sborník

VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D
⎧
⎨ p(i + 1) + q(j)
(b) z(k + 1) = p(i) + q(j + 1)
⎩
p(i + 1) + q(j + 1)
pokud α(i) < β(j)
pokud α(i) > β(j)
pokud α(i) = β(j)
5. Opakujme krok 4 pokud jsme nepoužili všechny vrcholy z P a
Q.
Výpočet Minkowského sumy množin, které jsou konvexní, ale nejsou
mnohoúhelníky se může řešit dvěma postupy. První spočívá v aproximaci
dané konvexní množiny konvexním mnohoúhelníkem (např.
kružnici aproximujeme pravidelným n-úhelníkem). Chyba výsledku je
zde přímoúměrná chybě aproximace původní množiny mnohoúhelníkem.
A na tyto množiny aplikujeme některý z předchozích postupů pro
výpočet Minkowského sumy.
Druhá možnost je popsána v [3]. Tento postup je určen pro dvě
jednoduše souvislé množiny ohraničené hraniční křivkou. Pro výpočet
Minkowského sumy se využívá konvoluce těchto hraničních křivek, ze
které se odstraní smyčky. Konvoluční křivku zde definují následujícím
způsobem: Necht’ jsou C 1 a C 2 dvě rovinné křivky jejich konvoluční
křivka, označovaná C 1 ⋆ C 2 , je definována aplikováním vektorového
součtu jen na páry bodů, které mají stejný směr tečny. Tedy: C 1 ⋆C 2 =
{a + b|a ∈ C 1 , b ∈ C 2 , T 1 ‖ T 2 }, kde T i tečný vektor příslušné křivky
v daném bodě.
Tuto druhou možnost lze tedy použít i pro množiny, které nejsou
konvexní, ale splňují podmínku, že jsou jednoduše souvislé a ohraničené
křivkou.
Poslední postup je určen pro množiny, které jsou popsány nerovností
f(X) ≥ 0. Necht’ G 3 = G 1 ⊕ G 2 , dále necht’ G 1 je dáno nerovností
f 1 (X) ≥ 0 a G 2 nerovností f 2 (X) ≥ 0, kde X ∈ R 2 . Naším cílem
je nalezení f 3 (X) ≥ 0, která popisuje množinu G 3 . Postup hledání
f 3 (X) lze zapsat v následujících bodech:
1. G 1 a G 2 reprezentujeme v různých prostorech, G 1 v R 2 1 se
souřadnicovými osami x 1 , y 1 a G 2 v R 2 2 se souřadnicovými osami
x 2 , y 2 .
2. Určíme množinu G | 3 = G 1 × G 2 , tedy G | 3 ⊂ R4 = R 2 1 × R 2 2.
3. R 2 0 má souřadnicové osy x 0 , y 0 . Definujme zobrazení T : R 4 →
R 2 pravidlem, je-li X 1 ∈ R 2 1 a X 2 ∈ R 2 2, tedy X 1 = (x 1 , y 1 ) a
X 2 = (x 2 , y 2 ) pak T (X 1 , X 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ).
4. Obraz G | 3 v zobrazení T je G 1 ⊕ G 2 .
303