Quasilinear parabolic problems with nonlinear boundary conditions

Rico Zacher: Quasilinear parabolic problems with nonlinear boundary
conditions (Zusammenfassung)
Die vorliegende Arbeit widmet sich dem Studium der Lp-Theorie für die nachfolgend
beschriebene Klasse von quasilinearen parabolischen Problemen mit nichtlinearen Randbedingungen.
Sei Ω ⊂ R n ein beschränktes Gebiet mit C 2 -Rand Γ, welcher sich aus zwei
disjunkten abgeschlossenen Mengen ΓD und ΓN zusammensetzt. Für die unbekannte
skalare Funktion u : R+ × Ω → R betrachten wir das Problem
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂tu + dk ∗ (A(u) : ∇ 2 u) = F (u) + dk ∗ G(u), t ≥ 0, x ∈ Ω
BD(u) = 0, t ≥ 0, x ∈ ΓD
BN(u) = 0, t ≥ 0, x ∈ ΓN
u|t=0 = u0, x ∈ Ω.
(NP)
Dabei sind (dk ∗ w)(t, x) = � t
0 dk(τ)w(t − τ, x), t ≥ 0, x ∈ Ω, ∂tu die partielle Ableitung
von u nach t, ∇u = ∇xu der Gradient von u bezüglich der räumlichen Variablen und
∇2u die zugehörige Hesse-Matrix, d.h. (∇2u)ij = ∂xi∂xj u, i, j ∈ {1, . . . , n}. Ferner steht
B : C = � n
i=1, j=1 BijCij für das Doppelskalarprodukt von zwei Matrizen B, C ∈ R n×n .
Die Substitutionsoperatoren sind gegeben durch
A(u)(t, x) = −a(t, x, u(t, x), ∇u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ Ω,
F (u)(t, x) = f(t, x, u(t, x), ∇u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ Ω,
G(u)(t, x) = g(t, x, u(t, x), ∇u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ Ω,
BD(u)(t, x) = b D (t, x, u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ ΓD,
BN(u)(t, x) = b N (t, x, u(t, x), ∇u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ ΓN,
wo a eine Rn×n-wertige und f, g, bD , bN skalare Funktionen sind. Der skalare Kern
k ∈ BVloc(R+) mit k(0) = 0 gehört einer gewissen Klasse von Kernen mit Parameter
α ∈ [0, 1) an, welche, grob gesprochen, alle ”regulären” Kerne enthält, die sich wie
tα für t (> 0) nahe Null verhalten. Der Spezialfall k(t) = 1, t > 0, wo sich die Integrodifferenzialgleichung
zu einer partiellen Differenzialgleichung vereinfacht, ist in dieser
Formulierung mit enthalten.
Gleichungen der Form (NP) treten in einer Vielzahl von angewandten Problemen
auf. Wichtige Beispiele sind die nichtlineare Viskoelastizität und Wärmeleitung in Materialien
mit Gedächtnis. Obwohl es in der Literatur eine Fülle von Resultaten zu Problemen
der Form (NP) gibt, scheint nur wenig in Bezug auf eine Lp-Theorie im Falle der
Integrodifferenzialgleichung mit nichtlinearen Randbedingungen bekannt zu sein.
Unter geeigneten Voraussetzungen an die Nichtlinearitäten und den Anfangswert
wird in der Arbeit nachgewiesen, dass das Problem (NP) eine eindeutige lokale starke
Lösung in folgendem Sinn besitzt: Sei n + 2/(1 + α) < p < ∞. Dann gibt es ein T > 0,
so dass im Raum ZT = H1+α p
([0, T ]; Lp(Ω)) ∩ Lp([0, T ; H 2 p(Ω)) genau eine Funktion u
existiert, welche (NP) genügt. Hierbei bezeichnet H s p([0, T ]; Lp(Ω)) (s > 0) den vektorwertigen
Besselpotenzialraum von Funktionen auf [0, T ] mit Werten im Lebesgueraum
Lp(Ω). Die obige Voraussetzung an p ist wesentlich; sie stellt sicher, dass die Einbettung
Z T ↩→ C(J; C 1 (Ω)) gilt.
Die Grundidee des Beweises besteht darin, für ein mit (NP) verwandtes lineares
Problem (LP) mit inhomogenen Randdaten optimale Regularitätsabschätzungen vom
Lp-Typ herzuleiten, welche es erlauben, (NP) als Fixpunktgleichung im Raum Z T zu
schreiben. Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes werden dann für hinreichend