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稻 江 學 報 第 五 卷 第 一 期
二 、 私 鑰 攻 擊 方 面
私 鑰 攻 擊 包 括 共 謀 攻 擊 、 外 來 攻 擊 、 離 開 會 員 的 攻 擊 。 茲 分 述 如 下 :
( 一 )、 共 謀 攻 擊
所 謂 共 謀 攻 擊 就 是 共 謀 者 使 用 公 眾 參 數 , 企 圖 獲 得 一 個 非 共 謀 者 的 私 鑰 函 數 。 當 這 共 謀 者 離 開 系 統 時 ,
共 謀 者 可 使 用 偷 得 非 共 謀 者 的 私 鑰 函 數 , 獲 得 新 系 統 小 組 組 鑰 , 這 新 系 統 就 變 成 不 安 全 。 這 個 敘 述 , 被 分 成
子 濾 器 :(1) 無 加 入 虛 擬 會 員 私 鑰 及 (2) 有 加 入 虛 擬 會 員 私 鑰 兩 方 面 來 說 。 為 了 方 便 起 見 , 攻 擊 者 以 攻 擊 第 一 個
小 組 為 例 , 茲 描 述 如 下 ..
1、 無 加 入 虛 擬 會 員 私 鑰 k
jv ,
當 無 加 入 虛 擬 會 員 私 鑰 時 , 則 子 濾 器 方 程 式 (4), 被 改 為
( n/ m)
j,1 t= 1, t≠v
j, t j,1 j,1
SECF ( x) = ∏ ( x − f ( k G )) + sgk mod p, 1≤ j ≤ r . (44)
當 第 一 個 小 組 的 共 謀 者 u j,l 離 開 系 統 之 前 , 他 / 她 能 與 (( n/ m) − 2) 共 謀 者 , 企 圖 偷 得 一 個 非 共 謀 者 u j,a 的 私 鑰 函
數 。 首 先 , 他 / 她 能 設 定 x = 0 在 方 程 式 (44)。 則 方 程 式 (44) 變 為
( n/ m)
j,1 t= 1, t≠v
j, t j,1 j,1
SECF (0) = ∏ ( − f ( k G )) + sgk mod p, 1 ≤ j ≤ r
(45)
或
( n/ m)
ja , j,1 j,1 j,1 t= 1, t≠v≠a
jt , j,1
( − f ( k G )) = ( SECF (0) −sgk )/ ∏ ( −f( k G )) mod p, 1≤ j≤ r . (46)
當 (( n/ m) − 2) 會 員 提 供 他 / 她 們 的 私 鑰 函 數 f(k j,t G j,1 ) 給 會 員 u j,l , 此 處 1 ≤ j ≤ r及 1 ≤ t ≠ a ≠l ≤ ( n/ m)
。 共 謀 者 能
從 方 程 式 (46) 獲 得 ( − f( k
,
G
,1))。
ja
j
在 共 謀 者 u j,l 離 開 系 統 後 , 管 理 中 心 重 建 新 的 SECF
,1
∗ ( x)
, 此 新 的 方 程 式 為
( n/ m)
j,1 j, a j,1 t= 1, t≠l
j, t j,1 j,1
SECF ∗ ( x) = ( x− f( k G )) ∏ ( x− f( k G )) + sgk ∗ mod p. (47)
這 共 謀 者 u j,l 能 用 偷 得 的 ( − f( k
,
G
,1)), 從 方 程 式 (47) 取 得 新 的 小 組 組 鑰 gk j,1 *。 進 一 步 , 他 / 她 能 用 取 得 新 的 小
ja
組 組 鑰 sgk j,1 *, 從 而 獲 得 新 組 鑰 。 顯 而 易 見 , 系 統 變 得 不 安 全 。
j
j
2、 有 加 入 虛 擬 會 員 私 鑰 k
jv ,
當 有 加 入 虛 擬 會 員 私 鑰 時 , 則 子 濾 器 方 程 式 (4), 被 變 成
( n/ m)
j,1 j, v j,1 t=
1
j, t j,1 j,1
SECF ( x) = ( x− f( k G )) ∏ ( x− f( k G )) + sgk mod p, 1≤ j ≤ r . (48)
當 一 個 小 組 的 共 謀 者 u j,l 離 開 系 統 之 前 , 他 / 她 能 與 (( n/ m) − 2) 共 謀 者 , 共 謀 設 定 x = 0 在 方 程 式 (48)。 則 方 程
式 (48) 變 為
46