Artin 環 - FUJI

Artin 環
大 城 紀 代 市
山 口 大 学
概 要
タイトルを Artin 環 としたが,それは 体 上 有 限 次 元 多 元 環 を 含 む 一 般 の 純 然 た
る Artin 環 を 意 味 する. 本 稿 の 目 的 は, 古 典 的 Artin 環 である Quasi-Frobenius
環 (QF- 環 ) の 構 造 論 を 旧 来 とは 違 う 方 法 で 考 察 しながら, 関 連 する 他 の Artin
環 への 応 用 に 視 点 をおき, 最 近 のいくつかの 話 題 を 紹 介 することである.
話 題 のタイトルは 下 記 の 通 りである.
(1)Harada 環 と QF- 環
(2)Harada 環 と frame QF- 部 分 環
(3)Nakayama 環 の classication
(4) 代 数 閉 体 上 の Nakayama 群 多 元 環
(5) 局 所 QF- 環 の 構 成 と Faith 予 想
一 般 の Artin 環 といっても,その 源 流 は 群 の 表 現 論 , 多 元 環 の 表 現 論 にあり,
特 に 1903 年 の Frobenius の 次 の 論 文 が 原 点 の 一 つになっている:
W. Von Frobenius, Theoriw der hyperkomplexen Groeen, Sitzung der
phys.-math. K1(1903), 504-538. 634-645.
この 論 文 で, 右 正 則 表 現 と 左 正 則 表 現 が 同 値 である 体 上 有 限 次 元 多 元 環 (hypercomplex
system)が 研 究 された.その 後 ,1937 年 の Brauer-Nesbitt [9] でこの 多 元 環 の
重 要 性 が 主 張 され,1939,1941 年 の 有 名 な Nakayama の Frobenius Algebra I,
II [45] につながり,この 環 の 構 造 論 が 展 開 された.この 史 実 については, 中 山 -
東 屋 の 代 数 学 II [46],Nagao-Tushima [43],Lam [33],Yamagata の Handbook
[64] を 参 照 されたい.Nakayama は Frobenius 多 元 環 を 純 環 論 的 にとらえ,そ
の 性 質 で Quasi-Frobenius 環 (QF- 環 )を 定 義 した.この Artin 環 は, 際 立 っ
て 豊 かな 構 造 をもつ 環 として 多 くの 環 論 研 究 者 を 魅 了 して 止 まず, 今 日 まで 連
綿 と 研 究 されている. 筆 者 の 独 断 だが,この 環 は,おそらく 永 遠 に 研 究 され
ていく Artin 環 であろう.Nakayama は Frobenius 多 元 環 の 研 究 から,[44] で
generalized uniserial 環 (Artinian serial 環 )というもう 一 つの Artin 環 も 考
—1—

察 している. 本 稿 では,この 環 を Nakayama 環 と 呼 ぶ. 可 換 な Nakayama 環
は,いわゆる Koethe 環 (すべての 加 群 が 巡 回 加 群 の 直 和 に 書 ける 環 )という
ものである. 本 稿 の 話 題 3 で,この Nakayama 環 の 構 造 論 を,Harada 環 の 応
用 により, 局 所 QF- 環 上 の skew-matrix ring なるものを 考 察 して 展 開 する.
本 論 に 入 る 前 にもう 少 し 詳 しく Frobenius 多 元 環 と quasi-Frobenius 多 元 環
(QF- 多 元 環 )の 足 跡 を 見 てみよう.
R を semiperfect 環 とし,E(R) を 直 交 原 始 ベキ 等 元 の 完 全 集 合 とする. 二
つの 元 e, f E(R) に 対 して,
S(eR R ) = T (eR R ), S( R Re) = T ( R Re)
が 成 り 立 つとき (eR; Rf) を i-pair という.ただし,S(X) は X の socle,T (X)
は X/Rad(X) (ここで,Rad (X) は X の Jacobson radical).R が 片 側 Artin
環 のとき (eR; Rf) が i-pair ならば,Fuller [16] の 結 果 から eR R , R Rf はとも
に injective になる.
さて,R を 体 K 上 n 次 元 多 元 環 とする : R = u 1 F ··· u n F .R の 元 a
に 対 して,n 次 の 正 方 行 列 L(a) と R(a) による, 次 の 様 な 二 つの 表 現 が 考 え
られる:
a(u 1 , ··· .u n )=(u 1 , ··· ,u n )L(a), T (u 1 , ··· ,u n )a = R(a) T (u 1 , ··· ,u n ).
この L(a), R(a) をそれぞれ 右 正 則 表 現 , 左 正 則 表 現 というが, 或 る 正 則 行
列 P により PL(a) =R(a)P となるとき,これらの 表 現 は 同 値 であるという.
Frobenius 多 元 環 とは,すべての a に 対 して L(a) と R(a) が 同 値 になること
である.Frobenius 多 元 環 にはいくつかの 言 い 換 えがある.そのうち 三 つをこ
こで 紹 介 する.R を 体 K 上 有 限 次 元 多 元 環 とする.
(1)R =Hom K (R, K) とおくと,R は (R, R)-bimodule になる.R が
Frobenius 多 元 環 であることが, 右 , 或 いは 左 R-module として R = R である
ことで 特 徴 付 けられる.ついでながら,(R, R)module として R = R のとき,
R を 対 称 多 元 環 といい,すべての 原 始 ベキ 等 元 e に 対 して S(eR R ) = T (eR R )
and S( R Re) = T ( R Re) のとき,R を 弱 対 称 多 元 環 という.
(2)Frobenius 多 元 環 は,R の 右 ideal A と 左 ideal B に 対 して, 次 の 条
件 が 成 り 立 つことで 特 徴 付 けられる.
rl(A) =A,lr(B) =B
dim (A)+dim(r(B)) = dim (R),dim (B)+dim(l(A)) = dim (R)
ただし,l(X),r(X) はそれぞれ X の 左 annihilator ideal, 右 annihilator
ideal,dim (X) は X の K 上 次 元 .
—2—

(3)R の 任 意 の 原 始 ベキ 等 元 e に 対 して, 原 始 ベキ 等 元 f があって (eR; Rf)
が i-pair になり,R の 直 既 約 分 解 の 中 で eR R と 同 型 なものの 個 数 と R Rf ( 或 い
は fR R )と 同 型 なものの 個 数 が 等 しい,という 条 件 で,Nakayama は Frobenius
多 元 環 を 特 徴 付 けた.さらに,「 同 型 なものの 個 数 」に 関 する 条 件 を 除 いた, 始
めの 部 分 の 条 件 で quasi-Frobenius 多 元 環 を 定 義 したのだが,このような 形 に
すれば Frobenius 多 元 環 も quasi-Frobenius 多 元 環 も 体 の 作 用 が 見 えなくな
る.そしてこの 見 地 から,そのままの 形 で 有 限 次 元 多 元 環 を Artin 環 に 換 え
て Frobenius 環 と quasi-Frobenius 環 (QF- 環 )が 定 義 されたのである.ここ
で,basic な Artin 環 では Frobenius 環 と quasi-Frobenius 環 の 区 別 がない 点
に 注 意 .
QF- 環 は,Nakayama,Thrall,Ikeda,Morita,Tachikawa,Faith,Osofsky,
Harada 等 の 研 究 を 経 て, 他 の 環 についてもそうであるように,Category Theory,Homological
Algebra の 手 法 により 研 究 領 域 が 広 がっていった.まず,1948
年 ,Thrall [60] は QF 環 を 分 析 し,その 環 のもつ 性 質 で QF-1,QF-2,QF-3
という 三 つの Artin 環 を 導 入 した:
右 QF-1 : 右 faithful module は balance module である.
右 QF-2 : 右 indecomposable projective module の socle は simple である.
右 QF-3 : R の 右 injective hull は projective である.
QF- 環 については, 現 在 次 のような 特 徴 付 けが 出 来 ている.
定 理 A. 次 の 条 件 は 同 値 である.
(1) R :QF- 環 .
(2) R : 右 Noetherian, 右 self-injective.
(3) R : 左 Noetherian, 左 self-injective.
(4) R : 右 Noetherian かつ 次 の 条 件 をみたす:
rl(A) =A 右 ideal A, lr(B) =B 左 ideal B.
(5) R : Artinian かつ (4) の 条 件 (a), (b) をみたす.
(6) Hom R (,R) は 有 限 生 成 左 R-modules の class と 有 限 生 成 右 R-modules
の class の 間 の Morita duality を 与 える.
(7) すべての 右 injective module は projective である.
(8) すべての 右 projective module は injective である.
QF- 環 の 研 究 は,このように QF- 環 の 性 質 を 探 求 し,その 性 質 で QF- 環 の 特
徴 付 けを 与 えるというスタイルで 進 展 している.そして 不 思 議 なことに,この
ような 問 題 が 提 起 されると, 問 題 の 中 にはとてつもなく 難 問 となって 何 十 年 も
—3—

