均 值 皆 未 高 於 3 或 低 於 3 過 多 ,顯 示 量 表 並 無 不 良 的 題 目 ( 邱 晧 政 ,2006b)。 在 極 端 組 差 異 檢 核 方 面 , 有 4 道 題 目 (4, 6, 19,31) 的 決 斷 值 (critical ratio, CR 值 ) 未 達 顯 著 差 異 (p 值 分 別 為 2.756, 3.023, 2.763, 3.568 > .001)外 , 其 餘 各 題 決 斷 值 皆 達 顯 著 水 準 (p < .001), 表 示 該 量 表 題 目 可 測 量 教 師 對 數 學 教 學 知 識方 面 感 知 的 差 異 ( 吳 明 隆 、 涂 金 堂 ,2005)。 至 於 同 質 性 檢 核 方 面 , 分 析 結 果 發 現 量 表 中 有 4道 題 目 (4, 6, 19, 31) 的 校 正 題 目 與 總 分 相 關 為 較 低 ( 相 關 係 數 分 別 為 .188, .277, .184, .238),呈 現 低 度 相 關 , 顯 示 此 4 道 題 目 所 測 得 構 念 與 本 量 表 相 關 性 較 低 。 其 餘 各 題 的 校 正 題 目 與 總 分的 相 關 係 數 均 呈 現 中 、 高 度 相 關 , 表 示 各 題 目 所 測 之 特 質 相 當 一 致 。 此 外 , 本 研 究 也 從 因 素315
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構負 荷 量 方 面 評 估 每 道 題 目 的 合 適 性 。 邱 皓 政 (2006a) 指 出 , 若 負 荷 量 小 於 .32, 即 代 表 該 因素 解 釋 不 到 10% 的 觀 察 變 項 變 異 量 , 屬 不 理 想 的 狀 況 。 而 由 上 表 發 現 , 量 表 中 有 4 道 題 目 (4, 6,19, 31) 的 因 素 負 荷 量 小 於 .32( 分 別 為 .21, .27, .17, .27), 對 於 解 釋 力 屬 貢 獻 較 小 的 題 目 。綜 合 上 述 結 果 , 本 研 究 決 定 將 4, 6, 19, 31 等 4 道 題 目 予 以 刪 題 , 其 餘 題 目 選 擇 保 留 , 整 份 量 表經 刪 題 後 共 有 29 題 。(2) 探 索 性 因 素 分 析教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 經 項 目 分 析 後 , 本 研 究 接 續 運 用 因 素 分 析 方 式 探 索該 量 表 的 因 素 數 目 來 檢 驗 量 表 的 構 念 效 度 。 首 先 計 算 取 樣 適 當 性 量 數 (Kaiser-Meyer-Olkinmeasure of sampling adequacy)KMO 值 達 .907; 並 且 , 球 形 檢 定 卡 方 值 為 2159.044, 達 顯 著(p < .001), 表 示 本 研 究 回 收 的 資 料 要 進 行 因 素 分 析 的 適 合 性 極 佳 ( 邱 晧 政 ,2006a;Kaiser,1974)。接 下 來 , 本 研 究 將 經 過 項 目 分 析 檢 驗 通 過 保 留 的 29 道 題 目 , 採 主 成 分 分 析 法 萃 取 共 同 因素 , 並 以 斜 交 轉 軸 為 轉 軸 方 法 。 最 後 因 素 分 析 結 果 發 現 特 徵 值 大 於 1 的 因 素 共 有 5 個 , 分 別可 以 解 釋 41.417%, 6.843%, 5.799%, 4.009%, 3.544% 的 變 數 變 異 量 , 合 計 佔 61.612%。 然 而 ,本 研 究 依 據 文 獻 歸 納 出 有 關 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 共 有 七 個 面 向 , 因 此 再 執 行 設 定 強 制抽 取 七 個 的 因 素 分 析 , 並 依 照 邱 晧 政 (2006b) 對 因 素 負 荷 量 在 .45 以 上 為 普 通 之 判 準 , 故 僅顯 示 結 構 矩 陣 中 大 於 .45 的 因 素 負 荷 量 , 其 結 果 如 下 表 4。表 4: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 的 因 素 分 析 結 果問 卷 題 目因 素 一 因 素 二 因 素 三 因 素 四 因 素 五 因 素 六 因 素 七 共 同 性編 號內 容我 能 了 解 歷 年 課 程 改 革 中 各 單 元1.673 .6492內 容 的 改 變 。我 能 熟 悉 數 學 原 理 或 概 念 發 展 的過 程 。我 知 道 學 生 在 學 習 新 單 元 前 已 經具 備 的 知 識 。.697 .6963.493 .6455 我 知 道 所 要 教 授 的 數 學 概 念 內 涵 。 .641 .6427 我 能 掌 握 各 單 元 間 的 關 聯 性 。 .635 .6248我 所 使 用 的 評 量 方 法 , 可 測 出 學 生.738 .6789的 理 解 程 度 。我 會 運 用 有 趣 的 教 學 法 來 教 各 單元 。我 會 使 用 學 生 能 瞭 解 的 語 言 來 解釋 數 學 概 念 。.590 .72510.644 .65511 我 能 清 楚 說 明 數 學 概 念 。 .516 .659我 會 使 用 不 同 的 評 量 方 式 測 出 學12生 是 否 理 解 。.477 .68313 我 讓 學 生 有 表 達 自 己 想 法 的 機 會 。 .756 .693我 會 提 供 適 當 的 教 具 提 供 學 生 認14識 數 學 的 概 念 。.616 .71315 我 能 解 出 學 生 所 提 的 數 學 問 題 。 .549 .508我 提 問 的 問 題 , 可 評 出 學 生 對 該 單16元 的 理 解 程 度 。.635 .70917 我 能 掌 握 各 單 元 的 教 學 標 目 標 。 .630 .66618我 能 掌 握 學 生 在 新 單 元 時 可 能 產.697 .67320生 的 迷 思 概 念 。我 在 解 說 數 學 概 念 時 , 必 要 時 會 使用 示 範 活 動 。.632 .70621 我 知 道 學 生 容 易 犯 的 運 算 錯 誤 。 .663 .68222 我 能 了 解 數 學 知 識 發 展 的 歷 史 。 .636 .60423 我 會 佈 置 適 當 的 學 習 環 境 提 供 學 .695 .612316
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構24生 學 習 。我 會 使 用 數 位 媒 材 來 解 釋 數 學 概念 。我 會 使 用 不 同 的 教 學 活 動 提 升 學生 的 學 習 興 趣 。.776 .73625.611 .80126 我 能 理 解 各 單 元 間 編 排 的 順 序 性 。 .672 .709我 會 使 用 學 生 熟 悉 的 例 子 解 釋 數27.614 .7292829303233學 的 概 念 。我 會 使 用 生 活 的 真 實 情 境 幫 助 學生 瞭 解 數 學 概 念 。我 所 出 的 試 題 , 可 評 出 學 生 對 該 單元 的 理 解 程 度 。我 所 用 的 教 學 法 能 讓 學 生 認 真 思考 。我 所 使 用 的 教 學 法 能 使 學 生 對 數學 維 持 興 趣 。我 會 使 用 適 當 的 圖 表 來 解 釋 數 學的 概 念 。.710 .750.557 .645.459 .631.491 .526 .466 .781.525 .676接 著 , 研 究 者 將 原 先 由 理 論 、 專 家 所 建 構 的 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 構 念 與 因 素 分 析所 獲 致 的 結 果 進 行 比 對 如 下 表 5。表 5: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 最 後 構 念 與 題 目 結 果分 量 表 理 論 建 構 題 目 ( 號 ) 探 索 性 因 素 分 析 題 目 ( 號 ) 最 後 保 留 題 目課 程 與 目 標 知 識 1, 7, 17, 26 1, 2, 3, 26, 32 1, 26學 科 內 容 知 識 2, 5, 11, 15, 22 5, 7, 10, 11, 15, 17, 18, 21 5, 11, 15, 18, 21教 學 策 略 知 識 9, 13, 25, 30, 32 13, 14, 30, 32 13, 30, 32教 學 表 徵 知 識 10, 20, 24, 27, 28, 33 20, 27, 28, 33 20, 27, 28, 33情 境 知 識 14, 23對 學 生 學 習 的 理 解 3, 18, 2118, 21移 入 學 科 內 容 知 識學 習 成 效 評 估 知 識 8, 10, 16, 29 8, 16, 29 8, 16, 299, 22, 23, 3212, 24, 25上 表 因 素 分 析 結 果 顯 示 , 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 29 道 題 目 所 抽 出 的 七 個 因素 , 與 原 先 依 理 論 所 建 構 之 量 表 設 計 的 七 個 面 向 有 些 出 入 。 因 此 , 本 研 究 取 理 論 所 建 構 面 向的 題 目 以 及 因 素 分 析 所 呈 現 個 因 素 的 題 目 之 交 集 題 目 , 形 成 本 研 究 正 式 量 表 的 面 向 與 題 目 。上 表 顯 示 , 本 研 究 經 題 項 分 析 與 探 索 性 因 素 分 析 後 所 形 成 的 正 式 量 表 共 有 五 個 面 向 ,19道 題 目 。 此 些 題 目 的 因 素 負 荷 量 均 介 於 .459 至 .756 之 間 , 共 同 性 則 介 於 .508 至 .781 之 間 ,五 個 因 素 的 累 積 解 釋 變 異 量 為 59.218%。上 表 顯 示 , 因 素 一 共 8 道 題 目 , 其 中 有 3 題 (5, 11, 15) 為 原 先 理 論 建 構 之 「 學 科 內 容 知 識 」面 向 的 題 目 , 有 2 題 (18, 21) 之 題 意 原 先 依 理 論 規 劃 於 「 對 學 生 的 理 解 」 面 向 , 然 而 經 再 次 檢視 其 題 意 後 , 發 現 此 2 道 題 目 均 論 述 關 於 學 生 數 學 迷 思 概 念 , 亦 可 屬 於 數 學 知 識 面 向 , 故 將 此2 道 題 目 歸 入 因 素 一 , 命 名 為 「 學 科 內 容 知 識 」。 因 素 二 共 5 道 題 目 , 其 中 有 2 題 (1, 26) 為 原 先理 論 建 構 之 「 課 程 與 目 標 知 識 」 面 向 的 題 目 , 故 將 因 素 二 命 名 為 「 課 程 與 目 標 知 識 」。 因 素三 有 4 道 題 目 (9, 22, 23, 32), 然 而 它 們 分 屬 原 先 理 論 建 構 之 不 同 面 向 , 故 本 研 究 將 此 些 問 題 刪除 。 因 素 四 有 4 道 題 目 , 其 中 有 3 題 (13, 30, 32) 為 原 先 理 論 建 構 之 「 教 學 策 略 知 識 」 面 向 的 題目 , 故 本 研 究 保 留 此 三 題 並 將 因 素 四 命 名 為 「 教 學 策 略 知 識 」。 因 素 五 有 3 道 題 目 皆 屬 原 先 理論 建 構 之 「 學 習 成 效 評 估 知 識 」 面 向 , 故 將 因 素 五 命 名 為 「 學 習 成 效 評 估 知 識 」。 因 素 六 有 4道 題 目 , 皆 屬 原 先 理 論 建 構 之 「 教 學 表 徵 知 識 」 面 向 , 故 將 因 素 六 命 名 為 「 教 學 表 徵 知 識 」。317
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構因 素 七 有 3 道 題 目 , 然 而 它 們 分 屬 原 先 理 論 建 構 之 不 同 面 向 , 故 本 研 究 將 此 些 問 題 刪 除 。經 探 索 性 因 素 分 析 後 , 本 研 究 最 後 依 據 理 論 建 構 以 及 探 索 性 因 素 分 析 的 結 果 , 將 教 師 數學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 劃 分 為 五 個 分 量 表 共 17 道 題 目 的 構 念 結 構 , 使 各 分 量 表 題 目 的歸 類 更 具 理 論 與 統 計 的 基 礎 。表 6: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 的 構 念 結 構分 量 表預 試題 號預 試 題 目 因 素 負 荷 量 共 同 性課 程 與 目 標 知 識1 我 能 了 解 歷 年 課 程 改 革 中 各 單 元 內 容 的 改 變 。 .673 .64926 我 能 理 解 各 單 元 間 編 排 的 順 序 性 。 .672 .7095 我 知 道 所 要 教 授 的 數 學 概 念 內 涵 。 .641 .64211 我 能 清 楚 說 明 數 學 概 念 。 .516 .659學 科 內 容 知 識 15 我 能 解 出 學 生 所 提 的 數 學 問 題 。 .549 .50818 我 能 掌 握 學 生 在 新 單 元 時 可 能 產 生 的 迷 思 概 念 。 .697 .67321 我 知 道 學 生 容 易 犯 的 運 算 錯 誤 。 .663 .68213 我 讓 學 生 有 表 達 自 己 想 法 的 機 會 。 .756 .693教 學 策 略 知 識 30 我 所 用 的 教 學 法 能 讓 學 生 認 真 思 考 。 .459 .63132 我 所 使 用 的 教 學 法 能 使 學 生 對 數 學 維 持 興 趣 。 .466 .78120 我 在 解 說 數 學 概 念 時 , 必 要 時 會 使 用 示 範 活 動 。 .632 .706教 學 表 徵 知 識27 我 會 使 用 學 生 熟 悉 的 例 子 解 釋 數 學 的 概 念 。 .614 .72928 我 會 使 用 生 活 的 真 實 情 境 幫 助 學 生 瞭 解 數 學 概 念 。 .710 .75033 我 會 使 用 適 當 的 圖 表 來 解 釋 數 學 的 概 念 。 .525 .6768 我 所 使 用 的 評 量 方 法 , 可 測 出 學 生 的 理 解 程 度 。 .738 .678學 習 成 效 評 估 知 識 16 我 提 問 的 問 題 , 可 評 出 學 生 對 該 單 元 的 理 解 程 度 。 .635 .70929 我 所 出 的 試 題 , 可 評 出 學 生 對 該 單 元 的 理 解 程 度 。 .557 .645(3) 構 念 效 度 (construct validity)林 建 良 、 黃 台 珠 、 吳 裕 益 (2008) 提 到 , 一 個 具 有 良 好 構 念 效 度 的 測 驗 , 如 果 進 行 因 素分 析 , 其 結 果 所 得 到 的 因 素 結 構 應 該 與 理 論 預 期 相 符 , 而 且 有 高 的 因 素 負 荷 量 。 而 邱 浩 政(2006b) 指 出 , 若 因 素 負 荷 量 若 大 於 0.63( 相 當 於 共 同 性 為 .40), 表 示 該 因 素 可 以 解 釋 觀察 變 項 達 到 非 常 好 的 狀 況 。 從 表 8 的 結 果 觀 之 , 本 研 究 所 建 構 的 正 式 量 表 中 第 11, 15, 27, 29, 30,32, 33 題 雖 未 達 非 常 好 的 判 斷 標 準 0.63, 但 皆 達 大 於 0.45 的 普 通 狀 況 , 其 餘 題 目 皆 符 合 非 常好 的 條 件 , 顯 示 本 研 究 所 發 展 的 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 具 可 接 受 的 構 念 效 度 。2. 預 試 量 表 之 信 度 分 析在 運 用 項 目 分 析 及 探 索 性 因 素 分 析 針 對 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 預 試 量 表 進 行 檢驗 與 刪 題 後 , 由 統 計 程 式 得 知 , 整 體 量 表 與 各 分 量 表 的 平 均 數 、 標 準 差 及 內 部 一 致 性 信 度 如表 9 所 示 。 整 體 而 言 , 全 量 表 的 同 質 性 極 高 , 內 部 一 致 性 係 數 Cronbach’s alpha 值 為 .919, 顯示 量 表 的 項 目 有 相 當 的 同 質 性 。 各 分 量 表 的 Cronbach’s alpha 值 在 .644 至 .837 之 間 。 其 中 ,各 因 素 所 形 成 的 分 量 表 中 , 只 有 「 課 程 與 目 標 知 識 」 分 量 表 信 度 係 數 為 .644 較 低 外 ( 可 能 因為 題 數 較 少 , 只 有 2 題 ), 其 餘 都 在 .722 至 .837 之 間 。 而 吳 明 隆 、 涂 金 堂 (2005) 指 出 , 如果 以 發 展 測 量 工 具 為 目 的 時 , 信 度 係 數 應 在 0.7 以 上 。 因 此 , 本 研 究 所 開 發 之 教 師 數 學 教 學 知識 (PCK) 知 覺 量 表 各 分 量 表 的 內 部 一 致 性 信 度 算 是 良 好 , 顯 示 本 量 表 具 有 相 當 的 可 靠 性 及有 效 性 。318
