Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
TX.10
PROBLEMS PLUS ¤ 163
7. The trajectory of the projectile is given by r(t) =(v cos α)t i + (v sin α)t − 1 2 gt2 j,so
v(t) =r 0 (t) =v cos α i +(v sin α − gt) j and
|v(t)| = (v cos α) 2 +(v sin α − gt) 2 =
v 2 − (2vg sin α) t + g 2 t 2 =
g 2 t 2 − 2v
v2
(sin α) t +
g g 2
= g t − v
2
g sin α + v2
g − v2
2 g 2 sin2 α = g t − v 2
g sin α + v2
g 2 cos2 α
The projectile hits the ground when (v sin α)t − 1 2 gt2 =0 ⇒ t = 2v g
sin α, so the distance traveled by the projectile is
(2v/g)sinα
(2v/g)sinα
L(α)=
|v(t)| dt =
g t − v 2
0
0
g sin α + v2
g 2 cos2 αdt
⎡
= g⎣ t − (v/g)sinα t − v 2 2 v
2
g sin α +
g cos α
+ [(v/g)cosα]2
2
⎛
⎞⎤
ln⎝t − v g sin α + t − v 2 2 v
g sin α +
g cos α ⎠⎦
(2v/g)sinα
[using Formula 21 in the Table of Integrals]
⎡ ⎛
= g ⎣ v 2 2
⎞
2 v
v v v
2 g sin α g sin α +
g cos α +
g cos α ln⎝ v 2 2 v
g sin α + g sin α +
g cos α ⎠
= g 2
= v2
g
⎛
+ v 2 2
⎞⎤
2 v v v v
g sin α g sin α +
g cos α −
g cos α ln⎝− v 2 2 v
g sin α + g sin α +
g cos α ⎠⎦
v
g sin α · v
g + v2 v
g 2 cos2 α ln
g sin α + v
+ v g g sin α · v
g − v2
g 2 cos2 α ln − v g sin α + v
g
v2
(v/g)sinα + v/g
sin α +
2g cos2 α ln
= v2 v2 1+sinα
sin α +
− (v/g)sinα + v/g g 2g cos2 α ln
1 − sin α
0
We want to maximize L(α) for 0 ≤ α ≤ π/2.
L 0 (α)= v2
g
= v2
g
= v2
g
v2
cos α +
2g
cos α +
v2
2g
cos 2 α · 1 − sin α
1+sinα ·
cos 2 α ·
cos α +
v2
g cos α
1 − sin α ln
2cosα
1+sinα
(1 − sin α) 2 − 2cosα sin α ln 1 − sin α
2
1+sinα
cos α − 2cosα sin α ln 1 − sin α
1+sinα
1 − sin α
L(α) has critical points for 0