の 間 未 解 決 になっているものがある.たとえば,Nakayama 予 想 ,Faith 予 想 ,
FGF- 予 想 等 .Nakayama 予 想 については Chang Chang Xi [63],Faith 予 想 ,
FGF- 予 想 については Nicholson-Yousif [47] を 参 照 .
筆 者 は 冒 頭 で 旧 来 とは 違 う 視 点 で QF- 環 を 論 ずると 述 べたが,その 意 味 は,
QF- 環 の 特 徴 付 け,あるいはその 周 辺 の 表 現 論 を 調 べるといった 研 究 ではなく,
この 環 の 内 部 構 造 を 応 用 した 研 究 の 話 題 を 紹 介 するということである.
QF- 環 は, 環 論 , 群 論 以 外 の 分 野 でも 有 用 な 環 のようである.Lam [33] に 次
のような 記 述 がなされている ( 原 文 のまま):
Besides the connection to group representation theory, Frobenius rings appear
also in other brances of algebra. For instance, commutative local Frobenius
rings are precisely the zero-dimensional local Gorenstein rings: these rings
play an interesting role in number theory, algebraic geometry, and combinatorics.
Frobenius algebras have also shown up in the recent study of Hopf
algebras and Koszul algebas. Today, the use of Frobenius rings has reached
way beyond the realm of pure algebra and ring theory. For instance, some
applications of Frobenius rings to coding theory are presented in J. A. Wood’s
recent article. In topology and geometry, Frobenius algebras occur as cohomology
rings of compact oriented manifolds and as quantum cohomology rings
of certain compact Kaehler manifolds, and they have also shown up in the recent
work on the solutions of the Yang-Baxter equation. In March/April 1996
I attended the series of Hitchcock Lectures on geometry and phisics given by
Chern Professor Sir Michael F. Atiyah at Berkeley, and was delighted to see
that one of his transparencies in Lecture 3 displayed the impressive equation
“TOP QFT (d = 1) = Frobenius algebra”
この 記 述 を 読 めば,Frobenius 多 元 環 および QF- 環 が 群 論 , 環 論 を 含 む 広 い
領 域 にわたって 重 要 な 環 であることが 了 解 できよう.
さて,これから 本 論 に 入 るが, 詳 しい 証 明 等 についてはすべて 馬 場 - 大 城 の
Lecture Note [6] を 参 照 . 本 稿 は,この Lecture Note に 収 録 した 内 容 の 要 約 で
ある.
List of Symbols
以 下 の 記 号 を 断 りなしに 使 用 する.
M R : R 上 の unitary 右 module.
E(R) : semiperfect ring R の 直 交 原 始 ベキ 等 元 の 完 全 集 合 .
—4—

id X , 或 いは 単 に id : X の identity map.
J(M) : module M の Jacobson radical.
J(R), 或 いは 単 に J : 環 R の Jacobson radical.
S(M) : module M の socle.
S k (M) : 右 (resp. 左 ) R-module M の k-th socle
T (M) :M の factor module M/J(M) .
I(M) :M の injective hull.
N e M : N は module M の essential submodule.
N c M : N は M の co-essential submodule.
N

(ii) j = l e ij R R = e il R R ,と 表 そう.このとき, 置 換
e 11 e 21 ··· e m1
e (1)1 e (2)1 ··· e (m)1
で, S(e i1 R) = T (e (i)1 R) i をみたすものがとれる. 特 に,p(i) =p( (i)) i
が 成 り 立 つとき,R を Frobenius 環 といい,
e 11 ··· e 1p(1) ··· e m1 ··· e mp(m)
e (1)1 ··· e (1)p((1)) ··· e (m)1 ··· e (m)p((m))
を R の Nakayama 置 換 という.
この Nakayama 置 換 に 対 して,R の 自 己 同 型 写 像 ( で ((e ij )=e (i)j i =
1,...,m, j =1,...,p(i) をみたすものを,R の 環 としての Nakayama 自 己 同
型 写 像 という. 一 般 には,Frobenius 環 は, 環 としての Nakayama 自 己 同 型 写
像 を 持 たない (Koike [27]).Frobenius 多 元 環 では, 多 元 環 としての Nakayama
自 己 同 型 写 像 は, 環 としての Nakayama 自 己 同 型 写 像 になるが, 環 としての
Nakayama 自 己 同 型 写 像 は, 多 元 環 としての Nakayama 自 己 同 型 写 像 になる
とは 限 らない.その 意 味 では, 環 としての Nakayama 自 己 同 型 写 像 は, 多 元
環 としての Nakayama 自 己 同 型 写 像 を 含 む 広 い 意 味 での 概 念 として 使 用 する.
以 後 , Nakayama 自 己 同 型 写 像 といえば, 環 としての Nakayama 自 己 同 型 写
像 を 意 味 する.
Artin 環 R が Nakayama 環 であるとは,R のすべての 原 始 ベキ 等 元 e に 対
して,eR R および R Re が uniserial であるときをいう. 次 の 結 果 はよく 知 ら
れている.
定 理 B ([45]). R が Nakayama 環 であれば,すべての 右 Rmodule は
uniserial modules の 直 和 で 表 される.また,この 逆 も 成 り 立 つ.
この 結 果 から,Nakayama 環 は 有 限 表 現 型 であることが 分 かる.
話 題 1: Harada 環 と frame QF- 部 分 環
R-module M R は,M を 含 む 任 意 の injective module の small submodule で
あるとき small module とよび,small submodule でないとき non-small module
という. 双 対 的 に, 任 意 の projective module P と,P から M への epimorphism
f に 対 して,Ker f が essential submodule であるとき,M を cosmall module
とよび,cosmall でないとき non-cosmall module という.
これらの 概 念 を 用 いて,Harada は [18],[19] でこれから 述 べる 新 しい Artin
環 の 基 となる, 次 の 二 つの 条 件 を 考 察 している.
—6—

() すべての non-small 右 R-module は,0 でない injective module を 含 む.
() すべての non-cosmall 右 R-module は,0 でない projective summand 含 む.
Harada は,これらの 条 件 を ideal 論 的 に 次 のように 特 徴 付 けた.
定 理 1.1.
右 Artin 環 R について, 次 の 条 件 は 同 値 である.
(1) R は () をみたす.
(2) eR R が non-small module となる 任 意 の e E(R) に 対 して, n(e) N 0 :
(a) eR/S i1 (eR R ) は injective i =1, ...,n(e),
(b) eR/S n(e) (eR R ) は small.
定 理 1.2.
右 Artin 環 R について, 次 の 条 件 は 同 値 である.
(1) R は () をみたす.
(2) 任 意 の f E(R) に 対 して,e E(R) で eR R は injective かつ j N 0 :
fR = eJ j なるものがとれる.
定 義 . 定 理 1.1 をみたす 右 Artin 環 を 右 Harada 環 と 呼 び, 定 理 1.2 をみた
す 右 Artin 環 を 右 co-Harada 環 と 呼 ぶ.
右 Harada 環 と 右 co-Harada 環 をこのように 定 義 するのだが, 意 外 なこと
に, 次 はこれらの 環 は 同 じ 環 であることを 示 している.
定 理 1.3. R : 左 co-Harada 環 R : 右 Harada 環 .
従 って,R : 左 Harada 環 R : 右 co-Harada 環 .
これより, 右 Harada 環 は 両 側 Arin 環 であることが 分 かる.この 事 実 より,
直 ちに 右 Harada 環 の Morita 自 己 双 対 性 が 問 題 となる.このことについては,
話 題 2で 詳 しく 述 べる.
Harada は,1970 年 の 終 わりから 1980 年 の 初 めにかけて,この 新 しい Artin 環
を small modules,cosmall modules を 用 いて 誕 生 させたのだが, 同 じ 頃 ,injective
modules,projective modules の 持 つ 顕 著 な 性 質 である extending property
と lifting property の 研 究 も 行 っている.これらの 概 念 が, 後 に Harada 環 の 研
究 に 必 要 不 可 欠 な 強 力 な 武 器 となる. 一 方 ,この extending property,lifting
property そのものの 研 究 は 国 内 外 の 多 くの 研 究 者 によって 研 究 され, 現 在 は
一 つの 研 究 領 域 が 形 成 されている.
この 萌 芽 的 研 究 を,もう 少 し 詳 しく 述 べよう.Harada は module M につい
て,「M の 任 意 の simple submodule A が,M の 直 和 因 子 に essential に 拡 張 さ
れる」, つまり,「M の 直 和 分 解 M = A A で,A e A をみたすものがと
—7—

