ON SOME PROPERTIES OF ANALYTIC FUNCTIONS FROM ...

Abstract. Let D be a simply connected domain bounded by a simpleclosed rectifiable curve Γ and L p(t) (D) denote the Lebesgue space withvariable exponent.The present work reveals different conditions regarding the functions p(t)and the domain D under fulfilment of which the Cauchy type integrals withdensity from L p(t) (Γ) belong to the Smirnov class E p(t) (D).When the domain D is bounded by the Lavrent’yev curve, the analogueof the well-known Smirnov’s theorem is stated: if φ ∈ E p1(·) (D), φ + (t) ∈L p2(t) (Γ), then φ ∈ E ˜p(t) (D), where ˜p(t) = max(p 1 (t), p 2 (t)).2010 Mathematics Subject Classification. 47B38, 42B20, 45P05.Key words and phrases. Smirnov classes of analytic functions, variableexponent, Cauchy type integral, regular curves, Lavrent’yev curves.îâäæñéâ. ãåóãŽå, D éŽîðæãæ, öâçîñèæ, àŽûîòâãŽáæ Γ ûæîæå öâéëïŽäôãîñèæïŽïîñèæ ŽîâŽ, ýëèë L p(t) (D) Žîæï èâIJâàæï ùãèŽáéŽøãâêâIJèæŽêæïæãîùâ.àŽéëãèâêæèæŽ p(t) òñêóùææïŽ áŽ D Žîæï éæéŽîå æïâåæ ìæîëIJâIJæ, îëéâèåŽöâïîñèâIJŽ æûãâãï L p(t) (Γ) çèŽïæï ïæéçãîæãæï éóëêâ çëöæï ðæìæï æêðâàîŽèåŽéæçñåãêâIJŽï ïéæîêëãæï E p(t) (D) çèŽïæïŽáéæ.îëùŽ D öâéëïŽäôãîñèæŽ èŽãîâêðæâãæï Γ ûæîæå, áŽáàâêæèæŽ ïéæîêëãæïùêëIJæèæ åâëîâéæï öâéáâàæ ïŽýæï ŽêŽèëàæ: åñ φ ∈ E p 1(·) (D), ýëèë φ + (t) ∈L p2(t) (Γ), éŽöæê φ ∈ E ˜p(t) (D), ïŽáŽù ˜p(t) = max(p 1 (t), p 2 (t)).

76 Vakhtang Paatashviliare sizes of interior with respect to D angles at these points, we say thatΓ ∈ C 1 D(A 1 , A 2 , . . . , A n ; ν 1 , ν 2 , . . . , ν n ).The set of piecewise Lyapunov curves with the same properties we denote by(iv) AssumeC 1,LD (A 1, A 2 , . . . , A n ; ν 1 , ν 2 , . . . , ν n ).S Γ : f → S Γ f, (S Γ f)(t) = 1 πi∫Γf(τ)dτ, t ∈ Γ.τ − tWe write Γ ∈ R p , p > 1, if the operator is continuous in L p (Γ).2.2. Conformal Mappings.2.2.1. If z = z(w) is a conformal mapping of the circle U = {w : |w| < 1}onto the domain D with the boundary Γ∈C 1,LD (A 1, A 2 , . . . , A n ;ν 1 , ν 2 , . . . , ν n ),0 < ν k ≤ 2, thenn∏z ′ (w) ∼ (w − a k ) νk−1 , A k = z(a k ), (1)k=1where f ∼ g denotes that 0 < inf | f g | ≤ sup | f g | < ∞ [4].2.2.2. If Γ is a simple closed curve bounding the domain D, and Γ ∈ Λ,then there exist positive numbers η and σ such thatz ′ ∈ H 1+η 1,z ′ ∈ Hσ , (2)where H σ is the Hardy class of analytic in U functions (see, e.g., [5, p. 170]).2.2.3. If Γ ∈ CD 1 (A 1, A 2 , . . . , A n ; ν 1 , ν 2 , . . . , ν n ), 0 < ν k ≤ 2, thenn∏∫z ′ (w) ∼ (w − a k ) νk−1 ψ(ζ)exp ds, (3)ζ − wk=1where ψ(ζ) is the real continuous function on γ, γ = {ζ : |ζ| = 1} ([6], seealso [7, p. 144]).2.2.4. Let D be the bounded domain with a simple rectifiable boundaryΓ, and let z = z(w) be the conformal mapping of U onto D. D is said tobe Smirnov’s domain (and Γ is said to be Smirnov’s curve), if the functionln |z ′ (w)| is representable by the Poisson integral, i.e.,ln |z ′ (re iϕ )| = 12π∫2π0ln |z ′ (e iϑ )|(for these classes see, e.g., [8, pp. 250–252]).γ1 − r 21 + r 2 − 2r cos(ϑ − ρ) dϑ