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構表 7: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 與 各 分 量 表 的 平 均 數 、 標 準 差 及 信 度 (N=131)分 量 表 名 稱 題 數 平 均 數 標 準 差信 度(Cronbach’s alpha 值 )課 程 與 目 標 知 識 2 7.748 1.332 .644學 科 內 容 知 識 5 21.450 2.251 .837教 學 策 略 知 識 3 12.130 1.459 .722教 學 表 徵 知 識 4 17.084 1.827 .813學 習 成 效 評 估 知 識 3 12.428 1.259 .774教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 17 70.840 6.701 .919表 8 的 分 析 結 果 顯 示 , 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 與 各 分 量 表 之 間 的 相 關 係 數值 達 .737 至 .893 之 間 (p < 0.01), 顯 示 各 分 量 表 與 總 量 表 間 具 有 高 度 正 相 關 ( 邱 皓 政 ,2006a); 而 五 個 分 量 表 間 的 交 互 相 關 值 範 圍 亦 介 於 .423 至 .702 之 間 , 亦 顯 示 各 分 量 表 間 具有 中 度 正 相 關 ( 邱 皓 政 ,2006a)。 由 此 可 知 , 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 為 一 個 檢測 同 一 特 質 的 工 具 且 具 適 切 的 內 部 一 致 性 信 度 , 適 合 成 為 一 份 量 表 。表 8: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 之 分 量 表 與 總 量 表 間 的 Pearson 相 關 係 數 (n = 131)分 量 表 課 程 與 目 標 知 識 學 科 內 容 知 識 教 學 策 略 知 識 教 學 表 徵 知 識 學 習 成 效 評 估 知 識課 程 與 目 標 知 識 1 .559** .547** .556** .423**學 科 內 容 知 識 1 .601** .702** .662**教 學 策 略 知 識 1 .553** .573**教 學 表 徵 知 識 1 .630**教 師 數 學 教 學 知識 (PCK) 知 覺 量表**p < 0.01.737** .893** .787** .857** .791**( 二 ) 正 式 量 表 之 驗 證 性 因 素 分 析本 研 究 除 了 進 行 預 試 量 表 之 探 索 性 因 素 分 析 (EFA) 外 , 亦 針 對 正 式 量 表 樣 本 共 194 份進 行 驗 證 性 因 素 分 析 (CFA), 期 能 在 不 同 統 計 方 法 交 叉 驗 證 下 , 以 考 驗 其 建 構 效 度 是 否 良好 。 為 了 考 驗 本 研 究 測 量 模 式 因 素 之 信 、 效 度 , 以 下 , 先 就 偏 態 與 峰 度 考 驗 進 行 分 析 , 接 續再 以 此 為 基 礎 進 行 驗 證 性 因 素 分 析 。1. 偏 態 與 峰 度 考 驗為 考 驗 本 研 究 樣 本 是 否 符 合 常 態 分 配 , 本 研 究 以 SPSS10.0 版 統 計 軟 體 進 行 分 析 , 以 了 解量 表 中 每 個 題 項 之 偏 態 與 峰 度 。Kline (1998) 指 出 , 若 題 項 的 偏 態 系 數 的 絕 對 值 若 大 於 3, 且峰 度 係 數 值 若 大 於 10, 則 該 題 項 被 視 為 有 問 題 。 本 研 究 所 獲 得 之 各 題 項 偏 態 系 數 與 峰 度 係 數如 表 9 所 示 :表 9: 正 式 量 表 各 題 項 之 描 述 統 計 、 峰 度 與 偏 態正 式 量 表 題 號描 述 統 計 量平 均 數標 準 差峰 度 係 數偏 態 係 數1 3.91 .803 -.168 -.43811 4.16 .668 -.343 -.3002 4.53 .568 .780 -.8934 4.45 .549 -1.001 -.2906 4.51 .551 -.869 -.491319
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構8 4.29 .629 -.003 -.44610 4.49 .569 .524 -.7275 4.35 .586 -.672 -.25915 4.15 .579 .581 -.17916 4.04 .634 -.062 -.1569 4.52 .587 -.394 -.76012 4.46 .568 -.782 -.43813 4.48 .604 -.434 -.72417 4.37 .599 -.666 -.3663 4.27 .551 .620 -.1547 4.31 .582 .304 -.33014 4.32 .560 -.660 -.078表 9 顯 示 , 本 研 究 各 題 項 的 峰 度 係 數 介 於 -1.001 至 .780 之 間 , 偏 態 係 數 介 於 -.893 至 -.078之 間 , 代 表 本 研 究 所 獲 得 正 式 量 表 的 資 料 其 峰 度 與 偏 態 皆 沒 有 極 端 值 出 現 , 表 示 各 題 項 對 使用 常 態 分 配 估 計 法 影 響 不 大 。 因 此 , 本 研 究 決 定 使 用 最 大 概 似 法 進 行 參 數 之 估 計 。2. 驗 證 性 因 素 分 析本 研 究 採 二 階 來 確 認 本 研 究 所 開 發 之 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 的 建 構 效 度 。研 究 者 利 用 AMOS 6.0 軟 體 , 以 正 式 施 測 的 有 效 樣 本 194 人 資 料 , 對 研 究 量 表 所 構 成 的 測 量模 式 進 行 驗 證 , 其 建 構 之 相 關 結 構 圖 如 圖 2 所 示 。 其 中 , 高 階 「 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK)知 覺 」 因 素 由 一 階 潛 在 因 素 ( 即 分 量 表 面 向 ): 課 程 與 目 標 知 識 、 學 科 內 容 知 識 、 教 學 策 略知 識 、 教 學 表 徵 知 識 、 學 習 成 效 評 估 知 識 所 構 成 ; 觀 察 變 項 則 為 17 個 題 項 。 本 測 量 模 式 通 過結 構 考 驗 。320
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構題 項 1.16e1.64課 程 與 目 標 知 識.80題 項 11.38e2題 項 2.09e3.77.75題 項 4.20e4.89學 科 內 容 知 識.67題 項 6.17e5.70.98.64題 項 8.13e6題 項 10.13e7.85.58題 項 5.20e8教 學 策 略 知 識.79題 項 15.13e9.89.71題 項 16.23e10.92教 學 表 徵 知 識.74.83.82題 項 9題 項 12題 項 13.19.12.10e11e12e13.69題 項 17.15e14.73題 項 3.13e15學 習 成 效 評 估 知 識.78題 項 7.13e16.76題 項 14.14e17圖 2: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 的 二 階 CFA 模 式 圖3. 測 量 模 式 適 配 度 評 鑑(1) 違 反 估 計 現 象 檢 驗321
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構黃 芳 銘 (2002) 指 出 , 要 檢 驗 模 式 的 適 配 度 之 前 , 需 先 檢 驗 是 否 產 生 違 反 估 計 。 一 般 常發 生 違 反 估 計 有 三 種 現 象 :1. 有 負 的 誤 差 變 異 數 ;2. 標 準 化 係 數 超 過 或 太 接 近 1;3. 有 太 大 的標 準 誤 。 表 10 顯 示 , 本 研 究 之 量 表 測 量 模 式 並 沒 有 負 的 標 準 化 誤 差 , 也 沒 有 接 近 或 是 超 過 1的 標 準 化 係 數 。表 10: 模 式 參 數 估 計分 量 表 題 項 題 號非 標 準 化參 數 值標 準 化 誤 差 C.R 標 準 化 參 數 值課 程 與 目 標 知 識1 .947 .113 8.349*** .64111 1.000 .8132 .908 .071 12.883*** .7754 .848 .069 12.247*** .750學 科 內 容 知 識 6 .757 .073 10.376*** .6678 .895 .082 10.889*** .69110 1.000 .8525 .755 .106 7.126*** .570教 學 策 略 知 識 15 1.060 .110 9.646*** .81016 1.000 .6979 1.051 .111 9.432*** .743教 學 表 徵 知 識12 1.135 .109 10.399*** .82913 1.205 .116 10.379*** .82717 1.000 .6923 .920 .089 10.297*** .727學 習 成 效 評 估 知 識 7 1.038 .094 11.090*** .77514 1.000 .777而 表 11 的 測 量 標 準 誤 差 資 料 也 顯 示 , 並 沒 有 負 的 標 準 誤 , 也 沒 有 接 近 或 是 超 過 1 的 標 準化 參 數 值 , 因 此 , 也 未 有 違 反 估 計 的 現 象 。 因 此 , 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 的 理論 模 式 沒 有 產 生 違 反 估 計 , 故 可 進 一 步 進 行 適 配 度 評 鑑 。表 11: 模 式 測 量 誤 差參 數 非 標 準 化 參 數 值 標 準 誤 C.Rδ 1 .150 .030 5.335***δ 2 .378 .045 8.335***δ 3 .088 .012 7.691***δ 4 .206 .022 9.035***δ 5 .168 .018 9.147***δ 6 .131 .015 8.714***δ 7 .128 .015 8.577***δ 8 .206 .025 7.808***δ 9 .115 .020 6.372***δ 10 .230 .026 8.865***δ 11 .186 .021 8.831***δ 12 .115 .016 7.436***δ 13 .100 .014 7.294***δ 14 .154 .018 8.469***δ 15 .124 .016 7.918***δ 16 .135 .017 7.634***δ 17 .142 .017 8.266***322
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構(2) 整 體 模 式 適 配 度 檢 驗整 體 模 式 適 配 度 就 是 模 式 的 外 在 指 標 , 以 驗 證 模 式 的 假 設 是 否 與 實 際 的 觀 察 資 料 相 符 。Hair、Anderson、Tatham 和 Black(1998) 將 整 體 適 配 度 評 鑑 指 標 分 為 三 個 類 型 : 絕 對 適 配 度(measures of fit)、 增 值 適 配 度 (incremental fit measures)、 簡 效 適 配 度 (parsimonious fitmeasures)。 本 研 究 即 以 上 述 三 個 類 型 來 評 鑑 「 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 」 之 驗證 性 因 素 分 析 模 式 的 整 體 適 配 度 。 其 結 果 如 表 12 所 示 :表 12: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 的 整 體 模 式 適 配 度 檢 驗 結 果評 鑑 類 型 評 鑑 項 目 分 析 結 果 評 鑑 結 果χ2 值 是 否 未 達 顯 著 ? χ 2 =208.881, p= .000< .001, 達 顯 著 否絕 對 適 配 度GFI 指 數 是 否 大 於 .9? GFI 指 數 = .888< .9 否 , 但 可 接 受AGFI 指 數 是 否 大 於 .9? AGFI 指 數 =.852< .9 否 , 但 可 接 受SRMR 指 數 是 否 低 於 .05? SRMR= .017< .05 是精 簡 適 配 度PCFI 是 否 大 於 .50 PCFI= .780> .50 是PNFI 是 否 大 於 .50 PNFI=.737> .50 是χ2 值 比 率 是 否 小 於 3? 1< NC =1.865 .9 是增 值 適 配 度 TLI(NNFI) 指 數 是 否 大 於 .9? TLI= .936> .9 是RMSEA 是 否 < .05? RMSEA= .067 否 , 但 可 接 受CFI 是 否 大 於 .90 CFI= .948 是RFI 指 數 是 否 大 於 .90? RFI= .872 否 , 但 可 接 受綜 合 以 上 結 果 , 本 研 究 所 提 出 的 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 模 式 , 在 整 體 適 配度 的 考 驗 上 , 除 了 χ 2 值 因 為 樣 本 數 而 達 顯 著 外 , 其 餘 指 標 雖 有 些 不 達 標 準 , 但 也 都 非 常 接近 .90, 綜 合 多 方 面 適 配 度 指 標 來 看 , 皆 可 顯 示 本 研 究 的 理 論 模 式 與 觀 查 資 料 有 相 當 不 錯 的適 配 。( 四 ) 正 式 量 表 的 效 度 分 析在 效 度 考 驗 部 分 , 本 研 究 從 收 斂 效 度 (convergent validity) 與 區 別 效 度 (discriminant validity)進 行 分 析 , 收 斂 效 度 主 要 透 過 組 合 信 度 與 平 均 變 異 數 抽 取 量 來 表 達 。1. 收 斂 效 度Joreskong 和 Sorbom(1989) 提 到 , 若 量 表 要 具 備 收 斂 效 度 , 其 因 素 負 荷 量 應 大 於 .50的 評 鑑 標 準 。 表 12 指 出 , 量 表 中 題 項 1、5 和 6 的 個 別 因 素 潛 在 負 荷 量 略 低 於 .50 的 標 準 , 但是 ,Bollen(2002) 提 到 , 只 要 C.R 值 夠 大 且 達 到 顯 著 , 即 可 被 接 受 。 因 此 , 本 研 究 仍 將 題項 1, 5, 6 視 為 可 接 受 的 範 圍 。 至 於 其 餘 的 觀 察 變 項 , 其 個 別 信 度 皆 大 於 .50 的 理 想 結 果 。 而五 個 潛 在 變 項 的 組 合 信 度 都 有 達 到 大 於 .60 的 要 求 , 代 表 各 面 向 指 標 具 內 部 一 致 性 。 而 在 平 均抽 取 變 異 數 上 , 其 數 值 也 都 達 到 大 於 .50 的 要 求 , 代 表 各 面 向 可 以 解 釋 變 異 大 於 測 量 誤 差 ,顯 示 潛 在 變 項 具 有 足 夠 的 變 異 解 釋 力 。 整 體 而 言 , 本 研 究 量 表 在 潛 在 因 素 上 具 良 好 的 收 斂 效度 。表 13: 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 測 量 模 式 的 內 在 結 構 適 配 度 分 析 結 果評 鑑 項 目 分 析 結 果 評 鑑 結 果個 別 項 目 的 信 度 是 否 在 .45 以 上 ? 題 項 1,5 和 6< .45 否 , 但 可 接 受323
