Multivariate Calculus - Bruce E. Shapiro

LECTURE 22. LINE INTEGRALS 181
The integral then becomes
∮ ∫ 2π
1
F · dr = √
(y0 + sin t) 2 + (x 0 + cos t) (−y 2 0 − sin t, x 0 + cos t) · (− sin t, cos t)dt
c
=
=
=
0
∫ 2π
0
∫ 2π
0
y 0 sin t + x 0 cos t + sin 2 t + cos 2
√
y0 2 + 2y 0 sin t + sin 2 t + x 2 0 + 2x 0 cos t + cos 2 t
1 + y 0 sin t + x 0 cos t
√
1 + x
2
0 + y 2 0 + 2x 0 cos t + 2y 0 sin t dt
1
√
x
2
0 + y 2 0
∫ 2π
If x 0 ≫ 1 and y0 ≫ 1, then the quantity
and we can use the approximation
to give
0
1 + y 0 sin t + x 0 cos t
√
1 + (1 + 2x0 cos t + 2y 0 sin t)/(x 2 0 + y2 0 )dt
1 + 2x 0 cos t + 2y 0 sin t
x 2 0 + y2 0
≪ 1
(1 + u) −1/2 ≈ 1 − u 2 + · · ·
1
√
1 + (1 + 2x0 cos t + 2y 0 sin t)/(x 2 0 + y2 0 ) ≈ 1 + 1 + x 0 cos t + y 0 sin t
x 2 0 + + · · ·
y2 0
Hence the circulation becomes
∮
F · dr = 1 ∫ 2π
(1 + y 0 sin t + x 0 cos t)×
c r 0 0
(
1 + 1 + x )
0 cos t + y 0 sin t
r0
2 + · · · dt
where r0 2 = x2 0 + y2 0 . Each successive term in the expansion falls off by a factor of
1/r 0 . Using the facts that ∫ 2π
0
sin tdt = 0 and ∫ 2π
0
cos tdt = 0,
∮
F · dr = 1 ∫ 2π
[(1 + y 0 sin t + x 0 cos t) + (1 + y 0 sin t + x 0 cos t) 2 ]
+ · · · dt
r 0
c
0
= 2π
r 0
+ 1 r 3 0
∫ 2π
0
= 2π + 2π
r 0 r0
3 + 1 r0
3
[
1 + 2(y0 sin t + x 0 cos t) + (y 0 sin t + x 0 cos t) 2 + · · · ] dt
∫ 2π
0
(y 0 sin t + x 0 cos t) 2 dt + · · ·
Now use the facts that ∫ 2π
0
cos 2 tdt = ∫ 2π
0
sin 2 tdt = π and ∫ 2π
0
sin t cos tdt = 0,
∮
F · dr = 2π + 2π
c r 0 r0
3 + 1 ∫ 2π
r0
3 (y0 2 sin 2 t + 2x 0 y 0 sin t cos t + x 2 0 cos 2 t)dt + · · ·
0
= 2π + 2π
r 0 r0
3 + πr2 0
r0
3 + · · · = 3π + · · ·
r 0
Math 250, Fall 2006 Revised December 6, 2006.
r 2 0
dt