れる」という extending property と,その 双 対 として,「M の 任 意 の maximal
submodule A が,M の 直 和 因 子 に co-essential に lift される」,「つまり,「M
の 直 和 分 解 M = A A で,A A

cover で 閉 じる.つまり, 任 意 の 全 射 R- 準 同 型 f : M E に 対 して, E
が injective かつ Ker f

projective
(a)
(a )
injective
(c ) (c)
lifting
(b)
(b )
extending
Figure
(z) R : 右 Harada 環 .
(c) すべての 右 projective R-module は extending である.
(c ) すべての 左 injective R-module は lifting である.
QF- 環 ,Nakayama 環 , 片 側 Harada 環 を 加 群 論 的 見 れば,このようにきれ
いな 関 係 にある.イデアル 論 的 にも, 次 からの 話 題 で 述 べるように, 三 つ 巴 に
なって 深 く 関 連 している. 特 に,Nakayama 環 は, 骨 格 は Harada 環 で, 深 部
に 局 所 QF- 環 があり,この 局 所 QF- 環 上 の skew-matrix 環 の 剰 余 環 として 実
現 できる 構 造 になっている.
話 題 2:Harada 環 と frame QF- 部 分 環
片 側 Harada 環 を 考 えるとき,この 概 念 が Morita invariant であるから,basic
環 の 場 合 を 考 えてよい.この 話 題 では, 次 の 定 理 を 紹 介 する.
定 理 2.1. R を basic indecomposable Harada 環 とする.R は 枠 組 みとな
る QF- 部 分 環 F (R) を 持 ち,そのブロック 拡 大 の 上 階 段 型 剰 余 環 として 構 成 さ
れる.
英 語 で 書 けば “For a given basic indecomposable left Harada ring R, there
exists a QF-subring F (R) ofR (which is called the frame QF-subring of R)
and R can represented as an upper staircase factor ring of a block extension
of F (R)” となる.
以 下 で, F (R) とブロック 拡 大 の 上 階 段 型 剰 余 環 について 説 明 する.
—10—

R を basic indecomposable 左 Harada 環 (= 右 co-Harada 環 ) とする. 直 交 ベ
キ 等 元 の 完 全 集 合 E(R) は,E(R) ={e ij } m n(i)
i=1,j=1 = {e 11, ...,e 1n(1) , ...,e m1 , ...,
e mn(m) } が
(1) e i1 R は injective 右 R-module i =1, ...,m,
(2) e ij R = e i,j1 J i =1, ...,m, j =2, ...,n(i),
をみたすようにとれる.このようにとったとき,E(R) ={e ij } m n(i)
i=1,j=1 を wellindexed
set という.
各 i に 対 して,e i1 R は injective だから,(e i1 R; Re st ) が i-pair になる s
{1, ...,m}, t {1, ...,n(i)} がとれる.これら s,t は 一 意 的 にきまるので,
(i) =s,.(i) =t により 二 つの 写 像 : , . : {1, ...,m} N が 定 義 できる.
つまり,(e i1 R; Re (i)(i) ) は i-pair,そして 1 .(i) n( (i)). 特 に, が
{1, ...,m} の 置 換 になるとき,R を type (/) とよぶ.
F を basic semiperfect 環 とし,E(F )={e 1 , ...,e y } とおく.A ij = e i Fe j
i, j, Q i = A ii i とおき,F を 行 列 で 表 現 する:
A 11 A 12 ··· A 1y Q 1 A 12 ··· A 1y
A 21 A 22 ··· A 2y
F =
··· ··· ··· ··· = A 21 Q 2 ··· A 2y
··· ··· ··· ··· .
A y1 A m2 ··· A yy A y1 ··· A y,y1 Q y
k(1), ..., k(y) N に 対 して, F のブロック 拡 大 F (k(1), ...,k(y)) を 次 のよ
うに 定 義 する: 各 i, s {1, ...,y}, j {1, ...,k(i)}, t {1, ...,k(s)} に 対
して
P ij,st :=
Q i ( i = s, j t のとき ),
J(Q i ) (i = s, j>tのとき ),
A is ( i = s のとき ).
P i1,s1 P i1,s2 ··· P i1,sk(s)
P
P (i, s) :=
i2,s1 P i2,s2 ··· P i2,sk(s)
.
. . .. . .
P ik(i),s1 P ik(i),s2 ··· P ik(i),sk(s)
つまり,i = s のとき, P (i, s) は k(i) × k(i) matrix
—11—

Q i ··· ··· Q i
.
P (i, i) =
J(Q i ) .. .
.
. .. . .. . .
J(Q i ) ··· J(Q i ) Q i
これを Q(i) とおく.i = s のとき, P (i, s) は k(i) × k(s) matrix
A is ··· A is
P (i, s) = ··· .
A is ··· A is
ここで P = F (k(1), ...,k(y)) を
P (1, 1) P (1, 2) ··· P (1,y)
P (2, 1) P (2, 2) ··· P (2,y)
P = F (k(1), ...,k(y)) =
··· ··· ··· ···
P (y, 1) P (y, 2) ··· P (y, y)
Q(1) P (1, 2) ··· P (1,y)
P (2, 1) Q(2) ··· P (2,y)
=
··· ··· ··· ··· .
P (y, 1) P (y, 2) ··· Q(y)
とおく.F が basic indecomposable semiperfect 環 であるから,P も basic
indecomposable semiperfect 環 になる (matrix size は k(1) + ··· + k(y)).
F (k(1), ...,k(y)) を,{k(1), ...,k(y)} に 対 する F のブロック 拡 大 という.P
を
P 11,11 ··· P 11,1k(1) ··· P 11,y1 ··· P 11,yk(y)
.
.
.
.
P 1k(1),11 ··· P 1k(1),1k(1) ··· P 1k(1),y1 ··· P 1k(1),yk(y)
P = F (k(1), ...,k(y)) =
.
.
.
.
.
P y1,11 ··· P y1,1k(1) ··· P y1,y1 ··· P y1,yk(y)
.
.
.
.
P yk(y),11 ··· P yk(y),1k(1) ··· P yk(y),y1 ··· P yk(y),yk(y)
と 表 現 すれば, 形 がより 分 りやすいであろう.
—12—

i =1, ...,y, j =1, ...,k(i) に 対 して
p ij = 1 ij,ij
おくと,{p ij } y k(i)
i=1,j=1 は P = F (k(1), ...,k(y)) の 直 交 ベキ 等 元 の 完 全 集 合 にな
る.これを E(F (k(1), ...,k(y))) とおく.
注 意 .
p ij P P
= pi1 J(P ) j1
P
i =1, ...,y,j =1, ...,k(i).
定 理 2.2. F が basic indecomposable QF- 環 ならば,P = F (k(1), ...,k(y))
は basic indecomposable type (#) 右 Harada 環 で,E(P )={p ij } y k(i)
i=1,j=1 が
well-indexed set になる.
さて,F を basic indecomposable QF- 環 とし,その Nakayama 置 換 を
e 1 ··· e y
e (1) ··· e (y)
とする.P = F (k(1), ...,k(y)) を 作 り,i {1, ...,y} に 対 して i-pair (e i P ; Pe (i) )
を 考 える.S(A ij )=S( Qi A ij )=S(A ij Qj
) とおく.ここで,P (i, (i)) のタイル
S(A ij ) でできる 上 階 段 型 (Q(i)-Q( (i)))-subbimodule S(i, (i)) を 次 のように
作 る:
(I) i = (i) のとき:S(A ij ) は Q i = A ii の 左 , 右 ideal として simple であ
る.S i = S(Q i ) とおく.このとき k(i) × k(i) matrix
Q i ··· ··· Q i
.
Q(i) =
J(Q i ) . . .
.
.
.. . ,
J(Q i ) ··· J(Q i ) Q i
の 中 で P (i, i) の 上 階 段 型 (Q(i)-Q(i))-subbimodule S(i, i) =S(i, (i)) を 次 の
ように 作 る:
k
0 ··· 0
S(i, i) =
0 S
, k 1,S = S(Q i )
—13—

ただし 階 段 は 対 角 線 を 横 切 る 場 合 は 1 回 のみとし, 横 切 らない 場 合 は
k
0 ··· 0
S
S(i, i) =
, k 1
0
················
0
なる 形 である.S i が Q i の ideal であるから,S(i, i) =S(i, (i)) は Q(i) の
ideal になる.
Q(i) =P (i, (i)) = P (i, (i))/S(i, (i)) とおき,これを 次 のように 表 現 する:
Q(i) =
k
Q i···Q i
Qi
·····
Q i
J
Q i
·····
J
Q i
k
Q i···Q i
Qi
或 いは Q(i) =
················
J
Q i
(II) i = (i) のとき : S i(i) = S( Qi A i(i) )=S(A i(i)Q(i) ) とおく.S i(i) は
A i(i) の (Q i -Q (i) )-subbimodule.そして,(Q(i)- Q( (i)))-bimodule である
A i(i) ··· A i(i)
P (i, (i)) = ··· ( k(i) × k( (i)) matrix),
A i(i) ··· A i(i)
の 中 で,P (i, (i)) の S = S i(i) タイル 張 りの 上 階 段 型 subbimodule S(i, (i))
を 作 る:
k
0 ··· 0
0 S
, k 1
—14—