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構潛 在 變 項 的 成 份 信 度 是 否 在 .6 以 上 ? 各 潛 在 變 項 的 成 分 信 度 介 於 .8~ .95 之 間 是潛 在 變 項 的 平 均 變 異 抽 取 量 是 否 在 .5 以 上 ? 潛 在 變 項 的 平 均 變 異 抽 取 量 介 於 .67~ .81 之 間 是所 估 計 的 參 數 是 否 都 達 顯 著 水 準 ? 皆 達 顯 著 水 準 是標 準 化 殘 差 的 絕 對 值 是 否 都 小 於 1.96? 標 準 化 殘 差 最 大 值 是 1.64 是修 正 指 標 是 否 都 小 於 3.84?題 項 12,19 與 題 項 8,9 有 共 變 , 修 正 指 標 分 別 為21.22 與 11.29;否表 14: 觀 察 變 項 與 潛 在 變 項 之 信 度 與 平 均 變 異 數 抽 取 量潛 在 變 項 觀 察 變 項 個 別 信 度 (R 2 ) 組 合 信 度 (CR) 平 均 變 異 數 抽 取 量 (AVE)課 程 與 目 標 知 識 .80 .67題 項 1 .410題 項 11 .661學 科 內 容 知 識 .95 .80題 項 2 .601題 項 4 .562題 項 6 .444題 項 8 .477題 項 10 .726教 學 策 略 知 識 .89 .73題 項 5 .325題 項 15 .656題 項 16 .486教 學 表 徵 知 識 .95 .81題 項 9 .552題 項 12 .687題 項 13 .684題 項 17 .479學 習 成 效 評 估 知 識 .93 .81題 項 3 .528題 項 7 .601題 項 14 .6032. 區 辨 效 度 (discriminant validity)區 別 效 度 的 主 要 觀 察 指 標 是 量 表 中 不 同 面 向 間 的 題 項 其 相 關 程 度 愈 低 , 其 區 別 效 度 較高 。 本 研 究 根 據 Fornell 與 Larcker(1981) 區 別 效 度 檢 定 方 法 , 以 每 個 面 向 的 AVE 值 進 行 比較 。 若 面 向 的 AVE 值 大 於 面 向 相 關 係 數 的 平 方 , 那 就 可 以 判 斷 構 面 間 具 有 區 別 效 度 。 由 表15 可 知 , 本 研 究 潛 在 變 項 之 AVE 值 均 大 於 各 面 向 間 的 決 定 係 數 , 這 顯 示 本 量 表 在 各 面 向 具有 區 辨 效 度 。表 15: 量 表 各 面 向 內 部 的 相 關 矩 陣課 程 與 目 標 知 識 學 科 內 容 知 識 教 學 策 略 知 識 教 學 表 徵 知 識 學 習 成 效 評 估 知 識課 程 與 目 標 知 識 .67學 科 內 容 知 識 .46 .80教 學 策 略 知 識 .27 .45 .73教 學 表 徵 知 識 .35 .59 .21 .81學 習 成 效 評 估 知 識 .30 .56 .47 .44 .81324
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構註 1: 對 角 線 為 各 構 念 的 平 均 數 變 異 抽 取 量 (AVE 值 )註 2: 對 角 線 以 外 的 值 代 表 構 念 標 準 化 係 數 平 方二 、 個 案 教 師 的 數 學 PCK 比 較( 一 ) 阿 倫 老 師 的 數 學 PCK map 分 析本 研 究 依 據 PCK map 的 繪 製 原 則 , 分 析 阿 倫 老 師 在 「 因 數 與 倍 數 」 單 元 教 學 的 PCK 表 現 。在 此 單 元 教 學 中 , 阿 倫 老 師 是 以 數 學 寫 作 的 方 式 進 行 。 其 中 , 阿 倫 老 師 運 用 數 學 寫 作 的 不 同類 型 問 題 ( 偵 錯 式 寫 作 、 解 釋 性 寫 作 、 編 擬 文 字 題 寫 作 ) 作 為 課 堂 中 引 導 學 生 學 習 的 素 材 。過 程 中 , 他 大 多 以 口 頭 引 導 學 生 思 考 、 提 供 學 生 討 論 、 適 性 個 別 指 導 、 由 學 生 發 表 、 綜 合 結論 的 方 式 進 行 教 學 。 下 圖 3 是 他 在 此 課 堂 教 學 過 程 中 , 所 顯 示 的 PCK 內 涵 統 整 情 形 。結 果 顯 示 , 阿 倫 老 師 的 教 學 歷 程 中 , 以 「 教 學 策 略 知 識 」 產 生 的 連 結 次 數 最 多 (21 次 ),其 次 依 序 為 「 教 學 表 徵 知 識 」(20 次 ) 與 「 學 科 內 容 知 識 」(17 次 ), 此 顯 示 上 述 三 類 學 科教 學 知 識 的 面 向 是 阿 倫 老 師 教 學 中 的 主 要 內 涵 ; 而 出 現 最 少 次 數 的 PCK 面 向 是 「 課 程 與 目 標知 識 」, 這 也 說 明 阿 倫 老 師 在 進 行 教 學 時 , 較 少 提 到 關 於 課 程 目 標 、 解 題 目 標 之 類 的 內 容 。此 外 , 在 PCK 各 面 向 間 的 連 結 部 分 , 以 「 教 學 策 略 知 識 」 與 「 教 學 表 徵 知 識 」 之 間 的 連結 頻 率 最 高 (8 次 ), 其 次 是 「 學 科 內 容 知 識 」 與 「 教 學 策 略 知 識 」(6 次 ); 而 以 「 課 程 目標 知 識 」 與 「 學 習 成 效 評 估 知 識 」 間 的 連 結 頻 率 最 低 。 綜 合 言 之 , 在 阿 倫 老 師 的 教 學 中 ,PCK各 面 向 知 識 的 整 合 是 以 「 學 科 內 容 知 識 」、「 教 學 策 略 知 識 」 與 「 教 學 表 徵 知 識 」 為 核 心 ;「 課 程 目 標 知 識 」 與 其 他 面 向 知 識 的 連 結 有 較 大 的 限 制 ; 而 「 學 習 成 效 評 估 知 識 」 較 容 易 與「 教 學 表 徵 知 識 」、「 學 科 內 容 知 識 」 以 及 「 教 學 策 略 知 識 」 產 生 連 結 , 不 易 與 「 課 程 目 標知 識 」 產 生 連 結 。圖 3: 個 案 ( 阿 倫 ) 教 師 在 「 因 數 與 倍 數 」 單 元 教 學 的 PCK map325
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構伍 、 結 論 與 建 議本 研 究 就 數 學 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 建 構 歷 程 中 , 從 文 獻 整 理 所 歸 結 的 量表 內 涵 與 初 稿 、 量 表 修 訂 過 程 , 以 及 量 表 驗 證 分 析 等 步 驟 , 所 獲 得 的 主 要 研 究 發 現 與 結 果 ,提 出 以 下 結 論 與 適 切 建 議 , 以 供 師 資 培 育 者 以 及 後 續 研 究 者 參 考 。一 、 結 論( 一 ) 本 研 究 所 建 構 教 師 數 學 教 學 知 識 自 覺 量 表 共 有 5 個 面 向 、17 項 指 標綜 合 來 說 , 國 內 外 關 於 教 師 數 學 教 學 知 識 的 議 題 或 研 究 , 似 乎 較 罕 見 以 具 信 、 效 度 的 工具 進 行 檢 視 。 因 此 , 本 研 究 嘗 試 從 過 去 學 者 對 於 教 師 數 學 教 學 知 識 的 觀 點 作 為 起 點 , 經 由 國專 家 學 者 的 焦 點 座 談 與 檢 視 , 建 立 教 師 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 的 專 家 內 容 效 度 與 表 面 效 度 ,形 成 量 表 的 初 稿 , 然 後 再 以 預 試 及 正 式 問 卷 調 查 對 國 內 樣 本 進 行 施 測 以 資 料 蒐 集 , 最 後 , 將蒐 集 到 的 資 料 以 SPSS 軟 體 與 AMOS 軟 體 進 行 因 素 分 析 以 及 考 驗 模 式 的 指 標 結 構 , 依 據 統 計 程式 驗 證 教 師 數 學 教 學 知 識 計 有 五 個 面 向 ,17 項 指 標 。( 二 )「 教 師 數 學 教 學 知 識 知 覺 量 表 」 具 有 良 好 的 信 、 效 度本 研 究 所 建 構 之 「 國 小 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 」 經 預 試 結 果 進 行 探 索 性 因 素 分析 並 予 以 刪 題 調 整 後 , 整 體 信 度 達 .919, 各 分 量 表 的 信 度 介 於 .644 至 .837 之 間 。 因 此 , 本 量表 具 有 良 好 的 信 度 。 在 效 度 方 面 , 經 預 試 分 析 發 現 , 本 量 表 亦 具 有 良 好 的 效 度 ; 再 經 二 階 驗證 性 因 素 分 析 考 驗 結 果 , 量 表 中 各 題 項 皆 有 良 好 的 適 配 度 , 且 通 過 CFA 效 度 考 驗 , 再 次 驗 證本 量 表 具 有 良 好 的 信 效 度 。( 三 ) 本 研 究 分 析 個 案 教 師 之 PCK map 驗 證 學 科 內 容 知 識 、 教 學 策 略 知 識 與 教 學 表 徵 知 識 為教 師 PCK 的 核 心本 研 究 發 現 , 個 案 教 師 教 學 歷 程 中 , 以 「 教 學 策 略 知 識 」、「 教 學 表 徵 知 識 」 與 「 學 科內 容 知 識 」 面 向 為 教 學 中 PCK 的 主 要 核 心 知 識 , 也 容 易 與 其 他 面 向 的 知 識 產 生 連 結 。 相 對 的 ,「 課 程 與 目 標 知 識 」 似 乎 較 不 易 與 其 他 面 向 知 識 產 生 連 結 。 而 「 學 習 成 效 評 估 知 識 」 則 較 容易 與 「 教 學 表 徵 知 識 」、「 學 科 內 容 知 識 」 以 及 「 教 學 策 略 知 識 」 產 生 連 結 , 不 易 與 「 課 程目 標 知 識 」 產 生 連 結 。二 、 建 議( 一 ) 對 教 師 數 學 教 學 的 建 議1. 教 師 可 利 用 本 量 表 進 行 自 我 檢 核本 研 究 所 開 發 之 「 國 小 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 」 是 融 合 國 內 外 文 獻 並 經 由 量 化資 料 進 行 考 驗 而 形 成 , 目 的 在 於 分 析 教 師 進 行 數 學 教 學 所 具 備 的 數 學 教 學 知 識 , 具 有 理 論 與實 務 之 基 礎 。 從 量 表 之 預 試 及 正 式 施 測 分 析 發 現 , 本 研 究 所 建 構 之 量 表 在 信 、 效 度 上 均 達 理想 的 標 準 。 因 此 , 本 量 表 適 合 國 小 教 師 進 行 有 關 數 學 教 學 知 識 的 自 我 衡 量 , 協 助 教 師 自 我 省思 自 己 所 具 備 在 數 學 教 學 過 程 中 所 涉 及 的 相 關 教 學 知 識 情 形 , 以 提 供 自 我 修 正 或 強 化 之 有 效依 據 。326
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構2. 教 師 應 均 衡 兼 顧 數 學 教 學 知 識 知 各 面 向 內 涵 , 以 全 面 提 升 數 學 教 學 知 識本 研 究 的 分 析 發 現 , 教 師 在 進 行 學 科 教 學 時 , 其 涉 及 關 於 學 科 教 學 知 識 的 面 向 是 彼 此 交錯 的 (Park & Chen, 2012)。 換 言 之 , 教 師 在 進 行 教 學 時 , 所 使 用 的 學 科 教 學 知 識 面 向 是 多 元且 變 動 的 狀 態 。 因 此 , 教 師 應 具 備 學 科 教 學 知 識 各 面 向 之 內 涵 , 才 能 使 教 學 更 為 順 暢 。 因 此 ,本 研 究 所 建 構 的 數 學 教 學 知 識 面 向 , 正 可 提 供 教 師 據 以 做 為 充 實 各 面 向 知 識 的 參 考 , 讓 自 己能 具 備 更 完 整 而 充 實 的 數 學 教 學 知 識 內 涵 。( 二 ) 對 師 資 培 育 者 的 建 議1. 本 研 究 所 建 構 之 量 表 可 供 未 來 師 資 培 育 者 培 養 職 前 教 師 數 學 教 學 知 識 之 參 考本 研 究 所 建 立 的 教 師 數 學 教 學 知 識 面 向 及 各 面 向 之 內 涵 , 將 可 提 供 師 資 培 育 者 思 考 在 數學 教 材 教 法 課 程 中 , 作 為 培 養 職 前 教 師 數 學 教 學 知 識 的 面 向 與 內 涵 。 期 能 讓 未 來 即 將 進 入 職場 之 職 前 教 師 , 能 具 備 更 為 完 善 的 數 學 教 學 知 識 。2. 師 資 培 育 課 程 可 適 時 提 供 教 師 整 合 PCK 各 面 向 知 識 整 合 的 實 務 機 會從 個 案 教 師 教 學 歷 程 的 PCK map 分 析 , 本 研 究 發 現 PCK 面 向 中 的 學 科 內 容 知 識 、 教 學 策略 知 識 與 教 學 表 徵 知 識 為 教 師 PCK 的 核 心 。 換 言 之 , 教 師 在 進 行 教 學 時 , 最 容 易 產 生 上 述 三個 面 向 知 識 的 整 合 。 因 此 , 建 議 未 來 進 行 師 資 教 學 實 務 經 驗 培 育 時 , 可 提 供 教 師 從 實 務 的 經驗 中 體 悟 這 些 面 向 知 識 整 合 的 歷 程 , 進 而 促 進 PCK 的 專 業 發 展 。( 三 ) 對 未 來 研 究 的 建 議1. 以 更 完 備 的 樣 本 作 為 調 查 對 象 , 重 新 檢 視 本 量 表 之 信 效 度本 研 究 鑑 於 人 力 、 時 間 的 考 量 , 故 以 臺 灣 部 分 地 區 ( 臺 中 市 、 彰 化 縣 、 臺 南 市 、 新 北 市 、嘉 義 市 、 宜 蘭 縣 、 臺 東 縣 ) 教 師 作 為 本 研 究 預 試 以 及 正 式 樣 本 , 為 立 意 取 樣 。 然 而 , 為 使 本研 究 之 取 樣 更 為 完 整 , 建 議 未 來 可 以 更 有 系 統 性 的 規 劃 取 樣 分 布 , 讓 樣 本 更 具 代 表 性 , 以 重新 檢 視 本 研 究 所 開 發 之 量 表 的 信 、 效 度 是 否 良 善 。327