78 Vakhtang PaatashviliIf p ∈ P(Γ), then the set L p(·) (Γ; ω) is the Banach space with the norm‖ · ‖ L p(·) (Γ;ω).Along with the class P(Γ), we introduce into consideration one more classof functions P 1+ε (Γ), ε > 0. This is a subset of those functions p(t) fromP(Γ) for which the condition (4) is replaced by the conditionAssume|p(t 1 ) − p(t 2 )| 0P 1+ε . (7)2.5. The Hardy and Smirnov Classes with a Variable Exponent.Let D be the inner domain bounded by a simple closed curve Γ, and letp = p(t) be the given on Γ measurable positive function. Moreover, letz = z(w) be the conformal mapping of the circle U with boundary γ ontothe domain D, and let ω = ω(z) be the measurable on D function.By E p(t) (D; ω) we denote a set of all those analytic in D functions φ(z)for which∫2π∣sup ∣φ(z(re iϑ ))ω(z(re iϑ )) ∣ p(z(eiϑ ))|z ′ (re iϑ )| dϑ < ∞. (8)Assume0

80 Vakhtang PaatashviliProof. Let φ ∈ E p(·) (D). This is equivalent to the fact thatwhereandThusΨ(w) = φ(z(w)) ∈ H l(·) (m(w)), (13)m(w) = m(re iϑ ) = |z ′ (re iϑ )|p(z(e iϑ )) . (14)φ(z) ∈ E p(·) (D) ⇐⇒ Ψ(w) = φ(z(w)) ∈ H l(·) (m(w)). (15)Let us now make use of the result given in [15]:if l ∈ ˜P(γ), thenm(w) ∼ m 0 (w) = m 0 (re iϑ ) =n∏( ∫= (w − a k ) ν k −1l(a 1k) expl(e iϑ )k=1m 0 (w) ∼ ρ(w) =n∏k=1∫(w − a k ) ν k −1l(a k) expγ1γ)ψ(ζ)ζ − re iϑ dζ , (16)ψ(ζ)l(ζ)dζζ − w . (17)It follows from (16), (17) that m(w) ∼ ρ(w), and hence by virtue of (15),we conclude thatH l(·) (m(w)) = H l(·) (ρ(w)), (18)whence, in view of (13), it follows that the first statement of the theorem isvalid.Let now Γ ∈ C 1,LD(A 1, A 2 , . . . , A n ; ν 1 , ν 2 , . . . , ν n ), 0 < ν k ≤ 2, and p ∈P(Γ). In this case, the function ψ in the representation (3) belongs to theHölder class ([7, pp. 146] and [16]). Therefore the function ∫ ψ(ζ)ζ−wdζ isγbounded in U (see, e.g., [17, pp. 50, 71]). But then in U are boundedlikewise the functions(exp ± 1 ∫)ψ(ζ)l(e iϑ ) ζ − re iϑ dζ .γThus, on the basis of (16), we find that the second statement of thetheorem is also valid.□3.2. One Condition for Coincidence of the Classes Q(Γ) and ˜P(Γ).Theorem 2. If the domain D is such that for conformal mapping z =z(w) of the circle U onto D we havez ′ (w) ∈ ⋃ δ>0H 1+δ , (19)thenQ(Γ) = ˜P(Γ). (20)

On Some Properties of Analytic Smirnov Class Functions with a Variable Exponent 81Proof. By virtue of the definition of the class of functions Q(Γ) (see (10)),it suffices to state that: if p ∈ ˜P(Γ), then l ∈ ˜P(γ). Towards this end, weshall use the following statement from [3]:If p ∈ P(Γ), then under the condition (19), we have|l(τ 1 − l(τ 2 )| ≤A| ln |z(τ 1 ) − z(τ 2 )|| < A ′| ln |τ 1 − τ 2 || . (21)If p ∈ ˜P(Γ), then there exists the number ε > 0 for which the condition(6) is fulfilled. Then|l(τ 1 − l(τ 2 )| ≤A| ln |z(τ 1 ) − z(τ 2 )|| 1+εand (21) yields |l(τ 1 − l(τ 2 )| ≤ A ′ | ln |τ 1 − τ 2 || −(1+ε) .P 1+ε (γ), and hence l ∈ ˜P(γ).Corollary 1. If Γ ∈ Λ, then the equality (20) holds.Consequently, l ∈□This statement follows immediately from Theorem 2, if we take intoaccount the