v2010.10.26 - Convex Optimization

694 APPENDIX D. MATRIX CALCULUStrace continueddtrg(X+ t Y ) = tr d g(X+ t Y )dt dt[203, p.491]dtr(X+ t Y ) = trYdtddt trj (X+ t Y ) = j tr j−1 (X+ t Y ) tr Ydtr(X+ t Y dt )j = j tr((X+ t Y ) j−1 Y )(∀j)d2tr((X+ t Y )Y ) = trYdtdtr( (X+ t Y ) k Y ) = d tr(Y (X+ t Y dt dt )k ) = k tr ( (X+ t Y ) k−1 Y 2) , k ∈{0, 1, 2}dtr( (X+ t Y ) k Y ) = d tr(Y (X+ t Y dt dt )k ) = tr k−1 ∑(X+ t Y ) i Y (X+ t Y ) k−1−i Ydtr((X+ t Y dt )−1 Y ) = − tr((X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 Y )dtr( B T (X+ t Y ) −1 A ) = − tr ( B T (X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 A )dtdtr( B T (X+ t Y ) −T A ) = − tr ( B T (X+ t Y ) −T Y T (X+ t Y ) −T A )dtdtr( B T (X+ t Y ) −k A ) = ..., k>0dtdtr( B T (X+ t Y ) µ A ) = ..., −1 ≤ µ ≤ 1, X, Y ∈ S M dt +d 2tr ( B T (X+ t Y ) −1 A ) = 2 tr ( B T (X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 A )dt 2dtr( (X+ t Y ) T A(X+ t Y ) ) = tr ( Y T AX + X T AY + 2tY T AY )dtd 2tr ( (X+ t Y ) T A(X+ t Y ) ) = 2 tr ( Y T AY )dt 2 (d ((X+ tr dt t Y ) T A(X+ t Y ) ) ) −1( ((X+= − tr t Y ) T A(X+ t Y ) ) −1(Y T AX + X T AY + 2tY T AY ) ( (X+ t Y ) T A(X+ t Y ) ) ) −1ddttr((X+ t Y )A(X+ t Y )) = tr(YAX + XAY + 2tYAY )d 2dt 2 tr((X+ t Y )A(X+ t Y )) = 2 tr(YAY )i=0