T H`ESE - ENS Cachan

Présentation des résultatsla T. Lyons, c.f. [107, 108], mais pour l’EDP stochastique. Nous pourrionsnotamment nous inspirer de [105, 103].Nous adoptons ici une preuve plus classique basée essentiellement surle lemme d’Azencott aussi appelé inégalité de Freidlin-Wentzell. Ce lemmecorrespond à ce qui remplace ici la continuité au niveau des trajectoires.Il s’énonce de la manière suivante, C a désigne le ensembles des niveauxinférieurs à a de la fonction de taux d’un PGD pour le processus de Wiener.Le squelette S(u 0 , f) est cette fois ci celui où l’on remplace Φh par ∂f∂t .Proposition 2.2.2 Pour tout a, R et ρ strictement positifs, u 0 dans H 1 ,f dans C a , T < T (S(u 0 , f)), p dans A(d), il existe ɛ 0 , γ et r strictementpositifs tels que pout tout ɛ dans (0, ɛ 0 ] et ũ 0 dans B H 1(u 0 , r),( ∥∥ɛ log P u ɛ,ũ 0− S(u 0 , f) ∥ X (T,p) ≥ ρ; ∥ √ ɛW − f ∥ )C([0,T ];H sR ) < γ ≤ −R.La preuve de ce lemme nécessite les estimées de décroissance exponentielledes queues dans des espaces de Banach suivantes.Proposition 2.2.3 Si Z, défini par Z(t) = ∫ t0U(t − s)ξ(s)dW (s), est telqu’il existe η positif tel que ‖ξ‖ 2 C([0,T ];H 1 )≤ η p.s., alors pour tout p dansÃ(d), T et δ positifs,P ( ‖Z‖ C([0,T ];H 1 ) ≥ δ ) ( )≤ 3 exp − δ2)κ(1 (η))P(‖Z‖ L r(p) (0,T ;W 1,p ) ≥ δ ≤ c exp − δ2κ 2 (η)où c = 2e + exp((2ek 0 !) 1k 0), k 0 = max(2, min{k ∈ N : 2k ≥ r(p)})c8cκ 2 (η) =κ 1 (η) = T 4c (∞) 2 ‖Φ‖ 2 η,L 0,s2( ) 2 r(p)d 1−2 T 2r(p)(d + 1)(d + p)‖Φ‖ 2 L 0,s1 − 4r(p)( )r(p)d2et c(∞) sont les normes des injections continues H s RH s R ⊂ W1,∞ R .2η,⊂ r(p)dW1, 2RNous utilisons également la continuité du squelette modifié par rapport auxcontrôles sur les ensembles C a des niveaux inférieurs à a strictement positifs.Le résultat de continuité s’énonce comme suit.41et