そして,P (i, ) =P (i, (i))/S(i, (i)) とおき,P (i, ) を 次 のように 表 現 する:
k
A ··· A
A
A
.
次 に,P = F (k(1), ...,k(y)) の 部 分 集 合 X をつくる:
X(1, 1) X(1, 2) ··· X(1,y)
X(2, 1) X(2, 2) ··· X(2,y)
X =
··· ··· ··· ··· ,
X(y, 1) X(y, 2) ··· X(y,y)
ここで,X(i, i) ( Q i ),X(i, j) ( P (i, j)) を 次 のように 作 る:
0 (i = (i) のとき ),
X(i, i) =
S(i, i) (i = (i) のとき ),
0 (j = (i) のとき ),
X(i, j) =
S(i, j) (j = (i) のとき ).
このとき,X は P = F (k(1), ...,k(y)) の ideal になる. 剰 余 環 F (k(1), ...,k(y))/X
を P = F (k(1), ...,k(y)) の 上 階 段 型 剰 余 環 と 呼 ぶのである.
P (1, 1) P (1, 2) ··· P (1,y)
P (2, 1) P (2, 2) ··· P (2,y)
P = F (k(1), ...,k(y)) =
··· ··· ··· ··· ,
P (y, 1) P (y, 2) ··· P (y, y)
において,P (i, (i)) を P (i, (i)) で 置 き 換 え,P = F (k(1), ...,k(y))/X とお
—15—

く.P を 次 のように 表 現 しよう:
P (1, 1) ··· P (1, (1)) ··· ··· ··· P (1,y)
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
P (i, 1) ··· ··· P (i, (i)) ··· ··· ···
P =
.
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
P (y,1) ··· ··· ··· P (y, (y)) ··· P (y, y)
(I), (II) における matrix において k 1 であることと P の 形 から P =
F (k(1), ...,k(y))/X は basic indecomposable 左 Harada 環 であることが 分 か
る. 更 に,S(i, (i)) が 上 階 段 型 であることから, 左 Harada 環 P = P 1 =
F (k(1), ...,k(y)), P 2 ,P 3 , ..., P l1 ,P l = P が 得 られ, 自 然 な 上 への 環 準 同 型
1 i : P i P i+1 で Ker 1 i が P i の simple ideal になるものが 作 れる:
1 2 3 l2 l1
P 1 P2 P3 ··· Pl1 Pl = P = F (k(1), ...,k(y))/X.
かくして 次 の 定 理 を 得 る.
定 理 2.3. basic indecomposable QF- 環 F に 対 して,F のブロック 拡 大 P =
F (k(1)....,k(y)) の 上 階 段 型 剰 余 環 P/X は basic indecomposable 左 Harada
環 になり,さらに 次 のような basic な 左 Harada 環 の 自 然 な surjective 環 準 同
型 1 i で Kernel が simple になるものが 作 れる:
1 2 3 l2 l1
P 1 P2 P3 ··· Pl1 Pl = P = F (k(1), ...,k(y))/X.
例 2.1. F として 局 所 QF- 環 をとり,ブロック 拡 大 環 Q(4) を 作 る:
Q Q Q Q
J Q Q Q
Q(4) =
J J Q Q
J J J Q
そして
0 S S S
0 0 S S
X =
0 0 S S
0 0 0 S
( ここで,S = S(Q))
—16—

を 作 ると
Q Q Q Q
J Q Q Q
Q(4)/X =
J J Q Q
J J J Q
は basic indecomposable 左 Harada 環 である.
例 2.2.
F として, basic indecomposable QF- 環 R で,E(R) ={e, f} かつ
e f
f e
が Nakayama 置 換 であるものを 考 える.
Q A eRe
R = =
B W fRe
eRf
.
fRf
とおき,R のブロック 拡 大 R(3, 3) を 作 る:
Q Q Q A A A
J Q Q A A A
R(3, 3) =
J J Q A A A
B B B W W W
B B B K W W
B B B K K W
X として
0 0 0 0 0 S(A)
0 0 0 0 0 S(A)
X =
0 0 0 0 0 0
0 0 S(B) 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
をとると
—17—

Q Q Q A A A
J Q Q A A A
R(3, 3)/X =
J J Q A A A
B B B W W W
B B B K W W
B B B K K W
は basic indecomposable 左 Harada 環 になる.
さて, 本 話 題 の 最 初 に 述 べた 定 理 の 主 張 は
“R を basic indecomposable Harada 環 とすると,R は 枠 組 みとなる QF- 部
分 環 F (R) を 持 ち,そのブロック 拡 大 の 上 階 段 型 剰 余 環 として 構 成 される ”
であったが,これは 要 するに,すべての basic indecomposable 左 Harada 環
が 上 の 定 理 のようにして 構 成 されるということである.この 定 理 の 証 明 は 易 し
くはない. 詳 しくは Baba-Oshiro [6] を 参 照 .ここでは, 簡 単 な 例 を 挙 げて,
F (R) が R のどの 部 分 に 現 れるのか,ということを 見 るにとどめる.
R を basic indecomposable 左 Harada 環 とし, 直 交 ベキ 等 元 の 完 全 集 合
E(R) ={e ij } m n(i)
i=1,j=1 = {e 11 , ...,e 1n(1) , ...,e m1 , ...,e mn(m) } を well-index set
とする.このとき,{e 11 ,e 21 , ...,e m1 } の 部 分 集 合 F = {e 1 , ...,e y } がとれて,
R はブロック 拡 大 F (n(1), ...,n(m)) の 上 階 段 型 剰 余 環 になる.そして,この
F がただ 一 組 であることから,( y
i=1 e i)R( y
i=1 e i) を,R の frame QF- 部 分
環 と 呼 び F (R) と 記 す.
例 2.3. R を basic indecomposable 左 Harada 環 とし,E(R) ={e 11 ,e 12 ,e 13 ,e 21 ,e 22 }
を well-indexed set とする.Q i = e i1 Re i1 , J i = J(Q i ), A = e 11 Re 21 , B =
e 21 Re 11 とおく(i =1, 2).(e 11 R; Re 21 ), (e 21 R; Re 12 ) が i-pair のとき, , . :
—18—

{1, 2} N は (1) = 2, .(1) = 1, (2) = 1, .(2) = 2 となる.これより,
Q 1 Q 1 Q 1
A A
P (1, 1) = J 1 Q 1 Q 1 , P(1, 2) = A
A ,
J 1 J 1 Q 1 A A
B B B
Q 2 Q 2
P (2, 1) =
, P(2, 2) =
,
B B B
J 2 Q 2
0 0 0
0 S(A Q2 )
K(1, 1) = 0 0 0 , K(1, 2) = 0 S(A Q2 ) ,
0 0 0
0 S(A Q2 )
0 0 S(B Q1 )
0 0
K(2, 1) =
, K(2, 2) = .
0 0 S(B Q1 )
0 0
よって
R P (1, 1) P (1, 2) K(1, 1) K(1, 2)
= P/K =
/
P (2, 1) P (2, 2) K(2, 1) K(2, 2)
Q 1 Q 1 Q 1 A A 0 0 0 0 S(A)
J 1 Q 1 Q 1 A A
0 0 0 0 S(A)
=
J 1 J 1 Q 1 A A
/
0 0 0 0 S(A)
.
B B B Q 2 Q 2 0 0 S(B) 0 0
B B B J 2 Q 2 0 0 S(B) 0 0
これを 簡 単 に
Q 1 Q 1 Q 1 A A
J 1 Q 1 Q 1 A A
J 1 J 1 Q 1 A A
B B B Q 2 Q
2
B B B J 2 Q 2
と 書 く.このとき,
F (R) =
Q 1
B
A
.
Q 2
次 に,(e 11 R; Re 21 ), (e 21 R; Re 22 ) が i-pair とすると
—19—

