Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
TX.10
336 ¤ CHAPTER 7 TECHNIQUES OF INTEGRATION
= 1 25 Convergent
∞
1
t
1
5. I =
dx = lim
dx. Now
1 (3x +1)
2 t→∞
1 (3x +1)
2
1
(3x +1) dx = 1 2 3
1
du
u2 [u =3x +1, du =3dx]
1
= −
3u + C = − 1
3(3x +1) + C,
t
1
1
so I = lim −
= lim −
t→∞ 3(3x +1)
t→∞
1
3(3t +1) + 1
=0+ 1 12 12 = 1
12 . Convergent
−1
1
−1
1
√ −1
7. √ dw = lim √ dw = lim −2 2 − w
−∞ 2 − w t→−∞
t 2 − w t→−∞
t
[u =2− w, du = −dw]
√ √
= lim −2 3+2 2 − t = ∞.
t→−∞
Divergent
∞
t
9. e −y/2 t
dy = lim
4
t→∞ 4 e−y/2 dy = lim
−2e −y/2 = lim (−2e −t/2 +2e −2 )=0+2e −2 =2e −2 .
t→∞ 4 t→∞
Convergent
∞
xdx 0
11.
−∞ 1+x = xdx ∞
2 −∞ 1+x + xdx
2 0 1+x and 2
0
xdx
−∞ 1+x = lim 1 ln 1+x 2 0
= lim
2 t→−∞ 2 t 0 −
1
1+t 2 = −∞.
t→−∞ 2
Divergent
∞
13.
−∞ xe−x2 dx = 0
−∞ xe−x2 dx + ∞
xe −x2 dx.
0
0
−∞ xe−x2 dx = lim −
1
e −x2 0 = lim
t→−∞ 2
−
1
1 − e −t2 = − 1 · 1=− 1 ,and
t t→−∞ 2 2 2
∞
xe −x2 dx = lim
0
−
1
e −x2 t
= lim
t→∞ 2
−
1
e −t2 − 1 = − 1 · (−1) = 1 .
0 t→∞ 2 2 2
Therefore, ∞
−∞ xe−x2 dx = − 1 + 1 =0.
2 2 Convergent
∞
t
t
15. sin θdθ= lim sin θdθ = lim
2π t→∞ 2π − cos θ = lim (− cos t +1). This limit does not exist, so the integral is
t→∞
2π t→∞
divergent. Divergent
∞
x +1
t 1
(2x +2)
t
2
17.
dx = lim
1 x 2 +2x t→∞
1 x 2 +2x dx = 1 lim ln(x 2 +2x) = 1 lim ln(t 2 +2t) − ln 3 = ∞.
2 t→∞
2
1 t→∞
Divergent
∞
t
19. se −5s ds = lim se −5s
ds = lim −
1
0
t→∞
0
t→∞ 5 se−5s − 1 e−5s by integration by
25 parts with u = s
= lim −
1
t→∞ 5 te−5t − 1 25 e−5t + 1 25 =0− 0+
1
25
[by l’Hospital’s Rule]