Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
27. u = te w/t ⇒ ∂u
∂t = t · ew/t (−wt −2 )+e w/t · 1=e w/t − w t ew/t = e
1 w/t − w
,
t
SECTION 15.3 PARTIAL DERIVATIVES ET SECTION 14.3 ¤ 179
∂u
∂w = tew/t · 1
t = ew/t
29. f(x, y, z) =xz − 5x 2 y 3 z 4 ⇒ f x (x, y, z) =z − 10xy 3 z 4 , f y (x, y, z) =−15x 2 y 2 z 4 , f z (x, y, z) =x − 20x 2 y 3 z 3
31. w =ln(x +2y +3z) ⇒ ∂w
∂x = 1
x +2y +3z , ∂w
∂y = 2
x +2y +3z , ∂w
∂z = 3
x +2y +3z
33. u = xy sin −1 (yz) ⇒ ∂u
∂x = y sin−1 (yz),
∂u
∂z = xy · 1
(y) = xy 2
1 − (yz)
2 1 − y2 z 2
35. f(x, y, z, t) =xyz 2 tan(yt) ⇒ f x (x, y, z, t) =yz 2 tan(yt),
f y (x, y, z, t) =xyz 2 · sec 2 (yt) · t + xz 2 tan(yt) =xyz 2 t sec 2 (yt)+xz 2 tan(yt),
f z (x, y, z, t) =2xyz tan(yt), f t (x, y, z, t) =xyz 2 sec 2 (yt) · y = xy 2 z 2 sec 2 (yt)
∂u
∂y = xy · 1
xyz
1 − (yz)
2 (z)+sin−1 (yz) · x =
1 − y2 z + x 2 sin−1 (yz),
37. u = x 2 1 + x2 2 + ···+ x2 n. For each i =1, ..., n, u xi = 1 2
x
2
1 + x 2 2 + ···+ x 2 n −1/2
(2x i )=
39. f(x, y) =ln
x +
x 2 + y 2
f x (x, y) =
so f x (3, 4) =
41. f(x, y, z) =
so f y (2, 1, −1) =
⇒
1
x + 1+ 1
x 2 + y 2 2 (x2 + y 2 ) −1/2 (2x) =
1
3+ √ 1+
3 2 +4 2
y
x + y + z
43. f(x, y) =xy 2 − x 3 y ⇒
⇒
3
√
32 +4 2
= 1 8
f y (x, y, z) =
2+(−1)
(2+1+(−1)) 2 = 1 4 .
1
x + 1+
x 2 + y 2
1+
3
5 =
1
. 5
1(x + y + z) − y(1)
(x + y + z) 2 =
x + z
(x + y + z) 2 ,
x
x2 + y 2 ,
f(x + h, y) − f(x, y) (x + h)y 2 − (x + h) 3 y − (xy 2 − x 3 y)
f x (x, y) =lim
= lim
h→0 h
h→0 h
h(y 2 − 3x 2 y − 3xyh − yh 2 )
=lim
=lim(y 2 − 3x 2 y − 3xyh − yh 2 )=y 2 − 3x 2 y
h→0 h
h→0
x i
x
2
1 + x 2 2 + ···+ .
x2 n
f(x, y + h) − f(x, y) x(y + h) 2 − x 3 (y + h) − (xy 2 − x 3 y) h(2xy + xh − x 3 )
f y (x, y) =lim
= lim
=lim
h→0 h
h→0 h
h→0 h
=lim
h→0
(2xy + xh − x 3 )=2xy − x 3
45. x 2 + y 2 + z 2 =3xyz ⇒ ∂
∂x (x2 + y 2 + z 2 )= ∂
∂z
(3xyz) ⇒ 2x +0+2z
∂x ∂x =3y x ∂z
∂x + z · 1
2z ∂z ∂z
∂z
∂z 3yz − 2x
− 3xy =3yz − 2x ⇔ (2z − 3xy) =3yz − 2x,so =
∂x ∂x ∂x ∂x 2z − 3xy .
∂
∂y (x2 + y 2 + z 2 )= ∂
∂z
(3xyz) ⇒ 0+2y +2z
∂y ∂y =3x y ∂z
∂y + z · 1
(2z − 3xy) ∂z
∂z 3xz − 2y
=3xz − 2y,so =
∂y ∂y
2z − 3xy . TX.10
⇔
⇔
2z ∂z ∂z
− 3xy =3xz − 2y
∂y ∂y ⇔