fact that the inclusions (2) in the case under consideration arevalid (see item 2.2.2).Corollary 2. If Γ ∈ C 1 D (A 1, A 2 , . . . , A n ; ν 1 , ν 2 , . . . , ν n ), 0 < ν k ≤ 2,k = 1, . . . , n, then Q(Γ) = ˜P(Γ).Indeed, since the function exp ∫ ψ(ζ)ζ−wdζ for the continuous real ψ belongsγto ⋂ H δ (see [12] and [7, p. 96]), it is not difficult to state that z ′ ∈ H 1+δ0δ>1for some δ 0 > 0.Corollary 3. In the assumption of Corollary 2, the class Q(Γ) in Theorem1 can be replaced by the class ˜P(Γ).3.3. One Subset of the Class ˜P(Γ) Contained in Q(Γ). Note firstthat according to Corollary 2, for p ∈ ˜P(Γ) the curves Γ of the class Γ ∈CD 1 (A 1, A 2 , . . . , A n ; ν 1 , ν 2 , . . . , ν n ), 0 < ν k ≤ 2, belong to Q(Γ). However,if for some j we have ν j = 0, then this statement is, generally speaking,doubtful. Therefore for such curves it is desirable to indicate certain sets offunctions p(t) for which the equality (20) remains valid.Let p(t) be such a function from P(Γ) ( ˜P(Γ)) which is constant in someneighborhoods of the points A νj . By virtue of the above-said, there existsthe number σ > 0 such that as soon as |t 1 − t 2 | < σ, the inequality(4) ((6)) will be fulfilled. Since the conformal mapping of the domains ofabove-mentioned type transfers the arcs of the boundary Γ into those ofthe circumference γ (see., e.g., [18, p. 46]), there exist neighborhoods ofthe points a νj at which the condition (4) ((6)) is fulfilled. Consequently,there exists the number σ γ > 0 such that for |τ 1 − τ 2 | < σ γ , τ 1 , τ 2 ∈ γ, the

82 Vakhtang Paatashviliinequality (4) ((6)) will be fulfilled. It is easy to verify that (4) ((6)) is validfor any pairs τ 1 , τ 2 lying on γ. This implies that l(τ) ∈ P(γ).From the above, in particular, it follows that for the curves and functionsp(t) under consideration, we have ˜P(Γ) = Q(Γ). Moreover, in theseassumptions, the set Q(Γ) in Theorem 1 can be replaced by the set ˜P(Γ).4. The Cauchy Type Integrals and Smirnov ClassesIt is not difficult to state that if D is a simply connected domain boundedby a simple rectifiable curve Γ, and p ∈ P(Γ), then the functions of the classE p(·) (D) are representable by the Cauchy type integral with density fromL p(·) (Γ) (see Theorem 3 below). However, one fails to inverse this statementto a full entent. It is shown in [2] that in the case of piecewise Lyapunovcurves this way is quite possible.In this section we prove that the integrals (K Γ ϕ)(z), ϕ ∈ L p(·) (Γ), belongto E p(·) (D) under some, very important for applications, assumptionsregarding Γ and p(t), including the case in which Γ is an arbitrary piecewisesmooth curve, and p(t) ∈ Q(Γ).4.1. The Representability of Functions from E p(·) (D) by the CauchyType Integral.Theorem 3. If D is the inner domain bounded by a simple rectifiablecurve Γ, and φ ∈ E p(·) (D), where p ∈ P(Γ), then φ is representable by theCauchy type integral with density from L p(·) (Γ).Proof. It follows from the definition of the class E p(·) (D) that E p(·) (D) ⊂E p (D), and since p ∈ P(Γ), hence p > 1. Thus E p(·) (D) ⊂ E 1 (D). Thisimplies that φ is representable by the Cauchy type integral, i.e.,φ(z) = (K Γ φ + )(z), z ∈ D, (22)(see, e.g., [8, p. 205]). Moreover, the function F (w) = φ(z(w))[z ′ (w)] 1/p isof the Hardy class H p , and hence almost everywhere on γ there exists anangular boundary value F + (τ). Since z ′ ∈ H 1 (see, e.g., [8, p. 405]), therelikewise exists [z ′ (w)] + = z ′ (τ). Thus the boundary value of the functionΦ(z(w)) exists. Relying on this fact, we can conclude thatlimr→1(|Φ(re iϑ )| p(z(eiϑ )) |z ′ (re iϑ )|)= ∣ ∣φ(z(e iϑ )) ∣ p(z(eiϑ ))|z ′ (e iϑ )|.Using the Fatou lemma, by virtue of (8), we conclude that∫2π∣∣φ(z(e iϑ )) ∣ p(z(eiϑ ))|z ′ (e iϑ )| dϑ < ∞.0The above-said is equivalent to the fact that ∫ |φ + (t)| p(t) |dt| < ∞, i.e.,Γφ + ∈ L p(·) (Γ). But then the equality (22) implies that φ(z) is representedby the Cauchy type integral with density from L p(·) (Γ).□

12Heilberufsgesetz - Stand: 01.01.2005Satz 1 gilt sinngemäß auch für die anderen Weiterbildungsstätten.§ 45Die im übrigen Geltungsbereich der Tierärzteordnung inder Fassung vom 20. November 1981 (BGBl. I S. 1194),zuletzt geändert durch Gesetz vom 27. April 2002 (BGBl. IS. 1467), erteilte Anerkennung, eine Bezeichnung im Sinnedes § 26 zu führen, gilt auch in Hessen. Dasselbe gilt fürdie Ermächtigung und die Zulassung zur Weiterbildung.Soweit die Weiterbildungsordnung entsprechende GebietsoderTeilgebietsbezeichnungen vorsieht, dürfen sie geführtwerden.Fünfter TitelDie Weiterbildung der Apothekerinnen und Apotheker§ 46(1) Gebiets- und Teilgebietsbezeichnungen bestimmt dieLandesapothekerkammer in den Fachrichtungen1. Arzneimittelabgabe, -versorgung und -information,2. Arzneimittelentwicklung, -herstellung und -kontrolle,3. Theoretische Pharmazie,4. Ökologieund in Verbindung dieser Fachrichtungen.(2) Gebietsbezeichnung ist unbeschadet des Abs. 1 auchdie Bezeichnung "Öffentliches Gesundheitswesen".(3) Die Landesapothekerkammer wird ermächtigt, abweichendvon § 34 Abs. 1 in der Weiterbildungsordnungfestzulegen, dass in Ausnahmefällen Befreiung von derBeschränkung auf das Gebiet erteilt werden kann,wenn andernfalls eine ausreichende Existenzgrundlagefür die Apothekerin oder den Apotheker entfiele oderdie ordnungsgemäße Arzneimittelversorgung derBevöl-kerung nicht gesichert wäre. Die Befreiung istwiderruf-lich und in der Regel befristet zu erteilen. Siekann verlängert und wiederholt erteilt werden.§ 47(1) Die Weiterbildung nach § 29 Abs. 7 umfaßt für Apothekerinnenund Apotheker insbesondere die Vertiefungder Kenntnisse und Fähigkeiten in der Herstellung,Prüfung, Abgabe und Wirkungsweise der Arzneimitteleinschließlich der Wechselbeziehungen zwischenMensch und Umwelt.(2) Unbeschadet der §§ 29 bis 32 gelten für die Weiterbildungin dem Gebiet "ÖffentlichesGesundheitswesen" die dafür maßgeblichenBestimmungen. Die Aufsichts-behörde wird ermächtigt,das Nähere, insbesondere Inhalt und Dauer derpraktischen Berufstätigkeit und der theoretischenUnterweisung, die Ermächtigung von Apothekerinnenund Apothekern und die Zulassung vonWeiterbildungsstätten sowie das Prüfungs- und Anerkennungsverfahren,durch Rechtsverordnung zu regeln.