The Boundary Element Method for the Helmholtz Equation ... - FEI VÅ B

55which corresponds to a vector g D ∈ C N . The solution g N,h is given by the GalerkinequationsEgl N ⟨V κψ l , ψ k ⟩ ∂Ω =l=1Nj=1For the left-hand side of (4.6) we obtainwithg D jEgl N ⟨V κψ l , ψ k ⟩ ∂Ω =l=1C E×E ∋ V κ,h [k, l] :==τ k 12 I + K κϕ j , ψ kEl=1El=1The right-hand side of (4.6) yieldswithandNj=1g D j 12 I + K κϕ j , ψ k===Nj=1Nj=1Nj=1g D jg D jg D j 12 12C E×N ∋ K κ,h [k, j] :=∂Ωg N lg N l∂Ωτ k∂Ωfor all k ∈ {1, . . . , E}. (4.6)ψ k (x) ψ l (y)v κ (x, y) ds y ds x∂Ωτ lv κ (x, y) ds y ds x =τ lv κ (x, y) ds y ds x = 14π∂ΩEgl N V κ,h[k, l]l=1τ kτ le iκ∥x−y∥∥x − y∥ ds y ds x . (4.7) ψ k (x)ϕ j (x) ds x + ψ k (x) ϕ j (y) ∂v κ(x, y) ds y ds x∂Ω ∂Ω ∂n yτ kϕ j (x) ds x +τ k 12 M h[k, j] + K κ,h [k, j]τ k= 14π∂Ωϕ j (y) ∂v κ∂n y(x, y) ds y ds xR E×N ∋ M h [k, j] := ϕ j (x) ds xτ k(4.8)∂Ω τ kϕ j (y) ∂v κ∂n y(x, y) ds y ds x (4.9)∂Ωϕ j (y) eiκ∥x−y∥∥x − y∥ 3 (1 − iκ∥x − y∥)⟨x − y, n(y)⟩ ds y ds x .(4.10)