Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
TX.10
SECTION 16.6 TRIPLE INTEGRALS ET SECTION 15.6 ¤ 243
29.
If D 1 , D 2 , D 3 are the projections of E on the xy-, yz-, and xz-planes, then
Therefore
Then
D 1 = (x, y) | −2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 − x 2 = (x, y) | 0 ≤ y ≤ 4, − √ 4 − y ≤ x ≤ √ 4 − y
D 2 = (y, z) | 0 ≤ y ≤ 4, − 1 √
2 4 − y ≤ z ≤
1
√
2 4 − y = (y, z) | −1 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4 − 4z
2
D 3 = (x, z) | x 2 +4z 2 ≤ 4
E = (x, y, z) | −2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 − x 2 , − 1 2 4 − x2 − y ≤ z ≤ 1 2 4 − x2 − y
= (x, y, z) | 0 ≤ y ≤ 4, − √ 4 − y ≤ x ≤ √
4 − y, − 1 2 4 − x2 − y ≤ z ≤ 1 2 4 − x2 − y
=
(x, y, z) | −1 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4 − 4z 2 , − 4 − y − 4z 2 ≤ x ≤
4 − y − 4z 2
= (x, y, z) | 0 ≤ y ≤ 4, − 1 √
2 4 − y ≤ z ≤
1
√
2 4 − y, − 4 − y − 4z2 ≤ x ≤
4 − y − 4z 2
√ √
= (x, y, z) | −2 ≤ x ≤ 2, − 1 2 4 − x2 ≤ z ≤ 1 2 4 − x2 , 0 ≤ y ≤ 4 − x 2 − 4z 2
=
(x, y, z) | −1 ≤ z ≤ 1, − √ 4 − 4z 2 ≤ x ≤ √
4 − 4z 2 , 0 ≤ y ≤ 4 − x 2 − 4z 2
E f(x, y, z) dV = 2
4−x
2
−2 0
= 1
4−4z
2
−1 0
√ √
4−x2−y/2
f(x, y, z) dz dy dx = 4
4−x 2 −y/2 0
−
= 2
√ √
4−x2 /2
−2
−
√ √
4−y−4z2
f(x, y, z) dx dy dz = 4
− 4−y−4z 2 0
4−x 2 /2
4−x
2 −4z
2
0
f(x, y, z) dy dz dx = 1
−1
√ 4−y
− √ 4−y
√ 4−y/2
− √ 4−y/2
√
√
4−4z2
−
√ 4−x 2 −y/2
−
√4−x 2 −y/2
√ 4−y−4z 2
−
√4−y−4z
4−4z 2 4−x
2 −4z
2
f(x, y, z) dz dx dy
2
f(x, y, z) dx dz dy
0
f(x, y, z) dy dx dz