陳 彥 廷 國 小 教 師 數 學 學 科 教 學 知 識 (PCK) 發 展 探 究 : 知 覺 量 表 、 網 路 學 習 環 境 的 成 長 模 式 之 建 構參 考 文 獻 ( 略 )研 究 成 果 自 評目 前 已 發 表 於 研 討 會 或 期 刊 之 文 稿 :1. 期 刊(1) 陳 彥 廷 (2012)。 非 同 步 網 路 教 學 案 例 討 論 之 互 動 歷 程 研 究 。 教 育 科 學 研 究 期 刊( 原 師 大 學 報 : 教 育 類 ),57(1),79-111。【TSSCI 期 刊 】(2) 李 浩 然 、 陳 彥 廷 *、 柳 賢 ( 已 接 受 )。 認 知 師 徒 制 對 一 位 中 學 數 學 實 習 教 師 教 學 實務 與 信 念 的 改 變 。 教 育 與 心 理 研 究 。【TSSCI 期 刊 , 通 訊 作 者 】2. 研 討 會(1) 陳 彥 廷 (2012)。 國 小 教 師 參 與 網 路 數 學 教 學 案 例 討 論 之 互 動 研 究 。 發 表 於 廣 西師 範 大 學 舉 辦 , 第 十 四 屆 全 國 數 學 教 育 研 究 會 暨 2012 國 際 研 討 會 。 廣 西 省 桂 林 :桂 林 。【2012.06.29-2012.07.03】(2) Chen, Y. T. (2012). A Study of Mathematics Teachers’ Interactive Patterns on theAsynchronous Discussion Net Environment. Proceeding of PME 36 Annual Meeting.Taipei, Taiwan.【2012.07.18-2012.07.22】(3) 陳 彥 廷 (2012)。 國 小 教 師 數 學 教 學 知 識 (PCK) 知 覺 量 表 之 建 構 。 發 表 於 中 國 測 驗學 會 舉 辦 ,2012 年 中 國 測 驗 學 會 年 會 暨 心 理 與 教 育 測 驗 學 術 研 討 會 。 臺 北 市 :國 立 臺 灣 師 範 大 學 。【2012.10.27】328
謝 闓 如 國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究謝 闓 如國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系中 文 摘 要本 研 究 採 內 容 分 析 研 究 法 , 量 化 分 析 三 種 版 本 ( 南 一 版 、 康 軒 版 和 翰 林 版 ) 的 國 小 數 學 教 科 書中 針 對 代 數 思 考 之 教 學 設 計 安 排 , 探 索 各 版 本 中 代 數 概 念 安 排 之 範 例 、 執 行 方 式 和 引 導 歸 納 模 式 。主 要 探 索 概 念 為 九 年 一 貫 能 力 指 標 中 之 代 數 基 本 能 力 , 主 要 為 加 法 和 乘 法 交 換 律 、 結 合 律 、 乘 法 對加 法 的 分 配 律 、 加 減 互 逆 、 乘 除 互 逆 、 等 量 公 理 , 較 複 雜 的 數 量 關 係 和 面 積 公 式 簡 記 。 研 究 結 果 顯示 三 個 版 本 約 使 用 1.57 個 例 題 , 即 將 特 例 的 結 果 推 論 至 通 則 , 南 一 版 和 康 軒 版 教 科 書 使 用 單 一 例 子的 情 形 較 翰 林 版 為 多 , 三 個 版 本 的 例 題 個 數 有 顯 著 的 不 同 。 另 外 在 教 學 活 動 設 計 上 , 三 個 版 本 多 以知 識 直 接 傳 遞 的 方 式 ( 圖 示 、 告 知 想 法 或 直 接 宣 告 算 法 ), 僅 有 約 三 成 五 的 活 動 設 計 讓 學 生 進 行 觀察 統 整 。 歸 納 為 數 學 學 習 的 一 個 重 要 的 能 力 , 建 議 教 師 在 進 行 算 則 或 公 式 歸 納 之 前 , 除 了 教 科 書 例題 外 , 能 提 供 學 生 更 多 的 例 題 , 增 加 學 生 經 驗 , 並 提 供 學 生 更 多 討 論 歸 納 的 機 會 。關 鍵 詞 : 國 小 代 數 、 教 科 書 、 教 學 活 動 、 數 學 教 材前 言研 究 指 出 教 科 書 ( 含 課 本 、 習 作 、 教 師 手 冊 或 教 學 指 引 ) 通 常 是 數 學 教 學 活 動 的 主 要 ( 或 唯 一 )依 據 , 教 科 書 的 內 容 幾 乎 是 教 師 教 學 與 學 生 學 習 的 全 部 (Kajander & Lovric, 2009; 洪 若 烈 ,2003),對 學 生 的 概 念 理 解 有 舉 足 輕 重 的 影 響 。 若 教 師 對 於 數 學 課 程 , 或 引 導 學 童 由 具 體 操 作 活 動 進 入 抽 象思 考 的 知 識 不 足 , 過 於 依 賴 課 本 的 情 形 下 , 恐 無 法 有 效 培 養 學 生 代 數 思 考 的 能 力 , 而 學 生 對 於 數 學的 理 解 可 能 也 僅 限 於 解 題 。 研 究 者 曾 多 次 聽 到 國 小 現 職 教 師 表 達 教 科 書 中 僅 利 用 單 一 範 例 引 導 出 結論 的 編 排 方 式 , 對 於 學 童 學 習 代 數 概 念 或 了 解 幾 何 公 式 並 無 太 大 的 幫 助 , 且 僅 用 單 一 範 例 得 到 結 論的 方 式 對 學 生 未 來 歸 納 能 力 恐 有 負 面 影 響 , 故 分 析 教 科 書 由 特 例 至 通 則 的 過 程 有 其 必 要 性 。研 究 目 的本 研 究 探 討 國 小 三 個 版 本 ( 南 一 版 、 康 軒 版 及 翰 林 版 ) 數 學 教 科 書 中 針 對 代 數 思 考 之 教 學 設 計 安排 , 擬 採 內 容 分 析 法 (content analysis), 探 索 各 版 本 中 代 數 概 念 安 排 之 範 例 、 執 行 方 式 和 引 導 歸 納模 式 。 主 要 探 索 概 念 為 九 年 一 貫 能 力 指 標 中 之 代 數 基 本 能 力 , 主 要 為 加 法 和 乘 法 交 換 律 、 結 合 律 、乘 法 對 加 法 的 分 配 律 、 加 減 互 逆 、 乘 除 互 逆 、 等 量 公 理 , 較 複 雜 的 數 量 關 係 和 面 積 公 式 簡 記 。 本 研究 的 主 要 目 的 有 二 :1. 統 計 教 科 書 內 容 於 算 則 或 公 式 歸 納 前 , 所 呈 現 的 範 例 個 數 。2. 分 析 教 科 書 內 容 中 , 於 算 則 或 公 式 歸 納 前 , 所 使 用 之 教 學 活 動 類 型 。文 獻 探 討任 何 模 式 的 一 般 化 僅 在 初 始 給 定 之 情 境 結 構 脈 絡 下 成 立 , 模 式 的 推 展 和 由 已 知 條 件 外 展 的 步 驟(adductive step) 息 息 相 關 。 歸 納 是 用 來 驗 證 已 知 和 擴 展 階 段 的 相 關 外 展 (abduction) 結 果 。 數 學 家和 科 學 家 常 用 此 種 模 式 一 般 化 過 程 , 例 如 , 當 數 學 家 建 立 某 個 特 定 現 象 的 模 型 時 , 一 開 始 會 根 據 他329
謝 闓 如 國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究們 對 此 現 象 的 了 解 建 立 假 設 ( 即 外 展 活 動 ), 然 後 重 複 測 試 ( 歸 納 ) 和 證 明 (Rivera & Becker, 2009)。歸 納 能 力 在 數 學 的 一 般 化 及 抽 象 畫 的 過 程 中 , 扮 演 著 重 要 的 角 色 (Kaput, 1999; Mason, 1996;Rivera & Becker, 2005), 而 國 小 代 數 的 學 習 重 點 應 著 重 於 代 數 思 考 , 即 由 特 例 轉 換 成 通 則 的 過 程 。Carraher、 Schliemann、Brizuela 和 Earnest(2006) 指 出 代 數 是 廣 義 的 數 與 量 算 術 , 其 中 函 數 概 念扮 演 重 要 角 色 , 國 小 代 數 教 學 介 紹 則 是 擺 脫 特 定 數 或 測 量 , 進 入 數 或 測 量 集 合 的 關 係 , 特 別 是 函 數關 係 。Soares、Blanton 和 Kaput(2006) 形 容 代 數 思 考 是 一 個 建 立 數 學 通 則 , 並 用 精 簡 的 方 式 表 達數 學 關 係 的 過 程 。Manly 和 Ginsburg(2010) 則 認 為 代 數 思 考 包 含 : 找 尋 問 題 結 構 ( 如 模 式 和 規 律 )來 了 解 問 題 情 境 , 利 用 符 號 取 代 具 體 數 字 來 表 示 變 量 , 利 用 錶 、 圖 、 方 程 式 、 邏 輯 推 理 來 處 理 或 解決 新 的 問 題 。 國 小 代 數 課 程 應 著 重 在 學 生 於 活 動 進 行 中 的 代 數 思 考 , 而 非 活 動 本 身 包 含 的 代 數 概 念(Vennebush, Marquez, & Larsen, 2005; Yackel, 1997)。 MacGregor(2004) 認 為 代 數 課 程 帶 給 學 生 推理 的 另 一 個 面 向 , 特 別 是 學 科 的 推 論 , 思 維 組 織 和 演 繹 推 理 。 代 數 提 供 了 有 效 的 問 題 解 決 方 法 , 而在 日 常 生 活 和 工 作 中 有 其 潛 在 價 值 。 一 個 精 心 設 計 的 代 數 課 程 重 點 在 於 強 化 學 生 的 算 術 問 題 的 解 題方 法 , 但 同 時 亦 提 供 學 生 加 強 代 數 思 考 的 機 會 。教 科 書 在 學 校 課 程 教 學 與 學 習 上 , 扮 演 重 要 的 角 色 ,Ball 和 Cohen(1996) 形 容 教 科 書 是 教 師和 學 生 執 行 的 課 程 和 單 元 材 料 , 學 生 學 習 教 科 書 內 的 概 念 和 完 成 作 業 , 教 師 則 利 用 教 科 書 備 課 ; 數學 教 科 書 在 學 校 數 學 課 程 的 教 學 內 容 、 教 材 呈 現 、 教 學 對 象 、 教 學 時 間 和 教 學 順 序 等 方 面 均 扮 演 重要 的 角 色 。 即 使 部 分 教 師 自 行 安 排 教 學 活 動 , 但 這 些 教 學 活 動 所 包 含 的 數 學 概 念 通 常 仍 是 侷 限 於 教科 書 中 提 及 的 內 容 (Reys & Bay-Williams, 2003)。 在 找 尋 某 個 公 式 或 定 理 時 , 教 科 書 也 是 資 料 來 源之 ㄧ。 教 科 書 中 可 能 呈 現 重 要 的 數 學 概 念 , 但 卻 不 一 定 提 供 學 生 建 立 不 同 概 念 間 連 結 的 機 會 (Reys &Bay-Williams, 2003)。 然 而 , 教 科 書 提 供 我 們 關 於 教 學 的 想 法 時 , 我 們 卻 很 少 考 慮 要 研 讀 分 析 教 科 書 ;故 教 科 書 是 學 校 數 學 經 驗 的 脊 柱 , 有 時 卻 也 是 致 命 的 弱 點 。數 學 教 科 書 毫 無 疑 問 的 是 左 右 學 生 是 否 有 機 會 學 習 某 概 念 的 一 個 強 力 變 因 , 是 學 生 將 會 經 驗 何種 數 學 , 以 及 數 學 內 容 的 教 學 順 序 的 一 個 指 南 ; 是 教 學 活 動 設 計 , 引 領 學 生 進 行 數 學 探 索 , 及 評 鑑學 生 學 習 成 效 的 資 料 來 源 ; 透 過 數 學 教 科 書 以 及 以 教 科 書 為 依 據 的 數 學 作 業 , 學 生 和 家 長 則 會 明 白感 受 數 學 的 本 質 以 及 何 謂 了 解 數 學 (Tarr, Reys, Barker, & Billstein, 2006)。Tarr、Chavez、Reys 和 Reys(2006) 調 查 39 位 七 、 八 年 級 數 學 科 教 師 教 科 書 使 用 的 方 式 與 理 由 。其 中 有 一 半 的 數 學 老 師 表 示 在 決 定 教 學 內 容 與 順 序 時 , 教 科 書 有 著 決 定 性 的 影 響 ; 另 一 半 的 教 師 則表 示 州 或 學 區 的 課 程 綱 要 和 指 定 考 試 會 決 定 教 學 內 容 。 教 科 書 若 與 課 程 綱 要 和 指 定 考 試 密 切 配 合 ,教 師 則 視 教 科 書 為 課 程 內 容 與 教 學 安 排 的 規 準 。 由 於 我 國 的 各 版 本 的 數 學 教 科 書 均 是 根 據 九 年 一 貫課 程 綱 要 撰 寫 , 且 指 定 考 試 亦 與 課 程 綱 要 為 依 規 , 因 此 教 師 在 教 學 內 容 與 順 序 安 排 更 是 以 教 科 書 為準 則 。Kieran(2004) 指 出 教 科 書 中 的 代 數 活 動 可 以 分 成 三 類 , 第 一 類 是 生 成 活 動 (generationalactivity), 如 利 用 未 知 數 表 示 問 題 情 境 , 找 出 圖 形 序 列 或 數 字 序 列 的 一 般 式 , 或 數 字 關 係 的 規 則 。 第二 類 是 轉 換 活 動 (transformational activity), 如 合 併 同 類 項 、 因 式 分 解 、 展 開 多 項 式 、 代 入 、 多 項 式的 四 則 運 算 及 指 數 次 方 、 解 方 程 式 等 。 第 三 類 為 整 體 / 後 設 層 次 活 動 (global/meta-level activity), 此類 活 動 將 代 數 視 為 工 具 , 如 解 決 問 題 , 建 模 , 注 意 結 構 , 研 究 變 化 , 歸 納 , 分 析 關 係 , 解 釋 , 證 明和 預 測 。Kieran 認 為 傳 統 代 數 課 程 的 多 著 重 轉 換 活 動 , 著 重 規 則 運 用 或 符 號 操 作 , 有 時 導 致 代 數 概念 理 解 與 運 算 或 符 號 操 作 技 巧 與 之 分 離 。我 國 目 前 學 校 可 以 選 擇 不 同 的 教 科 書 版 本 , 然 而 各 版 本 教 科 書 編 排 提 供 學 生 的 學 習 代 數 思 考 的機 會 、 範 例 數 量 、 教 學 活 動 、 由 特 例 至 通 則 的 思 考 過 程 引 導 不 盡 相 同 , 探 究 教 科 書 使 用 的 範 例 個 數及 教 學 方 式 可 提 供 另 一 個 檢 視 教 師 教 學 活 動 規 劃 的 方 向 。330
謝 闓 如 國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究研 究 方 法本 研 究 為 探 索 性 研 究 , 採 內 容 分 析 研 究 法 , 計 算 公 式 或 算 則 出 現 前 , 教 科 書 出 現 之 範 例 數 量 ,並 探 討 教 科 書 中 教 學 活 動 之 呈 現 方 式 並 將 之 量 化 。 研 究 對 象 為 100 學 年 度 上 、 下 學 期 之 國 小 一 至 六年 級 南 一 版 ( 南 一 書 局 ,2011)、 康 軒 版 ( 康 軒 文 化 事 業 ,2011)、 及 翰 林 版 ( 翰 林 出 版 事 業 ,2011)教 科 書 , 共 計 36 冊 。研 究 者 逐 題 分 析 課 本 布 題 , 第 一 階 段 研 究 者 逐 題 分 析 每 個 例 題 的 教 學 重 點 , 標 記 與 本 研 究 相 關之 概 念 , 並 記 錄 分 析 教 科 書 例 題 呈 現 方 式 ; 第 二 階 段 則 分 析 統 整 例 題 呈 現 方 式 , 作 為 本 研 究 編 碼 。研 究 使 用 之 編 碼 表 如 表 一 , 並 根 據 此 邊 碼 表 進 行 教 學 方 式 分 類 。 為 確 保 例 題 呈 現 方 式 分 類 的 正 確 性 ,研 究 者 與 二 名 研 究 助 理 於 分 別 針 對 所 域 分 析 的 例 題 進 行 二 次 教 學 活 動 分 類 , 若 有 疑 義 , 則 進 行 討 論至 獲 得 共 識 ; 第 三 階 段 則 進 行 統 計 分 析 。表 一 研 究 編 碼 表告 知 想 法編 碼 說 明 範 例布 題 後 利 用 圖 示 , 通 常 為 某 個 學 生 ( 或 數個 學 生 ) 在 對 話 框 中 直 接 說 出 該 生 解 題 的想 法 或 做 法 。宣 告課 本 直 接 呈 現 公 式 , 以 公 式 解 題圖 示課 本 直 接 圖 示 解 法觀 察 活 動 結 果利 用 一 系 列 的 活 動 , 請 學 生 觀 察 活 動 結果 , 並 說 明 個 人 的 發 現 。331
