Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
TX.10
SECTION 3.5 IMPLICIT DIFFERENTIATION ¤ 105
3.5 Implicit Differentiation
d
1. (a)
dx (xy +2x +3x2 )= d
dx (4) ⇒ (x · y0 + y · 1)+2+6x =0 ⇒ xy 0 = −y − 2 − 6x ⇒
y 0 −y − 2 − 6x
= or y 0 = −6 − y +2
x
x .
(b) xy +2x +3x 2 =4 ⇒ xy =4− 2x − 3x 2 ⇒ y =
3. (a)
5.
(c) From part (a), y 0 =
−y − 2 − 6x
x
=
−(4/x − 2 − 3x) − 2 − 6x
x
4 − 2x − 3x2
x
=
= 4 x − 2 − 3x,soy0 = − 4 x 2 − 3.
−4/x − 3x
x
= − 4 x 2 − 3.
d 1
dx x + 1
= d
y dx (1) ⇒ − 1 x − 1
2 y 2 y0 =0 ⇒ − 1 y 2 y0 = 1 ⇒ y 0 = − y2
x 2 x 2
(b) 1 x + 1 y =1 ⇒ 1 y =1− 1 x = x − 1
x
(c) y 0 = − y2
2
− 1)]
= −[x/(x
x2 x 2
x 2
⇒ y = x (x − 1)(1) − (x)(1)
x − 1 ,soy0 = = −1
(x − 1) 2 (x − 1) . 2
= −
x 2 (x − 1) = − 1
2 (x − 1) 2
d
x 3 + y 3 = d
dx
dx (1) ⇒ 3x2 +3y 2 · y 0 =0 ⇒ 3y 2 y 0 = −3x 2 ⇒ y 0 = − x2
y 2
7.
d
dx (x2 + xy − y 2 )= d
dx (4) ⇒ 2x + x · y0 + y · 1 − 2yy 0 =0 ⇒
xy 0 − 2yy 0 = −2x − y ⇒ (x − 2y) y 0 = −2x − y ⇒ y 0 = −2x − y
x − 2y
= 2x + y
2y − x
9.
11.
13.
15.
d
x 4 (x + y) = d
y 2 (3x − y) ⇒ x 4 (1 + y 0 )+(x + y) · 4x 3 = y 2 (3 − y 0 )+(3x − y) · 2yy 0 ⇒
dx
dx
x 4 + x 4 y 0 +4x 4 +4x 3 y =3y 2 − y 2 y 0 +6xy y 0 − 2y 2 y 0 ⇒ x 4 y 0 +3y 2 y 0 − 6xy y 0 =3y 2 − 5x 4 − 4x 3 y ⇒
(x 4 +3y 2 − 6xy) y 0 =3y 2 − 5x 4 − 4x 3 y ⇒ y 0 = 3y2 − 5x 4 − 4x 3 y
x 4 +3y 2 − 6xy
d
dx (x2 y 2 + x sin y) = d
dx (4) ⇒ x2 · 2yy 0 + y 2 · 2x + x cos y · y 0 +siny · 1=0 ⇒
2x 2 yy 0 + x cos y · y 0 = −2xy 2 − sin y ⇒ (2x 2 y + x cos y)y 0 = −2xy 2 − sin y ⇒ y 0 = −2xy2 − sin y
2x 2 y + x cos y
d
(4 cos x sin y) =
d
dx
dx (1) ⇒ 4[cosx · cos y · y0 +siny · (− sin x)] = 0 ⇒
y 0 (4 cos x cos y) =4sinx sin y ⇒ y 0 =
d
dx (ex/y )=
d
dx (x − y) ⇒ ex/y ·
4sinx sin y
=tanx tan y
4cosx cos y
d x
=1− y 0 ⇒
dx y
e x/y · y · 1 − x · y0
=1− y 0 ⇒ e x/y · 1
y 2 y − xex/y
· y 0 =1− y 0 ⇒ y 0 − xex/y
· y 0 =1− ex/y
y 2 y 2
y
⇒
y 0 1 − xex/y
= y − ex/y
y 2 y
⇒ y 0 =
y − e x/y
y
= y(y − ex/y )
y 2 − xe x/y y 2 − xe x/y
y 2