(3) Unbeschadet des § 30 Abs. 1 kann die Weiterbildungauch in zugelassenen Apotheken, Krankenhausapothekenund Betrieben der pharmazeutischen Industriedurchgeführt werden. Die Zulassung einer Apotheke,einer Krankenhausapotheke oder eines Betriebes derpharmazeutischen Industrie als Weiterbildungsstättesetzt voraus, dass1. die dort zu verrichtenden Tätigkeiten nach Inhaltund Umfang der weiterzubildenden Apothekerinoder dem weiterzubildenden Apotheker die Möglichkeitgeben, die beruflichen Kenntnisse undFähigkeiten des Gebietes oder Teilgebietes zuerwerben, auf das sich die Bezeichnung nach § 26bezieht,2. Personal und Ausstattung vorhanden sind, die denErfordernissen der Entwicklung in der PharmazieRechnung tragen.Satz 2 gilt entsprechend auch für die anderen Weiterbildungsstätten.(4) Abweichend von § 29 Abs. 2 und 6 können niedergelasseneBerufsangehörige im Sinne von § 2 Abs. 1Satz 1 Nr. 4 die Voraussetzungen der Weiterbildung inGebieten und Teilgebieten oder Schwerpunkten erfüllen,wenn sie eine sechsjährige Tätigkeit als niedergelasseneApothekerin oder als niedergelassener Apothekernachweisen. Die weiteren Voraussetzungen für dieWeiterbildung niedergelassener Berufsangehöriger imSinne des § 2 Abs. 1 Satz 1 Nr. 4 regelt die Weiterbildungsordnungder zuständigen Kammer.Für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Wiedergabe des Heilberufsgesetzes wird eine Haftung nicht übernommen.Maßgebend ist allein der im Gesetz- und Verordnungsblatt für das Land Hessen abgedruckte Text.§ 48Die außerhalb Hessens im Geltungsbereich der Bundes-Apothekerordnung in der Fassung vom 19. Juli 1989(BGBl. I S. 1479, 1842), zuletzt geändert durch Gesetzvom 27. April 2002 (BGBl l S. 1467), erworbene Berechtigung,eine Bezeichnung nach § 26 zu führen, gilt auch inHessen. Dasselbe gilt für die Ermächtigung und die Zulassungzur Weiterbildung. Soweit die Weiterbildungsordnungentsprechende Gebiets- oder Teilgebietsbezeichnungenvorsieht, dürfen sie geführt werden.Sechster TitelPsychotherapeutische Weiterbildung§ 48 aDie Landeskammer für Psychologische Psychotherapeutenund für Kinder- und Jugendlichenpsychotherapeutenbestimmt Gebiets-, Teilgebiets- oder Schwerpunktbezeichnungenund Zusatzbezeichnungen insbesondere infolgenden Fachrichtungen:1. Psychologische Psychotherapie,2. Kinder- und Jugendlichenpsychotherapie,3. Öffentliches Gesundheitswesen,4. Verbindungen dieser Fachrichtungen.§ 48 bDie Weiterbildung wird von Einrichtungen durchgeführt,deren Leitung einer Psychologischen Psychotherapeutinoder einem Psychologischen Psychotherapeuten odereiner Kinder- und Jugendlichenpsychotherapeutin odereinem Kinder- und Jugendlichenpsychotherapeutenobliegt. Das Nähere über die Zulassung einer Einrichtungals Weiterbildungsstätte regelt die zuständige Kammerdurch Satzung.§ 48 cZur Erprobung neuer Weiterbildungsgänge kann diezuständige Kammer für einen Zeitraum von zehn Jahren

