T H`ESE - ENS Cachan

IntroductionEtelle mesure Gaussienne µ est donné par( )supp µ = H µ , c.f. [8]. Signalonsaussi que pour toute base Hilbertienne e ∗ j de j∈N H∗ µ, base duale de (e j ) j∈N,et e dans E, nous avons, d’après le théorème de convergence des martingales,limn→∞j=0n∑< e ∗ j, e > E ∗ ,E e j = e.Une telle décomposition en série permet, par exemple, de définir l’intégralestochastique par rapport à un processus de Wiener sur E à partir de l’intégralestochastique usuelle par rapport au mouvement Brownien. Enfin, nous avonsla représentation en diagrammeE ∗i∗↩→ H ∗ µR←→ H µi↩→ E.L’application R est en fait l’identification de Riesz entre le dual topologiqueH ∗ µ et H µ . Ce formalisme est celui des espaces de Wiener abstraits.Considérons le cas de la loi d’un processus Gaussien à trajectoires continuessur [0, 1]. Le dual topologique de C([0, 1]) étant l’espace des mesuressignées sur [0, 1], nous avons, d’après le théorème de Fubini, pour t appartenantà [0, 1]Re ∗ (t) = δ t (Re ∗ )= ∫ E < e∗ , e > E ∗ ,E e(t)µ(de)= ∫ ( ∫ )1E 0 e(s)e∗ (ds) e(t)µ(de)= ∫ 1(∫0 E e(s)e(t)µ(de)) e ∗ (ds)= ∫ 10 γ(s, t)e∗ (ds)où γ(s, t) est la fonction de covariance. Dans le cas particulier de la mesurede Wiener nous obtenonsetRe ∗ (t) =〈Re ∗ , Rf ∗ 〉 Hµ=∫ 10∫ t0e ∗ ([s, 1])ds(Re ∗ ) ′ (t) (Rf ∗ ) ′ (t)dt.L’espace de Hilbert noyau auto-reproduisant est l’espace de Sobolev H 1 0 (0, 1).Il est constitué de fonctions absolument continues, nulles en 0. On l’appelleaussi espace de Cameron-Martin.23