Funkcje jednej zmiennej

Funkcje rzeczywiste jednejzmiennej rzeczywistejMatematykaStudium doktoranckie KAE SGHSemestr letni 2008/2009R. Łochowski

Definicje• Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującązbiór D w zbiór P nazywamyprzyporządkowanie, które każdej liczbie zezbioru A przyporządkowuje pewną liczbęrzeczywistą, co zapisujemy• D – dziedzina funkcji f, P - przeciwdziedzina• f(D) – zbiór wartości funkcji ff : D → P.{ }( ) = ∈ : ∃ ∈ = ( )f D y P x D y f x

Złożenie funkcji• Niech( )f : D → P, g : f D ⊆ E → Q• Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcjęg f : D → Q,zdefiniowaną następująco:( )( ) : ( )∀x ∈ D g f x = g f x• Zadanie: Udowodnić, że jeżeli f jestróżnowartościowa, to( ) − 1( )−1 ( )∀x ∈ D, y ∈ f D f f x = x,f f y = y

Funkcje monotoniczne• Funkcja jestf : R ⊇ D → R– rosnąca (czasem: ściśle rosnąca), jeżeli( ) ( )∀x , x ∈ D x < x ⇒ f x < f x1 2 1 2 1 2– niemalejąca, jeżeli∀x , x ∈ D x < x ⇒ f x ≤ f x( ) ( )1 2 1 2 1 2– malejąca (czasem: ściśle malejąca), jeżeli∀x , x ∈ D x < x ⇒ f x > f x( ) ( )1 2 1 2 1 2– nierosnąca, jeżeli∀x , x ∈ D x < x ⇒ f x ≥ f x( ) ( )1 2 1 2 1 2

• NiechDziałania na funkcjachf, g :Rrzeczywistych⊇D→R• Sumą, różnicą i iloczynem funkcji f i gnazywamy funkcje zdefiniowane odpowiednio( ) ( ) ( )( ) 0∀ x ∈ D f + −× g x = f x + −×g x• Jeżeli ∀x∈ D g x ≠ to można równieżzdefiniować iloraz funkcji∀x ∈ D f ÷ g ( x ) = f ( x) ÷ g ( x)• Zadanie: udowodnić, że złożenie i suma funkcjimonotonicznych jest funkcją monotoniczną

Funkcje ciągłe• Funkcja f : R ⊇ D → R jest ciągła w punkciex D jeżeli dla dowolnego ciągu x o wyrazachz dziedziny D, zbieżnego do0nzachodzi∈ ( )( ) = f ( x)lim nf x n= f x→∞• Z własności granic wynika, że suma, różnica,iloczyn i iloraz (o ile ∀x∈ D g ( x) ≠ 0) funkcjiciągłych jest funkcją ciągłą• Zadanie: rozstrzygnąć czy złożenie funkcjiciągłych jest funkcją ciągłą i czy funkcjaodwrotna (o ile istnieje) jest funkcją ciągłą0x 0

8.4 In multi-storey applications, a minimum of one 8 mm diameter stainless steel anchor per square metre is required.The anchor is applied to prevent collapse should the insulation be lost to fire, and must be designed to resist thebending and shear stresses resulting from the dead load from the render.8.5 Requirements under the various national Building regulations are:England, Wales and Northern Ireland8.6 The system incorporating EPS insulation is suitable for use on or at any distance from the boundary and isrestricted for use in buildings up to 18 m in height.Scotland8.7 Systems incorporating EPS insulation are classified as low combustible materials. The system is suitable foruse in buildings up to 18 m in height, and must not be used within 1 m of the boundary.8.8 Application on second storey walls and above should include a least one non-combustible fixing per square metreand fire barriers at each floor level in line with compartment walls and floor. In Scotland, the systems must be includedin calculations of unprotected areas (see Figure 2).Figure 2 Fire barrier detailssubstrateadhesive mortarEPS insulation boardfire break position in conjunctionwith floor construction200 mm continuous strip ofLamella Mineral Wool (fire class 0)basecoat and reinforced mesh9 Proximity of flues and appliancesWhen a system is installed in close proximity to certain flue pipes, the relevant provisions of the national BuildingRegulations should be met:England and Wales — Approved Document JScotland — Mandatory Standard 3.19, clause 3.19.4 (1)(2)(1) Technical Handbook (Domestic).(2) Technical Handbook (Non-Domestic).Northern Ireland — Technical Booklet L.10 Rain penetration10.1 The system will provide a degree of protection against rain ingress. Care should be taken to ensure thatwalls are adequately weathertight prior to application of the system. The insulation system shall only be installedwhere there are no signs of dampness on the inner surface of the substrate, other than those caused solely bycondensation.10.2 Designers and installers should take particular care in detailing around openings, penetrations and movementjoints to minimise the risk of rain ingress.Page 9 of 19