Q 1 Q 1 Q 1 A A Q 1 Q 1 Q 1 Q 1 Q 1
J
R 1 Q 1 Q 1 A A
J 1 Q 1 Q 1 Q 1 Q 1
=
J 1 J 1 Q 1 A A
= J 1 J 1 Q 1 Q 1 Q 1
B B B Q 2 Q
2 J 1 J 1 J 1 Q 1 Q
1
B B B J 2 Q 2 J 1 J 1 J 1 J 1 Q 1
と 表 現 される.よって,F (R) =Q 1 である.
frame QF-subring の 説 明 をしたついでに, 左 Harada 環 についての Morita
の 意 味 の 自 己 双 対 性 の 状 況 を 見 てみよう. 左 Harada 環 = 右 Harada 環 であ
ることや, 加 群 論 的 に 十 分 な 自 己 双 対 性 を 有 していることから,この 環 の 自 己
双 対 性 が 成 り 立 つことが 予 想 される.しかし 結 論 は Koike [27] によって 否 定 的
に 解 決 された.Koike は Kraemer [31] の 例 を 用 いて 反 例 を 与 えている.Koike
はさらに [28] で Harada 環 は 自 己 双 対 的 とまではいかないが Simson [58] の 意
味 の almost 自 己 双 対 性 をもつという 結 果 も 出 している.
一 般 に Artin 環 が Morita 双 対 を 持 つためには,Morita-Azumaya の 定 理 か
ら,その 環 が 左 , 或 いは 右 有 限 生 成 injective cogenerator を 有 することの 確 認
が 必 要 となる. 左 Harada 環 は 左 , 右 に 関 して 有 限 生 成 injective cogenerator
を 持 つ. 左 に 関 しては 定 理 1.2 より 分 かり, 右 に 関 しては almost 自 己 双 対 性
より 確 認 できる.
R を basic indecomposable 左 Harada 環 とし,E(R) ={e ij } m n(i)
i=1,j=1 を wellindexed
set とする. 各 e i1 R に 対 して
(1) Re (i)(i) /S j1 ( R Re (i)(i) ) = I(T ( R Re ij )) i =1,...,m, j =1,...,n(i),
m
n(i)
(2) Re (i)(i) /S j1 ( R Re (i)(i) ) = I(T ( R R)).
i=1
j=1
よって,G := I(T ( R R)) は 有 限 生 成 injective cogenerator であり,T =End( R G)
とおくと, 有 限 生 成 左 R-mod のクラスと 有 限 生 成 右 T -mod のクラスの 間 に
Morita duality がある. 一 般 には R = T ,つまり R は 自 己 双 対 ではないが,
次 の 結 果 がいえる.
定 理 2.4. basic indecomposable 左 Harada 環 R について, 次 は 同 値 である.
(1) R の frame QF-subring F (R) が Nakayama 自 己 同 型 をもつ.
(2) F (R) から 作 られるすべてのブロック 拡 大 の 上 階 段 剰 余 環 は( 従 って R
も) 自 己 双 対 的 である.
—20—

この 定 理 から,QF- 環 が Nakayama 自 己 同 型 をもつかどうかが 問 題 となるの
だが, 上 記 Koike により 反 例 を 与 えられ,Harada 環 は 一 般 には 自 己 双 対 的 で
ないことが 分 かっている.
定 理 2.3 は Nakayama 環 の 自 己 双 対 性 の 確 認 に 応 用 される.このことにつ
いて 触 れておこう.
Nakayama 環 は Harada 環 であるから,Harada 環 に 関 する 結 果 はそのまま
Nakayama 環 についても 成 り 立 つ:
定 理 2.5.
(1) basic indecomposable Nakayama 環 は, 枠 組 みとなる QF-Nakayam 部 分
環 を 持 ち,そのブロック 拡 大 の 上 階 段 型 剰 余 環 として 表 現 される.
(2) basic indecomposable QF-Nakayama 環 は,Nakayama 自 己 同 型 写 像 を 持
つから 自 己 双 対 的 である.
このようにして, 広 い 枠 組 みの 中 で Nakayama 環 の 自 己 双 対 性 が, 概 念 的 方 法
で 確 認 できる.1980 年 代 ,Nakayama 環 の 自 己 双 対 性 が 問 題 になり,Mano [34],
Haack [17],Dischinger-Mueller [13] 等 が 研 究 していたのだが,Waschbusch [62]
により,これは 既 に 次 の 論 文 で 解 決 されているというショッキングな 報 告 が
あった.
K. Amdal and F. Ringdal, Catégories unisérialles, C. R. Acad. Sci. Paris,
Série A-B 267 (1968), A85—A87, B247—B249.
そして 彼 自 身 この 論 文 のアイデアをなぞって 証 明 を 与 えている. 当 時 , 筆 者
は Harada 環 の 応 用 として, 定 理 2.5 の 形 で 証 明 を 与 えた([53], [51]).Haack
は Nakayama 環 の 自 己 双 対 性 を 示 すことには 成 功 しなかったが,basic QF-
Nakayam 環 が Nakayama 自 己 同 型 を 持 つという 結 果 には 到 達 している. 手 法
がテクニカルゆえに,その 先 が 見 えなかったのであろう.
Nakayama 環 が QF-Nakayama 環 から 構 成 されるという 結 果 で,Nakayama 環
の 構 造 論 が 終 るのではない.QF-Nakayama 環 のタイプを 分 析 して,Nakayama
環 が 幾 層 もの 構 造 を 持 つ Artin 環 であるということを, 次 節 で 見 ることにする.
話 題 3 : Nakayama 環 の classi)cation
Nakayama 環 の 構 造 を 列 記 すれば 次 のようになっている.
定 理 3.1.
—21—

(1) basic indecomposable Nakayama 環 は,frame QF- 部 分 環 のブロック 拡 大
の 上 階 段 型 剰 余 環 として 表 現 される.
(2) Nakayama 置 換 が identity でない basic indecomposable Nakayama QF
環 は, 局 所 Nakayama 環 上 の skew matrix ring の 剰 余 環 になる.これよ
り,frame QF- 部 分 環 の Nakayama 置 換 が identity でない basic indecomposable
Nakayama 環 は, 局 所 Nakayama 環 上 の skew matrix ring のブ
ロック 拡 大 上 階 段 型 剰 余 環 として 表 現 される.
(3) frame QF- 部 分 環 が identity でない Nakayama 置 換 をもつ basic indecomposable
Nakayama 環 は,さらに 直 接 , 局 所 Nakayama 環 上 の skew
matrix ring の 剰 余 環 になる.
(4) basic indecomposable Nakayama 環 R で,その frame QF- 部 分 環 が
identity である Nakayama 置 換 をもつとき, 剰 余 環 R/S(R) は, 局 所
Nakayama 環 上 の skew matrix ring の 剰 余 環 として 表 現 される.
(5) basic QF-Nakayama 環 は Nakayama 自 己 同 型 写 像 を 持 つ.
(6) Nakayama 環 は 自 己 双 対 的 である.
(1),(5),(6) については 説 明 済 み.(2) と (3) を 見 れば,Nakayama 環 の 本
質 が, 局 所 Nakayama 環 上 の skew-matrix ring であることが 分 る.この 定 理
における skew-matrix ring と QF-Nakayama 環 のタイプについて 少 し 説 明 する
が, 詳 細 は Baba-Oshiro [6] を 参 照 されたい.
通 常 の matrix ring を 一 般 化 したのが skew-matrix ring である.その 説 明 の
前 に,QF-Nakayama 環 のタイプについて 分 析 をする.
F を basic indecomposable Nakayama QF- 環 とし,e n F, ...,e 1 F を F の
Kupisch series とする.つまり,e i F の projective cover が e i+1 R i =1, ...,
n 1.よく 知 られているように,F の Nakayama 置 換 は,ある i があって
e 1 e 2 ··· e ni+1 e ni+2 ··· e n
e i e i+1 ··· e n e 1 ··· e i1
となる.このとき,R を KNP(1 i)-タイプと 呼 ぶ.KNP(1 1)-タイプ,
KNP(1 2)-タイプ,KNP(1 n)-タイプが 重 要 である.
定 理 3.2.
Q = e 1 Fe 1 , F = F/S(F F ) とおく.
(1) 各 i {2,...,n} に 対 して,F が KNP(1 i)-タイプならば,F は
KNP(1 i 1)-タイプの Nakayama QF- 環 である.
(2) F が KNP(1 1)-タイプならば,F は KNP(1 n)-タイプの Nakayama
QF- 環 である.
—22—

(3) F が KNP(1 n)-タイプならば,c J(Q) と Aut(Q) があって,F
は Q 上 の { ,c,n} に 関 する skew-matrix ring になる.
(4) 1