謝 闓 如 國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究觀 察 計 算 結 果課 本 呈 現 計 算 結 果 , 請 學 生 觀 察 後 , 說 明個 人 的 發 現 。觀 察 圖 示課 本 提 供 圖 示 , 請 學 生 觀 察 圖 示 後 , 說 明個 人 的 發 現 。結 果 與 討 論一 、 教 科 書 於 算 則 或 公 式 歸 納 前 所 呈 現 的 範 例 個 數研 究 結 果 發 現 南 一 版 、 康 軒 版 和 翰 林 版 在 算 則 或 公 式 歸 納 前 所 呈 現 的 例 題 個 數 帄 均 分 別 為1.43、1.54 和 1.76 個 , 全 體 帄 均 為 1.57 個 , 例 題 個 數 的 卡 方 檢 定 有 顯 著 差 異 ( 2 = 14.16,df = 6,p= 0.028, 如 表 二 ), 顯 示 不 同 版 本 間 所 呈 現 的 例 題 數 量 分 布 比 例 有 差 異 。 南 一 版 和 康 軒 版 大 多 僅 利 用一 則 例 題 教 學 後 , 便 出 現 算 則 或 公 式 , 其 中 南 一 版 58 個 教 學 活 動 中 ,42 個 活 動 僅 使 用 一 則 例 題 教學 (72.4%); 康 軒 版 61 個 活 動 中 , 僅 使 用 一 則 例 題 的 活 動 亦 為 42 個 (68.9%); 而 翰 林 版 全 部 55個 教 學 活 動 中 , 僅 26 個 活 動 使 用 一 則 例 題 , 占 全 體 的 47.3%, 另 有 22 個 活 動 有 2 則 例 題 (40.0%)。若 針 對 三 個 版 本 中 出 現 4 則 例 題 的 課 程 內 容 進 行 分 析 , 南 一 版 和 康 軒 版 的 教 學 活 動 均 為 幾 何 概念 , 南 一 版 教 學 內 容 分 別 為 (1) 圓 周 率 、(2) 角 柱 的 底 面 邊 數 、 側 面 個 數 、 邊 的 個 數 、 頂 點 個 數間 的 關 係 、(3) 角 錐 的 底 面 邊 數 、 側 面 個 數 、 邊 的 個 數 、 頂 點 個 數 的 關 係 , 及 (4) 柱 體 體 積 公 式統 整 。 康 軒 版 較 南 一 版 增 加 帄 行 四 邊 形 裁 減 拼 貼 成 長 方 形 單 元 。 翰 林 版 共 有 6 個 教 學 活 動 使 用 4 個例 題 , 其 中 僅 有 2 則 為 幾 何 概 念 ( 角 柱 、 角 錐 的 底 面 邊 數 、 側 面 個 數 、 邊 的 個 數 、 頂 點 個 數 間 的 關係 ), 其 餘 為 乘 除 互 逆 、 整 數 乘 以 真 分 數 、 真 分 數 乘 以 真 分 數 、 以 及 同 分 母 分 數 相 除 等 概 念 。表 二 各 版 本 教 學 活 動 例 題 數 之 卡 方 分 配版 本 總 計個 數 ( 版 本 內 %)1 例 2 例 3 例 4 例M SD 2 p南 一 058 042 (72.4) 11 (19.0) 1 (1.7) 04 (06.9) 1.43 .840 14.16 0.028康 軒 061 042 (68.9) 10 (16.4) 4 (6.6) 05 (08.2) 1.54 .941翰 林 055 026 (47.3) 22 (40.0) 1 (1.8) 06 (10.9) 1.76 .942總 計 174 110 (63.2) 43 (24.7) 6 (3.4) 15 (08.6) 1.57 .914332
謝 闓 如 國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究二 、 算 則 或 公 式 歸 納 前 , 所 使 用 之 教 學 活 動 類 型 。本 研 究 除 統 計 例 題 使 用 個 數 外 , 亦 分 析 三 個 版 本 教 科 書 教 學 活 動 進 行 的 方 式 , 結 果 顯 示 三 個 版本 的 教 學 活 動 間 並 無 顯 著 差 異 ( 2 = 16.77,df = 10,p = 0.080, 如 表 三 )。 然 而 近 一 步 觀 察 各 版 本教 學 活 動 , 發 現 南 一 版 58 個 教 學 活 動 中 有 38 個 活 動 (65.5%) 是 利 用 圖 示 或 告 知 想 法 , 為 三 個 版 本 中最 高 比 例 者 。 康 軒 版 利 用 圖 示 與 告 知 想 法 的 比 例 居 中 ,61 個 活 動 中 則 有 34 個 活 動 (55.8%)。 乍 看 之下 似 乎 , 翰 林 版 在 圖 示 或 告 知 想 法 二 類 教 學 活 動 較 其 他 二 版 本 為 少 ,55 個 活 動 中 僅 有 21 個 ( 38.2%),但 翰 林 版 有 9 個 (16.4%) 直 接 宣 告 算 法 的 教 學 活 動 , 因 此 翰 林 版 直 接 告 知 學 生 做 法 的 活 動 佔 全 部 活動 的 54.6%, 故 此 三 個 版 本 直 接 提 供 學 生 答 案 或 解 法 的 活 動 比 例 並 無 太 大 差 異 。 無 論 是 圖 示 、 告 知 想法 、 或 直 接 告 知 算 則 , 學 生 均 僅 被 動 的 接 受 資 訊 , 無 法 讓 學 生 針 對 所 介 紹 的 數 學 概 念 進 行 較 深 入 思考 , 此 類 教 學 法 是 否 有 助 於 學 生 由 特 例 推 論 至 通 則 的 過 程 , 有 待 後 續 研 究 。表 三版 本 總 和 圖 示告 知 觀 察 觀 察 觀 察想 法 計 算 式 圖 示 活 動 結 果宣 告 2 p南 一 058 21 (36.2) 17 (29.3) 11 (19.0) 04 (6.9) 04 (6.9) 01 (01.7) 16.77 0.080康 軒 061 20 (32.8) 14 (23.0) 14 (23.0) 06 (9.8) 05 (8.2) 02 (03.3)翰 林 055 10 (18.2) 11 (20.0) 16 (29.1) 05 (9.1) 04 (7.3) 09 (16.4)總 和 174 51 (29.3) 42 (24.1) 41 (23.6) 15 (8.6) 13 (7.5) 12 (06.9)歸 納 為 數 學 學 習 的 一 個 重 要 的 能 力 , 而 建 立 學 生 歸 納 能 力 的 活 動 應 包 含 觀 察 蒐 集 事 實 、 分 析 現象 找 尋 規 律 、 推 論 事 實 間 的 關 係 , 及 測 試 推 斷 歸 納 的 結 論 (Changing Minds. 2012)。 本 研 究 結 果 顯 示三 個 版 本 約 使 用 1.57 個 例 題 , 即 將 特 例 的 結 果 推 論 至 通 則 , 南 一 版 和 康 軒 版 教 科 書 使 用 單 一 例 子 的情 形 較 翰 林 版 為 多 , 三 個 版 本 的 例 題 個 數 有 顯 著 的 不 同 。 另 外 在 教 學 活 動 設 計 上 , 三 個 版 本 多 以 知識 直 接 傳 遞 的 方 式 , 較 少 讓 學 生 進 行 觀 察 統 整 。 建 議 教 師 在 進 行 算 則 或 公 式 歸 納 之 前 , 除 了 教 科 書例 題 外 , 能 提 供 學 生 更 多 的 例 題 , 增 加 學 生 經 驗 , 並 提 供 學 生 更 多 討 論 歸 納 的 機 會 。 由 於 本 研 究 僅分 別 針 對 各 年 級 教 科 書 內 容 進 行 分 析 , 未 來 研 究 將 針 對 年 級 或 單 元 間 概 念 教 學 活 動 設 計 的 連 結 性 加以 分 析 , 希 望 能 對 教 科 書 在 代 數 課 程 安 排 方 式 有 更 全 面 的 了 解 。參 考 文 獻南 一 書 局 ( 編 )(2011)。 國 民 小 學 數 學 課 本 ( 第 一 ~ 十 二 冊 )。 台 南 市 : 作 者 。洪 若 烈 (2003)。 國 小 教 師 之 教 科 書 使 用 方 式 及 其 影 響 因 素 之 探 討 。 國 教 學 報 ,15,175-192。康 軒 文 化 事 業 ( 編 )(2011)。 國 民 小 學 數 學 課 本 ( 第 一 ~ 十 二 冊 )。 新 北 市 : 作 者 。翰 林 出 版 事 業 ( 編 )(2011)。 國 民 小 學 數 學 課 本 ( 第 一 ~ 十 二 冊 )。 台 南 市 : 作 者 。Ball, D. L., & Cohen, D. K. (1996). Reform by the Book: What Is--Or Might Be--the Role of CurriculumMaterials in Teacher Learning and Instructional Reform? Educational Researcher, 25(9), 6-8,14.Carraher, D. W., Schliemann, A. D., Brizuela, B. M., & Earnest, D. (2006). Arithmetic and algebra in earlymathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 37, 87-115.Changing Minds. (2012). Inductive reasoning. Retrieved October 21, 2012, fromhttp://changingminds.org/disciplines/argument/types_reasoning/induction.htmKaput, J. (1999). Teaching and learning a new algebra. In E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Mathematicsclassrooms that promote understanding (pp. 133-55). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.333
謝 闓 如 國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究Kajander, A., & Lovric, M. (2009). Mathematics textbooks and their potential role in supportingmisconceptions. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 40,173-181.Kieran, C. (2004). The core of algebra: Reflections on its main activities. In K. Stacey, H. Chick & M.Kendal (Eds.), The future of the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI study (Vol. 8, pp.21-33). Norwell, MA: Kluwer Academic Publishers.Manly, M., & Ginsburg, L. (2010). Algebraic thinking in adult education. Washington, DC: NationalInstitute for Literacy.Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. In N. Bednarz, C. Kieran, & L. Lee (Eds.),Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 65-86). Dordrecht, Netherlands:Kluwer Academic Publishers.Reys, B. J., & Bay-Williams, J. M. (2003). The Role of Textbooks in Implementing the CurriculumPrinciple and the Learning Principle. Mathematics Teaching in the Middle School, 9, 120-125.Rivera, F. D., & Becker, J. R. (2005). Figural and Numerical Modes of Generalizing in Algebra.Mathematics Teaching in the Middle School, 11, 198-203.Rivera, F. D., & Becker, J. R. (2009). Algebraic Reasoning through Patterns. Mathematics Teaching in theMiddle School, 15, 212-221.Soares, J., Blanton, M. L., & Kaput, J. J. (2006). Thinking algebraically across the elementary schoolcurriculum. Teaching Children Mathematics, 12, 228-235.Tarr, J. E., Chavez, O., Reys, R. E., & Reys, B. J. (2006). From the written to the enacted curricula: Theintermediary role of middle school mathematics teachers in shaping students’ opportunity to Learn.School Science and Mathematics, 106, 191.Tarr, J. E., Reys, B. J., Barker, D. D., & Billstein, R. (2006). Selecting high-quality mathematics textbooks.Mathematics Teaching in the Middle School, 12, 50-54.Vennebush, G. P., Marquez, E., & Larsen, J. (2005). Embedding algebraic thinking throughout themathematics curriculum. Mathematics Teaching in the Middle School, 11, 86-93.Yackel, E. (1997). A foundation for algebraic reasoning in the early grades. Teaching Children Mathematics,3, 276-280.334
謝 闓 如 國 小 數 學 教 科 書 之 代 數 概 念 與 代 數 思 考 分 析 研 究Kai-ju HsiehNational Taichung University of EducationDepartment of Mathematics EducationThe purposes of this study were to explore the number of teaching activities used before introductionof algorithms and/or formulas in three series of elementary mathematics textbooks. Content analysis andChi-square tests was used in this study. The focus of this study was on how pre-algebra concepts, such ascommutative law, associative law, distributive law, inverse operations, axiom of equality, and area formulas,were arranged in these three series of textbooks. The results indicated that on average, 1.57 exampleswere used before algorithms and/or formulas appeared. Among these three publishers, the number ofexamples from Han Lin publishing is greater than those from both Nan I Book Enterprise and Kang HsuanEducational Publishing. In addition, teaching/learning activities from all three textbook series weremostly passing on knowledge directly. Only one third of activities asked students to conclude theirfindings. Teachers might introduce more examples before bring in mathematics algorithms and/orformulas, in order to increase students’ abilities in inductive reasoning.Keywords: pre-algebra, textbook, teaching activity, mathematics teaching materials335
