第十八章淨相關，複迴歸及複相關

Partial Correlation, Multiple Regression and Multiple Correlation1 說 數 partial correlation coefficients2 識 the least-squares multiple regression 率 partial slopes3 說 數 multiple correlation coefficients4 說 度 來 理 了 Pearson’s r 更 partial correlation 兩 數 Partial Gamma 類 不 論 參 兩 什 數 了 類 兩 率 不 interaction 理 不 r yx YX 數 r yz YZ 數 r xz 兩 兩 zero-order correlations 零 了 來 兩

first-order 數 r yx zryx− ( ryz)( rxz)r yx z = ----- (1)221 − r 1 − ryzr yx zXYZ 兩 了 兩 來 zero-order 兩 兩 direct relationship 若 r yx zr yx 來 兩 spuriouscommon causeSpurious relationship between X and Y Z as an intervening variable between X and Y Z X Y不 論 r yx zr yx r yx ≠ 0 ZZXYXY 理 論 r yx zr yx 狀 XZY 立 xz

XYZ 異 說 Y 異 量 Z 數 X Y 異 量 Z 立 不 行 良 立 力 力 來 兩 不 了 Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 --------------------------- (2)b 1 X 1 Y 率 the partial slope 數 b 2 X 2 Y 率 b 1 b 2 ⎛ Sy ⎞⎛ry1− ryrb 1 =⎜⎟⎜⎝ S1 ⎠⎝1 − r b 2 =2 12212⎛ Sy ⎞⎛ry2− ry1r⎜⎟⎜2⎝ S2 ⎠⎝1 − r12⎟ ⎞⎠12⎟ ⎞⎠-------------- (3)-------------- (4) a = Y - b 1 - b 2 SY SX SX rYX rYX

XXbbXXY 數 力 2 力 XX 量 不 X 年數 X 數 不 易 XXY 力 Y 力 數 Z scores 不 論 XY 都 0S 1 率 率 standardized partial slopesbeta-weights 數 b * 來 b * Y 數 Yb 1 *=b 1⎛ ⎞⎜S 1⎛⎟ b 2 *=b 2⎝ S ⎟ ⎞⎜S 2y ⎠⎝ S y ⎠Z y = a Z +b 1*Z 1 +b 2*Z 2 a Z = 0 什 Z y = b 1*Z 1 +b 2*Z 2 ----------------- (5) 2 5 2 來 量 年 數 Y 5 了 Y 力 陸

立 力 來 Y 力 說 數 Rmultiple correlation coefficient 數 R 2 coefficient of multiple determination數 RRr+ r− 2r( r )( r )2 2y1y2y1y212= 21−r12 數 R 2 = r 2 y1 + r 2 y2 1 (1r 2 y1) r 2 什 R 2 兩 r 2 說 來 說 力 類 料 interval-ratio level X b 度 不

說 說 Y 12 = r 2 Y1 + r 2 Y2 1 (1-r 2 y1)Proportion Proportion Proportion Proportionexplained by explained by explained by unexplained byX 1 X 2 X 1 X 2 X 1controlling forX 1 R 2 i jk = r 2 ij + r 2 ik j ( 1 - r 2 ij )= r 2 ik + r 2 ij k ( 1- r 2 ik) 說 不 論 兩 都 弄 regression model 例 Y= a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ee i 離 來 說 落 Y i = a i + b 1 X i1 + b 2 X i2 + e i 不 e i 數 ab 都 來 Y = α + β 1 X 1 +β 2 X 2 +ε 來

Y i = α i + β 1 X i1 + β 2 X i2 + ε i了 specification error 1 X Y 2 Y 3 Y 說 理 論 Y 都 不 Y 不 理 論 X Y functional form 數 量 X Y 都 量 來 量 不 精 列 1ε 數 ε 2Homoskedasticity ε δ 說 ε 異 量 3εεεε 兩 立 4εXεX 說 不 5εεHomoskedasticityY 什 perfect high multicollinearity(1)(3)d 數 良 ab BLUEBest Linear UnbiasedEstimates 數 BLUE multicollinearity