が 成 り 立 ち,R は 環 になる.この 環 を,( ,c,n) に 関 する Q 上 の skew matrix
ring と 呼 び,
Q ··· Q
R = ···
Q ··· Q
或 いは, 単 に (Q) ,c,n で 表 す. が 恒 等 写 像 id Q で c =1のとき,(Q) idQ ,1,n
は 通 常 の 行 列 環 である.しかし,( ,c,n) の 取 り 方 で, 通 常 の 行 列 環 とはまっ
たく 違 ってくる.
例 3.1.
,c,n
Q を 体 , = id Q , c =0とすると
0 ··· ··· 0
I =
Q . . . .
.
.. .
.. . .
Q ··· Q 0
は R の ideal であり,R/I は 通 常 の 上 三 角 行 列 環 と 同 型 になる. 体 上 の 上 三
角 行 列 環 は Nakayama 環 であり, 確 かにこのように skew-matrix ring の 剰 余
環 として 表 現 される.
定 理 3.3. R =(Q) ,c,n について 次 が 成 り 立 つ.
(1) Q が 局 所 環 ならば,R は basic indecomposable semiperfect ring である.
(2) Q が 右 Artin (Noether) 環 ならば,R も 右 Artin (Noether) 環 である.
(3) Q が 局 所 QF- 環 で c J(Q) ならば,R は basic indecomposable QF- 環 で
e 1 e 2 ··· e n
e n e 1 ··· e n1
が Nakayama 置 換 となる.ここで,e i は ii- 成 分 が 1 でほかは 0 なる 行 列 .
(4) 写 像 ( : R R,
x 11 x 12 ··· x 1n
x nn x n1 ··· x n,n1
x 21 x 22 ··· x 2n
··· ··· (x 1n ) (x 11 ) ··· (x 1,n1 )
··· ···
x n1 x n2 ··· x nn (x n1,n ) (x n1,1 ) ··· (x n1,n1 )
は 環 準 同 型 である. 特 に, Aut(Q) ならば ( Aut(R) である.
(5) Q が 局 所 Nakayama 環 で cQ = J(Q) ならば,R は Nakayama 自 己 同
型 写 像 ( を 持 つ KNP(1 n)-タイプの basic indecomposable Nakayama
QF- 環 になる.
,c,n
—24—

さて,ここで 話 をもとに 戻 す.この (5) の 逆 がいえる.つまり,basic indecomposable
KNP(1 n)-タイプの basic indecomposable Nakayama QF- 環 は,
このような skew-matrix ring (Q) ,c,n として 表 されるのである.また,(5) を
用 いて,すべての basic indecomposable Nakayama QF- 環 が Nakayama 自 己
同 型 写 像 を 持 つことが 示 されて, 我 々の 見 地 から Nakayama 環 の 自 己 双 対 性
が 確 認 できるのである.
skew-matrix ring は,1975 年 の Kupisch [32] で VPE-ring として 定 義 されて
いる.しかし, 上 述 とは 多 少 異 なった 形 で 定 義 されているため,“skew-matrix
ring” のようには 見 えない.ここでは,1987 年 の Oshiro [51] に 従 った.
以 上 見 てきたとおり,Harada 環 は 局 所 QF- 環 から 構 成 され,Nakayama 環
は Harada 環 を 枠 組 みとし, 概 観 は 局 所 QF- 環 のタイル 張 りになっているとた
とえてよい.Nakayama 環 は, 実 に 類 まれな 自 己 完 結 的 型 の Artin 環 である.
さて 次 の 話 題 では,Nakayama 環 の 構 造 論 の 代 数 閉 体 上 の Nakayama 群 多
元 環 への 応 用 を 紹 介 する.
話 題 4: 代 数 閉 体 上 の Nakayama 群 多 元 環
定 理 3.2 で, 体 K 上 の indecomposable Nakayama 多 元 環 R で,その
frame QF- 部 分 環 F (R) の Nakayama 置 換 が 恒 等 置 換 でないものは,ある 局 所
Nakayama 多 元 環 Q 上 の skew-matrix ring (Q) ,c,n の 剰 余 環 として 表 現 でき
ることを 知 った.K が 代 数 閉 体 上 の 場 合 は,この Q が K[x]/(x d+1 ) (ここで,
d は Q の 組 成 列 の 長 さ)と 取 れて,しかも = id Q となる.さらに F (R) の
Nakayama 置 換 が 恒 等 置 換 の 場 合 も,R は Q = K[x]/(x d+1 ) 上 の skew-matrix
ring (Q) idQ ,c,n の 剰 余 環 として 表 現 できる.この 後 半 の 部 分 の 状 況 を 説 明 する.
( 詳 しくは baba-Oshiro [6],Hanaki-Koshitani-Oshiro [30] を 参 照 .)
Q を 体 K 上 多 元 環 とし,skew matrix ring
Q ··· Q
R = ···
Q ··· Q
を 考 える.ここで, は 環 準 同 型 写 像 .K を 次 の 写 像 で R の 部 分 環 とみる:
k 0 ··· 0
.
k
0 .. . .. .
.
. .. . .. 0
0 ··· 0 k
,c,n
—25—

このとき, 次 がいえる:
(1) n =1のとき,R = Q.
(2) n 2 のとき,
R:K 上 多 元 環 :K-algebra 準 同 型 写 像 , i.e., (k) =k k K.
さて, 以 後 扱 う K は 代 数 閉 体 とする.
命 題 4.1. Q を K 上 局 所 Nakayama 多 元 環 とする.J = J(Q) =cQ とお
き,d +1を Q の 組 成 列 の 長 さとする.つまり,J d =0,J d+1 =0.このとき
(1) Q = K[x]/(x d+1 )
(2) が Q の algebra 自 己 同 型 写 像 で, (c) =c, (q)c = cq q Q をみ
たせば, = id Q . 従 って,
Q ··· Q
K[x]/(x d+1 ) ··· K[x]/(x d+1 )
(Q) idQ ,c,n = ··· =
···
Q ··· Q
K[x]/(x d+1 ) ··· K[x]/(x d+1 )
id Q ,c,n
id,x,n
.
次 の 定 理 は,Nakayama 群 多 元 環 の 研 究 において 重 要 である.
定 理 4.2. R を Nakayama 置 換 が 恒 等 置 換 である K 上 basic indecomposable
Nakayama QF- 多 元 環 とし,e n R, ...,e 1 R を Kupisch series とする.
Q = e 1 Re 1 ,Q= Qc とおき,d +1を Q の 組 成 列 の 長 さとする.このとき
(1) Q = e 1 Re 1
= e2 Re 2
= ··· = en Re n
= K[x]/(x d+1 ),
(2) ij- 成 分 を ij- 成 分 に 移 す algebra epimorphism 1 =(1 ij ):
Q ··· Q
e 1 Re 1 ··· e 1 Re n
(Q) id,c,n = ··· R = ···
Q ··· Q
e n Re 1 ··· e n Re n
id,c,n
で,その Kernel が
0 S(Q)
. .. Ker 1 =
.
..
S(Q) 0
—26—

であるものがとれる. 従 って,
K[x]/(x d+1 ) ··· K[x]/(x d+1 )
R ···
=
···
K[x]/(x d+1 ) K[x]/(x d+1 )
put
=
id,x,n
K[x]/(x d+1 ) K[x]/(x d ) ··· K[x]/(x d )
K[x]/(x d .
) .. . .. .
.
.
.. . .. K[x]/(x d
)
K[x]/(x d ) ··· K[x]/(x d ) K[x]/(x d+1 )
0 (x d )/(x d+1 )
0
/
.
..
(x d )/(x d+1 ) 0
id,x,n
.
定 理 4.2 を 応 用 して, 対 称 群 や 交 代 群 に 対 する 代 数 閉 体 上 の 群 多 元 環 が Nakayama
多 元 環 になる 場 合 の 行 列 表 現 を 見 てみよう.
Nakayama group algebra については, 環 論 や 群 論 の 多 くの 研 究 者 によって
研 究 されている( 例 えば,Osima [48],Morita [38],Brauer [10],Dade [12],
Higman [22], Murase [41],[42],Michler [36],Isaacs [23] 等 ).その 歴 史 につ
いては,Kositani [29],Puninski [56] を 参 照 .
G を 有 限 群 とし,K を 標 数 p の 体 とする. 次 は,よく 知 られた 結 果 である.
定 理 4.3.
(1) ( Maschkke [35] )
p が 0 或 いは G の 位 数 | G | を 割 らない kG : semisimple.
(2) ( Higman [22],Kasch—Kneser-Kupisch [25]) p>0 で p が | G | を 割 ると
き KG が 有 限 表 現 型 である G は 巡 回 シロー p- 部 分 群 をもつ.
従 って,KG が Nakayama 多 元 環 であるためには,G は 巡 回 シロー p- 部 分
群 を 持 つことが 必 要 である. 正 確 に 記 せば : KG のブロック B が 有 限 表 現 型
である B の “defect group ”が 巡 回 群 である.( Alperin [1],Benson [8] )
G を 有 限 群 ,p を 素 数 とする.G の 正 規 部 分 群 の descending chain: G =
H 0 H 1 H 2 ··· H k = {e} で,H i /H i+1 が p- 群 , 或 いは p - 群 (i.e.,p
が | H i /H i+1 | を 割 らない ) となるものがあるとき,G を p- 可 解 群 ( p-solvable
group ) という.
次 の 定 理 は 重 要 である.
—27—