筆 記 欄---------------------------------------------------國 科 會 科 教 處 數 學 教 育 學 門 學 門 資 訊 網http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc_mathedu/index.php336
與 國 科 會 人 文 處 教 育 學 門 合 辦主 題 演 講 與 討 論 會
與 國 科 會 人 文 處 教 育 學 門 合 辦 主 題 演 講 與 討 論 會 議 程時 間 :101 年 12 月 2 日 (9:55-12:00)地 點 : 國 立 台 灣 大 學 天 文 數 學 館 1F 國 際 會 議 廳時 間活 動 內 容09:55~10:05 主 持 人 : 林 福 來 教 授 ( 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 )引 言 題 目 : 數 學 素 養10:05~10:50 主 題 演 講 1主 講 :Prof. Dr. Kristina Reiss (TUM School of Education)講 題 :Developing mathematical competence10:50~11:35 主 題 演 講 2主 講 : 陳 淑 麗 教 授 ( 國 立 台 東 大 學 永 齡 台 東 教 學 研 發 中 心 )曾 世 杰 教 授 ( 國 立 台 東 大 學 副 校 長 )講 題 : 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究Evidence-based Remedial Chinese Reading Instruction11:35~12:00 綜 合 討 論
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究台 東 大 學 : 陳 淑 麗 / 曾 世 杰感 謝 :永 齡 慈 善 教 育 基 金 會 、 國 科 會 & 台 東 大 學語 文 補 救 教 學 : 我 們 在 台 東 的 努 力感 謝• 永 齡 台 東 教 學 研 發 中 心團 隊• 永 齡 希 望 小 學 總 校• 台 東 大 學 曾 世 杰 教 授• 師 大 洪 儷 瑜 教 授The most beautiful yet themost disadvantaged area inTaiwan.Aboriginal people represent2% of the Taiwan population,however, 35% of Taitung.The lowest score in NationalBasic Competence Test for the9th Graders (Tzeng, et al.,2008).弱 勢 地 區 學 生 的 讀 寫 問 題 很 嚴 重‐‐ 以 花 東 學 生 識 字 量 為 例一 個 台 灣 , 兩 個 世 界 ?最 重 要 的 事 : 讓 窮 孩 子 讀 書問 題 有 多 嚴 重 呢 ?一 、 嚴 重 落 後 : 平 均 落 後 全 國 常 模 約 1.5 個 年 級 ( 台 東 弱 勢學 校 )• 小 六 最 後 16% 學 生 的 識 字 量 < 全 國 小 二 的 平 均• 國 三 最 後 16% 學 生 的 識 字 量 < 全 國 小 三 的 平 均二 、 差 距 越 來 越 大• 小 一 開 始 , 就 落 後 全 國 常 模• 不 會 讀 書 的 事 , 不 會 長 大 就 好• 小 四 後 , 差 距 越 來 越 大 。 ( 陳 淑 麗 、 洪 儷 瑜 ,2011)337
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究教 育 不 足 可 能 帶 來 的 負 面 後 果1. 國 民 所 得 減 少2. 稅 收 減 少3. 社 會 福 利 支 出 增 加4. 犯 罪 增 加5. 健 康 較 差6. 政 治 參 與 減 少7. 社 會 階 層 間 的 流 動 減 緩早 期 介 入 是 解 決 問 題 的 辦 法大 家 都 想 幫 忙 !!教 育 部 & 公 益 組 織• 這 幾 年 , 教 育 部 每 年 至 少 花 7 億 做 課 後 輔 導• 教 育 優 先 區• 攜 手 計 畫• 課 後 照 顧 服 務• 公 益 組 織 + 政 府 部 門 , 每 年 大 約 花 20 億 ( 遠 見 雜 誌 )怎 麼 辦 呢 ?(Levin, 1972)以 台 東 縣 為 例 :台 東 有 豐 富 的 課 輔 資 源但 是 成 效 並 不 清 楚 …人 均 補 助 最 高 具 體 成 效 ?1. 因 為 大 家 沒 有 把 補 救 教 學 看 成 是 一 個 專 業 。原 :2. 多 數 的 老 師 , 課 輔 以 作 業 指 導 為 主 , 缺 少 系統 的 沒 教 有 學 配 。 套 的 補 救 教 材 ?3. 但 補 師 救 資 低 訓 成 練 就 學 不 生 夠 ,?是 一 個 很 專 業 的 工 作 ,從 篩 沒 選 有 、 成 教 效 材 教 評 學 估 設 ? 計 、 執 行 補 救 教 學 到 成效 評 估 , 每 一 個 地 方 都 涉 及 專 業 的 考 慮 。910永 齡 也 看 到 了 這 個 問 題 …2007 年 , 永 齡 希 望 小 學 成 立投 入 弱 勢 教 育2007 年 4 月 永 齡 希 望 小 學 成 立同 年 , 在 台 東 大 學 設 置 了 永 齡 台東 教 學 研 發 中 心服 務 全 國 18 個 希 望 小 學 分 校( 還 另 有 數 學 與 英 文 研 發 中 心 )338
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究I. 我 們 的 研 究 問 題 :如 何 介 入 / 預 防 偏 遠 弱 勢 兒 童 的 閱讀 困 難證 據 本 位 的 中 文 補 救 教 學 可 以解 決 問 題 嗎 ?我 們 相 信 …科 學 研 究 + 政 策 + 現 場可 以 造 成 改 變我 們 需 要 有 證 據 本 位 (evidence-based) 的 有效 介 入 方 案• 但 , 什 麼 是 證 據 本 位 ?• 怎 樣 才 會 有 效 ?有 效 的 教 學 原 則II. 有 效 的 教 學 原 則早 期 介 入明 示 教 學長 時 密 集 式補 救 教 學結 構 化 的教 學考 慮作 業 難 度看 重 教 學流 暢 度教 導 策 略新 材 料 與 先備 經 驗 連 結評 量 與 績 效339
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究哪 個 年 級 補 救 最 有 效 益 ?小 一 ~ 小 三 小 四 ~ 小 六 國 一 ~ 國 三一 、 早 期 介 入• 避 免 馬 太 效 應 :貧 者 愈 貧 , 富 者 愈 富 (Stanovich , 1986)。• 越 早 開 始 效 果 越 好 :二 、 三 年 級 提 供 補 救 教 學 達 到 普 通 班 水 準 的 機 會分 別 是 82% 和 46%, 但 到 了 5-7 年 級 , 只 有 10-15%的 機 會 。• 降 低 成 本 :社 會 成 本 : 早 期 1 美 元 的 投 入 , 未 來 可 以 節 省 7 美 元(Berk, 1996)有 效 的 教 學 原 則國 語 補 救 課 程 , 每 週 上 六 節 , 哪 一 個 排 法 比 較好 ?新 材 料 與 先備 經 驗 聯 結四國 語國 語五國 語國 語國 語國 語二 、 長 時 密 集 式 的 補 救 教 學有 效 教 學 原 則‧ 要 多 密 集 ?一 個 禮 拜 最 好 三 次 以 上 。‧ 介 入 要 多 久 ?預 防 閱 讀 失 敗 和 幫 助 低 成 就 學 生 ,一 年 以 上 到 兩 年 , 是 必 要 的 。Foorman & Torgesen (2000); Gunn, Biglan, Smolkowski, & Ary(2004); Torgesen (2001); Vaughn, Gersten, & Chard (2000)新 材 料 與 先備 經 驗 聯 結340
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究在 教 學 時 , 一 篇 文 章 , 不 會 的 字 詞 比 例 是 多少 比 較 好 ?我 們 設 計 不 同 難 度 的 學 習 單讓 每 個 學 生 有 成 功 的 機 會A(A)5%~10%(C)15%~20%(B)10%~15%(D)20%~25%BMcComic (1995)C有 效 的 教 學 原 則什 麼 叫 明 示 的 教 學 ?ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ ㄉ ㄊ ㄋㄚ ㄚ ㄚ ㄚ• 不 斷 置 換 ㄚ 的 位 置 , 是 明 示 教 學 嗎 ?• 不 是 ! 這 只 是 要 兒 童 展 現 學 習 的 成 果 而 已新 材 料 與 先備 經 驗 聯 結這 是 明 示 教 學 嗎 ?• I hop, hop, hop, to the shop, shop, shop.• I hop to the shop to get a pop, pop, pop.• I hop, hop, hop, I don’t stop.• 不 教 , 強 調 一 定 要 讓 學 生 自 己 去 發 現 規 則 , 這 也不 是 明 示 教 學明 示 的 教 學 是 …在 細 緻 的 工 作 分 析 後 , 視 需 要 提 供 鷹 架 與 褪 除 鷹 架• 示 範 : 我 做 ( 說 ) 給 你 看• 合 作 : 我 和 你 一 起 做 ( 說 )• 提 示 多 : 我 幫 著 你 做 ( 說 )• 提 示 少 : 你 做 ( 說 ) 給 我 看• 完 全 自 主 : 你 自 己 做 ( 說 )341
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究把 文 章 的 結 構 明 示 出 來研 究 : 明 示 的 教 學 成 效 最 好 (PASP 方 案 )常 常 考 試 好 嗎 ?好不 好新 材 料 與 先備 經 驗 聯 結評 量 的 目 的 是 什 麼 ?形 成 性 評 量 的 成 效• 研 究 者 用 了 21 個 研 究 , 蒐 集 了 96 個 效 果 值 ,• 後 設 分 析 指 出 , 形 成 性 評 量 的 效 果 值 達 0.7,• 遠 超 過 認 知 風 格 及 自 我 概 念 的 教 學 。美 國 NCLB 法 案 :要 求 全 國 三 到 八 年 級 學 生 每 年 接 受 各 州政 府 辦 理 的 閱 讀 和 數 學 評 量 , 目 的 是 使 「 閱讀 」 與 「 數 學 」 達 到 精 熟 程 度 。Fuchs & Fuchs(1986)342
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究評 量 與 績 效 用 在 哪 些 地 方 ?• 設 定 可 達 成 的 目 標• 進 展 監 控我 們 的 方 案 強 調 讓 孩 子 可 以 知 道 自 己 的 進 展• 例 如 : 閱 讀 火 箭 筒短 短 一 個 月 , 多 數 的孩 子 都 讀 了 一 萬 字 以 上• 評 估 有 效 性• 證 據 本 位 的 教 學 決 攝Fuch & Fuch (1986)III. 講 一 點 點研 究 設 計怎 麼 知 道 介 入 的 成 效 ?學 習 成 果 是 可 以 直 接 衡 量 的不 好 的 例 子 :• 成 績 單 上 的 等 第• 過 程 中 的 札 記以 實 驗 設 計 探 討 介 入 成 效非 實 驗 設 計• 個 案 研 究• 相 關 性 研 究• 發 展 性 描 述實 驗 設 計• 有 組 間 對 照 的 實 驗• 單 一 受 試 的 實 驗• 學 生 或 老 師 的 主 觀 意 見But, What Is An Experiment?343
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究理 想 的 設 計真 實 驗 設 計 & 準 實 驗 設 計• 有 實 驗 組 ; 有 對 照 組• 將 學 生 / 班 級 / 學 校 隨 機 分 派 到 組 別• 介 入 是 研 究 者 設 計 、 執 行 的真 實 驗 設 計隨 機 分 派有 對 照 組介 入 由 研 究 者 操 作 執 行• 真 實 驗 設 計 不 太 可 能 在 真實 世 界 實 施 , 尤 其 實 驗 的單 位 大 於 個 人 , 而 是 班 級或 學 校 時準 實 驗 設 計沒 有 隨 機 分 派有 對 照 組介 入 由 研 究 者 操 作 執 行• 以 班 級 或 學 校 為 實 驗 對 象時 , 通 常 採 用 準 實 驗 設 計The MAXMINCON 原 則• MAXimize intervention effect 教 學 效 果 極 大 化• MINimize the error 資 料 誤 差 極 小 化• CONtrol the extraneous variables 控 制 干 擾變 項有 效 的 教 學 原 則 :1. 早 期 介 入2. 長 時 密 集3. 明 示 的 教 學4. 系 統 結 構 的 教 學5. 看 重 教 學 流 暢 性6. 進 展 監 控7. 控 制 作 業 難 度8. 教 導 策 略好 的 設 計 課 程教 學學 生 學 習 成 果教 學 者 因 素• 教 學 者 受 過 培 訓 ?• 鎖 定 了 重 要 的 學 習 標 的 嗎 ?• 老 師 照 著 設 計 的 課 程 執 行 ?詳 細 教 案 、 教 學 支 持 、教 學 督 導學 校 因 素• 政 策 & 領 導 力• 學 校 氛 圍 與 文 化• 地 點• 班 級 / 學 校 大 小用 對 照 組建 立 夥 伴 關 係學 生 因 素• 社 經 地 位 、 社 區 文 化• 智 力 與 障 礙 條 件用 對 照 組人 數 很 重 要 : 以 補 救 教 學 為 例舉 例 , 2007 的 注 音 教 學 研 究• 每 一 組 >30 人• 檢 驗 某 年 級 補 救 教 學 成 效 ; 實 驗 、 控 制 組 都 要 30 人• 補 救 教 學 每 班 最 多 6 人• 至 少 要 用 同 年 級 10 個 普 通 班• 在 台 東 就 是 10 所 學 校 了實 驗 組• N=81• 從 10 個 學 校• 補 救 教 學 方 案 ;16 週 ; 共 64 小 時• 介 入 前 要 先 做 教 師 訓 練• 介 入 期 間 每 兩 週 提 供 一 次團 體 督 導控 制 組• N=69• 從 9 個 學 校• 接 受 政 府 提 供 的 課 業 輔 導服 務曾 世 杰 、 陳 淑 麗 (2007)344
