T H`ESE - ENS Cachan

Introductionpour une famille de mesures (µ ɛ ) ɛ>0, de vitesse ɛ et de bonne fonction detaux I.La borne supérieure prend la forme :quels que soient c et δ strictement positifs, K(c) δ un δ−voisinage de I −1 ([0, c]),nous avonslim ɛ→0 ɛ log µ ɛ (( K(c) δ) c)≤ −c.La borne inférieure quant à elle se réécrit sous la forme :quels que soient e dans E et δ strictement positif, nous avonslim ɛ→0 ɛ log µ ɛ (B(e, δ)) ≥ −I(e).Nous appelons cette écriture écriture à la Freidlin-Wentzell.1.3.2 Des résultats générauxLe théorème de Cramer s’étend à R d et à la dimension infinie. Desrésultats de grandes déviations existent aussi pour des suites de variables noni.i.d., c’est le cas du théorème de Gärtner-Ellis ou des résultats de grandesdéviations pour les chaînes de Markov, c.f. [48]. Nous présentons désormaisdans cette section deux résultats de grandes déviations qui nous serons utilespar la suite.Du théorème de Cramer en dimension infinie nous pouvons déduire unrésultat général de grandes déviations pour les mesures Gaussiennes sur lesespaces de Banach réels séparables. Considérons un tel espace de Banach E,une mesure Gaussienne µ sur E, d’espace de Hilbert noyau auto-reproduisantH µ , et la famille de mesures (µ ɛ ) ɛ>0images directes de µ par la transformationx ↦→ √ ɛx sur E. Nous avons le résultat qui suit, c.f. [53].Theorem 1.3.2 La famille (µ ɛ ) ɛ>0satisfait un PGD sur E, de vitesse ɛet de bonne fonction de taux la transformée de Fenchel-Legendre Λ ∗ µ. Parailleurs la transformée de Fenchel-Legendre Λ ∗ µ se réécritΛ ∗ µ(e) ={ 12 ‖e‖2 H µsi e ∈ H µ∞ si e ∈ E \ H µ.Nous pouvons déduire de ce résultat le théorème de Schilder qui énonce unPGD pour les trajectoires du mouvement Brownien.29