MCS 351 ENGINEERING MATHEMATICS SOLUTION OF ...

e z = t = −1 ⇒ ln e z = ln(−1)
⇒ z = ln(−1) = ln | − 1| + i(Arg(−1) + 2kπ) k ∈ Z
⇒ z = ln 1 + i(2k + 1)π, k ∈ Z
21. 0 = sinh z = ez −e −z
2
⇒ e z − e −z = 0 ⇒ e 2z = 1
ln e 2z = ln 1 ⇒ 2z = ln |1| + i(Arg(1) + 2kπ), k ∈ Z
⇒ 2z = ln 1 + i(0 + 2kπ), k ∈ Z
⇒ z = kπi, k ∈ Z.
13.7
1-9 Find Ln(z) when z equals:
1. Ln(−10) = ln | − 10| + i.Arg(−10) = ln 10 + πi.
2. Ln(2 + 2i) = ln |2 + 2i| + i.Arg(2 + 2i) = ln( √ 2 2 + 2 2 ) + i. arctan( 2 2 ) = ln(√ 8) + i. arctan(1) =
1
2 ln 8 + i. π 4 .
3. Ln(2 − 2i) = ln |2 − 2i| + i.Arg(2 − 2i) = 1 2 ln 8 + i. 7π 4 .
4. Ln(−5 ∓ 0.1i) = ln | − 5 ∓ 0.1i| + i.Arg(−5 ∓ 0.1i) = ln(5.001) ∓ i.0.02
5. Ln(−3 − 4i) = ln | − 3 − 4i| + i.Arg(−3 − 4i) = ln 5 + i. arctan( 4 3 ).
6. Ln(−100) = ln | − 100| + i.Arg(−100) = ln 100 + i.π = 4.605 + 3.142i.
7. Ln(0.6 + 0.8i) = ln |0.6 + 0.8i| + i.Arg(0.6 + 0.8i) = ln 1 + i. arctan( 4 3 ) = arctan( 4 3 )i.
8. Ln(−ei) = ln | − ei| + i.Arg(−ei) = ln e + i. −π
2 = 1 − π 2 i.
9. Ln(1 − i) = ln |1 − i| + i.Arg(1 − i) = 1 2 ln 2 + 7π 2 i.
10-16 Find all values and graph some of them in the complex plane:
10. z = ln 1 ⇒ e z = 1 ⇒ e x+iy = 1 ⇒ e x . cos y = 1 and e x . sin y = 0
⇒ y = ∓2kπ, k ∈ Z, x = 0 ⇒ ∓2kπi.
11. z = ln(−1) ⇒ e z = −1 ⇒ e x+iy = 1 ⇒ e x . cos y = −1 and e x . sin y = 0
⇒ y = ∓(2k − 1)π, k ∈ Z, x = 0 ⇒ ∓(2k − 1)πi.
12. z = ln e ⇒ e z = e ⇒ e x+iy = 1 ⇒ e x . cos y = e and e x . sin y = 0
⇒ y = ∓2kπ, k ∈ Z, e x = e ⇒ x = 1 ⇒ 1 ∓ 2kπi.
13. z = ln(−6) ⇒ e z = −6 ⇒ e x+iy = −6 ⇒ e x . cos y = −6 and e x . sin y = 0
⇒ y = ∓(2k − 1)π, k ∈ Z, e x = 6 ⇒ x = ln 6 ⇒ ln 6 ∓ (2k − 1)πi.
14. z = ln(4 + 3i) ⇒ e z = 4 + 3i ⇒ e x+iy = 4 + 3i ⇒ e x . cos y = 4 and e x . sin y = 3
⇒ y = arctan 3 4 ∓ 2nπ, n ∈ Z, e2x = 25 ⇒ e x = 5 ⇒ x = ln 5
⇒ ln 5 + (arctan 3 4 ∓ 2nπ)i.
15. z = ln(−e −i ) ⇒ e z = −e −i ⇒ e x+iy = − cos(1) + i. sin(1)
23