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究成 效 : 實 驗 組 & 控 制 組要 求 這 麼 多 學 校 的 這 麼 多 老 師 做 以 下 的 事, 難 度 甚 高30原 始 分 數2526.3123.2227.7831.73實 驗 組對 照 組• 抽 籤 決 定 要 用 那 一 種 教 學 ?• 接 受 教 學 訓 練 課 程• 遵 照 研 究 者 的 教 案 執 行 教 學• 教 學 過 程 要 被 錄 影 、 督 導20前 測後 測• 以 經 常 性 的 測 驗 觀 察 兒 童 的 學 習 進 展• …可 能 對 研 究 者 做 這 些 要 求 嗎 ?…• 發 展 明 示 、 系 統 的 教 材• 作 師 資 培 訓• 監 控 老 師 的 教 學 品 質• 監 控 學 生 的 進 展介 入 多 久 ?一 學 期 / 一 年 / 兩 年 / 三 年• 收 集 測 驗 資 料• 在 同 一 時 間 , 我 們 可 能 還 有 很 重 的 大 學 教 學 負 荷 ?教 學 介 入 研 究 要 投 入 大 量 的 努力 和 資 源 , 才 可 能 進 行 , 在 學校 層 級 的 研 究 尤 然 。• 給 國 科 會 的 建 議 : 教 學 研 究 的 經 費 規 模 要 不 同於 其 他 研 究 , 這 是 為 什 麼 我 們 需 要 永 齡 的 支 持• 給 審 查 者 的 建 議 : 請 考 量 教 學 研 究 的 困 難IV. 台 東 的 讀 寫 補 救 教 學 研 究 :永 齡 教 學 研 發 中 心 的 努 力345
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究永 齡 台 東 教 學 研 發 中 心 : 努 力 的 方 向• 外 加 式 教 材• 南 一 調 整 教 材• 診 斷 評 量 測 驗• 篩 選 學 生• 安 排 課 表• 做 有 效 的 教 學• 評 估 成 效研 發 語 文補 救 教 材評 量 系 統補 救 教 學執 行 模 式補 救 師 資訓 練 系 統補 救 教 學實 驗 ( 服 務 )• 師 資 培 訓• 教 學 督 導 培 訓• 教 學 資 源 建 置• 教 材 實 驗• 反 敗 為 勝 計畫兩 個 重 點 原 則 :• 證 據 本 位 的 有 效 教 學 方 法1. 教 材 教 法2. 運 作 模 式 ( 師 培 , 篩 選 , 排 課 , 進 展 監 控 等 )• 績 效 責 任 系 統 的 建 立1. 可 計 量 的 介 入 效 益師 培 推 廣我 們 發 展 了 兩 類 補 救 教 材一 、 補 救 教 材 與 教 法外 加 式 教 材與 兒 童 在 班 上 學 習的 教 材 內 容 不 同 ,但 學 習 目 標 相 近 ;本 中 心 另 外 發 展 的調 整 式 教 材使 用 與 兒 童 在 班 上學 習 相 同 的 教 材 ,但 做 教 學 策 略 的 調整中 心 只 發 展 教 學 設 計調 整 --國 語 教 科 書 的 教 學 策 略一 上一 下二 上二 下三 上三 下101 年 3 月永 齡 完 成 了 小 一 ~ 小 六 的 國 語 文 補 救 教 材注 音奇 妙 1(100 字 )奇 妙 2(150 字 )奇 妙 3(250 字 )奇 妙 4(350 字 )奇 妙 5(450 字 )二 升 三 暑 假 教 材証 據 本 位 的 教 材 (G1 –G3; 永 齡 基 金 會 )一 ~ 六南 一 調 整 教 材346
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究一 下 教 材強 調 中 文 部 件 的 集 中 識 字 法二 上 教 材 : 爸 爸 回 來 了強 調 集 中 識 字 與 文 章 結 構二 上 教 材以 部 件 教 學 法 帶 8 個 生 字 , 都 是 示 部用 圖 畫 來 教 導 示 字 是 怎 麼 來 的可 以 讓 小 朋 友 操 作 的 小 部 件 卡347
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究有 小 朋 友 感 興 趣 的 部 件 學 習 單小 朋 友 , 請 在下 面 的 字 中 找出 有 「 示 」 部分 的 字 , 並 將「 示 」 的 部 分圈 出 。想 一 想 , 說 一 說 :一 、 上 面 這 些 含 有「 示 」 部 分 的 字 ,有 什 麼 相 同 的 地 方 ?二 、 你 學 過 的 字 還有 哪 些 字 也 有 「 示 」部 分 ?也 有 教 導 詞 彙 的 各 種 策 略• 種 類 : 擴 散 式 、 垂 直 式• 程 序 : 共 作 → 個 別 作 → 發 表1. 選 出 核 心 詞 彙2. 腦 力 激 盪 : 提 出 與 該 詞 彙 有 關 的 詞 , 說 明 原 因 。3. 延 伸 :祭拜擴 散 式 :詞 彙 分 類垂 直 式 :串 成 短 文爸 爸 回 來 了 學 習 單 — 詞 彙 網當 你 看 到 「 幫 助 」 這 個 詞 時 , 會讓 你 想 到 什 麼 呢 ? 請 把 想 到 的 詞寫 到 框 框 中 。依 據 垂 直 式和 擴 散 式畫 出 箭 頭 方 向 。9 2 38 1 47 6 5用 文 章 結 構 法 教 爸 爸 回 來 了 大 意主 角 阿 祥問 題 爸 爸 好 多 天 沒 回 家1. 向 祖 先 燒 香 拜 拜解 決 2. 去 廟 裡 向 神 明 拜 拜3. 向 耶 穌 祈 禱結 果爸 爸 回 來 了中 年 級 : 透 過 閱 讀 學 習 的 階 段必 須 有 系 統 引 進 最 常 見 的 文 章 類 型中 年 級 : 教 導 最 常 見 的 文 本 類 型透 過 閱 讀 學 習 : 科 學 文 本 的 結 構 教 學研 究 問 題假 設 1 假 設 2 假 設 3驗 証 1 驗 証 2 驗 証 3結 果 1 結 果 2 結 果 3結 論348
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究連 續 3 課 同 樣 結 構 的 課 文 , 以 利 學 習鰻 魚 搭 飛 機課 名 研 究 問 題鰻 魚 搭 飛 機 外 銷 日 本 時 , 許 多 鰻 魚 半 途 就 陣 亡 了消 失 的 長 毛 象 科 學 家 想 找 出 長 毛 象 消 失 的 原 因神 秘 的 雲 豹 雲 豹 為 什 麼 神 秘 呢 ? 因 為 看 過 它 的 人實 在 太 少 了研 究 問 題鰻 魚 運 送 到 日 本 的 過 程 中 , 如 何 降低 死 亡 率 ?假 設 I假 設 I: 水 不 乾 淨驗 証 I結 果 IResult I: 死 亡 率 不 變驗 証 I: 放 乾 淨 的 水假 設 III: 運 送 時 太 緊 張 ?假 設 III結 論 : 運 送 過 程 , 讓 鰻 魚 睡 覺可 以 降 低 死 亡 率結 論驗 証 III迴 響假 設 II 沒 有 食 物 ?驗 証 II: 放 食 物假 設 II驗 証 II結 果 II結 果 II: 死 亡 率 不 變驗 証 III: 放 冰 塊 讓 鰻 魚 睡 覺Result III結 果 III: 死 亡 率 下 降迴 響 : 漁 民 嘗 試 用 科 學 方 法 解決 自 身 問 題 , 因 此 賺 了 很 多錢所 有 的 教 材 都 配 置 了我 們 看 重 證 據 本 位 的 有 效 教 學 方 法• 很 詳 細 的 教 案• 學 習 單 ( 課 堂 練 習 )• 作 業 單 ( 課 後 練 習 )• 評 量 單 — 每 課 、 每 單 元 ( 三 課 一 單 元 ) 都 做 評 量• 完 整 的 教 具文 章 理 解 - 文 章 結 構 法有效教學法字 彙 - 部 件 教 學 法詞 彙 - 詞 彙 網流 暢 性 - 流 暢 性 訓 練349
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究系 統 的 教 之 外 — 還 要 過 渡 到 自 學一 些 延 伸 活 動閱 讀 火 箭 筒 ( 大 量 閱 讀 )國 字 銀 行 ( 字 )字 卡 自 我 練 習 活 動 ( 字 或 詞 )自 學 活 動 一 -- 閱 讀 火 箭 筒短 短 一 個 月 左 右的 時 間 ,多 數 的 孩 子都 讀 了 一 萬 字 以 上自 學 活 動 二 -- 國 字 銀 行和 教 學 結 合 、 精 心 設 計 的 習 作• 習 作 的 設 計 , 可 完 成 書 空 → 仿 寫 → 再 生 。有 鷹 架有 鷹 架無 鷹 架82永 齡 也 發 展 了 電 子 書 包二 、 永 齡 國 語 文 師 培 系 統教 學 訓 練 : 培 訓 、 督 導教 學 資 源 : 線 上 教 學 策 略 庫 、教 學 手 冊 、 督 導 手 冊350
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究如 何 做 師 資 訓 練 , 來 確 保 執 行 的 品 質 ?• 教 學 成 分概 念 說 明• 示 範• 實 作• 討 論介 入 前培 訓介 入 期 間教 學 督 導• 團 體 教 學 督 導• 個 別 教 學 督 導問 題 解 決 與 實 作 導 向 的 培 訓• 看 教 學 正 例 , 我 也 要 做 到 !豐 富 教 學 資 源‧ 詳 細 的 教 案‧ 教 學 策 略 庫 : 約 300 例‧ 教 學 手 冊‧ 督 導 手 冊要 求 充 分 的 備 課 , 來 確 保 教 學 品 質 與 學 生 的 學 習 權 益問 題 解 決 與 實 作 導 向 的 培 訓• Mock teaching: 我 不 怕 丟 臉 , 我 要 精 進 教 學 能 力 !教 學 督 導 怎 麼 做 ?• 團 督• 個 督• 三 明 治 督 導督 導 模 式 : 團 體 督 導督 導 模 式 : 個 別 督 導教 學 觀 察示 範 教 學後 課 立 即做 討 論351
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究督 導 模 式 : 三 明 治 督 導吵 鬧 的 教 室兩 位 督 導 介 入 班 級一 位 教 學 , 一 位 講 解督 導課 輔老 師督 導台 東 教 學 研 發 中 心這 樣 的 督 導 模 式 用在 全 國 十 八 個 分 校教 學 示 範 帶 供 督 導 下 處 方 籤永 齡 提 供 給 老 師 的 教 學 資 源• 教 學 示 範 帶 ( 教 學 策 略 庫 )• 教 學 手 冊 、 督 導 手 冊• 督 導 示 範 帶永 齡 希 望 小 學 國 語 文 教 學 策 略 庫 平 台督 導 和 課 輔 老 師 的 好 夥 伴 : 督 導 手 冊 、 教 學 手 冊各 式 的 教 學 觀 察 紀 錄 表 和 檢 核 表 -幫 助 督 導 掌 握 課 輔 老 師 的 教 學 情 況督 導 手 冊教 學 手 冊352
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究小 結 語我 們 相 信• 用 對 的 方 法 , 多 數 的 孩 子 都 可 以 帶 上 來• 有 品 質 的 補 救 教 學 來 自 ..專 業 的 教 師 + 專 業 的 督 導 支 持 + 豐 富 的 教 學 資 源三 、 建 立 補 教 教 學 執 行 模 式補 救 教 學 的 執 行 模 式 所 有 補 救 的 班 級 都 是 ..• 小 班 教 學 - 不 超 過 6-8 人• 能 力 分 班• 密 集 系 統 的 補 救 教 學 ( 每 週 8-10 個 小 時 )• 接 受 成 效 評 估 ( 標 準 化 測 驗 - 前 測 、 後 測 ; 月檢 測 )• 經 過 訓 練 的 師 資• 個 別 督 導 和 規 律 參 與 團 體 教 學 督 導成 效 評 估 方 式能 力標 準 化 能 力 測 驗 — 看 PR識 字 、 聽 寫 、 閱 讀 理 解PR 是 百 分 等 級 ,PR25 的 意思 是 ,100 人 贏 過 25 人成 效 : 以 個 別 班 級 為 例行 為 和態 度成 效成 就補 救 教 材 評 量 - 看 平 均 值& 通 過 率353
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究以 一 年 級 某 班 級 為 例以 二 年 級 某 班 級 為 例百分等級百分等級‧ 從 這 些 年 的 研 究 我 們 看 到 …多 數 的 弱 勢 低 成 就 的 孩 子 是 可 以 學 習 的• 我 們 發 現 ….• 介 入 效 果 有 特 定 性 : 例 如 注 音 效 果 不 能 遷 移到 國 字• 早 期 介 入 很 重 要• 密 集 介 入 很 重 要• 要 更 看 重 普 通 班 教 師 的 教 學 品 質這 幾 年 我 們 也 累 積 了 …• 在 實 務 知 識 方 面• 1-6 年 級 的 國 語 文 補 救 教 材 ( 南 一 調 整 教 材 ; 外 加 -4~6年 級 102 年 9 月 完 成 )• 補 救 教 學 執 行 模 式• 師 資 培 訓 課 程 與 資 源 ( 培 訓 課 程 、 教 學 示 範 帶 、 教 學 手 冊 )• 教 學 督 導 模 式 與 資 源 ( 督 導 培 訓 課 程 、 督 導 示 範 帶 、 督 導 手 冊 )• 線 上 閱 讀 診 斷 評 量 系 統 (102 年 8 月 完 成 )• 在 學 術 知 識 方 面 :2007-2012• 15 篇 期 刊 文 章 (10 篇 為 TSSCI 期 刊 文 章 )• 一 本 學 術 專 書 (TSSCI 審 查 通 過 )• 三 篇 專 書 文 章但 我 們 也 遇 到 一 些 瓶 頸 : 師 資 方 面• 在 職 老 師 , 願 意 做 系 統 的 補 救 教 學 的 不 多 。• 大 專 生 流 動 性 太 高 , 永 遠 處 於 訓 練 當 中• 偏 遠 地 區 , 有 錢 也 找 不 到 合 適 的 人• 怎 麼 辦 ? 全 職 的 補 救 教 學 老 師• 因 此 , 我 們 嘗 試 把 補 救 教 學 的 資 源 化 零 為 整 , 由 專 職的 補 救 老 師 , 全 心 做 低 成 就 的 補 救 教 學瓶 頸 : 成 效 方 面• 台 東 的 補 救 教 學 研 究 發 現 , 經 過 一 學 期 的 補 救 教 學• 學 生 有 明 顯 的 進 步 , 低 年 級 尤 其 明 顯• 沒 有 參 與 補 救 教 學 的 孩 子 , 則 沒 有 進 步• 如 果 只 補 救 最 弱 的 孩 子 , 從 全 校 學 生 的 平 均 值來 看 , 實 驗 組 和 對 照 組 學 校 沒 有 差 異• Why?108354
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究如 果 一 校 一 年 提 供 100 萬 的 課 輔 經 費 ,1600 萬 中 , 我 們 只 能 在 100 萬 內 改 變 ?四 、 反 敗 為 勝 計 畫 (2009-2011)要 整 個 學 校 一 起 動 起 來規 模 : 先 改 造 5 個 學 校 (3 校 對 照 )109反 敗 為 勝 ‐‐ 讀 寫 支 援 系 統由 原 校 提 供 特 殊 教 育密 集 的 介 入有 效 的 國 語 文 教 學層 級三 級特 殊 教 育次 級小 組 補 救 教 學初 級普 通 班 教 學 精 進永 齡 最 主 要的 努 力 重 點2009-2012 的 反 敗 為 勝 計 畫• 長 時 介 入 -- 三 年• 全 校 國 語 文 教 學 的 精 進 計 畫 ( 全 校 性 普 通 班 )• 績 效 責 任 制 度 的 建 立• 鼓 勵 大 量 閱 讀 的 激 勵 系 統• 永 齡 的 人 力 支 援 - 專 職 課 輔 老 師 ( 每 校 2 名 )• 永 齡 的 教 材 、 評 量 、 師 資 培 訓 與 督 導• 教 育 處 及 國 科 會 的 支 持 ( 整 合 型 計 劃 )校 園 讀 寫 氛 圍反 敗 為 勝 計 畫 的 服 務 規 模反 敗 為 勝 的 目 標 ..低 成 就學 校全 校老 師課 輔老 師反 敗為 勝113114355
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究反 敗 為 勝 方 案 的 成 效介 入 的 時 間 越 早 , 成 效 越 好 , 低 年 級 兒 童 的 讀寫 能 力 , 甚 至 可 以 超 越 全 國 常 模 平 均 值• 普 通 班 老 師 的 語 文 教 學 品 質 真 的 有 進 步 。• 反 敗 為 勝 學 校 , 語 文 能 力 的 進 展 比 對 照 組 學 校 好 。• 反 敗 為 勝 學 校 學 生 被 鑑 定 為 學 習 障 礙 的 比 率 降 低 了 。• 介 入 的 時 間 越 早 , 成 效 越 好 , 低 年 級 兒 童 的 讀 寫 能 力, 甚 至 可 以 超 越 全 國 常 模 平 均 值 。• 介 入 的 時 間 越 長 , 成 效 越 好 。全 國 常 模反 敗 為 勝 學 校 在 一 上 就幾 乎 已 經 超 越 全 國 水 準 。全 校 普 通 班 學 生反 敗 學 校補 救 學 生反 敗 為 勝 學 校 , 語 文 能 力 的 進 展 比 對 照 組學 校 好全 校 普 通 班 學 生對 照 學 校補 救 學 生介 入 的 時 間 越 長 , 成 效 越 好小 一 介 入 到 第 三 年 ,反 敗 學 校 就 追 上 全 國常 模 平 均 值 ;對 照 組 與 常 模差 距 愈 來 愈 大 。補 救 學 生反 敗 學 校 語 文 能 力的 進 展 , 不 但 優 於對 照 組 , 甚 至 還 超越 全 國 平 均 值 。40003500估字 3000數25002000150010005000( 推)反 敗 為 勝 執 行 成 效 (98-100 學 年 度 )識 字 量 原 始 分 數一 二 三 四 五 六計 畫 前 計 畫 後 全 國 常 模即 使 在 偏 遠 的 台 東 , 經過 三 年 介 入 之 後 , 弱 勢兒 童 可 以 趕 上 全 國 常 模 。( 年 級 )119反 敗 為 勝 執 行 成 效 (98-100 學 年 度 )(7060PR 50值40)3020100識 字 量 PR( 年 級 )一 二 三 四 五 六計 畫 前 計 畫 後 全 國 平 均 常 模※ 二 、 三 年 級 的 進 步幅 度 最 大 , 及 早 補 救非 常 重 要 !120356
