T H`ESE - ENS Cachan

IntroductionIl est cependant possible d’imposer une propriété plus faible que la continuitépour f. Nous aurons besoin de résultats de ce type pour montrer unPGD pour les lois des trajectoires des équations de Schrödinger non linéairesstochastiques lorsque le bruit est multiplicatif. En effet, la démarche généralepour montrer un PGD au niveau des trajectoires des équations de Schrödingernon linéaires stochastiques est de transférer par image directe un PGDpour le processus de Wiener, résultat du type du théorème de Schilder pourle mouvement Brownien. Voici une première approche, cela ne sera pas celleadoptée dans le présent papier. Cette méthode peut permettre de montrerun PGD pour les trajectoires d’une EDS (voir par exemple [48, 66]).Theorem 1.3.6 Soit (µ ɛ ) ɛ>0une famille de mesures de probabilité satisfaisantun PGD de bonne fonction de taux I sur un espace topologique séparéX . Soit également une suite de fonctions continues (f j ) j∈Nde X dans unespace métrique (Y, d). Supposons qu’il existe une application f de X dansY telle que∀c > 0, lim j→∞supx∈X : y=f(x)d (f m (x), f(x)) = 0.Alors, toute famille de mesures de probabilité (˜µ ɛ ) ɛ>0telle quelim lim ɛ→0ɛ log P ɛ,j (Γ δ ) = −∞, (1.3.1)j→∞où P ɛ,j est le produit tensoriel de (f j ) ∗µ ɛ et de ˜µ ɛ etΓ δ = { (y, z) ∈ Y 2 : d(y, z) > δ } ,satisfait un PGD sur Y de vitesse ɛ et de bonne fonction de tauxI ′ (y) =inf I(x).y∈Y: y=f(x)La relation (1.3.1) signifie que les mesures ( (f j ) ∗µ ɛ) sont des approximationsexponentiellement bonnes des mesures (˜µ ɛ ) ɛ>0ɛ>0.Nous utiliserons une autre extension du principe de contraction de Varadhan,celle-ci utilise le lemme d’Azencott appelé aussi inégalité de Freidlin-Wentzell. Elle sera présentée dans le chapitre qui suit. Notons aussi que, dansle cas des PGDs pour les trajectoires de nos EDPS, nos familles de mesuressont paramètrées par la donnée initiale. Nous nous intéresserons aussi àdes PGDs uniformes, en un sens qui sera précisé, en la donnée initiale. Onpeut aussi trouver dans [131] une extension du principe de contraction deVaradhan permettant de transporter des PGDs uniformes pour une formulationà la Freidlin-Wentzell.31