On Some Properties of Analytic Smirnov Class Functions with a Variable Exponent 85It follows from the inclusion z ′ ∈⋃σ>1H σ (see (23)) that z ′ ∈ H σ 0some σ 0 > 1. Then the last inequality (in view of the fact that on γ wehave s(τ 1 , τ 2 ) ∼ |τ 1 − τ 2 |) yields( ∫τ 2) α|l(τ 1 ) − l(τ 2 ) ≤ AM |z ′ (τ)| σ σ 00|dτ| |τ1 − τ 2 | σ 0 −1σ α 0 .τ 1forThus l(τ) is the function from the Hölder class on γ.above, we can apply the inequality proven in [2]:In view of thewhere|Ψ(re iϑ )| l(ϑ) ≤ A(r, ϑ)B(r, ϑ), (26)A(r, ϑ) = exp 1 ∫2πl(ϕ) ln |˜Ψ(e iϕ )|P (r, ϑ − ϕ) dϕ,2π0{˜Ψ(e iϕ Ψ(e iϕ ), if |Ψ(e iϕ )| ≥ 1) =1, if |Ψ(e iϕ )| < 1 , P (r, x) = 1 − r 21 + r 2 − 2r cos x ,and for B(r, ϑ), the following estimate is valid:∫2π|B(r, ϑ)| ≤ k 1 exp k 2 |Ψ(e iϕ )| dϕ = k 3 ,where k 1 , k 2 does not depend on Ψ.The inequality (26) results now in∫2π0|Ψ(re iϑ )| l(ϑ) |z ′ (re iϑ )| dϑ ≤∫2π( 1≤ k 3 exp2π0∫2π00)ln |˜Ψ(e iϕ )| l(ϕ) P (r, ϑ − ϕ) dϕ |z ′ (re iϑ )| dϑ. (27)Since Γ is the regular curve, therefore D is Smirnov’s domain (see statement(ii) of item 2.3), and hence|z ′ (re iϑ )| = |z ′ (w)| = exp ln |z ′ (w)| == exp 1 ∫2πln |z ′ (re iϑ )|P (r, ϑ − ϕ) dϕ. (28)2πMoreover, we have0

86 Vakhtang Paatashvililn |˜Ψ(e iϕ )| l(ϕ) = ln ∣ |˜Ψ(eiϕ )| l(ϕ) z ′ (e iϕ )z ′ (e iϕ ∣ =)[]= ln |˜Ψ(e iϕ )| l(ϕ) |z ′ (e iϕ )| − ln |z ′ (e iϕ )| . (29)From (27), by virtue of (28) and (29), we can conclude that∫2π0|Ψ(re iϑ )| l(ϑ) |z ′ (re iϑ )| dϑ ≤∫2π≤ k 3 exp 1 ∫2πln |˜Ψ(e iϕ )| l(ϕ) |z ′ (e iϕ )|P (z, ϑ − ϕ) dϕ dϑ ≤2π000∫2π≤ k 3 |˜Ψ(re iϕ )| l(ϕ) |z ′ (e iϕ )| dϕ ≤0∫2π∫2π≤ k 3 |Ψ(e iϕ )| l(ϕ) |z ′ (e iϕ )| dϕ + |z ′ (e iϕ )| dϕ ≤0∫2π≤ k 3 |Ψ(e iϕ )| l(ϕ) |z ′ (e iϕ )| dϕ + k 4 . (30)By the assumption of the theorem, φ + ∈ L p(·) (Γ). But∫2π∫|Ψ(e iϕ )| l(ϕ) |z ′ (e iϕ )| dϕ = |φ + (t)| p(t) |dt|and from (30) follows0supr

On Some Properties of Analytic Smirnov Class Functions with a Variable Exponent 87one. Next, since ϕ ∈ L p (Γ), p = min p(t), in view of property (ii) in item 2.3,t∈Γwe conclude that φ ∈ E p (D). Along with the above-said, φ + = 1 2 ϕ+ 1 2 S Γϕ,ϕ ∈ L p(·) (Γ). Since p ∈ P(Γ), therefore S Γ ϕ ∈ L p(·) (Γ) (see Theorem A).Consequently, φ + ∈ L p(·) (Γ).Thus φ ∈ E p (D) and φ + ∈ L p(·) (Γ), where p(t) is the Hölder classfunction on Γ. This implies that all requirements of Theorem 5 are fulfilledand hence φ ∈ E p(·) (D).□AcknowledgementThe author is thankful to Vakhtang Kokilashvili for useful discussions ofproblems related to the present paper.This work is supported by the Shota Rustaveli National Science Foundation(Project # GNSF/ST09 23 3 100).References1. V. Kokilashvili and V. Paatashvili, On Hardy classes of analytic functions witha variable exponent. Proc. A. Razmadze Math. Inst. 142 (2006), 134–137.2. V. Kokilashvili and V. Paatashvili, On variable Hardy and Smisnov classes ofanalytic functions. Georgian Internat. J. Sci., Nova Sci. Publ., Inc. 1 (2008), No. 2,67–81.3. V. Kokilashvili and V. Paatashvili, Weighted Hardy and Smirnov classes andthe Dirichlet problem for a ring within the framework of variable exponent analysis.Complex Var. Elliptic Equ. 56 (2011), No. 10-11, 955–973.4. S. E. Warschawski, Über das Randverhalten der Ableitung der Abbildungsfunktionbei konformer Abbildung. Math. Z. 35 (1932), No. 1, 321–456.5. Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps. Grundlehren der MathematischenWissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 299.Springer-Verlag, Berlin, 1992.6. G. Khuskivadze and V. Paatashvili, On the conformal mapping of a circle ontoa domain with an arbitrary piecewise smooth boundary. Proc. A. Razmadze Math.Inst. 116 (1998), 123–132.7. G. Khuskivadze, V. Kokilashvili, and V. Paatashvili, Boundary value problemsfor analytic and harmonic functions in domains with nonsmooth boundaries. Applicationsto conformal mappings. Mem. Differential Equations Math. Phys. 14 (1998),195 pp.8. I. I. Privalov, Boundary properties of one-valued analytic functions. (Russian)Nauka, Moscow, 1950.9. G. David, Opérateurs integraux singuliers sur certaines courbes du plan complexe.(French) [Singular integral operators over certain curves in the complex plane] Ann.Sci. École Norm. Sup. (4) 17 (1984), No. 1, 157–189.10. V. P. Havin, Boundary properties of integrals of Cauchy type and of conjugateharmonic functions in regions with rectifiable boundary. (Russian) Mat. Sb. (N.S.)68 (110) (1965), 499–517.11. V. Paatashvili, The boundedness of a singular Cauchy operator in L p spaces. (Russian)Trudy A. Razmadze Math. Inst. 58 (1978), 187–196.12. V. I. Smirnov, Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problḿes qui s’yrattachent. Bulletin Acad. Sc. Leningrad (7) (1932), 337–372.13. O. Kováčik and J. Rákosnic, On spaces L p(x) and W k,p(x) . Czechoslovak Math.J. 41(116) (1991), No. 4, 592–618.

88 Vakhtang Paatashvili14. V. Kokilashvili, V. Paatashvili, and S. Samko, Boundedness in Lebesgue spaceswith variable exponent of the Cauchy singular operator on Carleson curves. Modernoperator theory and applications, 167–186, Oper. Theory Adv. Appl., 170, Birkhauser,Basel, 2007.15. V. Kokilashvili and V. Paatashvili, The Dirichlet problem for harmonic functionsfrom variable exponent Smirnov classes in domains with piecewise smooth boundary.Problems in mathematical analysis. No. 52. J. Math. Sci. (N. Y.) 172 (2011), No. 3,401–421.16. R. Abdulaev, On one theorem of S. Warschawski. Georgian Math. J. 10 (2003),No. 1, 1–15.17. N. I. Muskhelishvili, Singular integral equations. Boundary value problems in thetheory of function and some applications of them to mathematical physics. (Russian)Third, corrected and augmented edition. Izdat. “Nauka”, Moscow, 1968.18. G. M. Goluzin, Geometrical theory of functions of a complex variable. (Russian)Second edition. Izdat. “Nauka”, Moscow, 1966.Author’s address:(Received 15.12.2011)A. Razmadze Mathematical Institute of I. Javakhishvili Tbilisi State University,2 University St., Tbilisi 0186, Georgia.