(3)e Partial Correlation 說 念 度 來 兩 XXY 例 Y sXY Y i = a i + bX i2 + e iy e iy YabXYX若 XXXabXe 若 XXb≠XX 兩 e例 YX年 例 5000+1000( 年 )+e 10000 ,兩 年 e10000-5000-1000(2)=3000YXXYXee1XYXXXYXY 數 X 類 類 YX 都 數 若 數Weighted Average YX 若 更 multivariate normal distribution 不 論 兩 數 狀 料 數 例 ry1− ( ry2)( r12)r y1 2 =2 21 − r 1 − ry212XYXr

Correction factor( r y2 ) (r 12 ) 兩 都 不 說 YX 念 若 rr Y 異 量 不 XXY 異 量 XXXX 例 X 1 Y 異 量 例 若 r r r 都 rr r 數 0 數 1 r r 0 r rrr數 r 數 r 說 若 兩 兩 兩 零 度 兩 0 rr 1 rr0 來 零 度 r 若 A B A B A 不 B 不 念 來 AB 來 AB 度 不 料 度 兩 理 論 邏 B A 若 理 留 度 說 spurious 例

兩 理 論 不 兩 不 不 了 specification error spurious relation 說 說 a closed system 兩 論 來 例 ZZX Y X Y 1 2 ρ yz = ρ xy ρ xz 兩 數 不 ρ yz ρ xy ρ xz ρ xy ρ xz 數 X ρ yz

若 不 不 ρ yz.x ρ yz 零 度 六 Beta 數 若 XXX XX 0 來 列 來 Xa b X 2Xb b b b 率 aXbXbXb bbb bb 不 r bb 率 Partial Slope 狀remain constant Partial Slopedirect effect 不 說 力 狀 力 都 了

數 數 數 數 數 數 beta weights 都 beta weights 數 Path Coefficients 來 例 數 不 P 21X XP 31 41 P 52 P 53 P 54 聯 立 來 Path Analysis 例 聯 立 X 2 = P 21 X 1X 3 = P 31 X 1X 4 = P 41 X 1X 5 = P 52 X 2 + P 53 X 3 + P 54 X 4 beta weights 若 ββ 不 數 數 數 ββ ij.k = b ij.k ⎛ Sj⎞ s⎜ ⎟j s i X i X j ⎝ Si⎠ββ ij.kl = b ij.kl ⎛ Sj⎞⎜ ⎟⎝ Si⎠β ij.k 數 β ij.k =r− rrij ik jk21−rjk r ij.k 2 = (β ij.k )( β ji.k ) r ij.k

了 beta weights 兩 bivariate correlation total correlation Path Coeficients total correlation total correlation 兩 total correlaton total correlationr ij 1 X X XX XXX2 X X total correlation r ij X X 力 數 X X totla correlation r3 2 r ij = Σ P ik r kj 若 例 r 12 = P 21 r 11 = P 21 (1) = P 21 r 13 = P 31 r 14 = P 41r 23 = P 31 r 12 = P 31 P 21 r 兩 Path Coefficients Path Coefficients X X X 力 r 23 = P 31 P 21 = r 13 r 12 r 23 - r 13 r 12 = 0 , r 23.1 = 0 rrr 13 r Path Coefficients 來 六 立 dummy variable 都 類 度 狀 不 類 數

類 0 1 兩 數 類 兩 類 類 1 數 類 0 女 女 1 0 類 兩 立 K1 K 類 數 1 立 狀 狀 離 參 類 -- 0 0 0 0 -- 1 0 0 0離 -- 0 1 0 0 -- 0 0 1 0 -- 0 0 0 1 狀 類 立 離 都 數 0不 立 類 參 類 類 參 類 類 數 數 類 參 類 理 論 量 數 不 類 參 類 女 來 立 數 數 類 參 類 數 例 度 度 立 .007 + .841 .058

數 都 女 0.058 女 intercept .007 intercept .007.058