T H`ESE - ENS Cachan

Introductionc’est une martingale et un processus de Markov) et tel que pour t > s,β √t−s t−β ssuit la loi N (0, 1). La dernière propriété est une propriété de stationnarité.De manière équivalente, il s’agit d’un processus Gaussien (les marginalesfini-dimensionnelles (β t1 , ..., β tn ) sont des vecteurs Gaussiens), centré,de fonction de covariance E(B t B s ) = t ∧ s. Le mouvement Brownien est lui,contrairement au bruit blanc, corrélé en temps ; comme cela est précisé plushaut, il s’agit d’un processus de Markov. La mesure de Wiener est la mesureimage sur C([0, T ]) de la probabilité P sur l’espace probabilisé sous-jacent Ωpar l’application qui à ω ∈ Ω associe la trajectoire t ↦→ B t (ω).Considérons le bruit blanc à valeurs dans R, notons S n = ∑ ni=1 X ila marche aléatoire (S 0 = 0) et définissons la trajectoire interpolée S t =S ⌊t⌋ + (t − ⌊t⌋)X ⌊t⌋+1 . Le théorème de Donsker indique qu’à changementd’échelle et, à la renormalisation correspondant à celle du théorème de lalimite centrale près, la marche aléatoire interpolée converge en loi vers unetrajectoire ( Brownienne. ) Il donne plus précisément que la loi du processusSt n = 1σ √ n S nt , où t≥0 σ2 = E(Xi 2 ), converge étroitement vers la mesure deWiener.Par ailleurs, le mouvement Brownien définit une variable aléatoire à valeursdans l’espace de Banach C ([0, T ]) ou dans L 2 (0, T ). L’opérateur decovariance Q dans L 2 (0, T ), muni du produit scalaire usuel (·, ⋆) L 2 s’exprimeen fonction de la fonction de covariance par, étant donné ϕ et ψ dansL 2 (0, T ),(Qϕ, ψ) L 2 =∫ T0(t ∧ s)ϕ(s)ds.L’opérateur est auto-adjoint compact et nous avons, en corollaire du théorèmeusuel de diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts, la décompositionde Karhunen-Loeve :il existe une famille (ξ j ) j∈Nde variables aléatoires de loi normale standardN (0, 1) indépendantes et (e j ) j∈Nune base Hilbertienne de L 2 (0, T )constituée de fonctions propres de Q associées aux valeurs propres λ j tellesqueβ(t) = ∑ j∈N√λj ξ j e j (t).Dans le cas où T = 1, nous avons)πt)β(t) = √ 2 ∑ sin (( n + 1ξ j ( )2j∈N n +1.2 π21