向量數學 - 正修科技大學

向 量 數 學廖 炳 松正 修 科 技 大 學 電 機 系

教 學 要 綱‧ 向 量 講 解 網 站‧ 純 量 與 向 量 表 示‧ 向 量 與 二 維 直 角 座 標 系‧ 向 量 與 二 維 極 座 標 系‧ 向 量 與 三 維 座 標 系‧ 向 量 加 法 、 減 法‧ 向 量 內 積‧ 向 量 外 積

http://csm01.csu.edu.tw/0166/Math3/math_3.htm正 修 科 技 大 學通 識 教 育 中 心 數 學 科

http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=8312向 量 加 法• 向 量 加 法

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http://163.32.74.20/cfc/T-math/90Nmath09/90Nmath09.html由 解 90 年 聯 考 自 然 組 數 學 的 一 題 來 複 習 「 坐 標 化 與 空 間 中 向 量 的 內 積 」

純 量 A 與 向 量A ‧ 純 量 (scalar)– 一 物 理 量 可 用 正 數 或 負 數 表 示 者 , 稱 之 為 純 量 。– 質 量 、 體 積 、 距 離 ( 長 度 ) 、 面 積 大 小 、 速 率 都 是 屬 於 純 量 。– 純 量 以 斜 體 字 表 示 , 如 A。– 純 量 的 運 算 法 則 與 一 般 的 代 數 運 算 相 同 。‧ 向 量 (vector)– 具 有 大 小 與 方 向 的 量 。– 位 移 、 面 積 向 量 ( 法 向 量 )、 速 度 、 力 和 力 矩 都 是 屬 於 向 量 。– 向 量 通 常 在 一 個 字 母 上 加 上 箭 號 如 , 或 粗 體 字 A 表 示 。– 向 量 A 的 大 小 ( 長 度 ) 以 | A | 或 表 示 。 ( 通 常 長 度 是 正 數 )A

向 量 與 二 維 直 角 座 標 系A‣ 在 二 維 空 間 中 , 原 點 O 有 刻 度 的 軸 座 標 ( 正 或 負 )‣ 點 P 以 笛 卡 兒 座 標 (x , y)(x , y) 表 示 。x 和 y 就 是 從 原 點 出 發並 分 別 沿 兩 軸 移 動 到 P 點 所 經過 的 刻 度 數 。點 P 的 直 角 座 標 為 (x , y)

向 量 與 平 面 極 座 標 系向 量 與(plane polar coordinates)在 平 面 極 座 標 系 中 ,P 點 是 以 線 段 OP 的 長 度 及此 線 段 與 與 參 考 軸 ( 正 x 軸 ) 間 的 夾 角 θ 表 示 。兩 種 座 標 間 的 關 係 如 下 :(, r θ )A注 意 θ 角 度 是 從 +x 軸逆 時 針 起 算 。

向 量 與 三 維 座 標 系ZYA(x,y, z)YA(x,y, z)XXZ右 手 定 則

• [PDF] 空 間 座 標 系 統 PDF 文 件 -98 學 年 第二 學 期 數 位 模 型 構 築– 檔 案 類 型 : PDF/Adobe Acrobat -2010 年 3 月 3 日 ... 球 座 標 系 統 .– Spherical coordinate system. •– 球 座 標 系 統 是 三 維 座 標 系 統 ; 座 標 系 統 中 的 點用 兩 個 角 度 φ、 θ 與 半 徑 長 度 ɣ 定 義 。– Point (ɣ, φ, θ) ...moodle.ncku.edu.tw/mod/resource/view.php?id=20050

向 量 與 三 維 座 標 系ZA(x,y, z)YXhttp://zh.wikipedia.org/zh-tw/File:Spherical_with_grid.svg

向 量 與 三 維 座 標 系ZA(x,y, z)cos( θ ) =Yzr2 2 2r = x + y + zXytan( ϕ ) =xhttp://zh.wikipedia.org/zh-tw/File:Spherical_with_grid.svg

標 示 出 向 量 的 座 標 位 置向 量 A = 2i - 3j + 6k m,B = i +2j - 3k m,標 示 出 向 量 A 和 B 向 量 的 座 標 位 置ZABYX

向 量 與 三 維 座 標 系ZA(x,y, z)YXhttp://zh.wikipedia.org/zh-tw/File:Spherical_with_grid.svg

向 量 加 法‧ 幾 何 作 圖 法ZZ(A x +B x ,A y +B y , A z +B z )(A(A x,A y, A z)x,A y, A z)A (B x ,B y , B z ) AB B(BY x,B y, B z)YXX

向 量 減 法‧ 幾 何 作 圖 法Z(A x -B x ,A y -B y , A z -B z )- BAB(A x +B x ,A y +B y , A z +B z )(A x,A y, A z)(B x,B y, B z)YX平 行 四 邊 形

向 量 加 法 、 減 法代 數 法Z(A x,A y, A z)AB (B x ,B y , B z )YXA+B=(A x,A y,A z)+(B x,B y,B z)=(A x+B x,A y+B y, A z+B z)A-B=(A x,A y,A z)-(B x,B y,B z)=(A x-B x,A y-B y, A z-B z)

向 量 加 法 、 減 法已 知 向 量 A = 2i - 3j + 6k m,B = i +2j - 3k m,求 :(a) A + B;(b) ∣A+B∣;(c) 2A-3B代 數 法(a) A + B=(2, -3, 6) + (1, 2, -3)=(3, -1, 3)(b)∣A+B∣=2 2 23 + ( − 1) + 3 = 19(c) 2A -3B=2 x (2, -3, 6) -3 x (1, 2, -3)=(1, -12, 21)

向 量 內 積 ( 代 數 觀 點 )• 兩 個 向 量 A(x 1 , y 1 , z 1 ) 與 B(x 2 , y 2 , z 2 ) 的 內 積 運 算 :A• B = (x 1 , y 1 , z 1 ) • (x 2 , y 2 , z 2 )= x 1 *x 2 + y 1 *y 2 + z 1 *z 2• 向 量 內 積 運 算 後 結 果 是 個 純 量 , 不 帶 有 方 向 性 。

向 量 內 積 ( 幾 何 觀 點 )• 向 量 A(x 1 , y 1 , z 1 ) 與 B(x 2 , y 2 , z 2 ) 內 積 運 算 等 同 於 下面 這 個 式 子 :A * B = | A | * | B | * cosθ其 中 θ 為 向 量 A(x 1 , y 1 , z 1 ) 與 B(x 2 , y 2 , z 2 ) 的 夾 角• 內 積 在 圖 形 上 的 意 義 如 下 所 示 :

向 量 外 積 ( 代 數 觀 點 )A= ( Ax, Ay, Az), B=( Bx, By, Bz) i j k A× B=A A Ax y zBx By Bz = ( AB −BA) i−( AB − BA) j+ ( AB −BA)ky z y z x z x z x y x y

向 量 外 積 ( 幾 何 觀 點 )• 向 量 A、 向 量 B 的 外 積 結 果 為 另 一 組向 量 C•C 的 方 向 與 包 含 A、B 兩 向 量 的平 面 互 相 垂 直 , 其 方 向 依 右 手 定則 決 定 。•C 的 大 小 為 AB sinθ其 中 θ 為 向 量 A 與 B 的 夾 角 (0 ° ≤θ

求 A = 3i - 2j + k 與 B = i + 4j - 2k 的 向 量外 積 A × B, B × Ai j k解 向 量 外 積 為A× B=3 -2 1 B× A=1 4 -2= (0, 7, 14)i j k1 4 -23 -2 1= (0, -7, -14)