Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
266 ¤ PROBLEMS PLUS
TX.10
a 7 = 1 < 0.003. By the Alternating Series Estimation Theorem from Section 12.5 [ ET 11.5], we have
73 |s − s 6 | ≤ a 7 < 0.003. This error of 0.003 will not affect the second decimal place, so we have s ≈ 0.90.
9. (a) x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. Then ∂u
∂r = ∂u ∂x
∂x ∂r + ∂u ∂y
∂y ∂r + ∂u ∂z
∂z ∂r = ∂u
∂x
+sinθ
∂ 2 u ∂ 2
∂r =cosθ u ∂x
2 ∂x 2 ∂r +
∂2 u ∂y
∂y ∂x ∂r +
∂2 u ∂z
∂z ∂x ∂r
= ∂2 u
∂x 2 cos2 θ + ∂2 u
∂y 2 sin2 θ +2 ∂2 u
cos θ sin θ
∂y ∂x
Similarly ∂u
∂θ = −∂u ∂u
r sin θ + r cos θ and
∂x ∂y
∂ 2 u
∂θ 2
∂ 2 u
∂y 2 ∂y
∂r +
∂u
cos θ + sin θ and
∂y
∂2 u ∂x
∂x∂y ∂r + ∂2 u
∂z ∂y
=
∂2 u
∂x 2 r2 sin 2 θ + ∂2 u
∂y 2 r2 cos 2 θ − 2 ∂2 u
∂y ∂x r2 sin θ cos θ − ∂u ∂u
r cos θ − r sin θ. So
∂x ∂y
∂ 2 u
∂r + 1 ∂u
2 r ∂r + 1 ∂ 2 u
r 2 ∂θ 2 + ∂2 u
∂z = ∂2 u
2 ∂x 2 cos2 θ + ∂2 u
∂y 2 sin2 θ +2 ∂2 u
∂y ∂x
∂u cos θ
cos θ sin θ +
∂x r
+ ∂2 u
∂x 2 sin2 θ + ∂2 u
∂y 2 cos2 θ − 2 ∂2 u
sin θ cos θ
∂y ∂x
= ∂2 u
∂x + ∂2 u
2 ∂y + ∂2 u
2 ∂z 2
(b) x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ. Then
∂u
∂ρ = ∂u ∂x
∂x ∂ρ + ∂u ∂y
∂y ∂ρ + ∂u ∂z
∂z ∂ρ = ∂u
∂x
∂ 2 u
∂ρ 2 =sinφ cos θ ∂ 2 u
∂x 2 ∂x
∂ρ +
+sinφ sin θ
− ∂u cos θ
∂x r
∂u
∂u
sin φ cos θ + sin φ sin θ +
∂y ∂z
∂y
∂y ∂x ∂ρ + ∂z
∂z ∂x ∂ρ
∂2 u
∂ 2 u
∂y 2 ∂y
+cosφ
∂ρ +
∂ 2 u ∂z
∂z 2 ∂ρ +
∂2 u
∂2 u ∂x
∂x∂y ∂ρ + ∂2 u
∂z ∂y
− ∂u sin θ
+ ∂2 u
∂y r ∂z 2
cos φ,and
∂z
∂ρ
∂2 u ∂x
∂x∂z ∂ρ + ∂2 u
∂y ∂z
∂y
∂ρ
=2 ∂2 u
∂y ∂x sin2 φ sin θ cos θ +2 ∂2 u
∂z ∂x sin φ cos φ cos θ +2 ∂2 u
sin φ cos φ sin θ
∂y ∂z
+ ∂2 u
∂x 2 sin2 φ cos 2 θ + ∂2 u
∂y 2 sin2 φ sin 2 θ + ∂2 u
∂z 2 cos2 φ
Similarly ∂u
∂φ = ∂u
∂u
∂u
ρ cos φ cos θ + ρ cos φ sin θ − ρ sin φ,and
∂x ∂y ∂z
∂ 2 u
∂φ 2 =2 ∂2 u
∂y ∂x ρ2 cos 2 φ sin θ cos θ − 2 ∂2 u
∂x∂z ρ2 sin φ cos φ cos θ
∂z
∂r
− 2 ∂2 u
∂y ∂z ρ2 sin φ cos φ sin θ + ∂2 u
∂x 2 ρ2 cos 2 φ cos 2 θ + ∂2 u
∂y 2 ρ2 cos 2 φ sin 2 θ
+ ∂2 u
∂z 2 ρ2 sin 2 φ − ∂u
∂u
∂u
ρ sin φ cos θ − ρ sin φ sin θ −
∂x ∂y ∂z ρ cos φ
+ ∂u sin θ
∂y r