Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
TX.10
CHAPTER 11 REVIEW ¤ 507
45.
n f (n) (x) f (n)
π
6
0 sin x
1 cos x
1
2
√
3
2
47.
49.
2 − sin x − 1 2
3 − cos x − √ 3
4 sin x
.
.
2
1
2
π
π
sin x = f + f 0 x − π
+
6 6 6
= 1 2
= 1 2
.
1 − 1
x − π 2! 6
∞
n=0
1
1+x = 1
1 − (−x) = ∞
1
1 − x = ∞
n=0
2 1
+ x − π 4! 6
(−1) n 1
x − π √
2n 3
+
(2n)! 6 2
n=0
(−x) n = ∞
π
π
π
f 00
6 x − π 2 f (3)
+ 6 x − π 3 f (4)
+ 6
2! 6 3! 6 4!
√ 4 3
− ···
+ x − π
− 1
x − π 3
+ ···
2 6 3! 6
n=0
∞
n=0
x n for |x| < 1 ⇒ ln (1 − x) =−
ln (1 − 0) = C − 0 ⇒ C =0 ⇒ ln (1 − x) =− ∞
(−1) n 1
x − π 2n+1
(2n +1)! 6
(−1) n x n for |x| < 1 ⇒ x2
1+x = ∞
dx
∞
1 − x = −
n=0
n=0
x n+1
n +1 = ∞
n=1
n=0
x n dx = C − ∞
−x n
n
x − π 6
4
+ ···
(−1) n x n+2 with R =1.
n=0
with R =1.
x n+1
n +1 .
51. sin x = ∞
n=0
(−1) n x 2n+1
(2n +1)!
⇒
sin(x 4 )= ∞
n=0
(−1) n (x 4 ) 2n+1
(2n +1)!
= ∞
n=0
(−1) n x 8n+4
(2n +1)!
for all x, so the radius of
convergence is ∞.
53. f(x) =
= 1 2
1
4√ 16 − x
=
1+
1
=
16(1 − x/16)
4
− 1
− x
+
4 16
−
1
4
1
4√ 16 1 −
1
x = 1
1/4 2 1 −
1
x −1/4
16
16
−
5
4
2!
− x 16
= 1 2 + ∞ 1 · 5 · 9 ·····(4n − 3)
x n = 1
n=1 2 · 4 n · n! · 16 n 2 + ∞
n=1
for − x < 1 ⇔ |x| < 16,soR =16.
16
2
+
−
1
4
−
5
4
3!
−
9
4
1 · 5 · 9 ·····(4n − 3)
2 6n+1 n!
− x 3
+ ···
16
x n
55. e x = ∞
n=0
x n
n! ,so ex x = 1 x
∞
n=0
x n
n!
= ∞
n=0
x n−1
n!
= x −1 + ∞
n=1
x n−1
n!
= 1 x + ∞
n=1
x n−1
n!
and
e
x
x dx = C +ln|x| + ∞
n=1
x n
n · n! .