T H`ESE - ENS Cachan

Présentation des résultatsProposition 2.3.4 Quels que soient T , A et R positifs, l’inégalité suivanteest satisfaite() ) ( 3 2Rlim ɛ→0 ɛ log P Y(u ɛ,Ψ0 A (T ) ≥ R ≤ −(16) 2).A 2 T 3 ‖Φ‖ 2 L c(L 2 ,W 1,∞ (R,R)) ∨ 1Nous obtenons, comme dans le cas additif, le facteur − 1 et que sur uneT 3échelle logarithmique les queues sont bien indistingables des queues Gaussiennes.Il s’agit bien du résultat auquel on s’attend d’après la référence [59].Les ordres de grandeur en A sont en − 1 . Nous nous attendrions pourtantA 2dans ce cas, au vu de [59] à un ordre de grandeur en − 1 .A 42.4 Application à la sortie d’un domaine d’attractionpour des équations de Schrödinger nonlinéaires stochastiques faiblement amortiesNous présentons dans cette section une autre application des principesde grandes déviations trajectoriels pour les solutions d’équations de typeNLS faiblement amorties perturbée par un bruit additif ou multiplicatif.Nous étudions ici l’asymptotique lorsque l’amplitude du bruit tend vers 0du temps moyen et du point de sortie d’un voisinage de 0. L’article [84]correspondant figure en annexe D.Dans cet article nous étudions des équations faiblement amorties. Dansle cas du bruit additif nous avonsidu ɛ,u 0= (∆u ɛ,u 0+ λ|u ɛ,u 0| 2σ u ɛ,u 0− iαu ɛ,u 0)dt + √ ɛdW,λ = ±1, x ∈ R doù α et ɛ sont strictement positifs et où la donnée initiale u 0 est dans L 2ou H 1 . Le bruit est toujours coloré en espace et le processus de Wienerest à valeur L 2 ou H 1 . Quand le bruit est multiplicatif réel avec produitStratonovich, l’équation s’écritidu ɛ,u 0= (∆u ɛ,u 0+λ|u ɛ,u 0| 2σ u ɛ,u 0−iαu ɛ,u 0)dt+ √ ɛu ɛ,u 0◦dW, λ = ±1, x ∈ R d .Le processus de Wiener est alors à valeurs dans H s R avec s > d 2+ 1, espacede Sobolev basé sur L 2 de fonctions à valeurs réelles. Les données initialessont dans ce cas dans H 1 . Dans L 2 le phénomène de sortie n’existe pas car lamasse décroît. On peut trouver des résultats sur les équations déterministespar exemple dans [86, 90, 138].47