Funkcja exponencjalna• Funkcję exp : R → R definiujemy za pomocąwzorun⎛∀x∈ R exp ( x): = lim 1 +n→∞⎜⎝• Zadanie: udowodnić, żex ⎞ n⎠⎟( ) ( ) ( )∀x, y ∈ R exp x + y = exp x ⋅ exp y(wskazówka – nierówność Bernoulliego)• Zadanie: udowodnić, że funkcja exp jestrosnąca, dodatnia i ciągła (wskazówka – zrówności powyżej wystarczy udowodnićciągłość w 0)

Logarytm naturalny – funkcjaodwrotna do funkcji exp• Funkcja exp jest rosnąca, zatem jestróżnowartościowa i posiada funkcję odwrotną,zwaną logarytmem naturalnym( R)→R( )−1x = exp ( x)ln : exp ,ln• Zadanie: udowodnić, że logarytm naturalnyjest funkcją rosnącą, ciągłą i jego dziedziną jestzbiór liczb dodatnich• Zastosowanie – definicja potęgi o dowolnymwykładniku

Funkcje monotoniczne, c. d.• Mówimy, że funkcja f : R ⊇ D → R rośniecoraz szybciej, jeżeli jest rosnąca i ∀ , ,x x x ∈ D1 2 3( ) − ( ) ( ) − ( )f x f x f x f xx < x < x⇒ ≤1 2 3x −x x −x2 1 3 2• Mówimy że funkcja f : R ⊇ D → R rośniecoraz wolniej, jeżeli jest rosnąca i• Przykład: funkcja użyteczności2 1 3 2∀x , x , x ∈ D1 2 3( ) − ( ) ( ) − ( )f x f x f x f xx < x < x ⇒ ≥1 2 3x − x x − x2 1 3 22 1 3 2

Funkcje monotoniczne, c. d.• Mówimy, że funkcja f : R ⊇ D → R malejecoraz wolniej, jeżeli jest malejąca i ∀ , ,x x x ∈ D1 2 3( ) − ( ) ( ) − ( )f x f x f x f xx < x < x⇒ ≤1 2 3x −x x −x2 1 3 22 1 3 2• Mówimy że funkcja f : R ⊇ D → R malejecoraz szybciej, jeżeli jest malejąca i∀x , x , x ∈ D1 2 3( ) − ( ) ( ) − ( )f x f x f x f xx < x < x ⇒ ≥1 2 3x − x x − x2 1 3 22 1 3 2

Funkcje wklęsłe i wypukłe∀x , x , x ∈ D1 2 3f x − f x f x − f xx < x < x ⇒ ≤1 2 3x − x x − x• Funkcja f jest wypukła, jeżeli• Funkcja f jest wklęsła, jeżeli( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 22 1 3 2∀x , x , x ∈ D1 2 3( ) − ( ) ( ) − ( )f x f x f x f xx < x < x ⇒ ≥1 2 3x − x x − x2 1 3 22 1 3 2• Zadanie: udowodnić, że funkcja exp jestwypukła

Obcięcie funkcjif : D → P C ⊆ D• Niech i niech• Obcięciem funkcji f do zbioru C nazywamyfunkcję f : C → P zdefiniowaną wzorem↑C( ) ( )∀ x ∈ C f x =f x↑C• Funkcję f nazywamy różnowartościową(monotoniczną, wklęsłą, wypukłą) na zbiorzeC ⊆ D jeżeli funkcja f ↑ C jest różnowartościowa(monotoniczna, wklęsła, wypukła)

Wypukłość• Zadanie: udowodnić, że funkcja f jest wypukłana odcinku [a,b] wtw., gdy ∀x x ∈ a b ∀t∈, ⎡ , ⎤ ⎡0,1⎤1 2 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦f t x t x t f x t f x( ⋅ + ( 1 − ) ) ≤ ⋅ ( ) + ( 1 − ) ( )1 2 1 2• Zadanie: udowodnić, że jeżeli f jest wypukłana odcinku [a,b], to zbiór{( , ) R2 : , ( )}A = x y ∈ a ≤ x ≤ b y ≥ f xjest wypukły (wraz z dowolnymi dwomapunktami zawiera cały odcinek łączący tepunkty)

Wypukłość, c. d.• Zadanie: z nierówności na poprzednim slajdziewyprowadzić tzw. nierówość Jensena∀x , x ,..., x ∈ ⎡a , b⎤ t ,..., t ⎡ 0,1 ⎤ , t ... t 11 2 n ⎢⎣ ⎥⎦ ∀ ∈1 n ⎢⎣ ⎥⎦+ + =1nf t x t x t f x t f x( ⋅ + ... + ⋅ ) ≤ ⋅ ( ) + ...+ ⋅( )1 1 n n 1 1n n• Zadanie: udowodnić nierówność∀ x , x ,..., x > 0 ∀t ,..., t ∈ ⎡0,1 ⎤, t ... t 11 2 n 1 n ⎢⎣⎥⎦+ + =1nt t t⋅ ⋅ ≤ ⋅ + ⋅ + + ⋅1 2nx x ... x t x t x ... t x1 2 n 1 1 2 2n n• a stąd nierówność∀ x x x > x ⋅ x ⋅ ⋅ x ≤x + x + ... + x1 2, ,..., 0nn...1 2 n1 2 nn