Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
390 ¤ CHAPTER 9 DIFFERENTIAL EQUATIONS
TX.10
37. (a) If a = b, then dx
dt = k(a − x)(b − x)1/2 becomes dx
dt = k(a − x)3/2 ⇒ (a − x) −3/2 dx = kdt ⇒
(a − x) −3/2 dx = kdt ⇒ 2(a − x) −1/2 2
= kt + C [by substitution] ⇒
kt + C = √ a − x
(b) dx
dt
2 2
= a − x ⇒ x(t) =a −
kt + C
0=a − 4
C 2 ⇒ 4
C 2 = a ⇒ C2 = 4 a
Thus, x(t) =a −
4
(kt +2/ √ a ) 2 .
= k(a − x)(b − x)1/2 ⇒
4
. The initial concentration of HBr is 0, sox(0) = 0
(kt + C) ⇒
2
⇒ C =2/ √ a [C is positive since kt + C =2(a − x) −1/2 > 0].
dx
(a − x) √ b − x = kdt ⇒
dx
(a − x) √ b − x =
From the hint, u = √ b − x ⇒ u 2 = b − x ⇒ 2udu= −dx,so
dx
(a − x) √ b − x = −2udu
[a − (b − u 2 )]u = −2 du
a − b + u = −2 2
17 1
= −2 √ tan −1 u
√ a − b a − b
kdt ().
du
√
a − b
2
+ u
2
⇒
39. (a) dC
dt
So ()becomes
√
−2 b − x
√ tan −1 √ = kt + C. Nowx(0) = 0 ⇒ C = −2
√
b
√ tan −1 √ and we have
a − b a − b a − b a − b
√
−2 b − x
√ tan −1 √ = kt −
a − b a − b
2
√
a − b
tan −1
√
b
√
a − b
2
b
b − x
t(x) =
k √ tan −1
a − b a − b − tan−1 a − b
= r − kC ⇒
dC
dt = −(kC − r) ⇒
.
⇒
dC
kC − r =
2
b
b − x
√ tan −1
a − b a − b − tan−1 a − b
−dt ⇒ (1/k) ln|kC − r| = −t + M 1 ⇒
ln|kC − r| = −kt + M 2 ⇒ |kC − r| = e −kt+M 2
⇒ kC − r = M 3 e −kt ⇒ kC = M 3 e −kt + r ⇒
C(t) =M 4 e −kt + r/k. C(0) = C 0 ⇒ C 0 = M 4 + r/k ⇒ M 4 = C 0 − r/k ⇒
C(t) =(C 0 − r/k)e −kt + r/k.
(b) If C 0