T H`ESE - ENS Cachan

Introductionsi l’une des conditions suivantes est satisfaite :(i) H (u 0 ) < 0,(ii) H (u 0 ) = 0 et Im ∫ R d x.u 0 (x)∇u 0 (x)dx < 0,(iii) H (u 0 ) > 0 et Im ∫ R d x.u 0 (x)∇u 0 (x)dx ≤ −4 √ H (u 0 )‖xu 0 ‖ L 2 (R d ).Theorem 1.1.2 Si d = 1 et σ = 2, toute condition initiale de H 1 (R d ) telleque H (u 0 ) < 0 explose en temps fini.Si d ≥ 2 et 2 d ≤ σ ≤ 2d−2 ∧ 2, toute condition initiale de H1 (R d ) à symétrieradiale, i.e. ne dépendant que de |x|, telle que H (u 0 ) < 0, explose en tempsfini.Ce deuxième résultat dû à Ogawa et Tsutsumi présente l’intérêt de s’affranchirde la restriction à des données initiales de variance finie. Il existeégalement un certains nombre de résultats fins, voir [136], sur l’explosion :taux d’explosion, auto-similarité et concentration de la masse en dimensioncritique...1.1.4 Les ondes solitairesUn équilibre entre effet non linéaire et dispersion peut entraîner l’existencede solutions que l’on appelle ondes solitaires ou, dans certains cas,solitons. Ce phénomène a été découvert empiriquement par l’ingénieur JohnScott Russel en 1834. Se promenant sur le bord d’un canal, il vit se déplacerune onde qui s’était formée à la proue d’un bateau tiré par des chevaux.Cette onde se mit à cheminer seule, alors que le bateau s’était arrêté, surune longue distance, sans que sa forme ou sa vitesse ne s’altère. L’EDPdécrivant la propagation de vagues de grande longueur d’onde et de petiteamplitude A à la surface d’un canal de faible profondeur h 0 est l’équation deKorteweg-de Vries. Elle peut s’obtenir à partir des équations d’Euler. Ellepossède des solutions de type ondes progressives de la forme ϕ(x − ct). Dansle cas d’une dimension en espace, la fonction ϕ s’écrit(√ )ϕ(z) = Asech 2 3Az ,la vitesse est donnée par c = √ gh 0(1 + A2h 0). Rappelons que la fonctionsécante hyperbolique s’exprime sech(z) = 1cosh(z). La solution est donc localisée.Les ondes solitaires interviennent désormais dans plusieurs branches dela physique : en optique, en physique des plasmas, en astrophysique, en4h 3 013