T H`ESE - ENS Cachan

Présentation des résultatsNous utiliserons pour l’étude de ce problème des PGDs et notons doncS(u 0 , h) le squelette de l’équation stochastique, i.e. la solution mild del’équation contrôlée{i( dudt + αu) = ∆u + λ|u| 2σ u + Φh,u(0) = u 0où u 0 appartient à L 2 ou H 1 dans le cas additif ou{i( dudt + αu) = ∆u + λ|u| 2σ u + uΦh,u(0) = u 0où u 0 appartient à H 1 dans le cas multiplicatif.La fonction de taux des PGDs trajectoriels est alors toujours définiecommeI u 0T (w) = 1 ∫ Tinf‖h(s)‖ 22 h∈L 2 (0,T ;L 2 Lds.): S(u 0 ,h)=w2 0Nous notons dans ce qui suit par N (B, ρ) pour ρ positif le ρ−voisinage dansL 2 de l’ensemble B.Nous définissonse = inf { I 0 T (w) : w(T ) ∈ D c , T > 0 } .Si ρ est positif et suffisamment petit nous posonse ρ = inf { I u 0T (w) : ‖u 0‖ L 2 ≤ ρ, w(T ) ∈ (D −ρ ) c , T > 0 } ,où D −ρ = D \ N (∂D, ρ) et ∂D désigne le bord de D dans L 2 .Enfin nous définissonse = limρ→0e ρ .Dans le cas H 1 , il convient de remplacer dans ce qui précède L 2 par H 1 .Dans tous les cas 0 < e ≤ e. Nous ne montrons pas dans ce papier quee = e, c’est un problème de contrôle qui semble difficile et qui sera étudiéultérieurement.Le résultat sur le temps de sortie s’énonce dans L 2 et dans H 1 pour desdomaines dans L 2 ou dans H 1 comme suit.49