v2007.09.13 - Convex Optimization

572 APPENDIX D. MATRIX CALCULUSalgebraic continuedd(X+ t Y ) = Ydtddt BT (X+ t Y ) −1 A = −B T (X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 Addt BT (X+ t Y ) −T A = −B T (X+ t Y ) −T Y T (X+ t Y ) −T Addt BT (X+ t Y ) µ A = ..., −1 ≤ µ ≤ 1, X, Y ∈ S M +d 2dt 2 B T (X+ t Y ) −1 A = 2B T (X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 Y (X+ t Y ) −1 Addt((X+ t Y ) T A(X+ t Y ) ) = Y T AX + X T AY + 2tY T AYd 2dt 2 ((X+ t Y ) T A(X+ t Y ) ) = 2Y T AYd((X+ t Y )A(X+ t Y )) = YAX + XAY + 2tYAYdtd 2dt 2 ((X+ t Y )A(X+ t Y )) = 2YAYD.2.2trace Kronecker∇ vec X tr(AXBX T ) = ∇ vec X vec(X) T (B T ⊗ A) vec X = (B ⊗A T + B T ⊗A) vec X∇ 2 vec X tr(AXBXT ) = ∇ 2 vec X vec(X)T (B T ⊗ A) vec X = B ⊗A T + B T ⊗A