Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
308 ¤ PROBLEMS PLUS
TX.10
∂
5. (F · ∇) G = P 1
∂x + Q ∂
1
∂y + R ∂
1 (P 2 i + Q 2 j+R 2 k)
∂z
∂P 2
= P 1
∂x + ∂P 2
Q1
∂y + ∂P 2 ∂Q 2
R1 i + P 1
∂z
∂x + ∂Q 2
Q1
∂y + ∂Q 2
R1 j
∂z
=(F · ∇P 2 ) i +(F · ∇Q 2 ) j +(F · ∇R 2 ) k.
Similarly, (G · ∇) F =(G · ∇P 1 ) i +(G · ∇Q 1 ) j +(G · ∇R 1 ) k. Then
i
F × curl G =
P 1
∂R 2 /∂y − ∂Q 2 /∂z
and
=
G × curl F =
Then
(F · ∇) G + F × curl G =
and
(G · ∇) F + G × curl F =
j
Q 1
∂P 2 /∂z − ∂R 2 /∂x
∂Q 2
Q 1
∂x − Q ∂P 2
1
∂y − R ∂P 2
1
∂z + R 1
∂R 2
∂x
i +
∂R 2
+ P 1
∂x + Q ∂R 2
1
∂y + R ∂R 2
1 k
∂z
k
R 1
∂Q 2 /∂x − ∂P 2 /∂y
∂R 2
R 1
∂y − R ∂Q 2
1
∂Q 1
Q 2
∂x − ∂P 1
Q2
∂y − ∂P 1
R2
∂z + ∂R 1 ∂R 1
R2 i + R 2
∂x
∂P 2
P 1
∂x + ∂Q 2
Q1
∂x + ∂R 2 ∂P 2
R1 i + P 1
∂x
∂P 1
P 2
∂x + Q ∂Q 1
2
∂x + R ∂R 1 ∂P 1
2 i + P 2
∂x
Hence
(F · ∇) G + F × curl G +(G · ∇) F + G × curl F
∂P 2
= P 1
∂x + P ∂P 1
2 +
∂x
+
∂P 2
P 1
∂y + P ∂P 1
2
∂y
+
Q 1
∂Q 2
∂x + Q 2
+
∂P 2
P 1
∂z + P ∂P 1
2
∂z
= ∇(P 1P 2 + Q 1Q 2 + R 1R 2)=∇(F · G).
+
∂P 2
j
∂y
∂z − P ∂Q 2
1
∂x + P 1
∂P 2
+ P 1
∂z − ∂R 2
P1
∂x − ∂R 2
Q1
∂y + ∂Q 2
Q1
∂z
∂y − ∂Q 1
R2
∂z − ∂Q 1
P2
∂x + ∂P 1
P2
∂y
∂P 1
P 2
∂z − P ∂R 1
2
∂x − Q ∂R 1
2
∂y + Q 2
j
∂y + ∂Q 2
Q1
∂y + ∂R 2
R1
∂y
∂P 2
+ P 1
∂z + Q ∂Q 2
1
∂z + R 1
∂y + Q 2
+
∂Q 1 ∂R 2
+ R 1
∂y
Q 1
∂Q 2
∂y + Q 2
+
∂Q 1
∂y
Q 1
∂Q 2
∂z + Q 2
∂Q 1
∂y + R 2
∂R 1
j
∂y
∂P 1
P 2
∂z + Q ∂Q 1
2
∂z + R 2
∂x + R 2
+
∂R 1
i
∂x
R 1
∂R 2
∂y + R 2
∂Q 1
∂z
+
∂R 1
j
∂y
R 1
∂R 2
∂z + R 2
j
k
∂Q 1
k.
∂z
∂R 2
k
∂z
∂R 1
k.
∂z
∂R 1
k
∂z