Solução_Calculo_Stewart_6e

F.
112 ¤ CHAPTER 3 DIFFERENTIATION RULES
TX.10
37. y =(2x +1) 5 (x 4 − 3) 6 ⇒ ln y =ln (2x +1) 5 (x 4 − 3) 6 ⇒ ln y =5ln(2x +1)+6ln(x 4 − 3) ⇒
1
1
y y0 =5·
2x +1 · 2+6· 1
x 4 − 3 · 4x3
10
y 0 = y
2x +1 + 24x3
x 4 − 3
⇒
10
=(2x +1) 5 (x 4 − 3) 6 2x +1 + 24x3 .
x 4 − 3
[The answer could be simplified to y 0 =2(2x +1) 4 (x 4 − 3) 5 (29x 4 +12x 3 − 15), but this is unnecessary.]
39. y = sin2 x tan 4 x
(x 2 +1) 2 ⇒ ln y =ln(sin 2 x tan 4 x) − ln(x 2 +1) 2 ⇒
ln y =ln(sinx) 2 +ln(tanx) 4 − ln(x 2 +1) 2 ⇒ ln y =2ln|sin x| +4ln|tan x| − 2ln(x 2 +1) ⇒
1 1
y y0 =2·
sin x · cos x +4· 1
tan x · 1
sec2 x − 2 ·
x 2 +1 · 2x ⇒ y0 = sin2 x tan 4 x
2cotx + 4sec2 x
(x 2 +1) 2 tan x − 4x
x 2 +1
41. y = x x ⇒ ln y =lnx x ⇒ ln y = x ln x ⇒ y 0 /y = x(1/x)+(lnx) · 1 ⇒ y 0 = y(1 + ln x) ⇒
y 0 = x x (1 + ln x)
43. y = x sin x ⇒ ln y =lnx sin x ⇒ ln y =sinx ln x ⇒ y0
y =(sinx) · 1 +(lnx)(cos x)
x ⇒
sin x
sin x
y 0 = y
x
+lnx cos x ⇒ y 0 = x sin x x
+lnx cos x
45. y =(cosx) x ⇒ ln y =ln(cosx) x ⇒ ln y = x ln cos x ⇒ 1 y y0 = x ·
y 0 = y ln cos x − x sin x
cos x
⇒ y 0 =(cosx) x (ln cos x − x tan x)
1 · (− sin x)+lncosx · 1
cos x ⇒
47. y =(tanx) 1/x ⇒ ln y =ln(tanx) 1/x ⇒ ln y = 1 ln tan x ⇒
x
1
y y0 = 1 x · 1
tan x · sec2 x +lntanx ·
− 1
sec
⇒ y 0 2 x ln tan x
= y −
x 2 x tan x x 2
y 0 =(tanx) 1/x sec 2 x
x tan x
49. y =ln(x 2 + y 2 ) ⇒ y 0 =
ln tan x
−
x 2
1
x 2 + y 2
or y 0 = (tan x) 1/x · 1
x
x 2 y 0 + y 2 y 0 − 2yy 0 =2x ⇒ (x 2 + y 2 − 2y)y 0 =2x ⇒ y 0 =
51. f(x) =ln(x − 1) ⇒ f 0 (x) =
csc x sec x −
⇒
ln tan x
x
d
dx (x2 + y 2 ) ⇒ y 0 2x +2yy0
= ⇒ x 2 y 0 + y 2 y 0 =2x +2yy 0 ⇒
x 2 + y 2
2x
x 2 + y 2 − 2y
1
(x − 1) =(x − 1)−1 ⇒ f 00 (x) =−(x − 1) −2 ⇒ f 000 (x) =2(x − 1) −3 ⇒
f (4) (x) =−2 · 3(x − 1) −4 ⇒ ··· ⇒ f (n) (x) =(−1) n−1 · 2 · 3 · 4 ·····(n − 1)(x − 1) −n =(−1) n−1 (n − 1)!
(x − 1) n
53. If f(x) =ln(1+x), thenf 0 (x) = 1
1+x ,sof 0 (0) = 1.
ln(1 + x) f(x)
Thus, lim =lim
x→0 x x→0 x
= lim f(x) − f(0)
= f 0 (0) = 1.
x→0 x − 0