Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
132 ¤ CHAPTER 3 DIFFERENTIATION RULES
TX.10
15.
d
dx (xy4 + x 2 y)= d
dx (x +3y) ⇒ x · 4y3 y 0 + y 4 · 1+x 2 · y 0 + y · 2x =1+3y 0 ⇒
y 0 (4xy 3 + x 2 − 3) = 1 − y 4 − 2xy ⇒ y 0 = 1 − y4 − 2xy
4xy 3 + x 2 − 3
17. y =
sec 2θ
1+tan2θ
⇒
y 0 = (1 + tan 2θ)(sec 2θ tan 2θ · 2) − (sec 2θ)(sec2 2θ · 2)
= 2sec2θ [(1 + tan 2θ)tan2θ − sec2 2θ]
(1 + tan 2θ) 2 (1 + tan 2θ) 2
= 2sec2θ (tan 2θ +tan2 2θ − sec 2 2θ) 2sec2θ (tan 2θ − 1)
= 1+tan 2 x =sec 2 x
(1 + tan 2θ) 2 (1 + tan 2θ) 2
19. y = e cx (c sin x − cos x) ⇒
y 0 = e cx (c cos x +sinx)+ce cx (c sin x − cos x) =e cx (c 2 sin x − c cos x + c cos x +sinx)
= e cx (c 2 sin x +sinx) =e cx sin x (c 2 +1)
21. y =3 x ln x ⇒ y 0 =3 x ln x · ln 3 ·
d
dx (x ln x) =3x ln x · ln 3 x · 1
x +lnx · 1 =3 x ln x · ln 3(1 + ln x)
23. y =(1− x −1 ) −1 ⇒
y 0 = −1(1 − x −1 ) −2 [−(−1x −2 )] = −(1 − 1/x) −2 x −2 = −((x − 1)/x) −2 x −2 = −(x − 1) −2
25. sin(xy) =x 2 − y ⇒ cos(xy)(xy 0 + y · 1) = 2x − y 0 ⇒ x cos(xy)y 0 + y 0 =2x − y cos(xy) ⇒
y 0 [x cos(xy)+1]=2x − y cos(xy) ⇒ y 0 =
2x − y cos(xy)
x cos(xy)+1
27. y =log 5 (1 + 2x) ⇒ y 0 =
1 d
(1 + 2x) ln5dx (1 + 2x) = 2
(1 + 2x) ln5
29. y =lnsinx − 1 2 sin2 x ⇒ y 0 = 1
sin x · cos x − 1 · 2sinx · cos x =cotx − sin x cos x
2
31. y = x tan −1 (4x) ⇒ y 0 = x ·
1
1+(4x) · 4x
2 4+tan−1 (4x) · 1=
1+16x 2 +tan−1 (4x)
33. y =ln|sec 5x +tan5x| ⇒
y 0 =
1
sec 5x +tan5x (sec 5x tan 5x · 5sec5x (tan 5x +sec5x)
5+sec2 5x · 5) = =5sec5x
sec 5x +tan5x
35. y =cot(3x 2 +5) ⇒ y 0 = − csc 2 (3x 2 + 5)(6x) =−6x csc 2 (3x 2 +5)
37. y =sin tan √ 1+x 3 ⇒ y 0 =cos tan √ 1+x 3 sec 2 √ 1+x 3 3x 2 2 √ 1+x 3
39. y =tan 2 (sin θ) =[tan(sinθ)] 2 ⇒ y 0 =2[tan(sinθ)] · sec 2 (sin θ) · cos θ