v2010.10.26 - Convex Optimization

696 APPENDIX D. MATRIX CALCULUSD.2.5determinant∇ X detX = ∇ X detX T = det(X)X −T∇ X detX −1 = − det(X −1 )X −T = − det(X) −1 X −T∇ X det µ X = µ det µ (X)X −T∇ X detX µ = µ det(X µ )X −T∇ X detX k = k det k−1 (X) ( tr(X)I − X T) , X ∈ R 2×2∇ X detX k = ∇ X det k X = k det(X k )X −T = k det k (X)X −T∇ X det µ (X+ t Y ) = µ det µ (X+ t Y )(X+ t Y ) −T∇ X det(X+ t Y ) k = ∇ X det k (X+ t Y ) = k det k (X+ t Y )(X+ t Y ) −Tddet(X+ t Y ) = det(X+ t Y ) tr((X+ t Y dt )−1 Y )d 2dt 2 det(X+ t Y ) = det(X+ t Y )(tr 2 ((X+ t Y ) −1 Y ) − tr((X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 Y ))ddet(X+ t Y dt )−1 = − det(X+ t Y ) −1 tr((X+ t Y ) −1 Y )d 2dt 2 det(X+ t Y ) −1 = det(X+ t Y ) −1 (tr 2 ((X+ t Y ) −1 Y ) + tr((X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 Y ))ddt detµ (X+ t Y ) = µ det µ (X+ t Y ) tr((X+ t Y ) −1 Y )D.2.6logarithmicMatrix logarithm.dlog(X+ t Y dt )µ = µY (X+ t Y ) −1 = µ(X+ t Y ) −1 Y ,dlog(I − t Y dt )µ = −µY (I − t Y ) −1 = −µ(I − t Y ) −1 YXY = Y X[203, p.493]