Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
284 ¤ CHAPTER 17 VECTOR CALCULUS ET CHAPTER 16
TX.10
For Exercises 23–29, let F(x, y, z) =P 1 i + Q 1 j + R 1 k and G(x, y, z) =P 2 i + Q 2 j + R 2 k.
23. div(F + G) =divhP 1 + P 2 ,Q 1 + Q 2 ,R 1 + R 2 i =
∂(P1 + P2)
∂x
+
∂(Q1 + Q2)
∂y
= ∂P 1
∂x + ∂P 2
∂x + ∂Q 1
∂y + ∂Q 2
∂y + ∂R 1
∂z + ∂R
2
∂z
= ∂P1
∂x + ∂Q 1
∂y + ∂R 1
∂z
=divhP 1,Q 1,R 1i +divhP 2,Q 2,R 2i =divF +divG
∂(R1 + R2)
+
∂z
+
25. div(fF) =div(f hP 1,Q 1,R 1i) =divhfP 1,fQ 1,fR 1i = ∂(fP 1)
+ ∂(fQ 1)
+ ∂(fR 1)
∂x ∂y ∂z
= f ∂P
1
∂x + ∂f
P1 + f ∂Q
1
∂x ∂y + ∂f
Q1 + f ∂R
1
∂y ∂z
+ ∂f
R1
∂z
∂P1
= f
∂x + ∂Q 1
∂y + ∂R
1
∂f
+ hP 1,Q 1,R 1i·
∂z
∂x , ∂f
∂y , ∂f
= f div F + F · ∇f
∂z
∂P2
∂x + ∂Q 2
∂y + ∂R 2
∂z
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z 27. div(F × G)=∇ · (F × G) =
P 1 Q 1 R 1 = ∂
Q 1 R 1 − ∂ P 1 R 1 + ∂ P 1 Q 1
∂x Q
2 R 2
∂y P 2 R 2
∂z P 2 Q 2
P 2 Q 2 R 2
∂R 2
= Q 1
∂x + R ∂Q 1
2
∂x − Q ∂R 1
2
∂x − R ∂Q 2 ∂R 2
1 − P 1
∂x ∂y + R ∂P 1
2
∂y − P ∂R 1
2
∂y − R ∂P 2
1
∂y
∂Q 2
+ P 1
∂z + Q ∂P 1
2
∂z − P ∂Q 1
2
∂z − Q 1
∂P 2
∂z
∂R1
= P 2
∂y − ∂Q
1 ∂P1
+ Q 2
∂z ∂z − ∂R
1 ∂Q1
+ R 2
∂x ∂x − ∂P
1
∂y
∂R2
− P 1
∂y − ∂Q
2 ∂P2
+ Q 1
∂z ∂z − ∂R
2 ∂Q2
+ R 1
∂x ∂x − ∂P
2
∂y
= G · curl F − F · curl G
i j k
29. curl(curl F) =∇ × (∇ × F) =
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
∂R 1 /∂y − ∂Q 1 /∂z ∂P 1 /∂z − ∂R 1 /∂x ∂Q 1 /∂x − ∂P 1 /∂y
∂ 2 Q 1
=
∂y∂x − ∂2 P 1
∂y − ∂2 P 1
2 ∂z + ∂2 R 1 ∂ 2 R 1
i +
2 ∂z∂x ∂z∂y − ∂2 Q 1
∂z − ∂2 Q 1
2 ∂x + ∂2 P 1
j
2 ∂x∂y
∂ 2 P 1
+
∂x∂z − ∂2 R 1
∂x − ∂2 R 1
2 ∂y + ∂2 Q 1
k
2 ∂y∂z
Now let’s consider grad(div F) −∇ 2 F and compare with the above.
(Note that ∇ 2 F is defined on page 1102 [ ET 1066].)