定 理 4.4. ( Morita [38], Isaacs [23]) K を 代 数 閉 体 ,G を p- 可 解 群 とする.
このとき,cyclic defect group を 持 つ KG のブロックは Nakayama 多 元 環 で
ある.
さて,n 5 の 場 合 , 標 数 p の 代 数 閉 体 K と n 次 の 対 称 群 S n , 交 代 群 A n
との 群 多 元 環 が Nakayama 多 元 環 になっているとき,それらを skew-matrix
ring で 表 現 してみる.
注 意 :
(1) Klein 群 を 含 む 有 限 群 シロー 2- 部 分 群 は 巡 回 群 でないから,4 n に 対
して,KS n ,KA n は Nakayama 多 元 環 ではない.
(2) p =3のとき,S 3 ,A 3 ,S 4 ,A 4 は 巡 回 3-シロー 部 分 群 をもつから, 定 理
4.4 より,KS 3 ,KA 3 ,KS 4 , KA 4 は Nakayama 多 元 環 である.
(3) A 5 は non-abelian simple であるので,A 5 ,S 5 は 3- 可 解 群 でない.
KS n ,KA n の 構 造 を 知 るには, 次 を 調 べる 必 要 がある:
(1) ブロック 分 解 KG = B 1 ··· B t .
(2) 各 B i の simple submodule のタイプ.
(3) 各 B i ,およびその simple submodule の K- 次 元 .
(4) 知 られている 結 果 の 利 用 .
しかし,このアルゴリズムを 実 行 するのはそれほど 易 しくはないようである.
下 記 は 千 葉 大 の 越 谷 さん, 信 州 大 の 花 木 さんの 協 力 のもとでの 記 録 である.
[I] p =2のとき;
(1) KS 2 は 局 所 Nakayama 多 元 環 で,KS 2
= K[x]/(x 2 ).
(2) KS 3 は Nakayama 多 元 環 で,KS 3
= K[x]/(x 2 ) M 2 (K).
(3) KA 3 は Nakayama 多 元 環 で,KA 3
= K[x]/(x 3 ).
[II] p =3のとき:
(1) KS 3 は basic indecomposable Nakayama 多 元 環 で, 次 元 1 の 二 つの
simple modules をもち
KS 3
Q = A =
Q
Q
Q
ここで, Q = K[x]/(x 2 ),Q = Q/((x)/(x 2 )).
id,x,2
.
—28—

(2) KA 3 は 局 所 Nakayama 多 元 環 で,KA 3
= K[x]/(x 3 ).
(3) KS 4 は Nakayama 多 元 環 で,そのブロック 分 解 は KS 4
= A (K)3
(K) 3 . ここで,A は [II] (1) における A.
(4) KA 4 は Nakayama 多 元 環 で,KA 4
= K[x]/(x 3 ) (K) 3 .
(5) KS 5 は Nakayama 多 元 環 で,そのブロック 分 解 は KS 5 = B 1 B 2 B 3 .
ここで,B 1 と B 2 は 同 型 で,その 次 元 は 42 で, 次 元 が 1, 4 二 つの simple
modules を 持 つ.
B 3
= (K)6 ( 行 列 環 ),
Q Q Q Q X
Q Q Q Q X
B 1
= B2
= Q Q Q Q X
.
Q Q Q Q X
Y Y Y Y T
ここで,
Q
Y
X
T
は,[II] (1) の A で,Q = eAe,T = fAf,X = eAf,Y = fAe
1 0 0 0
( ただし,e = ,f = ).
0 0 0 1
(6) KA 5 は Nakayama 多 元 環 で,KA 5
= AB1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 .
ここで,A は [II] (1) の A,B i
= B1
= B2
= B3
= B4
= K[x]/(x 9 ),
B 6
= B7
= (K)9 .
[ III ] p =5のとき,
(1) KS 5 のブロック 分 解 :KS 5
= B1 (K) 5 (K) 5 .ここで,B 1 の 次 元
は 70 で,1, 1, 3 の 次 元 の 3 つの simple modules をもつ.B 1 は 次 元 35
の 有 限 表 現 型 だが,Nakayama 多 元 環 でない.
(2) KA 5 のブロック 分 解 :KA 5
= B1 (K) 5 .B 1 は 有 限 表 現 型 だが,
Nakayama 多 元 環 ではない.
以 上 ,n 5 の 場 合 の Nakayama KS n ,KA n を 調 べたが,n >5 のときは
どうであろうか.あるとすれば 無 限 に 散 在 しているであろうか.
—29—

話 題 5: 局 所 QF- 環 の 構 成 と Faith 予 想
Harada 環 も Nakayama 環 も 局 所 QF- 環 が 基 本 になっている.それゆえ, 局
所 QF- 環 の 探 求 へと 新 たな 展 開 が 始 まる. 局 所 QF- 環 は,QF- 環 に 関 する 有 名
な Faith 予 想 との 関 連 でも 究 明 すべき 局 所 QF- 環 である.
ここの 話 題 では Faith 予 想 の 一 考 察 から, 局 所 環 の 一 般 的 構 成 法 について 紹
介 する.( 詳 しくは Kikumasa-Oshiro-Yoshimura [26] を 参 照 .)
本 稿 の 概 要 で 述 べたように
R :QF- 環 R : 右 perfect ring かつ 左 , 右 self-injective ring
という Osofsky の 結 果 がある.この 結 果 における 左 , 右 の self-injective 性 を,
片 側 だけの self-injective 性 で 置 き 換 えられないか,というよく 知 られた 問 題 が
ある.Faith は 彼 の 著 書 [14] で,semiprimary 環 でもこの 問 題 は 否 定 的 だろう
と 予 想 した.これが Faith 予 想 の 由 来 である.Faith 予 想 は, 局 所 semiprimary
環 で Jacobson radical 3 乗 ゼロの 場 合 でも 未 解 決 である.おそらく,この 場 合
が 解 決 されれば 一 気 に 解 決 にいたるであろう.
Baba-Oshiro [6] の 次 の 定 理 は,Faith 予 想 に 関 連 する 結 果 である.
定 理 5.1. semiprimary 環 R が 右 self-injective であるための 必 要 十 分 条 件
は,R が 右 simple-injective であることである. 特 に,Jacobson radical 3 乗 ゼ
ロの semiprimary 局 所 環 R が 右 self-injective であるための 必 要 十 分 条 件 は,
J 2 が 左 , 右 に 関 して simple であり,J の 任 意 の 極 大 右 submodule M に 対 し
て a J \ J 2 : aM =0となることである.
注 意 :R が 右 simple injective とは,R の 右 ideal から R の simple submodule
への homomorphism は,R からの homomorphism に 拡 張 できることである.
さて,J 2 =0,J 3 =0なる 局 所 semiprimary 環 R を 分 析 しょう.D = R/J,
S = J 2 ,J = J/S とおく.このとき,J,S は (D, D)-bispace である. 次 の
ことがいえる:
(1) R が QF- 環 のとき,graded type と 呼 ばれる 新 しい Jacobson radical 3 乗
ゼロの 局 所 QF- 環 T が, 次 のようにして 作 れる:T := D × J × S.T の
元 t 1 =(d 1 ,a 1 ,s 1 ), t 2 =(d 2 ,a 2 ,s 2 ) の 積 を
t 1 t 2 =(d 1 d 2 ,d 1 a 2 + a 1 d 2 ,d 1 s 2 + s 1 d 2 + a 1 a 2 )
と 定 義 すれば,J(T )=0× J × 0,J(T ) 2 =0× 0 × S,J(T ) 3 =0 ( 一 般
には R = T (R)).
—30—

