T H`ESE - ENS Cachan

Introductionen tout cas pour un bruit multiplicatif, car la masse est conservée. Dans cecas, lorsque le problème est localement bien posé, il est aussi globalementbien posé. Pour les équations stochastiques dans H 1 , avec bruit additif oumultiplicatif, les solutions sont globales pour des non linéarités sous-critiquesou dans le cas défocalisant dès que le problème est localement bien posé, c.f.[37]. Ce résultat coincide avec celui pour les équations déterministes.Les équations ont aussi été étudiées d’un point de vue numérique dans[13, 43]. Dans [43], le cas de la dimension 1 est considéré. L’influence des deuxtypes de bruit sur la propagation des solitons et sur l’explosion en tempsfini est étudiée. Il est obtenu qu’un bruit additif a tendance à accélérerl’explosion en temps fini alors que le bruit multiplicatif a tendance à laretarder. Mais aussi, il est obtenu que toute donnée initiale explose en tempsfini dans les cas critiques et sur-critiques. Le cas du bruit blanc est aussiétudié. Il apparaît que le bruit blanc multiplicatif empêche l’explosion entemps fini. Dans [13], le cas de la dimension 2 est étudié. L’effet du bruit surl’explosion en temps fini est étudié d’un point de vue théorique dans [38, 39,40] pour des bruits additifs complexes et réels et des bruits multiplicatifs.Sous des hypothèses légèrement plus fortes sur la régularité du processus deWiener, il est montré que, pour des non linéarités sur-critiques et des donnéesinitiales non nulles, quel que soit t strictement positif, la probabilité que lasolution explose avant t est strictement positive.1.3 Les grandes déviations1.3.1 PrésentationLes résultats de grandes déviations permettent de quantifier une loi faibledes grands nombres. Supposons qu’une famille de mesures de probabilités(µ ɛ ) ɛ>0, sur un espace de Banach muni de sa tribu Borélienne, convergeétroitement vers une mesure de Dirac en un point x, alors nous savons que,pour tout Borélien A ne contenant pas x dans son intérieur, lim ɛ→0 µ ɛ (A) =0. Dans le langage des probabilités un tel évènement A est un évènementde grandes déviations. La déviation est grande car l’ensemble A ne dépendpas de ɛ. Un résultat de grandes déviations quantifie la convergence vers0 à vitesse ɛ. L’espace de Banach dans cette thèse sera généralement unespace de trajectoires ou la droite réelle. Cela pourrait aussi être un espacede mesures, par exemple dans le cas de mesures empiriques, nous parlonsdans ce cas de grandes déviations de niveau 2.27