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究認 識 教 學 實 驗 的 意 義教 學 研 究 甘 苦 談 …• 所 有 的 教 育 理 想 , 都 必 須 透 過 教 學 落 實• 教 學 實 驗 能 說 明 變 項 間 的 因 果 關 係( 例 , 文 化 回 應 教 學 能 顯 著 提 昇 學 生 的 國 語 文 成 就 ?原 住 民 比 較 喜 歡 自 由 、 學 習 比 較 偏 好 動 態 的 方 式 ?)• 教 學 實 驗 能 估 算 教 育 投 資 的 成 本 效 益為 什 麼 補 救 教 學 實 驗 難 做 ?• 成 功 補 救 教 學 要 顧 及 很 多 原 則 :( 一 ) 早 期 介 入( 二 ) 長 時 密 集 式 的 補 救 教 學( 三 ) 考 慮 作 業 難 度 , 讓 學 生 有 成 功 經 驗( 四 ) 明 示 的 教 學( 五 ) 結 構 化 的 教 學( 六 ) 看 重 教 學 的 流 暢 度( 七 ) 教 導 策 略( 八 ) 與 先 備 經 驗 做 充 份 的 聯 結( 九 ) 完 善 的 進 展 監 控 系 統現 實 問 題 : 教 學 研 究 的 困 難• 師 資 訓 練• 補 救 教 學 執 行 的 fidelity( 需 要 督 導 )• 一 名 專 任 師 資 年 薪 至 少 50 萬• 即 使 有 專 任 師 資 ? 每 年 級 只 能 負 責 6 人 , 每 年 級 要 湊足 30 人 , 要 多 少 個 專 任 師 資 ?• 要 執 行 一 學 期 到 兩 年 ?( 流 動 性 )• 教 材 : 顧 及 有 效 教 學 原 則 、 文 化 調 整 、 學 科 內 容 、 趣味 、 插 圖• 排 課• 行 政 的 協 調教 學 研 究 的 困 難 : 投 稿 問 題研 究 指 標• 重 理 論 , 輕 實 務• 重 量 ( 論 文 篇 數 ): 做 次 級 資 料 分 析 & 做 補 救 教 學 研究• 重 引 用 的 衝 擊 指 數 , 不 重 現 場 的 衝 擊 指 數審 查 指 標• 大 部 分 老 師 沒 有 做 過 教 學 實 驗 研 究 , 在 審 查 稿 件 時 ,仍 以 極 理 想 主 義 的 想 法 來 評 述• 我 的 投 稿 經 驗教 學 研 究 絕 對 不 是 一 步 到 位 的• 認 識 教 學 研 究 的 重 要 性• 從 小 地 方 著 手 , 有 成 效 再 往 下 走 ; 例 寫 字• 找 到 同 伴 Together we can make a difference!• 和 學 校 建 立 長 期 信 任 的 關 係• 為 理 想 做 事 , 才 會 把 吃 苦 當 吃 補 !357
陳 淑 麗 / 曾 世 杰 證 據 本 位 的 國 語 文 補 救 教 學 研 究期 待 : 更 多 研 究 者 願 意 投 入 教 學 研 究教 學 實 驗 研 究 雖 然 比 較 辛 苦但 , 我 們 的 努 力可 以 改 變 孩 子 的 未 來可 以 改 變 教 育 的 現 況找 到 意 義 感 , 成 就 感 就 會 跟 著 來 !給 國 科 會 的 建 議• 獎 助 / 鼓 勵 長 期 的 教 學 與 追 蹤 研 究 ( 例 如 , 提 供 對 等的 研 究 費 用 補 助 )‐‐ 以 反 敗 方 案 為 例• 除 了 理 論 之 外 , 鼓 勵 教 材 、 技 術 及 課 程 的 發 展• 集 中 資 源 成 立 語 文 數 學 、 科 學 、 教 育 的 補 救 教 學 研 發中 心• 鼓 勵 跨 領 域 的 了 解 及 合 作• 縮 短 研 究 和 現 場 應 用 之 間 的 距 離 : 國 科 會 、 教 育 部 和國 家 教 育 研 究 院 之 間 的 整 合生 命 短 暫 , 做 重 要 的 事 !謝 謝 聆 聽Q & A358
359
360
361
362
與 會 人 士 名 單( 依 姓 名 筆 畫 順 序 排 列 )姓 名 單 位 E‐mailZih-RueiChuang國 立 東 華 大 學 應 用 數 學 系610011005@ems.ndhu.edu.tw尤 藝 蓁 國 立 彰 化 師 範 大 學 科 學 教 育 所 sheree318@yahoo.com.tw王 美 娟 臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 ( 含 數 學 教 育 碩 士 班 ) margaret@tmue.edu.tw左 台 益 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 ) tsoty@ntnu.edu.tw白 雲 霞 文 藻 外 語 學 院 師 資 培 育 中 心 yunhsia@mail.wtuc.edu.tw任 慶 儀 國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 學 系 jbe0111@gmail.com朱 慧 娟 國 立 臺 南 大 學 特 殊 教 育 學 系 ( 所 ) huichu@mail.nutn.edu.tw吳 昭 容 國 立 臺 灣 師 範 大 學 教 育 心 理 與 輔 導 學 系 ( 所 ) cjwu@ntnu.edu.tw吳 德 邦 國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系 ( 含 碩 士 班 ) wudb@hotmail.com吳 慧 敏 佛 光 大 學 學 習 與 數 位 科 技 學 系 ( 所 ) hmwu@mail.fgu.edu.tw呂 玉 琴 國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育 學 系 ( 所 ) leu@tea.ntue.edu.tw李 秀 妃 國 立 臺 東 大 學 特 殊 教 育 學 系 fei@nttu.edu.tw李 茂 能 國 立 嘉 義 大 學 教 育 學 系 ( 所 ) fredli@mail.ncyu.edu.tw李 國 偉 中 央 研 究 院 數 學 研 究 所 makwlih@gate.sinica.edu.tw李 源 順 臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 ( 含 數 學 教 育 碩 士 班 ) leeys@tmue.edu.tw易 正 明 敏 惠 醫 護 管 理 專 科 學 校 通 識 教 育 中 心 yih@mail.ntcu.edu.tw林 素 微 國 立 臺 南 大 學 測 驗 統 計 研 究 所 swlin0214@mail.nutn.edu.tw林 碧 珍 國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所 linpj@mail.nhcue.edu.tw林 福 來 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 ) linfl@math.ntnu.edu.tw邱 美 秀 國 立 政 治 大 學 教 育 學 系 chium@nccu.edu.tw金 必 耀 國 立 台 灣 大 學 化 學 系 byjin@ntu.edu.tw金 鈐 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 ) cchin@math.ntnu.edu.tw侯 雅 齡 國 立 屏 東 教 育 大 學 特 殊 教 育 學 系 yalingho@mail.npue.edu.tw城 地 茂 日 本 國 立 大 阪 教 育 大 學 jochi@cc.osaka-kyoiku.ac.jp姜 自 強 國 立 中 正 大 學 心 理 學 系 psytcc@ccu.edu.tw施 淑 娟 國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所 ssc@mail.ntcu.edu.tw洪 碧 霞 國 立 臺 南 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所 hungps@mail.nutn.edu.tw徐 偉 民 國 立 屏 東 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所 ben8535@mail.npue.edu.tw秦 爾 聰 國 立 彰 化 師 範 大 學 科 學 教 育 研 究 所 abechin@cc.ncue.edu.tw翁 頂 升 國 立 嘉 義 大 學 資 訊 管 理 學 系 politeweng@mail.ncyu.edu.tw袁 媛 中 原 大 學 教 育 研 究 所 yuan@cycu.edu.tw馬 秀 蘭 嶺 東 科 技 大 學 企 業 管 理 系 hlma@teamail.ltu.edu.tw張 子 貴 國 立 東 華 大 學 應 用 數 學 系 暨 研 究 所 tzu@mail.ndhu.edu.tw363
張 宇 樑 國 立 嘉 義 大 學 教 育 行 政 與 政 策 發 展 研 究 所 aldy.chang@msa.hinet.net張 飛 黃 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 理 學 科 cfh@ntnu.edu.tw張 淑 怡 國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育 學 系 ( 所 ) sic@tea.ntue.edu.tw張 景 媛 慈 濟 學 校 財 團 法 人 慈 濟 大 學 師 資 培 育 中 心 cyc0711@mail.tcu.edu.tw張 銘 宗 國 立 中 正 大 學 教 育 所 a8630068@gmail.com張 靜 嚳 國 立 彰 化 師 範 大 學 科 學 教 育 研 究 所 ckuchang@gmail.com梁 淑 坤 國 立 中 山 大 學 教 育 研 究 所 leung@mail.nsysu.edu.tw陳 文 豪 東 海 大 學 應 用 數 學 系 whchen@thu.edu.tw陳 幸 玫 國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育 學 系 ( 所 ) hsingme@yahoo.com.tw陳 明 璋 國 立 交 通 大 學 通 識 教 育 中 心 mjchen@mail.nctu.edu.tw陳 東 賢 國 立 勤 益 科 技 大 學 chents@ncut.edu.tw陳 彥 廷 國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系 ( 含 碩 士 班 ) clief000@ms34.hinet.net陳 柏 熹 國 立 臺 灣 師 範 大 學 教 育 心 理 與 輔 導 學 系 ( 所 ) chenph@ntnu.edu.tw陳 晏 儂 國 立 中 正 大 學 心 理 學 系 yennung@gmail.com陳 國 泰 文 藻 外 語 學 院 師 資 培 育 中 心 93040@mail.wtuc.edu.tw陳 國 棟 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 科 學 教 育 發 展 處 chen@csie.ncu.edu.tw陳 進 春 敏 惠 醫 護 管 理 專 科 學 校 通 識 教 育 中 心 ccchen@mail.mhchcm.edu.tw陳 嘉 皇 崑 山 科 技 大 學 通 識 教 育 中 心 c0924@mail.ksu.edu.tw曾 世 綺 佛 光 大 學 學 習 與 數 位 科 技 學 系 ( 所 ) sctzeng@mail.fgu.edu.tw曾 建 銘 國 家 教 育 研 究 院 cheng@mail.naer.edu.tw湯 卿 媺 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 科 學 教 育 發 展 處 cmtom@nsc.gov.tw黃 文 璋 國 立 高 雄 大 學 應 用 數 學 系 暨 統 計 學 研 究 所 huangwj@nuk.edu.tw黃 志 賢 明 志 科 技 大 學 電 機 工 程 系 huangch@mail.mcut.edu.tw黃 幸 美 臺 北 市 立 教 育 大 學 學 習 與 媒 材 設 計 學 系 hhuang22@gmail.com楊 志 堅 國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所 noahyang@ms7.hinet.net楊 玲 惠 大 同 技 術 學 院 linghuey@ms2.ttc.edu.tw楊 凱 琳 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 ) kailin@ntnu.edu.tw楊 德 清 國 立 嘉 義 大 學 數 理 教 育 研 究 所 dcyang@mail.ncyu.edu.tw趙 翊 清 國 立 嘉 義 大 學 企 業 管 理 學 系 hp2009@livemail.tw趙 曉 美 臺 北 市 立 體 育 學 院 師 資 培 育 中 心 chao@tpec.edu.tw劉 伯 雯 國 立 高 雄 第 一 科 技 大 學 應 用 日 語 系 lbw@ccms.nkfust.edu.tw劉 柏 宏 國 立 勤 益 科 技 大 學 博 雅 通 識 教 育 中 心 liuph@ncut.edu.tw劉 曼 麗 國 立 屏 東 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所 mliu@mail.npue.edu.tw劉 祥 通 國 立 嘉 義 大 學 數 理 教 育 研 究 所 shiangtungliu@gmail.com蔡 文 煥 國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所 tsai@mail.nhcue.edu.tw鄭 英 豪 臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 ( 含 數 學 教 育 碩 士 班 ) yinghao.cheng@tmue.edu.tw蕭 聰 淵 國 立 臺 灣 海 洋 大 學 應 用 英 語 研 究 所 tyhsiao@ntou.edu.tw謝 豐 瑞 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系 ( 所 ) hsiehfj@math.ntnu.edu.tw364
謝 闓 如 國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系 ( 含 碩 士 班 ) khsieh@mail.ntcu.edu.tw鍾 靜 國 立 臺 北 教 育 大 學 數 學 暨 資 訊 教 育 學 系 ( 所 ) jingc@tea.ntue.edu.tw韓 承 靜 台 灣 心 智 科 學 腦 造 影 中 心 , 國 立 政 治 大 學 wellbank@gmail.com顏 乃 欣 國 立 政 治 大 學 心 理 學 系 nsy@nccu.edu.tw譚 克 平 國 立 臺 灣 師 範 大 學 科 學 教 育 研 究 所 t45003@ntnu.edu.tw蘇 意 雯 臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學 系 ( 含 數 學 教 育 碩 士 班 ) mathyiwen@yahoo.com.tw龔 心 怡 國 立 彰 化 師 範 大 學 教 育 研 究 所 hykung@cc.ncue.edu.tw365