(2) R が 右 injective だが QF- 環 でないならば,dim D J =dim D J>dim J D =
.
これらの 情 報 をもとに,Jacobson radical 3 乗 ゼロの 局 所 semiprimary 環 に
ついての Faith 予 想 の 分 析 と,Jacobson radical 3 乗 ゼロの QF- 環 の 一 般 的 構
成 法 について 述 べる.
D を division ring とし, D V D を (D, D)-bispace とする.T = D×V ×(V D V )
とおく.この (D, D)-bispace T の 元 t 1 =(d 1 ,v 1 ,x 1 ), t 2 =(d 2 ,v 2 ,x 2 ) の 積 を
次 のように 定 義 する:
t 1 t 2 =(d 1 d 2 ,d 1 v 2 + v 1 d 2 ,d 1 x 2 + x 1 d 2 + v 1 v 2 )
このとき,T はJacobson radical 3 乗 ゼロの 局 所 semiprimary 環 になる.J(T )=
0×V ×0, J(T ) 2 =0×0×V D V , (D ×0×0), (0×V ×0), (0×0×V D V )
をそれぞれ D, V , V D V と 同 一 視 し,T = T = D,V,V D V とおく.こ
のとき, 次 がいえる.
命 題 5.2.
(1) V D V の (D, D)-bisubspace I が,dim ((V D V )/I D )=dim((V D
V )/ D I)=1, vD D V I, V D Dv I 0 = v V をみたすとき,
I は T の ideal となり,J(T/I) 2 = S(T/I) は, 左 そして 右 T/I-module
として simple となる.
(2) dim (V D ) が 有 限 次 元 で,かつ (1) の (D, D)-bisubspace I が 存 在 すれば,
T/I は Jacobson radical 3 乗 ゼロの 局 所 QF- 環 となる.
pD を 1 次 元 右 D-space とし,. を D の 自 己 同 型 とする.D の 元 d に
対 して dp = p.(d) と 定 義 すれば,pD は 1 次 元 左 D-space になる.この
(D, D)- bispace を pD で 記 す.V =Hom D (V D ,pD D ) とおくと,V は 自 然
に (D, D)-bispace になる.
ここで 次 の 条 件 が 成 り 立 つと 仮 定 する.
仮 定 A: V と V の 間 に (D, D)- 同 型 写 像 9 がある.
v V に 対 して,v = 9(v) とおく.V × V pD , (v,w) v (w) な
る 写 像 は, 上 への bilinear (D, D)- 写 像 になる. 従 って, 写 像 ; : V D V
pD ,
i v i w i i v i (w i ) は 上 への (D, D)- 準 同 型 写 像 となる. 容 易 に 分
かるように,Ker ; は T の ideal. 剰 余 環 T = T/Ker ; を R = DV,9, .,pD
で 表 す.s = ; 1 (p) V D V とおくと, 次 がいえる.
—31—

定 理 5.3.
(1) J = J(R) =V , J 2 = V D V = Rs = sR, J 3 =0.
(2) S(R) =J 2 : 左 , 右 simple ideal.
(3) R : 右 self-injective.
(4) R :QF- 環 dim (V D ) < .
この 定 理 より,Jacobson radical 3 乗 ゼロの 局 所 semiprimary 環 についての
Faith 予 想 は, 次 のように 言 い 換 えられる.
Problem :
次 の 条 件 をみたす division ring D と (D, D)-bispace V は 存 在
するか:
dim (VD )=, DV D
= D V D ((D, D)-isomorphism)
この 問 題 の 意 味 は 明 快 である.しかし, 一 寸 挑 戦 してみると 分 かることだが,
たちまち pathological な 状 況 に 直 面 してしまう.
Faith 予 想 は 難 しい.しかし, 徒 労 には 終 りたくない. 上 述 の 分 析 から, 我 々
は, 局 所 QF- 環 の 構 成 に 関 する 一 原 理 を 得 ることが 出 来 るのである. 最 後 にこ
のことを 紹 介 する.
次 の 条 件 をみたす division ring D と (D, D)-bispace V が 存 在 するとする:
dim (V D )=n

(D, D)- 同 型 写 像 が 作 れる. 実 際 , 各 i に 対 して,= i V =Hom D (V D ,pD D )
を
= i : x 1 d 1 + ···+ x n d n pd i ,
によって 定 義 すれば, D V = D= 1 ··· D= n となり 写 像
9 : D V D D V D , d 1x 1 + ···+ d n x n d 1 = 1 + ···+ d n = n
は (D, D)-bispace 同 型 写 像 になる. 従 って, 局 所 QF- 環 DV, , を D の 環 同 型 写 像 とし, 次 のような 環 準 同 型 写 像 =( ij ),
< =(< ij ) を 考 える:
>(d) 0
: D (D n ) , d
. ..
0 >(d)
< : D (D n ) , d
> 1 (d) 0
. ..
0 > 1 (d)
この , < に 関 して 関 係 式 (/) が 成 り 立 ち,> 2 < ij = ij がいえる. 従 って 局 所
QF- 環 DV, , 2 ,pD 2 が 作 れる.
例 5.2.
写 像
C を 複 素 数 体 とし,V = x 1 C x 2 C を C 上 2 次 元 space とする.
: C (C) 2 , a+ bi
a
bi
bi
a
は 環 準 同 型 写 像 で, , に 関 して (/) が 成 り 立 つ.よって 局 所 QF- 環 CV, , , 9 ,id C , 1C id C
が 作 れる.
例 5.3. k を 可 換 体 とし,f(x) =x n a k[x] を = を 根 とする 既 約 多 項 式
とする.D = k(=) とおき,n 次 元 space V = n
i=1 x iD を 考 える. 写 像
—33—

を
: D (D) n ,
n1
a i = i
i=0
a 0 a 1 = a 2 = 2 ··· a n1 = n1
a n1 = n1 a 0 a 1 = ··· a n2 = n2
. . .. . .. . .. .
a 2 = 2 . . .
. . .
. . . a 1 =
a 1 = a 2 = 2 ··· a n1 = n1 a 0
と 定 義 すれば, は 環 準 同 型 写 像 で , に 関 して (/) が 成 り 立 つ.よって,
局 所 QF- 環 DV, , , 9 ,id D , 1D id D が 作 れる.
例 5.4. H をハミルトンの4 元 数 体 とし,4 次 元 space V = x 1 H x 2 H
x 3 H x 4 H を 考 える. 写 像
a bi cj dk
bi a dk cj
: H (H) 4 , a+ bi + cj + dk
cj dk a bi
dk cj bi a
は 環 準 同 型 写 像 であり, , に 関 して (/) が 成 り 立 つ.よって, 局 所 QF- 環
HV, , , 9 ,id H , 1H id H が 作 れる.
例 5.5.
E を 可 換 体 ,> を E の 自 己 同 型 写 像 で, 次 をみたすものとする:
(1) > 2 = id E .
(2) =, E : =>(=)+>() =0 = =0かつ =0.
ここで, E 上 の 2 次 元 space D = E Ei = {= + i | =, E} を 作 り,
i 2 = 1 とし, = E と i の 積 を,
i= = >(=)i
と 定 義 することにより,D は division ring になる:
(= + i)(>(=) i) ==>(=)+>()
ここで,= + i = 0ならば,=>(=)+>() = 0が 成 り 立 ち,D の center が
K := {a E | >(a) =a} となる.
V = x 1 D x 2 D を D 上 の 2 次 元 space とし, 環 準 同 型 写 像
: D (D) 2 , = + i
= i
i =
.
—34—

を 考 える.このとき, , に 関 して 関 係 式 (/) が 成 り 立 ち, 局 所 QF- 環
DV, , , 9 ,id D , 1D id D が 作 れる.
次 に, 局 所 QF- 環 R で,その center K が 体 をなし,R が K 上 有 限 次 元 で
ない 例 を 作 る.
例 5.6.
E を division ring で,その center K 上 innite dimensional なる
ものとし,x 2 = 1 x E がみたされるとする.このとき,E 上 の 2 次 元
space D = E Ei = {= + i | =, E} を 考 え,
i 2 = 1,
i= = =i = E
なる 積 をいれる.これにより D は 環 になり,しかも division ring になること
が 確 かめられる.
次 に,V = x 1 D x 2 D を D 上 の 2 次 元 space とする. 写 像
= i
: D (D) 2 , = + i
.
i =
は 環 準 同 型 写 像 で,(/) をみたす.よって, 局 所 QF- 環 DV, , , 9 ,id D , 1D id D
が 作 れる.
注 意 : 上 の 例 における division ring E はいくらでも 存 在 する. 例 えば, 実 数 体
上 の 関 数 体 L = R(x) を 考 え, 中 への monomorphism : L L, f(x)/g(x)
f(x 2 )/g(x 2 ) を 定 義 し,L[y; ] を による skew-polynomial ring とすると,こ
の 環 は non-commutative domain で,classical quotient を 持 ち,それは division
ring になる.この division ring を E とおく.このとき,E の center は R で,
E は R 上 の innite dimensional space である.a 2 = 1 0 = a E も 成 り
立 つ.
結 び
以 上 見 てきたように,QF- 環 ,Nakayama 環 ,そして Harada 環 は 純 然 たる
Artin 環 であり, 局 所 QF- 環 が 基 盤 になっている.そして, 体 上 の 有 限 次 元 で
ない 局 所 QF- 環 がいくらでも 作 れることを 知 った.Artin 環 の 世 界 は 群 多 元 環
や 有 限 次 元 多 元 環 を 超 えた 広 大 無 辺 なる 広 がりで 形 成 されていってもよい 世 界
の 筈 だと 筆 者 は 思 っている. 有 限 次 元 多 元 環 における 定 理 が Artin 環 の 定 理 に
まで 拡 張 されたとき, 品 格 は 格 段 に 増 す. 第 1 Brauer-Thrall 予 想 が 有 限 次 元
多 元 環 の 場 合 に Roiter (1968, [57]) によって 解 決 され, 一 般 の Artin 環 の 場 合
—35—

は Auslander (1974, [3]) によって 神 業 のごとく 解 決 されたという 話 は,その 典
型 である.
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